初三数学圆动点问题
(完整版)九年级数学动圆问题
动 圆 问 题圆心动，半径不变1．如图，△ABC 为等边三角形，AB =6，动点O 在△ABC 的边上从点A 出发沿A →C →B →A 的路线匀速运动一周，速度为1个单位长度每秒，以O 为圆心、3为半径的圆在运动过程中与△ABC 的边第二次相切时是出发后第_______秒．2（北海）如图，等边△ABC 的周长为6π，半径是1的⊙O 从与AB 相切于点D 的位置出发，在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，则⊙O 自转了 （ ）周， 圆心O 所经路线的路程是_______ 。
3 如图所示，菱形ABCD 的顶点A 、B 在x 轴上， 点A 在点B 的左侧，点D 在y 轴的正半轴上， ∠BAD =60°，点A 的坐标为(－2，0)．⑴求线段AD 所在直线的函数表达式．⑵动点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速 度，按照A →D →C →B →A 的顺序在菱形的边上匀 速运动一周，设运动时间为t 秒．求t 为何值时， 以点P 为圆心、以1为半径的圆与对角线AC 相切？4、. 如图，⊙O 1的半径为1，正方形ABCD 的边长为6，点O 2为正方形ABCD 的中心，O 1O 2垂直AB 于P 点，O 1O 2＝8．若将⊙O 1绕点P 按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O 1与正方形ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现 ( ) A. 3次 B. 5次C. 6次D. 7次圆心动，半径变1、如图，菱形ABCD 的边长为2cm ，∠DAB=60°．点P 从A 点出发，以cm/s 的速度，沿AC 向C 作匀速运动；与此同时，点Q 也从A 点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB 作匀速运动．当P 运动到C 点时，P 、Q 都停止运动．设点P 运动的时间为ts ．（1）当P 异于A ．C 时，请说明PQ∥BC；（2）以P 为圆心、PQ 长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t 为怎样的值时，⊙P 与边BC 分别有1个公共点和2个公共点？分析如图：ABCO第22题图xy A BPC DA BCOD2. 如图9，已知直线l 的解析式为6y x =-+，它与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，平行于直线l 的直线n 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒，运动过程中始终保持n l ∥，直线n 与x 轴，y 轴分别相交于C 、D 两点，线段CD 的中点为P ，以P 为圆心，以CD 为直径在CD 上方作半圆，半圆面积为S ，当直线n 与直线l 重合时，运动结束．（1） 求A 、B 两点的坐标；（2） 求S 与t 的函数关系式及自变量t 的取值范围； （3） 直线n 在运动过程中，①当t 为何值时，半圆与直线l 相切？②是否存在这样的t 值，使得半圆面积12ABCD S S =梯形？若存在，求出t 值，若不存在，说明理由．动圆与定圆相切【解题技巧】当两圆相切时，把握d=R ＋r 与d=R －r 是解决问题的关键。
专题06 圆的有关动点综合问题-突破中考数学压轴题讲义(解析版)
【类型综述】综合题是指学生在不同的学习阶段所学的知识，不同章节所学的知识，特别是代数、几何不同学科中所学的知识，综合运用进行解题的数学题目，它既能考察同学们对数学基础知识基本方法掌握的熟练程度，又能考察综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。
几何中关于圆的综合题大致可分为：（1）以几何知识为主体的综合题；（2）代数、几何知识相结合的综合题；（3）圆中的探索型问题；【方法揭秘】直线与圆的位置关系问题，一般也无法先画出比较准确的图形．解这类问题，一般也分三步走，第一步先罗列两要素：R和d，第二步列方程，第三步解方程并验根．第一步在罗列两要素R和d的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用含有x的式子表示．第二步列方程，就是根据直线与圆相切时d＝R列方程．如图1，直线443y x=+与x轴、y轴分别交于A、B两点，圆O的半径为1，点C在y轴的正半轴上，如果圆C既与直线AB相切，又与圆O相切，求点C的坐标．“既……，又……”的双重条件问题，一般先确定一个，再计算另一个．假设圆C与直线AB相切于点D，设CD＝3m，BD＝4m，BC＝5m，那么点C的坐标为(0,4－5m)．罗列三要素：对于圆O，r＝1；对于圆C，R＝3m；圆心距OC＝4－5m．分类列方程：两圆外切时，4－5m＝3m＋1；两圆内切时，4－5m＝3m－1．把这个问题再拓展一下，如果点C在y轴上，那么还要考虑点C在y轴负半轴．相同的是，对于圆O，r＝1；对于圆C，R＝3m；不同的是，圆心距OC＝5m－4．图1【典例分析】例1如图1，直线AB与x轴交于点A(－4,0)，与y轴交于点B(0,3)．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线AB向点B移动．同时将直线34y x以每秒0.6个单位长度的速度向上平移，交OA于点C，交OB于点D，设运动时间为t（0＜t＜5）秒．（1）证明：在运动过程中，四边形ACDP总是平行四边形；（2）当t取何值时，四边形ACDP为菱形？请指出此时以点D为圆心、OD长为半径的圆与直线AB 的位置关系并说明理由．图1思路点拨1．用含t的式子把线段OD、OC、CD、AP、AC的长都可以表示出来．2．两条直线的斜率相等，这两条直线平行．3．判断圆与直线的位置关系，就是比较圆心到直线的距离与半径的大小．满分解答（2）如图3，如果四边形ACDP为菱形，那么AC＝AP．所以4－0.8t ＝t ．解得t ＝209．此时OD ＝0.6t ＝43．所以BD ＝433-＝53．作DE ⊥AB 于E ．在Rt △BDE 中，sin B ＝45，BD ＝53，所以DE ＝BD ·sin B ＝43．因此OD ＝DE ，即圆心D 到直线AB 的距离等于圆D 的半径．所以此时圆D 与直线AB 相切于点E （如图4）．图2图3考点伸展在本题情境下，点P 运动到什么位置时，平行四边形ACDP 的面积最大？S 平行四边形ACDP ＝AC ·DO ＝43(4)55t t -⨯＝21212+255t t -＝2125(3252t --+．当52t =时，平行四边形ACDP 的面积最大，最大值为3．此时点P 是AB 的中点（如图5）．图4图5例2如图1，PQ 为圆O 的直径，点B 在线段PQ 的延长线上，OQ ＝QB ＝1，动点A 在圆O 的上半圆上运动（包含P 、Q 两点），以线段AB 为边向上作等边三角形ABC ．（1）当线段AB 所在的直线与圆O 相切时，求△ABC 的面积（如图1）；（2）设∠AOB ＝α，当线段AB 与圆O 只有一个公共点（即A 点）时，求α的范围（如图2，直接写出答案）；（3）当线段AB 与圆O 有两个公共点A 、M 时，如果AO ⊥PM 于点N ，求CM 的长（如图3）．图1图2图3思路点拨1．过点B 画圆O 的切线，可以帮助理解第（1）、（2）题的题意．2．第（3）题发现AO //MQ 很重要，进一步发现NO 、MQ 是中位线就可以计算了．满分解答此时等边三角形ABC 3602︒=，所以S △ABC ＝4．图4图5图6考点伸展第（2）题的题意可以这样理解：如图7，过点B 画圆O 的切线，切点为G ．如图8，弧GQ 上的每一个点（包括点G 、Q ）都是符合题意的点A ，即线段AB 与圆O 只有一个公共点（即A 点）．如图9，弧GP 上的每一个点A （不包括点Q ）与点B 连成的线段AB ，与圆O 都有两个交点A 、M ．图7图8图9例3在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，53sin B ，⊙B 的半径长为1，⊙B 交边CB 于点P ，点O是边AB 上的动点．（1）如图1，将⊙B 绕点P 旋转180°得到⊙M ，请判断⊙M 与直线AB 的位置关系；（2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP 是等腰三角形时，求OA 的长；（3）如图3，点N 是边BC 上的动点，如果以NB 为半径的⊙N 和以OA 为半径的⊙O 外切，设NB ＝y ，OA ＝x ，求y 关于x 的函数关系式及定义域．图1图2图3思路点拨1．∠B 的三角比反复用到，注意对应关系，防止错乱．2．分三种情况探究等腰△OMP ，各种情况都有各自特殊的位置关系，用几何说理的方法比较简单．3．探求y 关于x 的函数关系式，作△OBN 的边OB 上的高，把△OBN 分割为两个具有公共直角边的直角三角形．满分解答（1）在Rt △ABC 中，AC ＝6，53sin =B ，所以AB ＝10，BC ＝8．过点M 作MD ⊥AB ，垂足为D ．在Rt △BMD 中，BM ＝2，3sin 5MD B BM ==，所以65MD =．因此MD ＞MP ，⊙M 与直线AB 相离．图4（2）①如图4，MO ≥MD ＞MP ，因此不存在MO ＝MP 的情况．②如图5，当PM ＝PO 时，又因为PB ＝PO ，因此△BOM 是直角三角形．在Rt △BOM 中，BM ＝2，4cos 5BO B BM ==，所以85BO =．此时425OA =．③如图6，当OM ＝OP 时，设底边MP 对应的高为OE ．在Rt △BOE 中，BE ＝32，4cos 5BE B BO ==，所以158BO =．此时658OA =．图5图6图7图8考点伸展第（2）题也可以这样思考：如图8，在Rt △BMF 中，BM ＝2，65MF =，85BF =．在Rt △OMF 中，OF ＝8421055x x --=-，所以222426()()55OM x =-+．在Rt △BPQ 中，BP ＝1，35PQ =，45BQ =．在Rt △OPQ 中，OF ＝4461055x x --=-，所以222463()()55OP x =-+．