奥数-2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案和评分标准
2010年全国数学联赛一试、二试试题及答案
（12 分）
8 3 8 x 4 x 2 x m （ m 为常数）满足题设条件，所以 a 最大值为 .（16 分） 3 3
2 解二： f ( x) 3ax 2bx c .
设 g ( x) f ( x) 1 ，则当 0 x 1 时， 0 g ( x) 2 . 设 z 2 x 1 ，则 x
由此可设 m (1,0,1), n (0,1, 3 ) ，
B1
z
A1 C1
P A O C B y
所以 m n m n cos ，
即 3
2 2 cos cos
6 . 4
x
3
所以 sin
10 . 4
A1 C1 E B1 O A P
2
整数的点）的个数是 1790 . 解：由对称性知，只要先考虑 x 轴上方的情况，设 y k ( k 1,2, ,9) 与双曲线右半支于 Ak ,交直
1
线 x 100 于 Bk ，则线段 Ak Bk 内部的整点的个数为 99 k ，从而在 x 轴上方区域内部整点的个数 为
(99 k ) 99 9 45 846 .
z 1 ,1 z 1 . 2 z 1 3a 2 3a 2b 3a h( z ) g ( ) z z b c 1. 2 4 2 4
（4 分） （8 分）
容易知道当 1 z 1 时，0 h( z ) 2,0 h( z ) 2 . 从而当 1 z 1 时， 0 即
3
3 3.
3 d q,
3(3 4d ) q 2 ，
（1）代入（2）得
（1） （2）
9 12d d 2 6d 9 ，求得 d 6, q 9 .
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)加试参考答案与评分标准(A卷)
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一．（本题满分40分）给定正整数r ．求最大的实数C ，使得存在一个公比为r 的实数等比数列1{}n n a ，满足n a C 对所有正整数n 成立．（x 表示实数x 到与它最近整数的距离．）解：情形1：r 为奇数．对任意实数x ，显然有12x ，故满足要求的C 不超过12． 又取{}n a 的首项112a ，注意到对任意正整数n ，均有1n r 为奇数，因此1122n n r a ．这意味着12C 满足要求．从而满足要求的C 的最大值为12． …………10分 情形2：r 为偶数．设*2()r m m N ．对任意实数 ，我们证明1a 与2a 中必有一数不超过21m m ，从而21m C m ． 事实上，设1a k ，其中k 是与1a 最近的整数（之一），且102． 注意到，对任意实数x 及任意整数k ，均有x k x ，以及x x ．若021m m ，则121m a k m ． 若1212m m ，则22221m m m m ，即21m m r m m ，此时 2121m a a r kr r r m ． …………30分 另一方面，取121m a m ，则对任意正整数n ，有1(2)21n n m a m m ，由二项式展开可知11(211)(1)2121n n n m m a m K m m ，其中K 为整数，故21n m a m ．这意味着21m C m 满足要求． 从而满足要求的C 的最大值为212(1)m r m r ．综上，当r 为奇数时，所求C 的最大值为12；当r 为偶数时，所求C 的最大值为2(1)r r ． …………40分二．（本题满分40分）如图，在凸四边形ABCD 中，AC 平分BAD ，点,E F 分别在边,BC CD 上，满足||EF BD ．分别延长,FA EA 至点,P Q ，使得过点,,A B P 的圆1 及过点,,A D Q 的圆2 均与直线AC 相切．证明：,,,B P Q D 四点共圆．（答题时请将图画在答卷纸上）证明：由圆1 与AC 相切知180BPA BAC CAD CAF PAC ，故,BP CA 的延长线相交，记交点为L ．由||EF BD 知CE CF CB CD．在线段AC 上取点K ，使得CK CE CF CA CB CD ，则||,||KE AB KF AD ． …………10分由ABL PAL KAF ，180180BAL BAC CAD AKF ，可知ABL KAF ∽，所以KF AB AL KA． …………20分 同理，记,DQ CA 的延长线交于点L ，则KE AD AL KA． 又由||,||KE AB KF AD 知KE CK KF AB CA AD，即KE AD KF AB ． 所以AL AL ，即L 与L 重合．由切割线定理知2LP LB LA LQ LD ，所以,,,B P Q D 四点共圆．…………40分三．（本题满分50分）给定正整数n .在一个3n ×的方格表上，由一些方格构成的集合S 称为“连通的”，如果对S 中任意两个不同的小方格,A B ，存在整数2l ≥及S 中l 个方格12,,,lA C C CB ==，满足iC 与1i C +有公共边(1,2,,1i l −).求具有下述性质的最大整数K ：若将该方格表的每个小方格任意染为黑色或白色，总存在一个连通的集合S ，使得S 中的黑格个数与白格个数之差的绝对值不小于K .解：所求最大的K n =.对一个由小方格构成的集合S ，记b S 是S 中的黑格个数，w S 是S 中的白格个数. 用[,]i j 表示第i 行第j 列处的方格，这里13i ≤≤,1j n ≤≤.对于两个方格[,]A i j =，[,]B i j ′′=, 定义它们之间的距离为(,)||||d A B i i j j ′′=−+−.首先，如果将方格表按国际象棋棋盘一样黑白间隔染色，我们证明对任意连通的集合S ，均有||b w S S n −≤，这表明K n ≤.设[1,1]是黑格，并记{0,1}ε∈，满足(mod 2)n ε≡.先证b w S S n −≤.可不妨设S 包含所有黑格，这是因为若S 不包含所有黑格， 取不属于S 的黑格A 满足(,)d A S 最小，这里(,)min (,)B Sd A S d A B ∈=.易知(,)1d A S =或2.若(,)1d A S =，取{}S S A ′=，则S 仍是连通的，且b w S S ′′−更大. 若(,)2d A S =，则存在与A 相邻的白格C ，而C 与S 中某个方格B 相邻，取{,}S S A B ′= ，则S 仍是连通的，且bw S S ′′−不变. 因而可逐步扩充S ，使得S 包含所有黑格，保持S 的连通性，且b w S S −不减.考虑白格集合{[,]|}k W i j i j k =+=，3,5,,1k n ε++，每个k W 中至少有一个方格属于S ，否则不存在从黑格[1,1]A S =∈到黑格[3,1]B n ε=−+的S 中路径.故1()2w S n ε≥+，而1(3)2b S n ε=+，故b w S S n −≤. …………10分 类似可证w b S S n −≤.同上，可不妨设S 包含所有白格, 从而1(3)2w S n ε=−. 再考虑黑格集合{[,]|}k B i j i j k =+=, 4,6,,2k n ε+−，每个k B 中至少有一个黑格属于S ，否则不存在从白格[1,2]A =到白格[3,]B n ε=−的S 中路径. 从而1()2b S n ε≥−，故w b S S n −≤. …………20分 下面证明K n =具有题述性质，即对任意的染色方案，总存在连通的集合S ， 使得b w S S n −≥.设表格中共有X 个黑格和Y 个白格，在第二行中有x 个黑格和y 个白格. 于是3X Y n +=, x y n +=.故()()()()2X y Y x X Y x y n −+−=+−+=.由平均值原理可知max{,}X y Y x n −−≥.不妨设X y n −≥.取S 为第二行中的y 个白格以及所有X 个黑格.由于S 包含第二行中所有方格，因而S 是连通的. 而b S X =，w S y =，b w S S X y n −=−≥.综上所述，max K n =. …………50分四．（本题满分50分）设,A B 为正整数，S 是一些正整数构成的一个集合，具有下述性质：(1) 对任意非负整数k ，有k A S ；(2) 若正整数n S ，则n 的每个正约数均属于S ；(3) 若,m n S ，且,m n 互素，则mn S ；(4) 若n S ，则An B S ．证明：与B 互素的所有正整数均属于S ．证明：先证明下述引理．引理：若n S ，则n B S ．引理的证明：对n S ，设1n 是n 的与A 互素的最大约数，并设12n n n ，则2n 的素因子均整除A ，从而12(,)1n n ．由条件(1)及(2)知，对任意素数|p A 及任意正整数k ，有k p S ．因此，将11k A n 作标准分解，并利用(3)知11k A n S ．又2|n n ，而n S ，故由(2)知2n S ．因112(,)1k A n n ，故由(3)知112k A n n S ，即1k A n S ．再由(4)知k A n B S （对任意正整数k ）． ① …………10分设n B C D ，这里正整数C 的所有素因子均整除A ，正整数D 与A 互素，从而(,)1C D ．由(1)及(2)知C S （见上面1k A n S 的证明）． 另一方面，因(,)1D A ，故由欧拉定理知()1D D A ．因此()()(1)()0(mod )D D A n B A n n B D ，但由①知()D A n B S ，故由(2)知D S ．结合C S 及(,)1C D 知CD S ，即n B S ．引理证毕． …………40分回到原问题．由(1)，取0k 知1S ，故反复用引理知对任意正整数y ，有1By S ．对任意*,(,)1n n B N ，存在正整数,x y 使得1nx By ，因此nx S ，因|n nx ，故n S ．证毕． …………50分。
1995-2011全国初中数学联赛试题(包含大纲)
全国初中数学联赛参考考试大纲（2006年通过）全国初中数学联赛以其严格的规范性著称，试题的命制参考初中数学竞赛大纲（2006年通过）版本。
1．数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
2．代数式综合除法、余式定理；因式分解；拆项、添项、配方、待定系数法；对称式和轮换对称式；整式、分式、根式的恒等变形；恒等式的证明。
•3．方程和不等式含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方程根的分布；含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法；含字母系数的一元一次不等式的解法，一元二次不等式的解法；含绝对值的一元一次不等式；简单的多元方程组；简单的不定方程(组)。
4．函数的图象和性质；二次函数在给定区间上的最值，简单分式函数的最值；含字母系数的二次函数。
5．几何三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形的心(内心、外心、垂心、重心)及其性质；相似形的概念和性质；圆，四点共圆，圆幂定理；四种命题及其关系。
6．逻辑推理问题抽屉原理及其简单应用；简单的组合问题；简单的逻辑推理问题，反证法；极端原理的简单应用；枚举法及其简单应用。
２００１年全国初中数学联合竞赛试题及答案２００２年全国初中数学联合竞赛试题及答案２００３年全国初中数学联合竞赛试题及答案２００５年全国初中数学联合竞赛试题及答案２００５年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案。
2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ ） A ．1. B ．2. C ．3. D ．4. 【答】B.因为,,a b c 均为整数，所以a b -和a c -均为整数，从而由1010()()1a b a c -+-=可得||1,||0a b a c -=⎧⎨-=⎩或||0,|| 1.a b a c -=⎧⎨-=⎩ 若||1,||0,a b a c -=⎧⎨-=⎩则a c =，从而||||||a b b c c a -+-+-=||||||2||2a b b a a a a b -+-+-=-=.若||0,||1,a b a c -=⎧⎨-=⎩则a b =，从而||||||a b b c c a -+-+-=||||||2||2a a a c c a a c -+-+-=-=.因此，||||||a b b c c a -+-+-=2.2．若实数,,a b c 满足等式3||6b =，9||6b c =，则c 可能取的最大值为 （ ） A ．0. B ．1. C ．2. D ．3. 【答】C.32(3),||(2)55c b c =+=-，而||0b ≥，所以2c ≤. 当2c =时，可得9,0a b ==，满足已知等式. 所以c 可能取的最大值为2.3．若b a ,是两个正数，且 ,0111=+-+-ab b a 则 （ ） A ．103a b <+≤. B ．113a b <+≤. C ．413a b <+≤. D ．423a b <+≤.【答】C. 由1110a b b a--++=可得b a b ab a +=++22，则 2()()()(1)ab a b a b a b a b =+-+=++- ①由于b a ,是两个正数，所以,0>ab 0a b +>，所以10a b +->，从而.1>+b a另一方面，由22()()44a b a b ab ab +=-+≥可得4)(2b a ab +≤，结合①式可得14a ba b +≥+-，所以.34≤+b a 因此，413a b <+≤.4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ ） A ．－13. B ．－9. C ．6. D ． 0. 【答】A.设m 是方程2310x x --=的一个根，则2310m m --=，所以231m m =+.由题意，m 也是方程420x ax bx c +++=的根，所以420m am bm c +++=，把231m m =+代入此式，得22(31)0m am bm c ++++=，整理得2(9)(6)10a m b m c +++++=.从而可知：方程2310x x --=的两根也是方程2(9)(6)10a x b x c +++++=的根，这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，从而有22(9)(6)1(31)a x b x c k x x +++++=--（其中k 为常数），故961131a b c +++==--，所以333,10b a c a =--=--. 因此，2(333)2(10)13a b c a a a +-=+-----=-.5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( )A ．15°.B ．20°.C ．25°.D ．30°. 【答】 B.如图，延长AB 到F ，使BF =ED ，连CF ，EF ．∵ ︒=∠=∠60AED EAB ，∴︒=∠60EDA ，︒=∠=∠120CED EDB ， BF ED AE AD ===，DF BF DB DB ED CE =+=+=， 于是，AF AC =，︒=∠=∠60AFC ACF ． 又∵︒=∠120EDB ，CDE CDB ∠=∠2，∴ ︒=∠︒=∠80,40CDB CDE ,︒=∠-∠-︒=∠20180EDC CED ECD ．在△CDA 和△CBF 中，CA=CF ，︒=∠=∠60CFB CAD ，AD=BF ，∴ △CDA ≌△CBF ， ∴ ︒=∠=∠20ACD FCB ．于是，︒=∠-∠-︒=∠2060FCB CDE DCB ．6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则12320092010a a a a a +++++= （ ）A ．28062.B ．28065.C ．28067.D ．28068. 【答】D.把1到2010之间的所有自然数均看作四位数（如果n 不足四位，则在前面加0，补足四位，这样做不会改变n a 的值）.1在千位上出现的次数为310，1在百位上出现的次数为2210⨯，1在十位和个位上出现的次数均为22101⨯+，因此，1出现的总次数为3210210321602+⨯⨯+=.2在千位上出现的次数为11，2在百位和十位上出现的次数均为2210⨯，2在个位上出现的次数为22101⨯+，因此，2出现的总次数为21121031612+⨯⨯+=.类似的，可求得(3,4,5,6,7,8,9)k k =出现的总次数均为221031601⨯⨯+=. 因此12320092010160216122601(3456789)a a a a a +++++=⨯+⨯+⨯++++++＝28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += .【答】 13.由3319x y +=得2()[()3]19x y x y xy ++-=，把1x y +=代入，可得6xy =-.因此，,x y 是一元二次方程260t t --=的两个实数根，易求得这两个实数根分别为3和2-，所以22223(2)13x y +=+-=.2．二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，︒=∠30CAO ，则c = ．【答】19． 由题意知，点C 的坐标为),0(c ，c OC =．设B A ,两点的坐标分别为)0,(1x ，)0,(2x ，则21,x x 是方程02=++c bx x 的两根． 