例谈高中数学一题多解和一题多变的意义
浅谈数学教学中的一题多解与一题多变
浅谈数学教学中的一题多解与一题多变【摘要】在教学实践中，有目的、有计划、适量地进行一题多变训练，有利于活跃思路，锻炼学生思维的灵活性，能够卓有成效地开拓学生的创新思维空间，使学生把所学过的知识融会贯通，使知识系统化，更灵活地运用知识，有利于提高归纳、综合、创新与探究等能力，提升综合素质和综合运用能力。
【关键词】数学一题多解一题多变训练方法在新课改中，如何真正做到减轻学生负担，提高教学质量呢？不妨灵活采用一题多变，从精练与善思入手。
这样可以以一变应万变，触类旁通，既提高了学习效益，又培养了良好的学习习惯与思维品质，让同学们终身受益。
一题之“多”是指：一题多解、一题多变等方法，有目的、有重点地设计基本训练，有助于开拓思路，活跃思维，培养学生的创新能力。
现就一题多变题的教学，谈谈自己的想法。
1.一题多解，利于激发学习兴趣一题多解的题目要具有代表性，能包容大部分所学知识点，不能过于繁难，但也不能流于简单。
过难挫伤学生研究学习的积极性，过于简单学生没有兴趣，这一步对激发学生学习、探究的兴趣很重要。
例如，有这样一道题目：甲、乙、丙三位同学合乘一辆出租车同往一个方向，事先约定三人分摊车资，甲在全程的1/3处下车，乙在全程的2/3处下车，丙坐完全程下车，车费共54元。
问甲、乙、丙三位同学各付多少车费比较合理？学生对此车资问题很感兴趣，甲、乙、丙三位同学各付多少车费比较合理，意见很不一致。
经过尝试设计了3种方案：第一种方案由甲、乙、丙三人均分，即每人各付18元；第二种方案按路程分摊：甲、乙、丙所乘路程的比为1∶2∶3分别付费9元、18元、27元；第三种方案分段结算：车费共54元，如果按前1/3路程，中间1/3路程和最后1/3路程分别计算车费，则各为18元，开始的1/3路程需付18元，甲、乙、丙各付6元，中间的1/3路程需付18元，则乙、丙各付9元，最后的1/3路程需付18元，由丙承担，这样甲应付6元，乙应付15元，丙应付33元；从上例可以看出，同学们对此题很感兴趣，思维活跃，勇于探究，学习效果很明显。
基于两道高考试题的“一题多解”与“一题多变”
基于两道高考试题的“一题多解”与“一题多变”高考是中国教育系统中最为重要的一次考试，几乎决定了学生的未来走向。
为了选拔出最好的学生，高考试题往往是非常严谨和严密的。
在实际的考试过程中，有时会出现一题多解或一题多变的情况。
一题多解指的是一个问题有多种答案或多种解决方法。
高考试题通常设计成有唯一正确答案的形式，但由于问题的复杂性和广度，也有可能会有其他答案。
某道数学题要求求解一个方程，虽然通常只有一个解，但在某些特定条件下也可能有多个解。
这种情况下，如果考生能够给出其他解，并且解答过程正确，他们也可以得到分数。
一题多变指的是同一道题目在不同的考试中，可能会有不同的表述或要求。
高考试题是经过精心设计和审核的，但有时会有一些小的差异。
某个考试要求学生解答一道文学理解题，其中涉及到一个小说中的情节。
在不同的考试中，可能会有对情节的描述有细微差别，但要求学生进行相同的分析和理解。
这种情况下，考生需要根据实际题目做出相应的答案。
一题多解和一题多变可能是由于试题设计者的失误或主观性造成的，也可能是故意设置的。
试题设计者有时会故意设置一题多解或一题多变的情况，以考察学生的思维能力和灵活性。
这样的题目可以激发学生的创造力和思考能力，使他们更好地理解问题，发现不同的解决方法。
一题多解和一题多变也反映了学科知识的广度和复杂性。
一个问题可能涉及到多个知识点或技能，学生需要综合运用这些知识点和技能来解答问题。
这样的问题在一定程度上能够衡量学生的综合能力和深度理解能力。
一题多解和一题多变也存在一定的问题。
一些考生可能会误解题意，给出错误的答案。
而一些考生可能只掌握了解题的一种方法，导致无法应对不同的题目要求。
对于学生来说，重要的是要在高中阶段充分掌握各学科的知识和技能，提高解题的能力和思维的灵活性。
要注重对题目的理解和分析，切忌盲目套用模板答案。
对于教育机构和教师来说，应该注重培养学生的综合能力和创新能力，设计更有针对性的试题，对一题多解和一题多变进行更加科学和合理的评分。
一题多解与一题多变在数学中的应用
一题多解与一题多变在数学中的应用摘要：数学这门学科在当代素质教育和学术教育统一的义务教育中占有重要地位，它是一门自由学科，但同时也是既复杂困难又富有逻辑的学科。
也许对大部分学生来说，数学这门学科是一道难题。
因此，数学学科的教育传授者在教学中如何传授这门学科的方法、方式，就显得尤为重要。
关键词：一题多解；一题多变；数学一、一题多解与一题多变在数学中的应用的重要性数学学习最重要的是逻辑性问题，并且经过对比分析，发散思维，一题多解与一题多变的方法的应用恰恰能达到这个目标和目的，他们能够不断提高学生们的逻辑思维能力，数学分析能力。
一题多解指的是面对一道数学题，因为有不同的角度进行思考，在脑海中搜寻不相同的解决方法，多种多样的思路，从而有多种多样的可用的解决方案，这样能够提高学生们的数学分析和解决能力。
在解决实际问题的过程中需要我们进一步掌握分析的方法，能用多种的方法思考问题，从中找到不同的解决策略。
下面我将用具体的习题，更好地解释一题多解。
一题多解案例分析例题：已知：f（某）=某3+a某2+（a-1）某+1，若在区间[1，4]单调递减，求a范围？方法一：解题思路问题转化为导函数f"（某）≤0在区间[1，4]恒成立，f"（某）≤0解集为A，只需[1，4]是集合A的子集解：f"（某）=某2+a某+（a-1）因为f（某）在区间[1，4]单调递减所以f"（某）≤0在区间[1，4]恒成立某2+a某+（a-1）≤0（某+1）[某+（a-1）]≤01.当a<2时，f"（某）≤0解集为[-1，1-a]所以[1，4]是[-1，1-a]的子集4≤1-a解得a≤–32.当a≥2时，f"（某）≤0解集为[1-a，-1]不满足[1，4]是[1-a，-1]的子集所以解集是空集综上所述：a≤-3方法二：解题思路问题转化为导函数f"（某）≤0在区间[1，4]恒成立，导函数y=f"（某）为开口向上的二次函数，只需f"（4）≤0，f"（1）≤0同时成立即可解：f"（某）=某2+a某+（a-1）因为f（某）在区间[1，4]单调递减所以f"（某）≤0在区间[1，4]恒成立由二次函数图像可知，只需即解得所以a≤–3一题多变例题例题：已知椭圆标准方程+=1，A（0，3），直线l：y=k某-3与椭圆相交于C，D两点，若|AC|=|AD|，求k的值？解题思路：直线与椭圆联立，消元，设C（某1，y1）D（某2，y2），韦达定理：因为|AC|=|AD|，取C，D中点M，则AM垂直CD，即KAMKCD=-1解：消y得：（9+25k2）某2-150k某=0，Δ>0设C（某1，y1）D（某2，y2），由韦达定理得：某1+某2=某1某2=0y1+y2=k（某1+某2）-6=k2-6=设M（某0，y0）为CD中点，则某0=（某1+某2）=，y0=（y1+y2）=因为|AC|=|AD|，所以AM垂直CD，即KAMKCD=-1k=-1整理得：=-，k2=，k=在一题多变的思维下，我们可以将|AC|=|AD|改成以下两种形式：1.以AC，AD为邻边做平行四边形为菱形2.（AC+AD）CD=0这两种已知虽然与原例题有很大区别，但通过转化最终都能转化为AM垂直CD，解题思路与过程非常相似，结果一样。
(完整版)一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用
(完整版)一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用 数学，是一门自然学科。
对于所有的高中生来说，要学好这门学科，却不是一件容易的事。
大多数高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、没有兴趣。
但由于高考“指挥棒”的作用，又不得不学。
“怎样才能学好数学”成了学子们问得最多的问题。