①当MO ＝MP ＝1时，方程22426()(155x -+=没有实数根．②当PO ＝PM ＝1时，解方程22463()(155x -+=，可得425x OA ==③当OM ＝OP 时，解方程22426()()55x -+22463()(55x =-+，可得658x OA ==．例4如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，cos A ＝14，点P 是边AB 上的动点，以PA 为半径作⊙P ．（1）若⊙P 与AC 边的另一个交点为D ，设AP ＝x ，△PCD 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出函数的定义域；（2）若⊙P 被直线BC 和直线AC 截得的弦长相等，求AP 的长；（3）若⊙C 的半径等于1，且⊙P 与⊙C ，求AP 的长．图1备用图思路点拨1．△PCD 的底边CD 上的高，就是弦AD 对应的弦心距．2．若⊙P 被直线BC 和直线AC 截得的弦长相等，那么对应的弦心距相等．3．⊙C 的半径等于1，公共弦MN ，那么△CMN 是等腰直角三角形．在四边形CMPN 中，利用勾股定理列关于x （⊙P 的半径）的方程．满分解答（1）如图2，在Rt △ABC 中，AC ＝4，cos A ＝14，所以AB ＝16，BC ＝设弦AD 对应的弦心距为PE ，那么AE ＝14AP ＝14x ，PE ＝4AP ＝4x ．所以y ＝S △PCD ＝12CD PE ⋅＝11(4)22x x -＝2x x ．定义域是0＜x ＜8．（2）若⊙P 被直线BC 和直线AC 截得的弦长相等，那么对应的弦心距PF ＝PE ．因此四边形AEPF 是正方形（如图3），设正方形的边长为m ．由S △ABC ＝S △ACP ＋S △BCP ，得AC ·BC ＝m (AC ＋BC )．所以m＝307-．此时AE ＝4AP ＝4AE图2图3图4图5考点伸展第（2）题也可以这样计算：由于PF ＝14BP ＝1(16)4x -，由PE ＝PF ，得1(16)44x x =-．解得87x =．例5如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的对称轴为y 轴，且经过(0,0)和1)16两点，点P 在该抛物线上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点A (0,2)．（1）求a、b、c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M(x1,0)、N(x2,0)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．图1思路点拨1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙P在x轴上截得的弦长MN＝4是定值．2．等腰三角形AMN存在三种情况，其中MA＝MN和NA＝NM两种情况时，点P的纵坐标是相等的．满分解答所以在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交．图2图3②如图4，当MA ＝MN 时，在Rt △AOM 中，OA ＝2，AM ＝4，所以OM ＝3．此时x ＝OH ＝32+．所以点P 的纵坐标为22211(232)(31)4344x ===+③如图5，当NA ＝NM 时，点P 的纵坐标为也为43+．图4图5考点伸展如果点P 在抛物线214y x =上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点B (0,1)，那么在点P 运动的过程中，⊙P 始终与直线y ＝－1相切．这是因为：设点P 的坐标为21(,)4x x ．已知B (0,1)，所以222222111(1)(1)1444PB x x x x =+-=++．而圆心P 到直线y ＝－1的距离也为2114x +，所以半径PB ＝圆心P 到直线y ＝－1的距离．所以在点P 运动的过程中，⊙P 始终与直线y ＝－1相切．【变式训练】1.(2017北京第29题)在平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形M ，给出如下的定义：若在图形M 上存在一点Q ，使得P Q 、两点间的距离小于或等于1，则称P 为图形M 的关联点．（1）当O 的半径为2时，①在点1231135,0,,,,02222P P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中，O 的关联点是_______________．②点P 在直线y x =-上，若P 为O 的关联点，求点P 的横坐标的取值范围．（2）C 的圆心在x 轴上，半径为2，直线1y x =-+与x 轴、y 轴交于点A B 、．若线段AB 上的所有点都是C 的关联点，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．【答案】（1）①23,P P ，②－322≤x ≤－22或22≤x ≤322，（2）－2≤x ≤1或2≤x ≤22本题解析：（1）12315,01,22OP P OP ===,点1P 与⊙的最小距离为32，点2P 与⊙的最小距离为1，点3P 与⊙的最小距离为12，∴⊙的关联点为2P 和3P ．（2）∵y=-x+1与轴、轴的交点分别为A、B两点，∴令y=0得，-x+1=0,解得x=1，令得x=0得，y=0，∴A(1,0),B(0,1),分析得：如图1，当圆过点A时，此时CA=3,∴点C坐标为，C(-2,0)如图2，当圆与小圆相切时，切点为D，∴CD=1,如图4,当圆过点B时，连接BC，此时BC=3,-=,C点坐标为2,0)．在Rt△OCB中，由勾股定理得OC=2312考点：切线，同心圆，一次函数，新定义.2.（2017广东广州第25题）如图14，AB 是O 的直径，,2AC BC AB ==，连接AC ．（1）求证：045CAB ∠=；（2）若直线l 为O 的切线，C 是切点，在直线l 上取一点D ，使,BD AB BD =所在的直线与AC 所在的直线相交于点E ，连接AD ．①试探究AE 与AD 之间的数量关系，并证明你的结论；②EB CD 是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）①AE AD =②2BE CD =（2）①如图所示，作BF l ⊥于F由（1）可得，ACB ∆为等腰直角三角形.O 是AB 的中点.CO AO BO ∴==ACB ∴∆为等腰直角三角形.又l 是O 的切线，OC l BF l∴⊥⊥ ∴四边形OBEC 为矩形22AB BF BD BF ∴=∴=303075BDF DBA BDA BAD ∴∠=︒∴∠=︒∠=∠=︒，15901575CBE CEB DEA∴∠=︒∠=︒-︒=︒=∠，,ADE AED AD AE∴∠=∠∴=②当ABD ∠为钝角时，如图所示，同样，1,302BF BD BDC =∴∠=︒1801501509015152ABD AEB CBE ADB ︒-︒∴∠=︒∠=︒-∠=︒∠=︒，，AE AD∴=考点：圆的相关知识的综合运用3.(2017湖南湘潭第26题)如图，动点在以为圆心，为直径的半圆弧上运动（点不与点及的中点重合），连接.过点作于点，以为边在半圆同侧作正方形，过点作的切线交射线于点，连接、.（1）探究：如左图，当动点在上运动时；①判断是否成立？请说明理由；②设，是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；③设，是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；（2）拓展：如右图，当动点在上运动时；分别判断（1）中的三个结论是否保持不变？如有变化，请直接写出正确的结论.（均不必说明理由）【答案】(1)①成立，理由见解析；②为定值1；③ 为定值45°；（2）不发生变化.试题解析：（1）①成立，理由如下：过点M作ME⊥AB于点E，以BE为边在半圆同侧作正方形BCDE，∴∠MEO=∠MDN=90°，∴∠MOE+∠EMO=90°过M点的的切线交射线DC于点N，∴∠OMN=90°，∴∠DMN+∠EMO=90°∴∠MOE=∠DMN∴△OEM∽△MDN②k是定值1，理由如下：过点B作BG⊥MN,∵过M点的的切线交射线DC于点N，∴∠OMN=90°，∵BG⊥MN,∴∠BGM=90°，③α为定值45°，理由如下：由②知：∠OBM=∠MBG,△BNG ≌△BCN,∴∠GBN=∠CBN,∵正方形BCDE，∴∠EBC=90°，∴∴∠MBN=01452EBC ∠=(2)不发生变化.4.（2017湖南株洲第26题）已知二次函数y=﹣x 2+bx +c +1，①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程；②若c=14b 2﹣2b ，问：b 为何值时，二次函数的图象与x 轴相切？③若二次函数的图象与x 轴交于点A （x 1，0），B （x 2，0），且x 1＜x 2，与y 轴的正半轴交于点M ，以AB 为直径的半圆恰好过点M ，二次函数的对称轴l 与x 轴、直线BM 、直线AM 分别交于点D 、E 、F ，且满足13DE EF =，求二次函数的表达式．【答案】①.二次函数的对称轴的方程为x=12；②.b 为2或2时，二次函数的图象与x 轴相切；③.二次函数的表达式为y=﹣x 2+32x +1．出△OAM ∽△OMB ，得出OM 2=OA•OB ，由二次函数的图象与x 轴的交点和根与系数关系得出OA=﹣x 1，OB=x 2，x 1+x 2，=b ，x 1•x 2=﹣（c +1），得出方程（c +1）2=c +1，得出c=0，OM=1，证明△BDE ∽△BOM ，△AOM ∽△ADF ，得出DE BD OM OD =，OM OADF AD=，得出OB=4OA ，即x 2=﹣4x 1，由x 1•x 2=﹣（c +1）=﹣1，得出方程组122114x x x x ⋅=-⎧⎨=-⎩，解方程组求出b 的值即可．试题解析：①二次函数y=﹣x 2+bx +c +1的对称轴为x=2b ，当b=1时，2b =12，∴当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程为x=12．