(推荐)高中数学一题多解

浅谈一道数学例题的“一题多解”

通山一中 万小勇

在人民教育出版社出版的全日制普通高级中学教科书高一数学上册130页中例4的学习时，笔者认为可以引导学生深入分析挖掘，用好等差数列前n 项和公式及其性质，得到其他的解法，从而起到“一题多解”的目的。

例4：已知一个等差数列的前10项和是310，前20项和是1220，由此可以确定其前n 项和的公式吗？

分析一：将已知条件代入等差数列前n 项和的公式后，可得到关于a 1与d 的关系，然后确定a 1与d ，从而得到所求前n 项和公式.

解法一：由题意知 S 10=30， S 20=1220

将它们代入公式 S n =n a 1+d n n 2

)1(-得到 10a 1+45d=310 解这个关于a 1与d 的方程组，得到a 1=4, d=6

20a 1+190d=1220

所以S n =4n+n n n n +=⨯-2362

)1( 分析二：∵{a n }为等差数列，∴S n =

2)(1n a a n + 将条件代入可求得d 与a 1.

解法二：

310)(2

10101=+a a ① 1220)(2

20201=+a a ② ②－①×2 得a 20－a 10=600 由10

201020--=a a d 得d=6 又由S n =n a 1+d n n 2

)1(-得 S 10=10a 1+45×6=310

∴a 1=4

∴S n =4n+

n n n n +=⨯-2332

)1( 分析三：因为{a n }为等差数列，所以可设S n =An 2+Bn ，求出A ，B 即可. 解法三：设S n =An 2

+Bn ，将它们代入可得

100A+10B=310

得到 A=3，B=1

400A+20B=1220

∴S n =3n 2+n

分析四：运用等差数列前n 项和公式，S n =n a 1+

d n n 2)1(-的变形式解题. 解法四：由S n =n a 1+d n n 2

)1(-, 即2

)1(1d n a n S n ⋅-+= 由此可知数列}{

n S n 也成等差数列. ∵6120

122020,3110310102010====S S ∴30316110201020=-=-=

S S d ∴30303130)1(10

101010-+=⋅-+=n n S n S n =30n+1 ∴S 10n =300n 2+10n

∴S n =3n 2+n

分析五：根据性质“已知{a n }成等差数列，则S n , S 2n －S n , S 3n －S 2n ,…S kn －S (k －1)n ,…(k ≥2)成等差数列”解题.

解法五：根据上述性质，知S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，设公差为d ，

故d=(S 20－S 10)－S 10=(1220－310)－310=600

∴S 10n －S 10(n －1)=600

∴S 10n =S 10+(S 20－S 10)+(S 30－S 20)+…+(S 10n －S 10(n －1))

=310+(310+600)+310+600×2+…+[310+600(1-n )]

=310n+600·[1+2+3+…+(1-n )]=310n+600·

2)1(-n n =300n 2+10n

∴S n =3n 2+n

教材给出了第一种解法，目的是让学生熟悉公式的用法，这是一种常规解法。解法二是等差数列前n 项和2

)(1n n a a n S +=的应用，在本公式中只要知道了n, 1a ,n a 就可求n s ，除此之外，若知道两个有关n s 的和，我们还可以去求解公差d 与首项a 1，进而去求其他的

量。解法三是等差数列前

n 项和S n 的变式，即凡是能够写成S n =An 2+Bn ，则{a n }必为等差数列通过求解变量A 、B 得到S n ，方便快捷。解法四利用了等差数列前n 项和S n 的性质，}{n

S n 必是等差数列，于是先去求解n

S n ，再反求n s ，利用该种解法时，一定要注意结构的构造，否则易出错。解法五，在应用时要注意间隔要相等，否则不成。笔者认为在学习了课本的常规方法后，不妨针对等差数列前n 项和n s 的公式及性质进行仔细分析、挖掘，引导学生提出余下的几种解法，开拓学生思维，发挥学生的积极主动性，学好等差数列前n 项和n s 的公式及性质。一题多解启发学生解决问题时可以多多思考，用好已有的性质公式，甚至提出新的思想，从而放飞思绪。让学生明白，问题可能有一个，但解决该问题的思想方法并非唯一，以上个人看法仅供参考。

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