由根与系数的关系得c x x b x x =-=+2121,． 又︒=∠30CAO ，则c AC AB c AC 323,2===．于是，c AC OA x 330cos 1=︒==，c AB OA OB x 332=+==．由c c x x ==2219，得91=c ．3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PA，PC ＝5，则PB ＝______．【答】作P E ⊥AB ，交AB 于点E ，作P F ⊥BC ，交BC 于点F ，设,PE m PF n ==，分别在△PAE 、△PCF 中利用勾股定理，得22(5)5m n +-= ① 22(5)25m n -+= ②②－①，得10()20n m -=，所以2m n =-， 代入①中，得27120n n +-=，解得13n =，24n =.当3n =时，21m n =-=，在Rt △PAE中，由勾股定理可得PB =当4n =时，22m n =-=，此时PE AE >，所以点P 在△ABC 的外面，不符合题意，舍去.因此PB =.4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放_______个球.【答】 15.将这些球的位置按顺序标号为1，2，3，4，…….由于1号球与7号球中间夹有5个球，1号球与12号球中间夹有10个球，12号球与6号球中间夹有5个球，7号球与13号球中间夹有5个球，13号球与2号球中间夹有10个球，2号球与8号球中间夹有5个球，8号球与14号球中间夹有5个球，14号球与3号球中间夹有10个球，3号球与9号球中间夹有5个球，9号球与15号球中间夹有5个球，15号球与4号球中间夹有10个球，4号球与10号球中间夹有5个球，因此，编号为1，7，12，6, 13，2，8，14，3，9，15，4，10的球颜色相同，编号为5，11的球可以为另外的一种颜色.因此，可以按照要求摆放15个球.如果球的个数多于15个，则一方面，16号球与10号球应同色，另一方面，5号球与16号球中间夹有10个球，所以5号球与16号球同色，从而1到16号球的颜色都相同，进一步可以知道：所有的球的颜色都相同，与要求不符.因此，按这种要求摆放，最多可以摆放15个球.第二试 （A ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数. 解 由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-= ①令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数.FC于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即2213m n mn ++= ②由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩ …………10分（1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533c <≤，所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形. …………15分 （2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形. 综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11. ……………………20分二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点D.证明：PD 是⊙I 的切线.证明 过点P 作⊙I 的切线PQ （切点为Q ）并延长，交BC于点N. 因为CP 为∠ACB 的平分线，所以∠ACP ＝∠BCP.又因为PA 、PQ 均为⊙I 的切线，所以∠APC ＝∠NPC. 又CP 公共，所以△ACP ≌△NCP ， …………10分 所以∠PAC ＝∠PNC.由NM ＝QN ，BA ＝BC ，所以△QNM ∽△BAC ，故∠NMQ ＝∠ACB ，所以MQ//AC.………………………………20分又因为MD//AC ，所以MD 和MQ 为同一条直线.又点Q 、D 均在⊙I 上，所以点Q 和点D 重合，故PD 是⊙I 的切线. ……………………………25分三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a . （1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为 C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积.解 点P (1,)a 、Q (2,10)a 在二次函数2y x bx c =+-的图象上，故1b c a +-=，4210a c a +-=，NCA解得93b a =-，82c a =-. ………………………………5分 （1）由8c b a <<知8293,938,a a a a -<-⎧⎨-<⎩解得13a <<.又a 为整数，所以2a =，9315b a =-=，8214c a =-=. ………………………………10分 (2) 设,m n 是方程的两个整数根，且m n ≤.由根与系数的关系可得39m n b a +=-=-，28mn c a =-=-，消去a ，得98()6mn m n -+=-，两边同时乘以9，得8172()54mn m n -+=-，分解因式，得(98)(98)10m n --=.………………………………15分所以981,9810,m n -=⎧⎨-=⎩或982,985,m n -=⎧⎨-=⎩或9810,981,m n -=-⎧⎨-=-⎩或985,982,m n -=-⎧⎨-=-⎩解得1,2,m n =⎧⎨=⎩或10,913,9m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2,97,9m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1,932,3m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又,m n 是整数，所以后面三组解舍去，故1,2m n ==.因此，()3b m n =-+=-，2c mn =-=-，二次函数的解析式为232y x x =-+.………………………………20分易求得点A 、B 的坐标为（1,0）和（2,0），点C 的坐标为（0,2），所以△ABC 的面积为1(21)212⨯-⨯=. ………………………………25分。
历年全国初中数学竞赛试题及参考答案
2006年全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题（共5小题，每题6分，总分值30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且仅有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）1.在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米通过一个限速标志牌；而且从10千米处开始，每隔9千米通过一个速度监控仪. 恰好在19千米处第一次同时通过这两种设施，那么第二次同时通过这两种设施的千米数是( )(A)36 (B)37 (C)55 (D)902.已知，，且，那么a的值等于( )(A)－5 (B)5 (C)－9 (D)9△ABC的三个极点A，B，C均在抛物线上，而且斜边AB平行于x轴. 假设斜边上的高为h，那么( )(A)h＜1 (B)h＝1 (C)1＜h＜2 (D)h＞24.一个正方形纸片，用剪子沿一条只是任何极点的直线将其剪成两部份；拿出其中一部份，再沿一条只是任何极点的直线将其剪成两部份；又从取得的三部份中拿出其中之一，仍是沿一条只是任何极点的直线将其剪成两部份……如此下去，最后取得了34个六十二边形和一些多边形，那么至少要剪的刀数是( )(A)2004 (B)2005 (C)2006 (D)20075.如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q，假设QP＝QO，那么的值为( )(A)(B) (C)(D)二、填空题（共5小题，每题6分，总分值30分）6.已知a，b，c为整数，且a＋b＝2006，c－a＝2005. 假设a＜b，那么a＋b＋c的最大值为___________.7.如图，面积为的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c是整数，且b不能被任何质数的平方整除，那么的值等于________.8.正五边形广场ABCDE的周长为2000米. 甲、乙两人别离从A，C两点同时动身，沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分，那么动身后通过________分钟，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上.9.已知0＜a＜1，且知足…([x]表示不超过x的最大整数)，那么[10a]的值等于__________.10.小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码. 小明发觉，他家两次升位后的电话号码的八位数正是原先电话号码的六位数的81倍，那么小明家原先的电话号码是_________.三、解答题（共4小题，每题15分，总分值60分）11.已知，a、b为互质的正整数，且a≤8，.(1)试写出一个知足条件x；(2)求所有知足条件的x.12.设a，b，c为互不相等的实数，且知足关系式：求a的取值范围.13.如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点别离为A，B. 过点A做PB的平行线，交⊙O于点C. 连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K. 求证：.个都不等于119的正整数，，…，排列成一行数，其中任意持续假设干项之和都不等于119，求…的最小值.参考答案及评分标准一、1.解：因为4和9的最小公倍数为36，19＋36＝55，因此第二次同时通过这两种设施是在55千米处. 应选C．2. 解：由已知可得，．又，因此.解得．应选C．3. 解：设点A的坐标为，点C的坐标为（|c|<|a|），那么点B的坐标为，由勾股定理，得，，，因此．由于，因此，故斜边AB上高．应选B．4. 解：依照题意，用剪子沿只是极点的直线剪成两部份时，每剪开一次，使得各部份的内角和增加360°．于是，剪过k次后，可得（k＋1）个多边形，这些多边形的内角和为（k＋1）×360°．因为这（k＋1）个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34×（62－2）×180°=34×60×180°，其余多边形有（k＋1）－34＝k－33（个），而这些多边形的内角和很多于（k－33）×180°．因此（k ＋1）×360°≥34×60×180°＋（k－33）×180°，解得k≥2005．当咱们按如下的方式剪2005刀时，能够取得符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，取得1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，取得2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，取得58个三角形和1个六十二边形．再掏出33个三角形，在每一个三角形上剪一刀，又可取得33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便取得33个六十二边形和33×58个三角形．于是共剪了58＋33＋33×58＝2005（刀）．应选B．5.解：如图，设⊙O的半径为r，，那么，，．在⊙O中，依照相交弦定理，得．即，因此．连结DO，由勾股定理，得，即，解得．因此，．应选D．二、6. 解：由a＋b＝2006，c-a=2005，得a＋b＋c＝a＋4011．因为a+b＝2006，a＜b，a为整数，因此，a 的最大值为1002．于是，a＋b＋c的最大值为5013．7. 解：设正方形DEFG的边长为x，正三角形ABC的边长为m，那么．由△ADG ∽△ABC，可得.解得．于是.由题意，a＝28，b＝3,c＝48，因此.8. 解：设甲走完x条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，现在甲走了400x米，乙走了米．于是，且≤400，因此，≤x ＜．故x=13，现在．9. 解：因为0＜a＜1，且知足，因此…等于0或1．由题设知，其中有18个等于1，因此.因此，1≤＜2．故18≤30a＜19，于是6≤10a＜，因此[10a]=6．10.解：设原先电话号码的六位数为，那么通过两次升位后电话号码的八位数为．依照题意，有81×＝．记x=b×104+c×103+d×102+e×10+f，于是81×a×105+81x=208×105+a×106+x，解得x=1250×(208-71a)．因为0≤x＜，因此0≤＜，故＜a≤．因为a为整数，因此a＝2．于是．因此，小明家原先的电话号码为282500．三、11.解：（1）知足条件．……………………5分（2）因为，a,b为互质的正整数，且a≤8，因此，．当a＝1时，，如此的正整数b不存在．当a＝2时，，故b＝1，现在．当a＝3时，，故b＝2，现在．当a＝4时，，与a互质的正整数b不存在．当a＝5时，，故b＝3，现在．当a＝6时，，与a互质的正整数b不存在．当a＝7时，，故b＝3，4，5，现在，，．当a＝8时，，故b＝5，现在．因此，知足条件的所有分数为．…………………15分12.解法1：由①－2×②，得，因此．当时，b2+c2=2a2+16a+14=2(a+1)(a+7)>0．…………………10分又当a＝b时，由①，②得,③ac=a2-4a-5. ④将④两边平方，结合③得a2(a2+16a+14)=(a2-4a-5)2，化简得24a3+8a2-40a-25=0，故(6a+5)(4a2-2a-5)=0，解得，或．因此，a的取值范围为且，．……………15分解法2：因为，，因此＝＝，因此．又，因此b，c为一元二次方程⑤的两个不相等实数根，故，因此．当时，b2+c2=2a2+16a+14=2(a+1)(a+7)>0．…………………10分另外，当a＝b时，由⑤式有，即，或，解得，或．因此，a的取值范围为且，．……………15分13.证明：因为AC∥PB，因此∠KPE=∠ACE.又PA是⊙O的切线，因此∠KAP=∠ACE．故∠KPE=∠KAP，于是△KPE∽△KAP，因此，即KP2=KE·KA．……………5分由切割线定理，得KB2=KE·KA，因此，KP＝KB．…………………10分因为AC∥PB，因此，△KPE∽△ACE，于是，故，即PE·AC=CE·KB．…………………15分14.解：第一证明命题：关于任意119个正整数b1,b2,…，b119,其中必然存在假设干个（至少一个，也能够是全数）的和是119的倍数．事实上，考虑如下119个正整数b1，b1+b2，…，b1+b2+…+b119，①假设①中有一个是119的倍数，那么结论成立．假设①中没有一个是119的倍数，那么它们除以119所得的余数只能为1，2，…，118这118种情形．因此，其中必然有两个除以119的余数相同，不妨设为b1+…+b i和（1≤i＜j≤119），于是119|，从而此命题得证．…………………5分关于中的任意119个数，由上述结论可知，其中必然有假设干个数的和是119的倍数，又由题设知，它不等于119，因此，它大于或等于2×119，又因为，因此≥．②…………………10分取，其余的数都为1时，②式等号成立．因此，的最小值为3910．…………………15分。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛一试(A卷)试题(含答案)
