初中数学竞赛专题选讲-最大、最小值(含答案)

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初中数学重点梳理：函数的最大值最小值

函数的最大值最小值知识定位本节主要内容主要掌握二次函数中的最大值和最小值问题，二次函数也一直都是中考奥数竞赛联赛一试的重要内容之一。

本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中与二次函数最值相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。

知识梳理1、二次函数的最值问题，包括三方面的内容：自变量的取值范围为任意实数时二次函数最值的求法．二次函数y=a x 2+bx+c=a （x+2ba）2+244ac b a -．（1）当a>0时，抛物线开口向上，此时当x<-2b a 时，y 随x 增大而减小；当x>-2ba时，y 随x•增大而增大；当x=-2ba时，y 取最小值244ac b a -．（2）当a<0时，抛物线开口向下，此时当x<-2b a 时，y 随x 增大而增大；当x>-2b a时，y 随x 增大而减小；当x=-2ba时，y 取最大值244ac b a -．2．自变量的取值范围是某一确定范围时二次函数最值的求法，•要结合图象和增减性来综合考虑．（1）当抛物线的顶点在该范围内，顶点的纵坐标就是函数的最值；（2）当抛物线的顶点不在该范围内，二次函数的最值在范围内两端点处取得．若自变量x 的取值范围为()x αβαβ≤≤≠，则取最值分0a >和0a <两种情况，由α、β与2ba-的大小关系确定。

1．对于a>0：（1）当2baαβ<≤-，因为对称轴左侧y 随x 的增大而减小，所以y 的最大值为()y α，最小值为()y β。

这里()y α、()y β分别是y 在x α=与x β=时的函数值。

（2）当2baαβ-≤≤，因为对称轴右侧y 随x 的增大而增大，所以y 的最大值为()y β，最小值为()y α。

（3）当2b aαβ≤-≤，y 的最大值为()y α、()y β中较大者，y 的最小值为()2by a -. 2．对于a<0：（1）当2baαβ<≤-，y 的最大值为()y β，最小值为()y α。

初中数学竞赛试题内容及答案

初中数学竞赛试题内容及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B2. 如果一个数的平方等于16，那么这个数是多少？A. 4B. -4C. ±4D. ±2答案：C3. 一个圆的半径是5厘米，那么它的直径是多少厘米？A. 10B. 15C. 20D. 25答案：A4. 一个数的绝对值是5，这个数可以是？A. 5B. -5C. 5或-5D. 0答案：C5. 一个长方体的长、宽、高分别是2厘米、3厘米和4厘米，它的体积是多少立方厘米？A. 24B. 12C. 6D. 8答案：B6. 如果一个角是直角的一半，那么这个角的度数是多少？A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°答案：C7. 一个数的平方根是4，这个数是多少？A. 16B. 8C. 4D. 2答案：A8. 一个等腰三角形的底边长是10厘米，两腰相等，如果底角是45°，那么腰长是多少？A. 5B. 7.07C. 10D. 14.14答案：D9. 一个数的立方是-27，这个数是多少？A. -3B. 3C. -27D. 27答案：A10. 一个数的倒数是1/4，这个数是多少？A. 4B. 1/4C. 1D. 1/2答案：A二、填空题（每题2分，共20分）11. 一个数的平方加上8倍这个数再加上16等于0，这个数是______。

答案：-412. 如果一个三角形的三边长分别为3、4、5，那么这是一个______三角形。

答案：直角13. 一个数的立方根是2，那么这个数是______。

答案：814. 一个数的相反数是-5，这个数是______。

答案：515. 如果一个分数的分子是7，分母是14，化简后是______。

答案：1/216. 一个数的平方是25，那么这个数是______。

答案：±517. 一个数的绝对值是它本身，这个数是______。

初中数学竞赛：最值问题求法应用举例[附答案]

最值问题求法例题（1）、若实数a ，b ，c 满足a2 + b2+ c2= 9，则代数式（a － b）2 + （b —c）2 +（c － a）2的最大值是（）A．27 B、 18 C、15 D、 12例题（2）、如果对于不小于8的自然数N ，当3N+1是一个完全平方数时，N + 1都能表示成K个完全平方数的和，那么K的最小值是（）A、 1B、 2C、 3D、 4例题（3）、设a、b为实数，那么a2＋ab＋b2－a－2b的最小值是——————————。

例题（4）、已知实数a、b满足a2＋ab＋b2=1 ，则a2－ab＋b2的最小值和最大值的和是————————。

例题5、若a、b满足3a＋5∣b∣= 7 ，则S= 2a－3∣b∣的最大值为-------------------，最小值为--------------------。

（二）、直接运用a 2＋b 2≥ 2ab ( a ＋b ≥ 2ab )性质求最值。

例题（6）、若X > 0，则函数Y =3X ＋31X＋21++XX 的最小值。

例题（7）、已知 a 、b 、c 、d 均为实数，且a ＋b ＋c ＋d = 4 ，a 2＋b 2＋c 2＋d 2 =316，求a 的最小值与最大值。

（三）、用一元二次方程根的判别式Δ=b 2－4ac （结合韦达定理）求最值。

例题（8）、已知实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c = 2 ，abc = 4 ，○1求a 、b 、c 中最大者的最小值；○2求∣a ∣＋∣b ∣＋∣c ∣的最小值。

例题（9）、求函数Y = 12156322++++X X X X 的最小值。

（四）、用绝对值的几何意义和取零点、分段讨论法求最值。

例题（10）、a b c d e是一个五位自然数，其中a ，b ，c ，d ，e 为阿拉伯数字，且a<b<c<d ,则│a-b │＋│b-c │＋│c －d │＋│d －e │的最大值是 ———。

初中培优竞赛含详细解析第13讲函数与最值

在Rt△ABC中，斜边c=10，两直角边，则a+b的最大值是（）
分析：依题意得于是
故只需求ab的最大值.
设
而，则当，即时，
因此所以
答案：B
技巧：利用勾股定理结合平方和公式，可简便解题.
3. (2、3) （数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、函数与最值、选择题）
设a，b，c是△ABC的三边长，二次函数在时取最小值，则△ABC是()
解得或 .都可推得，这就是所求的最小值.
答案：21
技巧：补证：已知为固定的正数，，则x，y的差的绝对值越小，就越小，这是因为
易错点：需要看清题意，a，b是正整数.
7. (3、4) （数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、函数与最值、解答题）
设是方程的两个实根，当m为何值时，有最小值，并求这个最小值.
已知实数a，b，c满足，则a的最大值为______.
分析：，则，即
我们把b当作未知数，那么在一元二次方程存在实数解，
从而所以a的最大值为2.
答案：2
技巧：有时候用一元二次方程的判别式来分析题目，会有意想不到的收获.
5. (4、5) （数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、函数与最值、填空题）
易错点：在数形结合中，根据题意做两点间的距离，记得先做对应点.
6. (3、4) （数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、函数与最值、填空题）
设a，b是正整数，满足，那么的最小值______.
分析：要求的最小值，可先求的最小值，此最小值出现在和的差的绝对值最小的时候.
也就是或的情形，
1. (1、2) （数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、函数与最值、选择题）

初中数学竞赛辅导资料(七八年级部分)11-5最值问题6绝对值42

初中数学培优辅导资料姓名：过关：成绩：（五）最值问题1. （本题7分）若x ,y 是实数，求19993322+--+-y x y xy x 的最小值。

2. （本题7分）若xy =1,求代数式44411y x +的最小值。

3. （本题7分）设21、x x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实根，当m 为何值时，2221x x + 有最小值，并求这个最小值。

（六）绝对值的几何意义（每小题5分）1.已知a是有理数，则| a－2007|+| a－2008|的最小值是。

2.若|x+1|+|2－x|＝3，则x的取值范围是。

3.不等式|x＋2|+|x－3|＞5的解集是。

4. 对于任意数x，若不等式|x＋2|+|x－4|＞a恒成立，则a的取值范围是。

5. 已知|x＋2|+|1－x|＝9－|y－5|－|1+y|，则x+ y最大值是，最小值是．（七）平面直角坐标系与一次函数（每小题6分）1.若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=bx+k不经过（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限2．在平面直角坐标系中，已知A（2，•－2），点P是y轴上一点，则使AOP为等腰三角形的点P 有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个3.过点P（－1，3）直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，•这样的直线可以作（）（A）4条（B）3条（C）2条（D）1条4.若k、b是一元二次方程x2+px－│q│=0的两个实根（kb≠0），在一次函数y=kx+b中，y随x的增大而减小，则一次函数的图像一定经过（）（A）第1、2、4象限（B）第1、2、3象限（C）第2、3、4象限（D）第1、3、4象限5.当－1≤x≤2时，函数y=ax+6满足y<10，则常数a的取值范围是（）（A）－4<a<0 （B）0<a<2 （C）－4<a<2且a≠0（D）－4<a<26.已知直线L•经过（2，0）和（0，4），把直线L沿x轴的反方向向左平移2个单位，得到直线L′，则直线L′的解析式为．7.不论k为何值，解析式（2k－1）x－（k+3）y－•（k－11）=0表示的函数的图象经过一定点，则这个定点是．8．设直线kx+（k+1）y－1=0（为正整数）与两坐标所围成的图形的面积为S k（k=1，2，3，……，2008），那么S1+S2+…+S2008= ．9.平面直角坐标系内有A（2，－1），B（3，3）两点，点P是y轴上一动点，求P到A、B距离之和最小时的坐标．。

人教版九年级数学竞赛专题：代数最值问题(含答案)

