第八章向量代数与空间解析几何教案(同济大学版高数)
高等数学下册第八章 向量代数与空间解析几何
离.因为
PA 32 ( y 1)2 (z 2)2 ， PB 42 ( y 2)2 (z 2)2 ，
PC 02 ( y 5)2 (z 1)2 ，
所以 32 ( y 1)2 (z 2)2 42 ( y 2)2 (z 2)2 02 ( y 5)2 (z 1)2 ，
零向量: 模为 0 的向量,
向量相等、向量平行向量共线、负向量、向量共面.
DMU
第一节 向量的线性运算与空间直角坐标系
向量线性运算的几何表达 ➢加法
平行四边形法则:
b ab
(a b) c
c
bc
三角形法则: a ab
a (b c) ab b
b a
a
运算规律 : 交换律 a b b a
结合律 ( a b ) c a (b c ) a b c
解 4u 3v 4 2a b 2c 3 a 4b c 5a 16b 11c.
例 如果平面上一个四边形的对角线互相平分试用向量证明
这是平行四边形
证 ABOBOA , DC OCOD 而 OC OA OD OB
所以
DC OA OB OB OA AB
这说明四边形 ABCD 的对边 AB CD 且 AB // CD 从而四边形
第八章
向量代数与空间解析几何
第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何
在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面
数量关系 — 坐标, 方程（组） 基本方法 — 坐标法; 向量法
DMU
第八章 向量代数与空间解析几何
第一节 向量的线性运算与空间直角坐标系 第二节 数量积 向量积 混合积 第三节 平面及其方程 第四节 空间直线及其方程 第五节 曲面方程 第六节 空间曲线方程
同济大学 高数 第八章
1 1 2 解. AB 1,1, 2 , AB 2 , cos , cos , cos ,故 2 2 2 3 2 , , . 4 3 3 例.在第一卦限求点 A ,使得 OA 与 x , y 轴的夹角分别为 , ,且 OA 6 . 3 4 1 2 1 2 1 1 解. cos , cos cos , OA 6 2, 2 ,2 3,3 2,3 ,故 2 2 2 来自A 3,3 2,3 .
小兵整理
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老姚高数笔记
第八章 空间解析几何与向量代数 第 8.1 节 向量及其线性运算 一.基本概念
1.向量:既有大小,又有方向的量,一般记为 a , b , .
我们的向量均为自由向量.
2.模:向量的长度也称为模,记为 a . 4.零向量:模为 0 的向量,记为 0 ,规定它的方向是任意的. 5.共线:若向量 a , b 的方向相同或相反,则称它们平行,记为 a // b ,也称为共线.
互相垂直的数轴,分别称为 x 轴,y 轴,z 轴,这样就构成了 Oxyz 坐标系,也可称为 O, i , j , k 坐标系;习惯上,我们采用右手系,即 i , j , k 的方向满足右手法则.
x 轴与 y 轴确定的平面称为 xOy 面,类似地,有 yOz 面, xOz 面,统称为坐标平面,
x, y, z 为点 M 的空间直角坐标,记 M x, y, z .
定理. M x, y, z OM xi yj zk .
3.向量的坐标 设 r 为空间向量,记 x r cos Prji r , y r cos Prj j r , z r cos Prjk r , 则称有序数组 x, y, z 为向量 r 的坐标,记 r x, y, z . 定理.设 r AB ,若 A x1 , y1 , z1 , B x2 , y2 , z2 ,则 r x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 . 定理. r x, y, z r xi yj zk ,称为 r 的坐标分解式. 注. xi , yj , zk 分别称为 r 沿三根坐标轴方向的分向量. 四.坐标的应用 定理.设 a ax , a y , az , b bx , by , bz , ,则 (1) a b ax bx , a y by , az bz ;(2) a a x , a y , az .
第八章空间解析几何与向量代数
第八章空间解析几何与向量代数教学目的与要求：1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。
2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。
3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。
4、掌握平面方程和直线方程及其求法。
5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。
6、会求点到直线以及点到平面的距离。
7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。
8、了解空间曲线的参数方程和一般方程。
9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。
教学重点：1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算；2、两个向量垂直和平行的条件；3、平面方程和直线方程；4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件；5、点到直线以及点到平面的距离；6、常用二次曲面的方程及其图形；7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；8、空间曲线的参数方程和一般方程。
教学难点：1、向量积的向量运算及坐标运算；2、平面方程和直线方程及其求法；3、点到直线的距离；4、二次曲面图形；5、旋转曲面的方程；§8. 1 向量及其线性运算一、向量概念向量:在研究力学、物理学以及其他应用科学时,常会遇到这样一类量,它们既有大小,又有方向. 例如力、力矩、位移、速度、加速度等, 这一类量叫做向量.在数学上, 用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量. 有向线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向. 向量的符号:以A 为起点、B 为终点的有向线段所表示的向量记作→AB . 向量可用粗体字母表示, 也可用上加箭头书写体字母表示, 例如, a 、r 、v 、F 或→a 、→r 、→v 、→F .自由向量: 由于一切向量的共性是它们都有大小和方向, 所以在数学上我们只研究与起点无关的向量, 并称这种向量为自由向量, 简称向量. 因此, 如果向量a 和b 的大小相等, 且方向相同, 则说向量a 和b 是相等的, 记为a = b . 相等的向量经过平移后可以完全重合. 向量的模: 向量的大小叫做向量的模.向量a 、→a 、→AB 的模分别记为|a |、||→a 、||→AB . 单位向量: 模等于1的向量叫做单位向量.零向量: 模等于0的向量叫做零向量, 记作0或→0. 零向量的起点与终点重合, 它的方向可以看作是任意的.向量的平行: 两个非零向量如果它们的方向相同或相反, 就称这两个向量平行. 向量a 与b 平行, 记作a // b . 零向量认为是与任何向量都平行.当两个平行向量的起点放在同一点时, 它们的终点和公共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线.类似还有共面的概念. 设有k (k ≥3)个向量, 当把它们的起点放在同一点时, 如果k 个终点和公共起点在一个平面上, 就称这k 个向量共面. 二、向量的线性运算1．向量的加法向量的加法: 设有两个向量a 与b , 平移向量使b 的起点与a 的终点重合, 此时从a 的起点到b 的终点的向量c 称为向量a 与b 的和, 记作a +b , 即c =a +b . 三角形法则:上述作出两向量之和的方法叫做向量加法的三角形法则. 平行四边形法则:当向量a 与b 不平行时, 平移向量使a 与b 的起点重合, 以a 、b 为邻边作一平行四边形, 从公共起点到对角的向量等于向量a 与b 的和a +b . 向量的加法的运算规律:ba c A BC BC(1)交换律a +b =b +a ;(2)结合律(a +b )+c =a +(b +c ).由于向量的加法符合交换律与结合律, 故n 个向量a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n (n ≥3)相加可写成a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅+a n ,并按向量相加的三角形法则, 可得n 个向量相加的法则如下: 使前一向量的终点作为次一向量的起点, 相继作向量a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n , 再以第一向量的起点为起点, 最后一向量的终点为终点作一向量, 这个向量即为所求的和. 负向量:设a 为一向量, 与a 的模相同而方向相反的向量叫做a 的负向量, 记为-a . 向量的减法:我们规定两个向量b 与a 的差为b -a =b +(-a ).即把向量-a 加到向量b 上, 便得b 与a 的差b -a . 特别地, 当b =a 时, 有 a -a =a +(-a )=0.显然, 任给向量→AB 及点O , 有 →→→→→A O OB OB O A AB -=+=,因此, 若把向量a 与b 移到同一起点O , 则从a 的终点A 向b 的终点B 所引向量→AB 便是向量b 与a 的差b -a . 三角不等式:由三角形两边之和大于第三边的原理, 有|a +b |≤|a |+|b |及|a -b |≤|a |+|b |,其中等号在b 与a 同向或反向时成立. 2．向量与数的乘法向量与数的乘法的定义:向量a 与实数λ的乘积记作λa , 规定λa 是一个向量, 它的模|λa |=|λ||a |, 它的方向当λ>0时与a 相同, 当λ<0时与a 相反.当λ=0时, |λa |=0, 即λa 为零向量, 这时它的方向可以是任意的. 特别地, 当λ=±1时, 有1a =a , (-1)a =-a .b -a b ∆ab ab -a运算规律:(1)结合律 λ(μa )=μ(λa )=(λμ)a ； (2)分配律 (λ+μ)a =λa +μa ； λ(a +b )=λa +λb .例1. 在平行四边形ABCD 中, 设−→−AB =a , −→−AD =b .试用a 和b 表示向量−→−MA 、−→−MB 、−→−MC 、−→−MD , 其中M 是平行四边形对角线的交点.解 由于平行四边形的对角线互相平分, 所以 a +b −→−−→−==AM AC 2, 即 -(a +b )−→−=MA 2, 于是 21-=−→−MA (a +b ).因为−→−−→−-=MA MC , 所以21=−→−MC (a +b ).又因-a +b −→−−→−==MD BD 2, 所以21=−→−MD (b -a ). 由于−→−−→−-=MD MB , 所以21=−→−MB (a -b ).例1 在平行四边形ABCD 中, 设→a =AB , →b =AD . 试用a 和b 表 示向量→MA 、→MB 、→MC 、→MD , 其中M 是平行四边形对角线的交点.解 由于平行四边形的对角线互相平分, 所以 →→→MA AM AC 22-===+b a ,于是→)(21b a +-=MA ; →→)(21b a +=-=MA MC .因为→→MD BD 2==+-b a , 所以→)(21a b -=MD ; →→)(21b a -=-=MD MB向量的单位化:设a ≠0, 则向量||a a 是与a 同方向的单位向量, 记为e a .于是a =|a |e a .向量的单位化:BCDBCD设a ≠0, 则向量||a a 是与a 同方向的单位向量, 记为e a .于是a = | a | e a .定理1 设向量a ≠ 0, 那么, 向量b 平行于a 的充分必要条件是: 存在唯一的实数λ, 使 b = λa .证明: 条件的充分性是显然的, 下面证明条件的必要性.设b // a . 取||a b ||||=λ, 当b 与a 同向时λ取正值, 当b 与a 反向时λ取负值, 即b =λa . 这是因为此时b 与λa 同向, 且|λa |=|λ||a ||b ||a a b ==|||||.再证明数λ的唯一性. 设b =λa , 又设b =μa , 两式相减, 便得 (λ-μ)a =0, 即|λ-μ||a |=0. 因|a |≠0, 故|λ-μ|=0, 即λ=μ.给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴. 设点O 及单位向量i 确定了数轴Ox , 对于轴上任一点P , 对应一个向量→OP , 由→OP //i , 根据定理1, 必有唯一的实数x , 使→OP =x i (实数x 叫做轴上有向线段→OP 的值), 并知→OP 与实数x 一一对应. 于是 点P ↔向量→OP = x i ↔实数x ,从而轴上的点P 与实数x 有一一对应的关系. 据此, 定义实数x 为轴上点P 的坐标. 由此可知, 轴上点P 的坐标为x 的充分必要条件是 →OP = x i . 三、空间直角坐标系在空间取定一点O 和三个两两垂直的单位向量i 、j 、k , 就确定了三条都以O 为原点的两两垂直的数轴, 依次记为x 轴(横轴)、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴), 统称为坐标轴. 它们构成一个空间直角坐标系, 称为Oxyz 坐标系.注: (1)通常三个数轴应具有相同的长度单位;(2)通常把x 轴和y 轴配置在水平面上, 而z 轴则是铅垂线; (3)数轴的的正向通常符合右手规则. 坐标面:在空间直角坐标系中, 任意两个坐标轴可以确定一个平面, 这种平面称为坐标面. x 轴及y 轴所确定的坐标面叫做xOy 面, 另两个坐标面是yOz 面和zOx 面.卦限:三个坐标面把空间分成八个部分, 每一部分叫做卦限, 含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限,它位于xOy面的上方.在xOy面的上方,按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限.在xOy面的下方,与第一卦限对应的是第五卦限,按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限和第八卦限.八个卦限分别用字母I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII表示.向量的坐标分解式:任给向量r,对应有点M,使→r=OM.以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体,有→→→→→→→OROQOPNMPNOPOM++=++==r,设→i xOP=,→j yOQ=,→k zOR=,则→kjir zyxOM++==.上式称为向量r的坐标分解式,x i、y j、z k称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量.显然,给定向量r,就确定了点M及→i xOP=,→j yOQ=,→k zOR=三个分向量,进而确定了x、y、z三个有序数;反之,给定三个有序数x、y、z也就确定了向量r与点M.于是点M、向量r与三个有序x、y、z之间有一一对应的关系→),,(zyxzyxOMM↔++==↔kjir.据此,定义:有序数x、y、z称为向量r(在坐标系Oxyz)中的坐标,记作r=(x,y,z);有序数x、y、z也称为点M(在坐标系Oxyz)的坐标,记为M(x,y,z).向量→OM=r称为点M关于原点O的向径.上述定义表明,一个点与该点的向径有相同的坐标.记号(x,y,z)既表示点M,又表示向量→OM.坐标面上和坐标轴上的点,其坐标各有一定的特征.例如:点M在yOz面上,则x=0;同相,在zOx面上的点,y=0;在xOy面上的点,z=0.如果点M在x轴上,则y=z=0;同样在y轴上,有z=x=0;在z轴上的点,有x=y=0.如果点M为原点,则x=y=z=0.四、利用坐标作向量的线性运算设a=(a x,a y,a z),b=(b x,b y,b z)即a=a x i+a y j+a z k,b=b x i+b y j+b z k,则a+b=(a x i+a y j+a z k)+(b x i+b y j+b z k)=(a x+b x)i+(a y+b y)j+(a z+b z)k=(a x+b x,a y+b y,a z+b z).a-b=(a x i+a y j+a z k)-(b x i+b y j+b z k)=(a x-b x)i+(a y-b y)j+(a z-b z)k=(a x-b x,a y-b y,a z-b z).λa =λ(a x i +a y j +a z k ) =(λa x )i +(λa y )j +(λa z )k =(λa x , λa y , λa z ).利用向量的坐标判断两个向量的平行: 设a =(a x , a y , a z )≠0, b =(b x , b y , b z ), 向量b //a ⇔b =λa , 即b //a ⇔(b x , b y , b z )=λ(a x , a y , a z ), 于是zzy y x x a b a b a b ==. 例2 求解以向量为未知元的线性方程组⎩⎨⎧=-=-b y x ay x 2335,其中a =(2, 1, 2), b =(-1, 1, -2).解 如同解二元一次线性方程组, 可得 x =2a -3b , y =3a -5b . 以a 、b 的坐标表示式代入, 即得x =2(2, 1, 2)-3(-1, 1, -2)=(7, -1, 10), y =3(2, 1, 2)-5(-1, 1, -2)=(11, -2, 16).例3 已知两点A (x 1, y 1, z 1)和B (x 2, y 2, z 2)以及实数λ≠-1, 在直线AB 上求一点M , 使→→MB AM λ=. 解 由于→→→OA OM AM -=, →→→OM OB MB -=, 因此 →→→→)(OM OB OA OM -=-λ,从而→→→)(11OB OA OM λλ++= . ) 1 ,1 ,1 (212121λλλλλλ++++++=x x x x x x , 这就是点M 的坐标.另解 设所求点为M (x , y , z ), 则→) , ,(111z z y y x x AM ---=, →) , ,(222z z y y x x MB ---=. 依题意有→→MB AM λ=, 即(x -x 1, y -y 1, z -z 1)=λ(x 2-x , y 2-y , z 2-z ) (x , y , z )-(x 1, y 1, z 1)=λ(x 2, y 2, z 2)-λ(x , y , z ),) , ,(11) , ,(212121z z y y x x z y x λλλλ++++=,λλ++=121x x x , λλ++=121y y y , λλ++=121z z z . 点M 叫做有向线段→AB 的定比分点. 当λ=1, 点M 的有向线段→AB 的中点, 其坐标为 221x x x +=, 221y y y +=, 221zz z +=. 五、向量的模、方向角、投影 1．向量的模与两点间的距离公式 设向量r =(x , y , z ), 作→r =OM , 则 →→→→OR OQ OP OM ++==r , 按勾股定理可得222||||||||||OR OQ OP OM ++==r , 设 →i x OP =, →j y OQ =, →k z OR =, 有 |OP |=|x |, |OQ |=|y |, |OR |=|z |,于是得向量模的坐标表示式 222||z y x ++=r . 设有点A (x 1, y 1, z 1)、B (x 2, y 2, z 2), 则→→→OA OB AB -==(x 2, y 2, z 2)-(x 1, y 1, z 1)=(x 2-x 1, y 2-y 1, z 2-z 1), 于是点A 与点B 间的距离为→212212212)()()(||||z z y y x x AB AB -+-+-==.例4 求证以M 1(4, 3, 1)、M 2 (7, 1, 2)、M 3 (5, 2, 3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解 因为 | M 1M 2|2 =(7-4)2+(1-3)2+(2-1)2 =14, | M 2M 3|2 =(5-7)2+(2-1)2+(3-2)2 =6, | M 1M 3|2 =(5-4)2+(2-3)2+(3-1)2 =6, 所以|M 2 M 3|=|M 1M 3|, 即∆ M 1 M 2 M 3为等腰三角形.例5 在z 轴上求与两点A (-4, 1, 7)和B (3, 5, -2)等距离的点. 解 设所求的点为M (0, 0, z ), 依题意有|MA |2=|MB |2,即 (0+4)2+(0-1)2+(z -7)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.解之得914=z , 所以, 所求的点为)914,0 ,0(M .例6 已知两点A (4, 0, 5)和B (7, 1, 3), 求与→AB 方向相同的单位向量e . 解 因为→)2 ,1 ,3()5 ,0 ,4()3 ,1 ,7(-=-=AB , →14)2(13||222=-++=AB , 所以 →→)2 ,1 ,3(141||-==AB AB e .2．方向角与方向余弦当把两个非零向量a 与b 的起点放到同一点时, 两个向量之间的不超过π的夹角称为向量a 与b 的夹角, 记作^) ,(b a 或^) ,(a b . 如果向量a 与b 中有一个是零向量, 规定它们的夹角可以在0与π之间任意取值.类似地, 可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角. 