AS1010115实验三插值法和拟合实 验 (2)
插值与拟合
插值与拟合大多数数学建模问题都是从实际工程或生活中提炼出来的，往往带有大量的离散的实验观测数据，要对这类问题进行建模求解，就必须对这些数据进行处理。
其目的是为了从大量的数据中寻找它们反映出来的规律。
用数学语言来讲，就是要找出与这些数据相应的变量之间的近似关系。
对于非确定性关系，一般用统计分析的方法来研究，如回归分析的方法。
对于确定性的关系，即变量间的函数关系，一般可用数据插值与拟合的方法来研究。
插值与拟合就是要通过已知的数据去确定某一类已知函数的参数或寻找某个近似函数，使所得到的近似函数对已知数据有较高的拟合进度。
如果要求这个近似函数经过所有已知的数据点，则称此类问题为插值问题。
当所给的数据较多时，用插值方法所得到的插值函数会很复杂，所以，通常插值方法用于数据较少的情况。
其实，通常情况下数据都是由观测或试验得到的，往往会带有一定的随机误差，因而，要求近似函数通过 所有的数据点也是没有必要的。
如果不要求近似函数通过所有的数据点，而是要求他能较好地反映数据的整体变化趋势，则解决这类问题的方法称为数据拟合。
虽然插值与拟合都是要构造已有数据的近似函数，但因对近似要求的准则不同，因此二者在数学方法上有很大的差异。
一、引例简单地讲，插值是对于给定的n 组离散数据，寻找一个函数，使该函数的图象能严格通过这些数据对应的点。
拟合并不要求函数图象通过这些点，但要求在某种准则下，该函数在这些点处的函数值与给定的这些值能最接近。
例1：对于下面给定的4组数据，求在110=x 处y 的值。
这就是一个插值问题。
我们可以先确定插值函数，再利用所得的函数来求110=x 处y 的近似值。
需要说明的是这4组数据事实上已经反映出x 与y 的函数关系为：x y =，当数据量较大时，这种函数关系是不明显的。
也就是说，插值方法在处理数据时，不论数据本身对应的被插值函数)(x f y =是否已知，它都要找到一个通过这些点的插值函数，此函数是被插值函数的一个近似，从而通过插值函数来计算被插值函数在未知点处的近似值。
实验三 插值法与拟合实验
实验三插值法与拟合实验
一、实验目的
感受插值效果的比较以及拟合多项式效果的比较。
二、实验题目
1.插值效果的比较
将区间[-5,5]5等分和10等分，对下列函数分别计算插值节点的值，进行不同类型的插值，做出插值函数的图形并与的图形进行比较：
做拉格朗日插值。
2.拟合多项式实验
给定数据点如下表所示：
分别对上述数据作三次多项式和五次多项式拟合，并求平方误差，作出离散函数和拟合函数的图形。
三、实验原理
拉格朗日插值和多项拟合插值的通用程序
四、实验内容及结果
五、实验结果分析
(1)实验1中通过图象，可以很明显的辨别出拉格朗日插值并不是插值点越多图象就一定越精确，会有高阶插值的振荡现象。
(2)通过三个图象的对比，发现基本都是重合在一起的。
.三次多项式五次多项式拟合的平方误差分别为1.8571e-004和4.7727e-005，可知五次多项式拟合比三次多项式拟合更加准确。
但是后面去计算一下拟合所需要的时间，会发现拟合次数越大，时间越长，所以也不一定是次数越大越好，需要把时间也考虑进去。
数值分析实验报告--插值与拟合及其并行算法
《数值分析》实验报告实验五、插值与拟合及其并行算法一．实验目的：1．学会拉格朗日插值， 分段线性插值或三次样条插值以及曲 线拟合等数值分析问题，通过 MATLAB 编程解决这些数 值分析问题，并且加深对此次实验内容的理解。
2．加强编程能力和编程技巧，练习从数值分析角度看问题， 同时用 MATLAB 编写代码。
二．实验要求：学会在计算机上实现拉格朗日插值，分段线性插值或三次 样条插值以及曲线拟合等数值分析问题，分析几种插值方法的异 同。
三．实验内容：分别用下列题目完成①：拉格朗日插值及其误 差分析 ②：三次样条 ③: 曲线拟合及其误差分析，实验要求。
四．实验题目： （1）已知 sin 30 D = 0.5 ， sin 45D = 0.707 1 ，sin 60 D = 0.866 0 ，用拉格朗日插值及其误差估计的MATLAB主程序求 sin 20D 的近似值，并估计其误差。
（2）观测得出函数 y=f(x)在若干点处的值为 f(0)=0, f(2)=16, f(4)=36, f(6)=54, f(10)=82 和 f＇(0)=8, f＇(10)=7, 试求 f(x)的三次样条函数,并计算 f(3)和 f(8)的近似值. （ 3 ） t=[2.1 7.9 10.1 13 14.5 15.3];r=[13.5 36.9 45.7 求出 r 与 t 之间的关系， 及三 57.3 62.78 74.9];根据给出数据， 种误差，并作出拟合曲线。
五．实验原理：（1）拉格朗日插值公式：P5 ( x) = ∑ y i l i ( x)i =05li ( x) =( x − x 0 ) " ( x − xi −1 )( x − xi +1 ) " ( x − x n ) ( xi − x0 ) " ( xi − xi −1 )( xi − xi +1 ) " ( xi − x n )（2）三次样条插值公式：Ｓn（x）=｛Ｓi（x）=a i x ＋b i x ＋c i x＋d i ， x ∈ ［x i −1 ，x i ］ ，i=1,2,….,n｝32（3）曲线拟合： 最小二乘法并不只限于多项式，也可以用于任何具体给出的函数 形式。
插值与拟合
常用方法——最小二乘法拟合
令： f (x) a1r1(x) a2r2 (x) .... amrm (x)
其中：rk(x)为事先选定的一组关于x的函数，ak为系数，
即求解ak，使下式最小
m
2
J (a1, a2 ,...,am ) min [ f ( xi ) yi ]
i 1
即使：
J 0, k (0, k ) ak
拉格朗日插值法
已知x0、x1、x2、x3、、、xn和y0、y1、y2、y3、、、yn 则可以构造一个经过这n+1个点的次数不超过n的多 项式y=Ln(x),使其满足：
Ln(xk)=yk,k=0、1、2、、、n •这样的Ln(x)就是通过拉格朗日插值得到的函数关系 •这样的方法叫做拉格朗日插值
注： 通过上述方法可得到一个次数不超过n的多项
2
1 n1
m1 1 (1 1)m1
m2
2 (1 2 )m2
n2
2
..