人教版九年级数学竞赛专题：代数最值问题（含答案）【例1】当x 变化时，分式12156322++++x x x x 的最小值是．【例2】已知1≤y ，且12=+y x ，则223162y x x ++的最小值为（）A.719 B. 3 C. 727 D. 13 【例3】()21322+-=x x f ，在b x a ≤≤的范围内最小值2a ，最大值2b ，求实数对(a ，b ).【例4】（1）已知211-+-=x x y 的最大值为a ，最小值b ，求22b a +的值．（2）求使()168422+-++x x 取得最小值的实数x 的值．（3）求使2016414129492222+-+++-++y y y xy x x 取得最小值时x ，y 的值．【例5】如图，城市A 处位于一条铁路线上，而附近的一小镇B 需从A 市购进大量生活、生产用品，如果铁路运费是公路运费的一半，问：该如何从B 修筑一条公路到铁路边，使从A 到B 的运费最低？【例6】（1）设r x ，1+r x ，…，k x （r k >），为k －r ＋1个互不相同的正整数，且x r ＋x r ＋1＋…＋x k ＝2019，求k 的最大可能值．（2）a ，b ，c 为正整数，且432c b a =+，求c 的最小值．（能力训练A 级1．已知三个非负数a ，b ，c ，满足3a ＋2b ＋c ＝5和2a ＋b －3c ＝1，若m ＝3a ＋b －7c ，则m 的最小值为___________，最大值为．2．多项式p ＝2x 2－4xy ＋5y 2－12y ＋13的最小值为．3．已知x ，y ，z 为实数，且x ＋2y －z ＝6，x －y ＋2z ＝3，那么x 2＋y 2＋z 2的最小值为． 4．若实数a ，b ，c ，满足a 2＋b 2＋c 2＝9，则代数式(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2的最大值为 ( ) 5．已知两点A (3，2)与B (1，－1)，点P 在y 轴上且使P A ＋PB 最短，则P 的坐标是（）A.(0，21-) B.(0，0) C.(0，611) D.(0，41-)6．正实数x ，y 满足1=xy ，那么44411y x +的最小值为（） A.21 B. 85 C. 1 D. 45E.27．某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y (件)与销售单价x (元/件)可近似看作一次函数b kx y +=的关系（如图所示）.（1）根据图象，求一次函数b kx y +=的解析式；（2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价-成本总价）为S 元． ①试用销售单价x 表示毛利润；②试问：销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销量是多少？8．方程()()06122=-+-+m x m x 有一根不大于1-，另一根不小于1，（1）求m 的取值范围；（2）求方程两根平方和的最大值与最小值．9．已知实数a ，b 满足122=++b ab a ，求22b ab a +-的最大值与最小值．10.已知a ，b ，c 是正整数，且二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个不同的交点A ，B ，若点A ，B 到原点的距离都小于1，求a ＋b ＋c 的最小值．11．某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示：该设备投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第x 天应付的养护与维修费为()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-500141x 元．（1）如果将设备从开始投入使用到报废所需的养护与维修费及购买设备费用的总和均摊到每一天，叫作每天的平均损耗，请你将每天的平均损耗y （元）表示为使用天数x （天）的函数．（2）按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废，问：该设备投入使用多少天应当报废？B 级1．a ，b 是正数，并且抛物线b ax x y 22++=和a bx x y ++=22都与x 轴有公共点，则22b a +的最小值是．2．设x ，y ，z 都是实数，且满足x ＋y ＋z ＝1，xyz ＝2，则z y x ++的最小值为． 3．如图，B 船在A 船的西偏北45°处，两船相距210km ，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离为 km ．4．若a ，b ，c ，d 是乘积为1的四个正数，则代数式a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋bc ＋ac ＋ad ＋bd ＋cd 的最小值为（）A. 0B. 4C. 8D. 105．已知x ，y ，z 为三个非负实数，且满足3x ＋2y ＋z ＝5，x ＋y －z ＝2. 若s ＝2x ＋y －z ，则s 的最大值与最小值的和为（）A. 5B.423 C. 427 D. 4356．如果抛物线()112----=k x k x y 与x 轴的交点为A ，B ，顶点为C ，那么△ABC 的面积的最小值为（）A.1B.2C.3D.47．某商店将进货价每个10元的商品按每个18元售出时，每天可卖出60个，商店经理到市场上做了一番调查后发现，若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每提高1元，则日销售量就减少5个；若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每降低1元，则日销量就增加10个，为获得每日最大利润，此商品售价应定为每个多少元？8．有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是p （万元）和q （万元），它们与投入资金x （万元）的关系有经验公式：x q x p 53,51==.今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得多大的利润？9．已知为x ，y ，z 为实数，且5=++z y x ，3=++zx yz xy ，试求z 的最大值与最小值．10．已知三个整数a ，b ，c 之和为13，且bca b =，求a 的最大值和最小值，并求出此时相应的b 与c 值．11．设x 1，x 2，…，x n 是整数，并且满足： ① －1≤x i ≤2，i ＝1，2，…，n ② x 1＋x 2＋…＋x n ＝19 ③ x 12＋x 22＋…＋x n 2＝99求x 13＋x 23＋…＋x n 3的最大值和最小值．12．已知x 1，x 2，…，x 40都是正整数，且x 1＋x 2＋…＋x 40＝58，若x 12＋x 22＋…＋x 402的最大值为A ，最小值为B ，求A ＋B 的值．参考答案例1. 4 提示：原式=112-62-+）（x . 例2. B 提示：由-1≤y ≤1有0≤x ≤1，则z =2x 2+16x +3y 2=14x 2+4x +3是开口向上，对称轴为71-=x 的抛物线.例3. 分三种情况讨论：①0≤a <b ，则f (x )在a ≤x ≤b 上单调递减，∴f (a )=2b ，f (b )=2a ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=213222132222b a a b 解得⎩⎨⎧==31b a ②a <b ≤0，则f (x )在a ≤x ≤b 上单调递增，∴f (a )=2a ，f (b )=2b ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=213222132222b b a a 此时满足条件的（a ，b ）不存在. ③a <0<b ，此时f (x )在x =0处取得最大值，即2b =f (0)=213,b =413,而f (x )在x =a 或x =b 处取最小值2a .∵a <0，则2a <0，又∵f (b )=f (413)=021341321-2>+⨯）（，∴f (a )=2a ，即2a =2132-2+a ，则⎪⎩⎪⎨⎧=--=413172b a 综上，（a ，b ）=(1，3)或（17-2-，413）例4. （1）121≤≤x ，y 2 = 21+216143-2+-）（x .当x =43时，y 2取得最大值1，a =1；当21=x 或x =1时，y 2取得最小值21，b =22.故a 2+b 2=23.(2) 如图，AB =8，设AC =x ，则BC =8- x ，AD =2，CD =42+x ，BE =4，CE =16)-8(2+x BF =AD =2.10)24(816)8(4222222=++=+=≥+=+-++EF DF DE CE CD x x当且仅当D ，C ，E 三点共线时，原式取最小值.此时△EBC ∽△DAC ，有224===DA EB CA BC ,从而x =AC =3831=AB .故原式取最小值时，x =38. (3)如图，原式=[]2222222)24()13()32()01(032--0y x y x -+-+-+-+-+）（）（=AB +BC +CD ≥AD ，其中A （-2,0），B （0，3x ）,C (1,2y ),D (3,4),并且当点B ，C 在线段AD 上时，原式取得最小值，此时5423=x ，5432=y .例5. 由S =ay m y n a 2)(22+--，得an -S +2ay =a 22n y -，两边平方，经整理得0)()(4322222=+-+-+m a S an y S an a y a .因为关于y 的一元二次方程有实数解，所以[][]0)(34)(422222≥+-⨯--m a S an a S an a ，可化为2223-m a an S ≥）（.∵S >an ，∴am an S 3-≥，即am an S 3+≥，故S 最小=am an 3+.例6（1）设x 1≥1，x 2≥2，x k ≥k ，于是1+2+…+k ≤x 1+x 2+…+x k = 2019，即120192k(k )+≤ k (k +1)≤4006，∵62×63=3906<4006<4032=63×64，∴k ≤62. 当x 1=1，x 2=2，…x 61=61，x 62=112时，原等式成立，故k 的最大可能值为62.（2）若取⎩⎨⎧=+=-222ba cb ac ，则2)1(2+=b b c 由小到大考虑b ，使2)1(+b b 为完全平方数.当b =8时，c 2=36，则c =6，从而a =28.下表说明c 没有比6更小的正整数解.显然，表中c 4-x 3的值均不是完全平方数，故cA 级1．57- 111- 2．1 3．14 提示：y =5－x ,z =4－x ，原式=3(x －3)2+14． 4．A 提示：原式=27－(a +b +c )2． 5．D 6．C 7．(1)y =－x +1000(500≤x ≤800) (2)①S =(x －500)(－x +1000)=－x 2+1500x －500000(500≤x ≤800);②S －(x －750)2+62500,即销售单价定为750时，公司可获最大毛利润62500元，此时销量为250件． 8．（1）－4≤m ≤2 （2）设方程两根为x 1，x 2，则x 12+x 22=4(m －34)2+1034，由此得x 12+x 22最小值为1034，最大值为101． 9．设a 2－ab +b 2=k ，又a 2+ab +b 2=1②，由①②得ab =12(1－k )，于是有（a +b )2=12(3－k )≥0，∴k ≤3，从而a +b =．故a ，b 是方程t 2t +12k -=0的两实根，由Δ≥0，得133k ≤≤． 10．设A （x 1,0)，B （x 2，0)，其中 x 1，x 2是方程ax 2+bx +c =0的两根，则有x 1+x 2=b a -<0，x 1x 2=ca>0，得x 1<0，x 2<0，由Δ=b 2－4ac >0，得b >|OA |=|x 1|<1，|OB |=|x 2|<1，∴－1<x 1<0，－1<x 2<0，于是ca=x 1x 2<1，c <a ．由于a 是正整数，已知抛物线开口向上，且当x =－1时，对应的二次函数值大于0，即a －b +c >0，a +c >b ．又a ，b ，c 是正整数，有a +c ≥b+1，从而a +c ，则211,12>≥，于是a >4，即a ≥5，故b≥b ≥5．因此，取a =5，b =5，c =1，y =5x 2+5x +1满足条件，故a +b +c 的最小值为11． 11．（1）该设备投入使用x 天，每天平均损耗为y =11111[500000(0500)(1500)(2500)(500)]4444x x -+⨯++⨯++⨯++++=11(1)[500000500x ]42x x x -++⨯=500000749988x x ++． (2)y =500000749988x x ++7749999988≥=．当且仅当5000008xx =，即x =2000时，等号成立．故这台设备投入使用2000天后应当报废．B 级 1．20 提示：a 2－8b ≥0，4b 2－4a ≥0，从而a 4≥64b 2≥64a ，a ≥4，b 2≥4． 2．4 提示：构造方程． 3．提示：设经过t 小时后，A ，B 船分别航行到A 1，B 1，设AA 1=x ，则BB 1=2x ，B 1A 1=4．D 提示：a 2+b 2≥2ab ，c 2+d 2≥2cd ，∴a 2+b 2+c 2+d 2≥2(ab +cd )≥．∴ab +cd ≥2，同理bc +ad ≥2，ac +bd ≥2． 5．A 提示：x =s －2≥0,y =5－43s ≥0，z =1－13s ≥0，解得2≤s ≤3，故s 的最大值与最小值的和为5． 6．A 提示：|AB ，C (2125,24k k k -++-），ABC S =k 2+2k +5=(k +1)2+4≥4． 7．设此商品每个售价为x 元，每日利润为S 元．当x ≥18时，有S =[60－5（x －18)](x －10)=－5(x －20)2+500，即当商品提价为20元时，每日利润为500元；当x ≤18时，S =[60+10（18－x )](x －10)=－10(x －17)2+490，即当商品降价为17元时，每日利润最大，最大利润为490元，综上，此商品售价应定为每个20元． 8．设对甲、乙两种商品的资金投入分别为x ，(3－x )万元，设获取利润为s ，则s 15x =s －15x 两边平方，经整理得x 2+(9－10s )x +25s 2－27=0，∵关于x 的一元二次方程有实数解，∴（9－10s )2－4×（25s 2－27)≥0，解得1891.05180s ≤=，进而得x =0.75（万元），3－x =2.25(万元）．即甲商品投入0.75万元，乙商品投入2.25万元，获得利润1.05万元为最大． 9．y =5－x －z ，代入xy ＋yx ＋zx =3，得x 2＋(z －5)x ＋(z 2－5z ＋3)=0．∵x 为实数，∴Δ=(z －5)2－4(z 2－5z ＋3)≥0，解得－1≤z ≤133,故z 的最大值为133，最小值为－1． 10．设b c x a b==，则b =ax ，c =ax 2，于是，a ＋b ＋c =13，化为a (x 2＋x ＋1)=13．∵a ≠0，∴x 2＋x ＋1－13a =0 ①．又a ，b ，c 为整数，则方程①的解必为有理数，即Δ=52a－3>0，得到1≤a ≤523，为有理数，故1≤a ≤16．当a =1时，方程①化为x 2＋x －12=0，解得x 1=－4，x 2=3．故a min =1，b =－4，c =16 或a min =1，b =3，c =9．当a =16时，方程①化为x 2＋x ＋316=0．解得x 1=－34，x 2=－14．故a min =16，b =－12，c =9；或a min =16，b =－4，c =1． 11．设x 1，x 2，…，x n 中有r 个－1，s 个1，t 个2，则219499r s t r s t -++=⎧⎨++=⎩，得3t ＋s =59，0≤t ≤19．∴x 13＋x 23＋…＋x n 3=－r ＋s ＋8t =6t ＋19．∴19≤x 13＋x 23＋…＋x n 3≤6×19＋19=133．∴在t =0，s =59，r =40时，x 13＋x 23＋…＋x n 3取得最小值19；在t =19，s =2，r =21时，x 13＋x 23＋…＋x n 3取得最大值133． 12．∵把58写成40个正整数的和的写法只有有限种，∴x 12＋x 22＋…＋x 402的最大值和最小值存在．不妨设x 1≤x 2≤…≤x 40．若x 1>1，则x 1＋x 2=(x 1－1)＋(x 2＋1)，且(x 1－1)2＋(x 2＋1)2=x 12＋x 22＋2(x 2－x 1)＋2>x 12＋x 22．于是，当x 1>1时，可以把x 1逐步调整到1，此时，x 12＋x 22＋…＋x 402的值将增大．同理可以把x 2，x 3，…，x 39逐步调整到1，此时x 12＋x 22＋…＋x 402的值将增大．从而，当x 1，x 2，…，x 39均为1，x 40=19时，x 12＋x 22＋…＋x 402取得最大值，即A =22239111+++个＋192=400．若存在两个数x i ，x j ，使得x j －x i ≥2（1≤i ＜j ≤40），则（x i ＋1)2＋(x j －1)2=x i 2＋x j 2－2(x i －x j －1)<x i 2＋x j 2．这表明，在 x 1，x 2，…，x 40中，若有两个数的差大于1，则把较小的数加1，较大的数减1此时，x 12＋x 22＋…＋x 402的值将减小，因此，当x 12＋x 22＋…＋x 402 取得最小值时，x 1，x 2，…，x 40中任意两个数的差都不大于1．故当x 1=x 2=…=x 22=1，x 23=x 24=…=x 40=2时，x 12＋x 22＋…＋x 402取得最小值，即222111+++22个222222+++⋯+=94从而，A+B=494.。

