2014年高考理科数学 全国一卷 真题

2014年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（全国Ⅰ卷）

6月7日15：00-17：00

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的一项。

（1）已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，则A ∩B ＝（ ） （A ）[－2，－1] （B ）[－1，2） （C ）[－1，1]

（D ）[1，2）

（2）(1＋i )3

(1－i )2

＝（ ）

（A ）1＋i （B ）1－i （C ）－1＋i

（D ）－1－i

（3）设函数f (x )、g (x )的定义域都为R ，且f (x )时奇函数，g (x )是偶函数，则下列

结论正确的是（ ） （A ）f (x )g (x )是偶函数

（B ）|f (x )|g (x )是奇函数 （C ）f (x )|g (x )|是奇函数

（D ）|f (x )g (x )|是奇函数

（4）已知F 是双曲线C ：x 2－my 2＝3m （m ＞0）的一个焦点，则点F 到C 的一条渐

近线的距离为（ ） （A ） 3

（B ）3

（C ）3m

（D ）3m

姓名______________________ 准考证号__________________________________

（5）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有

同学参加公益活动的概率（ ） （A ）18

（B ）38

（C ）58

（D ）78

（6）如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线

OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]上的图像大致为（ ） （A ）

（B ）

（C ）

（D ）

（7）执行下图的程序框图，若输入的a 、b 、k 分别为1、2、3，则输出的M ＝

（ ） （A ） 203

（B ） 165 （C ） 72

（D ） 158

（8）设α∈（0，π2），β∈（0，π

2），且tan α＝1＋sin βcos β，则（ ） （A ）3α－β＝π

2 （B ）2α－β＝π

2

O

P

A

M x

（C ）3α＋β＝π

2 （D ）2α＋β＝π

2

（9）不等式组1

24x y x y +≥⎧⎨

-≤⎩

的解集记为D ．有下面四个命题：

p 1：∀（x ，y ）∈D ，x ＋2y ≥－2， p 2：∃（x ，y ）∈D ，x ＋2y ≥2， p 3：∀（x ，y ）∈D ，x ＋2y ≤3， p 4：∃（x ，y ）∈D ，x ＋2y ≤－1，

其中的真命题是（ ） （A ）p 2，p 3

（B ）p 1，p 4

（C ）p 1，p 2

（D ）p 1，p 3

（10）已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C

的一个焦点，若FP ＝4FQ ，则|QF |＝

（A ） 7

2

（B ） 52

（C ）3

（D ）2

（11）已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围为（ ） （A ）（2，＋∞） （B ）（－∞，－2） （C ）（1，＋∞）

（D ）（－∞，－1）

（12）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则

该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为 （A ）6 2 （B ）4 2 （C ）6 （D ）4

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题至第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题至第（24）题为选考题，考生根据要求作答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为 ．（用数字填写答案） （14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市；

丙说：我们三人去过同一个城市．

由此可判断乙去过的城市为．

（15）已知A、B、C是圆O上的三点，若AO＝1

2(AB＋AC)，则AB与AC的夹角

为．

（16）已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A －sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为．

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝λS n－1，其中λ为常数．

（Ⅰ）证明：a n

＋2

－a n＝λ；

（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．