而怎样回答这个问题便成了教师们的难题。
很多人便单纯的认为要学好数学就是要多做题，见的题多了，做的题多了，自然就熟练了，成绩就提高了！于是，“题海战术”便受到很多教育工作者的青睐。
熟话说，“熟能生巧”，当然，多做体肯定对学生数学成绩的提高有一定的好处。
但长期这样，只会使数学越来越枯燥，让学生越来越厌烦，于是出现厌学、抄作业等现象。
众所周知，数学题是做不完的。
我认为要使学生学好数学，还是要从提高学生的数学思维能力和学习数学的兴趣上下工夫。
要利用书本上有限的例题和习题来提高学生的学习兴趣和能力。
在数学教学过程中，通过利用一切有用条件，进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的形式进行教学。
这对培养学生思维的广阔性、深刻性、探索性、灵活性、独创性无疑是一条有效的途径。
另外，能力提高的过程中，学生的成就感自然增强，并且在不断的变化和解决问题的不同途径中，兴趣油然而生。
对于传统的数学教学来说，教学过程的重点不外乎为：讲解定义推导公式，例题演练，练习，及习题的安排。
下面就一题多解与一题多变在教学中的运用谈谈我个人的几点看法。
一、在公式的推导中运用一题多解数学的公式在数学的解题中的作用是非常巨大的。
并且，要学好数学，就必须熟练的运用公式。
但很多学生对公式的记忆大多采取死记硬背的方法，对公式的推导往往不够重视。
其实，公式的推导过程就是一种解题的方法，或是一种解题技巧。
我们如果在公式的推导过程中运用一题多解的话，就会让学生在学习知识的产生过程中同时掌握解题的规律和方法，也便于公式的理解记忆。
一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用
一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用一题多解和一题多变是高中数学教学中常常运用的教学策略。
它们旨在培养学生的创新思维能力和解决问题的能力，并激发学生的兴趣，提高学习效果。
接下来，我将探讨这两种教学策略的具体运用和重要性。
一题多解是指在一个数学问题中，可以有多种方法或角度来解决问题。
这样的设计可以激发学生的创造力和解决问题的能力。
通过多样的解法，学生能够体验到数学的多样性，培养他们的思维灵活性和创新思维能力。
例如，对于一个简单的方程题，学生可以选择代入法、消元法或配方法等多种解法来解决，而不仅仅依赖于固定的解题顺序。
这样，学生在解题中会产生一种自主思考和探索的意识，从而提高他们的创造力和解决问题的能力。
一题多变是指通过改变题目中的条件或参数，从而使得问题具有不同的情境和挑战性。
这样的设计可以提高学生的应变能力和灵活思维。
通过处理不同版本的问题，学生能够培养他们的思维逻辑，培养他们从不同角度思考和解决问题的能力。
例如，在一个几何问题中，通过改变图形的形状、增加限制条件或改变性质，可以设计出多个相关的问题，从而激发学生不同层次的思考和解决问题的能力。
在高中数学教学中，一题多解和一题多变的运用是十分重要的。
首先，它们可以激发学生的自主学习兴趣和主动学习探索的能力。
通过多种不同的解法和问题情境，学生可以展开自主思考和探索，从而培养他们的学习兴趣和学习动力。
其次，它们能够提高学生的解决问题的能力和思维能力。
通过面对多样的解法和不同版本的问题，学生需要灵活运用知识和技巧，培养他们的应变能力和解决问题的能力。
同时，这种培养的能力也是他们今后在现实生活中解决问题的重要能力之一要充分运用一题多解和一题多变的教学策略，教师需要合理设置问题，鼓励和引导学生思考。
教师可以设计一些具有挑战性的问题，引导学生尝试不同的解法和思路。
此外，教师还可以通过提供不同版本的问题，或者给定一些开放式的问题，鼓励学生从不同的角度思考和解决问题。
谈高中数学“一题多解”的学习心得
谈高中数学“一题多解”的学习心得1. 引言1.1 了解一题多解的背景意义在学习高中数学的过程中，我们常常会遇到一题有多个解法的情况，即所谓的“一题多解”。
了解一题多解的背景意义对于我们的数学学习至关重要。
一题多解能够帮助我们更加深入地理解数学知识，突破传统的解题方式，拓展我们的思维眼界。
通过探讨不同的解题方法，我们可以培养自己的创新意识，激发我们对数学的兴趣和热情。
多解题也能够帮助我们从不同的角度去思考问题，培养我们的多角度思考能力，提高我们的逻辑思维能力和分析问题的能力。
通过研究一题多解，我们还可以拓展数学的应用能力，将抽象的数学知识与实际问题相结合，提升我们解决实际问题的能力。
丰富的解题方法也可以帮助我们在考试中更灵活地运用知识，提高我们的解题效率和准确率。
了解一题多解的背景意义对于我们的数学学习有着重要的意义，可以帮助我们更好地掌握数学知识，提高我们的数学学习成绩。
1.2 高中数学中一题多解的普遍现象高中数学中一题多解的普遍现象是指在解决数学问题时，同一个问题可能有多种不同的解法。
这种现象在高中数学中非常普遍，各种类型的数学题目都存在一题多解的情况。
这不仅体现了数学的丰富性和多样性，也对学生的数学能力提出了更高的要求。
在高中数学课程中，很多问题可以通过不同的方法和角度来解决，而且这些解法可能是同等有效的。
这种一题多解的现象反映了数学问题的复杂性和多样性，同时也在一定程度上激发了学生对数学的兴趣和探索欲望。
通过研究高中数学中一题多解的现象，不仅可以加深对数学问题本质的理解，还可以培养学生的数学思维能力和创新意识。
多种解法的比较和分析也有助于学生形成更全面、更灵活的解题思路，提高他们的数学解决问题的能力和水平。
了解和掌握高中数学中一题多解的普遍现象对学生的数学学习和发展具有重要意义。
2. 正文2.1 提高数学思维能力提高数学思维能力是高中数学中一题多解的重要意义之一。
通过探索不同的解题方法和思路，学生可以逐渐培养出灵活的数学思维，从而更好地理解和应用数学知识。
[资料]例谈高中数学一题多解和一题多变的意义
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[资料]例谈高中数学一题多解和一题多变的意义例谈高中数学一题多解和一题多变的意义杨水长摘要:高中数学教学中,用一题多解和一题多变的形式,可以使所学的知识得到活化～融会贯通～而且可以开阔思路～培养学生的发散思维和创新思维能力～从而达到提高学生的学习兴趣～学好数学的效果。
关键词:一题多变一题多解创新思维数学效果很大部分的高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、不4好学、没兴趣.但由于高考“指挥棒”的作用，又只能硬5cosα= 着头皮学.如何才能学好数学,俗话说“熟能生巧”，很多人认为要学好数学就是要多做.固然，多做题目可以32使学生提高成绩，但长期如此，恐怕也会使学生觉得1,,cos5sinα== 数学越来越枯燥。
而在第三象限时: 我觉得要使学生学好数学，首先要提高学生的学4习兴趣和数学思维能力。
根据高考数学“源于课本，高于课本”的命题原则，教师在教学或复习过程中可5cosa=- 以利用书本上的例题和习题，进行对比、联想，采取3一题多解与一题多变的形式进行教学.这是提高学生数学学习兴趣和思维能力的有效途径。
下面举例说5sina=- 明: 分析:利用比例的性质和同角三角函数关系式，3解此题更妙:,3sin4例题: 已知tanα= ,求sinα,cosα的值 4cos,分析:因为题中有sinα、cosα、tanα，考虑他们法三tanα= = 之间的关系，最容易想到的是用同角三角函数关系式sin,,cos和方程解此题:43,3sin?=sin,,cos4cos,法一根据同角三角函数关系式tanα= = ，43且sina2α +cos2α =1。
?= = ?16422,,，sincos525两式联立，得出:cos2α=,cosα= 或者22，4333434555cosα= - ;而sinα=或者sinα=- 。