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 若实数1m 满足98log (log )2024m ，则32log (log )m 的值为 ． 答案：4049．解：323898log (log )log (3log )12log (log )1220244049m m m ．2. 设无穷等比数列{}n a 的公比q 满足01q ．若{}n a 的各项和等于{}n a 各项的平方和，则2a 的取值范围是 ．答案：1,0(0,2)4． 解：因为数列{}n a 的各项和为11a q，注意到{}n a 各项的平方依次构成首项为21a 、公比为2q 的等比数列，于是2{}n a 的各项和为2121a q． 由条件知211211a a q q，化简得11a q ． 当(1,0)(0,1)q 时，22111(1),0(0,2)244a q q q ． 3. 设实数,ab 满足：集合2{100}A x x x a R 与3{}B x bx b R 的交集为[4,9]，则a b 的值为 ．答案：7．解：由于2210(5)25x x a x a ，故A 是一个包含[4,9]且以5x 为中点的闭区间，而B 是至多有一个端点的区间，所以必有[1,9]A ，故9a ．进一步可知B 只能为[4,) ，故0b 且34b b ，得2b ．于是7a b ．4. 在三棱锥P ABC 中，若PA 底面ABC ，且棱,,,AB BP BC CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为 ．答案：34． 解：由条件知PA AB ，PA AC ．因此PA AC ．在ABC 中，22219131cos 22132AB BC AC B AB BC ，故sin B ．所以1sin 2ABC S AB BC B 又该三棱锥的高为PA ，故其体积为1334ABC V S PA ． 5. 一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为,a b ．若事件“7a b ”发生的概率为17，则事件“a b ”发生的概率为 ． 答案：421． 解：设掷出1,2,,6 点的概率分别为126,,,p p p ．由于126,,,p p p 成等差数列，且1261p p p ，故16253413p p p p p p ． 事件“7a b ”发生的概率为1162561P p p p p p p ． 事件“a b ”发生的概率为2222126P p p p ． 于是22221216253411()()()333P P p p p p p p ． 由于117P ，所以21143721P ． 6. 设()f x 是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数()(2)x g x f 在区间[0,5)上的零点个数为25，则()g x 在区间[1,4)上的零点个数为 ．答案：11．解：记2x t ，则当[0,5)x 时，[1,32)t ，且t 随x 增大而严格增大．因此，()g x 在[0,5)上的零点个数等于()f t 在[1,32)上的零点个数．注意到()f t 有最小正周期5，设()f t 在一个最小正周期上有m 个零点，则()f t 在[2,32)上有6m 个零点，又设()f t 在[1,2)上有n 个零点，则625m n ，且0n m ，因此4,1m n ．从而()g x 在[1,4)上的零点个数等于()f t 在[2,16)[1,16)\[1,2) 上的零点个数，即311m n ．7. 设12,F F 为椭圆 的焦点，在 上取一点P （异于长轴端点），记O 为12PF F 的外心，若12122PO F F PF PF ，则 的离心率的最小值为 ．答案 解：取12F F 的中点M ，有12MO F F ，故120MO F F ． 记1212,,PF u PF v F F d ，则121212PO F F PM F F MO F F 12211()()2PF PF PF PF 222v u ， 222121222cos PF PF uv F PF u v d ，故由条件知222222v u u v d ，即22232u v d ． 由柯西不等式知222281(3)1()33d u v u v （当3v u 时等号成立）．所以 的离心率d e u v ．当::u v d 时， 的离心率e 取到最小值8. 若三个正整数,,a b c 的位数之和为8，且组成,,a b c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(,,)a b c 为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组．满足10a b c 的幸运数组(,,)a b c 的个数为 ．答案：591．解：对于幸运数组(,,)a b c ，当10a b c 时，分两类情形讨论． 情形1：a 是两位数，,b c 是三位数．暂不考虑,b c 的大小关系，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为3255C C 3!600 ．再考虑其中,b c 的大小关系，由于不可能有b c ，因此b c 与b c 的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组．情形2：,a b 是两位数，c 是四位数．暂不考虑,a b 的大小关系，类似于情形1，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600．再考虑其中,a b 的大小关系．若a b ，则必有20a b ，c 的四个数字是0,4,8,9的排列，且0不在首位，有33!18 种填法，除这些填法外，a b 与a b 的填法各占一半，故有600182912个满足要求的幸运数组． 综上，所求幸运数组的个数为300291591 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分） 在ABC 中，已知sin cos sin cos cos 22A AB B C，求cos C 的值．解：由条件知cos 44C A B． …………4分 假如44A B，则2C ，cos 0C ，但sin 04A ，矛盾． 所以只可能44A B ．此时0,2A B ，2C A ． …………8分注意到cos 04C A ，故2C ，所以,42A B ，结合条件得cos cos 2sin 22sin cos 244C A A A A2C ，又cos 0C ，化简得28(12cos )1C ，解得cos C…………16分 10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线22:1x y 的右顶点为A ．将圆心在y 轴上，且与 的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA 的所有可能的值． 解：考虑以0(0,)y 为圆心的好圆2220000:()(0)x y y r r ．由0 与 的方程消去x ，得关于y 的二次方程2220002210y y y y r ．根据条件，该方程的判别式22200048(1)0y y r ，因此220022y r ．…………5分对于外切于点P 的两个好圆12, ，显然P 在y 轴上．设(0,)P h ，12, 的半径分别为12,r r ，不妨设12, 的圆心分别为12(0,),(0,)h r h r ，则有2211()22h r r ，2222()22h r r ．两式相减得2212122()h r r r r ，而120r r ，故化简得122r r h． …………10分 进而221211222r r r r ，整理得 221122680r r r r ．① 由于12d r r ，(1,0)A ，22212()114r r PA h ，而①可等价地写为2212122()8()r r r r ，即228PA d ，所以d PA…………20分 11.（本题满分20分）设复数,z w 满足2z w ，求2222S z w w z 的最小可能值．解法1：设i (,)z a b a b R ，则2i w a b ，故2222242(1)i 642(3)i S a a b b a a a b b a ，22222464a a b a a b2222(1)5(3)5a b a b ． ①…………5分记1t a ．对固定的b ，记255B b ，求22()(4)f t t B t B 的最小值．由()(4)f t f t ，不妨设2t ．我们证明0()()f t f t ，其中0t ． 当0[2,]t t 时，04[2,4]t t ，22200()()()((4))((4))f t f t B t B t B t2222220000(4)((4))(28)(28)t t t t t t t t0 （用到02t t 及228y x x 在[2,) 上单调增）． …………10分当0[,)t t 时，22200()()(4)(4)f t f t t B t B t B222200(4)(4)t t t t 000()8t t t t t t0 （用到04t t ）． …………15分所以200()(4)1616S f t B t ．当0b （①取到等号），011a t 时，S 取到最小值16．…………20分解法2：设1i,1i (,)R z x y w x y x y ，不妨设其中0x ． 计算得2222(41)(24)i z w x x y x y ，2222(41)(24)i w z x x y x y ．所以22Re(2)Re(2)S z w w z 22224141x x y x x y ． …………5分利用a b a b ，可得8S x ，① 亦有22222212(1)2(1)S x y x y x ． ②…………10分注意到方程282(1)x x 2．当2x 时，由①得816S x ．当02x 时，由②得222(1)2(12))16S x ．因此当2,0x y 时，S 取到最小值16． …………20分 解法3：因为2w z =−，所以我们有222(2)2411z z z z z22(2)26411z z z z z从而上两式最右边各项分别是z 到复平面中实轴上的点1−1−，33+的距离，所以把i z x y =+换成其实部x 时，都不会增大.因此只需 考虑函数22()2464f x x x x x +−+−+在R 上的最小值.…………10分因为1313−−<<−+<，因此我们有以下几种情况：1.若1x≤−,则2()24f x x x=−,在这一区间上的最小值为(116f−=+；2.若(13x∈−−，则()88f x x=−+，在这一区间上的最小值为(316f=−+…………15分3.若31x∈−，则2()24f x x x=−+，在这一区间上的最小值为((3116f f=−+=−+；4.若13x∈− ，则()88f x x=−，在这一区间上的最小值为(116f−+=−+；5.若3x≥+，则2()24f x x x=−，在这一区间上的最小值为(316f=+.综上所述，所求最小值为((3116f f=−+=−.…………20分。
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SB一.选择题（共6小题,1. （25 分）由1, 2, 3, 有（）A. 36 个满分25分）____4这四个数字组成四位数abed （数字可重复使用），要求满足a+c=b+d.这样的四位数共B. 40 个C. 44 个D. 48 个2.已知aMT，b冷-桓，c=V6 - 2,那么a, b, c的大小关系是（）A. a<b<cB. a<c<bC. b<a<cD. b<c<a3.方程x2+2xy+3y2=34的整数解（x, y）的组数为（）A. 3B. 4C. 5D. 64.已知正方形ABCD的边长为1, E为BC边的延长线上一点，CE=1,连接AE,与CD交于点F,连接BF并延长与线段DE交于点G,则BG的长为（）A.耍B.如C. 2^6D. 2^5T ~3 ~3~ ~3~5.已知实数a, b满足a2+b2=l,则a4+ab+b4的最小值为（）A. _18 B. 0 C. 1 D. 986.若方程x2+2px - 3p - 2=0的两个不相等的实数根xi，X2满足x： + x=4- （ Xo + x|），则实数P的所有可能的值之和为（）A. 0B. _ 3C. - 1D. _ 54 4%1.填空题（共4小题，满分50分）7.（25分）使得5x2m+l是完全平方数的整数m的个数为.8.（25分）已知互不相等的实数a, b, c满足a+^=b+^=c+^=t，则t=.b c a9.在AABC 中，已矢R AB=AC, ZA=40°, P 为AB 上一点，ZACP=20°,则里=.AP10.已知实数a, b, c 满足abc=-l, a+b+c=4, ―-—------------------- + -------------- +—-—----- 里，fllj a2+b2+c2=a 2-3a-l b2-3b-lC2-3C-1 9 -%1.解答题（共1小题，满分25分，每小题25分）11.（25分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60,求它的外接圆的面积.考点: 专题: 分析: 解点SB参考答案与试题解析选择题（共6小题，满分25分）______1.（25分）由1, 2, 3, 4这四个数字组成四位数甚^ （数字可重复使用），要求满足a+c=b+d.这样的四位数共有（）A. 36 个B. 40 个C. 44 个D. 48 个考点：数的十进制.分析：由题意可知这样的四位数可分别从使用的不同数字的个数分类考虑：（1）只用1个数字，（2）使用2个不同的数字，（3）使用3个不同的数字，（4）使用4个不同的数字，然后分别分析求解即可求得答案.解答：解：根据使用的不同数字的个数分类考虑：（1）只用1个数字，组成的四位数可以是1111, 2222, 3333, 4444,共有4个.（2）使用2个不同的数字，使用的数字有6种可能（1、2, 1、3, 1、4, 2、3, 2、4, 3、4）.如果使用的数字是1、2,组成的四位数可以是1122, 1221, 2112, 2211,共有4个；同样地，如果使用的数字是另外5种情况，组成的四位数也各有4个.因此，这样的四位数共有6x4=24个.（3）使用3个不同的数字，只能是1、2、2、3或2、3、3、4,组成的四位数可以是1232, 2123, 2321, 3212, 2343, 3234, 3432, 4323,共有8 个.（4）使用4个不同的数字1, 2, 3, 4,组成的四位数可以是1243, 1342, 2134, 2431, 3124, 3421, 4213, 4312,共有8个.因此，满足要求的四位数共有4+24+8+8=44个.故选C.点评：此题考查了整数的十进制表示法的知识.此题难度较大，解题的关键是注意掌握分类讨论思想的应用，注意可以从使用的不同数字的个数分类考虑.2.已知aM-1，b冷-桓，c*-2,那么a, b, c的大小关系是（）A. a<b<cB. a<c<bC. b<a<cD. b<c<a二次根式的混合运算；实数大小比较.计算题.先求出a、切c的倒数并分母有理化，然后根据一个数的倒数越大，则这个数越小，进行大小比较. 解：a= ^2 T, b= [3 - V2> c=佰-2,M+i，L l ] KM =也妥危+1,a b V3-V2 C V6-2 6- 4 2 *2+1<V3+V2>cab因此b<a<c.故选C.本题考查了二次根式的混合运算，实数的大小比较，求差、求商或求倒数是实数大小比较常用的方法，本题想到求倒数，根据比较倒数的大小从而得出原数的大小是解题的关键.3.方程x2+2xy+3y2=34的整数解（x, y）的组数为（）A. 3B. 4C. 5D. 6 考点：非一次不定方程（组）.分析：首先将原方程变形为：（x+y） 2+2y2=34,即可得x+y必须是偶数，然后设x+y=2t,可得新方程2t2+y2=17, 解此方程即可求得答案.解答：解：方程变形得：（x+y） 2+2y2=34,..•34与2y2是偶数，「.x+y必须是偶数，设x+y=2t,则原方程变为：（2t）2+2y2=34,.•.2t2+y2=17,它的整数解为（诟±2,ly=±3则当y=3, t=2 时，x=l；当y=3, t=-2 时，x= - 7；当y= - 3, t=2 时，x=7 ；当y= - 3, t= - 2 时，x= - 1.・.・原方程的整数解为：（1, 3）, （- 7, 3）, （7, -3）, （ - 1, -3）共4组.故选B.点评：此题考查了非一次不定方程的知识.此题难度较大，解题的关键是将原方程变形为：（x+y） 2+2y2=34,由x+y必须是偶数，然后设x+y=2t,从而得新方程2t2+y2=17-4.已知正方形ABCD的边长为1, E为BC边的延长线上一点，CE=1,连接AE,与CD交于点F,连接BF并延长与线段DE交于点G,则BG的长为（）A.也B.垂C. 2^6D. 2^5~3 ~3 ~3~考点：正方形的性质；全等:角形的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理.分析：利用全等三角形的判定AAS得出△ ADF^AECF,进而得出FG是ADCP的中位线，得出DG=GP=PE=A DE【^,再利用勾股定理得出BG的长即可.3 3解答：解：过点C作CP〃BG,交DE于点P.•.•BC=CE=1,「.CP是Z^BEG的中位线，.♦.P为EG的中点.又•..AD=CE=1, AD〃CE,在左ADF^AECF中，r ZAFD=ZEFCV- ZADC=ZFCE，,AD=CEAAADF^AECF （AAS）,.・.CF=DF,又CP//FG,.♦.FG是ZXDCP的中位线，.♦.G为DP的中点.VCD=CE=1,DE=>/2，因此DG=GP=PE=1DE=^M.3 3连接BD,易知Z BDC= Z EDC=45°,C. - 1所以 ZBDE=90°.又 VBD=V2， _••• BG=7 BD 2+DG 2=^2+|^y^ - 故选:D.点评：此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定和勾股定理应用等知识，根据已知得出正确辅助线是 解题关键.5. 已知实数a, b 满足a 2+b 2=l,则a 4+ab+b 4的最小值为( )A. _1B. 0C. 1D. 9~ 88考点：二次函数的最值；完全平方公式. 专题：常规题型.分析：利用完全平方公式把a 4+ab+b 4配成关于ab 的二次三项式，再根据平方数非负数(a - b) 2=a 2 - 2ab+b 2求出 ab 的取值范围，然后根据二次函数的最值问题解答.解答：解：(a - b) ~=a~ - 2ab+b 2>0,2labl<a 2+b 2=l,令 y=a 4+ab+b 4= ( a 2+b 2 ) 2 - 2a 2b 2+ab= - 2a 2b 2+ab+l= - 2 (ab - — ) 2+—, 48当-A<ab<A 时，y 随ab 的增大而增大， 2 4S-<ab<Aat, y 随ab 的增大而减小， 42故当 ab=-［时，a 4+ab+b 4 的最小值，为-2 2+—= - 2x —+-r!=0,2 2 4 8 16 8即a 4+ab+b 4的最小值为0,当且仅当lal=lbl 时，ab=-—,此时a=-」W b=—,或a=^, b=-—. 22 2 22故选B.点评：本题考查了二次函数的最值问题，完全平方公式，配方成关于ab 的形式并求出ab 的取值范围是解题的关键.6.若方程x 2+2px - 3p - 2=0的两个不相等的实数根xi ，X2满足xf + x*4- ( x ； + x,)，则实数P 的所有可能的值之和为( )A. 0考点：根与系数的关系.分析：首先利用根与系数的关系得到两根与P 的关系，然后利用x ； + x=4 - 得P值即可求得答案.得到有夫P 的方/k=2m ~'k-l=5 V,解方程组即可求得答8. (25分)已知互不相等的实数解答：解：由一元二次方程的根与系数的关系可得xi+X2=-2p, xi ・X2=-3p-2,•••x 《+x]=(X] + X2)2 _ 2xi ・X2=4p2+6p+4,x ；+x*=(xi+X2)[ ( X[ + x2)2 - 3XI ・X 2]=-2p (4p2+9p+6). ,•，x ；+x ；=4-(X 壹+x ；)得x ：+x 乒4-(x ；+x ；), 4p 2+6p+4=4+2p (4p 2+9p+6), .*.p (4p+3) (p+1) =0, ・ 3 pl=0» p2= - 一， p3= - 1.4代入检验可知：以P 1=O, P2= ■—均满足题意，P3= - 1不满足题意.4因此，实数p 的所有可能的值之和为pi+P2=0+ (-§)=-§.44故选B.点评：本题考查了根与系数的关系，解题的关键是正确的利用根与系数的关系得到有关p 的方程并求解.填空题(共4小题，满分50分)7. (25分)使得5x2m +l 是完全平方数的整数m 的个数为1 考点：完全平方数.分析：由5x2m +l 是完全平方数，可设5x2m +l=n 2 (其中n 为正整数)，可得5x2m =n 2 - 1= (n+1) (n - 1),即可K-r x 9m ~ 2(k-5得n 为奇数，然后设n=2k- 1 (其中k 是正整数)，即可得方程组 卜。
