《算法设计与分析》-第五章 回溯法
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算法设计与分析——批处理作业调度（回溯法）
算法设计与分析——批处理作业调度（回溯法）之前讲过⼀个相似的问题流⽔作业调度问题，那⼀道题最开始⽤动态规划，推到最后得到了⼀个Johnson法则，变成了⼀个排序问题，有兴趣的可以看⼀下本篇博客主要参考⾃⼀、问题描述给定n个作业的集合{J1,J2,…,Jn}。
每个作业必须先由机器1处理，然后由机器2处理。
作业Ji需要机器j的处理时间为t ji。
对于⼀个确定的作业调度，设Fji是作业i在机器j上完成处理的时间。
所有作业在机器2上完成处理的时间和称为该作业调度的完成时间和。
批处理作业调度问题要求对于给定的n个作业，制定最佳作业调度⽅案，使其完成时间和达到最⼩。
例：设n=3，考虑以下实例：看到这⾥可能会对这些完成时间和是怎么计算出来的会有疑问，这⾥我拿123和312的⽅案来说明⼀下。
对于调度⽅案（1,2,3）作业1在机器1上完成的时间是2，在机器2上完成的时间是3作业2在机器1上完成的时间是5，在机器2上完成的时间是6作业3在机器1上完成的时间是7，在机器2上完成的时间是10所以，作业调度的完成时间和= 3 + 6 + 10这⾥我们可以思考⼀下作业i在机器2上完成的时间应该怎么去求？作业i在机器1上完成的时间是连续的，所以是直接累加就可以。
但对于机器2就会产⽣两种情况，这两种情况其实就是上图的两种情况，对于（1,2,3）的调度⽅案，在求作业2在机器2上完成的时间时，由于作业2在机器1上还没有完成，这就需要先等待机器1处理完；⽽对于（3,1,2）的调度⽅案，在求作业2在机器2上完成的时间时，作业2在机器1早已完成，⽆需等待，直接在作业1被机器1处理之后就能接着被处理。
综上，我们可以得到如下表达式if(F2[i-1] > F1[i])F2[i] = F2[i-1] + t[2][i]elseF2[i] = F1[i] + t[2][i]⼆、算法设计类Flowshop的数据成员记录解空间的结点信息，M输⼊作业时间，bestf记录当前最⼩完成时间和，数组bestx记录相应的当前最佳作业调度。
《算法设计与分析》-回溯
从n个元素的集合S中找出满 足某种性质的子集时
子集树 解空间大小: 2n
确定n个元素满足某 种性质的排列时
Add text in here too Add text in here
排列树 解空间大小: n!
满足约束条件的解，解 空间中的一个子集
可行解
最优解
可行解和 最优解
使目标函数取极值（极 大或极小）的可行解， 一个或少数几个
算法效率
如果不考虑计算当前圆排列中各圆的圆心横坐 标和计算当前圆排列长度所需的计算时间按，则 Backtrack需要O(n!)计算时间。由于算法Backtrack 在最坏情况下需要计算O(n!)次圆排列长度，每次 计算需要O(n)计算时间，从而整个算法的计算时间 复杂性为O((n+1)!) 上述算法尚有许多改进的余地。例如，像 1,2,…,n-1,n和n,n-1, …,2,1这种互为镜像的排列具 有相同的圆排列长度，只计算一个就够了，可减少 约一半的计算量。另一方面，如果所给的n个圆中 有k个圆有相同的半径，则这k个圆产生的k!个完全 相同的圆排列，只计算一个就够了。
算法设计
圆排列问题的解空间是一棵排列树。按照回溯法搜索排列树 的算法框架，设开始时a=[r1,r2,……rn]是所给的n个元的半 径，则相应的排列树由a[1:n]的所有排列构成。 解圆排列问题的回溯算法中，CirclePerm(n,a)返回找到 的最小的圆排列长度。初始时，数组a是输入的n个圆的半径 ，计算结束后返回相应于最优解的圆排列。center计算圆在 当前圆排列中的横坐标，由x^2 = sqrt((r1+r2)^2-(r1-r2)^2) 推导出x = 2*sqrt(r1*r2)。Compoute计算当前圆排列的长度 。变量min记录当前最小圆排列长度。数组r表示当前圆排列 。数组x则记录当前圆排列中各圆的圆心横坐标。 在递归算法Backtrack中，当i>n时，算法搜索至叶节点，得 到新的圆排列方案。此时算法调用Compute计算当前圆排列 的长度，适时更新当前最优值。 当i<n时，当前扩展节点位于排列树的i-1层。此时算法选 择下一个要排列的圆，并计算相应的下界函数。
回溯法_ppt课件
//h(i)表示在当前扩展节点处x[t]的第i个可选值
实 现 递 归
} }
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --;
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --; 分析：
算法设计与分析 >回溯法
5、回溯法解题步骤: 1).针对所给问题,定义问题的解空间 2).确定解空间结构. 3).以深度优先方式搜索解空间.
算法模式 Procedure BACKTRACK(n)； {k:=l； repeat if TK (x1,x2,...xK-1 )中的值未取遍 then { xK:＝TK (x1，x2，..., x K-1 )中未取过的一个值； if BK (x1, x2, ..., x K) then //状态结点(x1,...xk)被激活 if k＝n then output(x1, x2, ..., xk) //输出度优先 e1se k:＝k-l； //回溯 until k＝0； end；{BACKTRACK}
if (Constraint(t)&&Bound(t) ) Backtrack(t + 1)； if语句含义：Constraint(t)和Bound(t)表示当前扩展 节点处的约束函数和限界函数。 Constraint(t): 返回值为true时，在当前扩展节点处 x[1:t]的取值问题的约束条件，否则不满足问题的约束条 件，可剪去相应的子树 Bound(t): 返回的值为true时，在当前扩展节点处 x[1：t]的取值为时目标函数越界，还需由Backtrack(t+1) 对其相应的子树做进一步搜索。否则，当前扩展节点处 x[1：t]的取值是目标函数越界，可剪去相应的子树 for循环作用：搜索遍当前扩展的所有未搜索过的 子树。 递归出口：Backtrack(t)执行完毕，返回t-1层继续 执行，对还没有测试过的x[t-1]的值继续搜索。当t=1时， 若以测试完x[1]的所有可选值，外层调用就全部结束。
实 现 递 归
} }
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --;
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --; 分析：
算法设计与分析 >回溯法
5、回溯法解题步骤: 1).针对所给问题,定义问题的解空间 2).确定解空间结构. 3).以深度优先方式搜索解空间.