55分析:上面解方程组较难且繁琐，充分利用用同?sinα=，cosα= 角三角函数关系式“1”的代换，不解方程组，直接34求解就简洁些:55或sinα=-，cosα=-3 分析: 上面从代数法角度解此题，如果单独考4法二tanα=:α在第一、三象限虑sinα、cosα、tanα，可用定义来解此题。
一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用
一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用科学技术的日新月异，新课程标准的颁布，推进素质教育的进程。
培养自己分析问题、解决问题的能力日益重要，而能力的提高必须有好的方式方法，笔者认为“一题多解与一题多变”有助于培养自己的解题能力。
一题多解是从不同的角度、不同的方位去审视分析问题，是一种发散思维，而一题多变则是创造性思维的体现，通过题设的变化、结论的变化、引申新问题加深对知识的理解，使之记忆更深刻，思维更敏捷。
一、关于高中学生学习数学的认识就所有的高中生来说，学好数学学科不是一件容易的事。
绝大多数同学对数学的感觉就是枯燥、乏味。
因为高考“指挥棒”的震慑力，虽然不感兴趣，也不得不学。
“如何才能学好数学”已经成为高中生最头疼的问题。
怎样回答这一问题便成了教师们的课题，很多人便单纯地以为要学好数学多做题就是了，见的题多了，做的题多了，自然就熟练了，成绩就提高了。
铁杵磨成针，于是乎“题海战术”情不自禁走了出来，受到很多高中生的青睐。
熟话说：“熟能生巧”。
诚然，多做习题对高中生数学成绩的提高有着重要的影响，然而，长此以往，学习数学越来越枯燥无味，越来越厌烦，出现厌学、抄作业等现象也不足为奇了。
众所周知，数学题是做不完的，可以说无穷无尽。
笔者认为要学好数学，必须提高自身的数学思维、能力和学习数学的兴趣。
高考数学题“源于书本，又高于书本”，这是多年来高考试卷命题的原则，紧紧依靠书本上有限的例题和习题来提高自身的学习兴趣和能力。
在数学学习过程中，有效利用一切有用条件，进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的形式进行解答，有助于培养自身思维的广阔性、深刻性、探索性、灵活性、独创性，这也是一条行之有效地途径。
同时，能力提高的过程，自身的成就感逐渐增强，在以后不断的变化和解决问题的不同经历中，学习兴趣油然而生。
以往的数学学习，学习过程不外乎为学习定义推导公式、例题演练、练习及习题的安排。
一题多解与一题多变
一题多解与一题多变一题多解：开拓学生解题思路，沉淀学生的严谨思维；一题多变：引导学生知识联系，培养学生的发散思维。
在高中数学教学中，对例题的讲解，要做到一题多解和一题多变。
也就是先要做到从不同的角度进行分析，用不同的方法来解决问题，这样能够开拓学生的解题思路，培养学生分析问题和解决问题的能力。
还要进行拓展廷伸，使学生掌握知识间的联系，培养学生的发散思维。
问题一：设AB 是抛物线px y 22=的弦，O 为原点，若OA ⊥OB ，则直线AB 恒过定点。
证明之。
分析：1、若过定点，则定点应在何处？——根据对称性，应可猜想到定点应在x 轴上。
2、怎样利用已知条件？ 主要是OA ⊥OB 的作用：①1-=⋅OB OAk k②设()()2211,,y x 、B y x A，则02121=+y y x x3、可从那些方面入手？ ①从设点的坐标入手由点A 、B 在抛物线上，可设点A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛a p a ,22、B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛b p b ,22， ②从设直线AB 的方程入手1）设直线AB 的方程为x=my+b 2）设直线AB 的方程为ax+by=1 ③从OA ⊥OB 入手 设OA 的斜率为k ，则OB 的斜率为k1- 方法一：设A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛a p a ,22、B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛b p b ,22，则OA 、OB 的 斜率分别为a p 2、bp 2，由OA ⊥OB 得：24p ab -=，又AB 的斜率为∶ba pk +=2，∴AB 方程为∶ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-p a x b a p a y 222，即()p x b a py 22-+=， 显然AB 过定点（2p ，0）。
ABO方法二∶设直线AB 的方程为x=my+b ，（注意这样设直线方程有两大优点：①不必考虑斜率不存在，②代入消x 简便），代入抛物线的方程消x 得：0222=--pb mpy y又设A ()11,y x 、B ()22,y x ，则pb y y 221-=，又,2121px y =,2222px y = ∴()()222222121424b ppb py y x x =-==，由OA ⊥OB 得02121=+y y x x ，∴022=-pb b，∵b ≠0，∴b=2p ，即AB 的方程为x=my+2p ，显然AB 过定点（2p ，0）。
浅析“一题多变”与“一题多解”在高中数学教学中的运用
浅析“一题多变”与“一题多解”在高中数学教学中的运用【摘要】在高中数学教学中,“一题多变”与“一题多解”是提高高中数学教学实效性的重要方多变”与“一题多解”的关系,论述"一题多变"与"一题多解"在高中数学教式，更是培养学生核心思维能力的有效途径。
本文将浅析高中数学教学中的“一题学中的重要意义,并探索“一题多变”与“一题多解”在高中数学教学中的实践策略.【关键词】“一题多变”与“一题多解”一、一题多变一题多变在数学教育研究中具有突出地位,变式题的宗旨在于通过"变中发现不变"来学习抽象化和"以不变应万变"来学习公理化。
使得方法理解得以深化和广化。
一题多变可以很好地培养学生的思维与解题能力，起到巩固、深化、拓宽、综合应用的作用。
但在数学习题教学中，一题多变也得循序渐进，步子要适宜，变得自然流畅，使学生的思维得到充分发散，而又不感到突然。
总之，在数学习题教学中，选用一些非加探索不能发现其内在联系的习题。
采用一题多变的形式进行教学，有助于启发学生分析思考，逐步把学生引入佳境，从而使学生开拓知识视野，增强获取知识的能力，发展创新思维，同时还可以帮助学生对知识系统性、特殊性、广泛性的深刻理解。
解决问题的过程实际上就是寻求认识问题的正确途径，找到解决问题的要害，这是培养学生提高学习能力的根本所在，下面我我们用一个例题来看一题多变力争达到抛砖引玉的效果。
【思路引导】（1）利用待定系数法得到新的数列递推关系：，然后利用等比数列相关性质求解.（2）利用待定系数法得到新的数列递推关系：，然后利用等比数列相关性质求解（3）利用待定系数法得到新的数列递推关系：，然后利用等比数列相关性质求解（4）等式两边分别除以得到新的数列的递推关系：，然后利用（1）的方法求解.1.等式两边同时取常用对数得到新的数列递推关系：，然后利用等比数列求解.2.等式两边取倒数得到新的数列递推关系：，然后利用（1）的方法求解.当然这个题还可以根据学生的实际情况进行更多的变式，本文不在赘述。
一题多解和一题多变是让学生跳出题海不可多得的法宝
一题多解和一题多变是让学生跳出题海不可多得的法宝
高中数学内容多，而数学题是永远做不完的，那么有没有一种行之有效的，高效的复习方法吗？尝试一下一题多解和一题多变吧。
可能会有人认为，如果追求一题多解和一题多变，会加重学生学习负担。
其实不然，因为一题多解是采用多种方法解决同一道问题，在解决问题的同时又能复习巩固多项数学基础知识，加深理解记忆多条数学规律，熟练多项解题技能，而且通过一个阶段的自我训练，掌握了一题多解的思路，又找到各种不同类型的题目的简便解法，那时候就不需要做那么多题目，实际上就是跳出了题海，必然减轻了课业负担。