2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6小题，每题均给出了代号为的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.D C B A ,,,1．设，213a a +=213b b +=，且，则代数式a b ≠211a b 2+的值为 （ ） )(A 5. 7. 9. 11.)(B )(C )(D 【答】B .解 由题设条件可知2310a a −+=，，且2310b b −+=a b ≠，所以是一元二次方程的两根，故，，因此,a b 2310x x −+=3a b +=1ab =222222222211()23217()1a b a b ab a b a b ab ++−−×+====. 故选B . 2．如图，设AD ，BE ，CF 为三角形的三条高，若ABC 6AB =，5BC =，，则线段3EF =BE 的长为 （ ）)(A 185. 4. )(B )(C 215. )(D 245. 【答】. D 解 因为AD ，BE ，CF 为三角形的三条高，易知ABC ,,,B C E F 四点共圆，于是△AEF ∽△，故ABC 35AF EF AC BC ==，即3cos 5BAC ∠=，所以4sin 5BAC ∠=. 在Rt △ABE 中，424sin 655BE AB BAC =∠=×=. 故选. D 3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是 （ ）)(A 15. )(B 310. )(C 25. )(D 12. 【答】. C 解 能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54，共8个.所以所组成的数是3的倍数的概率是82205=. 故选C. 4．在△中，，∠=，ABC 12ABC ∠=°132ACB °BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点,M N 分别在直线和直线AC AB 上，则 （ ）)(A BM CN >. )(B BM CN =.)(C . BM CN <)(D BM 和CN 的大小关系不确定.【答】B .解 ∵，12ABC ∠=°M 为的外角平分线，∴ABC ∠1(18012)842MBC ∠=°−°=B °°. 又，∴180********BCM ACB ∠=°−∠=°−°=180844848BMC ∠=°−°−°=°，∴.BM BC =又11(180)(180132)2422ACN ACB ∠=°−∠=°−°=°， ∴18018012()BNC ABC BCN ACB ACN ∠=°−∠−∠=°−°−∠+∠168(13224)=°−°+°12ABC =°=∠，∴. 因此，CN CB =BM BC CN ==.故选B .5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为，则的最小值为 （ ）r r )(A 39()8. )(B 49(8. )(C 59(8. )(D 98. 【答】 B .解 容易知道，4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况.设5种商品降价前的价格为a ，过了天. 天后每种商品的价格一定可以表示为n n 98(110%)(120%)()()1010k n k k a a −n k ⋅−⋅−=⋅⋅k −，其中为自然数，且0. k n ≤≤要使r 的值最小，五种商品的价格应该分别为：98()()1010i n i a −⋅⋅，1198()(1010i n i a +−−⋅⋅， 2298()(1010i n a +−i ⋅⋅−，3398()()1010i n i a +−⋅⋅−，4498()()1010i n i a ，其中i 为不超过的自然数. n +−−⋅⋅所以r 的最小值为44498()()91010(988()()1010i n i i n ia a +−−−⋅⋅=⋅⋅. 故选B . 6． 已知实数,x y满足(，则2008x y −=223233x y x y −+−2007−的值为 （ ）)(A . 2008. 2008−)(B )(C 1−. 1.)(D 【答】. D解 ∵(2008x y −=，∴x y ==+，y x −==+由以上两式可得x y =. 所以2(2008x =，解得，所以22008x =22222323320073233200720071x y x y x x x x x −+−−=−+−−=−=.故选.D二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．设12a −=，则5432322a a a a a a a +−−−+=−2−.解 ∵2213(122a a −===−，∴21a a +=， ∴543232323222()2(a a a a a a a a a a a a a a a a+−−−++−−++=−⋅−)2 33332221211(1)(11)2(1)1a a a a a a a a a a a−−+−−===−=−++=−+=−⋅−−−−.2．如图，正方形的边长为1，ABCD ,M N 为BD 所在直线上的两点，且AM =∠，则四边形的面积为135MAN =°AMCN 52解 设正方形的中心为O ，连，则ABCD AO AO BD ⊥，2AO OB ==,2MO ===, ∴MB MO OB =−=. 又， 135ABM NDA ∠=∠=°13590NAD MAN DAB MAB MAB ∠=∠−∠−∠=°−°−∠45=°−MAB AMB ∠=∠，所以△∽△ADN MBA ，故AD DNMB BA =，从而12AD DN BA MB =⋅==. 根据对称性可知，四边形的面积 AMCN11222222MAN S S MN AO ==×××=×××=△522. 3．已知二次函数2y x ax b =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为，，且m n 1m n +≤.设满足上述要求的b 的最大值和最小值分别为p ，q ，则p q +=12解 根据题意，是一元二次方程的两根，所以,m n 20x ax b ++=m n a +=−，. mn b =∵1m n +≤，∴1m n m n +≤+≤，1m n m n −≤+≤.∵方程的判别式，∴20x ax b ++=24a b Δ=−≥022()44a m n b +14≤=≤. 22244()()()1b mn m n m n m n ==+−−≥+−≥−1，故14b ≥−，等号当且仅当12m n 时取得； =−=122244()()1()b mn m n m n m n ==+−−≤−−≤，故14b ≤，等号当且仅当12m n 时取得. ==所以14p =，14q =−，于是12p q +=. 4．依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是 1 .解 1到3，结果都只各占1个数位，共占13223×=个数位； 24到，结果都只各占2个数位，共占个数位；292612×=210到，结果都只各占3个数位，共占23132266×=个数位；232到，结果都只各占4个数位，共占299468272×=个数位；2100到，结果都只各占5个数位，共占523162171085×=个数位；此时还差2008个数位.(312662721085)570−++++=2317到，结果都只各占6个数位，共占2411695570×=个数位.所以，排在第2008个位置的数字恰好应该是的个位数字，即为1. 2411第二试 （A ）一．（本题满分20分） 已知，对于满足条件221a b +=01x ≤≤的一切实数x ，不等式(1)(1)()0a x x ax bx b x bx −−−−−−≥ （1）恒成立.当乘积ab 取最小值时，求的值.,a b 解 整理不等式（1）并将代入，得221a b +=2(1)(21)0a b x a x a ++−++≥ （2）在不等式（2）中，令0x =，得；令0a ≥1x =，得.0b ≥易知10，a b ++>21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++−++的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知，不等式（2）对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，所以它的判别式，即2(21)4(1)0a a b Δ=+−++⋅≤a 14ab ≥. 由方程组 221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ （3） 消去b ，得16，所以421610a a −+=224a =或224a +=.又因为，所以0a≥4a =或4a +=，于是方程组（3）的解为,4,4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或,4.4a b ⎧=⎪⎪⎨−⎪=⎪⎩ 所以的最小值为ab 14，此时的值有两组，分别为 ,ab ,44a b +==和44a b +==. 二．（本题满分25分） 如图，圆与圆相交于O D ,A B 两点，为圆的切线，点在圆上，且.BC D C O AB BC =（1）证明：点O 在圆的圆周上.D （2）设△的面积为，求圆的的半径的最小值.ABC S D r 解 （1）连，因为为圆心，,,,OA OB OC AC O AB BC =，所以△OBA ∽△，从而OBC OBA OBC ∠=∠.因为OD ，所以,AB DB BC ⊥⊥9090DOB OBA OBC DBO ∠=°−∠=°−∠=∠，所以DB DO =，因此点O 在圆的圆周上.D （2）设圆的半径为a ，的延长线交于点O BO ACE ，易知BE AC ⊥.设2AC y =(0)y a <≤，，，则，，OE x =AB l =22a x 2y =+()S y a x =+22222222()2222()aS l y a x y a ax x a ax a a x y=++=+++=+=+=. 因为,22ABC OBA OAB BDO ∠=∠=∠=∠AB BC =,DB DO =，所以△∽△，所以BDO ABC BD BO AB AC=，即2r a l y =，故2al r y =. 所以22223222()4422a l a aS S a S y y y y ==⋅=⋅≥r ，即2≥r ，其中等号当a y =时成立，这时是圆O 的AC直径.所以圆的的半径的最小值为Dr 2. 三．（本题满分25分）设为质数，b 为正整数，且a 29(2)509(4511)ab a b +=+ （1）求，b 的值.a 解 （1）式即2634511()509509ab a b ++=，设634511,509509a b a b m n ++==，则 50965094351m a n a b 1−−== （2） 故，又，所以35116n m a −+=02n m =2351160m m a −+= （3）由（1）式可知，(2能被509整除，而509是质数，于是2)a b +2a b +能被509整除，故为整数，即关于的一元二次方程（3）有整数根，所以它的判别式为完全平方数.m m 251172a Δ=−不妨设（t 为自然数），则722251172a t Δ=−=511(511)(511)a t t t 22=−=+−.由于511和511的奇偶性相同，且511t +t −511t +≥，所以只可能有以下几种情况：①两式相加，得36，没有整数解.51136,5112,t a t +=⎧⎨−=⎩21022a +=②两式相加，得18，没有整数解. 51118,5114,t a t +=⎧⎨−=⎩41022a +=③两式相加，得12，没有整数解. 51112,5116,t a t +=⎧⎨−=⎩61022a +=④两式相加，得6，没有整数解.5116,51112,t a t +=⎧⎨−=⎩121022a +=⑤两式相加，得4，解得5114,51118,t a t +=⎧⎨−=⎩181022a +=251a =. ⑥两式相加，得2，解得5112,51136,t a t +=⎧⎨−=⎩361022a +=493a =，而4931729=×不是质数，故舍去. 综合可知.251a =此时方程（3）的解为3m =或5023m =（舍去）. 把，代入（2）式，得251a =3m =5093625173b ×−×==. 第二试 （B ）一．（本题满分20分）已知，对于满足条件221a b +=1,0x y xy +=≥的一切实数对(,)x y ，不等式220ay xy bx −+≥ （1）恒成立.当乘积ab 取最小值时，求的值.,a b 解 由可知011,0x y xy +=≥,01x y ≤≤≤≤.在（1）式中，令0,1x y ==，得；令0a ≥1,0x y ==，得b .0≥x 将代入（1）式，得，即1y =−22(1)(1)0a x x x bx −−−+≥2(1)(21)0a b x a x a ++−++≥ （2）易知10，a b ++>21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++−++的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知，不等式（2）对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，所以它的判别式，即2(21)4(1)0a a b Δ=+−++⋅≤a 14ab ≥. 由方程组 221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ （3） 消去b ，得16，所以421610a a −+=224a −=或224a +=，又因为，所以0a≥4a =或4a =.于是方程组（3）的解为,4,4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或,4.4a b ⎧=⎪⎪⎨−⎪=⎪⎩所以满足条件的的值有两组，分别为,ab ,44a b +==和44a b +==c ). 二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设为质数，b 为正整数，且满足a ,29(22)509(41022511)2a b c a b c b c ⎧+−=+−⎨−=⎩ (1)(2)求的值.(a b c +解 （1）式即2()509509=， 设66341022511,509509a b c a b c m n +−+−==，则 5096509423511m a n a b c −−−== （3） 故，又，所以35116n m a −+=02n m =2351160m m a −+= （4）由（1）式可知，(2能被509整除，而509是质数，于是22)a b c +−c 22a b +−能被509整除，故为整数，即关于的一元二次方程（4）有整数根，所以它的判别式为完全平方数.m m 251172a Δ=−不妨设（t 为自然数），则722251172a t Δ=−=511(511)(511)a t t t 22=−=+−.由于511和511的奇偶性相同，且511t +t −511t +≥，所以只可能有以下几种情况：①两式相加，得36，没有整数解. 51136,5112,t a t +=⎧⎨−=⎩21022a +=②两式相加，得18，没有整数解.51118,5114,t a t +=⎧⎨−=⎩41022a +=③两式相加，得12，没有整数解. 51112,5116,t a t +=⎧⎨−=⎩61022a +=④两式相加，得6，没有整数解.5116,51112,t a t +=⎧⎨−=⎩121022a +=⑤两式相加，得4，解得5114,51118,t a t +=⎧⎨−=⎩181022a +=251a =. ⑥两式相加，得，解得5112,51136,t a t +=⎧⎨−=⎩236102a +=2493a =，而4931729=×不是质数，故舍去.综合可知，此时方程（4）的解为或251a =3m =5023m （舍去）. =把，代入（3）式，得251a =3m =50936251273b c ×−×−==，即27c b =−. 代入（2）式得，所以b ，(27)2b b −−=5=3c =，因此()251(53)2008a b c +=×+=.。