mn
1
n1
(1
n 1 )mn 1
3.代入原式
用matlab解插值
基本格式：Interp1(x,y,cx,'methed')
其中：x,y为已知的坐标 cx为待插值的点的横坐标 methed为插值方法，有如下：
10
11
12
13
14
15
16
10.20 10.32 10.42 10.50 10.55 10.58 10.60
解 ：数据点描绘
11
10
9
8
7
6
5
4
0
2
4
6
8
10
12
14
清华大学_计算方法(数学实验)实验2插值与拟合
实验 2 插值与拟合系班姓名学号【实验目的】1、掌握用MATLAB计算拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值的方法，改变节点的数目，对三种插值结果进行初步分析。
2、掌握用MATLAB作线性最小二乘的方法。
3、通过实例学习如何用插值方法与拟合方法解决实际问题，注意二者的联系和区别。
【实验内容】预备：编制计算拉格朗日插值的M文件：以下是拉格朗日插值的名为y_lagrl的M文件：function y=y_lagr1(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);for i=1:mz=x(i);s=0.0;for k=1:np=1.0;for j=1:nif j~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;end第1题（d）选择函数y=exp(-x2) (-2≤x≤2),在n个节点上（n不要太大，如5~11）用拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值方法，计算m个插值点的函数值（m要适中，如50~100）。
通过数值和图形输出，将三种插值结果与精确值进行比较。
适当增加n，在作比较，由此作初步分析。
运行如下程序：n=7;m=61;x=-2:4/(m-1):2;y=exp(-x.^2);z=0*x;x0=-2:4/(n-1):2;y0=exp(-x0.^2);y1=y_lagr1(x0,y0,x);y2=interp1(x0,y0,x);y3=interp1(x0,y0,x,'spline');[x'y'y1'y2'y3']plot(x,z,'w',x,y,'r--',x,y1,'b:',x,y2,'m',x,y3,'b') gtext('y=exp(-x^2)'),gtext('Lagr.'),gtext('Piece.-linear.'),gtext ('Spline'),将三种插值结果y1,y2,y3与精确值y 项比较，显然y1在节点处不光滑,拉格朗日插值出现较大的振荡,样条插值得结果是最好的.增加n 值（使n=11），再运行以上程序，得到的图形如右图所示，比较这两个图可发现，节点增加后，三种插值方法结果的准确度均有所提高，因此可近似地认为：增加节点个数可以提高插值结果的准确程度。
插值数值实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 理解并掌握插值法的基本原理和常用方法。
2. 学习使用拉格朗日插值法、牛顿插值法等数值插值方法进行函数逼近。
3. 分析不同插值方法的优缺点，并比较其精度和效率。
4. 通过实验加深对数值分析理论的理解和应用。
二、实验原理插值法是一种通过已知数据点来构造近似函数的方法。
它广泛应用于科学计算、工程设计和数据分析等领域。
常用的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、样条插值法等。
1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法。
其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是一种基于插值多项式的差商的插值方法。
其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等，并且满足一定的差商条件。
三、实验内容1. 拉格朗日插值法（1）给定一组数据点，如：$$\begin{align}x_0 &= 0, & y_0 &= 1, \\x_1 &= 1, & y_1 &= 4, \\x_2 &= 2, & y_2 &= 9, \\x_3 &= 3, & y_3 &= 16.\end{align}$$（2）根据拉格朗日插值公式，构造插值多项式：$$P(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}y_0 + \frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)}y_1 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)}y_2 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)}y_3.$$（3）计算插值多项式在不同点的函数值，并与实际值进行比较。
第七讲 插值与拟合实验
y i = f ( xi ) 。插值函数一般是已知函数的线性组合或称为加权平均。用代数多项式作为插
值函数的插值法称为多项式插值，相应的多项式称为插值多项式。 插值和拟合是函数逼近的简单但又十分重要的方法。 插值法可以导出数值微分、 数值积 分和微分方程数值解等多方面的计算方法， 是数值分析的基本课题。 同时插值和拟合在工程 实践和科学实验中有着非常广泛而又十分重要的应用。 本实验将主要研究几种基本的插值方法（如 Lagrange 插值、分段线性插值、三次样条 插值等）和数据的最小二乘拟合方法。要求学会 Mathematica 提供的插值函数和拟合函数的 使用方法，会用这些函数解决实际问题。
基函数。容易证明
⎧1 li ( x j ) = δ ij = ⎨ ⎩0
i= j , i, j = 0,1& Ln ( xi ) = y i , i = 0,1, " , n 。 还可以从其他角度出发，构造出插值多项式，如牛顿(Newton)插值公式。 Lagrange 插值法最大的优点是函数具有很好的解析性质（无穷次可微） ，但是它也存在 固有的缺点：可能出现严重的振荡现象，并且多项式函数的系数依赖于观测数据。 例 1 考虑函数
3、 三次样条插值 在工程设计和机械加工等实际问题中，要求插值函数有较高的光滑度。在数学上，光滑 程度的定量描述是：函数（曲线）的 k 阶导数存在且连续，则称该曲线具有 k 阶光滑性。自 然，光滑性阶数越高其曲线光滑程度就越好。而上面介绍的分段线性插值，只具有零阶光滑 性，也就是不光滑的。虽然，提高分段函数如多项式函数的次数，可以提高整体曲线的光滑 程度， 但是， 是否存在较低次多项式达到较高光滑性的方法？三次样条插值就是一个很好的 例子。 样条曲线本身就来源于飞机、船舶等外形曲线设计问题。在工程实际中，要求此类曲线 应该具有连续的曲率，即连续的二阶导数。人们普遍使用的样条曲线是分段三次多项式。 定义 设 在 区 间 [a,b] 上 给 定 一 组 节 点 a = x 0 < x1 < " < x n = b 上 的 函 数 值