③∵AB 是半圆的直径，∴∠AMB=90°，∴∠OAM +∠OBM=90°，∵∠AOM=∠MOB=90°，∴∠OAM +∠OMA=90°，∴∠OMA=∠OBM ，∴△OAM ∽△OMB ，∴OM OAOB OM=，∴OM 2=OA•OB ，∵二次函数的图象与x 轴交于点A （x 1，0），B （x 2，0），∴OA=﹣x 1，OB=x 2，x 1+x 2，=b ，x 1•x 2=﹣（c +1），∵OM=c +1，∴（c +1）2=c +1，解得：c=0或c=﹣1（舍去），∴c=0，OM=1，∵二次函数的对称轴l 与x 轴、直线BM 、直线AM 分别交于点D 、E 、F ，且满足13DE EF =，∴AD=BD ，DF=4DE ，DF ∥OM ，∴△BDE ∽△BOM ，△AOM ∽△ADF ，∴,DE BD OM OA OM OB DF AD ==，∴DE=BD OB ，DF=AD OA ，∴AD BDOA OB=×4，∴OB=4OA ，即x 2=﹣4x 1，∵x 1•x 2=﹣（c +1）=﹣1，∴122114x x x x ⋅=-⎧⎨=-⎩，解得：12122x x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴b=﹣12+2=32，∴二次函数的表达式为y=﹣x 2+32x +1．考点：二次函数综合题；二次函数的性质．5．（2017哈尔滨第26题）已知：AB 是O ⊙的弦，点C 是AB 的中点，连接OB 、OC ，OC 交AB 于点D .(1)如图1，求证：AD BD =；(2)如图2，过点B 作O ⊙的切线交OC 的延长线于点M ，点P 是AC 上一点，连接AP 、BP ，求证：90APB OMB -=∠∠°.(3)如图3，在(2)的条件下，连接DP 、MP ，延长MP 交O ⊙于点Q ，若6MQ DP =，3sin 5ABO =∠，求MPMQ的值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）518PM MQ =.试题解析：（1）如图1，连接OA，∵C 是AB 的中点，∴AC BC =，∴∠AOC=∠BOC，∵OA=OB，∴OD⊥AB，AD=BD；（2）如图2，延长BO 交⊙O 于点T，连接PT∵BT是⊙O的直径，∴∠BPT=90°，∴∠APT=∠APB﹣∠BPT=∠APB﹣90°，∵BM是⊙O的切线，∴OB⊥BM，又∠OBA+∠MBA=90°，∴∠ABO=∠OMB，又∠ABO=∠APT，∴∠APB﹣90°=∠OMB，∴∠APB﹣∠OMB=90°；考点：圆的综合题．6.（2017年贵州省黔东南州第24题）如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：直线l是⊙M的切线；（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E，PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小？若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣29x2﹣49x+169（2）证明见解析（3）50415120试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x+4），将点M的坐标代入得：﹣9a=2，解得：a=﹣29．∴抛物线的解析式为y=﹣29x2﹣49x+169．（2）连接AM，过点M作MG⊥AD，垂足为G．把x=0代入y=﹣12x+4得：y=4，∴∠MAG=∠ABO．∵∠OAB+∠ABO=90°，∴∠MAG+∠OAB=90°，即∠MAB=90°．∴l是⊙M的切线．（3）∵∠PFE+∠FPE=90°，∠FBD+∠PFE=90°，∴∠FPE=∠FBD．∴tan∠FPE=12．5：2：1．∴△PEF的面积=12PE•EF=12×255PF•55PF=15PF2．考点：二次函数综合题7.（2017年四川省内江市第27题）如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，点E在AB上，且AE=CE．（1）求证：AC2=AE•AB；（2）过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，试判断PB与PE是否相等，并说明理由；（3）设⊙O半径为4，点N为OC中点，点Q在⊙O上，求线段PQ的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）PB=PE；（3）421123．【解析】试题分析：（1）证明△AEC∽△ACB，列比例式可得结论；（2）如图2，证明∠PEB=∠COB=∠PBN，根据等角对等边可得：PB=PE；（3）如图3，先确定线段PQ的最小值时Q的位置：因为OQ为半径，是定值4，则PQ+OQ的值最小时，PQ最小，当P、Q、O三点共线时，PQ最小，先求AE的长，从而得PB的长，最后利用勾股定理求OP 的长，与半径的差就是PQ的最小值．试题解析：（1）如图1，连接BC ，∵CD 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ，∴BC AC =，∴∠A =∠ABC ，∵EC =AE ，∴∠A =∠ACE ，∴∠ABC =∠ACE ，∵∠A =∠A ，∴△AEC ∽△ACB ，∴AC AEAB AC=，∴AC 2=AE •AB ；（3）如图3，∵N 为OC 的中点，∴ON =12OC =12OB ，Rt △OBN 中，∠OBN =30°，∴∠COB =60°，∵OC =OB ，∴△OCB 为等边三角形，∵Q 为⊙O 任意一点，连接PQ 、OQ ，因为OQ 为半径，是定值4，则PQ +OQ 的值最小时，PQ 最小，当P 、Q 、O 三点共线时，PQ 最小，∴Q 为OP 与⊙O 的交点时，PQ 最小，∠A =12∠COB =30°，∴∠PEB =2∠A =60°，∠ABP =90°﹣30°=60°，∴△PBE 是等边三角形，Rt △OBN 中，BN ，∴AB =2BN =设AE =x ，则CE =x ，EN =﹣x ，Rt △CNE 中，2222)x x =+，x =433，∴BE =PB =433-=833，Rt △OPB 中，OP =4213，∴PQ =4213﹣4=421123-．则线段PQ 的最小值是421123-．考点：圆的综合题；最值问题；探究型；压轴题．8.（2017年浙江省杭州市第23题）如图，已知△ABC 内接于⊙O，点C 在劣弧AB 上（不与点A，B 重合），点D 为弦BC 的中点，DE⊥BC，DE 与AC 的延长线交于点E，射线AO 与射线EB 交于点F，与⊙O 交于点G，设∠GAB=ɑ，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ，（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：ɑ30°40°50°60°β120°130°140°150°γ150°140°130°120°猜想：β关于ɑ的函数表达式，γ关于ɑ的函数表达式，并给出证明：（2）若γ=135°，CD=3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．【答案】（1）β=α+90°，γ=﹣α+180°（2）5试题解析：（1）猜想：β=α+90°，γ=﹣α+180°连接OB，∴由圆周角定理可知：2∠BCA=360°﹣∠BOA，∵OB=OA，∴∠OBA=∠OAB=α，∴∠BOA=180°﹣2α，∴2β=360°﹣（180°﹣2α），∴β=α+90°，∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴OE是线段BC的垂直平分线，∴BE=CE，∠BED=∠CED，∠EDC=90°∵∠BCA=∠EDC+∠CED，∴β=90°+∠CED，∴∠CED=α，∴∠CED=∠OBA=α，∴O、A、E、B四点共圆，∴∠EBO+∠EAG=180°，∴∠EBA+∠OBA+∠EAG=180°，∴γ+α=180°；设CE=3x，AC=x，由（1）可知：BC=2CD=6，∵∠BCE=45°，∴CE=BE=3x，∴由勾股定理可知：（3x）2+（3x）2=62，，考点：1、圆的综合问题，2、勾股定理，3、解方程，4、垂直平分线的性质9.(2017浙江温州第24题)（本题14分）如图，已知线段AB=2，MN⊥AB于点M，且AM=BM，P是射线MN上一动点，E，D分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点C（点C在线段BD 上），连结AC，DE．（1）当∠APB=28°时，求∠B和CM的度数；（2）求证：AC=AB。
动点问题--圆初三数学
（ 1）当点落在梯形的中位线上时，求的值；(全等)（ 2）试用表示，并写出的取值范围；（相像）（ 3）当的外接圆与相切时，求的值．（垂径定理+中线+等面积+相像）【答案】解：（ 1 ）如图 1 ，为梯形的中位线，则，过点作于点，则有：在中，有在中，又解得：（2）如图 2，交于点，与对于对称，则有：，又又与对于对称，（ 3）如图 3，当的外接圆与相切时，则为切点.的圆心落在的中点，设为则有，过点作，连结，得则又解得：（舍去）①②③3.已知在平面直角坐标系 xOy中， O是坐标原点，以 P（1，1）为圆心的⊙ P与 x 轴， y 轴分别相切于点 M和点 N，点 F 从点 M出发，沿 x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连结 PF，过点 PE⊥ PF交 y 轴于点 E，设点 F 运动的时间是 t 秒（ t ＞0）（1）若点E在y轴的负半轴上（以下图），求证：PE=PF；（全等）（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；（全等 +分类议论）（3）作点F对于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x 轴于点 Q，连结 QE．在点 F 运动过程中，能否存在某一时辰，使得以点Q、 O、E 为极点的三角形与以点、、为极点的三角形相像？若存在，请直接写出t 的值；若不存P M F在，请说明原因．