除此之外，一题多解还有很多的好处。
例如，在化学网考试中，如果碰到了某道题，用一种方法没有解决，我们不会失去信心，还可以用另外的方法来试试；当用一种方法解决完问题后，可以用另一种方法来进行验算，有效地避免了错误的产生。
另外，高中数学教学的最高目标是通过少而精的习题教学,既使学生巩固所学知识,又使学生思维能力、逻辑推理能力、分析问题能力等多方面得到训练、培养与提高。
一题多变是实现这一目标，跳出题海的法宝。
一题多变是在一道题的基础上通过改变部分条件或数字从而行成一个新的数学问题，
通过一题多变可以使学生很好的掌握与本题相关或相似的一系列数学问题，能很好的以一道题为载体解决多个或多类数学问题，并且有利于学生发现各种类似问题的联系和差异，从而掌握和消化多个数学问题。
通过一题多变的练习不仅能使学生很好的掌握数学知识及其内在联系，而且可以让学生通过有限的训练达到掌握多个数学问题的目的。
因此，一题多解和一题多变是让学生跳出题海不可多得的法宝。
例谈高中数学一题多解和一题多变的意义
例谈高中数学一题多解和一题多变的意义很大部分的高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、不好学、没兴趣.但由于高考“指挥棒”的作用，又只能硬着头皮学.如何才能学好数学？俗话说“熟能生巧”，很多人认为要学好数学就是要多做.固然，多做题目可以使学生提高成绩，但长期如此，恐怕也会使学生觉得数学越来越枯燥。
我觉得要使学生学好数学，首先要提高学生的学习兴趣和数学思维能力。
根据高考数学“源于课本，高于课本”的命题原则，教师在教学或复习过程中可以利用书本上的例题和习题，进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的形式进行教学.这是提高学生数学学习兴趣和思维能力的有效途径。
下面举例说明：例题：已知tanα=43,求sinα,cosα的值分析：因为题中有sinα、cosα、tanα，考虑他们之间的关系，最容易想到的是用同角三角函数关系式和方程解此题：法一根据同角三角函数关系式tanα= 43=ααcossin，且sina2α + cos2α =1。
两式联立，得出：cos2α=2516,cosα= 54或者cosα= -54；而sinα=53或者sinα=-53。
分析：上面解方程组较难且繁琐，充分利用用同角三角函数关系式“1”的代换，不解方程组，直接求解就简洁些：法二tanα=43：α在第一、三象限在第一象限时：cos2α =ααcossincos2225+=αtan211+=2516cosα=54sinα=αcos21-=53而在第三象限时：cosa=- 5 4sina=- 5 3分析：利用比例的性质和同角三角函数关系式，解此题更妙：法三t anα= 43=ααcossin↔4cosα=3sinα↔4cos α= 3sin α= ±34cos sin 2222++αα∴sinα=53，cosα= 54或sinα=-53，cosα=-54分析： 上面从代数法角度解此题，如果单独考虑sinα、cosα、tanα，可用定义来解此题。
基于两道高考试题的“一题多解”与“一题多变”
基于两道高考试题的“一题多解”与“一题多变”近年来，高考考题的设置越来越注重培养学生的创新思维和解决问题的能力。
高考试题中的“一题多解”和“一题多变”成为了备受关注的话题。
“一题多解”指的是一道题目有不同的解题思路和方法。
以数学题为例，考生可以通过代数、几何、概率等不同的数学方法来解答同一道题目。
这种题目设置，能够激发学生运用多种思维方式去解决问题，培养学生灵活运用知识的能力。
也能够让学生意识到问题的多元性和解决问题的灵活性，促使他们形成多角度思考问题的习惯。
以2019年高考数学试题为例，有一道题目要求考生计算某个复杂函数的导数。
这道题目存在多种解法，包括使用复合函数法、求导法则、泰勒级数等不同的方法。
这样的题目设置，鼓励学生运用多种数学方法去解题，培养他们的数学思维能力和解决问题的创新能力。
而“一题多变”则是指同一道题目在不同年份的高考试题中，可能会出现不同的考察要点和内容。
这种题目设置，能够考察学生对知识的掌握和灵活运用的能力，同时也能够鼓励学生广泛学习和积累知识，提高学习的深度和广度。
以语文试题为例，同一道文言文阅读题可能会在不同年份的高考试题中出现，但题目的难度、考察的重点和考点可能会有所变化。
这样的题目设置，要求学生对文言文的理解和运用能力有较高的要求，同时也促使学生全面了解文言文的知识和技巧。
通过“一题多解”和“一题多变”的设置，高考试题不再是一成不变的，而是多种思路和内容的集合。
这不仅考验了学生的学科能力，更体现了高考的公平性和科学性。
每个学生都有机会根据自己的知识掌握和思维方式来解答问题，从而展示个人的能力和潜力。
对于学生来说，面对“一题多解”和“一题多变”的考题，也存在一定的挑战和难度。
学生需要对知识有较深入的理解和掌握，才能够灵活运用不同的解题方法。
学生需要具备广泛的知识储备和丰富的经验积累，才能够应对不同年份的考察要点和内容变化。
这要求学生在学习过程中要注重知识的掌握和积累，提高自身的学科素养和应试能力。
浅谈一题多解与一题多变在高中数学学习中的运用
数学方法 ， 体 现 了一 些 数 学 思 想 ， 也提 供 了一 个 推 向 一 般 性 的
结论 ． 在数学教学 中 ， 若 将经 典 例题充 分挖 掘 ， 注 重 对 例 题 进 行变式教 学 ， 不 但 可 以抓 好 基 础 知 识 点 ， 还 可 以激 发 学 生 的探
求欲望 ， 提高创 新 能力 ； 不 仅 能 让 教 师 对 例 题 的 研 究 更 加 深 入， 对 教 学 目标 和 要 求 的 把 握 更 加 准 确 ， 同 时 也 让 学 生 的 数 学 思 维 能力 得 到 进 一 步 提 高 ， 并逐渐 体会到数 学学 习的乐趣． 当
的题 目， 甚 至得 到更 一般 的 结论 ， 积 极 开 展 多 种 变 式 题 的 求
现， 通 过 题 设 的 变化 、 结论 的 变化 、 引 申 新 问 题 让 学 生 对 知 识
的理解 更深刻．
解， 哪 怕是 不 能 解 决 ， 有 助 于 学 生 应 变 能 力 的养 成 ， 培 养 学 生
丫 巴
在数学教学 中， 很 多 老 师 在 课 后 给 学 生 布 置 除 书 上 练 习 题 和 习题 以 外 的 大 量 习题 ． 使 学生感 到负担很 重． 很 多 学 生 根
掌
研
进行教学． 这对培养学生思维 的广 阔性 、 深刻性 、 探 索性 、 灵 活
浅谈一题多解与一题多变在高中数学教学中的作用
浅谈一题多解与一题多变在高中数学教学中的作用海南华侨中学三亚学校数学组 周瑞华【摘要】学高中数学，离不开解题训练，但我们在解题中不能为解题而去“孤立”的解题，要善于拓展思路，用联系的眼光看待数学问题。
要学会在解题中去寻求一题多解与一题多变，通过利用一切有用条件，进行对比、联想，这对培养学生思维的广阔性、深刻性、探索性、灵活性、独创性无疑是一条有效的途径【关键词】 创新思想 思维变通 发散思维对于传统的数学教学来说，教学过程的重点不外乎为：讲解定义推导公式，例题演练，练习，及习题的安排。
下面就一题多解与一题多变在教学中的作用谈谈我个人的几点心得体会。
（一）一题多解，拓宽思路，培养思维的发散性为了培养学生的创新意识和富有创造的思维变通能力，教学中适当精选一些一题多解的典型题目，尽可能的引导学生进行多向思维，把所学的各方面知识有机的联系起来，既能有效巩固基础知识，又能提高学生的思维能力和创新能力。
一题多解的题目要具有代表性,能包容大部分所学知识点,不能过于复杂（难）,但也不能流于简单。
过难挫伤学生研究学习的积极性,过于简单学生没有兴趣,这一步对激发学生的学习研究兴趣很重要。
下面仅举一例进行一题多解和一题多变来说明：例：已知x 、y ≥0且x+y=1，求x 2+y 2的取值范围。
解答此题的方法比较多，下面给出几种常见的思想方法，以作示例。