2014全国初中数学联合竞赛试题答案及评分标准
全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知,x y 为整数，且满足22441111211()()()3x y x y x y，则x y 的可能的值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答】 C.由已知等式得2244224423x y x y x y xy x y x y ，显然,x y 均不为0，所以x y +＝0或32()xy x y =-.若32()xy x y =-，则(32)(32)4x y +-=-.又,x y 为整数，可求得12,x y ，或21.x y =-⎧⎨=⎩，所以1x y +=或1x y +=-.因此，x y +的可能的值有3个.2．已知非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，则22t xy yz zx =++的最大值为 （ ） A ．47 B ．59 C ．916 D ．1225【答】 A.21222()2()()4t xy yz zx x y z yz x y z y z =++=++≤+++212(1)(1)4x x x =-+-2731424x x =-++2734()477x =--+，易知：当37x =，27y z ==时，22t xy yz zx =++取得最大值47.3．在△ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =，则AE ＝（ ）ABCD 【答】 B .因为AD BC ⊥，BE AC ⊥，所以,,,P D C E 四点共圆，所以12BD BCBP BE ⋅=⋅=，又2BC BD =，所以BD =DP=又易知△AEP ∽△BDP ，所以AE PEBD DP =，从而可得PE AE BD DP =⋅== 4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 （ ）A ．12 B ．25 C ．23 D ．34【答】 B.若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝12种取法.所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20种取法.要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2＝8种.因此，所求概率为82205=. 5．设[]t 表示不超过实数t 的最大整数，令{}[]t t t =-.已知实数x 满足33118x x +=，则1{}{}x x+= （ ）A ．12 B．3 C．1(32D ．1 【答】 D . 设1x a x +=，则32223211111()(1)()[()3](3)x x x x x a a x x x x x+=++-=++-=-，所以2(3)18a a -=，因式分解得2(3)(36)0a a a -++=，所以3a =.由13x x +=解得1(32x =±，显然10{}1,0{}1x x <<<<，所以1{}{}x x+=1. 6．在△ABC 中，90C ∠=︒，60A ∠=︒，1AC =，D 在BC 上，E 在AB 上，使得△ADE 为等腰直角三角形, 90ADE ∠=︒ ,则BE 的长为 （ ）A．4- B．2- C．11)2D1【答】 A.过E 作EF BC ⊥于F ，易知△ACD ≌△DFE ，△EFB ∽△ACB . 设EF x =，则2BE x =，22AE x =-，)DE x =-，1DF AC ==，故2221)]x x +=-，即2410x x -+=.又01x <<，故可得2x =故24BE x ==-二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，1111a b c b c a c a b++=+-+-+-，则abc =____．【答】 0. 由题意知1111121212c a b++=---，所以 (12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)a b b c a c a b c --+--+--=---整理得22()8a b c abc -++=，所以abc =0. 2．使得不等式981715n n k <<+对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 ． 【答】144. 由条件得7889k n <<，由k 的唯一性，得178k n -≤且189k n +≥，所以2118719872k k n n n +-=-≥-=，所以144n ≤.A当144n =时，由7889k n <<可得126128k <<，k 可取唯一整数值127. 故满足条件的正整数n 的最大值为144.3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB BC =，108BPC ∠=︒，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心，则PAC ∠= ．【答】48︒.由题意可得PEA PEB CED AED ∠=∠=∠=∠， 而180PEA PEB AED ∠+∠+∠=︒，所以60PEA PEB CED AED ∠=∠=∠=∠=︒， 从而可得30PCA ∠=︒.又108BPC ∠=︒，所以12PBE ∠=︒，从而24ABD ∠=︒. 所以902466BAD ∠=︒-︒=︒， 11()(6630)1822PAE BAD CAE ∠=∠-∠=︒-︒=︒， 所以183048PAC PAE CAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒.4．已知正整数,,a b c 满足:1a b c <<<，111a b c ++=，2b ac =，则b = ．【答】36.设,a c 的最大公约数为(,)a c d =，1a a d =，1c c d =，11,a c 均为正整数且11(,)1a c =，11a c <，则2211b ac d a c ==，所以22|d b ，从而|d b ，设1b b d =（1b 为正整数），则有2111b a c =，而11(,)1a c =，所以11,a c 均为完全平方数，设2211,a m c n ==，则1b mn =，,m n 均为正整数，且(,)1m n =，m n <.又111a b c ++=，故111()111d a b c ++=，即22()111d m n mn ++=. 注意到222212127m n mn ++≥++⨯=，所以1d =或3d =.若1d =，则22111m n mn ++=，验算可知只有1,10m n ==满足等式，此时1a =，不符合题意，故舍去.若3d =，则2237m n mn ++=，验算可知只有3,4m n ==满足等式，此时27,36,48a b c ===，符合题意.因此，所求的36b =.第二试 （A ）一、（本题满分20分）设实数,a b 满足22(1)(2)40a b b b a +++=，(1)8a b b ++=，求2211a b+的值．解 由已知条件可得222()40a b a b ++=，()8ab a b ++=.设a b x +=，ab y =，则有2240x y +=，8x y +=， ……………………5分 联立解得(,)(2,6)x y =或(,)(6,2)x y =. ……………………10分D若(,)(2,6)x y =，即2a b +=，6ab =，则,a b 是一元二次方程2260t t -+=的两根，但这个方程的判别式2(2)24200∆=--=-<，没有实数根； ……………………15分若(,)(6,2)x y =，即6a b +=，2ab =，则,a b 是一元二次方程2620t t -+=的两根，这个方程的判别式2(6)8280∆=--=>，它有实数根.所以2222222222211()262282a b a b ab a b a b a b ++--⨯+====. ……………………20分 二．（本题满分25分）如图，已知O 为△ABC 的外心，AB AC =，D 为△OBC 的外接圆上一点，过点A 作直线OD 的垂线，垂足为H .若7BD =，3DC =，求AH .解 延长BD 交⊙O 于点N ，延长OD 交⊙O 于点E ，由题意得NDE ODB OCB OBC CDE ∠=∠=∠=∠=∠，所以DE 为BDC ∠的平分线. ……………………5分又点D 在⊙O 的半径OE 上，点C 、N 在⊙O 上，所以点C 、N 关于直线OE 对称，DN DC =. ……………………10分延长AH 交⊙O 于点M ，因为O 为圆心，AM OD ⊥，所以点A 、M 关于直线OD 对称，AH MH =.因此MN AC AB ==.……………………15分 又FNM FAB ∠=∠，FBA FMN ∠=∠，所以△ABF ≌△NMF ，所以MF BF =，FN AF =. ……………………20分因此，AM AF FM FN BF BN BD DN BD DC =+=+==+=+ 7310=+=，即210AH =，所以5AH =. ……………………25分三．（本题满分25分）设n 是整数，如果存在整数,,x y z 满足3333n x y z xyz =++-，则称n 具有性质P .（1）试判断1，2，3是否具有性质P ；（2）在1，2，3，…，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质P 的数有多少个？ 解 取1x =，0y z ==，可得33311003100=++-⨯⨯⨯，所以1具有性质P ；取1x y ==，0z =，可得33321103110=++-⨯⨯⨯，所以2具有性质P ；…………………5分 若3具有性质P ，则存在整数,,x y z 使得33()3()()x y z x y z xy yz zx =++-++++，从而可得33|()x y z ++，故3|()x y z ++，于是有39|()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++，即9|3，这是不可能的，所以3不具有性质P . ……………………10分（2）记333(,,)3f x y z x y z xyz =++-，则33(,,)()3()3f x y z x y z xy x y xyz =++-+- 3()3()()3()x y z x y z x y z xy x y z =++-+++-++N＝3()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++2221()()2x y z x y z xy yz zx =++++--- 2221()[()()()]2x y z x y y z z x =++-+-+-. 即(,,)f x y z 2221()[()()()]2x y z x y y z z x =++-+-+- ①……………………15分不妨设x y z ≥≥，如果1,0,1x y y z x z -=-=-=，即1,x z y z =+=，则有(,,)31f x y z z =+； 如果0,1,1x y y z x z -=-=-=，即1x y z ==+，则有(,,)32f x y z z =+； 如果1,1,2x y y z x z -=-=-=，即2,1x z y z =+=+，则有(,,)9(1)f x y z z =+； 由此可知，形如31k +或32k +或9k （k 为整数）的数都具有性质P .……………………20分 又若33|(,,)()3()()f x y z x y z x y z xy yz zx =++-++++，则33|()x y z ++，从而3|()x y z ++，进而可知39|(,,)()3()()f x y z x y z x y z xy yz zx =++-++++.综合可知：当且仅当93n k =+或96n k =+（k 为整数）时，整数n 不具有性质P .。
全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准(A卷和B卷)
全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准（A 卷和B 卷）第一试（A ）一、选择题（每小题7分，共42分）1．设实数a ，b ，c 满足：3a b c ++=，2224a b c ++=，则222222222a b b c c a c a b+++++=---（）A. 0B. 3C. 6D. 92．若抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，且过点A （m ，n ），B （m －8，n ），则n ＝（）A. 8B. 12C. 16D. 243．矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝10，E 、F 分别为矩形外的两点，BE ＝DF ＝4，AF ＝CE ＝3，则EF ＝（）A． B ．15 CD．4．已知O 为䝐标原点，位于第一象限的点A 在反比例函数1(0)y x x=>的图象上，位于第二象限的瀹B 在反比例函数4(0)y x x=-<的图象上且OA ⊥OB ，则tan ∠ABO 的值为（） A ．12B．2C ．1D ．25．已知实数x （y 满足关系式1xy x y --=，则22x y +的最小值为（） A．3-B．6-C ．1D．6+6．设n 是小于100的正整数且使2535n n +-是15的倍数，则符合条件的所有正整数n 的和是（） A ．285 B ．350 C ．540 D ．635 二、填空题（每小题7分，共28分）7．设a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根，则32234a b a ++的值为. 8．从三边长均为整数且周长为24的三角形中任取一个，它是直角三角形 的概率为.9．已知锐角△ABC 的外心为O ，AO 交BC 于D ，E 、F 分别为△ABD 、△ACD 的外心，若AB ＞AC ，EF ＝BC ，则∠C －∠B ＝.AB CD EF10．将数字1，2，3，…，34，35，36填在6×6的方格中，每个方格填一个数字，要求每行数字从左到右是从小到大的顺序，则第三列所填6个数字的和的最小值为.第一试（B ）一、选择题（每小题7分，共42分）1．设实数a ，b ，c 满足：3a b c ++=，2224a b c ++=，则222222222a b b c c a c a b+++++=---（）A. 12B. 9C. 6D. 32．若抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，且过点A （m ，n ），B （m －8，n ），则n ＝（）A. 8B. 12C. 16D. 243．矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝10，E 、F 分别为矩形外的两点，BE ＝DF ＝4，AF ＝CE ＝3，则EF ＝（） A． B ．15CD． 4．已知实数x ，y 满足关系式223x xy y ++=，则2()x y -的最大值为（）A ．3B ．6C ．9D ．125．已知O 为坐标原点，位于第一象限的点A 在反比例函数1(0)y x x=>的图象上，位于第二象限的点B 在反比例函数4(0)y x x=-<的图象上，且OA ⊥OB ，则tan ∠ABO 的值为（） A ．12B．2C ．1D ．26．设n 是小于100的正整数且使2232n n --是6的倍数，则符合条件的所有正整数n 的和是（） A ．784B ．850C ．1536D ．1634二、填空题（每小题7分，共28分）7．设a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根，则32234a b a ++的值为. 8．三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为.9．C 、D 两点在以AB 为直径的半圆周上，AD 平分∠BAC ，AB ＝20，AD＝AC 的长为.10．在圆周上按序摆放和为15的五个互不相等的正整数a，b，c，d，e，使得ab＋bc＋cd ＋de＋ea最小，则这个最小值为.