第二章：平面汇交力系与平面力偶系

第二章
平面汇交力系与平面力偶系
一、要求
1、掌握平面汇交力系合成（分解）的几何法。

能应用平衡的几何条件求解平面汇交力系的平衡问题。

2、能正确地将力沿坐标轴分解和求力在坐标轴上的投影。

对合力投影定理应有清晰的理
解。

3、能熟练地运用平衡方程求解平面汇交力系的平衡问题。

4、对于力对点的矩应有清晰的理解，并能熟练地计算。

5、深入理解力偶和力偶矩的概念。

明确平面力偶的性质和平面力偶的等效条件。

6、掌握平面力偶系的合成方法，能应用平衡条件求解力偶系的平衡问题。

二、重点、难点
1、 力在坐标轴上的投影，合力投影定理，平面汇交力系的平衡条件及求解平衡问题的解
析法。

2、 力对点之矩的计算，力偶矩的概念，平面力偶性质和力偶等效条件。

三、学习指导
平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力作用线通过力系的汇交点，合力的大小
和方向等于力系的矢量和，即
∑==
+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=n
i i n F F F F R 1
21
或简化为
∑=
F R
上式是平面矢量方程，只可以求解两个未知数。

每一个力都有大小和方向两个要素（因为力
的汇交点是已知的），因此，方程中只能有两个要素是未知的。

矢量方程的解法有：几何法和解析法。

只有力沿直角坐标轴分解的平行四边形才是矩形。

力在轴上投影的大小等于分力的大小，投影的正负表示分力沿坐标轴的方向。

平面汇交力系平衡的必要和充分条件是力系的合力为零。

即
∑
R
=F
这个平面的矢量方程可解两个未知数，解法有几何法和解析法。

（1）平衡的几何条件：平面汇交力系的力多边形封闭。

（2）平衡的解析条件：平面汇交力系的各分力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零即：
∑=0
Y
X；∑=0
对于平衡方程，和平面汇交力系合成与分解的解析法一样，一般也选直角坐标系。

但在特殊情况下，有时选两个相交的相互不垂直的坐标轴，可使问题的求解简化。

这是因为平衡时合力恒等于零，合力在任一坐标轴的投影也恒等于零，所以，不一定局限在直角坐标系。

合力投影定理与合力矩定理是结构静力计算经常要用到的两个定理。

合力投影定理的内容是：合力在某轴上的投影等于各分力在同一轴上的投影的代数和。

合力矩定理的内容是：合力对点的矩等于各分力对该点的矩的代数和。

力和力偶是静力学的两个基本要素。

为了加深对力偶的认识，用列表的方法将力和力偶加以比较。

平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和等于零，即
01
=∑=n
i i
m
在应用上述平衡条件时，要注意以下三点： （1） 力偶系只能用力偶来平衡。

