数理统计中常见习题

《数理统计习题》一、填空题1、设12,,,n X X X 为总体X 的一个样本，如果1(X ,,X )n g 中 ，则称1(X ,,X )n g 为一个统计量。

2、设总体2(,)XN μσ，σ已知，则在求均值μ的区间估计时所用的枢轴量为3、设总体X 服从正态分布，根据来自总体的容量为100的样本，测得字样均值为5，标准差为1，则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为4、假设检验的统计思想是5、某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个样本检验这批产品废品率是否高于5%，此问题的原假设为6、某地区的年降雨量2(,)XN μσ，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为（单位:mm ）587 672 701 640 650 ，则2σ的矩估计值为_______________ 7、设两个相互独立的样本1221,,,X X X 与125,,,Y Y Y 分别取自正态总体N （1，4）与N（2，1），2212,S S 分别为他们的样本方差，若2222221122(20),()(4)aS a b S χχχχ==+，则a=_________，b=_________ 8、假设随机变量(n)X t ，则21X服从分布________ 9、假设随机变量(10)X t ，已知2(X )0.05P λ≥=，则λ=___________10、设样本1216,,,X X X 来自标准正态分布总体N （0，1），X 为样本均值，若(X )0.99P λ>=，则λ=_________11、假设样本1216,,,X X X 来自正态总体2(,)N μσ，令101611134i i i i Y X X ===-∑∑，则Y 的分布为________________ 12、设样本1210,,,X X X 来自标准正态分布总体N(0,1)，2,X S 分别为样本均值与样本方差，令2210X Y S=，若已知(Y )0.01P λ≥=，则λ=___________ 13、如果1ˆθ，2ˆθ都是总体中未知参数θ的估计量，若满足______________，则称1ˆθ比2ˆθ有效。

14、假设样本12,,,n X X X 来自正态总体2(,)N μσ，12211ˆ(X X )n i i i C σ-+==-∑是2σ的一个无偏估计量，则C=__________ 15、假设样本129,,,X X X 来自正态总体(,0.81)N μ，测得样本均值5x =，则μ的置信度为0.95的置信区间为____________ 16、假设样本12100,,,X X X 来自正态总体2(,)N μσ，其中2,μσ均未知，测得样本均值5x =，样本方差21s =，则μ的置信度为0.95的置信区间为____________17、假设样本1216,,,X X X 来自正态总体2(,)N μσ，其中2,μσ均未知，计算得161114.7516i i X ==∑，则原假设0:15H μ=的t 检验所选用的统计量为__________ 二、选择题1、下列结论不正确的是（ ）A 、设随机变量X ，Y 都服从标准正态分布，且相互独立，则222(2)X Y χ+B 、X ，Y 独立，22(10),(15)XX Y χχ+，则2(5)Y χC 、假设样本12,,,n X X X 来自正态总体2(,)N μσ，X 为样本均值，则2221(X X)(n)ni i χσ=-∑D 、12,,,n X X X 与12,Y ,,Y n Y 均来自正态总体2(,)N μσ的样本，且相互独立，,X Y 分别为样本均值，则2121(X X)(n 1,n 1)(Y )nii nii F Y ==----∑∑2、设1ˆθ，2ˆθ是参数θ的两个估计量，则下面说法正确的是（ ） A 、若12ˆˆ()D()D θθ>，则称1ˆθ为比2ˆθ有效的估计量。