非零向量r 与三条坐标轴的夹角α、β、γ称为向量r 的方向角. 向量的方向余弦: 设r =(x , y , z ), 则x =|r |cos α, y =|r |cos β, z =|r |cos γ . cos α、cos β、cos γ 称为向量r 的方向余弦.||cos r x =α, ||cos r y=β, ||cos r z =γ.从而 r e r r ==||1)cos ,cos ,(cos γβα. 上式表明, 以向量r 的方向余弦为坐标的向量就是与r 同方向的单位向量e r . 因此cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1. 例3 设已知两点)2 ,2 ,2( A )和B (1, 3, 0), 计算向量→AB 的模、方向余弦和方向角. 解 →)2 ,1 ,1()20 ,23 ,21(--=---=AB ; →2)2(1)1(||222=-++-=AB ;21cos -=α, 21cos =β, 22cos -=γ;32πα=, 3πβ=, 43 πγ=.3．向量在轴上的投影设点O 及单位向量e 确定u 轴.任给向量r , 作→r =OM , 再过点M 作与u 轴垂直的平面交u 轴于点M '(点M '叫作点M 在u 轴上的投影), 则向量→M O '称为向量r 在u 轴上的分向量. 设→e λ='M O , 则数λ称为向量r 在u 轴上的投影, 记作Prj u r 或(r )u .按此定义, 向量a 在直角坐标系Oxyz 中的坐标a x , a y , a z 就是a 在三条坐标轴上的投影, 即 a x =Prj x a , a y =Prj y a , a z =Prj z a . 投影的性质:性质1 (a )u =|a |cos ϕ (即Prj u a =|a |cos ϕ), 其中ϕ为向量与u 轴的夹角; 性质2 (a +b )u =(a )u +(b )u (即Prj u (a +b )= Prj u a +Prj u b ); 性质3 (λa )u =λ(a )u (即Prj u (λa )=λPrj u a );§8. 2 数量积 向量积 一、两向量的数量积数量积的物理背景: 设一物体在常力F 作用下沿直线从点M 1移动到点M 2. 以s 表示位移→21M M . 由物理学知道, 力F 所作的功为W = |F | |s | cos θ ,其中θ 为F 与s 的夹角.数量积: 对于两个向量a 和b , 它们的模 |a |、|b | 及它们的夹角θ 的 余弦的乘积称为向量a 和b 的数量积, 记作a ⋅b , 即a ·b =|a | |b | cos θ .数量积与投影:由于|b | cos θ =|b |cos(a ,^ b ), 当a ≠0时, |b | cos(a ,^ b ) 是向量 b 在向量a 的方向上的投影, 于是a ·b = |a | Prj a b . 同理, 当b ≠0时, a·b = |b | Prj b a . 数量积的性质: (1) a·a = |a | 2.(2) 对于两个非零向量a、b, 如果a·b =0, 则a⊥b反之, 如果a⊥b, 则a·b =0.如果认为零向量与任何向量都垂直, 则a⊥b ⇔ a·b =0.数量积的运算律:(1)交换律: a·b =b·a(2)分配律: (a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c.(3) (λa)·b =a·(λb) =λ(a·b),(λa)·(μb) =λμ(a·b), λ、μ为数.(2)的证明:分配律(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c的证明:因为当c=0时,上式显然成立;当c≠0时,有(a+b)⋅c=|c|Prj c(a+b)=|c|(Prj c a+Prj c b)=|c|Prj c a+|c|Prj c b=a⋅c+b⋅c.例1 试用向量证明三角形的余弦定理.证: 设在ΔABC中, ∠BCA=θ (图7-24), |BC|=a, |CA|=b, |AB|=c,要证c 2=a 2+b 2-2 a b cos θ .记→CB=a, →CA=b, →AB=c, 则有c=a-b,从而 |c|2=c⋅c=(a-b)(a-b)=a⋅a+b⋅b-2a⋅b=|a|2+|b|2-2|a||b|cos(a,^b),即c 2=a 2+b 2-2 a b cos θ .数量积的坐标表示:设a=(a x,a y,a z ), b=(b x,b y,b z ),则a·b=a x b x+a y b y+a z b z .提示:按数量积的运算规律可得a·b =( a x i +a y j +a z k)·(b x i +b y j +b z k)=a x b x i·i +a x b y i·j +a x b z i·k+a y b x j ·i +a y b y j ·j +a y b z j·k+a z b x k·i +a z b y k·j +a z b z k·k= a x b x+ a y b y+ a z b z .两向量夹角的余弦的坐标表示:设θ=(a, ^ b),则当a≠0、b≠0时, 有222222||||cos zy x z y x z z y y x x b b b a a a b a b a b a ++++++=⋅=b a b a θ. 提示: a·b =|a ||b |cos θ .例2 已知三点M (1, 1, 1)、A (2, 2, 1)和B (2, 1, 2), 求∠AMB .解 从M 到A 的向量记为a , 从M 到B 的向量记为b , 则∠AMB 就是向量a 与b 的夹角. a ={1, 1, 0}, b ={1, 0, 1}.因为a ⋅b =1⨯1+1⨯0+0⨯1=1,2011||222=++=a ,2101||222=++=b .所以 21221||||cos =⋅=⋅=∠b a b a AMB . 从而 3π=∠AMB . 例3．设液体流过平面S 上面积为A 的一个区域, 液体在这区域上各点处的流速均为（常 向量)v . 设n 为垂直于S 的单位向量（图7-25(a )）, 计算单位时间内经过这区域流向n 所指一方的液体的质量P (液体的密度为ρ).解 单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为A 、斜高为| v |的斜柱体(图7-25(b )). 这柱体的斜高与底面的垂线的夹角就是v 与n 的夹角θ , 所以这柱体的高为| v | cos θ, 体积为A | v | cos θ = A v ·n .从而, 单位时间内经过这区域流向n 所指一方的液体的质量为P =ρA v ·n .二、两向量的向量积在研究物体转动问题时, 不但要考虑这物体所受的力, 还要分析这些力所产生的力矩. 设O 为一根杠杆L 的支点.有一个力F 作用于这杠杆上P 点处. F 与→OP 的夹角为θ . 由力学规定, 力F 对支点O 的力矩是一向量M , 它的模→θsin |||||| F M OP =, 而M 的方向垂直于→OP 与F 所决定的平面, M 的指向是的按右手规则从→OP 以不超过π的角转向F 来确定的.向量积: 设向量c 是由两个向量a 与b 按下列方式定出:c 的模 |c |=|a ||b |sin θ , 其中θ 为a 与bc 的方向垂直于a 与b 所决定的平面, c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定.那么, 向量c 叫做向量a 与b 的向量积, 记作a ⨯b , 即c = a ⨯b .根据向量积的定义, 力矩M 等于→OP 与F 的向量积, 即→F M ⨯=OP . 向量积的性质:(1) a ⨯a = 0 ;(2) 对于两个非零向量a 、b , 如果a ⨯b = 0, 则a //b ; 反之, 如果a //b , 则a ⨯b = 0.如果认为零向量与任何向量都平行, 则a //b ⇔ a ⨯b = 0.数量积的运算律:(1) 交换律a ⨯b = -b ⨯a ;(2) 分配律: (a +b )⨯c = a ⨯c + b ⨯c .(3) (λa )⨯b = a ⨯(λb ) = λ(a ⨯b ) (λ为数).数量积的坐标表示: 设a = a x i + a y j + a z k , b = b x i + b y j + b z k . 按向量积的运算规律可得a ⨯b = ( a x i + a y j + a z k ) ⨯ ( b x i + b y j + b z k )= a x b x i ⨯i + a x b y i ⨯j + a x b z i ⨯k+a y b x j ⨯i + a y b y j ⨯j + a y b z j ⨯k+a z b x k ⨯i + a z b y k ⨯j + a z b z k ⨯k .由于i ⨯i = j ⨯j = k ⨯k = 0, i ⨯j = k , j ⨯k = i , k ⨯i = j , 所以a ⨯b = ( a y b z - a z b y ) i + ( a z b x - a x b z ) j + ( a x b y - a y b x ) k .为了邦助记忆, 利用三阶行列式符号, 上式可写成zy x z y x b b b a a a k j i b a =⨯=a y b z i +a z b x j +a x b y k -a y b x k -a x b z j -a z b y i= ( a y b z - a z b y ) i + ( a z b x - a x b z ) j + ( a x b y - a y b x ) k . .例4 设a =(2, 1, -1), b =(1, -1, 2), 计算a ⨯b .解 211112--=⨯k j i b a =2i -j -2k -k -4j -i =i -5j -3k . 例5 已知三角形ABC 的顶点分别是A (1, 2, 3)、B (3, 4, 5)、C (2, 4, 7), 求三角形ABC 的面积.解 根据向量积的定义, 可知三角形ABC 的面积→→→→||21sin ||||21AC AB A AC AB S ABC ⨯=∠=∆. 由于→AB =(2, 2, 2), →AC =(1, 2, 4), 因此→→421222k j i =⨯AC AB =4i -6j +2k . 于是 142)6(421|264|21222=+-+=+-=∆k j i ABC S .例6 设刚体以等角速度ω 绕l 轴旋转, 计算刚体上一点M 的线速度.解 刚体绕l 轴旋转时, 我们可以用在l 轴上的一个向量ω表示角速度, 它的大小等于角速度的大小, 它的方向由右手规则定出: 即以右手握住l 轴, 当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时, 大姆指的指向就是ω的方向.设点M 到旋转轴l 的距离为a , 再在l 轴上任取一点O 作向量r =→OM , 并以θ 表示ω与r 的夹角, 那么a = |r | sin θ .设线速度为v , 那么由物理学上线速度与角速度间的关系可知, v 的大小为|v | =| ω|a = |ω| |r | sin θv 的方向垂直于通过M 点与l 轴的平面, 即v 垂直于ω与r , 又v 的指向是使ω、r 、v 符合右手规则. 因此有v = ω⨯r .§8. 3 曲面及其方程一、曲面方程的概念在空间解析几何中, 任何曲面都可以看作点的几何轨迹. 在这样的意义下, 如果曲面S 与三元方程F (x , y , z )=0有下述关系:(1) 曲面S 上任一点的坐标都满足方程F (x , y , z )=0;(2) 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程F (x , y , z )=0,那么, 方程F (x , y , z )=0就叫做曲面S 的方程, 而曲面S 就叫做方程F (x , y , z )=0的图形.常见的曲面的方程:例1 建立球心在点M 0(x 0, y 0, z 0)、半径为R 的球面的方程.解 设M (x , y , z )是球面上的任一点, 那么|M 0M |=R .即 R z z y y x x =-+-+-202020)()()(,或 (x -x 0)2+(y -y 0)2+(z -z 0)2=R 2.这就是球面上的点的坐标所满足的方程. 而不在球面上的点的坐标都不满足这个方程. 所以(x -x 0)2+(y -y 0)2+(z -z 0)2=R 2.就是球心在点M 0(x 0, y 0, z 0)、半径为R 的球面的方程.特殊地, 球心在原点O (0, 0, 0)、半径为R 的球面的方程为x 2+y 2+z 2=R 2.例2 设有点A (1, 2, 3)和B (2, -1, 4), 求线段AB 的垂直平分面的方程.解 由题意知道, 所求的平面就是与A 和B 等距离的点的几何轨迹. 设M (x , y , z )为所求平面上的任一点, 则有|AM |=|BM |,即 222222)4()1()2()3()2()1(-+++-=-+-+-z y x z y x .等式两边平方, 然后化简得2x -6y +2z -7=0.这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程, 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程, 所以这个方程就是所求平面的方程.研究曲面的两个基本问题:(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 建立这曲面的方程;(2) 已知坐标x 、y 和z 间的一个方程时, 研究这方程所表示的曲面的形状.例3 方程x 2+y 2+z 2-2x +4y =0表示怎样的曲面？解 通过配方, 原方程可以改写成(x -1)2+(y +2)2+z 2=5.这是一个球面方程, 球心在点M 0(1, -2, 0)、半径为5=R .一般地, 设有三元二次方程Ax 2+Ay 2+Az 2+Dx +Ey +Fz +G =0,这个方程的特点是缺xy , yz , zx 各项, 而且平方项系数相同, 只要将方程经过配方就可以化成方程(x -x 0)2+(y -y 0)2+(z -z 0)2=R 2.的形式, 它的图形就是一个球面.二、旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面, 这条定直线叫做旋转曲面的轴.设在yO z 坐标面上有一已知曲线C , 它的方程为f (y , z ) =0,把这曲线绕z 轴旋转一周, 就得到一个以z 轴为轴的旋转曲面. 它的方程可以求得如下: 设M (x , y , z )为曲面上任一点, 它是曲线C 上点M 1(0, y 1, z 1)绕z 轴旋转而得到的. 因此有如下关系等式0) ,(11=z y f , 1z z =, 221||y x y +=,从而得 0) ,(22=+±z y x f ,这就是所求旋转曲面的方程.在曲线C 的方程f (y , z )=0中将y 改成22y x +±, 便得曲线C 绕z 轴旋转所成的旋转曲面的方程0) ,(22=+±z y x f .同理, 曲线C 绕y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为0) ,(22=+±z x y f .例4 直线L 绕另一条与L 相交的直线旋转一周, 所得旋转曲面叫做圆锥面. 两直线的交点叫做圆锥面的顶点, 两直线的夹角α (20πα<<)叫做圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点O , 旋转轴为z 轴, 半顶角为α的圆锥面的方程.解 在yO z 坐标面内, 直线L 的方程为z =y cot α ,将方程z =y cot α 中的y 改成22y x +±, 就得到所要求的圆锥面的方程αc o t 22y x z +±=,或z 2=a 2 (x 2+y 2),其中a =cot α .例5. 将zOx 坐标面上的双曲线12222=-cz a x 分别绕x 轴和z 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程.解 绕x 轴旋转所在的旋转曲面的方程为122222=+-c z y a x ; 绕z 轴旋转所在的旋转曲面的方程为122222=-+cz a y x . 这两种曲面分别叫做双叶旋转双曲面和单叶旋转双曲面.三、柱面例6 方程x 2+y 2=R 2表示怎样的曲面？解 方程x 2+y 2=R 2在xOy 面上表示圆心在原点O 、半径为R 的圆. 在空间直角坐标系中, 这方程不含竖坐标z , 即不论空间点的竖坐标z 怎样, 只要它的横坐标x 和纵坐标y 能满足这方程, 那么这些点就在这曲面上. 也就是说, 过xOy 面上的圆x 2+y 2=R 2, 且平行于z 轴的直线一定在x 2+y 2=R 2表示的曲面上. 所以这个曲面可以看成是由平行于z 轴的直线l 沿xOy 面上的圆x 2+y 2=R 2移动而形成的. 这曲面叫做圆柱面, xOy 面上的圆x 2+y 2=R 2叫做它的准线, 这平行于z 轴的直线l 叫做它的母线.例6 方程x 2+y 2=R 2表示怎样的曲面？解 在空间直角坐标系中, 过xOy 面上的圆x 2+y 2=R 2作平行于z 轴的直线l , 则直线l 上的点都满足方程x 2+y 2=R 2, 因此直线l 一定在x 2+y 2=R 2表示的曲面上. 所以这个曲面可以看成是由平行于z 轴的直线l 沿xOy 面上的圆x 2+y 2=R 2移动而形成的. 这曲面叫做圆柱面, xOy 面上的圆x 2+y 2=R 2叫做它的准线, 这平行于z 轴的直线l 叫做它的母线.柱面: 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 形成的轨迹叫做柱面, 定曲线C 叫做柱面的准线, 动直线L 叫做柱面的母线.上面我们看到, 不含z 的方程x 2+y 2=R 2在空间直角坐标系中表示圆柱面, 它的母线平行于z 轴, 它的准线是xOy 面上的圆x 2+y 2=R 2.一般地, 只含x 、y 而缺z 的方程F (x , y )=0, 在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面, 其准线是xOy 面上的曲线C : F (x , y )=0.例如, 方程y 2=2x 表示母线平行于z 轴的柱面, 它的准线是xOy 面上的抛物线y 2 =2x , 该柱面叫做抛物柱面.又如, 方程 x -y =0表示母线平行于z 轴的柱面, 其准线是xOy 面的直线 x -y =0, 所以它是过z 轴的平面.类似地, 只含x 、z 而缺y 的方程G (x , z )=0和只含y 、z 而缺x 的方程H (y , z )=0分别表示母线平行于y 轴和x 轴的柱面.例如, 方程 x -z =0表示母线平行于y 轴的柱面, 其准线是zOx 面上的直线 x -z =0. 所以它是过y 轴的平面.四、二次曲面与平面解析几何中规定的二次曲线相类似, 我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面. 把平面叫做一次曲面.怎样了解三元方程F (x , y , z )=0所表示的曲面的形状呢? 方法之一是用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截, 考察其交线的形状, 然后加以综合, 从而了解曲面的立体形状. 这种方法叫做截痕法.研究曲面的另一种方程是伸缩变形法:设S 是一个曲面, 其方程为F (x , y , z )=0, S '是将曲面S 沿x 轴方向伸缩λ倍所得的曲面.显然, 若(x , y , z )∈S , 则(λx , y , z )∈S '; 若(x , y , z )∈S ', 则S z y x ∈) , ,1(λ. 因此, 对于任意的(x , y , z )∈S ', 有0) , ,1(=z y x F λ, 即0) , ,1(=z y x F λ是曲面S '的方程. 例如，把圆锥面2222z a y x =+沿y 轴方向伸缩ab 倍, 所得曲面的方程为2222)(z a y b a x =+, 即22222z b y a x =+.(1)椭圆锥面由方程22222z by a x=+所表示的曲面称为椭圆锥面. 圆锥曲面在y 轴方向伸缩而得的曲面.把圆锥面2222z a y x =+沿y 轴方向伸缩a b 倍, 所得曲面称为椭圆锥面22222z by a x =+. 以垂直于z 轴的平面z =t 截此曲面, 当t =0时得一点(0, 0, 0); 当t ≠0时, 得平面z =t 上的椭圆1)()(2222=+bt y at x . 当t 变化时, 上式表示一族长短轴比例不变的椭圆, 当|t |从大到小并变为0时, 这族椭圆从大到小并缩为一点. 综合上述讨论, 可得椭圆锥面的形状如图.(2)椭球面由方程1222222=++cz b y a x 所表示的曲面称为椭球面. 球面在x 轴、y 轴或z 轴方向伸缩而得的曲面.把x 2+y 2+z 2=a 2沿z 轴方向伸缩a c 倍, 得旋转椭球面122222=++c z a y x ; 再沿y 轴方向伸缩a b 倍, 即得椭球面1222222=++cz b y a x . (3)单叶双曲面 由方程1222222=-+czb y a x所表示的曲面称为单叶双曲面. 把zOx 面上的双曲线12222=-c za x绕z 轴旋转, 得旋转单叶双曲面122222=-+cza y x ; 再沿y 轴方向伸缩ab 倍, 即得单叶双曲面1222222=-+cz b y a x . (4)双叶双曲面由方程1222222=--czb y a x所表示的曲面称为双叶双曲面. 把zOx 面上的双曲线12222=-c z a x 绕x 轴旋转, 得旋转双叶双曲面122222=+-cy z a x ; 再沿y 轴方向伸缩c b 倍, 即得双叶双曲面1222222=--cz b y a x . (5)椭圆抛物面由方程z by a x =+2222所表示的曲面称为椭圆抛物面.把zOx 面上的抛物线z a x =22绕z 轴旋转, 所得曲面叫做旋转抛物面z a y x =+222, 再沿y 轴方向伸缩a b 倍, 所得曲面叫做椭圆抛物面z by a x =+2222 (6)双曲抛物面.