工程力学课件 扭转

T D 199 ×103 = ⋅ = ×15 = 37.5MPa 4 I p1 2 7.95 ×10
CB 段内
CB τ min
T d 199 ×103 = ⋅ = ×10 = 31.2MPa 4 I p2 2 6.38 ×10 T D 199 ×103 = ⋅ = ×15 = 46.8MPa 4 I p2 2 6.38 ×10
π D4
4
= 32
π × 304
= 7.95 ×104 mm 4 32
4
4 πD π 30 20 4 4 4 I p2 = (1 − α ) = 1 − = 6.38 × 10 mm 32 32 30
（3）计算切应力 AC 段内
AC τ min =0 AC τ max
Me
A
( rad/m)
A
γmax
Me
B B'
dϕ T γρ = ρ⋅ = ρ⋅ dx GI p
Me
γmax
Me
B B'
例4 已知汽车传动轴，外径D=76mm，内径d=71mm，外力偶矩 Me=1.98 kN·m, [τ]=100MPa， [ϕ']=2°/m， G=80GPa，校核强 度和刚度。
D Me
τp
τ = Gγ
单位：GPa 材料的另一个弹性常数 切变模量 G需要由试验测定
低碳钢
E ≈ 200GPa µ ≈ 0.25 ~ 0.33 G ≈ 75 ~ 80GPa
对于各向同性材料，三个弹性常数 E、 G、μ 之间的关系
E G= 2 (1 + µ )
各向同性材料只有两个独立的弹性常数
dϕ τρ = G ρ dx
GIp 抗扭刚度
T τρ = ρ Ip
圆截面上任意一点切应力
T
T τ= ρ Ip
圆截面上最大切应力
ρ
τ
τ max
T T = ρ ρ = R = τ τ= = R max max Ip Ip / R
记： Wt =
Ip R
称之为抗扭截面系数
Me
τ
τ max
T = Wt
注： ① 只适用于圆轴扭转，实心或空心，且 ② 实心圆轴和空心圆轴扭转切应力分布
# 静力学关系
dϕ τρ = G ρ dx
在整个横截面上，所有微力矩之和应等于截面上的扭矩 T
∫
A
ρτ ρ dA = T
dϕ T =G dx
令
∫
A
ρ dA
2
ρ
dA
τ ρ dA
I p = ∫ ρ dA
2 A
称为横截面对圆心的极惯性矩
dϕ T =G dx
∫
A
ρ dA
2
I p = ∫ ρ dA
2 A
dϕ T = dx GI p
讨论：如果选择实心圆截面，要求它与空心轴的强度相同
等强度
实心轴的直径 d1
等抗扭截面系数
π D3
(1 − α 4 ) = 16 16
π d13
d1 = D 3 1 − α 4 = 47.1mm
重量比＝截面积比
A空心 π ( D 2 − d 2 ) / 4 = = = 33.4% 2 A实心 π d1 / 4
MeB
MeC
MeA
MeD
B
C A
D
PA=36kW，PB=PC=11kW，PD=14kW，n=300r/min
MeB MeC MeA MeD
B
C A
D
解：1、由功率计算外力偶矩
PA 36 = M eA 9549 = 9549 = 1146Nm n 300
M = M = 350Nm eB eC M eD = 446Nm
C
2
T
A
3
D
T3 = 446 Nm Tmax=700 N·m 思考：如果调换A 和D？主动轮在什 么位置比较适宜?