B 、若12ˆˆ()D()D θθ<，则称1ˆθ为比2ˆθ有效的估计量。

C 、若1ˆθ，2ˆθ是参数θ的两个无偏估计量，且12ˆˆ()D()D θθ>，则称1ˆθ为比2ˆθ有效的估计量。

D 、若1ˆθ，2ˆθ是参数θ的两个无偏估计量，且12ˆˆ()D()D θθ<，则称1ˆθ为比2ˆθ有效的估计量。

3、下面不正确的是（ ）A 、1u u αα-=-B 、221(n)(n)ααχχ-=- C 、1(n)t (n)t αα-=- D 、11(n,m)(m,n)F F αα-=4、总体均值的区间估计中，正确的是（ ）A 、置信度1α-一定时，样本容量增加，则置信区间长度变长；B 、置信度1α-一定时，样本容量增加，则置信区间长度变短；C 、置信度1α-增大，则置信区间长度变短；D 、置信度1α-减少，则置信区间长度变短；5、对于给定的正数(0,1)α∈，设u α是标准正态分布的下α分位数，则有（ ） A 、2(U u )1P αα<=- B 、2(|U |u )P αα<=C 、2(U u )1P αα>=- D 、2(|U |u )P αα>=6、某工厂所生产的某种细纱支数服从正态分布200(,)N μσ，参数都已知，现从某日生产的一批产品中随机抽取16缕进行支数测量，求得样本均值和样本方差，要检验细纱支数的均匀度是否变劣，则应提出假设（ ）A 、00:H μμ= 10:H μμ≠B 、00:H μμ= 10:H μμ>C 、2200:H σσ= 2210:H σσ≠D 、2200:H σσ= 2210:H σσ>7、设样本12,,,n X X X 来自正态总体21(,)N μσ，样本12,Y ,,Y m Y 来自正态总体22(,)N μσ，则211221(X )(Y )ni i mii μμ==--∑∑的分布为（ ）A 、F(n,m)B 、F(n -1,m -1)C 、F(m,n)D 、F(m -1,n -1) 8、设12,x ,,x n x 为来自正态总体2(,)N μσ的样本观测值，参数未知，则2σ的极大似然估计为（ ）A 、211(x x)n i i n =-∑ B 、11(x x)n i i n =-∑ C 、211(x x)1n i i n =--∑ D 、11(x x)1n i i n =--∑ 9、设总体X 服从区间[0,]θ上的均匀分布，取样本12,,,n X X X ，则未知参数θ的极大似然估计量为（ ）A 、2XB 、12max(,,,)n X X X C 、12min(,,,)n X X X D 、不存在10、在假设检验中，记0H 为原假设，则犯第一类错误的概率是（ ）A 、0H 成立而接受0HB 、0H 成立而拒绝0HC 、0H 不成立而接受0HD 、0H 不成立而拒绝0H三、计算题1、设总体(12,4)XN ，抽取容量为5的样本，求：（1）样本均值大于13的概率；（2）样本的最小值小于10的概率；（3）样本最大值大于15的概率 2、设总体(10,4)XN ，129,,,X X X 为来自总体X 的一个样本，X 为样本均值，求(X 11)P ≥3、设12,,,n X X X 来自正态总体(10,4)N ，求满足(9.02X 10.98)0.95P ≤≤=的样本容量n 的大小。

4、设随机变量X 的概率密度函数为(x )(x)e,f x θθ--=≥，12,,,n X X X 为来自总体X 的样本，求参数θ的矩估计和极大似然估计。

5、在测量反应时间中，一位心理学家估计得标准差是0.05秒，为了以0.95的置信度使得平均反应时间的估计误差不超过0.01秒，那么测量的样本容量n 最小应取多少？6、设随机变量(,1)XN μ，1210,,,X X X 为来自总体X 的样本，要在0.05的水平下检验0:0H μ= 1:0H μ≠，取拒绝域{|x |c}W =≥，（1）?c = （2）若已知1x =，是否可以据此判断0μ=成立？（3）如果以{|x | 1.15}W =≥作为拒绝与，试求该检验的显著性水平。

7、某种导线的电阻2(,0.005)XN μ，现从新生产的一批导线中抽取9根，得样本标准差0.009s =Ω，（1）对于0.05α=，能否据此认为新生产的一批导线的稳定性无变化？（2）求总体方差2σ的0.95置信区间。

8、某地区小麦的一般生产水平为亩产250kg ，其标准差为30kg ，现用一种化肥进行试验，从25个小区抽样结果为平均产量270kg ，问这种化肥是否使小麦明显增产？9、某商店采用四种不同的方式推销商品，为检验不同的方式推销商品的效果是否有显著差计算F 统计量，并在5%的显著性水平下做统计决策。

（1） 建立儿子身高y 关于父亲身高x 的回归直线方程ˆya bx =+。

（2） 如果回归模型为y a bx ε=++，2(0,)N εσ，试给出参数2σ的一个无偏估计。

（3） 检验 01:0:0H b H b =↔≠四、证明题1、若随机变量(n)Tt ，则2(1,n)T F2、设总体X 的密度函数为1(x),0xf e x λλ-=>，证明：X 是λ的无偏估计，1X 不是1λ的无偏估计。

3、设总体(0,)XU θ，证明：1ˆ2X θ=，2(n)ˆ1n X n θ=+都是参数θ的无偏估计，且2ˆθ较1ˆθ更有效。