由方程z by a x=-2222所表示的曲面称为双曲抛物面. 双曲抛物面又称马鞍面.用平面x =t 截此曲面, 所得截痕l 为平面x =t 上的抛物线2222at z b y -=-, 此抛物线开口朝下, 其项点坐标为) ,0 ,(22att . 当t 变化时, l 的形状不变, 位置只作平移, 而l 的项点的轨迹L 为平面y =0上的抛物线22axz =. 因此, 以l 为母线, L 为准线, 母线l 的项点在准线L 上滑动, 且母线作平行移动, 这样得到的曲面便是双曲抛物面.还有三种二次曲面是以三种二次曲线为准线的柱面:12222=+b y a x , 12222=-by a x , ay x =2, 依次称为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面.§8. 4 空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程空间曲线可以看作两个曲面的交线. 设F (x , y , z )=0和G (x , y , z )=0是两个曲面方程, 它们的交线为C . 因为曲线C 上的任何点的坐标应同时满足这两个方程, 所以应满足方程组⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F . 反过来, 如果点M 不在曲线C 上, 那么它不可能同时在两个曲面上, 所以它的坐标不满足方程组.因此, 曲线C 可以用上述方程组来表示. 上述方程组叫做空间曲线C 的一般方程.例1 方程组⎩⎨⎧=+=+632122z x y x 表示怎样的曲线? 解 方程组中第一个方程表示母线平行于z 轴的圆柱面, 其准线是xOy 面上的圆, 圆心在原点O , 半行为1. 方程组中第二个方程表示一个母线平行于y 轴的柱面, 由于它的准线是zOx 面上的直线, 因此它是一个平面. 方程组就表示上述平面与圆柱面的交线.例2 方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+---=222222)2()2(a y a x y x a z 表示怎样的曲线? 解 方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O , 半行为a 的上半球面. 第二个方程表示母线平行于z 轴的圆柱面, 它的准线是xOy 面上的圆, 这圆的圆心在点)0 ,2(a , 半行为2a . 方程组就表示上述半球面与圆柱面的交线.例2' 方程组⎩⎨⎧=+---=222222)(4a y a x y x a z 表示怎样的曲线? 解 方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O , 半行为2a 的上半球面. 第二个方程表示母线平行于z 轴的圆柱面, 它的准线是xOy 面上的圆, 这圆的圆心在点(a , 0) , 半行为a . 方程组就表示上述半球面与圆柱面的交线.二、空间曲线的参数方程空间曲线C 的方程除了一般方程之外, 也可以用参数形式表示, 只要将C 上动点的坐标x 、y 、z 表示为参数t 的函数:⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x .当给定t =t 1时, 就得到C 上的一个点(x 1, y 1, z 1); 随着t 的变动便得曲线C 上的全部点. 方程组(2)叫做空间曲线的参数方程.例3 如果空间一点M 在圆柱面x 2+y 2=a 2 上以角速度ω绕z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升(其中ω、v 都是常数), 那么点M 构成的图形叫做螺旋线. 试建立其参数方程.解 取时间t 为参数. 设当t =0时, 动点位于x 轴上的一点A (a , 0, 0)处. 经过时间t , 动点由A 运动到M (x , y , z )(图7-44). 记M 在xOy 面上的投影为M ', M '的坐标为x , y ,0. 由于动点在圆柱面上以角速度ω 绕 z 轴旋转, 所以经过时间t ,∠AOM '= ω t . 从而x =|OM '|cos ∠AOM '=a cos ω t ,y =|OM '|sin ∠AOM '=a sin ω t ,由于动点同时以线速度v 沿平行于 z 轴的正方向上升, 所以z =MM '=vt .因此螺旋线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧===vtz t a y t a x ωωsin cos ,也可以用其他变量作参数; 例如令θ=ω t , 则螺旋线的参数方程可写为。
空间解析几何与向量代数高等数学
第八章空间解析几何与向量代数 公共数学教研室空间解析几何主要研究空间几何图形, 把数学研究的两个基本对象“数”和“形”统一起来, 达到用代数方法解决几何问题, 用几何方法解决代数问题.本章引进向量及其代数运算, 讨论向量的各种运算规律, 介绍空间曲面和空间曲线, 以向量为工具来研究平面和空间直线, 最后介绍二次曲面.8.1 向量及其线性运算 8.2 向量的数量积8.3 向量的向量积混合积 8.4 平面及其方程8.5 空间直线及其方程 8.6 直线平面之间的关系 8.7 曲面及其方程8.8 空间曲线和向量函数8.1 向量及其线性运算vector and linear operation8.1.1 空间直角坐标系在空间中任取一点O, 作互相垂直的数轴Ox, Oy, Oz, 分别叫做x 轴 (横轴), y 轴 (纵轴), z 轴 (竖轴), 统称坐标轴, 三个坐标轴符合右手法则. 这样的三条坐标轴组成一个空间直角坐标系, 点O 叫做坐标原点 (或原点).三条坐标轴中的任意两条确定一个平面, 分别称为xOy 面, yOz 面及zOx 面. 三个坐标面把空间分成八个部分, 每一部分叫做一个卦限.x 轴, y 轴, z 轴上点的坐标分别表示为 (0, 0, z ), (0, y , 0), (0, 0, z ); xOy 面, yOz 面, zOx 面上点的坐标分别表示为 (x , y , 0), (0, y , z ), (x , 0, z ).22212212121||()()().M M x x y y z z =-+-+- 设有序数 (x , y , z ) 与空间点 M 一一对应, 依次称 x , y 和 z 为点M 的横坐标, 纵坐标和竖坐标. 点 M 通常记为 M (x , y , z ).空间中两点M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) 间的距离公式为设 M 为空间中一点, 过 M 作三个平面分别垂直于 x 轴, y 轴, z 轴, 与 x 轴, y 轴, z 轴的交点依次为 P , Q , R , 这三个点在 x 轴, y 轴, z 轴的坐标依次为 x , y , z . 于是 M 唯一地确定了一个有序数组 (x , y , z ); 反之, 一有序数组 (x , y , z ) 唯一确定空间一点 M . 这样, 就建立了空间的点 M 和有序数组 (x , y , z ) 之间的一一对应关系. x z y ⑻O⑷⑶⑵⑴⑺⑹⑸R P QO x z y8.1.2 向量的概念及其坐标表示只有大小的量称为数量 (或标量), 如时间, 温度, 长度等. 既有大小又有方向的量称为向量 (或矢量), 例如位移 , 速度 , 加速度 , 力 等.s v a F 向量包含两个要素 — 大小和方向. 有向线段也具有这两个要素, 因此可用有向线段 表示向量, 其大小是有向线段的长度, 其方向是从 A 到 B 的方向, A 是向量的起点, B 是向量的终点. 若记 则称 为的一个几何表示 . AB ,v AB AB v 向量 的大小, 叫做向量的模或长度, 记为v ||.v向量仅由其大小和方向确定, 与其位置无关, 故向量被称为自由向量. 因此, 若两个向量大小相等, 方向相同, 称这两个向量相等.将两个向量移到同一始点, 如果它们位于一条直线上, 且两个终点分布在始点的同一侧, 则称这两个向量方向相同; 如果它们位于一条直线上, 且两个终点分布在始点的两侧, 则称这两个向量方向相反. 长度是零的向量称为零向量, 记为 , 零向量的方向可以认为是任意的.如图, 向量 位置不同, 但它们的长度相同, 且它们所在的线段有相同的斜率,即它们的方向相同, 所以,,OP AB CD P (2, 1)O C (1, 3)D (3, 4)A (- 3, - 3)B (- 2, - 2)x y .OP AB CD == 向量具有平移不变性, 若将向量 平移, 使其起点与原点 O 重合, 终点位于 P , 则 故 可由 P 的座標確定.AB ,AB OP = AB 定义 8-1 一个二元有序实数组 {a , b } 称为一个二维向量, 二维向量的全体记作 V 2. 一个三元有序实数组 {a , b , c } 称为一个三维向量. 三维向量的全体记作 V 3, 其中实数 a , b , c 称为向量的分量, 也称为向量的坐标.2121{,}v x x y y =-- 定义 8-2 若 M 1 (x 1, y 1), M 2 (x 2, y 2) 为平面上两点, 则二维向量 表示由有向线段 所表示的向量. 12M M 212121{,,}v x x y y z z =--- 若 M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) 为空间中两点, 则三维向量表示由有向线段 所表示的向量. 12M M 22212212121||||()()()v M M x x y y z z ==-+-+-给定向量任意取定 A (x 0, y 0, z 0), 记 B = (x + x 0, y + y 0, z + z 0), P = P (x , y , z ),则{,,},r x y z = .r AB OP == 称为点 P (x , y , z ) 的位置向量,{,,}r x y z = 222|||{,,}|r x y z x y z ==++ 222||02(1) 5.AB =++-= 例 1 已知 A (1, 0, 2), B (1, 2, 1) 是空间两点, 求向量 和它的模.AB 解{11,20,12}{0,2,1},AB =---=-对三维向量 8.1.3 向量的线性运算 定义 8-3 设 是两个二维向量, 称向量 {a x + b x , a y + b y }为向量 和的和, 记作 即{,},{,}x y x y a a a b b b == a b ,a b + {,}{,}{,}.x y x y x x y y a b a a b b a b a b +=+=++ {,,},{,,},x y z x y z a a a a b b b b == 类似有{,,}{,,}{,,}.x y z x y z x x y y z z a b a a a b b b a b a b a b +=+=+++几何上, 向量加法服从三角形法则及平行四边形法则.A yx O B a x b x a y b y a b a b + A y O a x a y b y C xB b x a b a b +定义 8-4 设向量 c 为实数, 称向量 { c a x , c a y } 为向量 与数量 c 的乘积. 记作 即其模{,},x y a a a = a ,c a {,}{,},x y x y c a c a a c a c a == ||||||.c a c a = 对于三维向量, 类似有c {a x , a y , a z } = {c a x , c a y , c a z }. c > 0 时, c 与平行, 且方向相同; c < 0 时 c 与 平行, 且方向相反.a a a a 称 为 的负向量.(1)a a -=- a 与 的和称为 与的差, 记为 b a b - a .a b -证 仅需证明必要性. 设则存在 λ, 使得 ,a b .b a λ= 若又有则 故 所以 λ = μ .,b a μ= ()0,a λμ-= |||||0|0,a λμ-== 定理 1 设 是两个向量, 且 则 的充分必要条件是存在唯一常数 λ 使得 ,a b a b .b a λ= 0≠a向量的加法运算和数乘运算统称为向量的线性运算. 向量的线性运算满足下列法则 :(1) (交换律) .a b b a +=+ (2) (结合律) ()().a b c a b c ++=++ (4) ()0.a a +-= (6) ().a a a λμλμ+=+ (7) ()().a a λμλμ= (8) 1.a a ⋅= (5) ().ab a b λλλ+=+ (3) a a =+0由于向量的加法符合交换律和结合律, 故 n 个向量相加可写成,||.||a a a e a a e a == 12.n a a a +++ n 个向量相加复合多边形法则 : 使前一向量的终点与后一向量的起点重合, 相继作向量 再以第一向量的起点为起点, 最后一向量的终点为终点作一向量, 这个向量即和向量.12,,,,n a a a 模为 1 的向量称为单位向量. 记非零向量 的单位化向量为则a ,a eV 3 中, 与 x 轴, y 轴, z 轴的正向同向的单位向量记为{1,0,0},{0,1,0},{0,0,1}.i j k === 称 为 V 3 中的一组标准基.,,i j k a 设 则 可由 线性表示, 即{,,},x y z a a a a = ,,i j k {1,0,0}{0,1,0}{0,0,1}.x y z x y z a a a a a i a j a k =++=++ {1,0},{0,1}i j == 二维的情形,是 V 2 的一组标准基.例 2 设 求{1,1,3},{2,1,2},a b =-=- (1) 32;c a b =- (2) 用标准基 表示向量,,i j k ;c (3) 求与同方向的单位向量.c 解 (1)323{1,1,3}2{2,1,2}{34,32,94}{1,1,5}.c a b =-=---=--+-=-- (2)5.c i j k =--+ 所以 222(3)||(1)(1)533,c =-+-+= {1,1,5}.||33c c e c ==--解 作 12(),OP OP OP OP λ-=- 例 3 设两点 P 1 (x 1, y 1, z 1), P 2 (x 2, y 2, z 2). 在线段 P 1 P 2 上求一点 P (x , y , z ), 使由 P 分成的两个有向线段 的的比为定数 λ ( ≠ - 1), 即 12,P P PP 12.P P PP λ= O P 1P 2P 11112222{,,},{,,},{,,},OP x y z OP x y z OP x y z === 由于 及12,P P PP λ= 1122,,P P OP OP PP OP OP =-=-121212,,.111x x y y z z x y z λλλλλλ+++===+++所以 12(1),OP OP OP λλ+=+ 这就是定比分点公式.得到 121OP OP OP λλ+=+ ，得点 P 的坐标例 4 证明平行四边形的对角线互相平分.11(),22AE AC AB BC ==+ 解 设 ABCD 为平行四边形, AC , BD 的中点分别 为 E 及 F , 则D A FE B C 由定比分点公式 (λ = 1) 得1(),2AF AB AD =+ 即 E 与 F 重合, 即 AC 与 BD 互相平分.11()().22AF AB AD AB BC AE =+=+= 所以。
第八章空间解析几何与向量代数
第八章空间解析几何与向量代数第一节向量代数及线性运算（一）教学目的通过本章节的学习，要求：1．了解空间直角坐标系的概念，理解向量的概念；2．熟练掌握向量的线性运算。
（二）教学内容安排1．空间直角坐标系，空间两点距离，向量的概念；2．向量的线性运算：加、减、数乘；3．向量的坐标表示；4．向量运算的坐标表示；（三）教学重点与难点重点：空间直角坐标系，向量的概念及运算；难点：空间八个卦限，向量的夹角。
第一节向量及其线性运算一、背景介绍空间解析几何的产生是数学史上一个划时代的成就. 法国数学家笛卡尔和费马均于十七世纪上半叶对此作出了开创性的工作. 我们知道，代数学的优越性在于推理方法的程序化，鉴于这种优越性，人们产生了用代数方法研究几何问题的思想，这就是解析几何的基本思想. 要用代数方法研究几何问题，就必须沟通代数与几何的联系，而代数和几何中最基本的概念分别是数和点. 于是首先要找到一种特定的数学结构，来建立数与点的联系，这种结构就是坐标系. 通过坐标系，建立起数与点的一一对应关系，就可以把数学研究的两个基本对象数和形结合起来、统一起来，使得人们既可以用代数方法研究解决几何问题（这是解析几何的基本内容），也可以用几何方法解决代数问题.本节将建立空间的点及向量与有序数组的对应关系，引进研究向量的代数方法，从而建立代数方法与几何直观的联系.再介绍向量的概念及向量的某些运算，然后再介绍空间解析几何，其主要内容包括平面和直线方程、一些常用的空间曲线和曲面的方程以及关于它们的某些基本问题. 这些方程的建立和问题的解决是以向量作为工具的. 正像平面解析几何的知识对学习一元函数微积分是不可缺少的一样，本章的内容对以后学习多元函数的微分学和积分学将起到重要的作用.二、内容概要1空间直角坐标系● 过空间一点o ，按右手法则作三条相互垂直的数轴： x 轴（横轴），y 轴（纵轴），z 轴（竖轴），o 为坐标原点。
● 三个坐标面：xoy 面；yoz 面；xoz 平面。
(完整版)第八章向量代数及空间解析几何教学案(同济大学版高数)
第八章向量代数与空间解析几何第一节向量及其线性运算教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。
使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。
教学重点：1.空间直角坐标系的概念2.空间两点间的距离公式3.向量的概念4.向量的运算教学难点：1.空间思想的建立2.向量平行与垂直的关系教学内容：一、向量的概念1．向量：既有大小，又有方向的量。
在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。
在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。
2．量的表示方法有: a、i、F、OM等等。
a=：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全3．向量相等b重合的向量）。
4．量的模：向量的大小，记为a。
模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。
零向量的方向是任意的。
a//：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。
零向量与如何向量都平5．量平行b行。
-6．负向量：大小相等但方向相反的向量，记为a二、向量的线性运算1．加减法c b a =+： 加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7－42．c b a =- 即c b a =-+)(3．向量与数的乘法a λ：设λ是一个数，向量a 与λ的乘积a λ规定为0)1(>λ时，a λ与a 同向，||||a a λλ= 0)2(=λ时，0a =λ0)3(<λ时，a λ与a 反向，||||||a a λλ=其满足的运算规律有：结合率、分配率。
设0a 表示与非零向量a 同方向的单位向量，那么aa a 0=定理1：设向量a ≠0，那么，向量b 平行于a 的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，使b ＝a λ例1：在平行四边形ABCD 中，设a =AB ，b =AD ，试用a 和b 表示向量MA 、MB 、MC 和MD ，这里M 是平行四边形对角线的交点。
高等数学下册(第8章)向量代数与空间解析几何教案
高等数学教学教案第8章向量代数与空间解析几何授课序号01AB.a的起点为起点，的终点为终点的向量c就是上的有向线段A B''=prj AB A B''A B''（2空间直角坐标系OxyzaaM x y，求分点(,,的夹角的余弦值．M例6已知两点1、C(1,2,3)(2,3,4)授课序号02100PP n PP n⋅==授课序号03注 方程1222222=+-cz b y a x 和1222222=++-c z b y a x 也都是单叶双曲面; 方程1222222-=+-c z b y a x 和1222222-=++-cz b y a x 也都是双叶双曲面． 5.椭圆抛物面由方程2222by a x z += (0, 0, 0a b c >>>)所确定的曲面称为椭圆抛物面． 6.双曲抛物面由方程2222by a x z -= (0, 0, 0a b c >>>)所确定的曲面称为双曲抛物面．双曲抛物面的图形形状很象马鞍，因此也称马鞍面．四．例题讲解 例1建立球面的中心是点),,(0000z y x M ，半径为R 的球面方程.例2 方程024222=+-++y x z y x 表示怎样的曲面？例3 分析方程222R y x =+表示怎样的曲面？例4 双曲线型冷却塔是电厂、核电站的循环水自然通风冷却的一种建筑物, 如图8.24所示.试分析双曲线型冷却塔外表面的数学模型.图8.24 图8.25例5将yOz 坐标面上的双曲线12222=-by c z 分别绕z 轴和y 轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程. 例6 直线L 绕另一条与L 相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点为圆锥面的顶点，两直线的夹角⎪⎭⎫ ⎝⎛<<20παα叫圆锥面的半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，半顶角为α的圆锥面方程．。
高等数学(第八章)向量代数与空间解析几何(全)
若向量a = x1i y1 j z1k，b = x2i y2 j z2k，由数量积的运算性质得
a b = x1x2 y1 y2 z1z2.