插值与拟合实验报告
学生实验报告了解插值与拟合的基本原理和方法；掌握用MATLAB计算插值与作最小二乘多项式拟合和曲线拟合的方法；通过范例展现求解实际问题的初步建模过程；通过动手作实验学习如何用插值与拟合方法解决实际问题，提高探索和解决问题的能力。
这对于学生深入理解数学概念，掌握数学的思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义。
二、实验仪器、设备或软件：电脑,MATLAB软件三、实验内容1．编写插值方法的函数M文件；2．用MATLAB中的函数作函数的拟合图形；3．针对实际问题，试建立数学模型，并求解。
四、实验步骤1．开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗口；2．根据各种数值解法步骤编写M文件；3．保存文件并运行；4．观察运行结果(数值或图形)；5．写出实验报告，并浅谈学习心得体会。
五、实验要求与任务根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会）。
1．天文学家在1914年8月的7次观测中，测得地球与金星之间距离（单位：米），并取得常用对数值，与日期的一组历史数据如下表：由此推断何时金星与地球的距离（米）的对数值为9.93518？解：输入命令days=[18 20 22 24 26 28 30];distancelogs=[9.96177 9.95436 9.94681 9.93910 9.93122 9.92319 9.91499]; t1=interp1(distancelogs,days,9.93518) %线性插值t2=interp1(distancelogs,days,9.93518,'nearest') %最近邻点插值t3=interp1(distancelogs,days,9.93518,'spline') %三次样条插值t4=interp1(distancelogs,days,9.93518,'cubic') %三次插值计算结果：t1 =24.9949t2 =24t3 =25.0000t4 =25.0000综上所得，可推断25日金星与地球的距离（米）的对数值为9.93518。
插值与曲线拟合实验报告
数值计算方法插值与拟合实验报告摘要：通过实验介绍插值方法中常见的拉格朗日插值，线性分段插值和牛顿前插公式，分析计算各种方法的插值余项。
在曲线拟合方面使用两种不同类型的曲线来拟合同一组数据，并计算残差向量范数，比较不同曲线拟合的效果，在此例上给出优劣的判断。
关键词：拉格朗日插值；线性分段插值；牛顿前插公式；曲线拟合引言在工程和科学计算中经常碰到只知道离散的数据测量点而需要匹配其变量之间的数学函数表达式的情况，这就需要插值和拟合的数值方法来解决这些问题。
插值法是在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点，也是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。
曲线拟合则是用连续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点所表示的坐标之间的函数关系，在各个方面也有着愈加广泛的应用。
1 算法介绍1.1 拉格朗日插值法 1.1.1 算法理论对某个多项式函数，已知有给定的k +1个取值点：00(,),...,(,)k k x y x y其中i x 对应着自变量的位置，而i y 对应着函数在这个位置的取值。
假设任意两个不同的x j 都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为：():()ki i j L x y l x ==∑其中每个()j l x 为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为：1100,011()()()()():......()()()()kj j i k j i i j j ij j j j j j k x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x -+=≠-+-----==-----∏拉格朗日基本多项式 ()j l x 的特点是在 j x 上取值为1，在其它的点 ,i x ij ≠上取值为0。
对于给定的 1k +个点：00(,),...,(,)k k x y x y ，拉格朗日插值法的思路是找到一个在一点j x 取值为1，而在其他点取值都是0的多项式()j l x 。
插值和拟合参考答案.docx
插值和拟合实验目的：了解数值分析建模的方法，掌握用Matlab进行曲线拟合的方法，理解用插值法建模的思想，运用Matlab -些命令及编程实现插值建模。
实验要求：理解曲线拟合和插值方法的思想，熟悉Matlab相关的命令，完成相应的练习，并将操作过程、程序及结果记录下来。
实验内容：一、插值1.插值的基本思想•已知有n +1个节点(xj,yj), j = 0,1,..., n,其中xj互不相同,节点(xj, yj)可看成由某个函数y= f (x)产生；・构造一个相对简单的函数y=P(x)；•使P通过全部节点,即P(xk) = yk, k=0,l,...,n ；•用P(x)作为函数f(x)的近似。
2.用MATLAB作一维插值计算yi=interpl(x, y, xi, 'method')注：yi—xi处的插值结果；x, y—插值节点；xi—被插值点；method—插值方法(Nearest，:最邻近插值；linear，:线性插值；，spline，:三次样条插值；’cubic，：立方插值；缺省时：线性插值)。
注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。
练习1：机床加工问题X0 3 5 7 9 11 12 13 14 15y 0 1.2 1.7 2.0 2」 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6 ◎用程控铳床加工机翼断面的下轮廓线时◎每一刀只能沿x方向和y方向走非常小的一步。
◎表3・1给出了下轮廓线上的部分数据◎但工艺要求铳床沿x方向每次只能移动0」单位.◎这时需求出当x坐标每改变0.1单位时的y坐标。
