生命表算法

生命表函数及计算

通过生命表可以得到任意年龄的人在任何期限内的生存概率、死亡概率等相关数据。以

下介绍生命表中揭示的那些栏目所代表的函数。

1、年龄区间[x,x+1]

[x,x+1]表示x到x+1岁的年龄区间，除最后一个年龄区间（如：89以上）为开区间以外，其余每一个区间都有两个确定的年龄值来定义。通常，最后一个年龄区间的起点为ω，半开区间[ω,+∞]。

2、生存人数l x

设正好活到某一确切年龄x岁的生存人数以l x表示生命表的基础是生存人数，它表示

在一封闭区域一定数量的人口集团随着时间的推移因死亡而逐渐减少的人口生存状态。生存

人数l x表示正好活到某一确切整数年龄x岁的人数。

在人的生命表中，作为起点的出生人数l0称为生命表的基数，研究中可以任意取值，

但为方便，一般设为100 000人。

3、死亡人数d x

d x为年龄区间[x,x+1]内死去的人口数。dx是生命表上年龄区间[x,x+1]内的死亡数，

不同于实际人口死亡数。

根据定义可知

l x+1=l x-d x x=0,1,……ω (7.23)

4、死亡概率q x

q x表示存活到确切年龄x岁的人在到达x+1岁前死亡的概率。以x至x+1的死亡人数

d z占x岁存活人数l x的比例表示。

q x＝d z/l x， x=0,1,……ω (7.24) q x这一指标是计算生命表的基础，在已知q x后，就可以依生命表基数l0由公式(7.1)和(7.2)计算出各年龄的存活人数l x和死亡人数d z。

l x+1=(1-q x)*l x , d z+1= q x*l x

5、生存人年数L x

x岁的人平均生存人年数L x是指年龄区间[x,x+1]的所有人在该区间内的存活年数，即活到确切年龄x岁的人群l z在到达x+1岁前平均存活的人年数。人年是表示人均存活的符合单位，一人年表示一个人存活了一年。把生存人数l x看作是在区间[t,t+1]内连续变化的函数，以此为基础的生存人年数L x的计算公式为：

L x=

1

t

x t

t

l dt

+

+

⎰ x=0,1……ω-1 (7.25)

在死亡均匀分布（UDD）假设下，即我们假设l x曲线从x到x+1间是条直线那么，L x的计算公式可以写为：

L x =(l x +l x+1)/2

又根据公式(7.23)得：

L x =(l x -d x +l x )/2=l x -d x /2 (7.26)

注意到死亡均匀假设与l x 从0到ω是线性的假设不同，它仅在每一年年龄上假设是线性的，因此是l x 的比较精确的描述。

6、x 岁的人群未来累计生存人年数T x

累计生存人年数T x 表示存活到确切年龄x 的人群l x 未来讲存活的总人年数，这个量是计算期望寿命的基础。其计算公式为：

x x t x T l dt ω

+=⎰ (7.27)

由生存人年数的定义，(7.27)式又可改写为

T x =∑=w

x i i

L (7.28) 不难看出，T x 与T x+1还之间还存在以下关系：

T x =L x +T x+1 (7.29)

7、平均期望寿命E x

平均期望寿命E x 是对人的生命一种有根据的预测，表示存活到确切年龄x 的人群l x 平均还能存活的年数，即今后尚能生存的平均寿命，这在上面已经做过介绍了，这里采用的是完全平均期望寿命0

x e ，在一些国民生命表中的符号为E x ，为方便，以下采用后者。每个E x 包括了人们在x 岁以后的经历，因而，这一列在生命表中非常重要，而且这是生命表中除q x 外唯一独立基数l 0的序列。通常，期望寿命随年龄x 的增加而减少。由(7.16)可得，

/x x x E T l =， x=0,1,……ω-1 (7.30)

（三）国民生命表的编制方法

生命表可以依实际同时出生的一批人资料编制，这种生命表称为实际同批人生命表。编制这种生命表需要纵向跟踪一批人从出生道死亡的全部过程，实际中很难取得完整的资料，而且这种生命表只能是历史的追述，不能说明现在某个时期的死亡水平。因此，除特殊研究目的外，实际中一般不采用实际同批人方法编制生命表，而是通常采用假设同批人方法编制，即把某一时期各个年龄的死亡水平当作同时出生的一批人在一生中经历各个年龄时的死亡水平看待。这样编制的生命表称为时期生命表或假设同批人生命表。时期生命表可以描述某一时期处于不同年龄人群的死亡水平，反映了假定一批人按某一时期各年龄死亡水平度过一生时的生命过程。

1、国民生命表的编制过程

编制生命表一般可分两步。首先根据原始资料按统计的方法确定各年龄的死亡率q x ;第二步，要选定适当的基数，用来表明所编制的生命表的最低年龄和观察人数，一般起编年龄为

0岁，人数l0以10万为标准，这样根据l0和q x计算出生命表各栏目的函数，过程如下(设最后一个年龄区间起点为99岁)：

（1）生存人数l x、死亡人数d x和平均存活人年数L x

d0= l0⋅q0 L0=l0-d0/2, l1=l0-d0

d1= l1⋅q1 L1=l1-d1/2, l2=l1-d1

…………

d99= l99⋅q99 L99=l99-d99/2, l99=l99-d99

（2）未来累计生存人年数T x和平均期望寿命E x

T99=L99 E99=T99/l99

T98=L98 E98=T98/l98

…………

T0=L0 E0=T0/l0

2、死亡率函数的确定

这是编制生命表最关键的一步，也是最繁琐的一步，同时，由于统计误差等诸多因素会导致最初得到的死亡率与实际生命表状态不相符。因此，在编制过程中都会作适当的修正，即所谓的生命表的修匀(Graduation)，这里主要介绍计算最初死亡率的两种算法。

（1）自修正叠代法

国际知名数理人口学家、著名系统工程专家蒋正华教授在20世纪80年代中期提出的自修正迭代算法，简称JPOP-1算法，为中国乃至世界各国人口生命表研制奠定了坚实的科学基础。这种算法可以直接利用某次人口普查的数据制作出完全生命表，以下主要介绍这种算法。

首先再次引出与死亡概率q x相对应的一个概念——存活概率p x或SR x，为区别与以下的实际人口数，在该算法中采用后者。容易得出q x=1-SR x的关系式，因此，我们就可以通过求各年龄组的存活概率来求得死亡概率，并以此为基础求出生命表其他指标。问题的关键就转化为求存活概率SR x。以下介绍的正是求取存活概率SR x的迭代算法，首先对算法中的符号作以下说明：

①各年龄组的存活概率为SR x(x=0,1……ω-1)，并任取（0，1）之间的值。

② P x-1,t-1 表示 t-1年x-1岁人口的数量。

③ P′x,t表示 t年x岁人口的平均数量。

综合以上已知条件，

则有：P x,t=P x-1,t-1*SR x-1

进而导出：P x-1,t-1=P x,t/SR x-1由此公式我们可以估算出P x-1,t-1的值。

另有：P′x-1,t=(P x-1,t-1+P x-1,t)/2