解法一：（函数思想）由x+y=1得y=1-x ，则x 2+y 2= x 2+（1-x ）2=2x 2－2x+1=2（x －12 ）2+12由于x ∈[0，1]，根据二次函数的图象与性质知当x=12 时，x 2+y 2取最小值12；当x=0或1时，x 2+y 2取最大值1。
评注：函数思想是中学阶段基本的数学思想之一，揭示了一种变量之间的联系，往往用函数观点来探求变量的最值。
对于二元或多元函数的最值问题，往往是通过变量替换转化为一元函数来解决，这是一种基本的数学思想方法。
浅析一题多解与一题多变在高中数学教学中的应用
２０２４年２月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀浅析一题多解与一题多变在高中数学教学中的应用◉江苏东海高级中学㊀冯月华㊀㊀在高中数学教学中,一题多解与一题多变教学是常用的方法,以期通过多角度分析达到夯实基础,培养学生创新能力和探究能力,提高学生发现㊁提出㊁分析和解决问题能力的目的[１]．下面笔者以两道典型的三角函数题为例,谈谈对一题多解与一题多变教学的一些粗浅认识,供参考!１一题多解,培养思维的发散性例１㊀已知t a n(α２＋π４)＝－３,求１＋s i nα的值．本题主要考查二倍角公式㊁和角的正切公式㊁ １ 的灵活转化等知识点,解题方法不唯一．根据预设可以看出,学生对 １ 的转化比较熟悉,例如１＋s i n x＝s i n x２＋c o s x２,１－s i n x＝s i n x２－c o s x２．教师先让学生独立解题,然后与学生共同交流．师:谁来说一说,你是如何求解例１的?生１:因为t a n(α２＋π４)＝－３,根据两角和的正切公式,易求出t a nα２＝２,所以α２的终边在第一或第三象限．由同角三角函数的基本关系式,进一步可求出s i nα２＝２５５,c o sα２＝５５,或s i nα２＝－２５５,c o sα２＝－５５,则都有１＋s i nα＝s i nα２＋c o sα２＝３５５,所以１＋s i nα＝３５５．师:很好!生１从已学习过的知识出发,利用１＋s i nα＝s i nα２＋c o sα２解决了问题．我们知道三角函数形式是灵活多变的,还有没有其他的方法呢?生２:我在此基础上做了改进．由t a n(α２＋π４)＝－３,可以得到s i n(α２＋π４)＝ʃ３１０１０,所以可得s i nα２＋c o sα２＝２s i n(α２＋π４)＝３５５,即１＋s i nα＝３５５．师:很好!生２从问题出发,灵活运用有关三角恒等变换公式,将已知和问题建立了联系,真正体现了知识的活学活用．学生给出预设的两种解法后,教师准备开始其他问题的探究,但生３又提出了新思路．生３:可从已知条件出发,因为t a n(α２＋π４)＝－３,利用二倍角公式得t a n(α＋π２)＝３４,所以t a nα＝－４３,则s i nα＝ʃ４５,解得１＋s i nα＝３５５或５５．我感觉自己的思路和过程没有问题,但是却和前面两位同学的结果不一致．生３给出的方法超出了教师的预设,教师一时不知如何回答．不过该方法是学生的真实想法,且具有一定的科学性和探究性,为此选择与学生共同探索,挖掘答案不一致的真正原因．师:生３的答案和之前两位同学的答案不一致,是前面两位同学的结果不够完善,还是生３的结果存在增根呢?这个确实是一个非常有价值的问题．问题到底出现在哪里呢?生４:我感觉生３的解题思路和计算过程没有问题,已知条件仅给出了t a n(α２＋π４)＝－３,没有给出α的范围,所以很难确定α的终边在哪一个象限．师:条件中确实没有给出α的范围,那么α的范围真的没有办法确定吗生５:可以将t a n(α２＋π４)与特殊角的三角函数比较,逐步缩小角的范围．由t a n(α２＋π４)＝－３＜－３,得kπ－π２＜α２＋π４＜kπ－π３,所以２kπ－３π２＜α＜２kπ－７π６(kɪZ),由此可知,α在第二象限．师:分析得非常有道理!那么是什么原因使生３解题时出现了增根呢９５学习指导２０２４年２月上半月㊀㊀㊀生６:问题应该出现在 由t a n(α２＋π４)＝－３,利用二倍角公式得t a n (α＋π２)＝３４这一步的变换上,变换时扩大了α的范围,从而出现了增根．对于同一题,思考的角度不同,其解决方法也会有所不同,不过最终的结果是一致的．在日常教学中,教师应鼓励学生尝试从不同角度探索解决问题的方法,这样可以有效激活学生的原认知,提高分析和解决问题的能力．２一题多变,培养思维的灵活性例２㊀已知α是三角形的内角,且s i n α＋c o s α＝１５,求t a n α的值．例２考查同角三角函数基本关系式及其应用,难度不大,教师先让学生独立求解,然后师生互动交流．师:对于例２,大家是怎么想的?生１:我是用方程的思想方法求解的,由s i n α＋c o s α＝１５和s i n ２α＋c o s ２α＝１,解得s i n α＝－３５,c o s α＝４５,或s i n α＝４５,c o s α＝－３５．又α是三角形的内角,所以s i n α＝４５,c o s α＝－３５．所以t a n α＝－４３．师:非常好!根据同角三角函数的基本关系式,运用方程的思想方法顺利解决了问题．对于该题,大家还有其他解题思路吗生２:由(s i n α＋c o s α)２＝１＋２s i n αc o s α＝１２５,得２s i n αc o s α＝－２４２５＜０．又α是三角形的内角,所以α为钝角,则s i n α＞０,c o s α＜０．又(s i n α－c o s α)２＝４９２５,所以s i n α－c o s α＝７５,将其与s i n α＋c o s α＝１５联立,求得s i n α＝４５,c o s α＝－３５,所以t a n α＝－４３．师:很好!根据角的范围判断三角函数的符号往往是解三角函数问题的关键,解题时切勿忘记．学生顺利完成例２的解答后,教师给出如下变式问题:变式㊀若t a n θ＝２,求s i n ２θ＋s i n θc o s θ－２c o s ２θ．此变式同样考查 s i n ２θ＋c o s ２θ＝１的灵活运用,将原式变为s i n ２θ＋s i n θc o s θ－２c o s ２θs i n ２θ＋c o s ２θ,将此式的分子分母同时除以c o s ２θ,转化为关于t a n θ的式子,进而将已知条件代入即可求得答案．例２及变式求解后,教师引导学生对以上解题方法进行归纳总结,从而提高学生解决一类问题的能力．在此基础上,教师继续提出新问题:(１)变式的条件还可以做怎样的变形?如果将t a n θ＝２变为t a nθ２＝２或３s i n θ＋c o s θ＝０或s i n (３π＋θ)＝２s i n (３π２＋θ),该如何求解?(２)变式的问题还可以做哪些变形?如果是２s i n θ－c o s θs i n θ＋２c o s θ,１c o s ２θ＋２s i n ２θ,s i n ２θ－c o s ２θ１＋c o s ２θ,又该如何求解?通过以上变式,引导学生体会该类题型考查的核心内容是s i n ２θ＋c o s ２θ＝１,t a n θ＝s i n θc o s θ与 １的灵活应用,题目虽然形式不同,但是所用的知识㊁思路与方法基本相同．这样通过一题多变既能加深对相关知识㊁方法的理解,又能增强学生解题信心,提高学生解决问题的能力．数学题目千变万化,更换一个条件或结论就会成为一道新题．为了帮助学生跳出 题海 ,教学中应注重对一些典型例题进行变式教学,这样既能加深相关知识的理解,又能激发学生的探究欲望,提高学生的思维能力和学习能力,从而让学生逐渐爱上数学学习[２]．３结束语在实际教学中,教师要通过一题多解与一题多变为学生提供更多的自主探究空间,以此帮助学生加深对所学知识的理解,培养良好的学习习惯和独立的个性．学生是课堂的主体．教学过程中,教师要尊重学生㊁相信学生,提供时间和空间让学生主动参与课堂,切实提高教学有效性和学生数学能力．在实际教学中,教师既要进行充分的预设,又要及时捕捉精彩的课堂生成,以平等对话的态度了解学生的真实想法,共同研究解决问题的策略,激发学生参与课堂的积极性,促成深度学习．总之,在解题教学中,教师切勿越俎代庖,应该充分发挥学生的主体价值,通过一题多解㊁一题多变教学提炼解题规律和解题方法,培养学生的创新㊁探究能力,提升教学有效性．参考文献:[１]郭靖．基于核心素养的引导探究教学模式的探索与实践 高中新教材不等式性质的教学案例[J ]．中文科技期刊数据库(全文版)教育科学,２０２１(６):１６８Ｇ１７０．[２]陈光建,郑日锋．一花一世界一题一天地 一节高考二轮复习的教学设计及反思[J ]．中小学数学(高中版)２０１３(４):２０Ｇ２２．Z０６。