初中数学常见8种最值问题

的方程 3 B.初中数学常见8种最值问题最值问题，也就是最大值和最小值问题.它是初中数学竞赛中的常见问题. 这类问题出现的试题，内容丰富，知识点多，涉及面广，解法灵活多样，而且具有一定的难度.本文以例介绍一些常见的求解方法，供读者参考.一. 配方法例 1. （2005 年全国初中数学联赛武汉 CASIO 杯选拔赛）可取得的最小值为.解：原式由此可知，当时，有最小值 .二. 设参数法例 2. （《中等数学》奥林匹克训练题）已知实数满足 .则的最大值为.解：设，易知,由，得从而，.由此可知，是关于 t 的两个实根.于是，有,解得.故的最大值为 2.例 3. （2004 年全国初中联赛武汉选拔赛）若，则可取得的最小值为（）A. C.D. 6取得最小值 .故选（B ）.解：设，则从而可知，当时，解：由得解得由是非负实数，得 , 解得又，故，三. 选主元法例 4. （2004 年全国初中数学竞赛）实数满足.则 z 的最大值是.解：由得.代入消去 y 并整理成以为主元的二次方程，由 x 为实数，则判别式 . 即，整理得解得 .所以，z 的最大值是 .四. 夹逼法例 5. （2003 年北京市初二数学竞赛复赛）是非负实数，并且满足.设，记为 m 的最小值，y 为 m 的最大值.则.五. 构造方程法例 6. （2000 年山东省初中数学竞赛）.于是，因此.已知矩形 A 的边长为 a 和 b ，如果总有另一矩形 B 使得矩形 B 与矩形 A 的周长之比与面积之比都等于 k ，试求 k 的最小值.解：设矩形 B 的边长为 x 和 y ，由题设可得 .从而x 和y 可以看作是关于t 的一元二次方程的两个实数根，则 ,因为，所以，解得,所以 k 的最小值是.六. 由某字母所取的最值确定代数式的最值例 7. （2006 年全国初中数学竞赛）已知为整数，且.若，则的最大值为.解：由得，代入得.而由和可知的整数.所以，当时，取得最大值，为.七. 借助几何图形法例 8. （2004 年四川省初中数学联赛）函数的最小值是.解：显然，若，则.因而，当取最小值时，必然有. 如图1，作线段AB=4，，且AC=1，BD=2.对于AB 上的任一点O，令OA=x，则.那么，问题转化为在 AB 上求一点 O，使 OC+OD 最小.图 1设点 C 关于 AB 的对称点为 E，则 DE 与 AB 的交点即为点 O，此时，.作 EF//AB 与DB 的延长线交于 F.在中，易知，所以，.因此，函数的最小值为5.八. 比较法例 9. （2002 年全国初中数学竞赛）某项工程，如果有甲、乙两队承包天完成，需付180000 元；由乙、丙两队承包天完成，需付150000 元；由甲、丙两队承包天完成，需付160000 元. 现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少？解：设甲、乙、丙单独承包各需天完成，则解得又设甲、乙、丙单独工作一天，各需付元，则解得于是，由甲队单独承包，费用是（元）；由乙队单独承包，费用是（元）；而丙队不能在一周内完成，经过比较得知，乙队承包费用最少.。

初中数学竞赛中考讲义之最值问题之三角形三边关系

第10讲最值问题之三角形三边关系模型讲解问题：在直线l 上找一点P ，使得PA PB -的值最大解析：连接AB ，并延长与1交点即为点P .证明：如图，根据△ABP '三边关系，BP '-AP '<AB ，即P 'B -P 'A <PB -PA【例题讲解】例题1、如图，∠MON =90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB =2，BC =1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为____________.【解答】解：如图，取AB 的中点E ，连接OD 、OE 、DE ，∠MON =90°，AB =2∴OE =AE =12AB =1，BC =1，四边形ABCD 是矩形，∴AD =BC =1，∴DE根据三角形的三边关系，OD <OE +DE ，∴当OD 过点E 1.1.【总结】1、我们如何知道是哪个三角形呢？我们利用三角形三边关系来解题，但这个构造出来的三角形是有条件的，即“这个三角形有两条边为定值，另外一边为需要我们求的那条边”。

【巩固练习】1、如图，∠MON=90°，边长为2的等边三角形ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON 上运动时，A随之在边OM上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C到点O的最大距离为____________.2、在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C 随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是___________________.3、如右图，正六边形ABCDEF的边长为2，两顶点A、B分别在x轴和y轴上运动，则顶点D到原点O 的距离的最大值和最小值的乘积为___________________.4、如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C落在第二象限.其斜边两端点A、B分别落在x轴、y轴上，且AB=12cm（1）若OB=6cm.①求点C的坐标；②若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；（2）点C与点O的距离的最大值=_____________cm.5、如图，抛物线210=-+经过△ABC的三个顶点，已知BC//x轴，点A在x轴上，点C在y轴y ax ax c上，OA=35BC，且AC=BC.（1）求抛物线的解析式；（2）若Q为直线AB上一点，点D为抛物线与x轴的另一个交点，求|QC-QD|的取值范围.模型讲解如图，在⊙O外有一点P，在圆上找一点Q，使得PQ最短在⊙O上任取一点Q，连接QO和OP，在△OQP中，根据三角形三边关系，0Q+QP>OP OP=0Q'+Q'P，且OQ=0Q'∴0Q+QP>0Q'+Q'P∴QP>Q'P所以连接OP，与圆的交点即为所求点Q，此时PQ最短.【另外三种情况】点P在圆外，PQ最长点P在圆内，PQ最长点P在圆内，PQ最短【总结】可见，点与圆的最值问题在本质上仍然是利用了三角形三边关系。

初中竞赛数学29.最值问题(含答案)

29.最值问题知识纵横求某个量、或者几个量的和、差、积、商的最大值和最小值，是数学问题中的一种常见类型，又在实际生活与生产实践中，我们经常碰到一些带有“最”字的问题,如投入最少、路程最短、材料最省等，这些问题我们称之为最值问题，•在现阶段，解这类问题的基本知识与基本方法有：1.穷举获取;2.运用非负数的性质;3.利用不等分析逼近求解;4.使用几何公理、定理、性质等.解这类问题时,既要说明最值可以达到,又要证明不可能比所求的值更大(•或更小),前者需构造一个恰当的例子,后者需要详细说理.例题求解【例1】设自然数x,y,m,n满足条件58x y my m n===,则x+y+m+n的最小值是_____.(湖北省黄冈市竞赛题) 思路点拨把连等式拆开用,用一个字母的代数式表示另一个字母,利用隐含整除条件,分别求出x,y,m,n的最小值.解:1157 提示:x=58y,m=85y,n=85m=6425y,因25│y,8│y,故y有最小值200.【例2】设a、b、c满足a2+b2+c2=9,那么代数式(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2的最大值是( • ).A.27B.18C.15D.12 (全国初中数学联赛题)思路点拨利用乘法公式,把代数式变形成与已知条件关联的式子,进而求出最大值.解:选A 提示:原式=3(a2+b2+c2)-(a+b+c)2≤27【例3】已知n、k均为自然数,且满足不等式761311nn k<<+,若对于某一给定的自然数n,只有惟一的一个自然数k使不等式成立,求所有符合要求的自然数n中的最大数和最小数.(“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨解关于k的不等式组,利用已知条件的约束,通过穷举求出n的最大数与最小数.解:提示:由761311nn k<<+,得111367n kn+<<5667kn<<, ①5667n nk<<②因k 为自然数,且对于给定的n 来说,k 的值只有一个. 故6576n n ≤2 ,得n ≤84 当n=84时,代入②有 70<k<72,惟一的k 值为71,又由①得 n>7当n=8,n=9,n=10,…,n=12时,有623<k<667,712<k<757,813<k<847,916<k<937,10<k<1027,• 没有符合条件的整数k当n=13时,有1056<k<1117,得k=11 综上知n 的最大值为84,n 的最小值为13.【例4】某人租用一辆汽车从A 城前往B 城,沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间(单位:小时)如图所示,若汽车行驶的平均速度为80千米/时,而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元,试指出此人从A 城出发到B 城的最短路线,并求出所需费用最少为多少元? (2003年全国初中数学竞赛题)思路点拨即要求出此人从A 城出发到B 城的最短时间,而从A 城到B•城有多条线路,故只需一一列举,比较就可得出结论.解:从A 城出发到B 城的路线有如下两类:(1)从A 城出发到达B 城,经过O 城,因从A 城到O 城所需最短时间为26小时,从O 城到B 城所需最短时间为22小时,故此类路线所需最短时间为26+22=48小时. (2)从A 城出发到达B 城,不经过O 城,这时从A 城到B 城,必定经过C 、D 、E 城或F 、G 、H 城,所需时间至少为49小时,综上,从A 城到达B 城所需的最短时间为48小时,所走的路线为A →F →O →E →B,所需的费用最少为80×48×1.2=4608(元)【例5】某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品方案,•准备每周(•按120个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台,且冰箱至少生产60台,•已知生产这些家问:(以千元为单位)? (2003年河南省竞赛题)思路点拨设每周生产空调器、彩电、冰箱各x 台、y 台、z 台，产值为s ，可得关于x 、y 、z 的混合方程组，通过消元，建立一元不等式组，通过解不等式组，•确定相应字母取值范围，进而求出s 的最大值。