（议论对称轴+全等 +相像）【剖析】：（1）连结PM， PN，运用△PMF≌△ PNE证明，（2）分两种状况①当t ＞1时，点 E 在 y 轴的负半轴上，0＜t≤1时，点 E 在y 轴的正半轴或原点上，再依据（1）求解，（3）分两种状况，当 1＜t＜2 时，当t＞2 时，三角形相像时还各有两种状况，依据比率式求出时间 t ．【解答】：证明：（ 1）如图，连结PM， PN，∵⊙P 与x轴，y轴分别相切于点和点，M N∴PM⊥ MF，PN⊥ ON且 PM=PN，∴∠ PMF=∠ PNE=90°且∠ NPM=90°，∵ PE⊥ PF，∠NPE=∠ MPF=90°﹣∠ MPE，在△ PMF和△ PNE中，，∴△ PMF≌△ PNE（ASA），∴PE=PF，（2）解：①当t＞ 1 时，点E在y轴的负半轴上，如图，由（ 1）得△PMF≌△PNE，∴NE=MF=t，PM=PN=1，∴b=OF=OM+MF=1+t ，a=NE﹣ ON=t ﹣1，∴b﹣ a=1+t ﹣（ t ﹣1）=2，∴ b=2+a，②0＜t≤1时，如图 2，点E在y轴的正半轴或原点上，同理可证△ PMF≌△ PNE，∴b=OF=OM+MF=1+t ，a=ON﹣ NE=1﹣ t ，∴b+a=1+t +1﹣ t =2，∴b=2﹣ a，（3）如图 3，（Ⅰ）当 1＜t＜2 时，∵F（1+t ，0）， F 和 F′对于点 M对称，∴F′（1﹣t ，0）∵经过 M、E 和 F′三点的抛物线的对称轴交x 轴于点 Q，∴Q（1﹣t ，0）∴ OQ=1﹣t ，由（ 1）得△PMF≌△PNE[ 根源 : 学 , 科, 网 ]∴NE=MF=t ，∴ OE=t ﹣1当△ OEQ∽△ MPF∴=∴=，解得， t =，当△ OEQ∽△ MFP时，∴=，=，解得， t =，（Ⅱ）如图4，当t＞ 2 时，∵F（1+t ，0）， F 和 F′对于点 M对称，∴F′（1﹣t ，0）∵经过、和′三点的抛物线的对称轴交x 轴于点，M E F Q∴Q（1﹣ t ，0）∴ OQ=t ﹣1，由（ 1）得△≌△∴ = =，∴= ﹣ 1PMF PNE NE MF t OE t当△ OEQ∽△ MPF∴=∴=，无解，当△ OEQ∽△ MFP时，∴= ，=，解得， t =2±，因此当t =，=，=2±时，使得以点、、为极点的三角形与以点、、t t Q O E P M F为极点的三角形相像．【评论】：本题主要考察了圆的综合题，解题的重点是把圆的知识与全等三角形与相像三角形相联合找出线段关系．3.木工黄师傅用长 AB=3，宽 BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：方案一：直接锯一个半径最大的圆；方案二：圆心 O1、 O2分别在 CD、 AB上，半径分别是 O1C、 O2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；（圆心距 +勾股）方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适合平移三角形并锯一个最大的圆；（相像 +设半径）方案四：锯一块小矩形BCEF拼到矩形 AFED下边，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆．（1）写出方案一中圆的半径；（2）经过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？（3）在方案四中，设CE=x（0＜x＜ 1），圆的半径为y．（分类议论）①求 y 对于 x 的函数分析式；②当 x 取何值时圆的半径最大，最大部分径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大．【考点】：圆的综合题【剖析】：（ 1）察看图易知，截圆的直径需不超出长方形长、宽中最短的边，由已知长宽分别为3， 2，那么直接取圆直径最大为2，则半径最大为1．（2）方案二、方案三中求圆的半径是惯例的利用勾股定理或三角形相像中对应边长成比率等性质解直角三角形求边长的题目．一般都先设出所求边长，尔后利用关系代入表示其余有关边长，方案二中可利用△O1O2 E为直角三角形，则知足勾股定理整理方程，方案三可利用△AOM∽△ OFN后对应边成比率整理方程，从而可求r的值．（3）①近似（ 1）截圆的直径需不超出长方形长、宽中最短的边，固然方案四中新拼的图象不必定为矩形，但直径也不得超出横纵向方向跨度．则选择最小跨度，取其，即为半径．由EC为 x，则新拼图形水平方向跨度为 3﹣x，竖直方向跨度为 2+x，则需要先判断大小，尔后分别议论结论．②已有关系表达式，则直接依据不等式性质易得方案四中的最大部分径．另与前三方案比较，即得最后结论．【解答】：解：（ 1）方案一中的最大部分径为1．剖析以下：2，则半径最由于长方形的长宽分别为3， 2，那么直接取圆直径最大为大为 1．（2）如图 1，方案二中连结O1， O2，过 O1作 O1E⊥ AB于 E，方案三中，过点O分别作 AB，BF的垂线，交于M，N，此时 M，N恰为⊙ O与 AB， BF的切点．方案二：设半径为 r ，在 Rt△ O1O2E中，∵O1O2=2r ， O1E=BC=2， O2E=AB﹣ AO1﹣CO2=3﹣2r ，∴（ 2r）2 =22+（ 3﹣ 2r）2，解得 r =．方案三：设半径为 r ，在△ AOM和△ OFN中，，∴△ AOM∽△ OFN，∴，∴，解得r =．比较知，方案三半径较大．（3）方案四：①∵ EC=x，∴新拼图形水平方向跨度为3﹣x，竖直方向跨度为 2+x．近似（ 1），所截出圆的直径最大为 3﹣x或 2+x较小的．1．当 3﹣x＜ 2+x时，即当x＞时，r=（3﹣x）；2．当 3﹣x=2+x时，即当x=时，r=（3﹣）=；3．当 3﹣x＞ 2+x时，即当x＜时，r=（2+x）．②当 x＞时，r=（3﹣x）＜（3﹣）=；当 x=时， r =（3﹣）=；当 x＜时， r =（2+x）＜（2+）=，∴方案四，当 x=时， r 最大为．∵1＜＜＜，∴方案四时可取的圆桌面积最大．【评论】：本题考察了圆的基天性质及经过勾股定理、三角形相像等性质求解边长及分段函数的表示与性质议论等内容，题目虽看似新奇不易找到思路，但认真察看每一小问都是惯例的基础考点，因此整体来说是一道质量很高的题目，值得认真练习．4.如图，已知 l 1⊥ l 2，⊙ O与 l 1，l 2都相切，⊙ O的半径为2cm，矩形 ABCD的边 AD、AB分别与 l 1， l 2重合， AB=4 cm， AD=4cm，若⊙ O与矩形 ABCD沿 l 1同时向右挪动，⊙ O的挪动速度为 3cm，矩形ABCD的挪动速度为 4cm/ s，设挪动时间为t（s）（1）如图①，连结OA、 AC，则∠ OAC的度数为105°；（2）如图②，两个图形挪动一段时间后，⊙O抵达⊙O1的地点，矩形ABCD抵达A1B1C1D1的地点，此时点 O1， A1， C1恰幸亏同向来线上，求圆心 O挪动的距离（即 OO1的长）；（相像）（3）在挪动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不停变化，设该距离为d（cm），当 d＜2时，求 t 的取值范围（解答时能够利用备用图画出有关表示图）．（相像+切线）（数形联合 +分类议论）【考点】：圆的综合题．【剖析】：（1）利用切线的性质以及锐角三角函数关系分别求出∠OAD=45°，∠ DAC=60°，从而得出答案；（2）第一得出，∠C1A1D1=60°，再利用A1E=AA1﹣OO1﹣ 2=t﹣2，求出t的值，从而得出 OO1=3t 得出答案即可；（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设挪动时间为t 1，②当直线 AC与⊙O第二次相切时，设挪动时间为t 2，分别求出即可．【解答】：解：（ 1）∵l⊥ l，⊙ O与 l ， l2都相切，121∴∠ OAD=45°，∵ =4，=4 ，AB cm AD cm∴CD=4cm， AD=4cm，∴tan ∠ DAC===，∴∠ DAC=60°，[根源:ZXXK]∴∠ OAC的度数为：∠ OAD+∠ DAC=105°，故答案为： 105；（2）如图地点二，当O1，A1，C1恰幸亏同向来线上时，设⊙O1与 l 1的切点为 E，连结 O1E，可得 O1E=2， O1E⊥ l 1，在 Rt△ A1D1C1中，∵ A1D1=4， C1D1=4，∴tan ∠ C1A1D1=，∴∠ C1A1D1=60°，在Rt△ A1O1E 中，∠ O1A1E=∠ C1A1 D1=60°，∴A E==，1∵ 1 =1﹣1﹣2=﹣2，AE AA OO t∴t ﹣2=，∴t =+2，∴1=3 =2+6；OO t（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设挪动时间为t 1，如图，此时⊙O 挪动到⊙2 的地点，矩形挪动到2 2 2 2的地点，O ABCD ABCD设⊙ 2 与直线l 1， 2 2 分别相切于点，，连结2，2， 2 2，O A C F G OF OG OA ∴O2F⊥ l 1， O2G⊥ A2G2，由（ 2）得，∠C2A2D2=60°，∴∠GA2F=120°，∴∠ O2A2F=60°，在Rt △ 2 2中， 2 =2，∴ 2 =，A OF OF A F∵OO=3t ， AF=AA+A F=4t +，2221∴4t 1+﹣ 3t1=2，∴t 1=2﹣，②当直线AC与⊙ O第二次相切时，设挪动时间为t 2，记第一次相切时为地点一，点 O1，A1，C1共线时地点二，第二次相切时为地点三，由题意知，从地点一到地点二所用时间与地点二到地点三所用时间相等，∴+2﹣（ 2﹣）=t2﹣（+2），解得： t 2=2+2，综上所述，当d＜2时， t 的取值范围是：2﹣＜t＜2+2．【评论】：本题主要考察了切线的性质以及锐角三角函数关系等知识，利用分类议论以及数形联合 t 的值是解题重点．5.如图，平面直角坐标系 xOy中，一次函数 y=﹣ x+b（ b 为常数， b＞0）的图象与 x 轴、 y 轴分别订交于点A、B，半径为4的⊙ O与 x 轴正半轴订交于点 C，与 y 轴订交于点D、E，点D在点 E 上方．（1）若直线AB与有两个交点F、G．①求∠ CFE的度数；2②用含 b 的代数式表示FG，并直接写出 b 的取值范围；（垂径定理+直线方程）（2）设b ≥5，在线段上能否存在点，使∠=45°？若存在，恳求出P点坐标；若不AB P CPE存在，请说明原因．