446N·m
+
x 350N·m
700N·m
集中外力偶矩作用处，扭矩图发生突变， 突变值等于外力偶矩值。
9-3
纯
剪
切
一、薄壁圆筒扭转时的切应力
试验观察 将一薄壁圆筒表面用纵向线 和圆周线划分 两端施以大小相等方向相反 一对力偶 M
ϕ AB
B截面相对于A截面 的扭转角
# 如果在AB区间内
ϕ AB
Ti li =∑ Gi I pi
注意：Ti 应是代数值，有+ -号
" ∑ "是代数和
二、刚度条件
＃刚度校核
′ ≤ [ϕ ′] 刚度条件 ϕ max
其中
＃设计截面 ＃计算许可载荷 ( o/m )
′ ϕ max
Tmax 180o = GI p π
2、求各段的扭矩
MeB 1 MeC 2 MeA MeD
B MeB
1 T1
C
2
A
D
(设正)
MeB MeC T2
(设正) T1 = − M eB = −350 Nm (负扭矩)
BC段 CA段
T1 + M eB = 0 T2 + M eC + M eB = 0
T2 = − M eC − M eB = −700 Nm (负扭矩)
A
Wt =
Ip R
ρ
O
# 实心圆截面
dA = 2πρdρ
D 2 0
D
3 D π D Ip = Wt I= ∫ ρ 2 2πρ dρ = = p / 2 16 32
π D4
π D4 Ip = 32
Wt =
π D3
16
# 空心圆截面
= Ip
∫
D
2
d
ρ 2= πρ dρ
2
π
32
(D4 − d 4 )
O
第九章
扭 转
本章主要内容 本章主要内容
扭转的概念和实例 外力偶矩的计算 纯剪切 圆轴扭转时的应力和强度条件 圆轴扭转时的变形和刚度条件
扭矩和扭矩图
9-1
扭转的概念和实例
扭转工程实例
P P
扭转工程实例
扭转工程实例
传动轴
扭转工程实例
T
T
Me
A' A
γ
Me
B ϕ B'
受力特点——在垂直于杆轴的两平面内分别作用两个等
2
Ip π = (D4 − d 4 ) Wt = D / 2 16 D
令
d / D =α
Ip =
d D
π D4
32 π D3 Wt = (1 − α 4 ) 16
(1 − α 4 )
I p − mm 4 ; Wt − mm3
例2 AB轴传递的功率 P = 7.5kW，转速 n=360r/min，轴AC段为实 心圆截面，CB段为空心圆截面。已知D=3cm，d = 2cm。试计算 AC 和 CB 段的最大与最小切应力。 解：（1）计算扭矩 外力偶矩为： P 7.5 M e = 9549 = 9549 × = 199 Nm n 360 T M = 199 Nm 由截面法 = e （2）计算极惯性矩 AC段 BC段 = I p1
例5 已知传动轴，n=300r/min。主动轮输入功率PA=400kW,从动 轮B、C、D输出的功率PD=160kW, PB=PC=120kW。每段长度 均为0.5m。轴材料[τ]=30MPa, [ϕ']=0.3°/m, G=80GPa。 求：1、设计轴的直径。2、按所设计的直径计算相对扭转角ϕBD。 3、将mA和mD交换位置，会发生什么问题。
Me
0.238 解： = α d= / D 0.934 1 − α 4 =
16 M e T 32 M e T 180o 180o τ max = = = ϕ′ = 满足强度 3 4 4 4 Wp π D (1 − α ) GI p π Gπ D (1 − α ) π 刚度条件 o = = 1.81 / m ≤ [ϕ ′] = = 96.6MPa ≤ [τ ]
A
2. 单位长度扭转角 3. 整体的扭转角
dϕ T = dx GI p
γmax
dϕ =
T dx GI p
B B'
ϕ AB = ∫ dϕ
A l
B
Me
Me
T Tl dx = =∫ 0 GI GI p p
ϕ AB
B截面相对于A截面 的扭转角
3. 整体的扭转角
A
ϕ AB
Tl = GI p
Me
γmax
Me
B B'
从圆轴内切取一个楔形体 放大后
dx
Me Me
γ
dϕ
O1
dx
# 变形几何关系
ρ
R
O2
dϕ
d
dd ′ = ρ dϕ
dd ′ = γ ρ dx
A B
a b
γρ
d′
c
γ D
C
c′
D′
C′
dd ′ = ρ dϕ
dd ′ = γ ρ dx
ρ
R
a b
O1
dx
O2
ρ dϕ = γ ρ dx
dϕ γρ = ρ dx dϕ 式中： = ϕ′ dx
单位长度扭转角 （常数）
A B
dφ
d
γρ
d′
c
γ D
C
c′
D′
C′
γρ ∝ ρ
# 物理方程
dϕ γρ = ρ dx
ρ
O1
dx
O2
R
dφ
如果 τ <τp，剪切胡克定律成立
a b
γρ
dϕ τρ G γρ G = = •ρ dx
τρ ∝ ρ
A B
γ D
d d′ c c′
D′
C
C′
dϕ =? dx
τmax
MeB 1 MeC
2
MeA
3
MeD
B MeB
1 T1
C
2
A
3
D