算法模式 Procedure BACKTRACK(n)； {k:=l； repeat if TK (x1,x2,...xK-1 )中的值未取遍 then { xK:＝TK (x1，x2，..., x K-1 )中未取过的一个值； if BK (x1, x2, ..., x K) then //状态结点(x1,...xk)被激活 if k＝n then output(x1, x2, ..., xk) //输出度优先 e1se k:＝k-l； //回溯 until k＝0； end；{BACKTRACK}
if (Constraint(t)&&Bound(t) ) Backtrack(t + 1)； if语句含义：Constraint(t)和Bound(t)表示当前扩展 节点处的约束函数和限界函数。 Constraint(t): 返回值为true时，在当前扩展节点处 x[1:t]的取值问题的约束条件，否则不满足问题的约束条 件，可剪去相应的子树 Bound(t): 返回的值为true时，在当前扩展节点处 x[1：t]的取值为时目标函数越界，还需由Backtrack(t+1) 对其相应的子树做进一步搜索。否则，当前扩展节点处 x[1：t]的取值是目标函数越界，可剪去相应的子树 for循环作用：搜索遍当前扩展的所有未搜索过的 子树。 递归出口：Backtrack(t)执行完毕，返回t-1层继续 执行，对还没有测试过的x[t-1]的值继续搜索。当t=1时， 若以测试完x[1]的所有可选值，外层调用就全部结束。
算法分析与设计实验报告--回溯法
算法分析与设计实验报告--回溯法实验目的：通过本次实验，掌握回溯法的基本原理和应用，能够设计出回溯法算法解决实际问题。
实验内容：1.回溯法概述回溯法全称“试探回溯法”，又称“逐步退化法”。
它是一种通过不断试图寻找问题的解，直到找到解或者穷尽所有可能的解空间技术。
回溯法的基本思路是从问题的某一个初始状态开始，搜索可行解步骤，一旦发现不满足求解条件的解就回溯到上一步，重新进行搜索，直到找到解或者所有可能的解空间已经搜索完毕。
2.回溯法的基本应用回溯法可用于求解许多 NP 问题，如 0/1 背包问题、八皇后问题、旅行商问题等。
它通常分为两种类型：一种是通过枚举所有可能的解空间来寻找解；另一种则是通过剪枝操作将搜索空间减少到若干种情况，大大减少了搜索时间。
3.回溯法的解题思路（1）问题分析：首先需要对问题进行分析，确定可行解空间和搜索策略；（2）状态表示：将问题的每一种状况表示成一个状态；（3）搜索策略：确定解空间的搜索顺序；（4）搜索过程：通过逐步试探，不断扩大搜索范围，更新当前状态；（5）终止条件：在搜索过程中，如果找到了满足要求的解，或者所有的可行解空间都已搜索完毕，就结束搜索。
4.八皇后问题八皇后问题是指在一个 8x8 的棋盘上放置八个皇后，使得任意两个皇后都不在同一行、同一列或同一对角线上。
通过回溯法可以求解出所有的可能解。
实验过程：回溯法的实现关键在于搜索空间的剪枝，避免搜索无用的解；因此，对于八皇后问题，需要建立一个二维数组来存放棋盘状态，以及一个一维数组来存放每行放置的皇后位置。
从第一行开始搜索，按照列的顺序依次判断当前的空位是否可以放置皇后，如果可以，则在相应的位置标记皇后，并递归到下一行；如果不能，则回溯到上一行，重新搜索。
当搜索到第八行时，获取一组解并返回。
代码实现：```pythondef is_valid(board, row, col):for i in range(row):if board[i] == col or abs(board[i] - col) == abs(i - row):return Falsereturn True实验结果：当 n=4 时，求得的所有可行解如下：```[[1, 3, 0, 2],[2, 0, 3, 1]]```本次实验通过实现回溯法求解八皇后问题，掌握了回溯法的基本原理和应用，并对回溯法的核心思想进行了深入理解。
算法设计与分析——回溯法
任意两个皇后不允许处在同一与棋盘边框成 45°角的斜线上，设置 数组，若a的第 个数字为 数组， 的第k个数字为 °角的斜线上，设置g数组 的第 x，则g（k）=x。要求解的 位数的第 个数字与 位数的第j个数字与 ， （ ） 。要求解的8位数的第 个数字的绝对值不等于j ）。若 第k个数字的绝对值不等于 – k（设置 > k）。若 个数字的绝对值不等于 （设置j ）。 出现： 出现：
当问题所涉及数量非常大时， 当问题所涉及数量非常大时，穷举的工作量 也就相应较大，程序运行时间也就相应较长。 也就相应较大，程序运行时间也就相应较长。为 应用穷举求解时， 此，应用穷举求解时，应根据问题的具体情况分 析归纳，寻找简化规律，精简穷举循环， 析归纳，寻找简化规律，精简穷举循环，优化穷 举策略。 举策略。
与穷举法相比，回溯法的“聪明” 与穷举法相比，回溯法的“聪明”之处在于能 适时“回头” 若再往前走不可能得到解， 适时“回头”，若再往前走不可能得到解，就回溯 退一步另找线路，这样可省去大量的无效操作。 退一步另找线路，这样可省去大量的无效操作。 因此，回溯和穷举相比，回溯更适宜于量比较大， 因此，回溯和穷举相比，回溯更适宜于量比较大， 候选解比较多的问题。 候选解比较多的问题。
printf("\n"); } void tackle(int i) { int j; for(j=1;j<=n;j++) { //列数的移动 if( (b[j]==0) && (c[i+j]==0) && (d[i-j+n]==0) ) { a[i]=j; //记录下该行的可放列 b[j]=1; //表示该列被占 c[i+j]=1; //表示某斜率为1的对角线被占 d[i-j+n]=1; //表示某斜率为-1的对角线被占 if(i<n)
计算机算法设计与分析第5章 回溯算法PPT课件
注意：同一个问题可以有多种表示，有些 表示方法更简单，所需表示的状态空间更 小（存储量少，搜索方法简单）。
22.09.2020
15
5.1.1 问题的解空间
为了用回溯法求解一个具有n个输入的问题，一 般情况下，将其可能解表示为满足某个约束条 件的等长向量X=(x1, x2, …, xn)，其中分量xi (1≤i≤n) 的取值范围是某个有限集合Si={ai1, ai2, …, airi}， 所有可能的解向量构成了问题的解空间。
22.09.2020
2
提纲
一、回溯法的算法框架 二、装载问题 三、n后问题 四、0-1背包问题 五、最大团问题 六、图的m着色问题 七、旅行售货员问题
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3
提纲
一、回溯法的算法框架 二、装载问题 三、n后问题 四、0-1背包问题 五、最大团问题 六、图的m着色问题 七、旅行售货员问题
17
2 旅行售货员问题
问题描述：某售货员 要到若干城市去推销 商品，一直各城市之 间的路程，他要选定 一条从驻地出发，经 过每个城市一遍，最 后回到住地的路线， 使总的路程最短。
(a) 二维搜索空间无解
(b) 三维搜索空间的解
错误的解空间将不能搜索到正确答案！
22.09.2020
13
5.1.1 问题的解空间
对于任何一个问题，可能解的表示方式和它相应的 解释隐含了解空间及其大小。
例如，对于有n个物品的0/1背包问题，其可能解的 表示方式可以有以下两种：