（2） 平衡方程是代数方程，只能求解一个未知力偶矩的大小。

（3） 由于力偶矩d F m ⋅±=，所以用力偶系平衡方程亦可求解一个未知力或一个未
知力偶臂。

解题指导
1、平面汇交力系问题解题的主要步骤
（1） 选取研究对象，并画出简图。

选取的研究对象应当联系已知量和待求量。

（2） 分析受力情况，画受力图。

（3） 列平衡方程或作力的多边形。

（4） 求出未知量。

2、解平衡问题的几何法
几何法是通过作封闭的力多边形求解平面汇交力系的平衡问题。

几何法的优点是：直观、简单、容易掌握，力系中各力之间的关系在力多边形中一目了然。

几何法的缺点是：若力多于三个时，力多边形的几何关系复杂。

图解法不受力多少的影响，但由于按比例尺作图，因此只能反映各量（力、尺寸、角度）的某些特定值之间的关系，不能反映各量之间的函数关系。

只要改变一个量，就要重新作图。

3、 解平衡问题的解析法 （1）解析法的优缺点
1） 适用范围广。

任何平面汇交力系的平衡问题都可用两个平衡方程求解。

2） 平衡方程可以建立力、角度、尺寸等量之间的函数关系。

3） 简单、容易掌握。

4） 其缺点是不如几何法直观。

（2）解题的技巧
当未知力与坐标轴垂直时，未知力不出现在相应的投影方程中。

若使两个坐标轴各与一个未知力垂直，则每个平衡方程只有一个未知数，容易求解。

所选的坐标轴不要求一定正交的，斜交也可以，以利于解题为原则。

4、 计算力矩常用的两种方法 （1）直接计算力臂，求力对点的矩。

（2）应用合力矩定理，求力对点的矩。

此法应注意：
1） 将一个力分解为两个相互垂直的分力，利用分力取矩。

注意选择力的分解方向。

2） 刚体上的力可以沿作用线移动，因此，力可以在作用线上任意点分解。

注意在力作
用线上选择一点，使分解成的两个分力，取矩比较方便。

5、 平面力偶系的平衡问题
平面力偶系的平衡问题，这类习题的目的主要是为了加深对力偶性质及力偶系平衡条件的理解。

在这类习题中，刚体只受主动力偶或主动力偶系作用，可根据力偶只能用力偶去平衡的理论，断定约束反力必构成力偶，从而决定约束反力的方向。

四、典型例题解析
例题2. 1 合力是否一定比分力大？ 解答：不一定。

例题2. 2 下图所示两个力三角形中三个力的关系是否一样？
解答：不一样。

图)(a 可表示为321F F F =+，图)(b 可表示为3321=++F F F 例题2. 3 由力的解析表达式
Yj Xi F +=
能确定力的大小和方向吗？能确定力的作用线位置吗？
)
(a )
(b 图
题2.21
F 2
F 3
F 1
F 2
F 3
F
解答：可以确定力的大小和方向，但不能确定作用线的位置。

例题2. 4 三力绘交于一点，但不共面，这三个力能互相平衡吗？ 解答：不能平衡，因为不能满足三力平衡绘交定理的条件。

例题2. 5 用解析法求解平面汇交力系的合力时，若取不同的直角坐标轴，所求得的合力是否相同？ 解答：相同。

例题2. 6 用解析法求解平面汇交力系的平衡问题时，x 与y 两轴是否一定要相互垂直？当x 与y 轴不垂直时，建立的平衡方程
∑=0X ； ∑=0Y
能满足力系的平衡条件吗？
解答：不一定要相互垂直；能满足平衡条件，但需附加一个限定条件，即x 、y 坐标轴不能平行
例题2. 7 能否用两个矩方程
∑=0)
(F M
A 与
∑=0)
(F M
B ，求解平面汇交力系的平衡问题？
为确保合力0=R F ，矩心A 、B 与汇交点O 之间有何限制条件？能否用一个投影方程
∑=0X 及一个矩方程∑=0)
(F M
A ，求解平面汇交力系的平衡问题？有什么限制条件？
解答：能，其限制条件为：矩心A 、B 与汇交点O 三点不共线；能，其限制条件为：矩心A 与汇交点O 的连线不与x 轴垂直。

例题2. 8 输电线跨度l 相同时，电线下垂量h 越小，电线越易于拉断，为什么？ 解答：因为h 越小，绳子的张力就越大，因此也就越易于拉断。

例题2. 9 试比较力矩与力偶矩二者的异同。

解答：相同点：二者都是使物体产生转动效应的度量。

不同点：力矩的作用效果与矩心的位置有关，而力偶矩的作用效果与作用的位置无关。

例题2. 10 试在以下三图中力或力偶对点A 的矩都相等，它们引起支座反力是否相同？
解答：不相同，各结构支座反力如下图中所示：
)
(a )(b )
(c 图
题10.2
例题2. 11 简易起重机如下图所示，滑轮的大小忽略不计，已知载荷N G 2000=，045=α，030=β，各杆自重不计。