一题多解和一题多变在高中数学教学中的应用
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１５４数学学习与研究㊀２０２１ １４一题多解和一题多变在高中数学教学中的应用一题多解和一题多变在高中数学教学中的应用Һ刘㊀月㊀刘㊀君㊀（北华大学数学与统计学院，吉林㊀吉林㊀１３２０１３）㊀㊀ʌ摘要ɔ数学作为一门工具学科，广泛地应用于我们的生活中．高中数学更是数学教学阶段的重点和难点．在实际教学中，尤其注重学生逻辑思维灵活性㊁发散性的培养．因此，教师通过什么样的教学方法才能使学生更好地学习数学，这是一个值得深思的问题．在实际教学中发现，通过对学生进行长期的一题多解与一题多变训练会有效地培养学生思维的灵活性与多向性，所以，教师应把一题多解和一题多变的教学方法应用到课堂中．ʌ关键词ɔ高中数学；一题多解；一题多变一题多解就是学生寻找多种方法做单个的数学题，不但使学生的思维得到了拓展，而且提高了学生对数学公式㊁定义㊁定理应用的灵活性．一题多变就是通过改变题干中的已知条件，让学生从多角度认识问题，通过对比㊁类比㊁联想来解决问题，促进学生学习数学知识的连贯性．而对于一题多变，学生内心都比较恐惧，容易被题目表面所迷惑，找不到正确的做题方法．其实无论哪种方法，学习数学的关键都是把数学题目变成自己所能看得明白的语言，从而找到做题的切入点，最终你会发现所用到的知识点与公式都是一样的．下面，笔者就根据自己在课堂上的实际教学经验来谈谈在高中数学教学中应用一题多解和一题多变的教学方法的重要性．一㊁在教学中应用一题多解和一题多变１．推导数学公式无论是在初中还是在高中，数学学习的基础与关键都是熟记公式．就像建筑工人需要用工具建一栋大楼一样，学习数学就像建楼，数学公式就是工具，没有了工具是无法完成这项工作的．当然，熟记公式也是有方法的，不能死记硬背公式，因为高中数学公式非常的复杂且多，如果不能理解与认识数学公式，很容易把大量的公式背混或者考试时突然忘记．而不会应用数学公式去做题是高中数学学习中出现最大的问题，这个时候推导公式就起到了作用，掌握了数学公式的推导，进而知道了公式的由来，所以加深了对公式的理解．而在推导数学公式的过程中用到一题多解，学生既能从中掌握做题的技巧，也能加深对公式的记忆．２．例题讲解在课堂教学中，教材上的例题和课后的习题讲解是重中之重．我们都知道，例题和习题的选取都具有典型的代表性，在做题中会发现许多题都和例题有一定的联系，并且解题方法的核心是不变的．所以，在例题和习题的讲解演练过程中，教师应让学生掌握一题多解和一题多变的方法，使学生从几个典型的例题中找到做一类题的解题技巧与规律，避免题海战术，使学生产生厌烦的心理．二㊁应用一题多解与一题多变的实际例子１．一题多解推导公式数列是高中数学学习的重点也是难点之一，在高考中占有很大的比重，这一块知识的公式也非常多．比如，等差数列㊁等比数列的通项公式，前ｎ项和公式以及有关性质的公式．其实，有很多的公式都可以用多种方法推导出来，这里我仅以等差数列的通项公式ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ为例，用两种不同的方法推导一下．推导方法１ａ２＝ａ１＋ｄ，ａ３＝ａ２＋ｄ＝ａ１＋２ｄ，ａ４＝ａ３＋ｄ＝ａ１＋３ｄ，ａ５＝ａ４＋ｄ＝ａ１＋４ｄ，依此类推，我们归纳得出ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ．推导方法２根据等差数列的定义可以得到：ａ２－ａ１＝ｄ，ａ３－ａ２＝ｄ，ａ４－ａ３＝ｄ，ａｎ－３－ａｎ－４＝ｄ，ａｎ－２－ａｎ－３＝ｄ，ａｎ－１－ａｎ－２＝ｄ，ａｎ－ａｎ－１＝ｄ．相加得ａｎ－ａ１＝（ｎ－１）ｄ，化简得ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ．对学生而言，推导方法１更简单点，也很容易理解．但推导方法２意义更加重大，不但加深了学生对通项公式的记忆与理解，而且得出了求数列通项公式的一种方法 累加法，这种方法也是我们要重点学习的，在以后的学习中经常会遇到应用累加法求通项公式的问题，学生通过此次推导一定会学以致用．２．一题多解例题分析例１㊀在әＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ所对应的边分别为ａ，ｂ，ｃ，已知２ｂ－２ａ＝２ｃ㊃ｃｏｓＡ．（１）求角Ｃ．（２）若ｃ＝２，求әＡＢＣ面积的最大值．第（１）小题解法１㊀由余弦定理可得２ｂ－２ａ＝２ｃ㊃ｂ２＋ｃ２－ａ２２ｂｃ，整理得２ａｂ＝ｂ２＋ａ２－ｃ２，ʑｃｏｓＣ＝ａ２＋ｂ２－ｃ２２ａｂ＝２ａｂ２ａｂ＝２２，ʑＣ＝π４．解法２㊀由正弦定理可得２ｓｉｎＢ－２ｓｉｎＡ＝２ｓｉｎＣｃｏｓＡ，在әＡＢＣ中，２ｓｉｎ（Ａ＋Ｃ）－２ｓｉｎＡ＝２ｓｉｎＣｃｏｓＡ，整理得ｓｉｎＡ（２ｃｏｓＣ－２）＝０．ȵｓｉｎＡʂ０，ʑｃｏｓＣ＝２２，ʑＣ＝π４．第（２）小题解法１㊀由正弦定理得ａｓｉｎＡ＝ｂｓｉｎＢ＝ｃｓｉｎＣ＝２２，. All Rights Reserved.㊀㊀㊀解题技巧与方法１５５㊀数学学习与研究㊀２０２１ １４ʑｂ＝２２ｓｉｎＢ，ａ＝２２ｓｉｎＡ，ʑＳәＡＢＣ＝１２ａｂｓｉｎＣ＝２２ｓｉｎＢｓｉｎＡ＝２２ｓｉｎ３π４－Ａ()㊃ｓｉｎＡ＝２ｓｉｎ２Ａ－π４()＋１．ȵＡɪ０，３π４()，ʑ２Ａ－π４ɪ－π４，５π４()，ʑ当ｓｉｎ２Ａ－π４()＝１，即Ａ＝３π８时，ＳәＡＢＣｍａｘ＝１＋２．解法２㊀由余弦定理，得２２＝ａ２＋ｂ２－４２ａｂ，整理得ａ２＋ｂ２＝２ａｂ＋４，由重要不等式ａ２＋ｂ２ȡ２ａｂ，得ａｂɤ４＋２２，ʑＳәＡＢＣ＝２４ａｂɤ１＋２，当且仅当ａ＝ｂ时，等号成立．ʑＳәＡＢＣｍａｘ＝１＋２．例１这道题考查的知识点是正弦定理和余弦定理，每一小问都能用两种不同的方法作答．在第（１）问中，教师可以先给学生讲解用余弦定理把角化成边的方法，接下来通过提问谁还能想到其他方法来解决这个问题，让同学们分组讨论．在这个过程中，教师可以适当地引导学生利用正弦定理把边化角的方法做这道题，最后一定要鼓励学生积极发言，让学生参与这个头脑风暴中．在第（２）问中，教师可以先提问学生要想解决这个问题应该用三角形的哪个面积公式，这样就很好地复习了面积公式，然后根据这个三角形的面积公式思考用什么方法求最值问题．第一种方法就是边化角，转化成求三角函数的有界性，第二种方法就是利用重要不等式求最值．最后，让学生比较哪种方法更简单，说说自己更擅长用哪种方法，这样就会知道自己哪些知识点掌握得不好，哪些方面需要加强．３．一题多变例题分析例２㊀已知ｃｏｓα＝４５，且α是第四象限角，求ｔａｎα．解㊀ȵｓｉｎα＝－１－ｃｏｓ２α＝－３５，ʑｔａｎα＝ｓｉｎαｃｏｓα＝－３４．变１㊀已知ｃｏｓα＝４５，求ｔａｎα．解㊀当α为第一象限角时，ｓｉｎα＝１－ｃｏｓ２α＝３５，ｔａｎα＝ｓｉｎαｃｏｓα＝３４．当α为第四象限角时，ｓｉｎα＝－１－ｃｏｓ２α＝－３５，ｔａｎα＝－３４．变２㊀已知ｃｏｓα＝ｔ（ｔ＞０），求ｔａｎα．解㊀当ｔɪ（０，１）时，α为第一象限角或第四象限角．当α是第一象限角时，则ｓｉｎα＝１－ｔ２，ｔａｎα＝１－ｔ２ｔ．当α是第四象限角时，则ｓｉｎα＝－１－ｔ２，ｔａｎα＝－１－ｔ２ｔ．变３㊀已知ｃｏｓα＝ｔ（｜ｔ｜ɤ１），求ｔａｎα．解㊀当ｔ＝０时，ｔａｎα不存在．当ｔ＝ʃ１时，ｔａｎα＝０．当α是第一象限角或者是第二象限角时，ｓｉｎα＝１－ｔ２，ｔａｎα＝１－ｔ２ｔ．