（1）可能解由一个不等长向量组成，当物品i(1≤i≤n)装入 背包时，解向量中包含分量i，否则，解向量中不包含分 量i，当n=3时，其解空间是：
计算机算法设计与分析
Design and Analysis of Computer Algorithms
22.09.2020
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5.1.1 问题的解空间
为了用回溯法求解一个具有n个输入的问题，一 般情况下，将其可能解表示为满足某个约束条 件的等长向量X=(x1, x2, …, xn)，其中分量xi (1≤i≤n) 的取值范围是某个有限集合Si={ai1, ai2, …, airi}， 所有可能的解向量构成了问题的解空间。
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提纲
一、回溯法的算法框架 二、装载问题 三、n后问题 四、0-1背包问题 五、最大团问题 六、图的m着色问题 七、旅行售货员问题
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提纲
一、回溯法的算法框架 二、装载问题 三、n后问题 四、0-1背包问题 五、最大团问题 六、图的m着色问题 七、旅行售货员问题
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2 旅行售货员问题
问题描述：某售货员 要到若干城市去推销 商品，一直各城市之 间的路程，他要选定 一条从驻地出发，经 过每个城市一遍，最 后回到住地的路线， 使总的路程最短。
(a) 二维搜索空间无解
(b) 三维搜索空间的解
错误的解空间将不能搜索到正确答案！
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5.1.1 问题的解空间
对于任何一个问题，可能解的表示方式和它相应的 解释隐含了解空间及其大小。
例如，对于有n个物品的0/1背包问题，其可能解的 表示方式可以有以下两种：
（1）可能解由一个不等长向量组成，当物品i(1≤i≤n)装入 背包时，解向量中包含分量i，否则，解向量中不包含分 量i，当n=3时，其解空间是：
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Design and Analysis of Computer Algorithms
算法设计与分析 第2版 第5章-回溯法
实际上，有些问题的解空间因过于复杂或状态过多难以画出来。
5.1.2 什么是回溯法
在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略， 从根结点（开始结点）出发搜索解空间树。
当从状态si搜索到状态si+1后，如果si+1变为死结点，则从状态si+1 回退到si，再从si找其他可能的路径，所以回溯法体现出走不通就退回 再走的思路。
10
LM
G
10
NO
{a,b,c} {a,b} {a, c} {a} {b,c} {b} {c} { }
排列树：当所给的问题是确定n个元素满足某种性质的排列时，相应
的解空间树称为排列树。
注意：问题的解空间树是虚拟的，并不需要在算法运行时构造一棵
真正的树结构，然后再在该解空间树中搜索问题的解，而是只存储从根结 点到当前结点的路径。
输出结果;
else
{ for (j=下界;j<=上界;j++) //用j枚举i所有可能的路径
{ x[i]=j;
//产生一个可能的解分量
…
//其他操作
if (constraint(i) && bound(i))
backtrack(i+1);
//满足约束条件和限界函数,继续下一层
}
}
}
【例5.3】有一个含n个整数的数组a，所有元素均不相同，设
输出x;
else i++;
//进入下一层次
}
}
}
else i--;
//回溯：不存在子结点，返回上一层
}
}
2. 递归的算法框架
（1）解空间为子集树
int x[n];
5.1.2 什么是回溯法
在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略， 从根结点（开始结点）出发搜索解空间树。
当从状态si搜索到状态si+1后，如果si+1变为死结点，则从状态si+1 回退到si，再从si找其他可能的路径，所以回溯法体现出走不通就退回 再走的思路。
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LM
G
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NO
{a,b,c} {a,b} {a, c} {a} {b,c} {b} {c} { }
排列树：当所给的问题是确定n个元素满足某种性质的排列时，相应
的解空间树称为排列树。
注意：问题的解空间树是虚拟的，并不需要在算法运行时构造一棵
真正的树结构，然后再在该解空间树中搜索问题的解，而是只存储从根结 点到当前结点的路径。
输出结果;
else
{ for (j=下界;j<=上界;j++) //用j枚举i所有可能的路径
{ x[i]=j;
//产生一个可能的解分量
…
//其他操作
if (constraint(i) && bound(i))
backtrack(i+1);
//满足约束条件和限界函数,继续下一层
}
}
}
【例5.3】有一个含n个整数的数组a，所有元素均不相同，设
输出x;
else i++;
//进入下一层次
}
}
}
else i--;
//回溯：不存在子结点，返回上一层
}
}
2. 递归的算法框架
（1）解空间为子集树
int x[n];
第五章 回溯法1--基本概念--n后问题
1 6 4 3 20 4 3 30 5 A A 2 10 2 1
B
3 4
C
4 G G 3 M M 2 H H 4 N N
D D
4 26>25 2 I I 3 P P 2 J J
E
3
图1 四个顶点的带权图
F
4 L L 59
K
2 Q Q
O
60+6>59 25
第五章 回溯法
19+6=25 29+30>25
活结点 当前扩展结点 死结点 D B 1 A
0 1 F 0
K
45
1
0
E
C 0 G 0 1 N
25
死结点 1
1
H
0
I
1
J
0 O
0
4
L
50
M
25
图5-２ 在0-1背包问题的解空间树上搜索最优解
第五章 回溯法
例2：旅行售货员问题：某售货员要到若干城市推销商 品，已知各城市间的路程（或旅费）。他要选一条从 驻地出发，经过每个城市一遍，最后回到驻地的路线 使总的路程（总的旅费）最小。
第五章 回溯法 2
2. 解空间树
通常把解空间组织成解空间树。 例如：对于n=3时的0-1背包问题，其解空间用一 棵完全二叉树表示，如下图所示。
1
A
0
B
1 0 1
C
0
D 1 H
0 1
E
0
F
1 0 1
G
0
I
J
K
L
M
N
O
0-1背包问题的解空间树
第五章 回溯法
3
3. 搜索解空间树的过程
B
3 4
C
4 G G 3 M M 2 H H 4 N N
D D
4 26>25 2 I I 3 P P 2 J J
E
3
图1 四个顶点的带权图
F
4 L L 59
K
2 Q Q
O
60+6>59 25
第五章 回溯法
19+6=25 29+30>25
活结点 当前扩展结点 死结点 D B 1 A
0 1 F 0
K