设非零向量a = x1, y1, z1，b = x2, y2, z2，则
(1) | a | a a x12 y12 z12；
(2) cos a, b a b
2
向量代数与空间解析几何
空间直角坐标系
一、空间直角坐标系 空间两点间的距离
向量的概念---大小,方向,相等,向径,坐标等.
二、向量代数 向量的运算---加减,数乘,点乘,叉乘,混合积.
❖ 向量位置关系的刻画 ---平行,垂直,夹角. ❖ 向量的方向角、方向余弦.
平面的方程
三、空间的平面 两平面的位置关系
五、 向量的坐标
空间直角坐标系Oxyz 中，在x 轴、y 轴、z 轴上各取一个与坐标轴同向的单位 向量，以此记作i，j，k，把它们称为基本单位向量或基向量.任一向量都可以 唯一地表示为i，j，k 数乘之积.
设M (x, y, z)是空间任意一点，记OM r，则r xi yj zk，我们把上式称为 向量r 的坐标分解式，xi，yj 和zk 称为向量r 沿3 个坐标轴方向的分向量，i，j，
d (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2 .
11
二、 空间两点间的距离 例 1 在z轴上求与点A(3,5, 2)和B(4,1,5)等距离的点M .
解 由于所求的点M 在z 轴上，因此M 点的坐标可设为(0, 0, z)，又由于
MA MB ，
由空间两点间的距离公式，得
(3)结合律：(a) b = (a b) a (b)；
(4)a a = a 2 ； (5)a b = 0 a b； (6) | a b || a | | b | . 特别地，有
同济高等数学第八章学习指导及习题详解
462第八章 向量代数与空间解析几何一、预习导引第一节 向量及其线性运算1. 中学阶段已经学习了向量的概念、线性运算及运算规律.阅读本节前两部分的内容，从中找出与你以前学过的向量有关内容不同之处.2. 尝试自己画出空间直角坐标系的图形，确认每一个卦限的方位.你能找出坐标轴上的点、坐标面上的点及各卦限内的点的坐标的特点吗？空间任意一个向量你能用坐标表示吗？阅读本节第三部分内容，从中找出答案.3. 在空间直角坐标系中，向量可以用坐标来表示，那么向量的线性运算是否也可以利用坐标作运算？点的坐标表示与向量的坐标表示有区别吗？利用坐标进行向量运算要注意什么问题？仔细阅读本节第四部分内容，你将会正确解答这些问题.4. 在空间直角坐标系中画出向量()1,2,2OM =，利用本节第三部分知识，求向量OM 的模及它与,,x y z 三个坐标轴的夹角（分别设为,,αβγ，称为向量的方向角）的余弦cos ,cos ,cos αβγ，并考察向量的模、方向余弦与其坐标的关系.这种关系式可以推广到空间任意向量吗？阅读本节第五部分的1、2，验证你的结论是否正确.在书上画出来空间任意两点间的距离公式.5 .阅读本节第五部分的3，细心体会向量在轴上的投影概念.向量(),,OM x y z =在三个坐标轴上的投影分别是什么？与向量OM 在三个坐标轴上的分向量有什么区别？注意向量投影的性质.第二节 数量积 向量积 *混合积1. 中学阶段我们已经学习了平面上两向量的数量积的定义、坐标表示及运算规律，请你尝试把数量积的定义、坐标表示及运算规463 律推广到空间向量.阅读本节第一部分内容，验证你的推论.2. 两向量的向量积是一个向量，怎样确定这个向量的模、方向及向量积如何用坐标表示、有什么运算规律？带着这些问题阅读本节第二部分，从中找出答案.3. 向量的混合积顾名思义，是指既含有向量积又含有数量积的向量运算，即()a b c ⨯⋅.根据本节前两部分所学知识，用坐标表示向量的混合积()a b c ⨯⋅；混合积()a b c ⨯⋅的几何意义是什么？阅读本节第三部分内容，检验你的结论.第三节 平面及其方程1. 在平面解析几何中，把平面曲线看作动点的轨迹，建立了曲线和二元方程之间的关系，那么空间曲面或曲线是否也可以看作动点的几何轨迹，建立三元方程或方程组之间的关系？阅读曲面方程与空间曲线方程的概念，从你熟悉的学习和生活实践中举例说明这些概念.2. 用坐标表示向量()0000,,M M x x y y z z =---垂直于向量(),,n A B C =.把(),,M x y z 看作动点，满足0M M n ⊥的点M 的集合在空间表示怎样的图形？如果把n 换为2n ，0M M n ⊥的坐标表示式会变吗？换为任意非零常数乘以n 呢？仔细阅读本节第二部分，回答上述问题，揣摩用平面的点法式方程求解的问题类型.3. 平面方程0Ax By Cz D +++=中，,,,A B C D 中任意一个为零、任意两个为零及,,A B C 中任意两个为零且0D =时，它们对应的几何图形分别有什么特点？阅读本节第三部分，总结特殊的三元一次方程所表示的平面的特点．4. 阅读本节第四部分，弄清楚两平面的夹角的概念，夹角取值的范围，并用向量的坐标表示两平面的夹角.思考如何判断两平面的位置关系.推导空间中的点到平面的距离公式.第四节 空间直线及其方程4641. 从几何的角度看，两张相交平面确定一条直线L ，直线L 用动点的坐标表示，即由两个三元一次方程构成的方程组.通过空间一条直线L 的平面有多少？L 的方程唯一吗？阅读本节第一部分，从中找出答案.2. 用坐标表示向量()0000,,M M x x y y z z =---平行于向量(),,s m n p =.把(),,M x y z 看作动点，满足0//M M s 的点M 的集合在空间表示怎样的图形？如果把s 换为2s ，0//M M s 的坐标表示式会变吗？换为任意非零常数乘以s 呢？仔细阅读本节第二部分，回答上述问题，在书上画出直线的对称式方程和参数式方程.3. 阅读本节第三部分，弄清楚两直线夹角的取值范围.如何计算两直线的夹角？如何判断两直线的位置关系？4. 阅读本节第四部分，弄清楚直线与平面的夹角的取值范围.如何计算直线与平面的夹角？如何判断直线与平面的位置关系？分析平面束方程与三元一次方程的关系.第五节 曲面及其方程1. 阅读本节第一部分内容，通过例1与例2仔细揣摩：已知空间曲面如何建立其方程；已知坐标,,x y z 间的一个方程怎样研究它所表示的曲面的形状.2. 阅读本节第二部分内容，找出在进行旋转曲面方程的推导过程中，变化的量和不变的量，总结旋转曲面的方程的特点.思考给定一个三元二次方程，你能判断出它是否是旋转曲面？如果是，你能给出它的母线的方程和轴吗？它的母线唯一吗？3. 柱面方程的特点是什么？它的图形有什么特点？柱面方程与平面曲线方程有什么区别与联系？带着这些问题，阅读本节第三部分内容，从中找出答案.4. 阅读本节第四部分内容，从中找出下列问题的答案，怎样方程表示的曲面是二次曲面？常见的二次曲面有哪些？它们的图形是怎样的？。
向量代数与空间解析几何教案
向量代数与空间解析几何教案
一、矢量代数与空间解析几何教学目标
（一）知识与技能目标
1.掌握实数张量的基本概念及性质。
2.掌握空间解析几何的基本概念及定义，掌握空间解析几何的性质及关系。
3.理解空间解析几何的基本概念及定义，理解矢量代数的基本概念及定义。
4.掌握矢量代数的基本概念及定义，掌握矢量代数的基本算法及实例分析。
5.掌握常见的几何形状和曲线的推导运算，推导图形的两点之间的距离及角度等。
（二）过程与方法目标
1.掌握数学建模的基本要素，学习建模的方法及过程。
2.养成独立学习、自主思考的习惯，练习解题能力及应用能力。
3.加强个别学习，形成组织学习，自学，互学相结合的学习模式。
二、教学内容
（一）矢量代数
1.实数张量的定义及基本性质：实数张量是一种关系的概括，它描述了一组数字之间的关系，它的基本性质包括变换的对称性、可加性和逆变换。
2.矢量代数的定义及基本性质：矢量代数是由实数张量和实数矩阵组成的数学模型，它可以用来刻画几何物体的几何特征，矢量代数的基本性质包括平行性、正交性和判定性。
高等数学教案-向量代数与空间解析几何
高等数学教学教案第8章 向量代数与空间解析几何授课序号01教 学 基 本 指 标教学课题 第8章 第1节 向量及其运算 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合教学重点 数量积、向量积、混合积，两个向量垂直、平行的条件教学难点 两个向量垂直、平行的条件参考教材 同济七版《高等数学》下册 作业布置大纲要求 1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示.2.掌握向量的运算（向量运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件.3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用表达式进行向量运算的方法.教 学 基 本 内 容一．空间直角坐标系1.直角坐标系，点叫做坐标原点.2.在直角坐标系下，数轴统称为坐标轴，三条坐标轴中每两条可以确定一个平面，称为坐标面，分别为三个坐标平面将空间分为八个部分,每一部分叫作一个卦限，分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示.3.数组为点在空间直角坐标系中的坐标，其中分别称为点的横坐标、纵坐标和竖坐标．二．空间两点间的距离设，为空间两点，则与之间的距离为.三．向量的概念1. 向量:既有大小又有方向的量，叫做向量（或矢量）．O Oxyz 111(, , )M x y z 222(, , )N x y z M N 212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=Oxyz Oz Oy Ox ,,zOx yOz xOy ,,(, , )x y z M Oxyz z y x ,,M2. 向量的模:向量的长度称为向量的模，记作或.3. 单位向量:模为的向量叫做单位向量.4. 零向量:模为的向量叫做零向量，记作0，规定：零向量的方向可以是任意的．5. 相等向量:大小相等，方向相同的向量叫做相等向量，记作.规定：所有的零向量都相等.6.负向量:与向量大小相等，方向相反的向量叫做的负向量(或反向量)，记作．7. 平行向量:平行于同一直线的一组向量称为平行向量（或共线向量）．8. 共面向量:平行于同一平面的一组向量，叫做共面向量，零向量与任何共面的向量共面.四．向量的线性运算1. 向量的加法定义 对向量，，从同一起点作有向线段、分别表示与，然后以、为邻边作平行四边形，则我们把从起点到顶点的向量称为向量与的和，记作．这种向量求和方法称为平行四边形法则．若将向量平移，使其起点与向量的终点重合，则以的起点为起点，的终点为终点的向量就是与的和，该法则称为三角形法则．对于任意向量，，，满足以下运算法则：(1)(交换律)． (2) (结合律)． (3)．2.向量的减法定义 向量与的负向量的和，称为向量与的差，即．特别地，当时，有.若向量与的起点放在一起，则，的差向量就是以的终点为起点，以的终点为终点的向量.3.数乘向量定义 实数与向量的乘积是一个向量，记作，的模是，方向：当时，与同向；当时，与反向；当时，．对于任意向量，以及任意实数，，有下列运算法则：(1) ． (2) ． (3) ．向量的加法、减法及数乘向量运算统称为向量的线性运算，称为，的一个线性组合．特别地，与同方向的单位向量叫做的单位向量，记作，即. 定理 向量与非零向量平行的充分必要条件是存在唯一的实数，使得.a AB10b a =a a -a a b A AB AD a b AB ADABCD A C ACa b b a +b a a b c a b a b c a +b =b +a ()()a +b +c =a +b +c 0a +=a a b -b a b ()--a b =a +b b =a ()-0a +a =a b a b b a λa λa λa λa 0λ>λa a 0λ<λa a 0λ=λ0a =a b λμ()()λμλμa =a ()+λμλμ+a =a a ()+λλλ+a b =a b λμa +b a b (, )R λμ∈a a a e ||a ae a =a b λλa =b例7 已知向量，，求.例8 已知三角形的顶点分别是，求三角形的面积.授课序号02教 学 基 本 指 标教学课题 第8章 第2节 空间平面和直线 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合教学重点 平面方程和直线方程及其求法，平面与平面，平面与直线，直线与直线之间的夹角教学难点 利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决问题参考教材 同济七版《高等数学》下册作业布置大纲要求 1.掌握平面方程和直线方程及其求法.2.会求平面与平面，平面与直线，直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题.3.会求点到直线以及点到平面的距离.教 学 基 本 内 容一．空间平面方程1.平面方程的各种形式（1）若一个非零向量垂直于平面，则称向量为平面的一个法向量．（2）平面的点法式方程：过点，法向量为的平面方程为．（3）平面的三点式方程：过三点的平面方程为 称为平面的三点式方程.（4）平面的截距式方程：过三点，，的平面的方程为}2,1,3{--=a }1,2,1{-=b b a 2⨯ABC (1,1,1)(1,2,3)(2,3,4)、、A B C ABC n ∏n ∏0000(, , )M x y z {, , }A B C n =000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=(,,)(1,2,3)k k k k M x y z k =1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=---(, 0, 0)A a (0, , 0)B b (0, 0, )C c (0)abc ≠例8将直线的一般式方程化为点向式方程和参数方程．例9求直线和的夹角. 例10求直线与平面的夹角.授课序号03教 学 基 本 指 标教学课题 第8章 第3节 空间曲面和曲线 课的类型 新知识课教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合教学重点 以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程教学难点 空间曲线在坐标平面上的投影及其方程参考教材 同济七版《高等数学》下册 作业布置大纲要求 1.理解曲线方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程. 2.了解空间曲线的参数方程和一般方程.3.了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程.教 学 基 本 内 容一．空间曲面定义 如果曲面与方程满足如下关系： (1) 曲面上每一点的坐标都满足方程； (2) 以满足方程的解为坐标的点都在曲面上． 则称方程为曲面的方程，而称曲面为此方程的图形．几个常见的曲面方程.1.球面（1）以坐标原点为球心，以为半径的球面方程为．（2）以为球心，以为半径的球面方程为. （3）一般方程.2310,32120,x y z x y z -+-=⎧⎨+--=⎩113:141x y z l -+==-220:20x y l x z ++=⎧⎨+=⎩300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩10x y z --+=∑(, , )0F x y z =∑(, , )0F x y z =(, , )0F x y z =∑(, , )0F x y z =∑∑R 2222R z y x =++000(,,)x y z R 2222000()()()x x y y z z R -+-+-=0222=++++++D Cz By Ax z y x组称作空间曲线的一般方程.2.空间曲线的参数方程对于空间曲线，若上的动点的坐标可表示成为参数的函数随着的变动可得到曲线上的全部点，此方程组叫做空间曲线的参数方程.3.空间曲线在坐标面上的投影（1）设空间曲线的一般方程为消去变量之后所得到的方程,表示一个母线平行于轴的柱面，因此，此柱面必定包含曲线.以曲线为准线，母线平行于轴的柱面叫做关于面的投影柱面.投影柱面与面的交线叫做空间曲线在面上的投影曲线，该曲线的方程可写成（2）消去方程组中的变量或，再分别与或联立，我们便得到了空间曲线在或面上的投影曲线方程：或（3）确定一个空间立体或空间曲面在坐标面上的投影.一般来说，这种投影往往是一个平面区域，我们称它为空间立体或空间曲面在坐标面的投影区域..投影区域可以利用投影柱面与投影曲线来确定.三．二次曲面1.椭圆锥面由方程所确定的曲面称为椭圆锥面.2.椭球面(,,)0,(,,)0.F x y z G x y z =⎧⎨=⎩C C x y z ,,t ⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(t z z t y y t x x t C C (,,)0,(,,)0.F x y z G x y z =⎧⎨=⎩z (,)0H x y =z C C z xoy xoy C xoy (,)0,0.H x y z =⎧⎨=⎩(,,)0,(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩x y 0x =0y =C yoz xoz (,)0,0,R y z x =⎧⎨=⎩(,)0,0.T x z y =⎧⎨=⎩22222x y z a b+=由方程 ()所确定的曲面称为椭球面，称为椭球面的半轴，此方程称为椭球面的标准方程．3.单叶双曲面由方程()所确定的曲面称为单叶双曲面．4.双叶双曲面由方程()所确定的曲面称为双叶双曲面．注 方程和也都是单叶双曲面;方程和也都是双叶双曲面．5.椭圆抛物面由方程 ()所确定的曲面称为椭圆抛物面．6.双曲抛物面由方程 ()所确定的曲面称为双曲抛物面．双曲抛物面的图形形状很象马鞍，因此也称马鞍面．四．例题讲解例1建立球面的中心是点，半径为的球面方程. 例2 方程表示怎样的曲面？ 例3 分析方程表示怎样的曲面？例4 双曲线型冷却塔是电厂、核电站的循环水自然通风冷却的一种建筑物, 如图8.24所示.试分析双曲线型冷却塔外表面的数学模型.1222222=++cz b y a x 0, 0, 0a b c >>>, , a b c 1222222=-+cz b y a x 0, 0, 0a b c >>>1222222-=-+c z b y a x 0, 0, 0a b c >>>1222222=+-c z b y a x 1222222=++-cz b y a x 1222222-=+-c z b y a x 1222222-=++-cz b y a x 2222by a x z +=0, 0, 0a b c >>>2222by a x z -=0, 0, 0a b c >>>),,(0000z y x M R 024222=+-++y x z y x 222R y x =+8.24 图8.25坐标面上的双曲线分别绕绕另一条与相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点为圆锥面的12222=-by c z L。
