三角函数考点分析
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三角函数考点分析
一 .教学目标： 1.知识与能力目标：
(1) 能对主要三角公式、正余弦定理和面积公式等熟练运用，对其形式有足 够的敏感度；
(2)能灵活运用定理、公式等工具来解三角形及其有关问题； (3) 初步感受全国卷对三角函数的考察，同时了解近几年全国卷考题的形式 与变化 2.过程与方法目标： (1) 在理解知识内容和方法的基础上，能调动已有的三角知识储备，经历解 三角形的构建过程，形成良好的整体认知结构； (2) 引导学生自主地发表自己的见解，养成对条件合理分析的习惯，从而形 成解决问题的过程 . 3.情感态度价值观目标： 在分析探究条件与结论关系的过程中，使学生体会到数学各知识间的联系， 数与形的辩证统一，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的探究精神 . 三 .教学重点难点： 利用正余弦定理、主要的三角公式和基本不等式解三角形及其有关问题 . 四 .教学方法： 启发式 五 .教具准备： PowerPoint 课件 六 .教学过程：
题策略。
例 1（2017 年全国 II 理 17） ABC
教师引导
初步 感受全
的内角 A，B，C 的对边分别为 a,b,c， 学 生 熟 练 运 用 国卷考察形式
入 已知 sin( A C) 8 sin 2 B .
手
2
高
（ 1）求 cos B ；
考
（ 2）若 a c 6, ABC 的面积为
2，求 b .
本
1. 小结全国卷中三角函数近几年
关 注
（ 1）求 B ；
往
（ 2）若 b 2 ，求 △ ABC 面积的
年 考 最大值 .
法
学 生进 行边 角 的 往年 考法 —— 关系的转化， 再 不 定 三 角 形 的 最 针对“已知一边 值问题，仍是借助 一对角”的三角 正、余弦定理进行 形 最 值 问 题 的 转化。 两 法对 比— — 正弦定理（三角
练 1（2017 年全国 I 理 17） ABC 内角 A，B，C 的对边为 a,b,c，已知
练 习
ABC 的面积为 a2 . 3sin A
巩
固
（ 1）求 sin B sin C ；
公 式提 炼问 题 本质，并懂得转 化相关形式： a c, ac , a 2 c2
使学生在 训 练中 暴露 问 题，规范学生的 解题格式。
能够从特殊性入
手寻求解题策略。
（ 2）设 D 为 BC 边上一点，且
AD AC ，求 ABD 的面积 .
变式 1（2015 年全国 II 理 17）
教师引导
在 ABC 中， D 为 BC 边上一点， AD 学生分析“角平 平分 BAC ，△ ABD 是 △ ADC 面积的 分 线 ” 的 特 殊
2 倍． （ 1）求 sin B ； sin C
ABC 内角 A，B， C 的对边为 a,b,c， 学生，回顾三角 简 单 问 题 的 解 题
引
若 cos A
4 , cosC
5 , a 1 ，则
例
5
13
复 b _______.
习
函 数 的 相 关 知 方法进行梳理、排 识及一些误区， 除误区；对多种方 多 角 度 解 决 问 法的对比，学会选
题并进行对比。 择 适 合 便 捷 的 解
Ⅱ
12
恒等变换 ； 图象与性质
解三角形
解三角形
I 2016
II
5+12 5× 2+5
I 2017
II
5+12 5+12
图象与性质 图象与性质 ； 恒等变换
图象与性质
解三角形 图象与性质
解三角形
解三角形 解三角形
教
学 环
环节设计
节
师生活动
设计意图
引例 1（ 2016 年全国 I 理 13）
教师引导
学生 通过对
——定三角形的 边角问题，其化 简、计算简单却形 式灵活化，更加侧 重于三角函数的 变化及边的相互 关系的转化。
（ 2）若 6 cos B cosC 1, a 3 ，求
ABC 的周长 .
例 2（2013 年全国新课标理 17）
教师引导
体会 全国卷
百度文库
△ ABC 的内角 A， B，C 的对边分别为
a， b， c ，已知 a bcosC csinB .