第二试（A）1．（20分）关于xx有且仅有一个实数根，求实数m的取值范围.2．（25分）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E，且AC⊥BD，AB＝AC.过点D作DF⊥BD，交BA的延长线于点F，∠BFD的平分线分别交AD、BD于点M、N.（1）证明：∠BAD＝3∠DAC；（2）如果BF DF CDBD AC-=，证明：MN＝MD.3．（25分）设正整数m ，n 满足：关于x 的方程()()x m x n x m n ++=++至少有一个正整数解，证明：222()5m n mn +<.第二试（B ）1．（20分）若正数a ，b 满足ab ＝1，求11112M a b=+++的最小值. 2．（25分）如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ，且AC ⊥BD ，AB ＝AC ＝BD . 过点D 作DF ⊥BD ，交BA 的延长线于点F ，∠BFD 的平分线分别交AD 、BD 于点M 、N .（1）证明：∠BAD ＝3∠DAC ；（2）如果MN ＝MD ，证明：BF ＝CD ＋DF .3．（25分）若关于x 的方程2343410x x k -+-=至少有一个正整数根，求满足条件的正整数k 的值.2015年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试（A ）1. 解：D. 提示：∵3a b c ++=，2224a b c ++=，∴222222222444(2)(2)(2)222222a b b c c a c a b c a b c a b c a b +++---++=++=+++++------6()9a b c =+++=.2. 解：C. 提示：依题意，有22(8)(8)n m bm c m b m c =++=-+-+，于是可得82b m =-. ∵抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，∴240b c -=，∴221(4)4c b m ==-.因此222(82)(4)16n m bm c m m m m =++=+-+-=.3. 解：C. 提示：易知∠AFD ＝∠BEC ＝90°，△BEC ≌△DF A ，∴∠DAF ＝∠BCE . 延长F A ，EB 交于点G . ∵∠GAB ＝90°－∠DAF ＝∠ADF ， ∠GBA ＝90°－∠CBE ＝∠BCE ＝∠DAF ， ∴△BGA ∽△AFD ，且∠AGB ＝90°，∴AG ＝8，BG ＝6， ∴GF ＝11，GE ＝10，∴EF ==4. 解：A. 提示：过点A 、B 分别作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足为C 、D . 由OA ⊥OB 得∠AOB ＝90°，于是可得△AOC ∽△OBD ，∴12OAABO OB∠====. 5. 解：B. 提示：设x y t +=，则由题设条件可知11xy x y t =++=+，AB CD EFG∴x ，y 是关于m 的一元二次方程210m tm t -++=的两个实数根， 于是有：24(1)0t t ∆=-+≥，解得2t ≥+2t ≤-又∵22222()22(1)(1)3x y x y xy t t t +=+-=-+=--，∴当2t =-1x y ==）时，22x y +取得最小值，最小值为2(21)36---=-6. 解：D. 提示：∵2535n n +-是15的倍数， ∴25|(535)n n +-，∴5|3n ，∴5|n . 设5n m =（m 是正整数），则2222535125155120155(1)n n m m m m m +-=+-=++-. ∵2535n n +-是15的倍数，∴21m -是3的倍数， ∴31m k =+或32m k =+，其中k 是非负整数.∴5(31)155n k k =+=+或5(32)1510n k k =+=+，其中k 是非负整数. ∴符合条件的所有正整数n 的和是(5203550658095)(102540557085)635++++++++++++=. 7. 解：11. 提示：∵a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根， ∴1ab =-，1a b +=，21a a =+，21b b =+， ∴332222343423(1)42(1)3362a b a b b a a b b a a b a++=++=++++=+++ 3(1)3626()511a a b a b =++++=++=.8. 解：112. 提示：设三角形的三边长为a ，b ，c （a b c ≥≥）， 则324a a b c ≥++=，2()24a a b c <++=，∴812a ≤<，故a 的可能取值为8，9，10或11， 满足题意的数组（a ，b ，c ）可以为： （8，8，8），（9，9，6），（9，8，7），（10，10，4），（10，9，5），（10，8，6）， （10，7，7），（11，11，2），（11，10，3），（11，9，4），（11，8，5），（11，7，6）. 共12组，其中，只有一组是直角三角形的三边长， ∴所求概率为112.9. 解：60°. 提示：作EM ⊥BC 于点M ，FN ⊥BC 于点N ，FP ⊥EM 于点P . ∵E 、F 分别为△ABD 、△ACD 的外心， ∴M 、N 分别为BD 、CD 的中点. 又EF ＝BC ，∴PF ＝MN ＝12BC ＝12EF ，∴∠PEF ＝30°. 又EF ⊥AD ，EM ⊥BC ，∴∠ADC ＝∠PEF ＝30°.又∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝∠B ＋12(180°－2∠C )＝90°＋∠B －∠C ， ∴∠C －∠B ＝90°－∠ADC ＝60°.10. 解：63. 提示：设第三列所填6个数字按从小到大的顺序排列后依次为A ，B ，C ，D ，E ，F .∵A 所在行前面需要填两个比A 小的数字，∴A 不小于3； ∵B 所在行前面需要填两个比B 小的数字，且A 及A 所在行前面两个数字都比B 小，∴B 不小于6.同理可知：C 不小于9，D 不小于12，E 不小于15，F 不小于18.因此，第三列所填6个数字之和A ＋B ＋C ＋D ＋E ＋F ≥3＋6＋9＋12＋15＋18＝63. 如图即为使得第三列所填6个数字之和取得最小值的一种填法（后三列的数字填法不唯一）.第一试（B ）1. 解：B. 提示：∵3a b c ++=，2224a b c ++=，∴222222222444(2)(2)(2)222222a b b c c a c a b c a b c a b c a b +++---++=++=+++++------6()9a b c =+++=.2. 解：C. 提示：依题意，有22(8)(8)n m bmc m b m c =++=-+-+，于是可得82b m =-. ∵抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，∴240b c -=，∴221(4)4c b m ==-.因此222(82)(4)16n m bm c m m m m =++=+-+-=.3. 解：C. 提示：易知∠AFD ＝∠BEC ＝90°，△BEC ≌△DF A ，∴∠DAF ＝∠BCE . 延长F A ，EB 交于点G . ∵∠GAB ＝90°－∠DAF ＝∠ADF ， ∠GBA ＝90°－∠CBE ＝∠BCE ＝∠DAF ， ∴△BGA ∽△AFD ，且∠AGB ＝90°，∴AG ＝8，BG ＝6， ∴GF ＝11，GE ＝10，∴EF ==4. 解：D. 提示：设x y t -=，则x y t =+，AB CD EFG代入题设等式得22()()3y t y t y y +++++=，整理得223330y ty t ++-=. 由判别式22(3)12(3)3t t ∆=--≥得t -≤≤，故22()12x y t -=≤. 5. 解：A. 提示：过点A 、B 分别作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足为C 、D . 由OA ⊥OB 得∠AOB ＝90°，于是可得△AOC ∽△OBD ，∴12OAABO OB∠====. 6. 解：D. 提示：∵2232n n --是6的倍数， ∴22|(232)n n --，∴2|3n ，∴2|n .设2n m =（m 是正整数），则2222232862662(1)n n m m m m m --=--=-+-. ∵2232n n --是6的倍数，∴21m -是3的倍数，∴31m k =+或32m k =+，其中k 是非负整数.∴2(31)62n k k =+=+或2(32)64n k k =+=+，其中k 是非负整数. ∴符合条件的所有正整数n 的和是(2814869298)(41016828894)1634++++++++++++=.7. 解：11. 提示：∵a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根， ∴1ab =-，1a b +=，21a a =+，21b b =+， ∴332222343423(1)42(1)3362a b a b b a a b b a a b a++=++=++++=+++ 3(1)3626()511a a b a b =++++=++=.8. 解：12. 提示：设三角形的三边长为a ，b ，c （a b c ≥≥）， 则324a a b c ≥++=，2()24a a b c <++=，∴812a ≤<，故a 的可能取值为8，9，10或11， 满足题意的数组（a ，b ，c ）可以为： （8，8，8），（9，9，6），（9，8，7），（10，10，4），（10，9，5），（10，8，6）， （10，7，7），（11，11，2），（11，10，3），（11，9，4），（11，8，5），（11，7，6）. 共12组，∴三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为12.9. 解：4. 提示：连接OD 、OC ，作DE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F . ∵AD 平分∠BAC ，∴∠DOB ＝2∠BAD ＝∠OAC .又OA ＝OD ，∴△AOF ≌△ODE ，∴OE ＝AF ，∴AC ＝2OF ＝2OE . 设AC ＝2x ，则OE ＝AF ＝x . 在Rt △ODE中，由勾股定理得DE =在Rt △ADE 中，AD 2＝DE 2＋AE 2，即222(100)(10)x x =-++，解得x ＝2.∴AC ＝2x ＝4.10. 解：37. 提示：和为15的五个互不相等的正整数只能是1，2，3，4，5.注意到五个数在圆周上是按序摆放的，且考虑的是和式ab bc cd de ea ++++，不妨设a ＝5.如果1和5的位置不相邻，不妨设c ＝1（如图2）， 此时的和式为155P b b d ed e =++++； 交换1和b 的位置后，得到如图3的摆法， 此时的和式为255P b bd ed e =++++.∵1255(5)(1)0P P b d bd d b -=+--=-->，∴12P P >.因此，交换1和b 的位置使得1和5相邻（如图3）以后，和式的值会变小. 如图3，如果d ＝2，此时的和式为35225P b b e e =++++； 交换e 和2的位置以后，得到如图4的摆法，此时的和式为45210P b be e =++++. ∵342510(5)(2)0P P b e be b e -=+--=-->，∴34P P >. 因此，交换e 和2的位置使得2和5相邻以后和式的值会变小. 如果b ＝2，此时的和式为55225P d ed e =++++；交换e 和2的位置以后，得到如图5的摆法，此时的和式为65210P e ed d =++++. ∵5625104(2)0P P e e e -=+--=->，∴56P P >.因此，交换e 和2的位置使得2和5相邻以后和式的值会变小. 综上可知：1和2摆在5的两边（如图5）时，和式的值会变小. 当d ＝3，e ＝4时，和式的值为754126103P =++++=； 当d ＝4，e ＝3时，和式的值为853*******P =++++=. 因此，所求最小值为37.第二试（A ）1. 解：将所给方程记为方程①，显然有2x m ≥且1x ≥.若0m <x >，此时方程①无解，不符合题意，故0m ≥.方程①变形得x两边平方后整理得2242x m +-=- 再平方，整理得228(2)(4)m x m -=-.显然，应该有02m ≤<，并且此时方程①只可能有解x =将x =1=-，化简整理得，于是有403m ≤≤，dddd e图1图2图3图4图5此时方程①有唯一解x =综上所述，所求实数m 的取值范围为403m ≤≤.2. 证明：（1）在BE 上取一点P ，使得∠BAP ＝∠DAC ， 则△BAP ≌△CAD ，∴AP ＝AD .又AE ⊥PD ，∴△ADE ≌△APE ，∴∠P AE ＝∠DAE ， ∴∠P AE ＝∠BAP ＝∠DAC ，∴∠BAD ＝3∠DAC .（2）设∠DAC ＝α，则∠BAC ＝2α，∠BAD ＝3α，∠NDM ＝90°－α. 在FB 上截取FQ ＝FD ，连接QD ，则BQ ＝BF －FQ ＝BF －FD . 又BF DF CD BD AC -=，∴BQ CDBD AC=. 又∠QBD ＝∠DCA ，∴△QBD ∽△DCA ，∴∠QDB ＝∠DAC .又∵∠DBC ＝∠DAC ，∴∠QDB ＝∠DBC ，∴QD ∥BC ，∴∠FQD ＝∠ABC . 又AB ＝AC ，∠BAC ＝2α，∴∠ABC ＝90°－α，∴∠FQD ＝90°－α. 又FQ ＝FD ，∴∠BFD ＝2α.∵FN 平分∠BFD ，∴∠AFM ＝α，∴∠NMD ＝∠AMF ＝∠BAD －∠AFM ＝3α－α＝2α， ∴∠MND ＝180°－∠NMD －∠NDM ＝90°－α＝∠MDN ，∴MN ＝MD . 3. 证明：方程即2(1)0x m n x mn m n ++-+--=①， 方程①的判别式222(1)4()()42()1()2()1m n mn m n m n mn m n m n m n ∆=+----=+-+++=-+++.不妨设m n ≥，由题设可知，整系数方程①至少有一个正整数解，∴∆应为完全平方数. 注意到222()2()1(1)4(1)m n m n m n n m n ∆=-+++=-++>-+，22()2()1(3)(488)m n m n m n m n ∆=-+++=-+--+，若4880m n -+>，即22m n >-，则2(3)m n ∆<-+，从而有22(1)(3)m n m n -+<∆<-+，故只可能2(2)m n ∆<-+， 即22()2()1(2)m n m n m n -+++=-+，整理得332m n =-， 这与m ，n 均为正整数矛盾.因此22m n ≤-，从而可得2m n <，∴2mn<. 又∵112m n >>，∴有1()(2)02m m n n --<，整理即得222()5m n mn +<.第二试（B ）1. 解：∵1ab =，∴1b a=， ∴2111111211211211212321a a M a b a a a a a a a a=+=+=+=+-=-++++++++++. 设232a a N a++=，则22333N a a =++=+++当a =.∴103N <≤=-111(32M N=-≥--=.因此，当ab =时，11112M a b =+++取得最小值2.2. 证明：（1）在BE 上取一点P ，使得∠BAP ＝∠DAC ，则△BAP ≌△CAD ，∴AP ＝AD .又AE ⊥PD ，∴△ADE ≌△APE ，∴∠P AE ＝∠DAE ，∴∠P AE ＝∠BAP ＝∠DAC ，∴∠BAD ＝3∠DAC .（2）设∠DAC ＝α，则∠BAC ＝2α，∠BAD ＝3α.∵AC ⊥BD ，∴∠NDM ＝90°－α.∵MN ＝MD ，∴∠MND ＝∠MDN ＝90°－α，∴∠NMD ＝180°－∠MND －∠NDM ＝2α，∴∠AMF ＝2α，∴∠AFM ＝∠BAD －∠AMF ＝3α－2α＝α.∵FN 平分∠BFD ，∴∠BFD ＝2∠AFM ＝2α.在FB 上截取FQ ＝FD ，连接QD ，则∠FQD ＝90°－α.又AB ＝AC ，∠BAC ＝2α，∴∠ABC ＝90°－α，∴∠FQD ＝∠ABC ，∴QD ∥BC ，∴∠QDB ＝∠DBC .又∵∠DBC ＝∠DAC ，∴∠QDB ＝∠DAC .又∵DB ＝AC ，∠QBD ＝∠DCA ，∴△QBD ∽△DCA ，∴BQ ＝CD ，∴BF ＝BQ ＋FQ ＝CD ＋DF .3. 解：设方程的两个根为x 1，x 2，且x 1为正整数，则1234x x +=，12341x x k =-.由1234x x +=知2134x x =-，∴ x 2也是整数.由k 为正整数及12341x x k =-可知20x >，∴x 2是正整数.注意到121212(1)(1)134(1)x x x x x x k ++=+++=+，∴1217|(1)(1)x x ++，∴117|(1)x +或217|(1)x +. 若117|(1)x +，则由112134x x x +≤+=知：1117x +=或1134x +=. 当1117x +=时，116x =，218x =，此时3411618k -=⨯，k 无整数解； 当1134x +=时，133x =，21x =，此时341331k -=⨯，解得k ＝1. 若217|(1)x +，同样可得k ＝1.∴满足条件的正整数k ＝1.。
