圆锥曲线定值问题 (2)

高三二轮——圆锥曲线中的“定值”问题

概念与用法

圆锥曲线中的定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点．解决这个难点的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量所影响的一个值，就是要求的定值．具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值． 基本解题数学思想与方法

在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中，不受相关变元的制约而恒定不变，则称该变量具有定值特征． 解答此类问题的基本策略有以下两种：

1、把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关．

2、把相关几何量用曲线系里的参变量表示，再证明结论与求参数无关．

题型示例

一．证明某一代数式为定值：

1、如图，M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB. 若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；

解：设M （y 20,y 0），直线ME 的斜率为k(l>0)，直线MF 的斜率为－k ， 直线ME 方程为200().y y k x y -=-

∴由2

002()y y k x y y x

⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，消2

00(1)0x ky y y ky -+-=得

解得2

0021(1),F F ky ky y x k k --=∴=；同理()2

2

1,1k

ky x k ky y F F +=-+=

∴00220000

222

112

14(1)(1)2E F EF

E F ky ky y y k k k k ky ky ky x x y k k k -+-

--===

=---+--

(定值) 所以直线EF 的斜率为定值 ▲利用消元法

2、已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且AF →＝λFB →

（λ＞0）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ．证明FM →·AB →为定值

解：由已知条件，得F (0，1)，λ＞0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由AF →＝λFB →，

即得 (－x 1，1－y )＝λ(x 2，y 2－1)，所以 ⎩

⎪⎨⎪⎧－x 1＝λx 2 ①1－y 1＝λ(y 2－1) ② 将①式两边平方并把y 1＝14x 12，y 2＝1

4x 22代入得 y 1＝λ2y 2 ③

解②、③式得y 1＝λ，y 2＝1

λ

，且有x 1x 2＝－λx 22＝－4λy 2＝－4，

抛物线方程为y ＝14x 2，求导得y ′＝1

2x ．所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是

y ＝12x 1(x －x 1)＋y 1，y ＝12x 2(x －x 2)＋y 2，即y ＝12x 1x －14x 12，y ＝12x 2x －1

4x 22． 解出两条切线的交点M 的坐标为(x 1＋x 22，x 1x 24)＝(x 1＋x 2

2，－1)．

所以FM →·AB →＝(x 1＋x 22，－2)·(x 2－x 1，y 2－y 1)＝12(x 22－x 12)－2(14x 22－1

4x 12)＝0

所以FM →·AB →

为定值，其值为0． ▲利用不变因素

3、已知椭圆()轴轴、与直线的离心率为y x a ex y l e b a b

y a x +=>>=+:.012222分别交于

点为定值。求证：

与该椭圆的一个公共点是直线，、AB

AM

l M B A 。 解：设()a B e a A AB AM ,0,0,,⎪⎭⎫

⎝⎛-=由题意得λ。 由⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=a b y c x b y a x a ex y 222

22,1得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛+-∴=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴a a

b e a

c e a

a e a a

b e a

c a b c M λλλλ2

2

2

,,,,,,即 ，而 222221,011,e AB

AM

e e b a c -=>--=∴-=故

且λ为定值。 ▲利用辅助元

解析几何中的定值问题是数学中的重要问题，求解这类问题需要综合应用解析几何和代数的相关知识与方法。以上几种思维策率是高中数学中常用到的。要注意体会。 二．证明动直线过定点或动点在定直线上问题

4、如图,椭圆22

221x y a b

+=的两焦点1F ，2F 与短轴两端点1B ，2B 构成211B F B ∠为120,面

积为23 （1）求椭圆的方程； （2）若直线:l y kx m =+与椭圆相交于M 、N 两点(M 、N 不是左右顶点),且以MN 为直径的圆过椭圆右顶点A ．求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标．

解：易得)1(椭圆的方程为13

42

2=+y x （2） 由消去,134

2

2⎪⎩⎪

⎨⎧=++=y x m

kx y 得到y ()0,012484322

2

>∆∴=-+++与椭圆有两个交点，直线l m kmx x

k ，即

()()()()0341236124812443482222222>+-=+-=-+-m k m k m k km

设M ()()2211,,,y x N y x ，则有2

2212214312

4,438k

m x x k km x x +-=+-=+ 因为以MN 为直径的圆过椭圆右顶点A ，所以即,0=⋅

()

()0,2,22211

=--y x y x

，而m kx y m kx y +=+=2211, 代入并整得

()()()()

0421221

2

12

=++-+++m km x x

x x k

(

)

()()

424384312412

2

222

++-+-+-+∴m km k

km k m k

，化简整理得到 ()()k m k m k m k m k km m 7

2

2,0272,0416722-=-=∴=++∴=++或

k m k m 7

2

,2-=-=均满足判别式大于0，所以

当()()0,2,22:2此时，直线过定点时，-=-=-=x k k kx y l k m 当⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-

=0,72,7272:72此时，直线过定点时，x k k kx y l k m