考 段 C 上，且 D 2DC ， D 点 预 则 cosC __________． 测
4 3 ， 问题联系起来， 殊边的问题，同时 3 更 为便 捷的 解 学 会利 用多种角
决问题。
度看待问题。
小
含特殊边的解三角形问题，需从特殊边的特点入手，在大三角形与两个
结 小三角形中找联系，在运用相关定理解题。
△ 分析近五年高考考查的形式和知识点
时间 分值
《三角函数》考试内容及命题形式
选择题
填空题
解答题
Ⅰ 2013
Ⅱ
5+12 5+12
恒等变换 恒等变换
解三角形 解三角形
Ⅰ 5× 2+5 定义、 图象与性质 ；恒等变换
2014
Ⅱ 5× 2+5
解三角形 ； 图象与性质
解三角形 恒等变换
Ⅰ 5× 2+5
2015
函数的最值） 和
余弦定理（基本
不等式）。
解三角形问题中的“定三角形”和“不定三角形”均需学生观察条件形
小 结
式灵活运用三角恒等变化，熟练掌握三角函数的图象与性质，并在相关解三
角形的定理、公式运用上找准切入口。
引例 2（2016 年全国 III 理 8）
教师引导
“含 特殊边
在 ABC 中，B , BC 边上的高等于 4
（ 2）若 AD 1,DC
性，将三角形一
分为二后， 两个
三 角形 具有 很
2 2
，求 BD
相同的性质。
和 AC 的长 . A
B
D
练 2：如图，在
C C 中，
教师引导
自设考题，帮
sin
C 3，
2
3
2，点 D 在线 学 生 将 特 殊 边 助 学 生 举 一 反 三 的 表示 与向 量 的 训练 三角形特
引 1 BC ，则 cos A （ ） . 例3
复
3 10
10
习
A. 10
B. 10
从高入手， 构造 的三角形”需学生 直 角三 角形 从 画 图观 察找边的 而解决问题。 特 殊 性 进 行 解 决
问题，能够帮助学 生形成从特殊性
10 C.
10
3 10 D.
10
入手的解题习惯。
例 3（2017 年全国 III 理 17）
对比条件
通过 对近几
ABC 的内角 A， B，C 的对边分别为 形式，实际仍是 年考题的对比，整
考 a,b,c ， 已 知 sin A 3 cos A 0 ， 考 察 高 — — 直 理 出 三 角 形 特 殊
题 对 a 2 7,b 2.
比
（ 1）求 c ；
角 三 角 形 的 问 边的考点，使学生
题。
一 .教学目标： 1.知识与能力目标：
(1) 能对主要三角公式、正余弦定理和面积公式等熟练运用，对其形式有足 够的敏感度；
(2)能灵活运用定理、公式等工具来解三角形及其有关问题； (3) 初步感受全国卷对三角函数的考察，同时了解近几年全国卷考题的形式 与变化 2.过程与方法目标： (1) 在理解知识内容和方法的基础上，能调动已有的三角知识储备，经历解 三角形的构建过程，形成良好的整体认知结构； (2) 引导学生自主地发表自己的见解，养成对条件合理分析的习惯，从而形 成解决问题的过程 . 3.情感态度价值观目标： 在分析探究条件与结论关系的过程中，使学生体会到数学各知识间的联系， 数与形的辩证统一，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的探究精神 . 三 .教学重点难点： 利用正余弦定理、主要的三角公式和基本不等式解三角形及其有关问题 . 四 .教学方法： 启发式 五 .教具准备： PowerPoint 课件 六 .教学过程：
题策略。
例 1（2017 年全国 II 理 17） ABC
教师引导
初步 感受全
的内角 A，B，C 的对边分别为 a,b,c， 学 生 熟 练 运 用 国卷考察形式
入 已知 sin( A C) 8 sin 2 B .
手
2
高
（ 1）求 cos B ；
考
（ 2）若 a c 6, ABC 的面积为
2，求 b .
本
1. 小结全国卷中三角函数近几年
关 注
（ 1）求 B ；
往
（ 2）若 b 2 ，求 △ ABC 面积的
年 考 最大值 .
法
学 生进 行边 角 的 往年 考法 —— 关系的转化， 再 不 定 三 角 形 的 最 针对“已知一边 值问题，仍是借助 一对角”的三角 正、余弦定理进行 形 最 值 问 题 的 转化。 两 法对 比— — 正弦定理（三角
练 1（2017 年全国 I 理 17） ABC 内角 A，B，C 的对边为 a,b,c，已知
练 习
ABC 的面积为 a2 . 3sin A
巩
固
（ 1）求 sin B sin C ；
公 式提 炼问 题 本质，并懂得转 化相关形式： a c, ac , a 2 c2
使学生在 训 练中 暴露 问 题，规范学生的 解题格式。
能够从特殊性入
手寻求解题策略。
（ 2）设 D 为 BC 边上一点，且
AD AC ，求 ABD 的面积 .
