信号与系统课件§1.4 阶跃函数和冲激函数

t
(t ) lim p n (t )
n
高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲。
▲ ■ 第 7页
3. δ(t)与ε(t)的关系
γ
1 2
n
n
1
pn (t)
求导
o
1 n
2

1 n
p n (t )
t
d n (t ) dt

1 n
o
1 n
t
n→∞
ε (t) 1
δ (t)
求导
o t
t t0 t t0
,
t0 0
1
O
t0
t
(t t 0 )
0 (t t 0 ) 1
t t 0 t t 0
1
,
t0 0
t0
▲
O
t
■
第 3页
3. 阶跃函数的性质
（1）可以方便地表示某些信号
2 f (t)
f(t) = 2ε(t)- 3ε(t-1) +ε(t-2)
▲
■
第 9页
三． 冲激函数的性质
取样性 冲激偶 尺度变换 复合函数形式的冲激函数
▲
■
第 10 页
1. 取样性(筛选性)
如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有
( t ) f ( t ) f (0) ( t )
f (t )



( t ) f ( t ) d t f (0)
f (t)
4
求导，得g(t)
o 2 t
(4)
g(t) = f '(t)
-2
o -1
2
-2
t
压缩，得g(2t)
g(2t)
(2)
-1
o -1
1
t
▲ ■
第 15 页
4. 复合函数形式的冲激函数
实际中有时会遇到形如δ[f(t)]的冲激函数，其 中f(t)是普通函数。并且f(t) = 0有n个互不相等的 实根 ti ( i=1，2，…，n) f (t)
0, def 1 (t ) lim n (t ) , n 2 1, t0 t 0 t 0

1 2
1
1 n
o
1 n
t
(t )
1
O
▲ ■
t
第 2页
2. 延迟单位阶跃信号
1
(t )
O
t
(t t 0 )
0 (t t 0 ) 1
1
1 4
(t )
2
▲ ■
1
注意：如果f(t)=0有重根，δ[f(t)]无意义。
#
第 17 页
冲激函数的性质总结
（1）取样性
f ( t ) ( t ) f (0) ( t )

（5）冲激偶
f ( t ) ( t ) f (0) ( t ) f (0) ( t )
1
|a|
(t) ( t
t0 a
)
(2) 当a = –1时 ( n ) (t ) (1) n ( n ) (t ) 所以， δ(– t) = δ (t) 为偶函数， δ’(– t) = – δ’ (t)为奇函数
▲ ■ 第 14 页
举例
已知f(t)，画出g(t) = f ’(t)和 g(2t)

狄拉克(Dirac)定义 函数序列定义δ(t) 冲激函数与阶跃函数关系 冲激函数的性质
▲
■
第 5页
1. 狄拉克(Dirac)定义
(t ) 0 t 0 (t ) d t 1




(t ) d t

0
(t ) d t
δ(n)(t)的定义： δ’(t)的平移： ③







(n)
(0)
( t t 0 ) f ( t ) d t f ( t 0 )

t

( t ) d t t
2
例 (t 2)
' (t ) d t
d dt
[(t 2) ] t 0 2(t 2)
•定义
1, (k ) 0,
def
k 0 k 0
1
ε (k)
… o1 2 3 k
•ε(k)与δ(k)的关系 δ(k) = ε(k) –ε(k –1) 或
(k )
-1
i

(i)
ε(k) = δ(k)+ δ(k –1)+…
▲ ■ 第 20 页
k
(k ) (k j )
j 0
▲
2
t 0
4
■ 第 13 页
3. 对(t)的尺度变换
at
at
1 a
1 a
1 a
t
t
证明

(n)
举例
(at ) 1 1
n

(n)
(t )|a|ຫໍສະໝຸດ a推论: (1) (at )
1 |a|
(t )
( at = 00.5δ δ(2t) t )



f ( t ) ( t ) d t f (0)


t
f ( t ) ( t ) d t f (0)
（2）奇偶性
( t ) (t )


( t ) d t ( t )
（3）比例性
(at )
1 a
d (t ) dt
( t ) ( t )
0
函数值只在t = 0时不为零； 积分面积为1；
t =0 时， t ，为无界函数。
o
δ (t) (1)
t
▲
■
第 6页
2.函数序列定义δ(t)
对γn(t)求导得到如图所示的矩形脉冲pn(t) 。
γ
1 2
n
n 2
pn (t)
1

1 n
o
1 n
求导
t
def

1 n
o
1 n
(t 2)
1 4
(t 2)
一般地， [ f (t )]
i 1
1 f ' (t i )
(t t i )
1 f ' (t i )
这表明，δ[f(t)]是位于各ti处，强度为 函数构成的冲激函数序列。
(4t 1)
2
的n个冲激
1 4
(t )
2
δ (k)
1
-1
o 1
k
f(k)δ(k –k0) = f(k0)δ(k –k0)
k
f (k ) (k )
k

f (0)
•例
k
(k ) ?

(k 5) (k ) ?
i
(k i ) ?
▲ ■ 第 19 页

2. 单位阶跃序列ε(k) 定义
§1.4 阶跃函数和冲激函数
函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积 分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异 函数。 阶跃函数 冲激函数
是两个典型的奇异函数。
阶跃序列和单位样值序列
■
第 1页
一、单位阶跃函数
1. 定义 下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数。
γ
n
选定一个函数序列γn(t)如图所示。
d dt { [ f (t )]} [ f (t )] d f (t ) dt
-2 o -4 2
[ f (t )]
1
d
t
{ [ f (t )]}
f ' (t ) d t
ε[f(t)]图示说明： 例f(t)= t2 – 4
ε [f (t) ]
1
ε(t2 – 4)=1 –ε(t+2)+ε(t – 2)
-2
▲
o
2
t
■ 第 16 页
ε( t 2 – 4) =1 –ε(t+2)+ε(t – 2)
[t 4]
2
1 d 2t d t
[ (t 4)]
2
1 2t
[ (t 2) (t 2)] 1 4

1 2 2
(t 2)
1 2 2
(t 2)
n
t



( t ) d t 0
（4）微积分性质
(t )
( ) d (t )
t
▲
■
第 18 页
四. 序列δ(k)和ε(k)
这两个序列是普通序列。
1. 单位(样值)序列δ(k)
def 1 , k 0 •定 (k ) 义 0, k 0 •取样性质：f(k)δ(k) = f(0)δ(k)
0
(t )
1


2

O 1
t
O
t

2
▲
■
第 12 页
冲激偶的性质
① f(t) δ’(t) = f(0) δ’(t) – f ’(0) δ (t) ② 证明



' (t ) f (t ) d t f ' (0)
证明
(t ) f (t ) d t (1) f
n (n)