◎试完成加工所需的数据，画出曲线. 步骤1：用x0, y0两向量表示插值节点；步骤2：被插值点x=0:0.1:15; y=interpl(xO,yO,x,'spline'); 步骤3： plot(xO,yO,,k+\x,y；r')grid on» xO=LO 3 5 7 9 11 12 13 14 15 J;» y0=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6 1;» x=0:().l :15;y=interp 1 (xO,yO,x,'spline');plot(xO,yO,'k+；x,y,T') grid on3. 用MATLAB 作网格节点数据的插值（二维） Z=interp2（x0,y0,z0,x,y,，method ,）注：z 一被插点值的函数值；x0, y0, z0—插值节点；x, y 一被插值点；method —插值方法（4nearest ,: 最邻近插值；JineaF :双线性插值；’cubic ，:双三次插值；缺省时：双线性插值）。
拟合与插值专题ppt课件
一种是插值法，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数 据点之间所发生的情况。
另一种方法是曲线拟合或回归。人们设法找出某条光滑曲线， 它最佳地拟合数据，但不必要经过任何数据点。
本专题的主要目的是：了解插值和拟合的基本内容； 掌握用Matlab求解插值与拟合问题的基本命令。
cj 103 4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59
该问题即解最优化问题：
min 1 F (a,b, k)
2
1 2
10
[a be0.02kt j
j 1
c j ]2
解法1. 用命令lsqcurvefit
F(x，tdata)= (a be0.02kt1 ,, a be0.02kt10 )T ，x=(a，b，k)
ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan） lsqcurvefit用以求含参量x（向量）的向量值函数
F(x,xdata)=（F（x，xdata1），…，F（x，xdatan））T
中的参变量x(向量),使得
1
2
n i 1
( F ( x,
xdatai )
2
ydatai )
最小
输入格式: (1) x = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata); (2) x =lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,lb, ub);
1）编写M-文件 curvefun1.m
function f=curvefun1(x,tdata)
f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)
插值与拟合实验
（3）三次样条插值 y
比分段线性插值更光滑。
xi-1 xi
b x
a
在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲线)的k 阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性。 光滑性的阶次越高，则越光滑。是否存在较低次的分 段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次样条插值就是一
x
Matlab程序： ch608.m
4、用MATLAB做二维网格节点数据的插值
z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)
被插值点的 函数值 插值 节点 被插值点
插值方法
‘nearest’ 最邻近插值 ‘linear’ 双线性插值 ‘cubic’ 双三次插值 缺省时, 双线性插值 要求x0,y0单调；x，y可取为矩阵，或x取行向量，y取
称为拉格朗日插值基函数。特别的：
两点一次(线性)插值多项式:
x x0 x x1 L1 x y0 y1 x0 x1 x1 x0
三点二次(抛物)插值多项式:
x x1 x x2 y x x0 x x2 y x x0 x x1 y L2 x 0 1 2 x0 x1 x0 x2 x1 x0 x1 x2 x2 x0 x2 x1
其中 a1, a2, …am 为待定系数。 第二步: 确定a1,a2, …am 的准则（最小二乘准则）：
使n个点（xi, yi) 与曲线y=f (x)的距离i 的平方和最小 。 记 J (a1 , a2 , am )
插值与拟合原理范文
插值与拟合原理范文一、插值的原理插值是指根据已知数据的取值，在给定的数据区间内推测未知数据的取值。
插值的原理是基于一个假设，即在给定的区间内，数据的取值变化是连续而平滑的。
常见的插值方法包括线性插值、多项式插值和样条插值。
其中，线性插值是最简单的一种方法。
线性插值假设给定的两个点(x1,y1)和(x2,y2)，两个点之间段的取值变化是线性的，可以通过直线的方程来计算中间点的值。
例如，在区间[1,3]上已知两个点(1,2)和(3,4)，可以通过线性插值方法计算出点(2,?)的值。
根据线性插值的原理，点(2,?)的值应该等于直线y=2x的值，在这个例子中，点(2,?)的值为2×2=4多项式插值是一种更精确的插值方法。
多项式插值的原理是基于一个假设，即给定的n个点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)可以被一个n-1次多项式唯一地表示。
通过这个假设，可以根据已知数据点构造一个多项式函数，并通过求解多项式的系数来计算任意点的取值。
例如，在区间[1,3]上已知两个点(1,2)和(3,4)，可以通过多项式插值方法构造一个二次多项式函数y=ax^2+bx+c，并通过求解a, b, c的值来计算任意点的值。
样条插值是一种更加平滑的插值方法。
样条插值的原理是将插值区间划分为若干小的子区间，在每个子区间内通过一个较低次数的多项式来拟合数据。
通过连接每个子区间内的多项式函数，可以获得整个插值区间内的光滑曲线。
通过样条插值方法，可以更好地拟合非线性数据，提高插值结果的准确性。
二、拟合的原理拟合是指根据已知的数据样本，确定一个数学模型来描述数据的变化趋势。
拟合的原理是基于一个假设，即给定的数据点可以通过选定的数学模型进行近似表示。
常见的拟合方法包括线性回归、多项式拟合和非线性拟合。
其中，线性回归是最简单的一种拟合方法。
线性回归的原理是假设给定的数据点符合一个线性函数模型y=ax+b，通过最小化实际数据点与拟合直线之间的距离，可以求解出最优的拟合直线的斜率a和截距b。
插值与拟合的实验报告心得
插值与拟合的实验报告心得1.引言1.1 概述插值与拟合是数值分析和数据处理领域中常见的重要技术方法，通过对已知数据点进行插值计算，得到未知点的数值估计。
插值方法可以帮助我们填补数据间的空缺、平滑曲线和预测未来趋势，因此在科学研究、工程建模和数据分析中具有广泛的应用价值。
本实验报告将对插值的基本概念进行介绍，探讨插值方法的分类和在实际应用中的意义。