变式 1（2015 年全国 II 理 17）
教师引导
在 ABC 中， D 为 BC 边上一点， AD 学生分析“角平 平分 BAC ，△ ABD 是 △ ADC 面积的 分 线 ” 的 特 殊
2 倍． （ 1）求 sin B ； sin C
ABC 内角 A，B， C 的对边为 a,b,c， 学生，回顾三角 简 单 问 题 的 解 题
引
若 cos A
4 , cosC
5 , a 1 ，则
例
5
13
复 b _______.
习
函 数 的 相 关 知 方法进行梳理、排 识及一些误区， 除误区；对多种方 多 角 度 解 决 问 法的对比，学会选
题并进行对比。 择 适 合 便 捷 的 解
Ⅱ
12
恒等变换 ； 图象与性质
解三角形
解三角形
I 2016
II
5+12 5× 2+5
I 2017
II
5+12 5+12
图象与性质 图象与性质 ； 恒等变换
图象与性质
解三角形 图象与性质
解三角形
解三角形 解三角形
教
学 环
环节设计
节
师生活动
设计意图
引例 1（ 2016 年全国 I 理 13）
教师引导
学生 通过对
——定三角形的 边角问题，其化 简、计算简单却形 式灵活化，更加侧 重于三角函数的 变化及边的相互 关系的转化。
（ 2）若 6 cos B cosC 1, a 3 ，求
ABC 的周长 .
例 2（2013 年全国新课标理 17）
教师引导
体会 全国卷
百度文库
△ ABC 的内角 A， B，C 的对边分别为
a， b， c ，已知 a bcosC csinB .
考 段 C 上，且 D 2DC ， D 点 预 则 cosC __________． 测
4 3 ， 问题联系起来， 殊边的问题，同时 3 更 为便 捷的 解 学 会利 用多种角
决问题。
度看待问题。
小
含特殊边的解三角形问题，需从特殊边的特点入手，在大三角形与两个
结 小三角形中找联系，在运用相关定理解题。
△ 分析近五年高考考查的形式和知识点
时间 分值
《三角函数》考试内容及命题形式
选择题
填空题
解答题
Ⅰ 2013
Ⅱ
5+12 5+12
恒等变换 恒等变换
解三角形 解三角形
Ⅰ 5× 2+5 定义、 图象与性质 ；恒等变换
2014
Ⅱ 5× 2+5
解三角形 ； 图象与性质
解三角形 恒等变换
Ⅰ 5× 2+5
2015
函数的最值） 和
余弦定理（基本
不等式）。
解三角形问题中的“定三角形”和“不定三角形”均需学生观察条件形
小 结
式灵活运用三角恒等变化，熟练掌握三角函数的图象与性质，并在相关解三
角形的定理、公式运用上找准切入口。
引例 2（2016 年全国 III 理 8）
教师引导
“含 特殊边
在 ABC 中，B , BC 边上的高等于 4
（ 2）若 AD 1,DC
性，将三角形一
分为二后， 两个
三 角形 具有 很
2 2
，求 BD
相同的性质。
和 AC 的长 . A
B
D
练 2：如图，在
C C 中，
教师引导
自设考题，帮
sin
C 3，
2
3
2，点 D 在线 学 生 将 特 殊 边 助 学 生 举 一 反 三 的 表示 与向 量 的 训练 三角形特
引 1 BC ，则 cos A （ ） . 例3
复
3 10
10
习
A. 10
B. 10
从高入手， 构造 的三角形”需学生 直 角三 角形 从 画 图观 察找边的 而解决问题。 特 殊 性 进 行 解 决
问题，能够帮助学 生形成从特殊性
10 C.
10
3 10 D.
10
入手的解题习惯。
例 3（2017 年全国 III 理 17）
对比条件
通过 对近几
ABC 的内角 A， B，C 的对边分别为 形式，实际仍是 年考题的对比，整
考 a,b,c ， 已 知 sin A 3 cos A 0 ， 考 察 高 — — 直 理 出 三 角 形 特 殊
题 对 a 2 7,b 2.
比
（ 1）求 c ；
角 三 角 形 的 问 边的考点，使学生
题。