45
1
0
E
C 0 G 0 1 N
25
死结点 1
1
H
0
I
1
J
0 O
0
4
L
50
M
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图5-２ 在0-1背包问题的解空间树上搜索最优解
第五章 回溯法
例2：旅行售货员问题：某售货员要到若干城市推销商 品，已知各城市间的路程（或旅费）。他要选一条从 驻地出发，经过每个城市一遍，最后回到驻地的路线 使总的路程（总的旅费）最小。
第五章 回溯法 2
2. 解空间树
通常把解空间组织成解空间树。 例如：对于n=3时的0-1背包问题，其解空间用一 棵完全二叉树表示，如下图所示。
1
A
0
B
1 0 1
C
0
D 1 H
0 1
E
0
F
1 0 1
G
0
I
J
K
L
M
N
O
0-1背包问题的解空间树
第五章 回溯法
3
3. 搜索解空间树的过程
第5章 回溯法
◎四川师范大学 计算机科学学院 刘芳 27
算法设计与分析<<回溯法
小结
回溯法解题的特征
在深度优先搜索过程中动态产生问题的解空间。 几个术语
扩展结点:一个正在产生儿子的结点称为扩展结点 活结点:一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的
结点称做活结点 死结点:一个所有儿子已经产生的结点称做死结点。
有限集, 设已有满足约束条件的部分解(x1, x2,… xi)添 加xi+1 si+1,
若(x1, x2,… xi xi+1)满足约束条件, 则继续添加xi+2 ； 若所有可能的xi+1 si+1均不满足约束条件,则去掉xi ,
回溯到(x1, x2,… xi-1), 添加尚未考虑过的xi；
回溯法 分支限界法
◎四川师范大学 计算机科学学院 刘芳 3
算法设计与分析<<回溯法
问题的解空间
问题的解向量：
问题的解可以表示成一个n元式(x1, x2,… xn)的形式。
问题的解空间
E={(x1, x2,… xn)| xi si , si为有限集 }称为问题的解空
间
约束条件
分析：
可能解由一个等长向量（x1, x2, …, xn）组成， 其中 如：
xi＝1(1≤i≤n)表示物品i装入背包 xi＝0(1≤i≤n)表示物品i没有装入背包 当n＝3时，其解空间是：
{ (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1) }
骤，而每一个步骤都有若干种可能的分支，为了完成 这一过程，又必须遵守一些规则，
算法设计与分析<<回溯法
小结
回溯法解题的特征
在深度优先搜索过程中动态产生问题的解空间。 几个术语
扩展结点:一个正在产生儿子的结点称为扩展结点 活结点:一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的
结点称做活结点 死结点:一个所有儿子已经产生的结点称做死结点。
有限集, 设已有满足约束条件的部分解(x1, x2,… xi)添 加xi+1 si+1,
若(x1, x2,… xi xi+1)满足约束条件, 则继续添加xi+2 ； 若所有可能的xi+1 si+1均不满足约束条件,则去掉xi ,
回溯到(x1, x2,… xi-1), 添加尚未考虑过的xi；
回溯法 分支限界法
◎四川师范大学 计算机科学学院 刘芳 3
算法设计与分析<<回溯法
问题的解空间
问题的解向量：
问题的解可以表示成一个n元式(x1, x2,… xn)的形式。
问题的解空间
E={(x1, x2,… xn)| xi si , si为有限集 }称为问题的解空
间
约束条件
分析：
可能解由一个等长向量（x1, x2, …, xn）组成， 其中 如：
xi＝1(1≤i≤n)表示物品i装入背包 xi＝0(1≤i≤n)表示物品i没有装入背包 当n＝3时，其解空间是：
{ (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1) }
骤，而每一个步骤都有若干种可能的分支，为了完成 这一过程，又必须遵守一些规则，
算法设计与分析课件--回溯法-作业调度问题
❖ 计算任务由计算机的中央处理器完成，打印输出任务 由打印机完成。
❖ 计算机处理器是机器1，打印机是机器2。
5
5.4 作业调度问题
tmi 作业J1 作业J2 作业J3
机器m1 2 3 2
机器m2 1 1 3
调度一：1, 2, 3
F11=2 F21=3 F12=5 F22=5+1=6 F13=7 F23=7+3=10 f = F21+F22+F23 = 19
cf<bestf，限界条件满 K L
足，扩展生成的结点
J成为活结点。
24
5.4 作业调度问题
tmi 机器m1 机器m2
作业J1
2
1
作业J2
3
作业J3
2
1
A
3
x1=1 x1=2
B
C
x1=3 D
◼ 沿着结点 J 的x3=1 x2=2 x2=3 x2=1 x2=3 x2=1 x2=2
的分支扩展：
E
FG
H
//更新完成时间之和
if (f < bestf)
//判断与当前最优解之间的关系
Swap(x[i], x[j]);
//将j位置上的任务序号与i位置上的互换
backtrack(i+1);
//递归进行下一层的调度
Swap(x[i], x[j]);
//回溯，还原，执行第i层的下一个任务
f1 f1 - M[x[j]][1]; //出栈要回溯到父亲节点，先恢复数据；
K
L
❖此 时 ， 找 到 比 先 前 更 优 的 一 种 调 度 方 案 (1,3,2) ， 修 改 bestf=18 。
14
❖ 计算机处理器是机器1，打印机是机器2。
5
5.4 作业调度问题
tmi 作业J1 作业J2 作业J3
机器m1 2 3 2
机器m2 1 1 3
调度一：1, 2, 3
F11=2 F21=3 F12=5 F22=5+1=6 F13=7 F23=7+3=10 f = F21+F22+F23 = 19
cf<bestf，限界条件满 K L
足，扩展生成的结点
J成为活结点。
24
5.4 作业调度问题
tmi 机器m1 机器m2
作业J1
2
1
作业J2
3
作业J3
2
1
A
3
x1=1 x1=2
B
C
x1=3 D
◼ 沿着结点 J 的x3=1 x2=2 x2=3 x2=1 x2=3 x2=1 x2=2
的分支扩展：
E
FG
H
//更新完成时间之和
if (f < bestf)
//判断与当前最优解之间的关系
Swap(x[i], x[j]);
//将j位置上的任务序号与i位置上的互换
backtrack(i+1);
//递归进行下一层的调度
Swap(x[i], x[j]);
//回溯，还原，执行第i层的下一个任务
f1 f1 - M[x[j]][1]; //出栈要回溯到父亲节点，先恢复数据；
K
L
❖此 时 ， 找 到 比 先 前 更 优 的 一 种 调 度 方 案 (1,3,2) ， 修 改 bestf=18 。
14
算法分析与设计回溯法ppt课件
上图显示了在4-皇后问题中求上述一个解的树的实际生成 部分。结点按它们生成的次序被编号。由限界函数所杀死 的结点则在其下方写上B。
回溯法的算法
算法的三个步骤：
针对所给问题，定义问题的解空间；
应用回溯法解问题时，首先应明确定义问题的 解空间。问题的解空间应至少包含问题的一个 （最优）解。
确定易于搜索的解空间结构； 以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜
索过程中用剪枝函数避免无效搜索；
回溯算法的形式描述
假设回溯算法要找出所有的答案结点而不是仅 仅只找出一个。 ① 设(x1,x2,…,xi-1)是状态空间树中由根到一个 结点(问题状态)的路径。 ② T(x1,x2,…,xi-1)是下述所有结点的xi的集合， 它使得对于每一个xi, (x1,x2,…,xi)是一条由 根到结点xi的路径 ③ 存在一些限界函数Bi(可以表示成一些谓词)， 如果路径(x1,x2,…,xi)不可能延伸到一个答案 结点，则Bi(x1,x2,…,xi)取假值，否则取真值。
问题求解的方法
硬性处理法
列出所有候选解，逐个检查是否为所需要的解 理论上，候选解数量有限，并且通过检查所有或部分
候选解能够得到所需解时，上述方法可行
实际中则很少使用，因为候选解的数量通常都非常大 （比如指数级，甚至是大数阶乘），即便采用最快的 计算机也只能解决规模较小的问题。
回溯或分枝限界法
避免对很大的候选解集合进行完全检查 大大减少问题的求解时间 通常用来求解规模较大的问题
回溯法求解的经典问题（1） 8-皇后问题
在一个8*8棋盘上放置8个皇后，且使得每两个 之间都不能互相“攻击”，也就是使得每两个 都不能在同一行、同一列及同一条斜角线上。
8皇后问题的解可以表示为8-元组(x1,…,x8) ， 其中其中xi是第i行皇后所在的列号。
回溯法的算法
算法的三个步骤：
针对所给问题，定义问题的解空间；
应用回溯法解问题时，首先应明确定义问题的 解空间。问题的解空间应至少包含问题的一个 （最优）解。
确定易于搜索的解空间结构； 以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜
索过程中用剪枝函数避免无效搜索；
回溯算法的形式描述
假设回溯算法要找出所有的答案结点而不是仅 仅只找出一个。 ① 设(x1,x2,…,xi-1)是状态空间树中由根到一个 结点(问题状态)的路径。 ② T(x1,x2,…,xi-1)是下述所有结点的xi的集合， 它使得对于每一个xi, (x1,x2,…,xi)是一条由 根到结点xi的路径 ③ 存在一些限界函数Bi(可以表示成一些谓词)， 如果路径(x1,x2,…,xi)不可能延伸到一个答案 结点，则Bi(x1,x2,…,xi)取假值，否则取真值。
问题求解的方法
硬性处理法
列出所有候选解，逐个检查是否为所需要的解 理论上，候选解数量有限，并且通过检查所有或部分
候选解能够得到所需解时，上述方法可行
实际中则很少使用，因为候选解的数量通常都非常大 （比如指数级，甚至是大数阶乘），即便采用最快的 计算机也只能解决规模较小的问题。
回溯或分枝限界法
避免对很大的候选解集合进行完全检查 大大减少问题的求解时间 通常用来求解规模较大的问题
回溯法求解的经典问题（1） 8-皇后问题
在一个8*8棋盘上放置8个皇后，且使得每两个 之间都不能互相“攻击”，也就是使得每两个 都不能在同一行、同一列及同一条斜角线上。
8皇后问题的解可以表示为8-元组(x1,…,x8) ， 其中其中xi是第i行皇后所在的列号。
算法分析与设计之回溯法
2、形式化描述 类型说明: TYPE MAN=1..N ； WOMAN=1..N ； RANK=1..N； 这个问题的输入信息是两个n阶方矩阵MR和WR。 VAR MR: ARRAY[MAN,RANK] OF WOMAN; WR: ARRAY[WOMAN,RANK] OF MAN: 以n=8为例,有如下两个8阶方阵
13 2
8 19
一、算法思想
1、基本思想 为解决某个问题，逐次尝试解的各个部分, 并加以 记录, 组成部分解。当发现某部分导致失败, 则将 之从部分解中删除, 回溯再作新的尝试, 直至成功 或穷尽所有的可能而报告失败。 试探----纠错 回溯---尝试
2、求解过程
a)回溯法对任一解的生成，一般都采用逐步扩大解的方式， 每进行一步，都试图在当前部分解的基础上扩大部分解。 b)扩大时，首先检查扩大后是否违反了约束条件，若不违反， 则扩大之，然后在此基础上，按类似方法，直至成为完全解。 若违反，则放弃该步以及它所生成的部分解，然后按类似方 法尝试其他可能的扩大方式，若都违反，则回溯到上一层， 然后按类似方法尝试其他可能的扩大方式，此时，若发现已 尝试过所有方式，则结束，表示该解的生成失效。
实例2 求解稳定婚姻序对问题
定义 假定两个不相交的集合A和B含有的元素个数 都是n, 要确定n个有序对<a, b>, a∈A, b∈B, 这n 个有序对要满足某种限制。限制可以是多种多样的, 其中有一种就是所谓的“稳定婚姻条件”。满足 “稳定婚姻条件” 的序对为稳定婚姻序对。
?如何组成稳定的n对夫妇呢？
四个矩阵MR，WR， MW和WM中只有两个是独立的。现 在可以将不稳定婚姻情况形式化如下：存在a∈A, b∈B, 输出 中有这样两个有序对<a, b’>和<a’, b>(即a’和b’不是夫妇), 如果下述两个不等式都成立 , 则包含有序对<a, b’>和<a’, b> 的输出为不稳定婚姻, MW[a’, b’]<MW[a’, b] (1) WM[b’, a’]<WM[b’, a] (2) 如不存在这样的a’和b’ ，则输出的n个有序对就是稳定的婚姻。
(算法分析设计)第5章回溯法
展结点就成为死结点。此时，应往回移动（回溯）到最近
的活结点处，并使该结点成为当前的扩展结点。
– 回溯法按上述方式递归地在解空间中搜索，直到找到所 要求的解或解空间中无活结点为止。
7
实例分析
• n=3的0-1背包问题
– w=[16,15,15] – p=[45,25,25] – c=30
8
解空间为：
• 问题的解空间 • 回溯法的基本思想 • 递归回溯 • 迭代回溯 • 子集树与排列树
4
问题的解空间
• 解空间
– 应明确问题的解空间的定义
• 问题的解空间至少应包含问题的一个（最优解）。
– 对问题解空间进行组织
• 通常组织为树或图的形式。 ——有利于回溯法对整个解空间的搜索
5
知识点
• 问题的解空间 • 回溯法的基本思想 • 递归回溯 • 迭代回溯 • 子集树与排列树
backtrack(t+1);
32
旅行商问题（TSP）
１ 6
30 ２
5 10
4
３
４
20
4顶点的无向带权图
Ａ
1
Ｂ
23
4
Ｃ
Ｄ
3
42
4
Ｅ
2
3
Ｆ Ｇ Ｈ ＩＪ Ｋ
4
3
4
23
2
Ｌ Ｍ Ｎ ＯＰ Ｑ
n=4的TSP问题的解空间树（排列树）
33
排列树
• 排列树
– 当所给问题是确定ｎ个元素满足某种性质的排 列时，相应的解空间树被称为排列树．
的子树不可能包含更优的解，剪去。
46
#include <iostream.h> #include <iomanip.h> const int n=4; //图的顶点数
的活结点处，并使该结点成为当前的扩展结点。
– 回溯法按上述方式递归地在解空间中搜索，直到找到所 要求的解或解空间中无活结点为止。
7
实例分析
• n=3的0-1背包问题
– w=[16,15,15] – p=[45,25,25] – c=30
8
解空间为：
• 问题的解空间 • 回溯法的基本思想 • 递归回溯 • 迭代回溯 • 子集树与排列树
4
问题的解空间
• 解空间
– 应明确问题的解空间的定义
• 问题的解空间至少应包含问题的一个（最优解）。
– 对问题解空间进行组织
• 通常组织为树或图的形式。 ——有利于回溯法对整个解空间的搜索
5
知识点