同时，我们将总结实验结果，评述插值与拟合的优缺点，并提出对进一步研究的建议，希望通过本报告对插值与拟合的方法和应用有一个全面的了解。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括:在本报告中，将包括以下几个部分的内容:1. 引言：介绍插值与拟合的基本概念，以及本实验的目的和意义。
2. 正文：包括插值的基本概念、插值方法的分类以及插值在实际应用中的意义。
我们将深入探讨这些内容，并解释它们在实验中的具体应用。
3. 结论：总结本次实验的结果，分析插值与拟合的优缺点，并提出对进一步研究的建议。
通过以上内容的分析和探讨，我们希望能够全面地了解插值与拟合的理论基础和实际应用，为进一步的研究和实践提供一定的参考和启发。
1.3 目的本实验的目的在于通过对插值和拟合的实验研究，探索和了解这两种数学方法在现实生活中的应用。
通过实验，我们将深入了解插值的基本概念和分类方法，以及插值在实际应用中的意义。
同时，我们还将对插值和拟合的优缺点进行分析，为进一步的研究提供建议和启示。
通过本实验，我们的目的是掌握插值与拟合方法的应用和特点，为实际问题的求解提供更多的数学工具和思路。
2.正文2.1 插值的基本概念插值是指通过已知数据点构建出一个函数，该函数经过这些数据点，并且在每个数据点上都有相应的函数值。
换句话说，插值是一种通过已知离散数据点来推断未知数据点的方法。
在数学上，插值可以用于近似未知函数的值，或者用于填补数据间的空隙。
在插值过程中，我们通常会选择一个合适的插值函数，比如多项式函数、三角函数或者样条函数等，来拟合已知的数据点。
插值与拟合实验
实验目的实验内容MATLAB2、掌握用Matlab 作线性最小二乘的方法.实验软件1、掌握用Matlab 计算拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值的方法，改变节点的数目，对三种插值结果进行初步分析。
.1、插值.2、拟合.3、数学建模实例3、通过实例学习如何使用插值方法与拟合方法解决实际问题，注意二者的区别和联系插值（一）插值问题的提法（二）解决插值问题的基本方法数学建模实例1、船在该海域会搁浅吗2、薄膜渗透率的测定拉格朗日多项式插值从理论和计算角度看，多项式是最简单的函数，设f(x) 是n 次多项式，记作0111)(a x a xa x a x L n n n n n ++++=-- (1) 对于节点),(j j y x 应有n j y x L j j n ,,1,0)( == (2)为了确定插值多项式)(x L n 中的系数01,,,a a a n n -, 将（1）代入（2），有⎪⎩⎪⎨⎧=++++=++++----0011100011010)3(y a x a x a x a y a x a x a x a n n n n n n n n n n n记⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=--111100 n n n n n n x x x x X ，,),...,,(01T n n a a a A -=T n y y y Y ),...,,(10=方程组（3）简写作Y XA = （4）其中detX 是V andermonde 行列式，利用行列式性质可得)(det 0j n k j k x x X -∏=≤≤因j x 互不相同，故0det ≠X ,于是方程（4）中有唯一解，即根据n+1个节点可以确定唯一得n 次插值多项式。
注：)(x I n 有良好的收敛性，即对于],[b a x ∈有)()(lim x g x I n n =∞→。
用)(x I n 计算x 点的插值时，只用到x 左右的两个节点，计算量与节点个数n 无关。
实验报告—拟合与插值
实验报告七拟合与插值一、曲线拟合1、多项式拟合【示例】以下步骤可对二维数据作多项式拟合。
已知：数据横坐标：a=[1 2 5 7 11 12];数据纵坐标：b=[ 32.78 32.65 27.25 25.55 19.24 14.65];【解】先将数据绘制成散点图：a=[1 2 5 7 11 12]; b=[ 32.78 32.65 27.25 25.55 19.24 14.65];plot(a,b, '-o') % 绘图，线型为实线，点型为空心圆点，颜色为默认的蓝色。
观察绘制出来的图形，大致在一条直线上，所以用一次多项式（直线）拟合：p= polyfit(a,b,1); y1=p (1)*a+p (2); % 线性拟合。
polyfit命令中的数字“1”表示用一次多项式。
% p是向量，各分量表示多项式从高到低的各个系数；y1是用这些系数构造的多项式的值。
hold on; plot(a,y1,'r') % 绘制图形，观察拟合效果。
颜色为红色。
也可以试着用三次多项式来拟合：q= polyfit(a,b,3); y2= q(1)*a.^3+q(2)*a.^2+q(3)*a+ q(4); % 3次多项式拟合hold on; plot(a,y2,'k') % 绘制曲线，观察拟合效果。
颜色为黑色。
【要求】执行以上命令，并仿照示例，对下列数据作多项式拟合，写出拟合多项式：数据横坐标：x=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20];数据纵坐标：y= [70.2 41.6 -9.1 -52 -100 -67.4 -112 -166 -104 -168 -103 -128 -90.5 -52.1 -10.4 60.6 85.9 153 199 301];024681012141618202、一般的最小二乘拟合【示例1】已知数据横、纵坐标分别为x =1:0.5:10; y=[0.84 2.24 3.64 3.74 1.2701 -4.29 -12.11 -19.79 -23.97 -21.34 -10.06 9.09 32.19 52.76 63.32 57.69 33.38 -6.78 -54.40];并已知该组数据满足 12sin()ay x a x =，其中12,a a 为待定系数。
2插值与拟合方法
2.2.2 多项式插值的理论基础
根据所给函数表（1），求一个次数不高于n的多项 式 Pn(x)=a0+a1x+…+anxn, 使 pn(xi)=yi,, （ i= 0,1,2,…，n） (4) (3)
2.抛物插值 线性插值仅仅用两个节点以上的信息，精确度较差。为 了提高精确度，我们进一步考察以下三点的插值问题(n=2)：
这时 l ( x ) ( x x1 )( x x2 ) 0
( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x x0 )( x x2 ) l1 ( x ) ( x1 x0 )( x1 x2 )
( x x0 )( x x1 ) l2 ( x ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
由此得到抛物插值多项式
L2 ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) y2l2 ( x)
抛物插值又称三点插值.