初中数学竞赛专题选讲最大、最小值含答案

初中数学比赛专题选讲 ( 初三 .20)最大最小值一、内容概要1.求二次函数 y=ax 2+bx+c(a ≠ 0) ，的最大、最小值常用两种方法：①配方法：原函数可化为y=a(x+b ) 2+ 4ac b 2 .2a 4a∵在实数范围内 (x+ b) 2≥ 0，2a∴若 a>0 时，当 x=－b时， y最小值=4acb 2 ；2a4a若 a<0 时，当 x=－b时， y 最大值 =4acb 2 .2a4a②鉴别式法：原函数可化为对于x 的二次方程 ax 2+bx+c －y=0.∵ x 在全体实数取值时，∴ △≥ 0即 b 2－ 4a(c － y) ≥ 0，4ay ≥ 4ac －b 2 .若 a>0， y ≥若 a<0， y ≤4ac b 24a4ac b 24a24acb，这时取等号，则 y 为最小值；24acb，这时取等号，则 y 为最大值.有时自变量 x 定在某个区间内取值，求最大、最小值时，要用来临界点，一般用配方法方便 .2.用上述两种方法，可推出以下两个定理：定理一：两个正数的和为定值时，当两数相等时，其积最大.最大值是定值平方的四分之一 .比如：两正数 x 和 y ，假如 x+y=10, 那么 xy 的积有最大值，最大值是 25.定理二：两个正数的积为定值时，当两数相等时，其和最小. 最小值是定值的算术平方根的 2 倍 .比如：两正数 x 和 y ，假如 xy=16,那么 x+y 有最小值，最小值是8.证明定理一，可用配方法，也叫结构函数法.设 a>0,b>0,a+b=k .(k 为定值 ).2 那么 ab=a(k － a)= －a 2+ka=－ (a － 1k) 2+k.242当 a= k 时， ab 有最大值k.24证明定理二，用鉴别式法，也叫结构方程法 .设 a>0,b>0,ab=k (k 为定值 ) ，再设 y=a+b.那么 y=a+ k,a 2－ ya+k=0. （这是对于 a 的二次议程方程）a∵ a 为正实数，∴△≥ 0.即 ( － y) 2－ 4k ≥0， y 2－ 4k ≥ 0.∴y ≤－ 2 k ( 不合题意舍去 ) ； y≥ 2 k .∴ y 最小值 =2 k .解方程组a b 2 k ，得 a=b= k .abk.∴当 a=b= k 时， a+b 有最小值 2k .3. 在几何中，求最大、最小值还有以下定理：定理三：一条边和它的对角都有定值的三角形，其余两边的和有最大值 .当这两边相等时，其和的值最大.定理四：一条边和这边上的高都有定值的三角形，其余两边的和有最小值 .当这两边相等时，其和的值最小 .定理五：周长相等的正多边形，边数许多的面积较大；任何正多边形的面积都小于同周长的圆面积.二、例题例 1.已知： 3x2+2y2 =6x,x 和 y 都是实数，求： x2+y2的最大、最小值 .解：由已知y2=6x3x 2,∵ y 是实数，∴ y2≥ 0.2即 6 x3x2≥ 0， 6x －3x2≥ 0， x 2－ 2x ≤ 0.2解得0≤ x≤ 2.这是在区间内求最大、最小值，一般用配方法，x2 +y2=x2+6x3x2=－1 ( x － 3) 2 + 9222在区间 0≤ x≤ 2 中，当 x=2时， x2 +y2有最大值 4.∴当 x=0 时， x2+y2=0 是最小值 .例 2.已知：一个矩形周长的数值与它面积的数值相等.求：这个矩形周长、面积的最小值 .解：用结构方程法 .设矩形的长，宽分别为 a,b其周长、面积的数值为 k.那么 2(a+b)=ab=k.即a b1k，2ab k.∴a 和 b 是方程x2－1kx+k=0的两个实数根 . 2∵a, b 都是正实数，∴△≥ 0.即( －k) 2－ 4k≥ 0. 2解得 k ≥ 16；或 k ≤ 0 .k ≤ 0 不合题意舍去.∴当k ≥ 16 取等号时，a+b,ab的值最小，最小值是16.即这个矩形周长、面积的最小值是16.例 3. 如图△ ABC 的边 BC=a, 高 AD=h, 要剪下一个矩形 EFGH ，问 EH 取多少长时，矩形的面积最大？最大面积是多少？解：用结构函数法 A设 EH=x, S 矩形 =y,则 GH=y.HhxG∵△ AHG ∽△ ABC ，BXCEa DFyh x .∴xah∴ y=ax( h x) a( x h )2 ah .hh 2 4∴当 x= h时， y 最大值 = ah.2 4即当 EH=h时，矩形面积的最大值是ah .24例 4. 如图已知：直线 m ∥ n ，A ，B ，C 都是定点， AB=a, AC=b, 点 P 在 AC 上，BP 的延伸线交直线 m于 D. Aa Bn问：点 P 在什么地点时， S △ PAB +S △ PCD 最小？xP解：设∠ BAC=α， PA=x, 则 PC=b －x.b∵m ∥ n ，∴CD＝PC.mD CAB PA∴CD=a(b x)xS △ PAB +S △ PCD = 1 axSin α + 1a(b x)(b － x) Sin α2 2x= 1aSin α ( x b 2 2bx x 2 )2x= 1aSin α (2x+ b22b) .2x2 2∵2x ×b=2b 2( 定值 ) ，依据定理二， 2x +b有最小值 .xx∴ 当 2x =b 2x， x= 1 2b 时，2S +S 的最小值是 (2－1)abSin α .△ PAB △ PCD例 5. 已知： Rt △ ABC 中 , 内切圆 O 的半径 r=1. B求： S △ ABC 的最小值 .acO1解：∵S =ab ∴ ab ＝ 2S .r=1Ab△ ABC2△C∵ 2r=a+b － c,∴ c=a+b － 2r.∴a+b － 2r= a 2 b 2 .两边平方，得 a 2 +b 2 +4r 2+2ab －4(a+b)r= a2+b 2. 4r 2+2ab － 4(a+b)r=0.用 r=1,ab=2S △ 代入，得 4+4S △ － 4(a+b) =0.a+b=S △ +1.∵ab=2S △ 且 a+b=S △ +1.∴a,b 是方程 x 2 －(S △ +1)x+2S △ =0 的两个根 .∵a,b 是正实数，∴△≥ 0，即 [ －(S △+1)] 2－4×2S △ ≥ 0， S △ 2－6S △ +1≥0 .解得 S △ ≥ 3+2 2 或 S △≤3－2 2 . S △≤3－ 2 2 不合题意舍去 .∴S的最小值是 3+22.△ ABC例 6. 已知： . 如图△ ABC 中， AB= 6 2 ，∠ C=30 . 求： a+b 的最大值 .解：设 a+b=y , 则 b=y － a.依据余弦定理，得( 62 ) 2=a 2+(y － a) 2－ 2a(y －a)Cos30写成对于 a 的二次方程：(2+ 3 )a 2－(2+ 3 )ya+y 2－ (8+4 3 )=0.∵a 是数，∴△≥ 0.C30b a即 (2+2 22≥ 0，3 ) y －4(2+3 )[y －(8+4 3 )]BAcy 2 －(8+4 3)2 ≤0.∴ － (8+4 3 ) ≤ y ≤ (8+43 ).∴a+b 的最大是 8+43 .又解：依据定理三∵AB 和∠ C 都有定 .C30∴当 a=b ， a+b 的最大 .ba由余弦定理， (62 22c2 ) =a＋ b － 2abCos30AB可求出 a=b=4+2 3 . ⋯⋯⋯三、1. x 1,x 2,x 3,x 4 ,x 5 足 . x 1+x 2+x 3+x 4 +x 5 =. x 1 x 2x 3 x 4 x 5 ，那么 . x 5 的最大是＿＿＿＿＿＿ .2.若矩形周是定 20cm,那么当和分 ____，____ ，其面最大，最大面是______.3.面 100cm 2 的矩形周的最大是＿＿＿＿＿＿＿＿.4. a,b 均正数且a+b=ab, 那么 a+b 的最小是 ________.5.若 x>0,x+ 9的最小是 ________. x6.ABCD如直上有 A 、 B 、C 、 D 四个点 . 那么到 A ，B ，C ，D 距离之和最小的点，位于＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其和的最小等于定段＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿..7.如右图△ ABC中， AB=2， AC=3，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ是以 AB，BC，CA为边的正方形，则暗影部份的面积的和的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ .8. 以下四个数中最大的是()（A） tan48 +cot48 ..(B)sin48+cos48 . (C) tan48 +cos48 .(D)cot48 +sin48.9.已知抛物线 y=－ x2 +2x+8 与横轴交于 B， C两点，点 D 均分 BC，若在横轴上侧的点 A 为抛物线上的动点，且∠ BAC为锐角，则 AD的取值范围是 __________10.如图△ ABC中，∠ C=Rt∠， CA=CB=1，点 P 在 AB上，CPQ⊥ BC于 Q.问当 P 在 AB上什么地点时， S△APQ最大？Q11.AP B △ ABC中， AB=AC=a，以 BC为边向外作等边三角形 BDC，问当∠ BAC取什么度数时AD最长？12.已知 x2+2y2=1, x,y 都是实数，求 2x+5y2的最大值、最小值 .13. △ ABC中∠ B=，，求的最大值及这时三角形的形状.60AC=1BA+BC14.直角三角形的面积有定值 k, 求它的内切圆半径的最大值 .15.D， E，F 分别在△ ABC的边 BC、 AC、 AB上，若 BD∶ DC=CE∶EA=AF∶ FA =k∶ (1 － k) (0<k<1). 问 k 取何值时， S△DEF的值最小？16.△ ABC中， BC=2，高 AD=1，点 P，E，F 分别在边 BC，AC，AB上，且四边形PEAF是平行四边形 . 问点 P 在 BC的什么地点时， S PEAF的值最大？参照答案1. 5.2. 5 ，5 25.3. 40cm4. 45. 6上， BC+AD.7. 最大值是 9，∵ S = 1 × 3× 2×SinBAC,∠ BAC=90度时价最大 .△28. (A).9. 3<AD ≤ 910. P 在 AB 中点时， S △最大值 =1，S △ =x2 x822x 与 2 － x 的和有定值，当 x= 2 － x 时， S △ 值最大 .11.当∠ BAC=120度时， AD 最大，在△ ABD 中，设∠ BAD=α由正弦定理ADa，当 150 －α =90 时，AD 最大 .Sin (180 30 2a) Sin3012.当 x= 2 时，有最大值29；当 x=－1 时，有最小值－ 2 ( 仿例 3).51013. 当 a=c 时， a+c 有最大值 2，这时是等边三角形 .14. 内切圆半径的最大值 r=( 2 －1) S △ ( 仿例 6).15. 当 k= 1 时， S △ DEF = 1 S △ ABC ，16. 当 PB=1时， S 有最大值 1.24216. 当点 P 是 BC 中点时，面积最大值是 1.2。

