四川省成都石室中学2021届高三上学期开学考试 数学(理)(含答案)
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石室中学高 2021 届 2020-2021 学年度上期入学考试
理科数学试卷
一、选择题（共 12 小题；共 60 分）
1.已知集合 A x, y x y 0, x, y R, B x, y x y+1 0, x, y R ，则集合 A B 的元素个数是
（）
A．0
B．1
C．2
D．3
z 5i 2．i 为虚数单位， 1 2i ， 则的共轭复数为 （ ）
A. 2 i
B． 2 i
C. 2 i
D． 2 i
3．石室中学为了解 1 000 名学生的身体素质，将这些学生编号为 1，2，…，1 000，从这些学生中
用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验，若 46 号学生被抽到，则以下 4 名学生中被抽
2 5250, 其中 xi , yi
分别表示这 42 名同学的数学成绩、物理成绩， i 1, 2, 3,, 42 ， y 与 x 的相关系数 r 0.82 ．
（Ⅰ）若不剔除 A, B 两名考生的数据，用 44 组数据作回归分析，设此时 y 与 x 的相关系数为 r0 ．试 判断 r0 与 r 的大小关系（不必说理由）； （Ⅱ）求 y 关于 x 的线性回归方程，并估计如果 B 考生参加了这次物理考试（已知 B 考生的数学成
A．充要条件
B．既不充分也不必要条件
C．必要不充分条件
D．充分不必要条件
6 ．已知 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，若 a 2 3 ， b 2 ， A 60 ，则 B 为
（）
A．60°
B．60°或 120° C．30°
D．30°或 150°
7．下列函数中，既是奇函数又在 (0, ) 单调递减的函数是（ ）
16.已知棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 ，过对角线 BD1 作平面 交棱 AA1 于点 E ，交棱 CC1 于点
F ，则：①平面 分正方体所得两部分的体积相等；②四边形 BFD1E 一定是平行四边形；
③平面 与平面 DBB1 不可能垂直； 其中所有正确结论的序号为_______
生由于重感冒导致物理考试发挥失常， B 考生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准
确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：
42
42
42
xi 4620,
yi 3108,xiyi来自350350,42
i 1
i 1
i 1
i 1
xi x
2
16940,
42
i 1
yi y
丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是 古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为___________钱. 15．已知 f (x) 是定义域为 R 的奇函数， f (x) 是 f (x) 的导函数， f (1) 0 ，当 x 0 时， xf (x) 3 f (x) 0 ，则使得 f (x) 0 成立的 x 的取值集合是___________．
④四边形 BFD1E 的面积的最大值为 2 .
三、解答题（共 6 小题；共 70 分）
17. (本题满分 12 分)石室中学高三学生摸底考试后，从全体考生中随机抽取 44 名，获取他们本次考
试的数学成绩( x )和物理成绩( y )，绘制成如图散点图：
根据散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系，但图中有两个异常点 A, B ．经调查得知， A 考
C． f x1 5
D． f x2 3
二、填空题（共 4 小题；共 20 分）
13.已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0
的离心率为 2，则该双曲线的渐近线方程为
_______________ 14.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下 三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人所得与丙、
D． 5z 3y 2x
11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球表面积为（
A．11
14 B． 3
28 C． 3
）
D．16
f x 2ex 1 ax2 ax 1+a
12.已知 a 为常数，函数
2
有两个极值点 x1，x2(x1＜x2)，则下列结论正
确的是（ ）
A． a 0
B. 0 a 1
（2）若 a 0 ，讨论函数 f (x) 在 x 0, 的单调性.
19.如图，四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形， FA FC ，且 DAB DBF 60 ． （1）求证： AC 平面 BDEF ； （2）求直线 AD 与平面 AEF 所成角的正弦值．
绩为125 分），物理成绩是多少？
n
n
附：回归方程 y a bx 中,
b
i 1
( xi
n
x)( yi (xi x)2
y) =
i 1 n
xi yi nx y ，a
xi 2
2
nx
y
bx
i 1
i 1
18．已知三次函数 f (x) x3 ax2 4x 1 ( a 为常数). （1）当 a 1 时，求函数 f (x) 在 x 2 处的切线方程；
A． y 2x 2x
B． y x tan x
C． y x sin x
y 1 2x D． x
8．抛物线 C : y2 4x 的焦点为 F ，其准线 l 与 x 轴交于点 A ，点 M 在抛物线 C 上，
MA 2
当 MF
时， AMF 的面积为（ ）
A．1
B． 2
C．2
D． 2 2
9. 如图是用模拟方法估计圆周率 π 的程序框图，P 表示估计结果，
则图中空白框内应填入（ ）
P N A． 1000
P 4N B． 1000
P M C． 1000
P 4M D． 1000
10. 已知 log2 x log3 y log5 z 1，则 2x, 3y, 5z 的大小关系为（ ）
A． 2x 3y 5z B． 3y 2x 5z
C． 5z 2x 3y
到的是（ ）
A．8 号学生
B．200 号学生
C．616 号学生
f (x) ln x 2 1
4．函数
x 的零点所在的大致区间是（ ）
D．815 号学生
A． (1, 2)
B． (2, e)
C． (e, 3)