例2 已知 y ln x 的函数表 10 11 12 x y 2.3026 2.3979 2.4849
定义1.
a x0 , x1 ,, xn b为区间 [a, b]的一个分割 如果函数S( x)在区间 [a, b]上满足条件:
(1) S( x), S( x), S( x)都在区间 [a, b]上连续,即S( x) C 2 [a, b]
l0 ( x ) x x1 x0 x1
P1(x0)=y0 ,
l1 ( x )
P1(x1)=y1 ,
x x0 x1 x0
于是线性插值多项式为
x x0 x x1 L1 ( x ) y0 y1 x0 x1 x1 x0 y y0 即 Ln ( x ) y0 1 ( x x0 ) x1 x0 它就是通过M0(x0,y0)和M1(x1,y1)两点的线段.
插值法，函数逼近实验报告
1. 实验项目名称：插值法与拟合2. 实验目的：熟悉插值法与拟合的步骤，并用计算机实现3. 实验内容：a.已知函数在下列各点的值为试用4次牛顿插值多项式P(x)及三次样条函数S （x)对数据进行插值，用图给出{(,),0.20.08,0,1,11,10}i i i x y x i i =+=,P(x)及S （x ）b. 在区间[-1,1]上分别取n=10,20用两组等距节点对龙格函数21()125f x x=+；做多项式插值及三次样条插值，对每个n 值，分别画出插值函数及f(x)的图形。
可以得到平方根函数的近似，在区间[0,64]上作图。
（1）用这9个点做8此多项式插值8()L x 。
（2）用三次样条（第一边界条件）程序做S(x)。
[0,64]从结果看在[0,64]上，哪个插值更精确，在区间[0,1]，两种插值哪个更精确？试求3次，4次多项式的曲线拟合，再根据曲线形状，求一个另外函数的拟合曲线，用图示数据曲线及相应的三种拟合曲线。
4. 实验环境：matlab r2010b5. 实验过程与分析：a一．实验原理N 次牛顿插值多项式可表示为：P n x =f x 0 +f x 0,x 1 x −x 0 +f x 0,x 1,x 2 x −x 0 x −x 1 +⋯+f [x 0,x 1,…,x n ](x −x 0)…(x −x n−1)三次样条函数的表达式为：S x=M j (x j+1−x)36ℎj+M j+1(x−x j)36ℎj+ y i−M jℎj26x j+1−xℎj + y i+1−M j+1ℎj26x−x jℎj, j=1,2,…,n−1.自然边界条件：S′′x0=S′′x n=0.第一边界条件：S′x0=f0′，S′x n=f n′.二.源程序○1主函数：clcsyms x;p=Newton(X,Y);t1=0.2:0.01:1;y1=subs(p,x,t1);subplot(2,2,1)plot(t1,y1);title('牛顿插值');t2=[0.2 0.28 1 1.08];y2=subs(p,x,t2);subplot(2,2,2)plot(t2,y2,'+');title('题中要求的点')subplot(2,2,3)q=spline2(X,Y,0,0);title('自然边界三次样条插值')subplot(2,2,4)plot(t1,y1);hold onplot(t2,y2,'+');q=spline2(X,Y,0,0);title('在一个图中显示')hold off○2Newton插值子函数：function P=Newton(X,Y,t)if (size(X,2)~=size(Y,2))disp('d do not agree')elsek=size(X,2);endsyms x ;P=Y(1,1);C=chashang(X,Y);fori=1:(k-1);a=1;for j=1:ia=a*(x-X(j));endP=P+C(1,i)*a;endifnargin==3P=subs(P,x,t);elseP=collect(P,x);endend○3求差商的子函数：function c=chashang(X,Y)k=size(X,2);c=zeros(1,(k-1));fori=1:(k-1)a=0;for i1=1:(i+1)b=1;for i2=[1:(i1-1),(i1+1):(i+1)]b=b*(X(1,i1)-X(1,i2)); enda=a+Y(1,i1)/b;endc(1,i)=a;endend○4第二种求差商的子函数：function c=chashang(X,Y)k=size(X,2);c=zeros(1,(k-1));fori=1:(k-1)a=0;for i1=1:(i+1)b=1;for i2=[1:(i1-1),(i1+1):(i+1)]b=b*(X(1,i1)-X(1,i2));enda=a+Y(1,i1)/b;endc(1,i)=a;endend○5三次样条插值子函数(二阶导边界)：function S=spline2(X,Y,d2x1,d2xk)if(length(X)~=length(Y))disp('d do not agree')elsek=length(X);A=diag(2*ones(1,k));u=zeros(k-2,1);v=zeros(k-2,1);d=zeros(k,1);h=zeros(k-1,1);fori=1:(k-1)h(i)=X(i+1)-X(i);endfori=1:k-2u(i)=h(i)/(h(i)+h(i+1));v(i)=1-u(i);d(i+1)=6*((Y(i+2)-Y(i+1))/h(i+1)-(Y(i+1)-Y(i))/h(i))/(h(i+1)+h(i)); endfori=1:k-2A(i+1,i)=u(i);endfori=2:k-1A(i,i+1)=v(i-1);endd(1)=2*d2x1;d(k)=2*d2xk;M=A\d;syms x;S=[x];fori=1:k-1s=M(i)*(X(i+1)-x)^3/(6*(X(i+1)-X(i)))+M(i+1)*(x-X(i))^3/(6*(X(i+1)-X(i)))+(Y(i)-M(i)*((X(i+1)-X(i))^2)/6)*(X(i+1)-x)/(X(i+1)-X(i))+(Y(i+1)-M(i+1)*((X(i+1)-X(i))^2)/6)*(x-X(i))/(X(i+1)-X(i));Sx=collect(s,x);S(i)=vpa(Sx,6);t=X(i):0.01:X(i+1);Sx=subs(Sx,x,t);plot(t,Sx,'red');hold on;endplot(X,Y,'*');hold off;endendb ．一．