初中数学竞赛：几何的定值与最值(附练习题及答案)

初中数学竞赛：几何的定值与最值几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明．几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法；2．几何定理(公理)法；3．数形结合法等．注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．【例题就解】【例1】如图，已知AB=10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD ，则CD 长度的最小值为．思路点拨如图，作CC ′⊥AB 于C ，DD ′⊥AB 于D ′，DQ ⊥CC ′，CD 2=DQ 2+CQ 2，DQ=21AB 一常数，当CQ 越小，CD 越小，本例也可设AP=x ，则PB=x 10，从代数角度探求CD 的最小值．注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指：(1)中点处、垂直位置关系等；(2)端点处、临界位置等．【例2】如图，圆的半径等于正三角形ABC 的高，此圆在沿底边AB 滚动，切点为T ，圆交AC 、BC 于M 、N ，则对于所有可能的圆的位置而言， MTN 为的度数（）A ．从30°到60°变动B ．从60°到90°变动C ．保持30°不变D ．保持60°不变⌒思路点拨先考虑当圆心在正三角形的顶点C 时，其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断．注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，研究的量取得定值与最值．【例3】如图，已知平行四边形ABCD ，AB=a ，BC=b (a >b )，P 为AB 边上的一动点，直线DP 交CB 的延长线于Q ，求AP+BQ 的最小值．思路点拨设AP=x ，把AP 、BQ 分别用x 的代数式表示，运用不等式ab b a 222≥+ (当且仅当b a =时取等号)来求最小值．【例4】如图，已知等边△ABC 内接于圆，在劣弧AB 上取异于A 、B 的点M ，设直线AC 与BM 相交于K ，直线CB 与AM 相交于点N ，证明：线段AK 和BN 的乘积与M 点的选择无关．思路点拨即要证AK ·BN 是一个定值，在图形中△ABC 的边长是一个定值，说明AK ·BN 与AB 有关，从图知AB 为△ABM 与△ANB 的公共边，作一个大胆的猜想，AK ·BN=AB 2，从而我们的证明目标更加明确．⌒注：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证明问题．【例5】已知△XYZ是直角边长为1的等腰直角三角形(∠Z=90°)，它的三个顶点分别在等腰Rt△ABC(∠C=90°)的三边上，求△ABC直角边长的最大可能值．思路点拨顶点Z在斜边上或直角边CA(或CB)上，当顶点Z在斜边AB上时，取xy的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点Z在(AC或CB)上时，设CX=x，CZ=y，建立x，y的关系式，运用代数的方法求直角边的最大值．注：数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量，建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解．常见的解题途径是：(1)利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值；(2)构造二次函数求几何最值．专题训练1．如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的最大值为，最小值为．2．如图，∠AOB=45°，角内有一点P，PO=10，在角的两边上有两点Q，R(均不同于点O)，则△PQR的周长的最小值为．3．如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC=8，B 到MN 的距离BD=5，CD=4，P 在直线MN 上运动，则PB PA -的最大值等于． 4．如图，A 点是半圆上一个三等分点，B 点是弧AN 的中点，P 点是直径MN 上一动点，⊙O 的半径为1，则AP+BP 的最小值为( )A ．1B ．22 C ．2 D ．13-5．如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为4的正方形，动点P 从A 点出发，沿看圆柱的侧面移动到BC 的中点S 的最短距离是( )A ．212π+B ．2412π+C ．214π+D ．242π+6．如图、已知矩形ABCD ，R ，P 户分别是DC 、BC 上的点，E ，F 分别是AP 、RP 的中点，当P 在BC 上从B 向C 移动而R 不动时，那么下列结论成立的是( )A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减小C ．线段EF 的长不改变D ．线段EF 的长不能确定7．如图，点C 是线段AB 上的任意一点(C 点不与A 、B 点重合)，分别以AC 、BC 为边在直线AB 的同侧作等边三角形ACD 和等边三角形BCE ，AE 与CD 相交于点M ，BD 与CE 相交于点N ．(1)求证：MN ∥AB ；(2)若AB 的长为l0cm ，当点C 在线段AB 上移动时，是否存在这样的一点C ，使线段MN 的长度最长?若存在，请确定C 点的位置并求出MN 的长；若不存在，请说明理由．(2002年云南省中考题)8．如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足，求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角．9．已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，BT 为⊙O 的切线，B 为切点，P 为直线AB 上一点，过点P 作BC 的平行线交直线BT 于点E ，交直线AC 于点F ．(1)当点P 在线段AB 上时(如图)，求证：PA ·PB=PE ·PF ；(2)当点P 为线段BA 延长线上一点时，第(1)题的结论还成立吗?如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由．10．如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE ，其中AF=2，BF=l ，在AB 上的一点P ，使矩形PNDM 有最大面积，则矩形PNDM 的面积最大值是( )A ．8B ．12C ．225D ．1411．如图，AB 是半圆的直径，线段CA 上AB 于点A ，线段DB 上AB 于点B ，AB=2；AC=1，BD=3，P 是半圆上的一个动点，则封闭图形ACPDB 的最大面积是( )A ．22+B ．21+C ．23+D ．23+12．如图，在△ABC 中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB 、AC 上分别取点D 、E ，使线段DE 将△ABC 分成面积相等的两部分，试求这样线段的最小长度．13．如图，ABCD是一个边长为1的正方形，U、V分别是AB、CD上的点，AV与DU相交于点P，BV与CU相交于点Q．求四边形PUQV面积的最大值．14．利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛，使花坛全部都能喷到水．已知每个喷水器的喷水区域是半径为l0米的圆，问如何设计(求出两喷水器之间的距离和矩形的长、宽)，才能使矩形花坛的面积最大?15．某住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场(平面图如图所示)．其中，正方形MNPQ与四个相同矩形(图中阴影部分)的面积的和为800平方米．(1)设矩形的边AB=x(米)，AM=y(米)，用含x的代数式表示y为．(2)现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2100元；在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩地坪，平均每平方米造价为105元；在四个三角形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为40元．①设该工程的总造价为S(元)，求S关于工的函数关系式．②若该工程的银行贷款为235000元，仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务?若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由．③若该工程在银行贷款的基础上，又增加资金73000元，问能否完成该工程的建设任务?若能，请列出所有可能的设计方案；若不能，请说明理由．16．某房地产公司拥有一块“缺角矩形”荒地ABCDE，边长和方向如图，欲在这块地上建一座地基为长方形东西走向的公寓，请划出这块地基，并求地基的最大面积(精确到1m2)．参考答案。

初中数学竞赛精品标准教程及练习64最大最小值

初中数学竞赛精品标准教程及练习64最大最小值最大值和最小值是数学中的基本概念，在初中数学竞赛中常常涉及到这些题目。

下面是关于最大最小值的精品标准教程及练习，共计1200字以上。

一、初步理解最大值和最小值的概念最大值和最小值是指在一组数中，数值最大的数和数值最小的数。

在数学中，我们可以通过比较数的大小来确定最大值和最小值。

比较数的大小时，需要注意数的正负和绝对值大小。

二、最大最小值的求解方法1.列举法：将给定的数列或集合中的数逐一列举出来，并通过比较数的大小来确定最大值和最小值。

例题1：在数集{-5，3，8，0，2，-3}中，求最大值和最小值。

解：通过逐一列举数集中的数，可以发现最大值是8，最小值是-5例题2：求-3、4、0、1、-2这5个数的最大值和最小值。

解：通过比较这几个数的大小，可以得出最大值是4，最小值是-32.利用数的性质：根据数的性质，例如奇数和偶数的性质，可以依据给定的条件来确定最大值和最小值。

例题3：求两个相连奇数的和最大值。

解：相连的奇数有如下形式：(2n-1)、(2n+1)，其中n为整数。

根据奇数的性质可得：(2n-1)+(2n+1)=4n由于4n是以4为周期的数列，因此相连奇数的和的最大值为4例题4：一个正整数的个位数与十位数的和为12，求该正整数的最大值。

解：设这个正整数为ab，a和b分别是十位数和个位数。

根据题意可得：a+b=12为了使正整数最大，应该使十位数尽量大。

由于十位数的范围为0-9，因此可以得到十位数的最大值为9，个位数的最小值为12-9=3、因此最大的正整数是93三、最大最小值的综合应用1.利用函数的性质：在数学竞赛中，经常需要求函数的最大值和最小值。

对于一元函数，可以通过求导数来得到函数的极值，并判断极值的正负来确定最大值和最小值。

对于二元函数，则可以通过参数方程或边界条件来确定最大值和最小值。

2.利用不等式性质：在数学竞赛中，经常需要通过利用不等式的性质来确定最大值和最小值。

七年级数学竞赛题：最大值与最小值

七年级数学竞赛题：最大值与最小值在实际生活与生产中，人们总想节省时间或费用，而取得最好的效果或最高效益，反映在数学问题上，就是求某个量，或者几个量的和、差、积、商的最大值和最小值，这类问题被称之为最值问题．在现阶段，解这类问题的相关知识与基本方法有：。