• 问题的解空间 • 回溯法的基本思想 • 递归回溯 • 迭代回溯 • 子集树与排列树
backtrack(t+1);
32
旅行商问题（TSP）
１ 6
30 ２
5 10
4
３
４
20
4顶点的无向带权图
Ａ
1
Ｂ
23
4
Ｃ
Ｄ
3
42
4
Ｅ
2
3
Ｆ Ｇ Ｈ ＩＪ Ｋ
4
3
4
23
2
Ｌ Ｍ Ｎ ＯＰ Ｑ
n=4的TSP问题的解空间树（排列树）
33
排列树
• 排列树
– 当所给问题是确定ｎ个元素满足某种性质的排 列时，相应的解空间树被称为排列树．
的子树不可能包含更优的解，剪去。
46
#include <iostream.h> #include <iomanip.h> const int n=4; //图的顶点数
计算机算法设计与分析第5章回溯法
{
}
//形参t表示递归深度，n是问题规模 if (t>n) output(x); //搜索到一个叶结点 else for (int i=f(n,t);i<=g(n,t);i++) { x[t]=h(i); if (constraint(t) && bound(t)) backtrack(t+1); }
2.回溯法的基本思想 例1： 0-1背包
• 由于从K已无法纵深扩展，故K成为一个 死结点，所以返回（回溯）至E（离K最 近的一个活结点）。 • 而E也没有可扩展的结点，也成为了死 结点。接下来，再继续回溯，返回至B 处，同样B也成为死结点。再返回 A，从 A可扩展移至C。 • 从A移至C，r=30,获取价值0。
• 如，对于有n个可选择物品的0-1背包问题， 其解空间由长度为n的0-1向量组成。 • 对于n元式(x1,x2,…,xn)形式的解： • 对分量xi的取值约束条件， xi=0 or 1。
7
5.1 回溯法的算法框架
1.问题的解空间
• 解空间：对于问题的一个实例，满足约 束条件的所有多元组(解向量)，构成了 该实例的一个解空间。
全部生成的节点称做活结点。 • 扩展结点:一个正在产生儿子的结点称为 扩展结点。
12
5.1 回溯法的算法框架
2.回溯法的基本思想
• 在当前扩展结点处，搜索向纵深方向移 至一个新结点。这个新结点就成为一个 新的活结点，并成为当前扩展结点。 • 如果在当前扩展结点处不能再向纵深方 向移动，则当前扩展结点就成为死结点。 • 死结点:一个所有儿子已经全部产生的结
21
2.回溯法的基本思想 例2： 旅行售货员问题
• 设G=(V,E)是一个带权图。图中各边的费 用（权）为一正数。图中一条周游路线是 包括V中每个顶点在内的一条回路。其费 用就是该路线上所有边的费用总和。 • 所谓旅行售货员问题就是要在图G中找出 一条有最小费用的周游路线。
回溯法 ppt课件
回溯法举例：
[旅行商问题] 在这个问题中 ，给出一个n 顶点网络（有向 或无向） ，要求找出一个包含所有n 个顶点的具有最小耗 费的环路 。任何一个包含网络中所有n 个顶点的环路被称 作一个旅行（t o u r ）。在旅行商问题中 ，要设法找到一 条最小耗费的旅行。 [分析]图给出了一个四顶点网络 。在这个网络中 ，一些旅
Bound(t) : 返回的值为true时 ， 在当前扩展节点处 x[1： t]的取值为时 目标函数越界 ， 还需由Backtrack(t+1) 对其相应的子树做进一步搜索 。否则 ， 当前扩展节点处 x[1： t]的取值是目标函数越界 ，可剪去相应的子树
for循环作用： 搜索遍当前扩展的所有未搜索过的 子树。
si+1均不满足约束条件,则去掉xi , 回溯到(x 1 , x 2 , … xi-1), 添加尚 未考虑过的xi , 如此反复进行,直到(x1 , x2 , … xk) k n满足所有的 约束条件或证明无解.
E= { (x1 , x2 , … xn), xi si , si为有限集 }称为问题的解空间.
5. 1 回溯法基本思想
穷举法技术建议我们先生成所有的候选解 ， 然后找出那个 具有需要特性的元素
1 、 回溯法主要思想是每次只构造解的一个分量 ，然后按照 鲜明的方法来评估这个部分构造解 。如果一个部分构造解可以进一 步构造而不会违反问题的约束 ， 我们就接受对下一个分量所作的第 一个合法选择 。如果无法对下一个分量进行合法的选择 ， 就不对剩 下的任何分量再做任何选择了 。在这种情况下 ，该算法进行回溯 ， 把部分构造解的最后一个分量替换为它的下一个选择。
算法模式 Procedure BACKTRACK (n)； {k := l；
《算法设计与分析》-第五章 回溯法
回溯法的应用—n后问题 后问题
例1(8-皇问题)
皇问题) 例1(8-皇问题) ( 皇问题
在8×8的棋盘上放置8个皇后,使得这8个皇 后不在同一行,同一列及同一斜角线上.如下 1 2 3 4 5 6 7 8 图6.1: Q
1 2 3 4 5 6 7 8
Q Q Q Q Q Q Q
5.1 回溯法的基本思想
(1)解空间 设问题的解向量为X=(x1,x2,…,xn) ,xi的取值范 围为有穷集Si .把xi的所有可能取值组合,称 为问题的解空间.每一个组合是问题的一个可 能解.
5.1 回溯法的基本思想
(1)解空间 例:0/1背包问题,S={0,1},当n=3时,0/1背 包问题的解空间是: {(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1, 1,0),(1,1,1)} 当输入规模为n时,有2n种可能的解.
A 2 C 3 F 4 L 4 2 G H 3 4 M N 1 B 3 D
4 4 I 2 O E 2 J 3 P 3 K 2 Q
----排列树 解空间大小: n!
5.1 回溯法的基本思想
(3)状态空间树的动态搜索
可行解和最优解: 可行解:满足约束条件的解,解空间中的一个子集 最优解:使目标函数取极值(极大或极小)的可行解,一 个或少数几个 例:货郎担问题,有nn种可能解. n!种可行解,只有一个或 几个解是最优解. 例:背包问题,有2n种可能解,有些是可行解,只有一个或 几个是最优解. 有些问题,只要可行解,不需要最优解,例如八后问题.
5.1 回溯法的基本思想
回溯法(backtracking)是一种系统地搜索问 题解的方法.为实现回溯,首先需要定义一个 解空间(solution space),然后以易于搜索 的方式组织解空间,最后用深度优先的方法搜 索解空间,获得问题的解.
例1(8-皇问题)
皇问题) 例1(8-皇问题) ( 皇问题
在8×8的棋盘上放置8个皇后,使得这8个皇 后不在同一行,同一列及同一斜角线上.如下 1 2 3 4 5 6 7 8 图6.1: Q
1 2 3 4 5 6 7 8
Q Q Q Q Q Q Q
5.1 回溯法的基本思想
(1)解空间 设问题的解向量为X=(x1,x2,…,xn) ,xi的取值范 围为有穷集Si .把xi的所有可能取值组合,称 为问题的解空间.每一个组合是问题的一个可 能解.
5.1 回溯法的基本思想
(1)解空间 例:0/1背包问题,S={0,1},当n=3时,0/1背 包问题的解空间是: {(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1, 1,0),(1,1,1)} 当输入规模为n时,有2n种可能的解.
A 2 C 3 F 4 L 4 2 G H 3 4 M N 1 B 3 D
4 4 I 2 O E 2 J 3 P 3 K 2 Q
----排列树 解空间大小: n!