实验原理：N 次拉格朗日插值多项式为：L n x = y k l k (x )n k =0= y kωn +1(x )(x −x k )ωn +1′(x k )nk =0011011()()()()()()()()() (0,1,,)k k n k k k k k k k n x x x x x x x x l x x x x x x x x x k n -+-+----=----=二．源程序：○1主函数：(以10等分为例，20等分只需将10改为20) clcsyms x;X=[-1:0.01:1]Y=1./(1+25*X.^2);subplot(221)plot(X,Y);title('原图')x1=linspace(-1,1,10);y1=1./(1+25*x1.^2);subplot(222)spline2(x1,y1,0,0);hold onplot(X,Y);title('三次样条插值和原图')hold offL=Lagrange(x1,y1);L=subs(L,x,X);subplot(223)plot(X,L);title('Lagrange插值和原图')hold onplot(X,Y);hold offsubplot(224)plot(X,Y);hold onplot(X,L);spline2(x1,y1,0,0);title('Lagrange插值，三次样条插值和原图') hold off○2Lagrange子函数：function L=Lagrange(X,Y,t)if(length(X)~=length(Y))disp('d do not agree');elsek=length(X);syms x;L=0;w=1;for j=2:kw=w*(x-X(j))/(X(1)-X(j));endL=Y(1)*w;fori=2:k-1w=1;for j=[1:(i-1),(i+1):k]w=w*(x-X(j))/(X(i)-X(j));endL=L+Y(i)*w;endw=1;for j=1:k-1w=w*(x-X(j))/(X(k)-X(j));endL=L+Y(k)*w;endifnargin==3L=subs(L,x,t);elseL=vpa(collect(L,x),6);endend○3三次样条函数：同a中的三次样条函数c源程序：○1主函数clcsyms x;L=Lagrange(X,Y);x0=0:0.5:64;y0=sqrt(x0);subplot(2,2,1)plot(x0,y0);title('y=sqrt(x)的和L8(x)在[0,64]图')hold onL1=subs(L,x,x0);plot(x0,L1);hold offsubplot(2,2,2)plot(x0,y0);title('y=sqrt(x)的和三次样条在[0,64]图')hold onS=spline1(X,Y,1,15);hold offsubplot(2,2,3)plot(x0,y0)title('三个曲线在[0,64]图')hold onplot(x0,L1);spline1(X,Y,1,15);hold offsubplot(2,2,4)x1=[0:0.01:1];y1=sqrt(x1);plot(x1,y1);title('三个曲线在[0,1]图')hold onL2=subs(L,x,x1);plot(x1,L2,'black')s=subs(S(1),x,x1);plot(x1,s,'red')hold off○2spline2子函数function S=spline1(X,Y,d1x1,d1xk)if(length(X)~=length(Y))disp('d do not agree')elsek=length(X);A=diag(2*ones(1,k));u=zeros(k-2,1);v=zeros(k-2,1);d=zeros(k,1);h=zeros(k-1,1);fori=1:(k-1)h(i)=X(i+1)-X(i);endfori=1:k-2u(i)=h(i)/(h(i)+h(i+1));v(i)=1-u(i);d(i+1)=6*((Y(i+2)-Y(i+1))/h(i+1)-(Y(i+1)-Y(i))/h(i))/(h(i+1)+h(i));endfori=1:k-2A(i+1,i)=u(i);Endfori=2:k-1A(i,i+1)=v(i-1);endd(1)=6/h(1)*((Y(2)-Y(1))/h(1)-d1x1);d(k)=6/h(k-1)*(d1xk-(Y(k)-Y(k-1))/h(k-1));M=A\d;syms x;S=[x];fori=1:k-1s=M(i)*(X(i+1)-x)^3/(6*(X(i+1)-X(i)))+M(i+1)*(x-X(i))^3/(6*(X(i+1)-X(i)))+(Y(i)-M(i)*((X(i+1)-X(i))^2)/6)*(X(i+1)-x)/(X(i+1)-X(i))+(Y(i+1)-M(i+1)*((X(i+1)-X(i))^2)/6)*(x-X(i))/(X(i+1)-X(i));Sx=collect(s,x);S(i)=vpa(Sx,6);t=X(i):0.01:X(i+1);Sx=subs(Sx,x,t);plot(t,Sx,'red');hold on;plot(X,Y,'*');endhold off;endendd实验原理：用正交函数作最小二乘拟合：00 (),,(){}()(0,1,,), 0, , (,)()((),()) (5.8) , ,n i i m j k i j i k i i k x x x x i m i k x x x A i k φφωφφωφφ==≠⎧==⎨=⎩∑ 设是关于点集带权的正交函数族即满足**2002*(,) ()()(), (5.9)|||| (,)/(,).n nk n k kk k k k k k k k f s x a x x a f φφφφφφφ=====∑∑ 其中 ()222*220 ||||||||.n k k k f A a ==-∑δ均方误差01101111111()1 ()()()()()()(), (5.10)(,)/(,),(,)/(,) k k k k k k k k k k k k k k k p x p x x p x p x x p x p x xp p p p p p p p ααβαβ++-+--=⎧⎪=-⎨⎪=--⎩==首项系数为时，有递推关系，，其中，1,2,, 1.k n =-源程序：○1主函数 clcsubplot(2,2,1)plot(X,Y,'*')title('三次最小二乘拟合')hold onsyms x;t=0:0.01:1;l= LSM(X,Y,3);L1=subs(l,x,t);plot(t,L1);hold offsubplot(2,2,2)plot(X,Y,'*')title('四次最小二乘拟合')hold onl= LSM(X,Y,4);L2=subs(l,x,t);plot(t,L2);hold offsubplot(2,2,3)plot(X,Y,'*')title('在一张图中显示')hold onplot(t,L1,'red');plot(t,L2);hold offsubplot(2,2,4)plot(X,Y,'*')hold onspline2(X,Y,0,0)title('自然边界三次样条插值函数')hold off○2三次样条函数(自然边界)子程序：同“实验一”中的spline2 6.实验结果总结：a.实验结果：实验结果总结：三次样条函数和牛顿插值对这5个点的插值效果比较接近。