（相切 +圆周角）【考点】：圆的综合题【剖析】：（1）连结CD，EA，利用同一条弦所对的圆周角相等求行∠CFE=45°，（2）作OM⊥AB点M，连结OF，利用两条直线垂直订交求出交点M的坐标，利用勾股定理求出22FM，再求出FG，再依据式子写出 b 的范围，（3）当b=5 时，直线与圆相切，存在点P，使∠ CPE=45°，再利用两条直线垂直订交求出交点P的坐标，【解答】：解：（1）连结CD，EA，∵DE是直径，∴∠ DCE=90°，∵CO⊥ DE，且 DO=EO，∴∠ ODC=OEC=45°，∴∠ CFE=∠ ODC=45°，（2）①如图，作OM⊥ AB点 M，连结 OF，∵OM⊥ AB，直线的函数式为：y=﹣x+b，∴OM所在的直线函数式为：y=x，∴交点 M（b，b）222∴OM=（b）+（b），∵OF=4，2222﹣（2﹣（2∴FM=OF﹣ OM=4b）b），∵FM=FG，∴2=42=4×[4 2﹣（）2﹣（）2]=64 ﹣2=64×（ 1﹣2），FG FM b b b b∵直线 AB与有两个交点F、 G．∴4≤b＜ 5，（3）如图，当 b=5时，直线与圆相切，∵DE是直径，[根源:]∴∠ DCE=90°，∵CO⊥ DE，且 DO=EO，∴∠ ODC=OEC=45°，∴∠ CFE=∠ ODC=45°，∴存在点 P，使∠ CPE=45°，连结 OP，∵P 是切点，∴OP⊥ AB，∴OP所在的直线为：y=x，又∵ AB所在的直线为：y=﹣x+5，∴P（，）．【评论】：本题主要考察了圆与一次函数的知识，解题的重点是作出协助线，明确两条直线垂直时 K的关系．6.如图，矩形 ABCD的边 AB=3cm，AD=4cm，点 E 从点 A出发，沿射线 AD挪动，以 CE为直径作圆 O，点 F 为圆 O与射线 BD的公共点，连结 EF、CF，过点 E作 EG⊥ EF，EG与圆 O订交于点 G，连结 CG．（1）试说明四边形EFCG是矩形；（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止挪动，在点E挪动的过程中，①矩形 EFCG的面积能否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明原因；②求点 G挪动路线的长．【考点】：圆的综合题；垂线段最短；直角三角形斜边上的中线；矩形的判断与性质；圆周角定理；切线的性质；相像三角形的判断与性质．【剖析】：（ 1）只需证到三个内角等于90°即可．FCE=∠ FDE，从而证到△CFE∽△ DAB，依据（2）易证点D在⊙ O上，依据圆周角定理可得∠S矩形ABCD 相像三角形的性质可获得S 矩形ABCD=2S△CFE=．而后只需求出CF的范围便可求出的范围．依据圆周角定理和矩形的性质可证到∠GDC=∠ FDE=定值，从而获得点G的挪动的路线是线段，只需找到点G的起点与终点，求出该线段的长度即可．【解答】：解：（ 1）证明：如图1，∵CE为⊙ O的直径，[根源:学。
九上 圆 动点、暗动点、最值问题 拔高提优 知识点+例题+练习 (分类全面)
3、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°, AD＝13cm，BC＝16cm，CD ＝5cm，AB为⊙O的直径，动点P沿AD方向从点A开始向点D以1 cm/s的速度运动，动点Q沿CB方向从点C开始向点B以2 cm/s的速度运动，点P、Q分别从A、C两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动．（1）求⊙O的直径；4（2）求四边形PQCD的面积y关于P、Q运动时间t的函数关系式，并求四边形PQCD为等腰梯形时，四边形PQCD的面积．（3）是否存在某一时刻t，使直线PQ与⊙O相切，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（2）s=2t+26T=3分之19S=3分之116（3）PQ=16-tH=43t-16T=4-根号14或 T=4+根号14相切，说明理由。
O ADBCE F二、最值问题1、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点D 是平面内的一个动点，且AD=4，M 为BD 的中点，在D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是 ． 2分之3,2分之72、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则PQ 长的最小值为 ．13分之603、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC=10，D 是BC 的中点，点E 在AB 边上运动（点E 不与点A 重合），过A 、D 、E 三点作⊙O ，⊙O 交AC 于另一点F ，在此运动变化的过程中，线段EF 长度的最小值为 ．2倍跟24、如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为6，则GE+FH的最大值为．10.55、如图，在Rt△AOB中，OA=OB=5，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为．2倍根号26、在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx ﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为．247、如图，90MON ∠=︒ , Rt ABC ∆的顶点,A B 分别在,OM ON 上，90ACB ∠=︒，点A 从点O 出发沿射线OM 运动，同时点B 从点O 出发沿射线ON 运动，连接OC .若AB = 10，则OC 长的最大值是 .58、如图，定长弦CD 在以AB 为直径的⊙O 上滑动（点C 、D 与点A 、B 不重合），M 是CD 的中点，过点C 作CP ⊥AB 于点P ，若CD=3，AB=10，则PM 的最大值是 ．49、如图，矩形ABCD 中，AB=4，AD=6，点E 、F 分别为AD 、DC 边上的点，且 EF=4，点G 为EF 的中点，点P 为BC 上一动点，则PA+PG 的最小值为___________ 410、在平面直角坐标系中，M（3，4），P是以M为圆心，2为半径的⊙M上一动点，A（-1，0）、B（1，0），连接PA、PB，则PA2+PB2最大值是 .100P（x,y）PA2=(X+1)2+y2PB2=(x-1)2+y2PA2+PB2 =2（x2+y2）+2x2+y2最大值为72=4911、在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．（1）如图1，当PQ//AB时，求PQ的长度；根号6（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．2分之3倍根号3PQ2=OQ2-OP2OP最小，PQ最大12、如图，圆O的半径为1，A，P，B，C是圆O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断三角形ABC的形状：；等边（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；PA+PB=PC （3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．中点，根号313、如图，已知圆O的直径AB=12cm，AC是圆O的弦，过点C作圆O的切线交BA 的延长线于点P，连接BC．（1）求证：∠PCA=∠B；（2）已知∠P=40°，点Q在优弧ABC上，从点A开始逆时针运动到点C停止（点Q与点C不重合），当三角形ABQ与三角形ABC的面积相等时，求动点Q所经过的弧长．3分之5π3分之13π3分之23π三、暗动点、隐圆1、如图，OA ⊥OB ，垂足为O ，P 、Q 分别是射线OA 、OB 上的两个动点，点C 是线段PQ 的中点，且PQ=4.则动点C 运动形成的路径长是___.π2、已知边长为a 的正三角形ABC ，两顶点A B 、分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连结OC ，则OC 的长的最大值是 ． 2（分之根号3+1）a3．如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM 、ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为（ ）AA 、21B 、5C 、1455D 、524、如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，1BC =，点D 是斜边AB 上的一个动点(不与点A 重合)，AED ∆为等边三角形.过D 点作DE 的垂线，F 为垂线上任意一点，G 为EF 的中点，则线段CG 长的最小值是 . 2分之35、如图，E 是正方形ABCD 的边AD 上的动点，过点A 作AH BE ⊥于点H . 若正方形的边长为4，则线段DH 的最小值是多少? 2分之根号5-26、如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，满足AE=DF ．连接CF 交BD 于G ，连接BE 交AG 于H ．已知正方形ABCD 的边长为4cm ，解决下列问题： （1）求证：BE ⊥AG ；（2）求线段DH 的长度的最小值．2分之根号5-27、如图，在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在边DC、CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动.若，线段CP的最小值是_____________根号5-18、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC=2，∠BAC=30°，求线段PM 的最大值39、如图,以y轴上一点M为圆心作M,分别与坐标轴交于点A,B,C,其中A(0,3),B(1,0),动点P在劣弧BC上由点B运动到C,过点B作BQ⊥AP于点Q,求垂足Q在此过程中经过的路径。
人教版初三数学上册圆中的动点问题
∴PQ长的最大值为＝ 9 (3)2 3 3 2 .