同济高等数学下册第八章知识点精讲
总之:
运算律 : 结合律 分配律
可见
因此
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设 a 为非零向量 , 则
a∥b
( 为唯一实数)
证: “ ”. 设 a∥b , 取 ＝±
, a , b 同向时
取正号, 反向时取负号, 则 b 与 a 同向, 且
再证数 的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则
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求三
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导出刚体上
一点 M 的线速度 的表示式 .
解: 在轴 l 上引进一个角速度向量 使
其
方向与旋转方向符合右手法则 , 在 l 上任取一点 O, 作
向径
它与 的夹角为 , 则
点 M离开转轴的距离
且
符合右手法则
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1. 定义 已知三向量
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两平面法向量的夹角(常指锐角)称为两平面的夹角. 设平面∏1的法向量为
平面∏2的法向量为
则两平面夹角 的余弦为
即
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和 垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 .
解: 设所求平面的法向量为 方程为
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
Ⅰ
• 卦限(八个) Ⅶ
y轴(纵轴)
x轴(横轴) Ⅷ
Ⅵ Ⅴ
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点M
有序数组
向径
(称为点 M 的坐标) 特殊点的坐标 :
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ;
高等数学第一节、向量及其线性运算
o
a
A
记作(a, b) 或 (b, a),即(a, b) .
如果向量 a 与 b 中有一个是零向量 ,规定它们的
夹角可以在 0 与 π 之间任意取值 .
8、向量平行
如果(a, b) 0或，就称向量a 与b 平行，记作a// b .
a
c
b
零向量与任何向量都平行.
9、向量垂直
如果
( a,
b)
，就称向量a
因为向量 a 与 a 平行,所以常用向量与数的乘
积来说明两个向量的平 行关系.
定理 1 设向量 a 0,那么向量b 平行于 a 的充分
必要条件是: 存在唯一的实数,使得 b a .
6、数轴与向量
数轴可由一个点、一个方向及单位长度确定，故
给定一个点及一个单位向量即可确定一条数轴.
6、零向量： 模等于零的向量叫做零 向量,记作 0 或 0 .
零向量的起点与终点重合，它的方向可以看做是任意的.
7、向量的夹角 设有两个非零向量 a, b, 任取空间一点 O,
作 OA a, OB b,
规定不超过 π 的 AOB
B
b
(设 AOB, 0 π)
称为向量a 与 b的夹角,
A
D
二、向量的线性运算
1. 向量的加法
三角形法则
ab
C
A
a
b
B
或平行四边形法则
b
A
D
ab
a
B
C
b (ab)c
a (b c)
c bc
运算规律 :
ab b
交换律 结合律
a b b a (a b) c
a
(b
c)
同济大学(高等数学)-第八章-向量代数与解析几何
第五篇 向量代数与空间解析几何第八章 向量代数与空间解析几何解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何的问题，为了把代数运算引入几何中来，最根本的做法就是设法把空间的几何结构有系统的代数化，数量化. 平面解析几何使一元函数微积分有了直观的几何意义，所以为了更好的学习多元函数微积分，空间解析几何的知识就有着非常重要的地位.本章首先给出空间直角坐标系，然后介绍向量的基础知识，以向量为工具讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分容.第1节 空间直角坐标系1.1 空间直角坐标系用代数的方法来研究几何的问题，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现.1.1.1 空间直角坐标系过定点O ，作三条互相垂直的数轴，这三条数轴分别叫做x 轴(横轴）、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴)，它们都以O 为原点且具有相同的长度单位. 通常把x 轴和y 轴配置在水平面上，而z 轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则：右手握住z 轴，当右手的四指从x 轴的正向转过2角度指向y 轴正向时，大拇指的指向就是z 轴的正向，这样就建立了一个空间直角坐标系（图8-1），称为Oxyz 直角坐标系，点O 叫做坐标原点.图8-1在Oxyz 直角坐标系下，数轴Ox ,Oy ,Oz 统称为坐标轴，三条坐标轴中每两条可以确定一个平面，称为坐标面，分别为xOy ，yOz ，zOx ，三个坐标平面将空间分为八个部分，每一部分叫做一个卦限（图8-2），分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示.yxzO图8-21.1.2 空间点的直角坐标设M 为空间中的任一点，过点M 分别作垂直于三个坐标轴的三个平面，与x 轴、y 轴和z 轴依次交于A 、B 、C 三点，若这三点在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分别为x ，y ，z ，于是点M 就唯一确定了一个有序数组(, , )x y z ，则称该数组(, , )x y z 为点M 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标，如图8-3．x ，y ，z 分别称为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．图8-3反之，若任意给定一个有序数组(, , )x y z ，在x 轴、y 轴、z 轴上分别取坐标为x ，y ，z 的三个点A 、B 、C ，过这三个点分别作垂直于三个坐标轴的平面，这三个平面只有一个交点M ，该点就是以有序数组(, , )x y z 为坐标的点，因此空间中的点M 就与有序数组(, , )x y z 之间建立了一一对应的关系．注：A 、B 、C 这三点正好是过M 点作三个坐标轴的垂线的垂足．yxzOyxzAB C(,,)M x y z1.2 空间中两点之间的距离设两点111(, , )M x y z ，222(, , )N x y z ，则M 与N 之间的距离为212212212)()()(z z y y x x d -+-+-= （8-1-1）事实上，过点M 和N 作垂直于xOy 平面的直线，分别交xOy 平面于点1M 和1N ，则1MM ∥1NN ，显然，点1M 的坐标为11(, , 0)x y ，点1N 的坐标为22(, , 0)x y （如图8-4）．图8-4由平面解析几何的两点间距离公式知，1M 和1N 的距离为：21221211)()(||y y x x N M -+-=．过点M 作平行于xOy 平面的平面，交直线1NN 于2N ，则11M N ∥2MN ，因此2N 的坐标为221(, , )x y z ，且212212112)()(||||y y x x N M MN -+-==，在直角三角形N MN 2中，||||122z z N N -=，所以点M 与N 间的距离为2122122122222)()()(||||z z y y x x N N MN d -+-+-=+=．例1 设(1, 2, 0)A -与(1, 0, 2)B --为空间两点，求A 与B 两点间的距离． 解 由公式（8-1-1）可得，A 与B 两点间的距离为d ==例2 在z 轴上求与点(3, 5, 2)A -和(4, 1, 5)B -等距的点M ．解 由于所求的点M 在z 轴上，因而M 点的坐标可设为(0, 0, )z ，又由于MA MB =，由公式（8-1-1），得222222)5(1)4()2(53z z -++-=--++．从而解得72=z ，即所求的点为2(0, 0, )7M ．习题8-11．讨论空间直角坐标系的八个卦限中的点的坐标的符号． 2．在坐标轴上的点和在坐标平面上的点的坐标各有何特点？ 3．在空间直角坐标系中，画出以下各点：(2, 0, 0)A ；(0, 3, 0)B -；(3, 0, 1)C ；(3, 2, 1)D -．4．求点(1, 2, 3)-关于各坐标平面对称的点的坐标． 5．求点(1, 2, 3)关于各坐标轴对称的点的坐标． 6．求以下各对点间的距离： (1) (0, 1, 3)A -与(2, 1, 4)B ；(2) (1, 4, 2)C -与D(2, 7, 3)．7．在坐标平面yOz 上求与三点(3, 1, 2)A 、(4, 2, 2)B --和(0, 5, 1)C 等距的点． 8．求点(12, 3, 4)A -与原点、各坐标平面和各坐标轴的距离．9. 证明以()()()A 4,3,1,B 7,1,2,C 5,2,3为顶点的三角形△ABC 是一等腰三角形.第2节 空间向量的代数运算2.1 空间向量的概念在日常生活中，我们经常会遇到一些量，如质量、时间、面积、温度等，它们在取定一个度量单位后，就可以用一个数来表示．这种只有大小没有方向的量，叫做数量（或标量）．但有一些量，如力、位移、速度、电场强度等，仅仅用一个实数是无法将它们确切表示出来，因为它们不仅有大小，而且还有方向，这种既有大小又有方向的量，叫做向量（或矢量）．在数学上，我们用有向线段AB 来表示向量，A 称为向量的起点，B 称为向量的终点，有向线段的长度就表示向量的大小，有向线段的方向就表示向量的方向．通常在印刷时用黑体小写字母a ，b ，c ，…来表示向量，手写时用带箭头的小写字母, ,,a b c来记向量.向量的长度称为向量的模，记作a 或AB ，模为1的向量叫做单位向量，模为0的向量叫做零向量，记作0，规定：零向量的方向可以是任意的．本章我们讨论的是自由向量，即只考虑向量的大小和方向，而不考虑向量的起点，因此，我们把大小相等，方向相同的向量叫做相等向量，记作a =b .规定：所有的零向量都相等.与向量a 大小相等，方向相反的向量叫做a 的负向量(或反向量)，记作 a ． 平行于同一直线的一组向量称为平行向量（或共线向量）．平行于同一平面的一组向量，叫做共面向量，零向量与任何共面的向量组共面.2.2 向量的线性运算2.2.1 向量的加法我们在物理学中知道力与位移都是向量，求两个力的合力用的是平行四边形法则，我们可以类似地定义两个向量的加法．定义1 对向量a ，b ，从同一起点A 作有向线段AB 、AD 分别表示a 与b ，然后以AB 、AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则我们把从起点A 到顶点C 的向量AC 称为向量a 与b 的和（图8-5），记作a +b ．这种求和方法称为平行四边形法则．图8-5 图8-6若将向量b 平移，使其起点与向量a 的终点重合，则以a 的起点为起点，b 的终点为终ab Cabc =a +b点的向量c 就是a 与b 的和(图8-6），该法则称为三角形法则．多个向量，如a 、b 、c 、d 首尾相接，则从第一个向量的起点到最后一个向量的终点的向量就是它们的和a +b +c +d （图8-7）．图8-7对于任意向量a ，b ，c ，满足以下运算法则： (1)a +b =b +a (交换律)．(2)()()a +b +c =a +b +c (结合律)． (3)0a +=a ．2.2.2 向量的减法定义2 向量a 与b 的负向量-b 的和，称为向量a 与b 的差，即()--a b =a +b ．特别地，当b =a 时，有()-0a +a =.由向量减法的定义，我们从同一起点O 作有向线段OA ，OB 分别表示a ，b ，则()OA OB OA OB --=+-a b =OA BO BA =+=．也就是说，若向量a 与b 的起点放在一起，则a ，b 的差向量就是以b 的终点为起点，以a 的终点为终点的向量（图8-8）．图8-82.2.3数乘向量定义3 实数λ与向量a 的乘积是一个向量，记作λa ，λa 的模是λa ，方向： 当0λ>时，λa 与a 同向；当0λ<时，λa 与a 反向；当0λ=时，λ0a =．abcda +b +c +daabb -a bBAC对于任意向量a ，b 以与任意实数λ，μ，有运算法则： (1) ()()λμλμa =a ． (2) ()+λμλμ+a =a a ．(3) ()+λλλ+a b =a b ．向量的加法、减法与数乘向量运算统称为向量的线性运算，λμa +b 称为a ，b 的一个线性组合(, )R λμ∈．特别地，与 a 同方向的单位向量叫做a 的单位向量，记做a e ，即aa e a=.上式说明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.例1 如图8-9，在平行六面体///ABCD B C D /—A 中，设/=AA ,a AD =b AB =c ,试用,,a b c 来表示对角线向量//,.AC A C图8-9解 ''AC AB BC CC =++'AB BC AA =++a b c =++；'''AC A A AB BC AA AB AD =++=-++a b c =++.由于向量λa 与a 平行，所以我们通常用数与向量的乘积来说明两个向量的平行关系.即有,定理1 向量a 与非零向量b 平行的充分必要条件是存在一个实数λ，使得λa =b .2.3 向量的坐标表示2.3.1向量在坐标轴上的投影设A 为空间中一点，过点A 作轴u 的垂线，垂足为'A ，则'A 称为点A 在轴u 上的投影(图8-10)．图8-10若M 为空间直角坐标系中的一点，则M 在x 轴、y 轴、z 轴上的投影为A 、B 、C ，如图8-11所示．图8-11设向量AB 的始点与终点B 在轴u 的投影分别为A '、B '，那么轴u 上的有向线段A B ''的值A B ''叫做向量AB 在轴u 上的投影，记作u prj AB A B ''=，轴u 称为投影轴.图8-12当A B ''与轴u 同向时，投影取正号，当A B ''与轴u 反向时，投影取负号． 注 (1) 向量在轴上投影是标量．(2) 设MN 为空间直角坐标系中的一个向量，点M 的坐标为111(, , )x y z ，点N 的坐标为222(, , )x y z ，显然，向量MN 在三个坐标轴上的投影分别为12x x -，12y y -，12z z -． 2.3.2向量的坐标表示yxzOA B CM取空间直角坐标系Oxyz ，在x 轴、y 轴、z 轴上各取一个与坐标轴同向的单位向量，依次记作, , i j k ，它们称为坐标向量．空间中任一向量a ，它都可以唯一地表示为, , i j k 数乘之和． 事实上，设MN a =，过M 、N 作坐标轴的投影，如图8-13所示．MN =MA+AP +PN =MA+MB +MC a =．由于MA 与i 平行，MB 与j 平行，MC 与k 平行，所以，存在唯一的实数, , x y z ，使得MA x =i ，MB y =j ，MC z =k ，即x y z a =i +j +k ． (8-2-1)图 8-13我们把(8-2-1)式中, , i j k 系数组成的有序数组(, , )x y z 叫做向量a 的直角坐标，记为{, , }x y z a =，向量的坐标确定了，向量也就确定了．显然，(8-2-1)中的, , x y z 是向量a 分别在x 轴、y 轴、z 轴上的投影．因此，在空间直角坐标系中的向量a 的坐标就是该向量在三个坐标轴上的投影组成的有序数组．例2 在空间直角坐标系中设点(3, 1, 5)M -，(2, 3, 1)N -，求向量MN 与NM 的直角坐标．解 由于向量的坐标即为向量在坐标轴上的投影组成的有序数组，而向量的各投影即为终点坐标与起点坐标对应分量的差．所以向量MN 的坐标为{5, 4, 4}--，向量NM 的坐标为{5, 4, 4}-． 例3(定比分点公式) 设111(,,)A x y z 和222(,,)B x y z 为两已知点，有向线段AB 上的点M 将它分为两条有向线段AM 和MB ，使它们的值的比等于数(1)λλ≠-，即AMMBλ=，求分点(,,)M x y z 的坐标.图8-14 解 如图8-14，因为AM 与MB 在同一直线上，且同方向，故AM MB λ=⋅，而122{,,}AM x x y y z z =---， 222{,,}MB x x y y z z =---222{(),(),()}MB x x y y z z λλλλ=---所以 12()x x x x λ-=-，12()y y y y λ-=-，12()z z z z λ-=- 解得121212,,.111x x y y z z x y z λλλλλλ+⋅+⋅+⋅===+++当λ=1, 点M 的有向线段→AB x 2.3.3向量可以用它的模与方向来表示，设空间向量12a M M =分别为,,αβγ，规定： 0,0απ≤≤≤称,,αβγ为向量a 的方向角因为向量a 12cos cos x a M M a αα=⋅=⋅12cos cos y a M M a ββ=⋅=⋅(8-2-2)12cos cos z a M M a γγ=⋅=⋅公式(8.2.2)中出现的cos ,cos ,cos αβγ称为向量a 的方向余弦.而{,,}{cos ,cos ,cos }x y z a a a a a a a αβγ==⋅⋅⋅{cos ,cos ,cos }a a a e αβγ=⋅=⋅{cos ,cos ,cos }a e αβγ=是与向量a 同方向的单位向量.而 a =M M =12,,x y z M P a M Q a M R a ===111，故向量a 的模为 x a a a =+2(8-2-3)从而向量a 的方向余弦为cos a αβγ===(8-2-4)并且 222cos cos cos 1αβγ++=.例4 已知两点1M 和()21,3,0M ,求向量12M M 的模、方向余弦和方向角.解12(12,32,0(1,1,M M =--=-2)2(1)1(222=-++-=；11cos ,cos ,cos 22αβγ=-==； 23,,334πππαβγ===. 