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2010年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共5小题，每小题7分，满分35分）（1）计算的值为（）．2222010200920102009201122009--⨯+⨯（A ）1 （B ） （C ）2 009（D ）2 0101-【解】选A ．原式．22222222010200920102009120102009(20112)20102009--===---（2）如图，是一个正方体的表面展开图，正方体的每个面都标注了字母．在展开前，与标注字母的面相对的面内标注的字母为（）．a （A ） （B ）b d （C ） （D ）e f 【解】选B ．（3）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，E 是AD 的中点，,6AB BC CD ++=，则梯形ABCD 的面积等于（）．BE =（A ）13（B ）8（C ） （D ）4132【解】选D ．如图，过点E 作交BC 于点F ，//EF AB 则,,12BF BC =11()(6)22EF AB CD BC =+=-又∵,∴BC AB ⊥EF BC⊥∴在Rt △中，．BFE 222EF BF BE +=∴，即，22211[(6)]()22BC BC -+=2680BC BC -+=解得 或，则或,2BC =4BC =2EF =1EF =第（2）题A BCDEFABC DE第（3）题∴ ．4ABCDS EF BC =⋅=四四（4）某个一次函数的图象与直线平行，与轴，轴的交点分别为132y x =+x y A ，B ，并且过点（，），则在线段上（包括点A ，B ），横、纵坐标都是整数的2-4-AB 点有（ ）．（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个【解】选B ．根据题意，设一次函数的解析式为，12y x b =+由点（，）在该函数图象上，得，解得．2-4-14(2)2b -=⨯-+3b =-所以，．可得点A （6，0），B （0，）．132y x =-3-由，且为整数，取时，对应的是整数．06x ≤≤x 0,2,4,6x =y 因此，在线段上（包括点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有4个．AB （5）如图，一个半径为的圆形纸片在边长为（）的等边三角形内任ra a ≥意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（ ）．（A ） （B2π3r 2（C ）（D ）2π)r -2πr 【解】选C ．如图，当圆形纸片运动到与的两边相切的位置时，过圆形纸片的圆心作两边A ∠1O 的垂线，垂足分别为D ，E ，连，则Rt △中，，，1AO 1ADO 130O AD∠=︒1O D r =．AD =∴．有．12112ADO SO D AD ∆=⋅=1122ADO ADO ES S ∆==四四四∵由题意，，得，1120DO E ∠= 12π3O DES r =四四∴圆形纸片不能接触到的部分的面积为22π3)3r -四2π)r =-第（5）题AC二、填空题（本大题共5小题，每小题7分，满分35分）（6）如图，有五张点数分别为2，3，7，8，9的扑克牌，从中任意抽取两张，则其点数之积是偶数的概率为 ．【解】．710根据题意，当不考虑抽牌顺序时，可以画出如下的树形图从上图可以看出，从五张牌中任意抽取两张，共有10种抽法，其中抽取的点数之积是偶数的有7种，所以点数之积是偶数的概率．710P =（7）如图，是一个树形图的生长过程，自上而下，一个空心圆生成一个实心圆，一个实心圆生成一个实心圆和一个空心圆，依此生长规律，第9行的实心圆的个数是 ．【解】21个．观察图形规律，可得，从第3行起，每行中的实心圆的个数都是上两行实心圆个数的和．于是，第7行实心圆的个数为358（个）；+=第8行实心圆的个数为5813（个）；+=第9行实心圆的个数为81321（个）．+=（8）如图，在△ABC 中，中线CM 与高线点数之积378962141618378921242756789638972第（6）题123456……第（7）题C ABDMNCD 三等分，则等于 （度）.ACB ∠B ∠【解】.30︒根据题意，可得，，.CD AB ⊥AM MB =ACD MCD BCM ∠=∠=∠∵，，,ACD MCD ∠=∠CD CD =90CDA CDM ∠=∠=︒∴△△. ∴.ACD ≅MCD ∠12AD DM AM ==过点作于点N ,M MN BC ⊥∵,,,DCM NCM ∠=∠CM CM =90CDM CNM ∠=∠=︒∴△△. ∴.DCM ≅NCM ∠DM NM =于是，∴在Rt △中，.12NM MB =MNB 30B ∠=︒（9）有个连续的自然数1，2，3，…，，若去掉其中的一个数后，剩下的数n n x 的平均数是16，则满足条件的和的值分别是 .n x （参考公式：）2)1(321+=++++=n n n S n 【解】，；，；，.30n =1x =31n =16x =32n =32x =由已知，个连续的自然数的和为.n (1)2n n n S +=若，剩下的数的平均数是 ；x n =12n S n nn -=-若，剩下的数的平均数是 ，1x =1112n S nn -=+-故，解得 .16122nn+≤≤3032n ≤≤当时，，解得；30n =30(301)29162x ⨯+⨯=-1x =当时，，解得；31n =31(311)30162x ⨯+⨯=-16x =当时，，解得.32n =32(321)31162x ⨯+⨯=-32x =（10）母亲节到了，小红，小莉，小莹到花店买花送给自己的母亲.小红买了3枝玫瑰，7枝康乃馨，1枝百合花，付了14元；小莉买了4枝玫瑰，10枝康乃馨，1枝百合花，付了16元；小莹买上面三种花各2枝，则她应付元．【解】20．方法一：设玫瑰、康乃馨、百合花的单价分别为元，元，元，x y z 根据已知条件，列出方程组3714,41016.x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩消去，得．③z 23x y =-将③代入①，得．④82z y =+由③，④得 ．有 ．所以，小莹应付20元．10x y z ++=2()20x y z ++=方法二：，(37)(410)2()m x y z n x y z x y z +++++=++．(34)(710)()222m n x m n y m n z x y z +++++=++∴ 解得342,7102,2.m n m n m n +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩4,6.n m =-⎧⎨=⎩∴．2()6(37)4(410)61441620x y z x y z x y z ++=⨯++-++=⨯-⨯=三、解答题（本大题共4小题，每小题满分20分，共80分）（11）（本小题满分20分）已知，抛物线（）经过、2y ax bx c =++0≠a A B 图中的曲线是它的一部分．根据图中提供的信息，（Ⅰ）确定，，的符号；a b c （Ⅱ）当变化时，求的取值范围．b a b c ++【解】（Ⅰ）如图，由抛物线开口向上，得．……0a >由抛物线过点，得．……6分(0,1)-10c =-<由抛物线对称轴在轴的右侧，得，又 ，得．y 02ba->0a >0b <∴，，．……………………………………10分0a >0b <0c <（Ⅱ）由抛物线过点，得．(1,0)-0a b c -+=即，由，得．……………………………………16分1a b =+0a >1b >-∴，∴．10b -<<(1)12a b c b b b ++=++-=①②∴．……………………………………20分20a b c -<++<（12）（本小题满分20分）设直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为．若均为整数，且,a b c ,,a b c ，求满足条件的直角三角形的个数．1()3c ab a b =-+【解】由勾股定理，得． ……………………………………3分222c a b =+又，得．1()3c ab a b =-+2222112[()]()()()393c ab a b ab ab a b a b =-+=-+++即．2222212()()293a b ab ab a b a ab b +=-++++整理，得．即． ………………………8分6()180ab a b -++=(6)(6)18a b --=因为均为正整数，不妨设，,a b a b <可得或或61,618,a b -=⎧⎨-=⎩62,69,a b -=⎧⎨-=⎩63,6 6.a b -=⎧⎨-=⎩可解出或或7,24,25,a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩8,15,17,a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩9,12,15.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以，满足条件的直角三角形有3个．……………………………………20分（13）（本小题满分20分）如图，在△中，，点在边ABC 45ABC ∠= D 上，，且．将△以BC 60ADC ∠= 12BD CD =ACD 直线为轴做轴对称变换，得到△，连接，AD AC D 'BC '（Ⅰ）求证；BC BC '⊥（Ⅱ）求的大小．C ∠（Ⅰ）【证明】∵△是△沿做轴对称变换得到的，AC D 'ACD AD ∴△≌△.AC D 'ACD 有，．………………3分C D CD '=ADC ADC '∠=∠∵，，12BD CD =60ADC ∠= ABCDC 'ABCDC 'PBC图（b ）∴，．……5分12BD C D '=18060BDC ADC ADC ''∠=-∠-∠= 取中点P ，连接，则△为等边三角形，△为等腰三角形，…8分C D 'BP BDP BC P '有．∴，即． (10)113022BC D BPD BDC ''∠=∠=∠=︒90C BD '∠= BC BC '⊥分（Ⅱ）【解】如图，过点分别作的垂线，垂足分别为．A ,,BC C D BC '',,E F G ∵，ADC ADC '∠=∠即点在的平分线上，A C DC '∠∴．……13分AE AF =∵，，90C BD '∠= 45ABC ∠= ∴，45GBA C BC ABC '∠=∠-∠= 即点在的平分线上，∴．……16分A GBC ∠AG AE =于是，，则点在的平分线上．…………………………18分AG AF =A GC D '∠又∵,有．30BC D '∠=︒150GC D '∠= ∴．∴．………………………20分12AC D '∠=75GC D '∠= C ∠75AC D '=∠= （14）（本小题满分20分）（Ⅰ）如图（），在正方形内，已知两个动圆与互相外切，且a ABCD 1O A 2O A 与边AB 、AD 相切，与边BC 、CD 相切．若正方形的边长为1，1O A 2O A ABCD 与的半径分别为，．1O A 2O A 1r 2r ①求与的关系式；1r 2r ②求与面积之和的最小值．1O A 2O A （Ⅱ）如图（b ），若将（Ⅰ）中的正方形改为一个ABCD 宽为1，长为的矩形，其他条件不变，则与面积的321O A 2O A 和是否存在最小值，若不存在，请说明理由；若存在，请求出这个最小值．BA图（a ）C【解】（Ⅰ）如图（），在正方形ABCD 中，连接，显然与在上，a AC 1O 2O AC 且，，，1AO =1212O O r r =+22CO 由，1122AC AO O O CO =++=．122r r +++=∴………………………5分122r r +=-②根据题意，，，1r 12≤2r 12≤可得，即．21122r r =-≤321r 12≤∵与的面积之和，1O A 2O A 2212π()S r r =+∴2211(2)πSr r =+-21122(26rr =-+-．这里，由， (8)分212(3r =-+-3212≤∴当时，与是等圆，其面积和的最小值为．1r =1O A 2O A (3π-……………………………………10分（Ⅱ）如图（b ），作辅助线，得到Rt △，12O O P 则，1212O O r r =+，1121232O P AB r r r r =--=--．212121O P BC r r r r =--=--∵在Rt △中，，12O O P 2221212O O O P O P =+∴．2221212123()()(1)2r r r r r r +=--+--即．2121213()5()04r r r r +-++=AD图（a）A图（b ）解得1252r r +=1252r r +=由于，故1235122r r +<+=1252r r +=+∴ ……………………………………15分1252r r +=∵与的面积之和，1O A 2O A 2212π()S r r =+而，当且仅当时，等号成立，2221212()2r r r r ++≥12r r =∴当时，与面积和存在最小值，12r r =1O A 2O A ，即．37(π8……………………………………20分。
2010-2016全国初中生数学竞赛(打印版)
F第2题图EDBAC第2题图2016年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、已知实数a 、b 满足31|2||3|=+-+-+-a a b a ，则b a +等于（ ） A 、1-B 、2C 、3D 、52、如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，BE 、CD 相交于点F ，设四边形EADF 、BDF ∆、BCF ∆、CEF ∆的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，则31S S 与42S S 的大小关系为（ ） A 、4231S S S SB 、4231S S S S =C 、4231S S S SD 、不能确定3、对于任意实数a ，b ，c ，d ，有序实数对（a ，b ）与（c ，d ）之间的运算“*”定义为：()*b a ，()=d c ，()bc ad bd ac +-，.如果对于任意实数m ，n 都有()*n m ，()=y x ，()m n -，，那么()y x ，为（ ）A 、（0，1）B 、（1，0）C 、（-1，0）D 、（0，-1）4、如图，已知三个等圆⊙1O 、⊙2O 、⊙3O 有公共点O ，点A 、B 、C 是这些圆的其他交点，则点O 一定是ABC ∆的（ ）A 、外心B 、内心C 、垂心D 、重心5、已知关于x 的方程()0|2|422=----k x x 有四个根，则k 的范围为（ ）A 、01 k -B 、04 k -C 、10 kD 、40 k6、设在一个宽度为w 的小巷内搭梯子，梯子的脚位于P 点，小巷两边的墙体垂直于水平的地面。
将梯子的顶端放于一堵墙的Q 点时，Q 离开地面的高度为k ，梯子的倾斜角为︒45，将该梯子的顶端放于另一堵墙的R 点时，R 离开地面的高度为h ，梯子的倾斜角为︒75，则小巷的宽度w 等于（ ）A 、hB 、kC 、hkD、2kh + 二、填空题（本大题满分28分，每小题7分） 7、化简3232-++的值为 ．8、如果关于x 的实系数一元二次方程()033222=++++k x k x 有两个实数根α、β，那么()()2211-+-βα的最小值是 ．9、设四位数abcd 满足b d c a d +++=101001000103，则这样的四位数有 个． 10、如图，MN 是⊙O 的直径，2=MN ，点A 在⊙O 上，︒=∠30AMN ，B 为⌒AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则PB PA +的最小值为 ．三、（本大题满分20分）11、设实数a ，b ，c 满足：0≠abc 且()()22223214c b a c b a ++=++，求bcac ab c b a ++++22232的值。
初中数学奥林匹克竞赛题及答案
初中数学奥林匹克竞赛题及答案奥数题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么()A．a，b都是0B．a，b之一是0C．a，b互为相反数D．a，b互为倒数答案：C解析：令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此a、b互为相反数。
2．下面的说法中正确的是()A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式答案：D解析：x2，x3都是单项式．两个单项式x3，x2之和为x3+x2是多项式，排除A。
两个单项式x2，2x2之和为3x2是单项式，排除B。
两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D。
3．下面说法中不正确的是()A.有最小的自然数B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数答案：C解析：最大的负整数是-1，故C错误。