5.1 回溯法的基本思想
(3)状态空间树的动态搜索
可行解和最优解: 可行解:满足约束条件的解,解空间中的一个子集 最优解:使目标函数取极值(极大或极小)的可行解,一 个或少数几个 例:货郎担问题,有nn种可能解. n!种可行解,只有一个或 几个解是最优解. 例:背包问题,有2n种可能解,有些是可行解,只有一个或 几个是最优解. 有些问题,只要可行解,不需要最优解,例如八后问题.
5.1 回溯法的基本思想
回溯法(backtracking)是一种系统地搜索问 题解的方法.为实现回溯,首先需要定义一个 解空间(solution space),然后以易于搜索 的方式组织解空间,最后用深度优先的方法搜 索解空间,获得问题的解.
湘潭大学算法设计与分析第五章回溯法幻灯片PPT
1,2,…,n层。那么每层的可扩展结点数目依次 为：n, n(n-1), n(n-1)(n-2),……, n(n1)……2, n!，设总的结点数目为S(n)，那么 有
S(n)= ∑n!/(k!)，故 2n!≤S(n)≤3n! 故时间复杂度为O(n!)。
N后问题
要求在一个n×n的棋盘上放置n个皇后，使得 她们彼此不受攻击。
else if (a is good) {record(a);
if (a is goal) {unfinish =
false; output( );}
Sons(a)
else if (a has sons) L.Push-
else move-off(a);}}}
不可承受的结点
破坏了解的相容条件的结点 超出了状态空间的范围，或者说不满足
其中，深度优先搜索就是回溯法。
回溯法的形式化描述
假设能够用n元组〔x1,x2,…,xn〕表示一个给定的问 题P的解，其中xi∈集合Si；n元组的子组 〔 x1,x2,…,xi 〕〔i<n〕，如果它满足一定的约束 条件，那么称为局部解。
如果它已经是满足约束条件的局部解，那么添加 xi+1∈Si+1形成新的子组〔 x1,x2,…,xi ,xi+1 〕并 检查它是否满足约束条件，假设满足那么继续添加 xi+2∈Si+2，并以此类推。如果所有的xi+1∈Si+1都 不满足约束条件，那么去掉xi+1，回溯到xi的位置， 并去掉当前的xi，另选一个xi’∈Si，组成新的子组 〔 x1,x2,…,xi’ 〕并判断其是否满足约束条件。
但是在求解问题时，需要记录解的路径，在回 溯时还需要删除结点和修改相应的信息。
栈中的结点是分层次的，而现在没有区分它们 的层次。这就增加了回溯判断和操作的困难。
S(n)= ∑n!/(k!)，故 2n!≤S(n)≤3n! 故时间复杂度为O(n!)。
N后问题
要求在一个n×n的棋盘上放置n个皇后，使得 她们彼此不受攻击。
else if (a is good) {record(a);
if (a is goal) {unfinish =
false; output( );}
Sons(a)
else if (a has sons) L.Push-
else move-off(a);}}}
不可承受的结点
破坏了解的相容条件的结点 超出了状态空间的范围，或者说不满足
其中，深度优先搜索就是回溯法。
回溯法的形式化描述
假设能够用n元组〔x1,x2,…,xn〕表示一个给定的问 题P的解，其中xi∈集合Si；n元组的子组 〔 x1,x2,…,xi 〕〔i<n〕，如果它满足一定的约束 条件，那么称为局部解。
如果它已经是满足约束条件的局部解，那么添加 xi+1∈Si+1形成新的子组〔 x1,x2,…,xi ,xi+1 〕并 检查它是否满足约束条件，假设满足那么继续添加 xi+2∈Si+2，并以此类推。如果所有的xi+1∈Si+1都 不满足约束条件，那么去掉xi+1，回溯到xi的位置， 并去掉当前的xi，另选一个xi’∈Si，组成新的子组 〔 x1,x2,…,xi’ 〕并判断其是否满足约束条件。
但是在求解问题时，需要记录解的路径，在回 溯时还需要删除结点和修改相应的信息。
栈中的结点是分层次的，而现在没有区分它们 的层次。这就增加了回溯判断和操作的困难。
算法设计与分析课件--回溯法-算法框架
32
5.2 回溯法算法框架
解空间： • 对于待求解问题，满足约束的所有解构成了 该问题的一个解空间 (Solution Space)。 • 通常情况下，解空间越小，算法的搜索效率 越高。 • 为了方便搜索，一般用树或图的形式将问题 的解空间有效地组织起来。
• 解空间树： • 三种解空间树：子集树、排列树、满m叉树。
5.1 搜索概述
搜索法： • 假设问题的初始状态、目标状态和算法定义都已确定， 那么问题的解空间就是确定的。问题的求解就是指如 何有效地搜索这个确定的解空间，从中找出问题的真 正解。 • 包括穷举搜索、深度优先搜索、广度优先搜索等。
5
5.1 搜索概述-穷举法
穷举搜索思想：
• 针对问题的可能解是有限种的情况，逐一检查所有可 能的情况，从中找到问题真正的解。
19
5.2 回溯法算法框架
回溯法的搜索思想： • 搜索过程直到找到问题的解或根结点变成死结
点为止。 • 递归式搜索 或 迭代式搜索。
20
5.2 回溯法算法框架
• 举例：0-1背包问题: 1.A是活节点
• w = (16, 15, 15)，v = (45, 25, 25)，W = 30 2.选择B扩展后，B 变为当前扩展结点。 A和B都是活结点
34
5.2 回溯法算法框架
子集树：
• 初始状态（根）、中间状态（中间）、结束状态（叶子）。
• 树中从根到叶子的路径描述了一个n元0-1向量，该n元 0-1向量表示集合S的一个子集，这个子集由对应分量 为1的元素组成。如(1,0,1,1,0) 表示子集{x1,x3,x4}
35
5.2 回溯法算法框架
17
5.2 回溯法算法框架
深度优先的问题状态生成法：在一个扩展结点变成 死结点之前，它一直是扩展结点。
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n后问题算法的描述如下:
1. void n_queens(int n,int x[]) 2. { 3. int k = 1; /* k:搜索深度 */ : 4. x[1] = 0; 5. while (k>0) { 6. x[k] = x[k] + 1; /* 在当前列加 的位置开始搜索 */ 在当前列加1的位置开始搜索 7. while ((x[k]<=n)&&(!place(x,k))) /* 当前列位置是否满足条件 */ 8. x[k] = x[k] + 1; /* 不满足条件 继续搜索下一列位置 */ 不满足条件,继续搜索下一列位置 9. if (x[k]<=n) { /* 存在满足条件的列 */ 存在满足条件的列? 10. if (k==n) break; /* 是最后一个皇后 完成搜索 */ 是最后一个皇后,完成搜索 11. else { 12. k = k + 1; x[k] = 0; /* 不是 则处理下一个行皇后 */ 不是,则处理下一个行皇后 13. } 14. } 15. else { /* 已判断完 列,均没有满足条件 */ 已判断完n列 均没有满足条件 16. x[k] = 0; k = k – 1; /* 第k行复位为 回溯到前一行 */ 行复位为0,回溯到前一行 行复位为 17. } 18. } 19. }
–
}
5.2 回溯法的算法框架
用回溯法搜索排列树的一般解法:
– –
Void traceback(int t) {
If(t>n) output(x); Else for(i=t;i<=n;i++){ swap(x[t],x[i]); if(constraint(t)&&bound(t)) backtrack(t+1); swap(x[i],x[t]); }
5.1 回溯法的基本思想
(2)状态空间树:问题解空间的树形式表示 例:n=3, 0/1背包问题的状态空间树.