例5 已知两点(4,0,5)A 和(7,1,3)B ，求与AB 同方向的单位向量e . 解 因为{74,10,35}{3,1,2},AB =---=-所以23AB == 于是 {}.e =2.4 向量的数量积在物理中我们知道，一质点在恒力F 的作用下，由A 点沿直线移到B 点，若力F 与位移向量AB 的夹角为θ，则力F 所作的功为||||cos W F AB θ=⋅⋅．类似的情况在其他问题中也经常遇到．由此，我们引入两向量的数量积的概念． 定义1 设a ，b 为空间中的两个向量，则数cos ,a b a b叫做向量a 与b 的数量积(也称积或点积)，记作⋅a b ，读作“a 点乘b ”．即cos ,⋅a b =a b a b （8-2-5）其中,a b 表示向量a 与b 的夹角，并且规定0, π≤≤a b ．两向量的数量积是一个数量而不是向量，特别地当两向量中一个为零向量时，就有0⋅a b =.由向量数量积的定义易知：(1)2⋅a a =a ，因此=a(2) 对于两个非零向量a ，b ，a 与b 垂直的充要条件是它们的数量积为零，即⊥a b ⇔0⋅a b =．注 数量积在解决有关长度、角度、垂直等度量问题上起着重要作用． 数量积的运算满足如下运算性质： 对于任意向量a ，b 与任意实数λ，有 (1) 交换律：⋅⋅a b =b a ．(2) 分配律：()⋅⋅⋅a b +c =a b +a c ．(3) 与数乘结合律：()()()λλλ⋅⋅=⋅a b =a b a b ． (4)0⋅≥a a 当且仅当0a =时，等号成立．例6 对坐标向量i ，j ，k ，求⋅i i ，⋅j j ，⋅k k ，⋅i j ，⋅j k ，⋅k i ． 解 由坐标向量的特点与向量积的定义得1⋅⋅⋅i i =j j =k k =， 0⋅⋅⋅i j =j k =k i =．例7 已知2=a ，3=b ，2, 3π=a b ，求a b ⋅，(2)()-+a b a b ⋅，+a b ． 解 由两向量的数量积定义有2cos , 23cos 3π⋅=⨯⨯a b =a b a b 123()=32=⨯⨯--．(2)()=22-⋅+⋅⋅-⋅-⋅a b a b a a +a b b a b b22=2-⋅-a a b b 222(3)23=11=---⨯-．2()()+=⋅+a b a +b a b =⋅⋅+⋅+⋅a a +a b b a b b222=+⋅+a a b b 2222(3)3=7=+⨯-+，因此+=a b ．在空间直角坐标系下，设向量111{,,}x y z a =，向量222{,,}x y z b =，即111x y z ++a =i j k , 222x y z ++b =i j k ．则111222()()x y z x y z ⋅++⋅++a b =i j k i j k121212()()+()x x x y x z ⋅+⋅⋅=i i i j i k 121212()()+()y x y y y z ⋅+⋅⋅+j i j j j k 121212()()+()z x z y z z ⋅+⋅⋅+k i k j k k ．由于1⋅⋅⋅i i =j j =k k =， 0⋅⋅⋅i j =j k =k i =，所以121212x x y y z z ⋅++a b =．(8-2-6)也就是说，在直角坐标系下，两向量的数量积等于它们对应坐标分量的乘积之和．同样，利用向量的直角坐标也可以求出向量的模、两向量的夹角公式以与两向量垂直的充要条件，即设非零向量111{,,}x y z a =，向量222{,,}x y z b =，则=a (8-2-7)cos ||||⋅=a ba,b a b=． (8-2-8)⊥a b ⇔1212120x x y y z z ++=． (8-2-9)例8 在空间直角坐标系中，设三点(5, 4, 1)A -，(3, 2, 1)B ，(2, 5, 0)C -．证明:ABC ∆是直角三角形．证明 由题意可知{2, 6, 0}AB =-，={3, 1, 1}AC ---，则(2)(3)6(1)0(1)0AB AC ⋅=-⨯-+⨯-+⨯-=，所以AB AC ⊥．即ABC ∆是直角三角形．2.5向量的向量积在物理学中我们知道，要表示一外力对物体的转动所产生的影响，我们用力矩的概念来描述．设一杠杆的一端O 固定，力F 作用于杠杆上的点A 处，F 与OA 的夹角为θ，则杠杆在F 的作用下绕O 点转动，这时，可用力矩M 来描述．力F 对O 的力矩M 是个向量，M 的大小为||||||sin OA OA =M F ,F ．M 的方向与OA 与F 都垂直，且OA ，F ，M 成右手系，如图8-16所示．图8-162.5.1向量积的定义在实际生活中，我们会经常遇到象这样由两个向量所决定的另一个向量，由此，我们引入两向量的向量积的概念．定义2 设a ，b 为空间中的两个向量，若由a ，b 所决定的向量c ，其模为sin , c =a b a b ． (8-2-10)其方向与a ，b 均垂直且a ，b ，c 成右手系（如图8-17），则向量c 叫做向量a 与b 的向量积(也称外积或叉积)．记作⨯a b ，读作“a 叉乘b ”．注 (1) 两向量a 与b 的向量积⨯a b 是一个向量，其模⨯a b 的几何意义是以a ，b 为邻边的平行四边形的面积． (2)⨯0a a =这是因为夹角θ=0，所以⨯0a a = 图8-17(3)对两个非零向量a 与b ，a 与b 平行(即平行)的充要条件是它们的向量积为零向量．a ∥b ⇔⨯0a b =．向量积的运算满足如下性质：对任意向量a ，b 与任意实数λ，有 (1) 反交换律：⨯-⨯a b =b a ． (2) 分配律:()⨯⨯⨯a b +c =a b +a c ，()⨯⨯⨯a +b c =a c +b c ．(3) 与数乘的结合律：()()()λλλ⨯⨯⨯a b =a b =a b ．例9 对坐标向量i ，j ，k ，求⨯i i ，⨯j j ，⨯k k ，⨯i j ，⨯j k ，⨯k i ． 解⨯⨯⨯0i i =j j =k k =．⨯i j =k ，⨯j k =i ，⨯k i =j ．2.5.2向量积的直角坐标运算在空间直角坐标系下，设向量111{, , }x y z a =，向量222{, , }x y z b =，即111x y z ++a =i j k ，222x y z ++b =i j k ，因为⨯⨯⨯0i i =j j =k k =． ⨯i j =k ，⨯j k =i ，⨯k i =j ， ⨯-j i =k ，⨯-k j =i ，⨯-i k =j ．则111222()()x y z x y z ⨯++⨯++a b =i j k i j k121212()()+()x x x y x z ⨯+⨯⨯=i i i j i k 121212()()+()y x y y y z ⨯+⨯⨯+j i j j j k 121212()()+()z x z y z z ⨯+⨯⨯+k i k j k k121212121212()()+()()()()x y y x y z z y x z z x -⨯-⨯--⨯=i j j k k i 121212121212()()+()y z z y x z z x x y y x ----=i j k ．为了便于记忆，借助于线性代数中的二阶行列式与三阶行列式有111111222222y z x z x y y z x z x y ⨯-a b =i j +k 111222x y z x y z =i j k ． 注 设两个非零向量111{, , }x y z a =，222{, , }x y z b =，则a ∥b ⇔⨯0a b =，⇔212121z z y y x x ==． 若某个分母为零，则规定相应的分子为零．例10 设向量{1,2,1}--a =，{2,0,1}b =，求⨯a b 的坐标．解211112121012120201----⨯--=-i j ka b =i j +k 234=--i j +k ．因此⨯a b 的直角坐标为{2, 3, 4}--．例11 在空间直角坐标系中，设向量{3, 0, 2}a =，{1, 1, 1}--b =，求同时垂直于向量a 与b 的单位向量．解 设向量⨯c =a b ，则c 同时与a ，b 垂直．而302111⨯--i j kc =a b =23=-+i j +k ，所以向量c 的坐标为{2, 1, 3}-．再将c 单位化，得02,1,3}={=-c ，即{与-- 为所求的向量． 例12 在空间直角坐标系中，设点(4, 1, 2)A -，(1, 2, 2)B -，(2, 0, 1)C ，求ABC ∆的面积．解 由两向量积的模的几何意义知：以AB 、AC 为邻边的平行四边形的面积为AB AC ⨯，由于{3, 3, 4}AB =--，{2, 1, 1}AC =--，因此33453211AB AC ⨯=--=++--i j ki j k ，所以21AB AC ⨯=故ABC ∆的面积为235=∆ABC S ．2.6向量的混合积定义3 给定空间三个向量,,a b c ，如果先作前两个向量a 与b 的向量积，再作所得的向量与第三个向量c 的数量积，最后得到的这个数叫做三向量,,a b c 的混合积，记做()a b c ⨯⋅或abc ⎡⎤⎣⎦.说明：三个不共面向量,,a b c 的混合积的绝对值等于以,,a b c 为棱的平行六面体的体积V .定理如果111a X i Y j Z k =++，222b X i Y j Z k =++，333c X i Y j Z k =++，那么 111222333.X Y Z abc X Y Z X Y Z ⎡⎤=⎣⎦习题8-21.,,,,,().ABCD AB AD AC DB MA M ==设为一平行四边形试用表示为平行四边形对角线的交点a b.a b12.,().2M AB O OM OA OB =+设为线段的中点,为空间中的任意一点证明 2223.?(1)()();(2)();(3)()().==⨯=⨯对于任意三个向量与判断下列各式是否成立a,b c,a b c b c a a b a b a b c c a b4.:(1);(2)(3).利用向量证明三角形的余弦定理正弦定理；勾股定理5.设,,a b c 为单位向量,且满足0a b c ++=,求.a b b c c a ++6.1(3,2,2),(1,3,2),(8,6,2),322a b c a b + c.求=-==--7.已知三点(3,0,2),A B AB ==求的坐标、模、方向余弦和方向角.8.一向量的终点在点B(2,-1,7),它在x 轴、y 轴和z 轴上的投影依次为4，-4和7.求这向量的起点A 的坐标.9．设2=a ，4=b ，3πa,b =，求⋅a b ，(2)-⋅a b b ，-a b ． 10．设向量a ，b ，c 两两垂直，且1=a ，2=b ，3=c ，求向量d =a +b +c 的模与d,a ．11．在空间直角坐标系中，已知{1,2,3}-a = ，{2,2,1}-b = ，求： (1)⋅a b ；(2) 25⋅a b ；(3) a ；(4)cos a,b ．12.已知向量2332和,,a i j k b i j k c i j =-+=-+=-，计算 （1）()();a b c a c b -（2）()();a b b c +⨯+（3）()a b c ⨯.13．设向量a ，b 的直角坐标分别为{1, 3, 2}--和{2, 4, }k -，若a b ⊥，求k 的值．14．设向量{2, 1, 1}-a =，{1, 3, 0}-b =，求以、a b 为邻边构造的平行四边形面积． 15．求同时垂直于向量{3, 2, 4}-a =和纵轴的单位向量．16．已知三角形三个顶点(4, 1, 2)A -，(3, 0, 1)B -，(5, 1, 2)C ，求ABC ∆的面积．第3节 空间中的平面与直线方程在本节我们以向量为工具，在空间直角坐标系中讨论最简单的曲面和曲线——平面和直线.3.1平面与其方程首先利用向量的概念，在空间直角坐标系中建立平面的方程，下面我们将给出几种由不同条件所确定的平面的方程．3.1.1平面的点法式方程若一个非零向量n 垂直于平面π，则称向量n 为平面π的一个法向量．显然，若n 是平面π的一个法向量，则λn (λ为任意非零实数)都是π的法向量，即平面上的任一向量均与该平面的法向量垂直．由立体几何知识知道，过一个定点0000(, , )M x y z 且垂直于一个非零向量{, , }A B C n =有且只有一个平面π．设(, , )M x y z 为平面π上的任一点，由于π⊥n ，因此0M M ⊥n ．由两向量垂直的充要条件，得00M M =⋅n ,而0000{, , }M M x x y y z z =---，{, , }A B C n =，所以可得0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A ． (8-3-1)由于平面π上任意一点(, , )M x y z 都满足方程(8-3-1)，而不在平面π上的点都不满足方程(8-3-1)，因此方程(8-3-1)就是平面π的方程．由于方程(8-3-1)是给定点0000(, , )M x y z 和法向量{, , }A B C n =所确定的，因而称式(8-3-1)叫做平面π的点法式方程．图8-18例1 求通过点0(1, 2, 4)M -且垂直于向量{3, 2, 1}-n =的平面方程．解 由于{3, 2, 1}-n =为所求平面的一个法向量，平面又过点0(1, 2, 4)M -，所以，由平面的点法式方程(6-14)可得所求平面的方程为3(1)2(2)1(4)=0x y z --⋅++⋅-，整理，得32110x y z -+-=．例2 求过三点()12,1,4M -，()2M 1,3,2--，()3M 0,2,3 的平面π的方程． 解 所求平面π的法向量必定同时垂直于12M M 与13M M ．因此可取12M M 与13M M 的向量积1213M M M M ⨯为该平面的一个法向量n ．即1213n =M M M M ⨯．由于12{3, 4, 6}M M =--，13{2, 3, 1}M M =--，因此1213-631i j kn =M M M M =342⨯---149i j k,=+-,因此所求平面π的方程为0419214=--++-)()()(z y x ，化简得.015914=--+z y x一般地，过三点(,,)(1,2,3)k k k k M x y z k =的平面方程为1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 称为平面的三点式方程。
高等数学教案-向量代数与空间解析几何
高等数学教学教案第8章 向量代数与空间解析几何授课序号01教 学 基 本 指 标教学课题 第8章 第1节 向量及其运算 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合教学重点 数量积、向量积、混合积，两个向量垂直、平行的条件教学难点 两个向量垂直、平行的条件参考教材 同济七版《高等数学》下册 作业布置大纲要求 1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示.2.掌握向量的运算（向量运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件.3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用表达式进行向量运算的方法.教 学 基 本 内 容一．空间直角坐标系1.Oxyz 直角坐标系，点O 叫做坐标原点.2.在Oxyz 直角坐标系下，数轴Oz Oy Ox ,,统称为坐标轴，三条坐标轴中每两条可以确定一个平面，称为坐标面，分别为zOx yOz xOy ,,三个坐标平面将空间分为八个部分,每一部分叫作一个卦限，分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示.3.数组(, , )x y z 为点M 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标，其中z y x ,,分别称为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．二．空间两点间的距离设111(, , )M x y z ，222(, , )N x y z 为空间两点，则M 与N 之间的距离为212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.三．向量的概念1. 向量:既有大小又有方向的量，叫做向量（或矢量）．2. 向量的模:向量的长度称为向量的模，记作a 或AB .3. 单位向量:模为1的向量叫做单位向量.4. 零向量:模为0的向量叫做零向量，记作0，规定：零向量的方向可以是任意的．5. 相等向量:大小相等，方向相同的向量叫做相等向量，记作b a =.规定：所有的零向量都相等.6.负向量:与向量a 大小相等，方向相反的向量叫做a 的负向量(或反向量)，记作-a ．7. 平行向量:平行于同一直线的一组向量称为平行向量（或共线向量）．8. 共面向量:平行于同一平面的一组向量，叫做共面向量，零向量与任何共面的向量共面.四．向量的线性运算1. 向量的加法定义 对向量a ，b ，从同一起点A 作有向线段AB 、AD 分别表示a 与b ，然后以AB 、AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则我们把从起点A 到顶点C 的向量AC 称为向量a 与b 的和，记作b a +．这种向量求和方法称为平行四边形法则．若将向量b 平移，使其起点与向量a 的终点重合，则以a 的起点为起点，b 的终点为终点的向量c 就是a 与b 的和，该法则称为三角形法则．对于任意向量a ，b ，c ，满足以下运算法则：(1)a +b =b +a (交换律)． (2)()()a +b +c =a +b +c (结合律)． (3)0a +=a ．2.向量的减法定义 向量a 与b 的负向量-b 的和，称为向量a 与b 的差，即()--a b =a +b ．特别地，当b =a 时，有()-0a +a =.若向量a 与b 的起点放在一起，则a ，b 的差向量就是以b 的终点为起点，以a 的终点为终点的向量.3.数乘向量定义 实数λ与向量a 的乘积是一个向量，记作λa ，λa 的模是λa ，方向：当0λ>时，λa 与a 同向；当0λ<时，λa 与a 反向；当0λ=时，λ0a =．对于任意向量a ，b 以及任意实数λ，μ，有下列运算法则：(1) ()()λμλμa =a ． (2) ()+λμλμ+a =a a ． (3) ()+λλλ+a b =a b ．向量的加法、减法及数乘向量运算统称为向量的线性运算，λμa +b 称为a ，b 的一个线性组合(, )R λμ∈．特别地，与a 同方向的单位向量叫做a 的单位向量，记作a e ，即||a ae a =. 定理 向量a 与非零向量b 平行的充分必要条件是存在唯一的实数λ，使得λa =b .五．