4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么()A．a，b同号B．a，b异号C．a＞0D．b＞0答案：D5．大于－π并且不是自然数的整数有()A．2个B．3个C．4个D．无数个答案：C解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，－1，0共4个．选C。
6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。
这四种说法中，不正确的说法的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。
7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是()A．a大于－aB．a小于－aC．a大于－a或a小于－aD．a不一定大于－a答案：D解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。
8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边()A．乘以同一个数B．乘以同一个整式C．加上同一个代数式D．都加上1答案：D解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。
奥数-2010年全国初中数学竞赛湖南省初赛试题(含答案)
2010年全国初中数学联赛湖南省初赛试题一、 填空题（7×4=28）1、下列计算正确的是 （ ） A 、10220aa a⨯= B 、1025aa a÷=C 、 0(3)0π-= D 、236(2)8a a =2、估算832⨯÷的运算结果应在 （ ）A 、0到1之间B 、1到2之间C 、2到3之间D 、3到4之间3、如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，已知∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数等于 （ ）A 、50°B 、30°C 、25°D 、20°4、如图，已知⊙O 的半径为R ，D 是直径AB 延长线上的一点，DC 是⊙O 的切线，C 是切点，连结AC 。
若∠CAB=30°，则BD 的长为（ ） A 、2R B 、3R C 、R D 、32R5、如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的两条高，则△CDE 与△ABC 的面积比等于 （ ） A 、2sin C B 、2cos C C 、2tan C D 、21tan C6、把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5个字母D 、M 、Q 、X 、Y 、Z ，请你按原规律补上，其顺序依次为**□ 2.HIO □ 3. NS □ 4.BCKE □ 5.V ATYWU □ A 、QXZMD B 、DMQZX C 、ZXMDQ D 、QXZDM 7、二次函数2yax bx c =++的图像如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b cyx++=在同一坐标系的图像大致为（）二、填空题（8×4=32）8、为了加快3G网络建设，电信运营企业将根据各自发展规划，今明两年预计完成3G投资2800亿元左右。
请将2800亿元用科学计数法表示为元。
9、数轴上的点A、B、C分别对应数0、－1、x，若C与A的距离大于C于B的距离，则x的取值范围是。
初三奥数竞赛试题及答案
全国初中数学竞赛试题及参考答案一、 选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。
）1、如图，有一块矩形纸片 ABCD A 吐8, AD = 6。
将纸片折叠，使得 AD 边落在 AB 边上，折痕为AE,再将△ AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为卩，则厶CEF 的面积为（）A 、2B 、4C答：A解：由折叠过程知，DE= AD= 6, 三角形，且ECP 8— 6= 2,所以，2、若 M = 3x 2 -8xy 9y 2 -4x 6y 13 （x, y 是实数），则 M 的值一定是（A 、正数B 、负数C 、零D 、整数1 - 1 1 1 1 1 '48訂2 需弋1 五）七（1/ DAE^Z CEP 45°，所以△ CEF 是等腰直角 S/\ CEF = 2解：因为 M= 3x 2「8xy 9y 2「4x 6y 13 = 2（x 「2y ）2 （x 「2）2 且x-2y , x-2 , y 3这三个数不能同时为0,所以M> 03、 已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A, B , G 分别是C1 点I 关于边BC , CA AB 的对称点。
若点B 在厶ABC 的外接 圆上，则Z ABC 等于（ A 、30° B 答：C 解：因为IA、45° 、60° 1= IB 1= IC 1 = 2r （r 为厶ABC 的内切圆半径），所以点I 同时是△ ABG 的外接圆的圆心，设IA 1与BC 的交点为D,则IB 所以Z IBD = 30°,同理，Z IBA = 301 1 1 4、 设 A = 48 （飞2 2- 1002、24 =IA 1 = 2ID ,A 、18 答： 解： J_ _ 32 -4 42B 、20 D 对于正整数m，于是，Z AB （= 60° ），则与A 最接近的正整数为（ -4 D 、25 > 3 ，有1n 2 - 4 4、n_2 n 2丄 _丄_ 丄）2 3 4 99 100 101 102、6 D oA iD I ACB i（y 3）2>0BD 、90°=25 -12 （丄 1 1 L）99 100 101 102因为12 （丄•丄•丄•丄）v 12 土 V -1，所以与A 最接近的正整数为25。
全国初中数学竞赛试题及答案(2014年)
2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案说明：第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知,x y 为整数，且满足22441111211()()()3x y x y x y++=--，错误！未找到引用源。
则x y +的可能的值有（ C ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2．已知非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，则22t xy yz zx =++的最大值为 （ A ） A ．47 B ．59 C ．916 D ．1225 3．在△ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =，则错误！未找到引用源。
＝（ B ）A B C D 4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 （ B ）A ．12 B ．25 C ．23 D ．345．设[]t 表示不超过实数t 的最大整数，令{}[]t t t =-.已知实数x 满足33118x x +=，则1{}{}x x+= （ D ）A ．12B ．3C ．1(32D ．1 6．在△ABC 中，90C ∠=︒，60A ∠=︒错误！未找到引用源。
，1AC =，D 在BC 上，E 在AB 上，使得△A D E 为等腰直角三角形, 90ADE ∠=︒ ,则BE 的长为（ A ）A ．4-B ．2C ．11)2D 1 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，1111a b c b c a c a b++=+-+-+-，则abc =__0__．2．使得不等式981715n n k <<+错误！未找到引用源。
初中奥数试题及答案
初中奥数试题及答案在初中数学学习过程中，奥数是一个重要的组成部分。
通过解决奥数试题，学生能够培养自己的逻辑思维能力和问题解决能力。
本文将提供一些初中奥数试题及答案，帮助学生更好地练习和巩固数学知识。
1. 试题一已知数列{an}满足a1=3，an+1=2an+1，求a5的值。
解答一：根据题意，我们可以列出数列的前几项：a1=3a2=2*a1+1=2*3+1=7a3=2*a2+1=2*7+1=15a4=2*a3+1=2*15+1=31a5=2*a4+1=2*31+1=63所以，a5的值为63。
2. 试题二已知平面上一个三角形的三个顶点坐标分别为A(3, 5)，B(7, 9)，C(9, 1)，求三角形的面积ABC。
解答二：利用向量的方法来求解。
设向量AB为向量u，向量AC为向量v，则向量AB的坐标为(4,4)，向量AC的坐标为(6,-4)。
根据向量的模长和向量之间的夹角公式，可以求得向量AB和向量AC的模长分别为：|u|=√[(4)^2+(4)^2]=√32|v|=√[(6)^2+(-4)^2]=2√13两个向量夹角θ的cos值可以通过向量的点积来计算，即：cosθ=(向量u·向量v)/(|u|*|v|)向量u·向量v=4*6+4*(-4)=8所以，cosθ=(8)/(√32*2√13)通过计算可以得知，cosθ=0.5进一步计算得到，θ≈60°根据三角形的面积公式，可以用向量的模长和夹角sin值求得面积S：S=0.5*|AB|*|AC|*sinθS=0.5*√32*2√13*sin60°=16*√13*√3/2=8√39所以，三角形ABC的面积为8√39。
3. 试题三如果二次方程x^2-7x+k=0有两个不同的实根，那么k的取值范围是多少？解答三：根据二次方程的判别式D=b^2-4ac，可以判断方程的根的性质。
对于方程x^2-7x+k=0，我们可以得到a=1，b=-7，c=k。
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【答】D.
把1到2010之间的所有自然数均看作四位数（如果 不足四位，则在前面加0，补足四位，这样做不会改变 的值）.
1在千位上出现的次数为 ，1在百位上出现的次数为 ，1在十位和个位上出现的次数均为 ，因此，1出现的总次数为 .
2在千位上出现的次数为11，2在百位和十位上出现的次数均为 ，2在个位上出现的次数为 ，因此，2出现的总次数为 .
证明过点P作⊙I的切线PQ（切点为Q）并延长，交BC于点N.
因为CP为∠ACB的平分线，
所以∠ACP＝∠BCP.
又因为PA、PQ均为⊙I的切线，所以∠APC＝∠NPC.
又CP公共，所以△ACP≌△NCP，…………10分
所以∠PAC＝∠PNC.
由NM＝QN，BA＝BC，所以△QNM∽△BAC，故∠NMQ＝∠ACB，
【答】 ．
由题意知，点C的坐标为 ， ．
设 两点的坐标分别为 ， ，则 是方程 的两根．
由根与系数的关系得 ．
又 ，则 ．
于是， ， ．
由 ，得 ．
3．在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC内一点，且PA＝ ，PC＝5，则PB＝______．
【答】 .
作PE⊥AB，交AB于点E，作PF⊥BC，交BC于点F，设 ，分别在△PAE、△PCF中利用勾股定理，得
①
②
②－①，得 ，所以 ，
代入①中，得 Leabharlann 解得 ， .当 时， ，在Rt△PAE中，由勾股定理可得 .
当 时， ，此时 ，所以点P在△ABC的外面，不符合题意，舍去.
因此 .
4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放_______个球.
解得 或 或 或
又 是整数，所以后面三组解舍去，故 .
因此， ， ，二次函数的解析式为 .
…………20分
易求得点A、B的坐标为（1,0）和（2,0），点C的坐标为（0,2），
所以△ABC的面积为 .…………25分
（2）当 时， ， .又 为三角形的三边长，
所以 ，即 ，解得 .
又因为三角形的周长不超过30，
即 ，解得 .
因此 ，
所以 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.
综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.………20分
二、（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC中，AB＝AC，∠C的平分线与AB边交于点P，M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点，作MD//AC，交⊙I于点D.证明：PD是⊙I的切线.
所以MQ//AC
……20分
又因为MD//AC，所以MD和MQ为同一条直线.
又点Q、D均在⊙I上，所以点Q和点D重合，
故PD是⊙I的切线.……………………………25分
三、（本题满分25分）已知二次函数 的图象经过两点P ，Q .
（1）如果 都是整数，且 ，求 的值.
（2）设二次函数 的图象与 轴的交点为A、B，与 轴的交点为C.如果关于 的方程 的两个根都是整数，求△ABC的面积.
【答】15.
将这些球的位置按顺序标号为1，2，3，4，…….
由于1号球与7号球中间夹有5个球，1号球与12号球中间夹有10个球，12号球与6号球中间夹有5个球，7号球与13号球中间夹有5个球，13号球与2号球中间夹有10个球，2号球与8号球中间夹有5个球，8号球与14号球中间夹有5个球，14号球与3号球中间夹有10个球，3号球与9号球中间夹有5个球，9号球与15号球中间夹有5个球，15号球与4号球中间夹有10个球，4号球与10号球中间夹有5个球，因此，编号为1，7，12，6, 13，2，8，14，3，9，15，4，10的球颜色相同，编号为5，11的球可以为另外的一种颜色.因此，可以按照要求摆放15个球.
解：点P 、Q 在二次函数 的图象上，
故 ， ，
解得 ， .………………………………5分
（1）由 知 解得 .
又 为整数，所以 ， ， .………………………………10分
(2)设 是方程的两个整数根，且 .
由根与系数的关系可得 ， ，
消去 ，得 ，
两边同时乘以9，得 ，分解因式，得 .
…………15分
所以 或 或 或
2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.
第一试
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
A．15°.B．20°.C．25°.D．30°.
【答】B.
如图，延长AB到F，使BF=ED，连CF，EF．
∵ ，
∴ ， ，
， ，
于是， ， ．
又∵ ， ，
∴ , ．
在△CDA和△CBF中，CA=CF， ，AD=BF，∴ △CDA≌△CBF，
∴ ．
于是， ．
6．对于自然数 ，将其各位数字之和记为 ，如 ， ，则 （）
【答】A.
设 是方程 的一个根，则 ，所以 .
由题意， 也是方程 的根，所以 ，
把 代入此式，得 ，整理得
.
从而可知：方程 的两根也是方程 的根，
这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，
从而有 （其中 为常数），
故 ，所以 .
因此， .
5．在△ 中，已知 ，D，E分别是边AB，AC上的点，且 ， ， ,则 ( )
当 时，可得 ，满足已知等式.
所以 可能取的最大值为2.
3．若 是两个正数，且 则（）
A． .B． .C． .D． .
【答】C.
由 可得 ，则
①
由于 是两个正数，所以 ，所以 ，从而
另一方面，由 可得 ，
结合①式可得 ，所以
因此， .
4．若方程 的两根也是方程 的根，则 的值为（）
A．－13.B．－9.C．6.D．0.
解由已知等式可得
①
令 ，则 ，其中 均为自然数.
于是，等式①变为 ，即
②
由于 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的 只有两组：
和 …………10分
（1）当 时， ， .
又 为三角形的三边长，所以 ，即 ，解得 .
又因为三角形的周长不超过30，
即 ，解得 .因此 ，
所以 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.…………15分
类似的，可求得 出现的总次数均为 .
因此
＝28068.
二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
1．已知实数 满足方程组 则 .
【答】13.
由 得 ，把 代入，可得 .
因此， 是一元二次方程 的两个实数根，易求得这两个实数根分别为3和 ，所以 .
2．二次函数 的图象与 轴正方向交于A，B两点，与 轴正方向交于点C．已知 ， ，则 ．
如果球的个数多于15个，则一方面，16号球与10号球应同色，另一方面，5号球与16号球中间夹有10个球，所以5号球与16号球同色，从而1到16号球的颜色都相同，进一步可以知道：所有的球的颜色都相同，与要求不符.
因此，按这种要求摆放，最多可以摆放15个球.
第二试（A）
一、（本题满分20分）设整数 （ ）为三角形的三边长，满足 ，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.
1.若 均为整数且满足 ，则 （）
A．1.B．2.C．3.D．4.
【答】B.
因为 均为整数，所以 和 均为整数，
从而由 可得
或
若 则 ，
从而 .
若 则 ，
从而 .
因此， 2.
2．若实数 满足等式 ， ，则 可能取的最大值为（）
A．0.B．1.C．2.D．3.
【答】C.
由两个已知等式可得 ，而 ，所以 .