卡西欧图形计算器CAS代数运算功能在高中数学中的应用探索

卡西欧图形计算器 CAS 代数运算功能在高中数学中的应用探索

广东省中山市东升高中 高建彪

摘要：图形计算器能直观形象的分析处理图形问题，更能简单直接的解决众多数学 计算问题，在教学中应用计算器的最大争议是是否由此降低了学生计算能力. 其实，具 备 CAS 运算功能的计算器，将更多的从算理（计算步骤与原理）上熏陶学生.本文结合 CASIO ClassPad ­400图形计算器CAS 运算功能， 阐述 CAS 运算在高中数学中的经典应用.

关键词：CAS 代数运算；信息技术；高中数学；图形计算器

计算机代数系统（Computer Algebra System ），简称 CAS ，它是一种智能化的符号运 算. 在20 世纪 60 年代，人们利用计算机进行代数运算研究，诞生了符号运算，其显著的 特点是能够以字符串作为运算单位，例如 2*2 是数值运算，而 2*a 是符号运算，符号可 以代表数、式、函数、集合等. 一般来说，人们在数学研究中，用笔和纸进行的数学运算 多为符号运算.

能够实施 CAS 运算功能的计算机软件较大，但大多较为庞大，需要借助一台计算机 完成，而 CASIO ClassPad 图形计算器，具备移动便携的特点，且具有较强的 CAS 运算功 能，最先进的是一款彩屏触摸机型 CASIO ClassPad ­400. 下面结合此款图形计算器，谈 谈 CAS 运算功能在解决高中数学问题中的经典应用.

一、CAS 运算功能研究函数性质

例 1 对于函数 2 ()() 21

x f x a a R =-

Î + . （1）探索函数 () f x 的单调性； （2）是否存在实数a 使得 () f x 为奇函数. （人教A 版《数学1》 83 P B 组第3 题） 解析：如图1 所示，先定义函数 () f x ，再计算差值 ()() f b f c - ，进一步因式分解， 最后人工判别符号，这里运用机器进行 CAS 运算的过程，突显出定义法讨论单调性的步 骤（作差→因式分解→判别符号→结论），当然亦可求导分析. 关于奇偶性的研究，如图 2 所示，抓住奇偶性定义，轻松利用 solve 求解方程指令可解，亦可一步步符号运算.

图 1 图2

点评：中学阶段研究的函数性质包括单调性、奇偶性、最大（小）值，其中奇偶性 与单调性都可以运用机器 CAS 功能再现定义法的解题步骤，最大（小）值的研究需直接 调用机器 Fmax 与Fmin 指令计算. 研究函数性质的另法是作出函数图像进行观察与分析.

二、CAS 运算功能求解轨迹方程

例 2 已知点 M 与两个定点O (0,0)、 A (3,0)的距离的比为 1 2

， 求点 M 的轨迹方程.（人 教A 版《数学 2》 124 P B 组第 3 题）

解析：如图3 所示，根据两点距离公式及已知条件，列出距离之比为 1 2

的等式，然后 利用 CAS 运算功能进行代数变形（平方→去分母→移项→化简），配方易知轨迹为圆.

图 3

例 3 求平面内到两定点 1 (3,0) F - 、 2 (3,0) F 距离之和为常数 10 的动点M 的轨迹方程. 解析：如图 4、图 5 所示，根据两点距离公式及已知条件，列出距离之和为常数 2a 的等式，再利用 CAS 运算功能进行代数变形（移项→平方→展开→移项→平方→移项→ 化简→…），易知轨迹为椭圆.

图 4 图5

点评：从以上两例可以看出，求解轨迹方程的 CAS 运算过程，强化了求轨迹方程的 算理，先由条件列方程，再进行化简（平方→去分母→移项→化简系数→配方，…），这 些才是学习数学应当掌握的知识与方法， 至于繁琐的计算交给机器完成即可. 例3 的解答 过程，若改变已知条件，如“ 6 a = ， 4 c = ” ，立即可得出新的结论，如图 6、图7 所示

.

图 6

图7

三、CAS 运算功能探索数列通项 例 4 设数列{} n a 满足 1 1 1 1 1(1) n n a a n a - = ì ï í =+> ï î

，写出这个数列的前5 项. （人教 A 版《数

学5》 31 P 例3）

解析：由已知递推公式，易知前5 项为1，2， 3 2 ， 5 3 ， 8 5

，若想进一步探索通项呢？ 如图8 所示，运用 rSolve 指令可轻松求解，还同时探索了《数学5》 33 P , 34 P , 69 P

数列通项. 图8

例 5 如果一个等比数列前5 项的和等于10，前10 项的和等于 50， 那么它前15 项 的和等于多少？（人教 A 版《数学5》 58 P 第 3 题）

解析：如图 9 所示，先定义等比数列前 n 项和公式 () S n ，再解由已知条件联立的方

程组，得到首项 1 a 与公比 q ，代入 () S n 即得 (15) S . 亦可由整体思想，令 1 1 a b q

= - ，再如 图 10 所示进行 CAS 运算求解.

图 9 图10

点评：ClassPad 的rSolve 指令，轻松求出递推数列通项，让人感觉到CASIO 图形计 算器 CAS 功能的强大. 例 5 的CAS 运算，则强化了前n 项和公式及整体思想、方程思想.

四、CAS 运算功能化解三角最值

例 6 满足条件 AB =2，AC = 2 BC 的△ABC 的面积的最大值是多少？为什么？ 解析：如图11、图 12 所示，设 BC =x ，则 AC = 2x ，由AB =2 及海伦公式写出三角 形面积的函数表达式，再求函数的最大值；或者先由余弦定理求出某内角余弦，再由平

方关系 22 sin cos 1 x x += 求出正弦，由面积公式 1 sin 2

S ab C D = 写出函数式，再求最大值.

图 11 图12