向量的坐标设向量AB 的始点与终点在轴u 的投影分别为A '、B '，那么轴u 上的有向线段A B ''的值A B ''叫做向量AB 在轴u 上的投影，记作u prj AB A B ''=，轴u 称为投影轴.当A B ''与轴u 同向时，投影取正号，当A B ''与轴u 反向时，投影取负号． 注 (1) 向量在轴上投影是标量．（2）设MN 为空间直角坐标系中的一个向量，点M 的坐标为111(, , )x y z ，点N 的坐标为222(, , )x y z ，显然，向量MN 在三个坐标轴上的投影分别为12x x -，12y y -，12z z -．空间直角坐标系Oxyz 中，在x 轴、y 轴、z 轴上各取一个与坐标轴同向的单位向量，依次记作, , i j k ，它们称为坐标向量．空间中任意向量a ，它都可以唯一地表示为, , i j k 数乘之和．x y z a =i +j +k ．我们把上式中, , i j k 系数组成的有序数组(, , )x y z 叫做向量a 的坐标，记为{, , }x y z a =，于是确定了向量．显然，式中的, , x y z 是向量a 分别在x 轴、y 轴、z 轴上的投影．六．向量的数量积和方向余弦1. 向量的数量积定义 设a ，b 为空间中的两个向量，则数cos ,a b a b 叫做向量a 与b 的数量积(也称内积或点积)，记作⋅a b ．即cos ,⋅a b =a b a b ,其中,a b 表示向量a 与b 的夹角，并且规定0, π≤≤a b ．两向量的数量积是一个数量而不是向量，特别地当两向量中一个为零向量时，就有0⋅a b =. 由向量数量积的定义易知：(1)2⋅a a =a ，因此=⋅a a a ．(2) 对于两个非零向量a ,b ,a 与b 垂直的充要条件是它们的数量积为零，即⊥a b ⇔0⋅a b =．数量积的运算满足如下运算性质：对于任意向量a ，b 及任意实数λ，有 (1) 交换律：⋅⋅a b =b a ．(2) 分配律：()⋅⋅⋅a b +c =a b +a c ．(3) 与数乘结合律：()()()λλλ⋅⋅=⋅a b =a b a b ． (4)0⋅≥a a ，当且仅当0a=时，等号成立．(5) 数量积的坐标表示：设向量111{,,}x y z a =，向量222{,,}x y z b =，则121212x x y y z z ⋅++a b =． （6）向量的模、两向量的夹角公式以及两向量垂直的充要条件 设非零向量111{,,}x y z a =，向量222{,,}x y z b =，则222111a a x y z =⋅=++a ．cos ||||⋅=a ba,b a b 121212222222111122++=++++x x y y z z x y z x y z ⨯．⊥a b ⇔1212120x x y y z z ++=．2.方向余弦设空间向量=a 12M M 与三条坐标轴的正向的夹角分别为,,αβγ，规定：0,0,0απβπγπ≤≤≤≤≤≤,称,,αβγ为向量a 的方向角.因为向量a 的坐标就是向量在坐标轴上的投影，因此=⋅=αcos ||21M M a x ⋅||a αcos ,=⋅=βcos ||21M M a y ⋅||a βcos ,=⋅=γcos ||21M M a z ⋅||a γcos ,上式中出现的cos ,cos ,cos αβγ称为向量a 的方向余弦.而 向量a 的方向余弦为222222222cos ,cos ,cos ,y x z xyzxyzxyza a a a a aa a aa a aαβγ===++++++并且222cos cos cos 1αβγ++=.七．向量的向量积和混合积1.向量积定义 设a ，b 为空间中的两个向量，若由a ，b 所决定的向量c ，其模为sin , c =a b a b ，其方向与a ，b 均垂直且a ，b ，c 成右手系，如图8.15所示，则向量c 叫做向量a 与b 的向量积(也称外积或叉积)，记作⨯a b .注 (1) 两向量a 与b 的向量积⨯a b 是一个向量，其模⨯a b 的几何意义是以a ,b 为邻边的平行四边形的面积．(2)⨯0a a =.这是因为⨯0a a =.(3)对两个非零向量a 与b ，a 与b 平行(即平行)的充要条件是它们的向量积为零向量．即a ∥b ⇔⨯0a b =．向量积的运算满足如下性质： 对任意向量a ,b 及任意实数λ，有 （1）反交换律：⨯-⨯a b =b a ．（2）分配律:()⨯⨯⨯a b +c =a b +a c ，()⨯⨯⨯a +b c =a c +b c ．（3）与数乘的结合律：()()()λλλ⨯⨯⨯a b =a b =a b ．（4）向量积的坐标表示111111222222y z x z xy y z x z x y ⨯-a b =i j +k 111222x y z x y z =ij k ． 注 设两个非零向量111{, , }x y z a =，222{, , }x y z b =，则a ∥b ⇔⨯0a b =⇔212121z z y y x x ==． 若某个分母为零，则规定相应的分子为零．2.向量的混合积定义 给定空间三个向量c b a ,,，如果先作前两个向量a 与b 的向量积，再作所得的向量与第三个向量c 的数量积，最后得到的这个数叫做三向量c b a ,,的混合积，记作c b a ⋅⨯)(或][abc .注 三个不共面向量c b a ,,的混合积的绝对值等于以c b a ,,为棱的平行六面体的体积V . 定理 如果a 1x =i +1y j +1z k ，b 2x =i +2y j +2z k ，c 3x =i +3y j +3z k ，那么])(c b a ⋅⨯=333222111z y x z y x z y x .八．例题讲解例1设)1,1,1(A 与)4,3,2(B 为空间两点，求A 与B 两点间的距离． 例2在z 轴上求与点(3, 5, 2)A -和(4, 1, 5)B -等距离的点M ．例3在空间直角坐标系中设点)2,3,4(M ，)3,45(，N ，求向量MN 及NM 的坐标．例4 (定比分点公式) 设111(,,)A x y z 和222(,,)B x y z 为已知点，有向线段AB 上的点M 将它分为两条有向线段AM 和MB ，使它们的值的比等于数(1)λλ≠-，即AMMBλ=，求分点(,,)M x y z 的坐标. 例5已知向量}2,1,3{--=a ，}1,2,1{-=b ，求b a ⋅，a 、b 的夹角的余弦值． 例6已知两点1(2,2,2)M 和()21,3,0M ,求向量12M M 的模、方向余弦和方向角. 例7 已知向量}2,1,3{--=a ，}1,2,1{-=b ，求b a 2⨯.例8 已知三角形ABC 的顶点分别是(1,1,1)(1,2,3)(2,3,4)、、A B C ，求三角形ABC 的面积.授课序号02教 学 基 本 指 标教学课题 第8章 第2节 空间平面和直线 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合教学重点 平面方程和直线方程及其求法，平面与平面，平面与直线，直线与直线之间的夹角教学难点 利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决问题参考教材 同济七版《高等数学》下册作业布置大纲要求 1.掌握平面方程和直线方程及其求法.2.会求平面与平面，平面与直线，直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题.3.会求点到直线以及点到平面的距离.教 学 基 本 内 容一．空间平面方程1.平面方程的各种形式（1）若一个非零向量n 垂直于平面∏，则称向量n 为平面∏的一个法向量．（2）平面的点法式方程：过点0000(, , )M x y z ，法向量为{, , }A B C n =的平面方程为000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=．（3）平面的三点式方程：过三点(,,)(1,2,3)k k k k M x y z k =的平面方程为1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 称为平面的三点式方程.（4）平面的截距式方程：过三点(, 0, 0)A a ，(0, , 0)B b ，(0, 0, )C c (0)abc ≠的平面的方程为000=---cab a z y a x ，化简整理得1=++czb y a x ．称为平面的截距式方程，如图8.16所示． 2.平面的一般式方程1.称方程0=+++D Cz By Ax 为平面的一般式方程, 其中{, , }A B C n =为该平面的一个法向量．2.当某些系数或常数项为零时的情况.（1）0D =，上式变为0Ax By Cz ++=，平面通过原点.（2）,,A B C 中有一个为0，例如0A =，上式就变为0By Cz D ++=，当0D ≠时，x 轴与平面平行；当0D =时，平面通过x 轴. （3）,,A B C 中有两个为0时，有当且仅当()0000，或D B C A C A B ≠======，平面平行于yOz 坐标面 (xOz 面或xOy 面)；当且仅当()0000，或D B C A C A B =======平面就是yOz 坐标面（xOz 面或xOy 面）.3.两平面间的位置关系空间两个平面之间的位置关系有三种：平行、重合和相交．设有两个平面1∏与2∏，它们的方程为1∏：01111=+++D z C y B x A (111, , A B C 不同时为零)，2∏：02222=+++D z C y B x A (222, , A B C 不同时为零)，则它们的法向量分别为1111{,,}A B C =n 和2222{,,}A B C =n ．(1) 两平面平行⇔1n ∥2n ⇔11112222A B C D A B C D ==≠． (2) 两平面重合⇔212121C C B B A A ==21D D =． (3) 两平面相交⇔111, , A B C 与222, , A B C 不成比例．当两平面相交时，把它们的夹角θ定义为其法向量的夹角12,n n ，且规定02πθ≤≤．即121212||cos cos , ||||n n n n n n θ⋅==121212222222111222||A A B B C C A B C A B C ++=++⋅++.特别地，当12∏∏⊥时，12⊥n n ，则120⋅=n n ，即0212121=++C C B B A A ． 反之亦然，所以12∏∏⊥⇔0212121=++C C B B A A ．4．点到平面的距离在空间直角坐标系中，设点000(, , )M x y z ，平面∏：0=+++D Cz By Ax (, , A B C 不全为零)，则点M 到平面∏的距离为1000010222n PP n |Ax By Cz D |d Prj PP nA B C⋅+++===++.二．空间的直线方程1.直线的点向式方程（1）如果一个非零向量s 与直线l 平行，则称向量s 是直线l 的一个方向向量．而向量s 的方向余弦叫做该直线的方向余弦.（2）在空间直角坐标系中，若0000(, , )M x y z 是直线l 上的一个点，{, , }m n p s =为l 的一个方向向量，求直线l 的方程．设(, , )M x y z 为直线l 上的任一点，如图8.17所示，则0M M ∥s ，所以两向量对应坐标成比例．而0M M 的坐标为000{, , }x x y y z z ---，因此有pz z n y y m x x 000-=-=-，称为直线l 的点向式方程（或叫对称式方程）,其中000(, , )x y z 是直线l 上一点的坐标，(, , )m n p =s 为直线l 的一个方向向量．（3）直线的参数方程：设000x x y y z z t m n p ---===，则有000,,,x x mt y y nt z z pt =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩称为直线的参数方程. 2.直线的一般式方程设两个平面的方程为1∏：01111=+++D z C y B x A ，2∏：02222=+++D z C y B x A ，则111122220,A xB yC zD A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩表示一条直线，其中111, , A B C 与222, , A B C 不成比例．称上述方程组为直线的一般式方程．3．两直线的位置关系设两条直线1l 与2l 的方程为1l ：111111p z z n y y m x x -=-=-，2l ：222222p z z n y y m x x -=-=-，两相交直线1l 与2l 所形成的角中，把不大于2π的那对对顶角θ叫做这两条直线的夹角．若1l 与2l 的方向向量分别为1s ，2s ，则有121212121222222212111222||cos cos , .||||m m n n p p m n p m n p θ++⋅===++++s s s s s s注 (1) 若1l ∥2l ，相当于212121p pn n m m ==，规定1l 与2l 的夹角为0； (2) 对于异面直线，可把这两条直线平移至相交状态，此时，它们的夹角称为异面直线的夹角； (3) 若1l ⊥2l ⇔120⋅=s s ⇔0212121=++p p n n m m ．4.直线与平面的位置关系（1）直线与它在平面上的投影之间的夹角θ (02πθ≤≤)，称为直线与平面的夹角．（2）已知直线l ：pz z n y y m x x 000-=-=-，平面π：0=+++D Cz By Ax ，则直线l 的方向向量为{, , }m n p =s ，平面π的法向量为{, , }A B C n =，直线l 与平面π的法线之间的夹角为ϕ，则2πθϕ=-，所以，222222||||sin cos ||||s n s n Am Bn Cp m n p A B Cθϕ⋅++===⋅++⋅++． （3）l π⊥⇔s ∥n ⇔⨯0s n =⇔CpB n A m ==；l 在π内或l ∥π⇔0⋅s n =，即⊥s n 时. 三．例题讲解例1求通过点0(1,1,2)M 且垂直于向量}4,1,2{-=n 的平面方程．例2求过三点()12,1,4M -，()2M 1,3,2--，()3M 0,2,3的平面∏的方程． 例3求过两点(3, 0, 2)A -，(1, 2, 4)B -且与x 轴平行的平面方程． 例4求两平面260x y z -+-=和250x y z ++-=的夹角. 例5求点1(2, 0, )2P -到平面∏：017244=++-z y x 的距离． 例6求过点)3,1,4(-且平行于直线31215x y z --==的直线方程. 例7求过点(1, 0, 2)M -且与两平面1∏：5=+z x 和2∏：1832=+-z y x 都平行的直线方程． 例8将直线的一般式方程2310,32120,x y z x y z -+-=⎧⎨+--=⎩化为点向式方程和参数方程．例9求直线113:141x y z l -+==-和220:20x y l x z ++=⎧⎨+=⎩的夹角. 例10求直线30x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩与平面10x y z --+=的夹角.授课序号03教 学 基 本 指 标教学课题 第8章 第3节 空间曲面和曲线 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合教学重点 以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程教学难点 空间曲线在坐标平面上的投影及其方程参考教材 同济七版《高等数学》下册 作业布置大纲要求 1.理解曲线方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程. 2.了解空间曲线的参数方程和一般方程.3.了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程.教 学 基 本 内 容一．空间曲面定义 如果曲面∑与方程(, , )0F x y z =满足如下关系： (1) 曲面∑上每一点的坐标都满足方程(, , )0F x y z =；(2) 以满足方程(, , )0F x y z =的解为坐标的点都在曲面∑上． 则称方程(, , )0F x y z =为曲面∑的方程，而称曲面∑为此方程的图形．几个常见的曲面方程.1.球面（1）以坐标原点为球心，以R 为半径的球面方程为2222R z y x =++．（2）以000(,,)x y z 为球心，以R 为半径的球面方程为2222000()()()x x y y z z R -+-+-=.（3）一般方程0222=++++++D Cz By Ax z y x . 球面方程具有下列两个特点：（1）它是z y x ,,之间的二次方程，且方程中缺zx yz xy ,,项； （2）222,,z y x 的系数相同且不为零.2.柱面（1）用直线L 沿空间一条曲线C 平行移动所形成的曲面称为柱面．动直线L 称为柱面的母线，定曲线C 称为柱面的准线．（2）准线在坐标面上，母线平行于坐标轴的柱面方程.①方程中缺少z ，即0),(=y x f ，表示准线在xOy 坐标面上，母线平行于z 轴的柱面； ②方程0),(=z y g ，表示准线在yOz 坐标面上，母线平行于x 轴的柱面；③方程0),(=x z h ，表示准线在zOx 坐标面上，母线平行于y 轴的柱面.（3）常见的柱面除了圆柱面：222R y x =+外,还有双曲柱面：12222=-a x b y ,抛物柱面：py x 22=．3.旋转曲面一条平面曲线C 绕同一平面内的一条定直线L 旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面．曲线C 称为旋转曲面的母线，定直线L 称为旋转曲面的旋转轴，简称轴．（1）曲线C 的方程为(, )0,0,f y z x =⎧⎨=⎩曲线C 绕z 轴旋转所生成的旋转曲面方程为22(, )0f x y z ±+=． （2）曲线C 的方程为(, )0,0,f y z x =⎧⎨=⎩曲线C 绕y 轴旋转所生成的旋转曲面方程为22(, )0f y x z ±+=． （3）曲线C 的方程为(,)0,0,h z x y =⎧⎨=⎩曲线C 绕x 轴旋转的旋转曲面的方程为22(, )0h y z x ±+=． （4）曲线C 的方程为(,)0,0,h z x y =⎧⎨=⎩曲线C 绕z 轴旋转的旋转曲面的方程为22(, )0h z x y ±+=． 如在yOz 平面内的椭圆12222=+c z b y 绕z 轴旋转所得到的旋转曲面的方程为122222=++c z b y x ，该曲面称为旋转椭球面． 二．空间曲线1.空间曲线的一般方程空间曲线可看作两曲面的交线.设(,,)0F x y z =和(,,)0G x y z =是两曲面的方程，它们的交线为C .方程组(,,)0,(,,)0.F x y z G x y z =⎧⎨=⎩称作空间曲线的一般方程. 