1．通过枚举选取；2．利用完全平方式性质；3．运用不等式(组)逼近求解；4．借用几何中的不等量性质、定理等．解答这类问题应当包括两个方面，一方面要说明不可能比某个值更大(或更小)，另一方面要举例说明可以达到这个值，前者需要详细说明，后者需要构造一个合适的例子．例1 若c为正整数，且a＋b＝ｃ，ｂ＋ｃ＝ｄ，ｄ＋ａ＝ｂ，则（ａ＋ｂ）·（ｂ＋ｃ）（ｃ＋ｄ）（ｄ＋ａ）的最小值是________．(北京市竞赛题) 解题思路条件中关于c的信息最多，应突出c的作用，把a、b、d及待求式用c的代数式表示．例2 多项式5ｘ2一4xy＋4y2＋12x＋25的最小值为( )．(“五羊杯”竞赛题) (A)4 (B)5 (C)16 (D)25解题思路由多项式的特点联想到完全平方式，关键是正确地拆项与恰当地组合，以便得到完全平方式并利用其性质求最小值．例3 如图，设A、B、C、D是四个居民小区，现要在四边形ABCD内部建一个购物中心，试问应把购物中心建在何处，才能使四个居民小区到购物中心的距离总和最小?(全国“数学知识应用”夏令营试题) 解题思路先确定购物中心所建位置，然后从反面说明此点能满足要求．．例4某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按120个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表家电名称空调器彩电冰箱工时21 31 41 产值(千元)432问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高?最高产值是多少(以千元为单位)? -(第十二届江苏省竞赛题)解题思路恰当引元，将问题中图表、文字所表示的等量关系、不等量关系翻译成方程、不等式，通过消元、运用不等式逼近求出某个字母的取值范围，进而求出最高产值．例5 某工程车从仓库装上水泥电线杆运送到离仓库恰为1000米的公路边栽立，要求沿公路的一边向前每隔100米栽立电线杆一根．已知工程车每次至多只能运送电线杆4根，要求完成运送18根的任务，并返回仓库．若工程车行驶每千米耗油ｍ升(在这里耗油量的多少只考虑与行驶的路程有关，其他因素不计)，每升汽油”元，求完成此项任务最低的耗油费用．(2000年湖北省竞赛试题)解题思路要使耗油费最低，应当使运送次数尽可能少，最少需运送5次，而5次又有不同运送方法，求出每种运送方法行驶路程，比较得出最低的耗油费用．A 级1．如果1998a ⨯＝ｂ4(其中a 、b 为非零自数然)，那么a 的最小值是________． (“五羊杯”竞赛题)2．在满足x ＋2y≤3，z≥0，y≥0的条件下，2x ＋y 能达到的最大值是________．(第十一届“希望杯”邀请赛试题) 3．当x ＝______且y ＝______时，代数式一ｘ2一２y 2一2ｘ＋8y 一5有最大值，这个最大值是______．４．如图，计划开渠把河中的水经过Ｂ地引到Ａ地，在图中作出开渠的最短线路，这种设计方案的依据是______5．在式子4321+++++++x x x x 中，用不同的ｘ值代入，得到对应的值，在这些对应的值中，最小的值是( )．． (A)l (B)2 (C)3 (D)46．若a 、b 、c 、d 是整数，b 是正整数，且满足b ＋ｃ＝ｄ，ｃ＋ｄ＝ａ，ａ＋ｂ＝ｃ，那么ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ的最大值是( )．(全国初中数学联赛试题)(A)一l (B)一5 (C)0 (D)１7．已知ｘ—y ＝ａ，ｚ一y ＝10，则代数式ｘ2＋y 2＋ｚ2－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ的最小值是( )．(江苏省竞赛题)(A)75 (B)80 (C)100 (D)1058．已知ｘ、ｙ、ｚ均为非负数，且满足ｘ＋ｙ＋ｚ＝３０，３ｘ＋ｙ－ｚ＝５０，又设设M ＝5x ＋4y ＋2z ，则M 的最小值与最大值分别为( )．(A)110，120 (B)120，130 (C)130，140 (D)140，150 9．求满足下述条件的最小正整数ｎ，对于这个ｎ，有惟一的正数k 满足137158〈+〈k n n (第五届美国数学邀请赛试题)10．某童装厂现有甲种布料38米，乙种布料26米，现计划用这两种布料生产L 、M 两种型号的童装共50套，已知做一套L 型号的童装需用甲种布料0.5米，乙种布料l 米，可获利45元；做一套M 型号的童装需用甲种布料0.9米，乙种布料0.2米，可获利30元．试问：该厂在生产这些童装中，当L 型号的童装为多少套时，能使该厂年获得利润最大?最大利润为多少?(江苏省无锡市中考题)11．六盒火柴按“规则方式”打包，所谓“规则方式”是指每相邻两盒必须是以完全重合的面相对接，最后得到的包装形状要是一个长方体，已知火柴盒的长、宽、高尺寸分别是：ａ＝46mm,b ＝36mm,c ＝16mm ，请你给出一种能使表面积最小的打包方式，并画出其示意图．· (“数学知识应用”夏令营试题)B 级1．设平方数y 2是11个相继整数的平方和，则y 的最小值是______．(全国初中联赛试题)2．设m 、n 是自然数，并且19n 2一98n －ｍ＝０，则ｍ＋ｎ的最小值是______．(全国理科实验班招生试题)3．设正整数ａ、ｂ、ｃ、d 满足条件85===d c c b b a ，则ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ的最小值是______．(上海市竞赛题)该人把五件物品中的若干件装入背包，当背包中所装的物品是______时，背包中物品的价值最大，最大价值是______．(第十一届“希望杯”邀请赛试题)5．某人从金坛市出发去扬州、常州、苏州、杭州各一次，最后返回金坛．已知各市之间的路费如表所示，请为他设计一条路费最省的路线__________________金坛常州扬州苏州杭州金坛 0 30 40 50 60 常州 30 0 15 25 30 扬州 40 15 0 15 25 苏州 50 25 15 0 15 杭州 60302515(注表中单位为元，.甲一乙一丙一丁一戊一甲与甲一戊一丁一丙一乙一甲是同一条路线)(“华罗庚金杯”赛试题)6,甲乙两个粮库分别存粮600吨、1400吨，A 、B 两市分别用粮需从甲、乙两粮库调运，由甲库到A 、B 两市的运费分别是6元／吨、5元／吨；由乙库到A 、B 两市的运费分别是9元／吨、6元／吨．则总运费最少需______元．(北京市“迎春杯”竞赛题)7．23个不同的正整数的和是4845，问：这23个数的最大公约数可能达到的最大值是多少?写出你的结论，并说明理由．(第九届“希望杯”邀请赛试题)8．A 、B 、C 三个工厂位置如图，它们都生产同一种产品，已知A 厂年产量是B 厂年产量的32，B 厂年产量是C 年产量的53．现要选一地址建一个公用仓库，把三个工厂的产品都运放在该仓库中，并且总运输费用要最省，问仓库应选在何处?并说明你的理由．(北京市“迎春杯”竞赛题)9．在边防沙漠地带。

初中数字竞赛试题及答案

初中数字竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 一个数的平方等于16，这个数是？A. 4B. -4C. 4或-4D. 以上都不是答案：C3. 计算下列哪个表达式的结果是负数？A. 3 - (-2)B. -3 + 2C. 5 × (-1)D. 0 ÷ (-2)答案：C4. 哪个分数是最简分数？A. 4/8B. 6/9C. 5/10D. 3/5答案：D5. 下列哪个图形的周长最长？A. 边长为3的正方形B. 边长为4的正方形C. 半径为2的圆D. 边长为5的正方形答案：D6. 一个数加上它的相反数等于？A. 0B. 1C. 2D. -1答案：A7. 哪个数是3的倍数？A. 7B. 9C. 10D. 11答案：B8. 一个数除以它自己（除了0）的结果是？A. 0B. 1C. -1D. 无法确定答案：B9. 哪个数是质数？A. 4B. 6C. 9D. 7答案：D10. 一个数的绝对值是5，这个数可能是？A. 5B. -5C. 5或-5D. 以上都不是答案：C二、填空题（每题2分，共20分）1. 一个数的立方等于-8，这个数是____。

答案：-22. 一个数的平方根等于2，这个数是____。

答案：43. 一个数的倒数是1/3，这个数是____。

答案：34. 一个数的相反数是-5，这个数是____。

答案：55. 一个数的绝对值是3，这个数可能是____或____。

答案：3，-36. 一个数的平方是25，这个数是____或____。

答案：5，-57. 一个数除以3的商是4，这个数是____。

答案：128. 一个数的1/2等于3，这个数是____。

答案：69. 一个数的3倍加上2等于11，这个数是____。

答案：310. 一个数的4倍减去6等于10，这个数是____。

答案：4三、解答题（每题10分，共50分）1. 计算：(-3) × (-2) + 5 ÷ (-1) - 4答案：-22. 解方程：2x - 3 = 7答案：x = 53. 计算：(-1/2) × (-4) ÷ (-2) + 3答案：14. 解方程：3x + 5 = 14答案：x = 35. 计算：(-3)² - 4 × (-2) + 7答案：23。

初中数学竞赛：函数的最大值与最小值

初中数学竞赛：函数的最大值与最小值我们常常遇到求最大值和最小值的问题，在许多情况下可以归结为求函数的最大值与最小值．这类问题涉及的知识面广，综合性强，解法灵活，因而对于培养学生的数学能力具有重要作用．本讲从四个方面来讨论如何求解函数的最大值与最小值问题．1．一次函数的最大值与最小值一次函数y=kx＋b在其定义域(全体实数)内是没有最大值和最小值的，但是，如果对自变量x的取值范围有所限制时，一次函数就可能有最大值和最小值了．例1 设a是大于零的常数，且a≠1，求y的最大值与最小值．大值a．例2 已知x，y，z是非负实数，且满足条件x＋y＋z=30，3x+y-z=50．求u=5x＋4y＋2z的最大值和最小值．分析题设条件给出两个方程，三个未知数x，y，z，当然，x，y，z的具体数值是不能求出的．但是，我们固定其中一个，不妨固定x，那么y，z都可以用x来表示，于是u便是x的函数了．解从已知条件可解得y=40-2x，z=x-10．所以u=5x＋4y+2z＝5x＋4(40-2x)＋2(x-10)=-x+140．又y，z均为非负实数，所以解得10≤x≤20．由于函数u=-x＋140是随着x的增加而减小的，所以当x=10时，u有最大值130；当x=20时，u有最小值120．2．二次函数的最大值与最小值例3 已知x1，x2是方程x2-(k-2)x＋(k2+3k+5)=0解由于二次方程有实根，所以△=[-(k-2)]2-4(k2+3k+5)≥0，3k2＋16k＋16≤0，例4 已知函数有最大值-3，求实数a的值．解因为的范围内分三种情况讨论．-a2＋4a-1＝-3例5 已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图3－12)，其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．解设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，于是矩形PNDM的面积S=xy，2≤X≤4．易知CN=4-x，EM=4-y，且有二次函数S=f(x)的图像开口向下，对称轴为x=5，故当x≤5时，函数值是随x的增加而增加，所以，对满足2≤x≤4的S来说，当x=4时有最大值例6 设p＞0，x=p时，二次函数f(x)有最大值5，二次函数g(x)的最小值为-2，且g(p)=25，f(x)+g(x)=x2+16x+13．求g(x)的解析式和p的值．解由题设知f(p)=5，g(p)=25，f(p)＋g(p)=p2＋16p＋13，所以 p2＋16p+13=30，p=1(p=-17舍去)．由于f(x)在x=1时有最大值5，故设f(x)=a(x-1)2+5，a＜0，所以g(x)=x2+16x+13-f(x)=(1-a)x2+2(a＋8)x＋8-a．由于g(x)的最小值是-2，于是解得a=-2，从而g(x)=3x2＋12x＋10．3．分式函数的最大值与最小值法是去分母后，化为关于x的二次方程，然后用判别式△≥0，得出y的取值范围，进而定出y的最大值和最小值．解去分母、整理得(2y-1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0．△≥0，即△=[2(y+1)]2-4(2y-1)(y＋3)≥0，解得-4≤y≤1．时，取最小值-4，当x=-2时，y取最大值1．说明本题求最值的方法叫作判别法，这也是一种常用的方法．但在用判别法求最值时，应特别注意这个最值能否取到，即是否有与最值相应的x值．解将原函数去分母，并整理得yx2-ax＋(y-b)＝0．因x是实数，故△=(-a)2-4·y·(y-b)≥0，由题设知，y的最大值为4，最小值为-1，所以(y+1)(y-4)≤0，即y2-3y-4≤0．②由①，②得所以a=±4，b=3．4．其他函数的最大值与最小值处理一般函数的最大值与最小值，我们常常用不等式来估计上界或下界，进而构造例子来说明能取到这个上界或下界．解先估计y的下界．又当x=1时，y=1，所以，y的最小值为1．说明在求最小(大)值，估计了下(上)界后，一定要举例说明这个界是能取到的，才能说这就是最小(大)值，否则就不一定对了．例如，本题我们也可以这样估计：但无论x取什么值时，y取不到-3，即-3不能作为y的最小值．例10 设x，y是实数，求u=x2＋xy+y2-x-2y的最小值．分析先将u看作是x的二次函数(把y看作常数)，进行配方后，再把余下的关于y的代数式写成y的二次函数，再配方后，便可估计出下界来．又当x=0，y=1时，u=-1，所以，u的最小值为-1．例11 求函数的最大值，并求此时的x值，其中[a]表示不超过a的最大整数．【练习】1．填空：(1)函数y=x2＋2x-3(0≤x≤3)的最小值是_____，最大值是_______．(3)已知函数y=x2+2ax+1(-1≤x≤2)的最大值是4，则a=_____．是_______．(5)设函数y=-x2-2kx-3k2-4k-5的最大值是M，为使M最大，k=_____．2．设f(x)=kx＋1是x的函数，以m(k)表示函数f(x)=kx＋1在-1≤x≤3条件下的最大值，求函数m(k)的解析式和其最小值．3．x，y，z是非负实数，且满足x＋3y＋2z=3，3x＋3y＋z=4．求u=3x-2y+4z的最大值与最小值．4．已知x2＋2y2=1，求2x＋5y2的最大值和最小值．交点间的距离的平方最小，求m的值．6．已知二次函数y=x2＋2(a＋3)x＋2a＋4的图像与x轴的两个交点的横坐标分别为α，β，当实数a变动时，求(α-1)2＋(β-1)2的最小值．。