2
2
方法总结：
1.动中求静，找出题中不变的数量关系
2.判断何种特殊情况下有最值，并画出特 殊情况下的图形
3.代入求出最值
3.(2016年安徽中考第10题）如图，Rt△ABC中，
AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，
合 且满足∠PAB＝∠PBC.则线段CP长的最小值为( )
第六单元 圆
复习课 圆中的动点问题
淮南九中 庄昌霞
考ห้องสมุดไป่ตู้分析
圆中的动点问题近两年在选择题 和解答题中分别考查了一次，考查 的内容为利用勾股定理求线段长或 线段的最值.
例题解析
1.（２０１５陕西）如图，ＡＢ是⊙Ｏ的弦，ＡＢ＝６，
点Ｃ是⊙Ｏ上的一个动点，且∠ＡＣＢ＝45°．若点Ｍ、
Ｎ分别是ＡＢ、ＢＣ的中点，则ＭＮ长的最大值是
6
2
∴P到AB的距离的最小值
8
PH＝FH－FP＝
16 5
2
6 5
5.已知，AB是⊙O的直径，AB＝8，点C在⊙O的半径 OA上运动，PC⊥AB，垂足为C，PC＝5，PT为⊙O的切 线，切点为T.
练 (1)如图①，当C点运动到O点时，求PT的长； (2)如图②，设PT＝y，AC＝x，求y与x的解析式并求出 y的最小值．
∵ＡＢ＝６
2
∴ ＯＡ＝ＯＢ＝６×2 ∴ＭＮ长的最大值是
1 2
＝３ 2 ． AC＝OA=３
2
2. (2015安徽20题10分)在⊙O中，直径AB＝6，BC 是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且 OP⊥PQ.
(1)如图①，当PQ∥AB时，求PQ的长度；
关于圆的动点问题常见解决方案[例谈圆中常见两解问题]
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关于圆的动点问题常见解决方案[例谈圆中常见两解问题] 由于圆具有对称性，以及点、弦、角等元素在圆中位置的相对性.因此，在解答没有给出图形的圆的有关计算题时，就要仔细审题，周密思考，以防漏解. 一、有关点与圆的位置关系问题例1:点P到⊙O的最大距离是8cm，最小距离是4cm，则⊙O的半径是.分析:题中并没有说明点P与圆的位置关系，故需分点P在圆内与点P在圆外两种情况求解.（如图1）当点P在圆内时，由已知，得PA=4, PB=8.（如图2）当点P在圆外时，由已知，得PA=4,PB=8.综上所述，⊙O的半径为6cm或2cm.二、有关平行弦问题例2:已知四边形ABCD是⊙O的内接梯形，AB∥CD，AB=8，CD=6.⊙O的半径等于5，求梯形ABCD的高.分析:求圆内接梯形的高就是求圆中两条平行弦间的距离.（如图3）当AB、CD在圆心的两侧时，过圆心O作EF⊥AB于E，交CD于F.∵AB∥CD，∴EF⊥CD.连结OA、OD，则△OAE、△ODF都是直角三角形.∴梯形的高EF＝OE+OF=3+4=7.（如图4）当AB、CD在圆心O的同侧时，作OF⊥CD于F，交AB于E，连结OA、OD.同理，求得OE＝3，OF＝4.∴梯形的高EF＝OF－OE＝4-3＝1.综上所述，⊙O的内接梯形ABCD的高为7或1.三、有关公共弦问题例3:⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，它们的半径AO1=20，AO2=15，公共弦AB＝24，则△AO1O2的周长为 .分析:因为已知两圆的半径不等，所以，圆心可能在公共弦AB 的两侧（如图5），也可能在AB的同侧（如图6）.分别在Rt△AO1C和Rt△AO2C中，由勾股定理求得O1C=16,O2C=9.∴O1O2=16+9=25.∴△AO1O2的周长为20+15+25＝60.在图6中，同理求得O1C=16,O2C=9.∴O1O2=16－9=7.∴△AO1O2的周长为20+15+7＝42.综上所述，△AO1O2的周长为60或42.四、有关两条弦的夹角问题分析：连结OA，则弦AC、AD可能在半径OA的两侧（如图7），也可能在OA的同侧（如图8）.在图7中，连结OC.∴∠OAD=30°.∴∠CAD=∠CAO+∠OAD=45°+30°＝75°.在图8中，同理求得∠OAD=30°，∠OAC＝45°.∴∠CAD=∠OAC－∠OAD＝45°-30°＝15°.综上所述，∠CAD等于75°或15°.五、有关圆周角问题例5 ：PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，∠APB＝78°，点C是⊙O上异于A、B的任意一点，则∠ACB=.分析：如图9，因为C是⊙O上异于A、B的任意一点，所以点C可能在优弧AB上，也可能在劣弧 AB上.当点C在优弧AB上时，连结OA、OB,则OA⊥PA，OB⊥PB.又∠APB＝78°，∴∠AOB＝360°-90°-90°-78°＝102°.当点C"在劣弧AB上时，四边形AC"BC是圆内接四边形.∴∠AC"B=180°-∠ACB＝180°-51°＝129°.综上所述，∠ACB等于51°或129°.六、有关圆的相切问题例6：以O为圆心的两个同心圆的半径分别9cm和5cm,若⊙A 与这两个圆都相切，则⊙A的半径为 .分析：因为相切分内切和外切两种，所以⊙A可能与大圆内切，与小圆外切（如图10），也可能与两个圆都内切（如图11）.综上所述，⊙A的半径为2cm或7cm.本文为全文原貌未安装PDF浏览器用户请先下载安装原版全文内容仅供参考。
以圆为载体的动点问题
以圆为载体的动点问题
• （1）当点P在△ABC外接圆外时， • 如图5，连结BD，根据外角大于任何一 个与它不相邻的内角，∠BPC＜∠BDC • 又因为∠BDC＝∠BAC， • 所以∠BPC＜∠BAC； • （2）当点P在△ABC外接圆上时，如图6， 根据同弧所对的圆周角相等， • ∠BPC＝∠BAC；
以圆为载体的动点问题
动点问题是初中数学的一个难点，中考经常考 察，有一类动点问题，题中未说到圆，却与圆 有关，只要巧妙地构造圆，以圆为载体，利用 圆的有关性质，问题便会迎刃而解；此类问题 方法巧妙，耐人寻味。
以圆为载体的动点问题
• 例1. 在中，AC＝5，BC ＝12，∠ACB＝90°，P 是AB边上的动点（与点A、 B不重合），Q是BC边上 的动点（与点B、C不重 合），当PQ与AC不平行 时，△CPQ可能为直角三 角形吗？若有可能，请求 出线段CQ的长的取值范围； 若不可能，请说明理由。
以圆为载体的动点问题
• 例3. 如图5，△ABC的外部有一动点P（在 直线BC上方），分别连结PB、PC，试确 定∠BPC与∠BAC的大小关系。 • 分析：∠BPC与∠BAC之间没有联系，要 确定∠BPC与∠BAC的大小关系，必须找 恰当的载体，作为它们之间的桥梁，这道 桥梁就是圆，通过构造△ABC的外接圆， 问题就会迎刃而解。
以圆为载体的动点问题
• 以CQ为直径做半圆D。 • ①当半圆D与AB相切时，设切点为M， 连结DM，则 • DM⊥AB，且AC＝AM＝5 • 所以 设，则 在中，，即 • 解得：，所以 即当且点P运动到切 点M的位置时，△CPQ为直角三角形。
以圆为载体的动点问题
• ②当时，半圆D与直线AB有两个交点，当 点P运动到这两个交点的位置时，△CPQ为 直角三角形。 • ③当时，半圆D与直线AB相离，即点P在 半圆D之外，0＜∠CPQ＜90°，此时， △CPQ不可能为直角三角形。 • 所以，当时，△CPQ可能为直角三角形。
人教版九年级数学上册期末圆动点最值问题压轴题