当α是第三象限角或者是第四象限角时，ｓｉｎα＝－１－ｔ２，ｔａｎα＝－１－ｔ２ｔ．例２这道题考查同角三角函数的基本关系与商数关系，对于学生而言，根据三者之间的关系会很容易做出这道题．与例２相比，变式１中角α的范围没有明确，会有很多的同学容易忽视这个问题，这类同学一方面是读题不认真粗心大意；另一方面也反映了他们对这块知识点掌握得不是很好．因此，教师可以提问学生看出来这两道题有什么不同，这样就提示了学生，给学生一个正确的思路．在变式２中，ｃｏｓα的值不再是具体的数值，而是变成了一个有范围的参数，难度稍微增大，可以让同学们讨论研究一下解法，并找两名同学到黑板上作答．最后引导学生发散思维，对例２进行其他的变形，对于想出其他变形的同学要进行表扬，让同学们在数学学习中体验到成就感，也加深学生对知识的深层次理解．当然不只变式３一种，这里就不再具体说明了．三㊁结束语高中数学有两个显著的特点，一个是灵活，一个是多变．教师往往为了学生能够熟练地掌握数学知识都会采用题海战术，给学生布置大量重复题型的课后作业，但学生既要完成数学作业，又要完成其他科目的作业，大量的作业就会让学生感到枯燥和无力，进而产生厌恶的心理，久而久之，对数学就失去了兴趣．所以，教师要解决这个问题，一题多变和一题多解就起到了很重要的作用．因为我们都知道高中数学的学习最重要的是有一个好的学习方法，关键是把学过的知识点贯串起来，通过类比，更好地掌握知识．而教师通过一题多解和一题多变的教学，会使数学知识点增多，学生在做题的过程就学会了更多的知识．在复习旧知识点的同时还能知道自己哪些知识点掌握得不好，对新知识的学习起到了承前启后的作用，成为一个过渡的桥梁．我们从以上的两道例题中就可以看出一题多变和一题多解的重要性，它们既巩固了数学知识，又培养了学生多动脑思考的好习惯，让学生在课堂上发挥自己的主导地位，不再一味地听老师讲，让学生对数学产生兴趣，进而爱上数学．总而言之，教师应该在数学教学中多使用一题多解与一题多变的教学方法，但要注意的是，并不是所有的数学题都适合这种教学方法，教师应该在当前国家教育提出的核心素养目标的前提下对学生进行合理的训练．教师可以挑选一些有针对性的题，通过精心的研究，创新的拓展，引导学生用多种方法来解答，让学生尝试自己去改变题中已知条件或者结论，自己作答．但要注意的是，一题多变要遵循由浅到深，由易到难的原则，循序渐进地引导学生，不要跳跃性太大，打击学生学习的积极性．这就需要教师多研究学生的心理与目前这个阶段的认知水平．一题多解和一题多变的教学方法一定会使学生的学习成绩有所提高．ʌ参考文献ɔ［１］郭兴甫．重视课本例题习题教学［Ｊ］．课程教材教学研究：中教研究，２０１７（１１）：２０－２７．. All Rights Reserved.。
一题多解与多变 培养学生发散性思维
一题多解与多变培养学生发散性思维精180;;I1.●.-l●●案例分析椎蠛嬲在数学教学中,让学生学会一题多解,有利于启迪思维,开阔视野,全方位思考问题,分析问题;有利于培养学生的发散思维能力和解题技巧.而采用一题多变的形式,可以训练学生积极思维,触类旁通,提高学生思维敏捷性,灵活性和深刻性.两者都有利于学生提高解决综合问题的能力;有利于培养学生的探索精神:有利于创新意识的形成和发展,是培养学生良好思维品质与创新精神的好方法.作为数学教师,不只是要存理论上认识一题多解与多变的作用,更重要的是要使其在数学教学中大显神威.在新课程改革的今天,数学教师不仅要传授给学生数学知识,技能,而且要培养学生的良好思维品质,而后者是数学教学的核心.本人认为一题多解与多变是培养学生创造性思维的重要渠道.如何使多解,多变的功能得以充分发挥,本人在初中数学教学中围绕这个问题作了一些初步的尝试.一,挖掘例习题潜在功能课本上的例习题都是经过认真筛选后精心设置的,大多具有一定的代表性,示范性和探究性,其内涵都十分丰富,深入研究课本中的典型例习题,挖掘其潜在的价值.进行一题多解与一题多变,既可优化认识结构,沟通知识间的内在联系,又可提高学生重视教材,钻研课本的自觉性,提高解题能力和对数学学习的兴趣.例1已知:如图,在EYABCD中,E.F分别是AD.BC的中点.求证:BF=DE.(初三《平行四边形》中的例题)(1)启发引导学生从平行四边形BFCD的性质"平行四边形的对角相等.对边相等"入手,证△ABE CDF.雨祷BF:DE(2)请问:还有其他的证法吗?(3)若连接AF,CE分别交BE,DF于M,Ⅳ,试判断四边形EMFN均形~状.学生讨论,交流,教师点拨,让学生发现,可根据平行四边形判定定理"一组对边平行且相等的四边形是平行四边形"来证得四边形BEDF是平行四边形,从而获证F=DE. 通过以上的多解与变式.巩固了所学过的平行四边形的判定定理与性质定理,突破了本节课的重点,不但达到了认知目标.而且有利于培养学生思维的广阔性,变通性,创造性,锻炼了学生的发散思维.这样也达到了本节课的能力目标;让学生比较哪种方法简练,并对学生想出的简捷证法给予高度评价,使学生拥有成功的喜悦,享受到数学思路的创新美.借此调动学生深钻多思的学习积极性,在某种意义上达到该节课的情感目标.例2初三数学中《直线和圆的位置关系》的例题:如图,PA,PB是00的切线,切点分别为A,B,C点是00上一点.若/APB=40..求CB的度数.本题在教学时并没有给学生展示出图形,而是让学生自己画出符合条件的图形.学生通过自己操作,易于探求出C点◎李向臣(江苏省仪征市陈集第二中学211408)有两个位置:分别在优弧和劣弧上面,因而本题就有两解,弥补了书中图形的局限性.'本例题安排的目的,就是让学生会用切线的性质以及知道圆外角和圆周角之间的联系,通过让学生动手画图,既培养了学生的作图能力,又渗透了分类讨论的思想,培养学生的发散性思维.二,要求学生一题多解做课堂练习,让有不同解法的学生上台板演;或一名学生板演后.让有不同见解的学生发言,开展"谁的解法多""谁的解法最简捷"的比赛活动.本人常在课堂上说:"这种方法好""这种解法妙""此种解法真优美""此种解法真新颖"等鼓励学生的话,为此学生露出了自豪的笑脸,营造了学生乐于探索新解,乐于钻研简捷解法的氛围.布置作业常常要求学生一题多解,有困难的学生可只做一种解法.一股同学做两种方法,学有余力的同学采用多种解法.本人注重对解法多种的及解法巧妙的同学加以表扬,力求使学生感受到解题方法"山外有山",解题技巧"楼外有楼".经过阶段性对学生要求一题多解,原来勉强做两种解法的学生改变了态度,会主动做更多的解法;而本来只做一种解法的学生,有的也做两种解法;还有的同学在课堂上踊跃举手要求上台做不同的解法或发表自己的独特见解.长期性要求学生一题多解,潜移默化地养成探索习惯,真是受益匪浅啊!三,以教材为本,让学生参与变式紧扣课本.挖掘教材中的例习题潜在的内涵,让学生改编题目得新题,可训练学生的自主性,主动性,符合"学生为主体,教师为主导"的教学原则.学生亲自参与变式的活动,就是创造性思维的行为.一滴水可折射出太阳的光辉,一道题也常常发出智慧的光芒.只要在学习中做一题,变式一类, 猜想一串,不打题海战,不打疲劳战,不但符合课改减负的要求,而且可收到事半功倍的效果.例3画出函数Y=1.5+3的图像,根据图像指出:(1)取什么值时,函数值Y等于零?(2)x取什么值时,函数值',始终大于零?(《函数及其图像》——实践与探索中的问题2)若把上题改编为:(1)求Y=I.5+3图像与轴交点为;(2)当时,Y=1.+3图像在轴的上方.请同学们补充完整求解事项,再给以解答,并想想看它与原题的关系.在数学教学中,实施"多解与多变"式的教学,在弘扬主体精神,优化数学素质,培养创造性思维等方面,确实有其明显的功效.这种功效对提高数学教学质量大有帮助.教学实践证明,善用一题多解与多变的思维训练,能发展学生思维的缜密性和多样性,深化思维活动,拓宽思维,而且有利于激发学生的学习兴趣,加强分析问题,解决问题的能力,提高应变能力和创新能力,从而达到有效培养学生创造性思维的目的.数学学习与研究2010.8。
一题多解与一题多变在数学教学中的运用探究-2019年精选文档