九年级数学最大值、最小值问题

通过代入原题、反证法等方式检验答案的正确性。
避免常见错误
01
02
忽视题目中的限制条件，导致答案不符合题意。
计算错误，如加减乘除运算错误、开方运算错误等。
03
理解错误，如对题意理解不准确、对概念理解模糊等。
04
书写不规范，如步骤跳跃、缺少必要的说明和推导等。
05 练习题与答案解析
基础练习题
在一个给定的范围内，一个函数所能取到的最小的值。
实际问题中求解意义
优化问题
在实际生活中，经常需要找到某个量的最大值或最小值，以达到最优化的目的。例如，在经济学中，生产者追求成本最小化和利润最大化；在工程学中，设计师需要确保结构的强度和稳定性等达到最优。
决策依据
通过求解最大值、最小值问题，可以为决策者提供有力的数据支持，帮助他们做出更加明智的决策。
利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质求最值。
对称性质
利用对称点的性质求最值，如点到直线的距离最短时，点关于直线对称。
不等式法
基本不等式
应用算术平均数-几何平均数不等式（AM-GM不等式）求最值。
柯西不等式
应用柯西不等式求最值，注意等号成立的条件。
排序不等式
对于两组数，通过排序后应用不等式求最值。
结合函数图像，利用几何意义（如距离、面积等）来求解最值问题。
注意定义域和值域
在求解过程中，要特别注意函数的定义域和值域，避免出现不符合实际情况的解。
实际应用题中最值问题
理解题意并建立数学模型
认真阅读题目，理解题意，将实际问题抽象为数学模型，明确已知条件和求解目标。
列出方程或不等式
根据已知条件和求解目标，列出相应的方程或不等式。

