f分布t分布和卡方分布

§1、4 常用得分布及其分位数

1、 卡平方分布

卡平方分布、t 分布及F 分布都就是由正态分布所导出得分布，它们与正态分布一起，就是试验统计中常用得分布。 当X 1、X 2、…、

Xn 相互独立且都服从N(0,1)时，Z=∑i

i X 2 得分布称为自由度等于n 得2χ分布，记作Z ～2χ(n)，它得分布密度

p(z )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ--,,00,2212122其他z e x n z n n 式中得⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ2n =u d e u u n ⎰∞+--012，称为Gamma 函数，且()1Γ=1，

⎪⎭

⎫ ⎝⎛Γ21=π。2χ分布就是非对称分布，具有可加性，即当Y 与Z 相互独立，且Y ～2χ(n )，Z ～2χ(m )，则Y+Z ～2χ(n+m )。 证明: 先令X 1、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、

X n+m 相互独立且都服从N(0,1)，再根据2χ分布得定义以及上述随机变量得相互独立性，令

Y=X 21+X 22+…+X 2n ，Z=X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +，

Y+Z= X 21+X 22+…+X 2n + X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +，

即可得到Y+Z ～2χ(n +m )。

2、 t 分布 若X 与Y 相互独立，且

X ～N(0,1)，Y ～2χ(n )，则Z =n Y X

得分布称为自由度等于n 得t 分布，记作Z ～ t (n )，它得分布密度 P(z)=)()(221n n

n ΓΓ+2121+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n z 。

请注意：t 分布得分布密度也就是偶函数，且当n>30时，t 分布与标准正态分布N(0,1)得密度曲线几乎重叠为一。这时， t 分布得分布函数值查N(0,1)得分布函数值表便可以得到。

3、 F 分布 若X 与Y 相互独立，且X ～2χ(n )，Y ～2χ(m )， 则Z=m Y n X

得分布称为第一自由度等于n 、第二自由度等于m 得F 分布，记作Z ～F (n , m )，它得分布密度 p(z)=⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧>++-⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ•。其他,00,2)(1222222z m n z n m n z m n m n m m n n 请注意：F 分布也就是非对称分布，它得分布密度与自由度得次序有关，当Z ～F (n , m )时，

Z 1～F (m ,n )。 4、 t 分布与F 分布得关系

若X ～t(n )，则Y=X 2～F(1,n )。

证：X ～t(n )，X 得分布密度p(x )=⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭

⎫ ⎝⎛+Γ221n n n π2121+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n x 。

Y=X 2得分布函数F Y (y ) =P{Y

当y ≤0时，F Y (y)=0，p Y (y )=0；

当y >0时，F Y (y ) =P{-y

y )(⎰-=2x d x p y

)(0⎰，

Y=X 2得分布密度p Y (y )=21)(121221212n y n y n n n n ++-⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ•，

与第一自由度等于1、第二自由度等于n 得F 分布得分布密度相同，因此Y=X 2

～F(1,n )。

为应用方便起见，以上三个分布得分布函数值都可以从各自得函数值表中查出。但就是，解应用问题时，通常就是查分位数表。有关分位数得概念如下：

4、 常用分布得分位数

1）分位数得定义

分位数或临界值与随机变量得分布函数有关，根据应用得需要，有三种不同得称呼，即α分位数、上侧α分位数与双侧α分位数，它们得定义如下：

当随机变量X 得分布函数为 F(x )，实数α满足0 <α<1 时，α分位数就是使P{X< x α}=F(x α)=α得数x α， 上侧α分位数就是使P{X >λ}=1-F(λ)=α得数λ， 双侧α分位数就是使P{X<λ1}=F(λ1)=0、5α得数λ1、使

P{X>λ2}=1-F(λ2)=0、5α得数λ2。

因为1-F(λ)=α，F(λ)=1-α，所以上侧α分位数λ就就是1-α分位数x 1-α；

F(λ1)=0、5α，1-F(λ2)=0、5α，所以双侧α分位数λ1就就是0、5α分位数x 0、5α，

双侧α分位数λ2就就是1-0、5α分位数x 1-0、5α。

2）标准正态分布得α分位数记作u α，0、5α分位数记作

u0、5α，1-0、5α分位数记作u1-0、5α。

当X～N(0,1)时，P{X< uα}=F

0,1

(uα)=α，

P{X

0,1

(u0、5α)=0、5α，

P{X

0,1

(u1-0、5α)=1-0、5α。

根据标准正态分布密度曲线得对称性，

当α=0、5时，uα=0；

当α<0、5时，uα<0。

uα=-u1-α。

如果在标准正态分布得分布函数值表中没有负得分位数，则先查出 u 1-α，然后得到uα=-u1-α。

论述如下：当X～N(0,1)时，P{X< uα}= F

0,1

(uα)=α，

P{X< u1-α}= F

0,1

(u1-α)=1-α，

P{X> u1-α}=1- F

0,1

(u1-α)=α，

故根据标准正态分布密度曲线得对称性，uα=-u1-α。

例如，u

0、10=-u

0、90

=-1、282，

u

0、05=-u

0、95

=-1、645，