暨南大学概率论与数理统计标准答案

暨 南 大 学 考 试 试 卷

一、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）

1．某班共有30名学生，其中3名来自北京。今从班上任选2名学生去参观展览，其中恰有1名学生来自北京的概率为 27/145 。 2．一批产品的废品率为0.1，从中重复抽取m 件进行检查，这m 件产品中至少有1件废品的概率为

1(0.9)

m -。

3．设连续型随机变量2,01~()0,x x x ξϕ<<⎧=⎨⎩其它，则1()2P ξ<= 1/4 。

4．设二元随机变量(,)ξη的联合概率密度函数为

(),0,1

(,)0,x y ce x y x y ϕ-+⎧<<=⎨⎩

其他,

则c =

12

(1)e ---。

5．设随机变量ξ服从正态分布()N 24,3，则ξ的期望E ξ= 4 ，

方差D ξ= 9 。

二、单选题（共5小题，每小题3分，共15分。请

把正确答案填在题后的括号内）

1．设A 、B 、C 为三个事件，则事件“A 、B 、C 中恰有两个发生”可表示为（ (c) ）。

(a) AB AC BC ++； (b) A B C ++； (c) ABC ABC ABC ++； (d) ABC 2．已知随机变量ξ具有如下分布律

1230.1p k j ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭

， 且2() 5.3E ξ=，则j =（ (a) ）。

(a) 0.5； (b) 0.2； (c) 0； (d) 0.1 3．设随机变量ξ服从二项分布(100,0.1)B ，则ξ的期望E ξ和方差D ξ分别为（ (b) ）。

(a) E ξ=10，D ξ=0.09； (b) E ξ=10，D ξ=9； (c) E ξ=90，D ξ=10； (d) E ξ=1，D ξ=3

4．设随机变量ξ服从指数分布，其概率密度函数为22,0()0,0x e x x x ϕ-⎧>=⎨≤⎩，则ξ的

期望E ξ=（ (c) ）。

(a) 4； (b) 2； (c)

12； (d) 1

4

5．设123,μμμ和为总体期望值μ的三个无偏估计量，且1213,D D D D μμμμ<<，则以下结论（ (d) ）成立。

(a) 1μ是μ的有效估计量； (b) 2μ是比1μ有效的估计量； (c) 3μ是比1μ有效的估计量； (d) 1μ是比2μ有效的估计量

三、计算题（本题12分）

设有相同规格的杯子13个，其中白色7个，绿色6个。现将其分放在甲、

乙两个箱子中，在甲箱子中放入5个白色杯子和3个绿色杯子，其余的放入乙箱子中。

(1) 今从甲箱中任取一个杯子放入乙箱，再从乙箱中取出一个杯子，求取到白色杯子的概率。

(2) 若(1)题中从乙箱取出的是白色杯子，求从甲箱中取出绿色杯子放入乙箱的概率。

解 用B 表示事件：“从乙箱中取出一个杯子为白色杯子”；

A 表示事件：

“从甲箱中任取一个放入乙箱的杯子为白色杯子”； A 表示事件：

“从甲箱中任取一个放入乙箱的杯子为绿色杯子”。 （1）由全概率公式，所求事件的概率为：

5332527

()()(|)()(|).8686161616

P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=+= （7分）

（2）由贝叶斯公式，所求事件的概率为：

32()(|)286(|).77()(|)()(|)

16P A P B A P A B P A P B A P A P B A ⨯

==

=+ （12分）

四、计算题（本题8分）

设随机变量ξ服从正态分布(2)N 2,2，求(|2|2)P ξ-<及(1)P ξ>。 解 由于~(2)N ξ2,2，则2

~(0)2

N ξη-=

,1。于是

02

2

(|2|2)(|

|)(||1)

22

2(1)120.841310.6826. 4P P P ξξη--<=<=<=Φ-=⨯-=（分）

00212

(1)(

)(0.5)1(0.5)

22

1(0.5)(0.5)0.6915. 8P P P P ξξηη-->=>=>-=-≤-=-Φ-=Φ=（分）

五、证明题（本题10分）

设总体ξ的概率密度函数为22

()2()x x βδϕ--=（,0δβδ>为参数，且），

12(,,,)n x x x ⋅⋅⋅为总体ξ的一组样本观察值。试证明2δ的最大似然估计为

221

1ˆ()n i i x x n δ==-∑，其中x 为样本观察值12(,,,)n x x x ⋅⋅⋅的平均数。 证明 似然函数为

222

2

1

1

()()222

21()n

i i i x n

x n

n i L e

ββδδδ=--

--

=∑==⋅，

22

21

1ln ln ()

22n

i

i n L n x δβδ==---∑， （3分）

2

2

224

1

1

ln 1

ln 1

(),

()

.22n

n

i

i

i i L L n x x βββδ

δδδ==∂∂=-=-+-∂∂∑∑

令2ln ln 0L L βδ∂∂==∂∂得： 21

224

11()01()0,22n

i i n

i i x n x βδβδ

δ==⎧-=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩∑∑ （7分）

由上述方程组解得2βδ及的最大似然估计分别为

11ˆn i i x x n β===∑， 22211

11ˆˆ()()n n

i i i i x x x n n δβ===-=-∑∑. （10分）

六、应用题（本题10分）

已知一批零件的长度（单位：dm ）服从正态分布())N μ21

,(5

，从中随机抽

取9个零件，测得其长度如下：

6.11，5.89，5.98，6.00，6.10，5.90，6.02，5.90，6.10，

试求置信度为0.995的期望μ的置信区间。

解 令9n =，221

()5

σ=，0.005α=。样本的平均数为

1

(6.11+5.89+5.98+6.00+6.10+5.90+6.02+5.90+6.10)=6.009

X =，

由0()11

0.00250.99752u αα

Φ=-=-=及参考数据得 2.81u α=. （4分） 2.810.1873α=

≈，从而置信度为0.995的期望μ的置信区间为：