人教版九年级数学上册期末圆动点最值问题压轴题一、单选题1．如图，O的直径12AB=，弦CD垂直平分半径OA，动点M从点C出发在优弧CBD 上运动到点D停止，在点M整个运动过程中，线段AM的中点P的运动路径长为（）A．3πB．4πC．5πD．6π2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最大值与最小值之差是（）A．5 B．6 C．7 D．83．如图，线段AB＝6，点C为线段AB外一动点，45∠=︒，连接BC，M，N分别ACB为AB，BC的中点，则线段MN的最大值为（）A．3 B．4 C．2D．24．如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧AB上的一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（）A ．60°B ．90°C ．120°D ．135°5．如图，O 的半径为13，弦AB 的长为24，M 是弦AB 上的动点，则线段OM 长的最小值为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．56．如图，在Rt AOB 中，OA ＝OB ＝42，⊙O 的半径为2， 点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则线段PQ 长的最小值为（ ）A ．23B ．3C ．1D ．27．如图，AC 为半圆的直径，弦3AB =，30BAC ∠=︒，点E 、F 分别为AB 和AC 上的动点，则BF EF +的最小值为（ ）A 3B 33C ．3D ．3328．如图，AB 是⊙O 的弦，AB 长为8，P 是⊙O 上一个动点（不与A ，B 重合），过点O 作OC ⊥AP 于点C ，OD ⊥PB 于点D ，则CD 的长为（ ）．A ．3B ．23C ．43D ．4二、填空题 9．如图所示，AB 是O 的直径，20AB =，30CAB ∠=︒，点D 为弧BC 的中点，点P 是直径AB 上的一个动点，PC PD +的最小值为__________．10．如图，⊙O 的半径是2，AB 是⊙O 的弦，P 是弦AB 上的动点，且1≤OP ≤2，则弦AB 所对的圆心角的度数是__________．11．如图，AB 是O 的弦，5AB =，点C 是O 上的一个动点，且45ACB ∠=︒，若点M ，N 分别是AB ，AC 的中点，则MN 长的最大值是______．12．如图，在扇形ABD 中，60BAD ∠=︒，AC 平分BAD ∠交弧BD 于点C ，点P 为半径AB 上一动点，若4AB =，则阴影部分周长的最小值为___________．13．在ABC 中，90,2,3ABC AB BC ∠=︒==．点D 为平面上一个动点，45ADB ∠=︒，则线段CD 长度的最小值为_____．14．如图，在扇形AOB 中，45AOB ∠=︒，点C 是AB 的中点，点D ，E 分别为半径OA ，OB 上的动点．若2OB =，则CDE △周长的最小值为______．15．如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9，M 是AB 的中点，P 是BC 边上的动点，连结PM ，以点P 为圆心，PM 长为半径作⊙P ．当⊙P 与矩形ABCD 的边CD 相切时，则BP 的长为________．三、解答题16．如图，在正方形ABCD 中，动点E ，F 分别在边DC ，CB 上移动（不与顶点重合），且满足DE CF =．连接AE 和DF ，交于点P ．（1）请你写出AE 与DF 的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）由于点E ，F 的移动，使得点P 也随之运动．①请用文字描述并且在图中画出点P 的运动路径；②若10AD =，请求出线段CP 的最小值．17．如图，O为Rt ABC的外接圆，90,43,4∠=︒==，点D是O上的ACB BC AC、分别位于AB的两侧．动点，且点C D（1）求O的半径；∠的度数；（2）当42CD=时，求ACD（3）设AD的中点为M，在点D的运动过程中，线段CM是否存在最大值？若存在，求出CM的最大值；若不存在，请说明理由．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE的长为半径作半圆，交AO于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点F是AO的中点，OE＝3，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE＋PF取最小值时，求出BP的长．19．如图，在平行四边行ABCD 中，AB ＝5，BC ＝8，BC 边上的高AH ＝3，点P 是边BC 上的动点，以CP 为半径的⊙C 与边AD 交于点E ，F （点E 在点F 的左侧）． （1）当⊙C 经过点A 时，求CP 的长；（2）连接AP ，当AP ∥CE 时，求⊙C 的半径及弦EF 的长．20．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，10AB =，6AC =，点D 为BC 边上的一个动点，以CD 为直径的O 交AD 于点E ，过点C 作//CF AB ，交O 于点F ，连接CE 、EF ．（1）当45CFE ∠=︒时，求CD 的长；（2）求证：BAC CEF ∠=∠；（3）是否存在点D ，使得CFE 是以CF 为底的等腰三角形，若存在，求出此时CD 的长；若不存在，试说明理由．参考答案1．B解：如图，连接OC，设CD交AB于点E．∵CD垂直平分线段OA，∴CA=CO，∵OC=OA，∴AC=OC=OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠CAE=60°，当点M与C重合时，连接PE，OP，∵P A=PM，∴OP⊥AM，∴∠APO=90°，∵AE=EO，OA=3，∴EP=12∵PE=AE=3，∠P AE=60°，∴△P AE是等边三角形，∴∠AEP=60°；在点M整个运动过程中，如下图，∵点P 是AM 的中点，点E 是AO 的中点， ∴1122PE OM OA AE EO ====， ∴线段AM 的中点P 的运动轨迹是图中IOJ ，∵260120IEJ ∠=⨯︒=︒，∴IOJ 的圆心角360120240=︒-︒=︒，∴运动路径的长=24034180ππ•=． 故选：B ．2．D解：如图，设⊙O 与AC 相切于点D ，连接OD ，过点O 作OP ⊥BC 垂足为P 交⊙O 于F ，此时垂线段OP 最短，PF 最小值为OP ﹣OF ，∵AC ＝12，BC ＝9，∴AB 22AC BC +22129+15，∵∠OPB ＝90°，∴OP ∥AC ，,OPB ACB ∴∽2,3OP OB AC AB ∴== ∵点O 是AB 的三等分点，∴21510,3OB =⨯=， ∴OP ＝8，∵⊙O 与AC 相切于点D ，∴OD ⊥AC ，∴OD ∥BC ，,AOD ABC ∴∽ ∴13OD OA BC AB ==， ∴OD ＝3，∴MN 最小值为OP ﹣OF ＝8﹣3＝5，如图，当N 在AB 边上时，M 与B 重合时，MN 经过圆心，经过圆心的弦最长， MN 最大值＝OB +OE ＝10+3＝13，∴MN 长的最大值与最小值的差是13﹣5＝8．故选：D ．3．C解：由题知A 、B 、C 三点共圆，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，12MN AC ∴=， ∴当AC 过圆心即AC 是直径时（如图所示），AC 取得最大值，此时MN 取的最大值， 45ACB =︒∠，90ABC ∠=︒∴此时ABC 是等腰直角三角形，BMN △是等腰直角三角形，132BM BN AB ∴===，MN ∴=故选C ．4．B解：如图，延长CD交⊙O于P，延长CE交⊙O于T，连接PT．∵OA⊥PC，OB⊥CT，∴CD＝DP，CE＝TE，∴DE＝12 PT，∴当PT是直径时，DE的长最大，连接OC，∵OP＝OC＝OT，OD⊥PC，OE⊥CT，∴∠COA＝∠POA，∠COB＝∠BOT，∴∠AOB＝∠COA+∠COB＝12∠POT＝90°，故选：B．5．D解：过O作OM AB'⊥于M'，此时线段OM'的长最短，连接OA，OM '过点O ，OM AB '⊥， 11241222AM AB '∴==⨯=， 在Rt AMO △中，由勾股定理得：221691445OM OA AM ''=-=-=． 故选：D ．6．A解：连接OQ ．∵PQ 是⊙O 的切线，∴OQ ⊥PQ ；根据勾股定理知PQ 2=OP 2-OQ 2，∴当PO ⊥AB 时，线段PQ 最短，∵在Rt △AOB 中，2∴2OA=8，∴OP=4OA OB AB•=， ∴2223OP OQ =-故选：A ．7．B解：作B 点关于直径AC 的对称点B′，过B′点作B′E ⊥AB 于E ，交AC 于F ，如图，则FB＝FB′，∴FB＋FE＝FB′＋FE＝B′E，此时FB＋FE的值最小，∵∠BAC＝30°，∴∠B′AC＝30°，∴∠BAB′＝60°，∵AB＝AB′，∴△ABB′为等边三角形，∵B′E⊥AB，∴AE＝BE＝32，∴B′E333即BF＋EF33故选：B．8．D∵过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，∴AC=PC，BD=PD，∴CD∥AB，且CD=12AB，∵AB=8，∴CD=12AB=4．故选择：D．9．