初中数学竞赛奥数培优资料第三辑专题25 平面几何的最值问题

专题25平面几何的最值问题阅读与思考几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值．求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形下的推证．2．几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、定理．3．数形结合法等：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等．例题与求解【例1】在Rt△ABC中，CB=3，CA=4，M为斜边AB上一动点．过点M作MD⊥AC于点D，过M 作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为．（四川省竞赛试题）解题思路：四边形CDME为矩形，连结CM，则DE=CM，将问题转化为求CM的最小值．【例2】如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=10cm．若在AC，AB上各取一点M，N，使BM+MN 的值最小，求这个最小值．（北京市竞赛试题）解题思路：作点B关于AC的对称点B′，连结B′M，B′A，则BM=B′M，从而BM+MN=B′M+MN．要使BM+MN的值最小，只需使B′M十MN的值最小，当B′，M，N三点共线且B′N⊥AB时，B′M+MN的值最小．a )，P为AB边上的一动点，直线DP交CB的延【例3】如图，已知□ABCD，AB=a，BC=b(b长线于Q．求AP+BQ的最小值．（永州市竞赛试题）解题思路：设AP =x ，把AP ，BQ 分别用x 的代数式表示，运用不等式以ab b a 222≥+或a +b ≥2ab（当且仅当a =b 时取等号）来求最小值．【例4】阅读下列材料：问题如图1，一圆柱的底面半径为5dm ，高AB 为5dm ，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到C 点的最短路线．小明设计了两条路线：路线1：侧面展开图中的线段AC ．如图2所示．设路线l 的长度为l 1，则l 12=AC 2=AB 2+BC 2=25+(5π)2=25+25π2．路线2：高线AB 十底面直径BC ．如图1所示．设路线l 的长度为l 2，则l 22=(BC +AB )2=(5+10)2=225．∵l 12–l 22=25+25π2－225=25π2－200=25(π2－8)，∴l 12＞l 22，∴l 1＞l 2．所以，应选择路线2．线才能使蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到C 点的路线最短．（衢州市中考试题）解题思路：本题考查平面展开一最短路径问题．比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便．比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减．【例5】如图，已知边长为4的正方形钢板，有一个角锈蚀，其中AF =2，BF =1．为了合理利用这块钢板，将在五边形EABCD 内截取一个矩形块MDNP ，使点P 在AB 上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率．（中学生数学智能通讯赛试题）解题思路：设DN =x ，PN =y ，则S =xy ．建立矩形MDNP 的面积S 与x 的函数关系式，利用二次函数性质求 S 的最大值，进而求钢板的最大利用率．【例6】如图，在四边形ABCD 中，AD =DC =1，∠DAB =∠DCB =90°，BC ，AD 的延长线交于P ，求AB ·S △P AB 的最小值．（中学生数学智能通讯赛试题）解题思路：设PD =x (x >1)，根据勾股定理求出PC ，证Rt △PCD ∽Rt △PAB ，得到PCP A CD AB ，求出AB ，根据三角形的面积公式求出y =AB ·S △P AB ，整理后得到y ≥4，即可求出答案．能力训练A 级1．如图，将两张长为8、宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形．容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值，那么菱形周长的最大值是．（烟台市中考试题）2．D 是半径为5cm 的⊙O 内一点，且OD =3cm ，则过点O 的所有弦中，最短的弦AB =cm ．（广州市中考试题）3．如图，有一个长方体，它的长BC =4，宽AB =3，高BB 1=5．一只小虫由A 处出发，沿长方体表面爬行到C 1，这时小虫爬行的最短路径的长度是．（“希望杯”邀请赛试题）第1题图第3题图第4题图第5题图4．如图，在△ABC 中，AB =10，AC =8，BC =6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CB ，CA 分别相交于点E ，F ，则线段EF 长度的最小值是()（兰州市中考试题）A ．42B ．4.75C ．5D ．4.85．如图，圆锥的母线长OA=6，底面圆的半径为2．一小虫在圆锥底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A，则小虫所走的最短距离为()（河北省竞赛试题）A．12B．4πC．62D．636．如图，已知∠MON=40°，P是∠MON内的一定点，点A，B分别在射线OM，ON上移动，当△PAB周长最小时，∠APB的值为()（武汉市竞赛试题）A．80°B．100°C．120°D．140°7．如图，⌒AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为AD上任意一点．若AC=5，则四边形ACBP周长的最大值是()（福州市中考试题）A．15B．20C．15+52D．15+55第6题图第7题图第8题图8．如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合），BE的垂直平分线交AB于M，交DC与N．(1)设AE=x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式．(2)当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？（山东省中考试题）9．如图，六边形ABCDEF内接于半径为r的⊙O，其中AD为直径，且AB=CD=DE=FA．(1)当∠BAD=75°时，求⌒BC的长；(2)求证：BC∥AD∥FE；(3)设AB=x，求六边形ABCDEF的周长l关于x的函数关系式，并指出x为何值时，l取得最大值．10．如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D）．Q是BC边上任意一点．连结AQ，DQ，过P作PE∥DQ交于AQ于E，作PF//AQ交DQ于F．(1)求证：△APE∽△ADQ；(2)设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF取得最大值？最大值为多少？(3)当Q在何处时，△ADQ的周长最小？（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必证明）（无锡市中考试题）11．在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6．动点M，N分别在两腰AB，AC上(M不与A，B重合，N不与A，C重合)，且MN∥BC．将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P．(1)当MN为何值时，点P恰好落在BC上？(2)设MN=x，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式，当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（宁夏省中考试题）B级1．已知凸四边形ABCD中，AB+AC+CD=16，且S四边彤ABCD=32，那么当AC=，BD=时，四边形ABCD面积最大，最大值是．（“华杯赛”试题）2．如图，已知△ABC的内切圆半径为r，∠A=60°，BC=23，则r的取值范围是．（江苏省竞赛试题）第2题图第3题图第4题图第5题图3．如图⊙O 的半径为2，⊙O 内的一点P 到圆心的距离为1，过点P 的弦与劣弧⌒AB组成一个弓形，则此弓形面积的最小值为．4．如图，△ABC 的面积为1，点D ，G ，E 和F 分别在边AB ，AC ，BC 上，BD ＜DA ，DG ∥BC ，DE ∥AC ，GF ∥AB ，则梯形DEFG 面积的最大可能值为．（上海市竞赛试题）5．已知边长为a 的正三角形ABC ，两顶点A ，B 分别在平面直角坐标系的x 轴，y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连结OC ，则OC 的最大值是．（潍坊市中考试题）6．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当PA +PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为()（鄂州市中考试题）A ．17172B ．17174C ．17178D ．3第6题图第7题图第8题图7．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，点P 是BC 边上不与点B ，C 重合的任意一点，连结AP ，过点P 作PQ ⊥AP 交DC 于点Q ．设BP 的长为x cm ，CQ 的长为y cm ．(1)求点P 在BC 上运动的过程中y 的最大值；(2)当y =41cm 时，求x 的值．（河南省中考试题）8．如图，y 轴正半轴上有两点A (0，a )，B (0，b )，其中a >b >0．在x 轴上取一点C ，使∠ACB 最大，求C 点坐标．（河北省竞赛试题）9．如图，正方形ABCD 的边长为1，点M ，N 分别在BC ，CD 上，使得△CM N 的周长为2．求：(1)∠MAN 的大小；(2)△MAN 的面积的最小值．（“宇振杯”上海市竞赛试题）10，如图，四边形ABCD 中，AD =CD ，∠DAB =∠ACB =90°，过点D 作DE ⊥AC 于F ，DE 与AB 相交于点E ．(1)求证：AB ·AF =CB ·CD ；(2)已知AB =15cm ，BC =9cm ，P 是射线DE 上的动点，设DP =x cm(x >0)，四边形BCDP 的面积为y cm 2．①求y 关于x 的函数关系式；②当x 为何值时，△PBC 的周长最小？求出此时y 的值．（南通市中考试题）第6题图第7题图第8题图第9题图11．如图，已知直线l ：k kx y 42-+=(k 为实数)．(1)求证：不论k 为任何实数，直线l 都过定点M ，并求点M 的坐标；(2)若直线l 与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，求△AOB 面积的最小值．（太原市竞赛试题）12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=x，点F在边AB上，点G，H在边BC上，四边形EFGH是一个边长为y的正方形，且AE=AC．(1)求y关于x的函数解析式；(2)当x为何值时，y取得最大值？求出y的最大值．（上海市竞赛试题）专题25平面几何的最值问题例1125提示：当CM ⊥AB 时，CM 值最小，CM ＝125AC BC AB ⋅=例2如图，B ′M ＋MN 的最小值为点B ′到AB 的距离B ′F ，BE ＝45AB BC AC⋅=cm ，BB ′＝85，AE ()222220455AB BE -=-．在△ABB ′中，由12BB ′•AE ＝12AB •B ′F ，得B ′F ＝16cm ．故BM ＋MN 的最小值为16cm ．例3由△APD ∽△BPQ ，得AP AD BP BQ=，即BQ ＝()b a x AD BP AP x -⋅=，∴AP ＋BQ ＝x ＋ab b x -．∵x ＋ab x ≥22ab x ab x ⋅=x ＝ab x即x ab 时，上式等号成立．故当AP ab AP ＋BQ 最小，其最小值为ab b ．例4⑴22125l π=+，22l ＝49，l 1＜l 2，故要选择路线l 较短．⑵()2221l h r π=+，()2222l h r =+，()2221244l l r r h π⎡⎤-=--⎣⎦．当r ＝244h π-时，2212l l =，当r ＞244h π-时，2212l l >，当r ＜244h π-时，2212l l <．例5设DN ＝x ，PN ＝y ，则S ＝xy ，由△APQ ∽△ABF ，得()41242y x -=--即x ＝10－2y ，代入S ＝xy 得S ＝xy ＝y (10－2y )，即S ＝－2252522y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，因3≤y ≤4，而y ＝52不在自变量y 的取值范围内，所以y ＝52不是极值点，当y ＝3时，S (3)＝12，当y ＝4时，S (4)＝8，故S max ＝12．此时，钢板的最大利用率21214212-⨯⨯＝80%．例6设PD ＝x (x ＞1)，则PC 21x -，由R t △PCD ∽△PAB ，得AB ＝21CD PA PC x ⋅=-，令y ＝AB •S △PAB ，则y ＝12AB ×PA ×AB ＝()()2121x x +-，求y 的最小值，有下列不同思路：①配方：y ＝21212242121x x x x --++=+--1221x x -=-x ＝3时，y 有最小值4．②运用基本不等式：y ＝122221x x -++≥-322＝4，∴当12x -＝21x -，即当x ＝3时，y 有最小值4.③借用判别式，去分母，得x 2＋2（1－y ）x ＋1＋2y ＝0，由△＝4（1－y ）2－4（1＋2y ）＝4y （y －4）≥0，得y ≥4，∴y 的最小值为4.A 级1.17提示：当两张纸条的对角重合时，菱形周长最大.2.83.4.D5.D6.B7.C 提示：当点P 与点D 重合时，四边形ACBP 的周长最大.8.（1）连结ME ，过N 作NF ⊥AB 于F ，可证明Rt △EB A ≌Rt △MNF ，得MF ＝AE ＝x.∵ME 2＝AE 2＋AM 2，故MB 2＝x 2＋AM 2，即（2－AM ）2＝x 2＋AM 2，AM ＝1－14x 2，∴S ＝2AM DN +×AD ＝2AM AF +×2＝AM ＋AM ＋MF ＝2AM ＋AE ＝2（1－14x 2）＋x ＝－12x 2＋x ＋2.（2）S ＝－12（x 2－2x ＋1）＋52＝－12（x －1）2＋52.故当AE ＝x ＝1时，四边形ADNM 的面积最大，此时最大值为52.9.（1） BC 长为23r π.（2）提示：连结BD .（3）过点B 作BM ⊥AD 于M ，由（2）知四边形ABCD 为等腰梯形，从而BC ＝AD －2AM ＝2r －2AM .由△BAM ∽△DAB ，得AM ＝2AB AD ＝22x r ，∴BC ＝2r －2x r .同理，EF ＝2r －2x r .l ＝4x ＋2（2r －2x r ）＝－x r（x －r ）2＋6r（0＜x ＜r ）..当x ＝r 时，l 取得最大值6r .10.（1）∵∠APE ＝∠ADQ ，∠AEP ＝∠AQD ，∴△APE ∽△ADQ .（2）由△APE ∽△ADQ ，△PDF ∽△ADQ ，S △PEF ＝12S □PEQF ，得S △PEF ＝－13x 2＋x ＝－13（x －32）2＋34.故当x ＝32时，即P 是AD 的中点时，S △PEF 取得最大值，（3）作A 关于直线BC 的对称点A′，连结DA′交BC 于Q ，则这个Q 点就是使△ADQ 周长最小的点，此时Q 是BC 的中点.11.（1）点P 恰好在BC 上时，由对称性知MN 是△ABC 的中位线，∴当MN ＝12BC ＝3时，点P 在BC 上.（2）由已知得△ABC 底边上的高h＝＝4.①当0＜x ≤3时，如图1，连结AP 并延长交BC 于点D ，AD 与MN 交于点O.由△AMN ∽△ABC ，得AO ＝23x ，y ＝S △PMN ＝S △AMN ＝12·x ·23x ＝13x 2即y ＝13x 2.当＝3时，y 的值最大，最大值是3.②当3＜x ＜6时，如图2，设△PMN 与BC 相交于点E ，F ，AP 与BC 相交于D .由①中知AO ＝23x ，∴AP ＝43x ，∴PD ＝AP －AD ＝43x －4，∵△PEF ∽△ABC .，∴PEF ABC S S ∆∆＝(PD AD )2＝(4434x -)2，即PEF ABC S S ∆∆＝2-3)9x （.∵S △ABC ＝12，∴S △PEF ＝43（x －3）2.∴y ＝S △AMN －S △PEF ＝13x 2－43（x －3）2＝－x 2＋8x －12＝－（x －4）2＋4.故当x ＝4时，y 的最大值为4.综上，当x ＝4时，y 的值最大，最大值为4.B 级1.832提示：当∠CAB ＝∠ACD ＝90°时，四边形ABCD 的面积达到最大值.2.0＜r ≤1提示：设BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，b ＋c ＝r ＋1），又12bc sin60°＝S △ABC ＝12（a ＋b ＋c ）r ，即12bc·2＝12［＋2（r ＋1）］r ，.bc ＝4r （r ＋2）.b ，c 为方程x 2－（r ＋1）x ＋4r （r ＋2）＝0的两个根，由△≥0，得（r ＋1）≤22.因r ＞0，r ＋1＞0，故r ＋1≤2，即0＜r ≤1.3.249π提示：过P 作垂直于OP 的弦AB ，此时弓形面积最小.4.13提示：设AD AB ＝x ，则BD BA ＝1－x ＝CG CA ，ADG ABC S S ∆∆＝x 2，BDE ABCS S ∆∆＝（1－x ）2＝CFG ABC S S ∆∆，S 梯形DEFG ＝1―x 2―2（1－x ）2＝－3（x －23）2＋13.5.12a 提示：当OA ＝OB 时，OC 的长最大. 6.C 7.（1）由Rt △ABP ∽Rt △PCQ ，得BP CQ ＝AB CP ，即x y ＝44x-，y ＝－14（x －2）2＋1（0＜x ＜4）.当x ＝2时,y 最大值＝1cm.（2）由14＝－14（x －2）2＋1，得x ＝（2）cm 或（2）cm.8.当过A ，B 两点的圆与x 轴正半轴相切时，切点C 为所求.作O′D ⊥A B 于D .，O′D 2＝O′B 2－B D 2＝2()2a b +－2()2a b -＝ab ，O′DC0）.9.（1）如图，延长CB 到L ，使BL ＝DN ，则Rt △ABL ≌Rt △ADN ，得AL ＝AN ，∠1＝∠2，又∵N ＝2―CN ―CM ＝DN ＋BM ＝BL ＋BM ＝ML ，且AM ＝AM ，∠NAL ＝∠DAB ＝90°.∴△AMN ≌△AML ，故∠MAN ＝∠MAL ＝902＝45°.（2）设CM ＝x ，CN ＝y ，MN ＝z ，则2222222,2,x y z x y z x y z x y z ++==--⎧⎧⇔⎨⎨+=+=⎩⎩，于是，（2―y ―z ）2＋y 2＝z 2.整理得2y 2＋（2z －4）y ＋（4－4z ）＝0.∵y ＞0，故△＝4（z －2）2－32（1－z ）≥0，即（z ＋2＋）（z ＋2－）≥0.又∵z ＞0，故z ≥22－2，当且仅当x ＝y ＝2－2时等号成立.由于S △AMN ＝S △AML ＝12·ML ·AB ＝12MN ×1＝2z ，因此，△AMN 2－1.10.（1）提示：证明△ADF ∽△BAC .（2）①AB ＝15，BC ＝9，∠ACB ＝90°，∴AC 22AB BC -2215912-=，∴CF ＝AF ＝6，∴()()19632702y x x x =+⨯=+>．②∵BC ＝９（定值），∴△PBC 的周长最小，就是PB ＋PC 最小，由（1）知，点C 关于直线DE 的对称点是点A ，所以PB ＋PC ＝PB ＋PA ，故只要求PB ＋PA 最小．显然当P 、A 、B 三点共线时PB ＋PA 最小，此时DP ＝DE ，PB ＋PA ＝AB ．由（1），角∠ADF ＝∠FAE ，∠DFA ＝∠ACB ＝90°，得△DAF ∽△ABC ．EF ∥BC ，得AE ＝BE ＝12AB ＝152，EF ＝92．∴AF ∶BC ＝AD ∶AB ，即6∶9＝AD ∶15，∴AD ＝10．Rt △ADF 中，AD ＝10，AF ＝6，∴DF ＝8．∴DE ＝DF ＋FE ＝8＋92＝252．∴当x ＝252时，△PBC 的周长最小，此时y ＝1292．11．（1）令k ＝1，得y ＝x ＋2；令k ＝2，得y ＝2x ＋6，联立解得x ＝4，y ＝2，故定点（4，2）．（2）取x ＝0，得OB ＝2－4k （k ＜0），取y ＝0，得OA ＝()420k k k-<．于是△ABO 的面积()()114224022k S OA OB k k k -==-< ，化简得()28820k S k +-+=．由()28640S ∆=--≥得2160S S -≥，故S ≥16．将S ＝16代入上述方程，得k ＝12-．故当k ＝12-，S 值最小．12．（1）如图，延长EF 交AC 于点D ，DF ∥BC ，Rt △ADF ∽Rt △ACB ，AE ＝AC ＝x ，()2222DE x x y xy y =--=-，22xy y y x y x -+-=，2x －2y －xy＝，两边平方整理得(x 2＋2x ＋2)y 2－(x 3＋2x 2＋4x )y ＋2x 2＝0．解得2222x y x x =++(y ＝x 舍去)．（2）由（1）2122y x x ==++．当且仅当2x x =，即x =时，上式等号成立．故当x =时，y1-．。