MeB
MeC
T2 T3 MeD
(设正) 0 AD段 −T3 + M eD = = T3 M = 446 Nm (正扭矩) eD
3、画扭矩图
MeB 1 MeC 2 MeA 3 MeD
T1 = −350 Nm T2 = −700 Nm
B
1
W ′ = M eφ = M e × 2πn = 2πnM e
W =W'
{P}kW {M e }N m = 9 549 {n}r / min
2、扭矩和扭矩图
求横截面的内力 — 截面法
Me
n
Me
∑Mx = 0
T − Me = 0
T = Me
n
Me
n
n
Me
T
n T — 扭矩
x
T
n
取右段呢？
扭矩的符号规定 ----右手螺旋法则
δ
r
τ ⋅ dA
τ
∫ τ ⋅ dA ⋅ r = T
A
τ ⋅ r ⋅ ∫ dA = T
A
T τ= 2π r 2δ
二、切应力互等定理
Me
dx
dy
dx
dy
τ′
dx
δ
τ
由静力平衡条件可以得到
τ′ τ
dy
τδdydx − τ ′δdxdy = 0
τ =τ'
切应力互等定理：在相互垂直的 两个平面上，切应力成对出现， 且数值相等，垂直于两个平面交 线，方向均指向或背离该交线。 纯剪切：单元体的各个侧面上只 有切应力没有正应力。
一、切应力τ 的推导
试验观察：
Me
Me
ϕ
试验现象： ① 圆周线大小形状不变，各圆周线间距离不变 ② 纵向线仍然保持为直线且相互平行，只是倾斜了 一个角度 γ 圆轴扭转的平面假设：
圆轴的横截面象刚性平面绕轴线作相对转动
# 截面保持平面 # 单位长度扭转角相同 # 半径保持直线
dϕ ϕ′ = dx
切应力的推导:
τmax
T T
τ max ≤ τ p
τmax
• 横截面上某点的切应力的方向与扭矩方向相同，并垂直 于该点与圆心的连线 • 切应力的大小与其和圆心的距离成正比 ③ 实心圆轴有很大一部分材料工作在低应力区， 合理的受扭截面应是空心圆轴
二、圆截面的几何量
极惯性矩 Ip 抗扭截面系数 Wp
dA
dρ
I p = ∫ ρ 2 dA
dxБайду номын сангаас
δ
τ
τ′
三、切应变 剪切胡克定律
切应变 γ
在切应力的作用下，单元 体的相对侧面发生微小错动， 使原来相互垂直的两个棱边的 夹角发生了微小的改变，这个 改变量γ 称为切应变。 切应变的单位为弧度，也是无量纲量 Me
ϕ
Me
rϕ γ= l
剪切胡克定律
当切应力不超过材料的剪切 比例极限τp 时，切应力与切应变 之间成正比关系。 引入比例因子 G
9-4 圆轴扭转的应力和强度条件
受扭圆轴横截面上有何应力？ 其应力公式如何分析与推导？
静力平衡方程
微剪力对圆心的力矩，称为微力矩 在整个横截面上，所有微力矩之和应等于截面上的扭矩 T
∫
A
ρτ ρ dA = T
几何关系 物理关系 应变分布
ρ
dA
τ ρ dA
观察变形
平面假设
应力分布 平衡方程
应力表达式
值，反向的力偶。
变形特点——杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相
对转动。 以扭转变形为主的杆件 — 称为轴 本章中，主要讨论圆轴扭转的强度和刚度问题
9-2
外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
输入功率：P(kW ) 转速：n (转/分)
1、外力偶矩的计算
Me
1分钟输入功： 1分钟Me作功：
W = 60 ×1000 × P = 60000 P
CB τ max
三、强度条件
Tmax Tmax τ max = = ρ max 注意到 Ip Wt
其中 Wt =
Ip
ρ max
( mm3 )
强度条件
τ max ≤ [τ ]
＃强度校核 ＃设计截面 ＃计算许可载荷
9-5 圆轴扭转的变形和刚度条件 一、扭转变形
1. 扭转角 两个横截面绕轴线的相对转角 = ϕ′
离开截面
指向截面
扭矩矢量方向与横截面外法线方向一致为正，相反为负。
扭矩图
表示扭矩沿轴线变化规律的图形，称为扭矩图
横轴 --- 横截面的位置 纵轴 --- 相应横截面上的扭矩

MB MA x
T
MA
+
0 x
例1 传动轴如图示，主动轮A输入功率为PA=36kW，从动轮B、 C、D输出功率分别为PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速为 n=300r/min，试画出轴的扭矩图。
ϕ
M
试验现象： ① 圆周线大小形状不变， 各圆周线间距离不变 ② 纵向线仍然保持为直线且 相互平行，只是倾斜了一 个角度 γ ③ 各圆周线转过了不同的角度
M
ϕ
M
关于横截面内应力的假设和推断： ① 横截面内没有正应力，只有切应力 ② 切应力沿着圆环的切线方向，沿 着圆周均匀分布 ③ 由于壁很薄，可以假设切应力沿 壁厚均匀分布 微剪力对圆心的力矩，称为微力矩 在整个横截面上，所有微力矩之和应等于截面上的扭矩 T