2008年考研数学一真题与答案

计算曲线积分 上从点 到点 【解析】 【方法一】
的一段。
,其中 是曲线
【方法二】 添加 轴上从点 闭区域，则
到点 的直线段 ， 为 与 围成的封
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【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概 念、性质、计算和应用，两类曲线积分的概念、性质及计算，格 林(Green)公式 (17)（本题满分 11 分）
分离变量 得
,l 两边积分有
利用条件，
，解得
综上所述，本题正确答案是 。 【考点】高等数学—常微分方程—变量可分离的微分方程
(10)曲线
在点 处的切线方程是 。
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【答案】 【解析】 先求曲线在点 等式
处的斜率 两端对 求导得
在上式中，将
代入可得
所以曲线在该点处的切线方程为
即
综上所述，本题正确答案是
综上所述，本题正确答案是 。
【考点】高等数学—无穷级数—幂级数及其收敛半径、收敛区间
(指开区间)和收敛域
(12)设曲面 是
的上侧，则
。 【答案】 。 【解析】
补曲面 则
,取下侧，记
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综上所述，本题正确答案是 。 【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概
念、性质、计算和应用，两类曲面积分的概念、性质及计算
(2)函数
在点
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】A。
【解析】
处的梯度等于
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所以 综上所述，本题正确答案是 A。 【考点】高等数学—多元函数微分学—方向导数和梯度 (3)在下列微分方程中，以
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】D。
【解析】
为通解的是
由通解表达式 可知其特征根为 可见其对应特征方程为 故对应微分方程为 综上所述，本题正确答案是 D。 【考点】高等数学—常微分方程—高于二阶的某些常系数齐次线 性微分方程
可逆
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(C) 可逆， (D) 可逆， 【答案】C。 【解析】
因为
可逆 不可逆
所以可知 可逆，
可逆
综上所述，本题正确答案是 C。
【考点】线性代数—矩阵—矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分
必要条件
(6)设 为 3 阶实对称矩阵，如果二次曲面方程
在正交变换下的标准方程的图形如右图所示，
则 的正特征值的个数为
(13)设 为 2 阶矩阵，
为线性无关的 2 维列向量，
，
，则 的非零特征值为 。 【答案】1。
【解析】
【方法源自文库】
定义法：由
可得矩阵 的特征值为 ，因此 的非零特征值为 。 【方法二】 矩阵相似：
可知
，
的特征值易得为 ，所以可得矩阵 的特
征值为 ，因此 的非零特征值为 。
综上所述，本题正确答案是 。
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由泰勒公式 则，上式
,可得
【方法四】
理）
【方法五】
由于当 时,
,则
所以
（拉格朗日中值定
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【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷 小量的比较，极限的四则运算 高等数学—一元函数微分学—微分中值定理，洛必达 (L'Hospital)法则 (16)（本题满分 9 分）
(A)
(B)1
(C)2
(D)3
【答案】B。
【解析】
所给图形为双叶双曲线，标准方程为
二次型正交变换化为标准形时，其平方项的系数就是 的特征
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值，可知 的正特征值的个数为 1 综上所述，本题正确答案是 B。 【考点】线性代数—二次型—次型的标准形和规范形 (7)设随机变量 独立同分布，且 的分布函数为 ,则
2008 年考研数学一真题
一、选择题（1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的 四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）
(1)设函数
,则 的零点个数为
(A)0
(B)1
(C)2
(D)3
【答案】B。
【解析】
且
，则 是 唯一的零
点
综上所述，本题正确答案是 B。
【考点】高等数学—一元函数积分学—积分上限的函数及其导数
。
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数的几何意义和物理意
义
(11)已知幂级数
在 处收敛，在
处发散，则
幂级数 【答案】 【解析】
的收敛域为 。 。
由题设可知，幂级数 发散,即
在 处收敛，在
处
时，幂级数收敛。
对于幂级数
，则收敛区间为
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又幂级数
在 处收敛，在
处发散，
所以对于幂级数
收敛域为 。
的分布函数为
(A) (C) 【答案】A。 【解析】
(B) (D)
综上所述，本题正确答案是 A。 【考点】概率论与数理统计—多维随机变量及其分布—随机变量 的独立性和不相关性，两个及两个以上随机变量简单函数的分布
(8)设随机变量 (A) (C) 【答案】D。 【解析】
,且相关系数
,则
(B)
(D)
由相关系数的性质可知：
如果 可得
则必有
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已知 又
,所以
,得
而
所以 即 综上所述，本题正确答案是 D。 【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量函
数的数学期望 矩、协方差、相关系数及其性质
二、填空题（9 14 小题，每小题 4 分，共 24 分。）
(9)微分方程
满足条件
的解是
。
【答案】 。 【解析】
，显然
不收敛，排除
若取 敛，排除 C 和 D。
,显然
收敛且单调，但 不收
综上所述，本题正确答案是 B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数的有界性、单调
性、周期性和奇偶性，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹
逼准则
(5)设 为 阶非零矩阵， 为 阶单位矩阵，若
,则
(A) 不可逆，
不可逆
(B) 不可逆，
量及函数的数字特征
三、解答题：
小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤。
(15)（本题满分 9 分）
求极限 【解析】 【方法一】
穷小代换）
（等价无
法则）
（洛必达
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（
）
换) 【方法二】
【方法三】
(等价无穷小代
（等价无穷小代换）
（变量代换
）
（洛必达法则）
（等价无穷小代换）
【考点】线性代数—矩阵的特征值和特征向量—矩阵的特征值和
特征向量的概念、性质，相似变换、相似矩阵的概念及性质
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(14)设 随 机 变 量 服 从 参 数 为 1 的 泊 松 分 布 ， 则 。
【答案】 【解析】由已知，有
所以
,所以
综上所述，本题正确答案是 。 【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—一维随机变
(4)设函数 在 确的是
内单调有界， 为数列，下列命题正
(A)若 收敛，则
收敛
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(B)若 单调，则
(C)若
收敛，则
(D)若
单调，则
【答案】B。
【解析】
收敛 收敛 收敛
【方法一】
由于 单调， 单调有界，则数列
调有界准则知数列 【方法二】
收敛。
单调有界，根据单
排除法：若取
,
,则显然 单调，
收敛，但 A。