一题多解与一题多变在数学教学中的运用探究高中数学内容比初中数学内容更加丰富，而且知识点的相关性更强。
所以高中数学老师在授课过程中，应该注意培养学生的逻辑思维能力。
教师帮助学生在掌握分单元知识的同时，形成知识体系，采用关联记忆相互促进理解的方式，激发学生的学习兴趣。
数学学习离不开习题练习。
数学习题的形式灵活多变，通常不会只有单一解，或者相同案例通常存在不同角度的问题。
所以教师在教学过程中，可以合理运用一题多解或者一题多变的形式，提高学生的学习积极性，引导学生扩展思维，提高课程学习效果。
一、一题多解和一题多变的运用原则一题多解是指同一个数学问题可以使用不同方法求解。
一题多解要求学生对于数学基础知识的掌握非常娴熟。
因为要做到一题多解，学生要从不同角度对问题进行分析，所以要求学生对于知识掌握更加全面。
一题多变是变化题目条件和所求对象，由一个原始题目转化出多个题目的方法。
一题多变的练习可以帮助学生加深对题目的理解，熟练掌握相关知识形式的转换，增强对知识的触类旁通。
对于一题多解和一题多变在数学教学过程中的应用，教师要做到因材施教，对数学基础好且学习兴趣强的学生，鼓励引导其深入研究问题，努力用不同方法答题。
这样不仅可以激发学生探索新知识的热情，还可以帮助学生加深对知识的掌握。
但是对于数学基础薄弱的学生，教师不能一味要求其追求多方式求解，这样只会让学生对数学学习产生抵触情绪，降低学习效率。
二、一题多解和一题多变的运用策略（一）选择经典例题数学教学过程中，教师选取例题的质量对教学效果有显著的影响。
好的教学例题为教师引领学生从多个角度解答提供了条件，所以教师在教学、备课过程中要有意识地选择不同方法或者可以通过变化得到其他题目形式的经典例题。
（二）设置变式题组梯度数学学习过程是一个循序渐进的过程，学生学习新知识后，需要利用一题多解或者一题多变来进行知识扩展迁移，帮助学生在构建自身学习体系的同时，提高思维能力。
在利用一题多解和一题多变扩展知识的过程中，教师要注意设置合理的迁徙梯度，让学生顺畅递进地进行知识扩展，主动巩固原有知识，锻炼逻辑能力。
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例谈高中数学一题多解和一题多变的意义
摘 要：高中数学教学中,用一题多解和一题多变的形式,可以使所学的知识得到活化，融会贯通，而且可以开阔思路，培养学生的发散思维和创新思维能力，从而达到提高学生的学习兴趣，学好数学的效果。
关键词：一题多变 一题多解 创新思维 数学效果
很大部分的高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、不好学、没兴趣.但由于高考“指挥棒”的作用，又只能硬着头皮学.如何才能学好数学？俗话说“熟能生巧”，很
多人认为要学好数学就是要多做.固然，多做题目可以
使学生提高成绩，但长期如此，恐怕也会使学生觉得数学越来越枯燥。
我觉得要使学生学好数学，首先要提高学生的学
习兴趣和数学思维能力。
根据高考数学“源于课本，
高于课本”的命题原则，教师在教学或复习过程中可
以利用书本上的例题和习题，进行对比、联想，采取
一题多解与一题多变的形式进行教学.这是提高学生数学学习兴趣和思维能力的有效途径。
下面举例说明：
例题： 已知tanα=43
,求sinα,cosα的值
分析：因为题中有sinα、cosα、tanα，考虑他们之间的关系，最容易想到的是用同角三角函数关系式和方程解此题：
法一 根据同角三角函数关系式tanα= 43= α
αcos sin ，
且sina2α + cos2α =1。
两式联立，得出：cos2α=2516,cosα= 5
4
或者
cosα= -54
；而sinα=53或者sinα=-53 。
分析：上面解方程组较难且繁琐，充分利用用同角三角函数关系式“1”的代换，不解方程组，直接求解就简洁些：
法二 tanα=43
：α在第一、三象限
在第一象限时： cos2α
=
αα
cos sin cos 2
2
2
5+=αtan
2
11+=
2516
cosα=54
sinα=αcos
21-=5
3 而在第三象限时： cosa=- 5
4 sina=- 53
分析：利用比例的性质和同角三角函数关系式，解此题更妙： 法三 tanα= 43= αα
cos sin ↔4cos α=
3sin α
↔4cos α=
3sin α= ±
3
4cos sin
2
2
2
2
++α
α
∴sinα=53，cosα= 54
或sinα=-53，cosα=-54
分析： 上面从代数法角度解此题，如果单独考虑sinα、cosα、tanα，可用定义来解此题。
初中时，三角函数定义是从直角三角形引入的，因此我们可以尝试几何法来解之：
法四 当α为锐角时，由于
tana=43
,在直角△
ABC 中，设α=A,a=3x,b=4x ，则勾股定理，得，c=5x
sinA=AB BC = 53
,cosA=AB
AC =54
∴sinα= 53
，cosα=54
或sinα= -53
，cosα= -54
分析 ：用初中三角函数定义解此题，更应该尝试用三角函数高中的定义解此题，因为适用范围更广：
法五 当α为锐角时，如下图所示，在单位圆中，
设α=∠AOT ， 因为tanα=
43
，则T 点坐标是T(1, 43
),由勾股定理得：OT=
⎪⎭
⎫
⎝⎛+432
1= 45
∵△OMP ∽△0A T ∴AT MP =OA OM =OT OP
，OM=54, MP =53
, p(54, 53),
∴sinα= 53，cosα= 54
或sinα=-53，cosα= -54
分析： 圆和直线已经放入直角坐标系中，肯定
可以尝试用解析几何法来解此题：
解法六，如上图，易求出直线OT 的方程和单位圆的方程
y=43
x ；x2+y2=1
两式联立，得出：
⎩⎨⎧==545
3x y ， 或
⎩⎨⎧-=-=54
5
3x y .
T 点坐标是P(-54, -53) P(54, 53
)
∴sinα= 53
，cosα=54
或sinα= -53
，cosα= -54
分析： 先考虑sinα、cosα两者之间的关系，容易想到用三角函数辅助角公式来帮助解决此问题：
解法七tanα= 43= α
αcos sin
4sina-3cosa=0 由三角函数辅助角公式得，
5sin （a+φ）= 0,其中，sinφ=53
, cosφ=54
∴a+φ=kπ ，k ∈Z
sina=sin （k π -φ）=sinφ α在第一、三象限
∴容易求出sinα=53 ，cosα= 54
或sinα=-53，cosα= -54
分析： 仅仅从角度变换考虑，看一看，用二倍
角公式是否能解决此问题：
解法八，由二倍角公式，得，tanα=
2
2tan
2
12
tan
α
α-= 43
3tan22
α +8tan 2
α-3=0
∴tan 2
α= -3,或tan 2α=31
sinα=2sin 2
α
cos
2
α=
2
2
cos
sin
2
cos
2
sin
22
2
α
α
α
α
+=2
2
12tan
2tan
2α
α+
∴sinα= 53，cosα=54
或sinα= -53，cosα= -54
判别式
此外，我们还可以尝试从向量的角度思考这个问题，这里就不再赘述。
下面展示本题的变式与推广：
变式1： 已知tanα=-3，求sin αcos α的值 变式2：已知tan α=m ，求sin α，cos α的值
变式3 ：已知sin α=m ，求cos α，tan α的值 由上例可以看出，一题多解和一题多变可以使学生更积极参与到课堂中来,从而激发学生对数学学习的兴趣和信心。
一道数学题因思考的角度不同可得到多种不同的解法,这有助于拓宽解题思路,提高学生分析问题的能力；一道数学题通过联想、类比、推广，可以得到一系列新的题目,甚至得到更一般的结论,这有助于学生应变能力的提高和发散思维的形成,增强学生面对新问题敢于联想分析予以解决的意识。
一题多解和一题多变犹如一座金桥，,能把学生从已知的此岸渡到未知的彼岸。