D． (3, )
5．已知向量 a ( m，1) ， b ( 3，m 2 ) ，则 m 3 是 a // b 的（ ）
理科数学试卷
一、选择题（共 12 小题；共 60 分）
1.已知集合 A x, y x y 0, x, y R, B x, y x y+1 0, x, y R ，则集合 A B 的元素个数是
（）
A．0
B．1
C．2
D．3
z 5i 2．i 为虚数单位， 1 2i ， 则的共轭复数为 （ ）
A. 2 i
B． 2 i
C. 2 i
D． 2 i
3．石室中学为了解 1 000 名学生的身体素质，将这些学生编号为 1，2，…，1 000，从这些学生中
用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验，若 46 号学生被抽到，则以下 4 名学生中被抽
2 5250, 其中 xi , yi
分别表示这 42 名同学的数学成绩、物理成绩， i 1, 2, 3,, 42 ， y 与 x 的相关系数 r 0.82 ．
（Ⅰ）若不剔除 A, B 两名考生的数据，用 44 组数据作回归分析，设此时 y 与 x 的相关系数为 r0 ．试 判断 r0 与 r 的大小关系（不必说理由）； （Ⅱ）求 y 关于 x 的线性回归方程，并估计如果 B 考生参加了这次物理考试（已知 B 考生的数学成
A．充要条件
B．既不充分也不必要条件
C．必要不充分条件
D．充分不必要条件
6 ．已知 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，若 a 2 3 ， b 2 ， A 60 ，则 B 为
（）
A．60°
B．60°或 120° C．30°
D．30°或 150°
7．下列函数中，既是奇函数又在 (0, ) 单调递减的函数是（ ）
16.已知棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 ，过对角线 BD1 作平面 交棱 AA1 于点 E ，交棱 CC1 于点
F ，则：①平面 分正方体所得两部分的体积相等；②四边形 BFD1E 一定是平行四边形；
③平面 与平面 DBB1 不可能垂直； 其中所有正确结论的序号为_______
生由于重感冒导致物理考试发挥失常， B 考生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准
确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：
42
42
42
xi 4620,
yi 3108,xiyi来自350350,42
i 1
i 1
i 1
i 1
xi x
2
16940,
42
i 1
yi y
丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是 古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为___________钱. 15．已知 f (x) 是定义域为 R 的奇函数， f (x) 是 f (x) 的导函数， f (1) 0 ，当 x 0 时， xf (x) 3 f (x) 0 ，则使得 f (x) 0 成立的 x 的取值集合是___________．
④四边形 BFD1E 的面积的最大值为 2 .
三、解答题（共 6 小题；共 70 分）
17. (本题满分 12 分)石室中学高三学生摸底考试后，从全体考生中随机抽取 44 名，获取他们本次考
试的数学成绩( x )和物理成绩( y )，绘制成如图散点图：
根据散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系，但图中有两个异常点 A, B ．经调查得知， A 考
C． f x1 5
D． f x2 3
二、填空题（共 4 小题；共 20 分）
13.已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0
的离心率为 2，则该双曲线的渐近线方程为
_______________ 14.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下 三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人所得与丙、
D． 5z 3y 2x
11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球表面积为（
A．11
14 B． 3
28 C． 3
）
D．16
f x 2ex 1 ax2 ax 1+a
12.已知 a 为常数，函数
2
有两个极值点 x1，x2(x1＜x2)，则下列结论正
确的是（ ）
A． a 0
B. 0 a 1
（2）若 a 0 ，讨论函数 f (x) 在 x 0, 的单调性.
19.如图，四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形， FA FC ，且 DAB DBF 60 ． （1）求证： AC 平面 BDEF ； （2）求直线 AD 与平面 AEF 所成角的正弦值．
绩为125 分），物理成绩是多少？
n
n
附：回归方程 y a bx 中,
b
i 1
( xi
n
x)( yi (xi x)2
y) =
i 1 n
xi yi nx y ，a
xi 2
2
nx
y
bx
i 1
i 1
18．已知三次函数 f (x) x3 ax2 4x 1 ( a 为常数). （1）当 a 1 时，求函数 f (x) 在 x 2 处的切线方程；
A． y 2x 2x
B． y x tan x
C． y x sin x
y 1 2x D． x
8．抛物线 C : y2 4x 的焦点为 F ，其准线 l 与 x 轴交于点 A ，点 M 在抛物线 C 上，
MA 2
当 MF
时， AMF 的面积为（ ）
A．1
B． 2
C．2
D． 2 2
9. 如图是用模拟方法估计圆周率 π 的程序框图，P 表示估计结果，
则图中空白框内应填入（ ）
P N A． 1000
P 4N B． 1000
P M C． 1000
P 4M D． 1000
10. 已知 log2 x log3 y log5 z 1，则 2x, 3y, 5z 的大小关系为（ ）
A． 2x 3y 5z B． 3y 2x 5z
C． 5z 2x 3y
到的是（ ）
A．8 号学生
B．200 号学生
C．616 号学生
f (x) ln x 2 1
4．函数
x 的零点所在的大致区间是（ ）
D．815 号学生
A． (1, 2)
B． (2, e)
C． (e, 3)
D． (3, )
5．已知向量 a ( m，1) ， b ( 3，m 2 ) ，则 m 3 是 a // b 的（ ）