1 1 D 1 H 0 I 1 J B 0 E 0 K 1 L 1 F M 1 N A 0 C 0 G 0 O
----子集树 解空间大小: 2n
5.1 回溯法的基本思想
(2)状态空间树:问题解空间的树形式表示 例:n=4, 旅行商问题的状态空间树.
void backtrack(int i){ if(i>n){ if(cw>bestw) bestw=cw; return; } if(cw+w[i]<=c){ cw+=w[i]; backtrack(i+1); cw-=w[i]; } backtrack(i+1); }
5.5 回溯法的应用 回溯法的应用—0/1背包问题 背包问题
回溯法(backtracking) 第五章 回溯法
5.1 回溯法的基本思想 5.2 回溯法的算法框架 5.3 回溯法的应用—n后问题 5.4 回溯法的应用—装载问题
回溯法(Backtracking) 第五章 回溯法
回溯法和分支限界法都是通过系统地搜索解空 间树而求得问题解的搜索算法. 在系统地检查解空间的过程中,抛弃那些不可 能导致合法解的候选解,从而使求解时间大大 缩短.(与蛮干算法相区别) 回溯法以深度优先的方式搜索解空间,而分支 限界法以广度优先或最小耗费(最大收益)的 方式搜索解空间.
}
–
}
5.2 回溯法的算法框架
用回溯法搜索子集树的一般解法:
– –
Void backtrack(int t) {
If(t>n) output(x); Else for(i=0;i<=1;i++){ x[t]=i; if(constraint(t)&&bound(t)) backtrack(t+1); }
A 2 C 3 F 4 L 4 2 G H 3 4 M N 1 B 3 D
4 4 I 2 O E 2 J 3 P 3 K 2 Q
----排列树 解空间大小: n!
5.1 回溯法的基本思想
(3)状态空间树的动态搜索
可行解和最优解: 可行解:满足约束条件的解,解空间中的一个子集 最优解:使目标函数取极值(极大或极小)的可行解,一 个或少数几个 例:货郎担问题,有nn种可能解. n!种可行解,只有一个或 几个解是最优解. 例:背包问题,有2n种可能解,有些是可行解,只有一个或 几个是最优解. 有些问题,只要可行解,不需要最优解,例如八后问题.
}
5.4 回溯法的应用 装载问题 回溯法的应用—装载问题
有一批集装箱要装上一艘载重量为c的轮船. 其中集装箱i的重量为Wi.最优装载问题要求 确定在装载体积不受限制的情况下,将尽可能 多的集装箱装上轮船.
int n,w[],c,cw,bestw; int maxloading(){ cw=0;bestw=0; backtrack(1); return bestw; }
5.1 回溯法的基本思想
回溯法(backtracking)是一种系统地搜索问 题解的方法.为实现回溯,首先需要定义一个 解空间(solution space),然后以易于搜索 的方式组织解空间,最后用深度优先的方法搜 索解空间,获得问题的解.
5.1 回溯法的基本思想
回溯法求解的三个步骤: (1)定义一个解空间,它包含问题的解 (2)用易于搜索的方式组织解空间 (3)深度优先搜索解空间,获得问题的解.
5.1 回溯法的基本思想
(1)解空间 设问题的解向量为X=(x1,x2,…,xn) ,xi的取值范 围为有穷集Si .把xi的所有可能取值组合,称 为问题的解空间.每一个组合是问题的一个可 能解.
5.1 回溯法的基本思想
(1)解空间 例:0/1背包问题,S={0,1},当n=3时,0/1背 包问题的解空间是: {(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1, 1,0),(1,1,1)} 当输入规模为n时,有2n种可能的解.
5.1 回溯法的基本思想
(3)状态空间树的动态搜索
状态空间树的动态搜索 l_结点(活结点):所搜索到的结点不是叶结点,且满足 约束条件和目标函数的界,其儿子结点还未全部搜索完毕, e_结点(扩展结点):正在搜索其儿子结点的结点,它也 是一个l_结点; d_结点(死结点):不满足约束条件,目标函数,或其儿 子结点已全部搜索完毕的结点,或者叶结点.以d_结点作 为根的子树,可以在搜索过程中删除.
皇问题) (8-皇问题) 皇问题
8皇后问题可以表示成8-元组(x1,…,x8),其中xi是放在第 i行的皇后所在的列号.于是,解空间由88个8-元组组 成. 约束条件:xi≠xj for all i, j |xi-xj|≠| j-i | 约束条件之一为没有两个xi相同(即任意两个皇后不在 同一列上).将其加入到元组的定义中,这时解空间的 大小由88个元组减少到8!个元组.
n后问题算法的描述如下:
int n, sum,x[]; void n_queens(){
sum=0; x[ ]=0; backtrack(1); }
void backtrack(int t) {
if (t>n){sum++;output(x)} else for(i=1;i<=n;i++){ x[t]=i; if place(x,t) backtrack(t+1); }
5.2 回溯法的算法框架
递归回溯的一般解法:
– –
VoБайду номын сангаасd traceback(int t) {
If(t>n) output(x); Else for(i=f(n,t);i<=g(n,t);i++){ x[t]=h[i]; if(constraint(t)&&bound(t)) backtrack(t+1); }
�
–
}
5.3 回溯法的应用 回溯法的应用—n后问题 后问题
例1(8-皇问题)
皇问题) 例1(8-皇问题) ( 皇问题
在8×8的棋盘上放置8个皇后,使得这8个皇 后不在同一行,同一列及同一斜角线上.如下 1 2 3 4 5 6 7 8 图6.1: Q
1 2 3 4 5 6 7 8
Q Q Q Q Q Q Q
int c,n,w[],p[],cw,cp,bestp; void backtrack(int i){ if(i>n){bestp=cp; return;} if(cw+w[i]<=c){ cw+=w[i]; cp+=p[i]; backtrack(i+1); cw-=w[i]; cp-=p[i]; } if(bound(i+1)>bestp) backtrack(i+1); } int bound( int i){ int cleft=c-cw; int bound=cp; while(i<=n&&w[i]<=cleft){ cleft-=w[i]; bound+=p[i]; i++; } if(i<=n) bound+=pi]/w[i]*cleft; return bound; }
5.1 回溯法的基本思想
(1)解空间 例:货郎担(旅行商)问题, S={1,2,…,n},当 n=3时, S={1,2,3} ,货郎担问题的解空间是: {(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),┅ ,(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3)} 当输入规模为n时,它有nn种可能的解. 考虑到约束方程xi≠xj.因此,货郎担问题的解 空间压缩为: {(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)} 当输入规模为n时,它有n!种可能的解.