《数值分析》第二讲插值法PPT课件

lk(x)((xx k x xk k 1 1))((x xkxx k k1)1)
o
lk1(x)(x(k x 1 x xk k 1 1))x x ((k 1x kx )k)
数值分析
(xk1, yk1) x
第二章：插值
数值分析
则 l k 1 ( x k 1 ) 1 ,l k 1 ( x k ) 0 ,l k 1 ( x k 1 ) 0
f (x) p( x) (xk1, yk1)
(xk , yk )
P(x)ykx yk k 1 1 x yk k(xxk)o
x
ykx xk k 1 1 x xk kx yk k 1 1 x yk k(xxk)
x k 1y k x ky k y k 1 x y k 1 x k y kx y kx k x k 1 x k
令多项式 P (x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n 满足 P (x i)yi i 0 ,1 ,2 , ,n
即方程组 a0 a1 x0 an x0n y0
a0
a1
x1
an
x1n
y1
a0 a1xn an xnn yn
有唯一解
第二章：插值
a0 a1x0 anx0n y0
第二章：插值
数值分析
3、Lagrange插值多项式
令 L n ( x ) y 0 l 0 ( x ) y 1 l 1 ( x ) y n l n ( x )
其中，基函数
lk (x ) (x ( k x x x 0 ) 0 ) (( x x k x x k k 1 1 ) )x x k ( ( x x k k 1 ) 1 ) (( x x k x n x )n )
l k 1 ( x k 1 ) 1 ,l k 1 ( x k ) 0 ,l k 1 ( x k 1 ) 0 l k ( x k 1 ) 0 ,l k ( x k ) 1 ,l k ( x k 1 ) 0
l k 1 ( x k 1 ) 0 ,l k 1 ( x k ) 0 ,l k 1 ( x k 1 ) 1
l k ( x k 1 ) 0 ,l k ( x k ) 1 ,l k ( x k 1 ) 0 l k 1 ( x k 1 ) 0 ,l k 1 ( x k ) 0 ,l k 1 ( x k 1 ) 1
lk1(x)(x(k x 1 x xk k))x x ((k 1x k x 1k )1) lk(x)((xx k x xk k 1 1))((x xkxx k k1)1)
的插值函数；
x0 , x1, ... , xn称为插值节点；
(xi, yi), i=1,2,… , n称为插值点；
[a，b]称为插值
区间
第二章：插值
§2.1 引言 1、插值的目的
数值分析
（1）通过插值找规律：
通过实验、观测等方式得到的数据寻求事物的发展规律。
y
yf(x)
y0 y1 yi
x
x 0 x 1
lk1(x)(x(k x 1 x xk k 1 1))x x ((k 1x kx )k)
第二章：插值
数值分析
令 P ( x ) l k 1 ( x ) y k 1 l k ( x ) y k l k 1 ( x ) y k 1
则 P ( x k 1 ) y k 1 ,P ( x k ) y k ,P ( x k 1 ) y k 1
a0
a1x1 an
x1n
y1
(1)
a0 a1xn anxnn yn
既有 1 x0 x02 x0na0 y0
1 1
x1
xn
x12
xn2
xx1nnnaan1
y1 yn
数值分析
(2)
第二章：插值
数值分析
因为
1 x0 x02 x0n
1
x1
x12
x1n 0ij(nxj xi ) 0
第二章：插值
xk1ykyk1xyk1xkykx xk1xk
xxk xxkk 11ykxx k1 xx kk yk1
其中记
lk(x)xxk xxkk 11 01,,
xxk xxk1
lk1(x)xx k1 xx kk 10 ,,
xxk xxk1
数值分析
第二章：插值
即
1, st ls(xt )0, st
i0,1,2, ,n
则称 p( x为) f的(插x)值函数；点
Βιβλιοθήκη Baiduax0 xnb
称为插值节点；包含插值点的区间[a，b]称为插值区间；
求插值函数 p( x的)方法称为插值法。
p( x) 可以是多项式、分段函数、三角函数等等.
第二章：插值
数值分析
2、插值多项式的存在唯一性
已知数表
x0 y0
x1 y1
xn yn
xi
x n
第二章：插值
（2）通过插值求函数值
如 ysinx y
3
o
2
2
数值分析
p( x)
sinx x
2
第二章：插值
数值分析
1、插值的基本概念
设函数 yf在(x区)间 有定a,义b，且在已知点：
a x 0 x 1 上 的x 函n 数 值b 为： 如果存在一个简单函数 yp使(x)
y0, y1,, yn yi p(xi)
1 xn xn2 xnn Vandermonde行列式
即方程组（2）有唯一解 (a0, a1, , an)
所以插值多项式
P (x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n
存在且唯一
第二章：插值
§2.2 Lagrange插值
y
数值分析
1、线性插值
P 即(x)ykx yk k 1 1 x yk k(xxk)
因此 P (x ) lk (x )y k lk 1 (x )y k 1
且
P (x k ) y k P (x k 1 ) y k 1
lk(x), lk1(x) 称为一次插值基函数
数值分析
第二章：插值
2、抛物线插值 令
y (xk , yk )
f (x)
lk1(x)(x(k x 1 x xk k))x x ((k 1x k x 1k )1) p( x) (xk1,yk1)
第二章：插值
《数值分析》第二讲
数值分析
插值函数P(x)
插值与拟合 设f(x)为[a，b]上的函数，在互异点x0 , x1, ... , xn 处的函数值分
别为 y0 , y1 , … , yn , 构造的简单函数 P(x)，满足 P(xi)＝f(xi) ,
i＝0, 1, 2, …,n .
P(x)称为关于节点x0 , x1, ... , xn