第四讲-插值与拟合2
（i=0,1,2,…,k-1）
⇒ Qk (x ) = ak ( x − x0 )( x − x1 )L ( x − xk −1 )
于是
Ln ( x ) = a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 ( x − x0 )( x − x1 ) + L + an ( x − x0 )( x − x1 )L ( x − xn −1 )
项式，则f ( x)的k + 1阶差商f [ x, x0 , x1 ,L , xk −1 , xk ] 是x的m − 1次多项式
证明： 由差商定义
f [ x, x0 , x1 ,L , xk −1 , xk ] =
f [ x0 , x1 ,L , xk ] − f [ x, x0 , x1 , x2 ,L , xk −1 ] xk − x
1 4 7 8 6 (4-1)/(2-1)=3 (7-4)/(3-2)=3 (8-7)/(4-3)=1 (3-3)/(3-1)=0 (1-3)/(4-2)=-1 -1/3 -1/6 1/24
(6-8)/(5-4)=-2 (-2-1)/(5-3)=-3/2
所以，牛顿插值多项式为
1 N 4 (x ) = 1 + 3(x − 1) + 0( x − 1)( x − 2 ) + − ( x − 1)( x − 2 )(x − 3) 3 1 (x − 1)(x − 2 )( x − 3)(x − 4 ) + 24
因而左端是m-1次多项式。 次多项式。 上式分子中必有因子xk − x , 因而左端是 次多项式
(4) 当f（n ) ( x)在包含节点x0 , x1 ,L , xn的区间[ a, b ] 存在时,
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插值法和拟合实验报告
1、实验目的
1.通过进行不同类型的插值，比较各种插值的效果，明确各种插值
的优越性；
2.通过比较不同次数的多项式拟合效果，了解多项式拟合的原理；
3.利用matlab编程，学会matlab命令；
4.掌握拉格朗日插值法；
5.掌握多项式拟合的特点和方法。
2、实验题目
1.、插值法实验
将区间[-10,10]20等分，对下列函数分别计算插值节点的值，进
行不同类型的插值，作出插值函数的图形并与的图形进行比较：
(1) 做拉格朗日插值；
(2) 做分段线性插值；
(3) 做三次样条插值.
2、拟合实验
给定数据点如下表所示：
-1.5-1.0-0.50.00.5 1.0 1.5 -4.45-0.450.550.05-0.440.54 4.55
分别对上述数据作三次多项式和五次多项式拟合，并求平方误
差，作出离散函数和拟合函数的图形。
3、实验原理
1.、插值法实验
2、拟合实验
4、实验结果1.、插值法实验
（2）
（3）
2、拟合实验
实验程序
一
（1）
x=-10:2:10;
xx=-10:0.05:10;
y1=1./(1+x.^2);
L=malagr(x,y1,xx);
L1=interp1(x,y1,x,'linear');
S=maspline(x,y1,0.002,-0.002,xx); hold on;
plot(x,y1,'b*');
plot(xx,L,'r');
plot(x,L1,'g');
plot(xx,S,'k');
（2）x=-10:2:10;
xx=-10:0.05:10;
y2=atan(x);
L=malagr(x,y2,xx);
L1=interp1(x,y2,x,'linear');
S=maspline(x,y2,0.0099,0.0099,xx); hold on;
plot(x,y2,'b*');
plot(xx,L,'r');
plot(x,L1,'g');
plot(xx,S,'k');
（3）
figure
x=-10:2:10;
xx=-10:0.05:10;
y3=x.^2./(1+x.^4);
L=malagr(x,y3,xx);
L1=interp1(x,y3,x,'linear');
S=maspline(x,y3,0.002,-0.002,xx); hold on;
plot(x,y3,'b*');
plot(xx,L,'r');
plot(x,L1,'g');
plot(xx,S,'k');
二
x=[-1.5 -1.0 -0.5 0 0.5 1.0 1.5];
y=[-4.45 -0.45 0.55 0.05 -0.44 0.54 4.55];
a1=mafit(x,y,3)
x1=[-1.5:0.05:1.5];
y1=a1(4)+a1(3)*x1+a1(2)*x1.^2+a1(1)*x1.^3;
hold on
plot(x,y,'b*');
plot(x1,y1,'r');
p1=polyval(a1,x);
s1=norm(y-p1)
figure
a2=mafit(x,y,5)
x2=[-1.5:0.05:1.5];
y2=a2(6)+a2(5)*x2+a2(4)*x2.^2+a2(3)*x2.^3+a2(2)*x2.^4+a2(1)*x2.^5; hold on
plot(x,y,'b*');
plot(x2,y2,'r');
p2=polyval(a2,x);
s2=norm(y-p2)
5、实验结果分析
1.、插值法实验
结果分析：
（1） 由于3次样条插值的程序算不出20等分的值，所以我算了10等分的值。
由插值结果曲线图可见，拉格朗日插值在节点附近误差很小，但在两端有振荡现象；分段线性插值具有良好的收敛性，但在节点处不光滑；而三次样条插值在直观上与原函数曲线吻合得最好；
（2）分析可知，均匀插值时（拉格朗日插值），会出现多项式
插值的Runge现象，当进行非等距节点插值时（分段线性插值、三次样条插值），其近似效果明显要比均匀插值要好，原因是非均匀插值时，在远离原点处的插值节点比较密集，所以其插值近似效果要比均匀插值时的效果要好。
2、拟合实验
结果分析：
可能是原始数据太少的问题，在 拟合结果曲线图看不出三次和五次有什么差别，但由于三次多项式拟合的平方误差大于五次多项式拟合的平方误差，因此五次多项式拟合比三次多项式拟合效果要好。