求杆AB 与AC 受到的力。

分析：杆AB 、AC 为二力杆，它们给滑轮的作用力分别沿两杆，但指向不知道。

用解
析法解题时，在受力图上要假定一个方向，计算结果为正时，说明图中假设的方向与实际方向一致；计算结果为负时，说明图中假定的方向与实际方向相反。

由于轴承和滑轮是光滑的，所以绕过滑轮的绳子两端拉力相等。

解：取滑轮为研究对象。

由物块的平衡，有G T T =='，则G T T D ==。

设坐标轴如图)(b 所示，列平衡方程：
∑=0X 0sin sin =+--αβN T S D
（1） ∑=0Y 0cos cos =-+-T N T D
αβ （2）
由式（2）得：
G T N α
β
αβcos cos 1cos cos 1+=+=
代入式（1）得
)
(a )
(b )
(c B
B
F
B
F
)
(a )(b )
(c 图
题11.
2
F
F 1
G tg S ]sin )cos 1[(βαβ-+=
将045=α、030=β代入，则
N G N 92.527745
sin 30cos 10
0=+= N tg S 05.2732]30sin 45)30cos 1[(000=-+=
讨论：
（1） 答案的精确度根据工程需要来定
（2） 若选取图)(c 的1x 轴代替图)(b 的x 轴，令1x 轴与N 力垂直，y 轴与S 力垂直。

则得
到两个简单的平衡方程，每个方程只有一个未知数，不用再联立方程。

即
∑=0X 0cos )](90sin[sin 0=++---αβααT T S D
（1） ∑=0Y 0sin cos =-+-T N T
D
αβ （2）
由式（1）得
G ctg G S ]sin )cos 1[(sin cos )cos(βαβα
α
βα-+=++=
（3）由此例可见：1）坐标系选择虽然不同，但所得的解是相同的。

2）选1x 轴虽然可得独立方程，但几何关系比较难找，从数学上看并不比选x 轴方便。

所以坐标轴的选取要灵活处理。

3）将D T 分解为水平和垂直两个分力，再利用合力投影定理，可求得D T 在1x 轴的投影
)cos(sin sin cos cos 1βααβαβ+=⋅-⋅=D D D Dx T T T T
例题2. 12 横梁AB 在图示平面内受一力偶作用，支撑情况如下图所示。

已知梁长l AB =，力偶矩为m ，梁的自重不计。

求A 和B 端的约束反力。

解：选AB 梁为研究对象。

因梁只受主动力偶的作用，则两个约束反力必构成力偶。

已知A N 的方向，B N 应与A N 平行，并且反向。

列力偶系平衡方程
∑=0m 045
cos 0
=-l N
m A
)
(a )
(b 图
题12.2
B
解得： m l l m N N B A 2
45
cos 0
===
例题2. 13 下图示的构架，由直角弯杆AB 和构件BCD 在B 处铰接而成，不计各构件自重。

尺寸a 及矩为M 的力偶已知，求D 支座的约束反力。

解：先取弯杆AB 为研究对象，A 处约束反力作用线水平，指向可假设；根据力偶只能由力
偶来平衡的性质，A 、B 两处的约束反力应构成一力偶，故B 铰处的约束反力作用线也应水平，其受力图如图)(b 所示。

列平衡方程：
0=∑i
m
， 0=-M a R B
解得： a
M R R A B =
= 取构件BCD 为研究对象，C 处约束反力作用线铅垂，根据三力平衡汇交定理可知，D 处约束反力作用线应通过C ，指向可假定，其受力图如图)(c 所示。

列平衡方程：
0=∑i
X
， 045cos 0'=-D B R a R
解得： a
M
R D 2=
点评：对本题不宜先取整体为研究对象，而要先取外力偶矩已知、受力简单的杆AB 来进行分析。

作为平面汇交力系的例题，对于构件BCD 的D 铰处的约束反力作用线位置的求解，利用了三力平衡汇交定理。

实际上D 铰处约束反力也可假设成水平和竖向两个分力，用平面一般力系的平衡方程求解。

)
(a )
(b 图
题13.2B
‘F。