2.空间曲线的参数方程对于空间曲线C ，若C 上的动点的坐标x y z ,,可表示成为参数t 的函数⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(t z z t y y t x x 随着t 的变动可得到曲线C 上的全部点，此方程组叫做空间曲线的参数方程.3.空间曲线在坐标面上的投影（1）设空间曲线C 的一般方程为(,,)0,(,,)0.F x y zG x y z =⎧⎨=⎩消去变量z 之后所得到的方程(,)0H x y =,表示一个母线平行于z 轴的柱面，因此，此柱面必定包含曲线C .以曲线C 为准线，母线平行于z 轴的柱面叫做关于xoy 面的投影柱面.投影柱面与xoy 面的交线叫做空间曲线C 在xoy 面上的投影曲线，该曲线的方程可写成(,)0,0.H x y z =⎧⎨=⎩ （2）消去方程组(,,)0,(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩中的变量x 或y ，再分别与0x =或0y =联立，我们便得到了空间曲线C 在yoz 或xoz 面上的投影曲线方程：(,)0,0,R y z x =⎧⎨=⎩或(,)0,0.T x z y =⎧⎨=⎩ （3）确定一个空间立体或空间曲面在坐标面上的投影.一般来说，这种投影往往是一个平面区域，我们称它为空间立体或空间曲面在坐标面的投影区域..投影区域可以利用投影柱面与投影曲线来确定.三．二次曲面1.椭圆锥面由方程22222x y z a b+=所确定的曲面称为椭圆锥面. 2.椭球面由方程1222222=++cz b y a x (0, 0, 0a b c >>>)所确定的曲面称为椭球面，, , a b c 称为椭球面的半轴，此方程称为椭球面的标准方程．3.单叶双曲面由方程1222222=-+cz b y a x (0, 0, 0a b c >>>)所确定的曲面称为单叶双曲面． 4.双叶双曲面由方程1222222-=-+cz b y a x (0, 0, 0a b c >>>)所确定的曲面称为双叶双曲面．注 方程1222222=+-cz b y a x 和1222222=++-c z b y a x 也都是单叶双曲面; 方程1222222-=+-c z b y a x 和1222222-=++-cz b y a x 也都是双叶双曲面． 5.椭圆抛物面由方程2222by a x z += (0, 0, 0a b c >>>)所确定的曲面称为椭圆抛物面． 6.双曲抛物面由方程2222by a x z -= (0, 0, 0a b c >>>)所确定的曲面称为双曲抛物面．双曲抛物面的图形形状很象马鞍，因此也称马鞍面．四．例题讲解 例1建立球面的中心是点),,(0000z y x M ，半径为R 的球面方程.例2 方程024222=+-++y x z y x 表示怎样的曲面？例3 分析方程222R y x =+表示怎样的曲面？例4 双曲线型冷却塔是电厂、核电站的循环水自然通风冷却的一种建筑物, 如图8.24所示.试分析双曲线型冷却塔外表面的数学模型.图8.24 图8.25例5将yOz 坐标面上的双曲线12222=-by c z 分别绕z 轴和y 轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程. 例6 直线L 绕另一条与L 相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点为圆锥面的顶点，两直线的夹角⎪⎭⎫ ⎝⎛<<20παα叫圆锥面的半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，半顶角为α的圆锥面方程．例7 方程组221,236,x y x z ⎧+=⎨+=⎩表示怎样的曲线？ 例8讨论方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+---=,)2()2(,222222a y a x y x a z 表示的曲线. 例9 将空间曲线C ：2229,21,x y z x z ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩表示成参数方程.例10 螺旋线是实际中常用的曲线，例如：平头螺丝钉的螺纹就是螺旋线.螺旋线的运动轨迹如下，如图8.32所示：空间一点M 在圆柱面222x y a +=以角速度ω绕z 轴旋转,同时以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升点M 构成螺旋线图形.试建立其数学模型.例11 已知222222216,0,x y z x z y ⎧++=⎨+-=⎩求它们的交线在xOy 面上的投影曲线方程. 例12 求上半球面222z x y =--和锥面22z x y =+所围成的空间立体Ω在xoy 面上的投影区域.。
高数第八章-空间解析几何与向量代数教案
《高等数学上》（总学时数： 80 学时）教案目录81419141016.. 111112....2第 8 章空间解析几何与向量代数（ 1学时）章节名称第 7 章微分方程计划学时12学习内容新课内容向量及其线性运算空间直角坐标系空间平面与直线曲面与空间曲线向量的坐标空间解系几何的产生是数学史上一个划时代的成就。
代数学的优越性至于推理方法的程序化，鉴于这种优越性，人们产生了用代数方法研究几何的基本思想。
我们可以把数学学习者研究的两个基本对象数和形结合起来，于是既可以用代数方法来研究解决几何问题——分析这是解析几何的基本内容，也可以用几何方法来解决代数问题。
教学目标课程标准知识与技能过程与方法情感与态度该课程是必修课程，严格按照教学大纲进行教学。
掌握空间几何学的基本概念和空间图形的基本特征及性质讲解法、演示法、对比法、练习法培养学生解决数学空间问题的能力。
教学重点向量的运算（加法、剑法、数量积、向量积）、两向量夹角余弦及其两向量平行、垂直的充要条件、教学重点熟练掌握平面的点法式和直线的点法式方程，及掌握平面和直线间的关系，解决措施解决措施由向量的概念引入向量的运算问题。
通过演示法和练习法，让学生掌握解决相应的空间解析几何的知识。
教学难点两向量夹角余弦及其两向量平行、垂直的充要条件、教学难点熟练掌握平面的点法式和直线的点法式方程，及解决措施解决措施通过演示法和练习法，让学生掌握解决相应的空间解析几何的知识。
根据学生身心发展和高等数学课程学习的特点，积极营造和谐融洽的学习氛围，让学生在听课的过程中生趣，在乐趣中学习，在思考中提高。
同时组织有效地自主学习、合作学习形式，培养学生独立学习的能力，通过多种形式反复再现空间几何图像，巩固教学设计学习效果，提高学习效率；鼓励学生选择适合自己的方式阅读相关资料，让他们在主动思路积极的思维和情感活动中，加深理解和体验，有所感悟和思考，促进学生正确情感、态度、价值观的发展，从而真正成为学习的主人。
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第八章 向量代数与空间解析几何第一节 向量及其线性运算教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。
使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。
教学重点：1.空间直角坐标系的概念2.空间两点间的距离公式3.向量的概念4.向量的运算教学难点：1.空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系 教学内容：一、向量的概念1．向量：既有大小，又有方向的量。
在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。
在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。
2． 量的表示方法有: a 、i 、F 、OM 等等。
3． 向量相等b a =：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。
4． 量的模：向量的大小，记为a。
模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。
零向量的方向是任意的。
5． 量平行b a //：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。
零向量与如何向量都平行。
6． 负向量：大小相等但方向相反的向量，记为a - 二、向量的线性运算1．加减法c b a =+： 加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7－42．c b a =- 即c b a =-+)(3．向量与数的乘法a λ：设λ是一个数，向量a 与λ的乘积a λ规定为0)1(>λ时，a λ与a 同向，||||a a λλ= 0)2(=λ时，0a =λ0)3(<λ时，a λ与a 反向，||||||a a λλ=其满足的运算规律有：结合率、分配率。
设0a 表示与非零向量a 同方向的单位向量，那么aa a 0=定理1：设向量a ≠0，那么，向量b 平行于a 的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，使b ＝a λ例1：在平行四边形ABCD 中，设a =，b =，试用a 和b 表示向量MA 、MB 、MC 和MD ，这里M 是平行四边形对角线的交点。
（见图7－5）图7－4解：→→==+AM AC 2b a ，于是)(21b a +-=→MA 由于→→-=MA MC ， 于是)(21b a +=→MC 又由于→→==+-MD BD 2b a ，于是)(21a b -=→MD由于→→-=MD MB ， 于是)(21a b --=→MB三、空间直角坐标系1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7－1，其符合右手规则。
即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以2π角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。
2． 间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：x 轴、y 轴、z 轴，坐标面分别为xoy 面、yoz 面、zox 面。
坐标面以及卦限的划分如图7－2所示。
图7－1右手规则演示 图7－2空间直角坐标系图 图7－3空间两点21M M 的距离图3．空间点),,(z y x M 的坐标表示方法。
通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。
注意：特殊点的表示a)在原点、坐标轴、坐标面上的点；b)关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。
4．空间两点间的距离。
若),,(1111z y x M 、),,(2222z y x M 为空间任意两点， 则21M M 的距离（见图7－3），利用直角三角形勾股定理为：2222122212212NM pN p M NM N M M M d ++=+==而 121x x P M -=12y y PN -=122z z NM -=所以21221221221)()()(z z y y x x M M d -+-+-==特殊地：若两点分别为),,(z y x M ，)0,0,0(o222z y x oM d ++==例1：求证以)1,3,4(1M 、)2,1,7(2M 、)3,2,5(3M 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。
证明: 14)21()13()74(222221=-+-+-=M M6)23()12()75(222232=-+-+-=M M6)13()32()45(222213=-+-+-=M M由于 1332M M M M =，原结论成立。
例2：设P 在x 轴上，它到)3,2,0(1P 的距离为到点)1,1,0(2-P 的距离的两倍，求点P 的坐标。
解：因为P 在x 轴上，设P 点坐标为)0,0,(x()113222221+=++=x x PP ()21122222+=+-+=x x PP212PP PP = 221122+=+∴x x1±=⇒x所求点为：)0,0,1(，)0,0,1(- 四、利用坐标系作向量的线性运算1．向量在坐标系上的分向量与向量的坐标通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系。
设a =21M M 是以),,(1111z y x M 为起点、),,(2222z y x M 为终点的向量，i 、j 、k 分别表示 图7－5沿x ，y ，z 轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图7－5，并应用向量的加法规则知：)(1221x x M M -=i + )(12y y -j +)(12z z -k或a = a x i + a y j + a z k上式称为向量a 按基本单位向量的分解式。
有序数组a x 、a y 、a z 与向量a 一一对应，向量a 在三条坐标轴上的投影a x 、a y 、a z 就叫做向量a 的坐标，并记为a ＝ {a x ，a y ，a z }。
上式叫做向量a 的坐标表示式。
于是，起点为),,(1111z y x M 终点为),,(2222z y x M 的向量可以表示为},,{12121221z z y y x x M M ---=特别地，点),,(z y x M 对于原点O 的向径},,{z y x OM =注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。
向量a 在坐标轴上的投影是三个数a x 、a y 、a z ，向量a 在坐标轴上的分向量是三个向量a x i 、 a y j 、 a z k . 2．向量运算的坐标表示 设},,{z y x a a a =a ，},,{z y x b b b =b 即k j i a z y x a a a ++=，k j i b z y x b b b ++=则(1) 加法： k j i b a )()()(z z y y x x b a b a b a +++++=+ ◆ 减法： k j i b a )()()(z z y y x x b a b a b a -+-+-=-◆ 乘数： k j i a )()()(z y x a a a λλλλ++=◆ 或},,{z z y y x x b a b a b a +++=+b a},,{z z y y x x b a b a b a ---=-b a},,{z y x a a a λλλλ=a◆ 平行：若a ≠0时，向量a b //相当于a b λ=，即},,{},,{z y x z y x a a a b b b λ=也相当于向量的对应坐标成比例即zzy y x x a b a b a b == 五、向量的模、方向角、投影设},,{z y x a a a =a ，可以用它与三个坐标轴的夹角γβα、、（均大于等于0，小于等于π）来表示它的方向，称γβα、、为非零向量a 的方向角，见图7－6，其余弦表示形式γβαcos cos cos 、、称为方向余弦。
1． 模222zy x a a a ++=a2． 方向余弦由性质1知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====γγββααcos cos cos a a a a a a z y x ，当0222≠++=z y x a a a a 时，有⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++==++==++==222222222cos cos cos z y x z z z y x y y z y x xx a a a a a a a a a a a a a a a a a a γβα ◆ 任意向量的方向余弦有性质：1cos cos cos 222=++γβα ◆ 与非零向量a 同方向的单位向量为：}cos ,cos ,{cos },,{1γβα===z y x a a a aaa a例：已知两点M 1(2,2,2)、M 2(1,3,0)，计算向量21M M 的模、方向余弦、方向角以及与21M M 同向的单位向量。
解：21M M ＝{1-2，3-2，0-2}={-1，1，-2}2)2(1)1(222=-++-=21cos -=α，21cos =β，22cos -=γ32πα=，3πβ=，43πγ= 设0a 为与21M M 同向的单位向量，由于}cos ,cos ,{cos γβα=0a即得}22,21,21{--=0a3． 向量在轴上的投影(1) 轴上有向线段的值：设有一轴u ，是轴u 上的有向线段，如果数λ满足=λ且当AB 与轴u 同向时λ是正的，当AB 与轴u 反向时λ是负的，那么数λ叫做轴u 上有向线段的值，记做AB ，即AB =λ。
设e 是与u 轴同方向的单位向量，则e λ=AB(2) 设A 、B 、C 是u 轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有BC AB AC += (3) 两向量夹角的概念：设有两个非零向量a 和b ，任取空间一点O ，作a =，b =，规定不超过π的AOB ∠称为向量a 和b 的夹角，记为),(b a ∧(4) 空间一点A 在轴u 上的投影：通过点A 作轴u 的垂直平面，该平面与轴u 的交点'A 叫做点A 在轴u 上的投影。
(5) 向量在轴u 上的投影：设已知向量的起点A 和终点B 在轴u 上的投影分别为点'A 和'B ，那么轴u 上的有向线段的值''B A 叫做向量在轴u 上的投影，记做AB j u Pr 。
2．投影定理性质1：向量在轴u 上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角ϕ的余弦：ϕPr j u =性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即2121a a a a j j j u Pr Pr )(Pr +=+性质3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。
即a a j j u Pr )(Pr λλ=小结：本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识，引导学生对向量（自由向量）有清楚的理解，并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算，空间直角坐标系（轴、面、卦限），空间两点间距离公式。