102解：作出D 关于AB 的对称点D ′，连接OC ，OD ′，CD ′．又∵点C 在⊙O 上，∠CAB =30°，D 为弧BC 的中点，即BD BD '=，∴∠BAD ′=12∠CAB =15°．∴∠CAD ′=45°．∴∠COD ′=90°．则△COD ′是等腰直角三角形．∵OC =OD ′=12AB =10，∴CD ′=2故答案为：10210．120︒解：作OD ⊥AB ，∵P 是弦AB 上的动点，且1≤OP ≤2，∴OD=1，∵⊙O 的半径是2，∴12OD OA ， ∵OA=OB ，∴30OAB OBA ==︒∠∠，∴弦AB 所对的圆心角120AOB ∠=︒，故答案为：120︒ ．11．522 解：∵点M ，N 分别是AB ，AC 的中点，∴MN =12BC ， ∵当BC 最大时，线段MN 长的最大，当BC 为⊙O 的直径时，BC 的长度最大，此时，∠A =90°，∠ACB =45°，∴直径BC =2AB =52，则线段MN 长的最大值为522， 故答案为：522． 12．2423π+ 解：如图，作点C 关于AB 的对称点C '，连接C D '交OB 于点P '，连接P C '、OC '，此时P C P D ''+最小，即=P C P D C D '''+，由题意得，30DAC CAB BAC '∠=∠=∠=︒，∴90DAC '∠=︒， ∴22224442C D OC OD ''=+=+=，CD 的长3042==1803l ππ⨯， ∴阴影部分周长的最小值为242+3π， 故答案为：242+3π． 13．52-如图： 以12AB 为半径作圆，过圆心O 作,ON AB OM BC ⊥⊥， 以O 为圆心OB 为半径作圆，则点D 在圆O 上，45ADB ∠=︒90AOB ∠=︒∴2AB =1AN BN ==22112AO ∴=+=112ON OM AB ===,3BC = 221(31)5OC ∴=+-=52CO OD ∴-=线段CD 长度的最小值为52-． 52-14．2解：如图，作点C 关于,OA OB 的对称点,M N ，连接,,,,DM EN OM OC ON ，则,,,,,DM CD OM OC AOM AOC EN CE ON OC BON BOC ==∠=∠==∠=∠， CDE ∴的周长为CD DE CE DM DE EN ++=++，由两点之间线段最短得：当点,,,M D E N 共线时，CDE △周长最小，最小值为MN ， ,AOM AOC BON BOC ∠=∠∠=∠，45AOC BOC AOB ∠+∠=∠=︒，2()90MON AOM AOC BON BOC AOC BOC ∴∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=︒，由同圆半径相等得：2OC OB ==，2OM ON ∴==，在Rt MON 中，2222MN OM ON +=即CDE △周长的最小值为22 故答案为：2215．4当⊙P 与直线CD 相切时，设PC ＝PM ＝x ．则PB =9-x ，132BM AB == 在Rt △PBM 中，∵222PM BM PB =+，∴2223(9)x x =+-，∴x ＝5，∴PC ＝5，∴BP ＝BC ﹣PC ＝9﹣5＝4．故答案为：4．16．解：（1）AE DF =，AE DF ⊥，理由是：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD DC =，90ADE DCF ∠=∠=︒，∵DE CF =，在ADE 和DCF 中AD DC ADE DCF DE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADE DCF ≅△△，∴AE DF =，DAE FDC ∠=∠∵90ADE ∠=︒，∴90ADP FDC ∠+∠=︒，∴90ADP DAE ∠+∠=︒，∴1809090APD ∠=︒-︒=︒，∴AE DF ⊥；（2）如图，①∵点P 在运动中保持90APD ∠=︒，设正方形ABCD 的中心为O ， ∴得出点P 的运动路径是以AD 为直径的圆的圆弧DPO （去除端点D ，O ），②设AD 的中点（圆心）为G ，连接CG 交圆弧于点P ，此时线段CP 的长度最小． 在Rt CDG 中，222210555CG CD DG ++∴555=-=-CP CG GP即线段CP的最小值是555-．17．（1）4；（2）15°；（3）存在，232+解：（1）如图1中，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝4，BC＝3∴AB2222++=8，4(43)AC BC∴⊙O的半径为4．（2）如图1中，连接OC，OD．∵CD＝2，OC＝OD＝4，∴CD2＝OC2+OD2，∴∠COD＝90°，∴∠OCD＝45°，∵AC＝OC＝OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠ACO＝60°，∴∠ACD＝∠ACO﹣∠DCO＝60°﹣45°＝15°．（3）如图2中，连接OM，OC．∵AM＝MD，∴OM⊥AD，∴点M的运动轨迹以AO为直径的⊙J，连接CJ，JM．∵△AOC是等边三角形，AJ＝OJ，∴CJ⊥OA，∴CJ22=-=23，AC AJ∵CM≤CJ+JM＝23+2，∴CM的最大值为23+2．18．【详解】（1）证明：如图，过O作AC的垂线OM，垂足为M．∵AB＝AC，AO⊥BC，∴AO平分∠BAC，∵OE⊥AB，OM⊥AC，∴ OE ＝OM ，∵ OE 为⊙O 的半径，∴ OM 为⊙O 的半径，∴ AC 是⊙O 的切线．（2）解：∵OM ＝OE ＝OF ＝3．且F 是OA 的中点，∴ AO ＝6，在Rt ΔAEO 中，AE ＝33， ∴ AEO S ＝12OE AE ＝932． ∵ OE ⊥AB ，在Rt ΔAEO 中，∠OEA ＝90°，AO ＝6，AE ＝33，OE ＝3，∴ ∠EOF ＝60°，∴ OEF S 扇形＝260333602ππ⋅=， ∴ S 阴影AEO OEF S S =-扇形△93322π=-． （3）解：如图，作点F 关于BC 的对称点G ，连接EG 交BC 于P ，∵ =PF PG ，∴ PE PF PE PG EG +=+=，此时EP +FP 最小，∵ OG =OF =OE ，∴ =G OEG ∠∠，而 =+=60AOE G OEG ︒∠∠∠，∴=30G︒∠，∴=G EAG∠∠，∴33EG EA==，即PE PF+最小值为33，在Rt OPG中，333OP OG==，在Rt ABO中，3362333OB OA==⨯=，∴=23-3=3BP，即当PE＋PF取最小值时，BP的长为3．19．（1）CP＝5；（2）⊙C的半径为258，EF＝74．解：（1）连接AC，如图1所示：∵AH⊥BC，∴∠AHB＝∠AHC＝90°，∴BH＝2222534AB AH-=-=，∴CH＝BC﹣BH＝4，∴CA＝225AH CH+=，当⊙C经过点A时，CP＝CA＝5；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，当AP∥CE时，四边形APCE是平行四边形，∵CP＝CE，∴四边形APCE是菱形，∴P A＝CP，设P A＝CP＝x，则PH＝4﹣x，在Rt△APH中，由勾股定理得：AH2+PH2＝P A2，即32+（4﹣x ）2＝x 2，解得：x ＝258， 即⊙C 的半径为258， 作CM ⊥EF 于M ，如图2所示：则CM ＝AH ＝3，ME ＝MF ＝12EF ，在Rt △CEM 中，由勾股定理得：ME ＝2222257()388CE CM -=-=， ∴EF ＝2ME ＝74．20．解：（1）∵45CDE CFE ∠=∠=︒，90ACB ∠=︒∴45DAC CDA ∠=∠=︒∴6CD AC ==（2）∵//CF AB ，∴B FCB ∠=∠，∵FCB DEF ∠=∠，∴B DEF ∠=∠，①又90BAC B ∠+∠=︒②∵CD 是圆O 的直径，90CED ∠=︒，∴90DEF CEF ∠+∠=︒③由①②③可得BAC CEF ∠=∠（3）CFE 是CF 为底的等腰三角形，则EF CE =，则∠EFC =∠ECF ． 连接FD ，并延长和AB 相交于G ，∵四边形CEDF为圆内接四边形，∴∠ADG=∠ECF，又∵∠CDE=∠CFE，∴∠ADG=∠CDE，∵CD为⊙O的直径，∴∠DFC=90°，∵FC∥AB，∴∠FGA=90°，∴∠FGA=∠ACD，∵AD=AD，∴△AGD≌△ACD（AAS），∴DG=CD，在Rt△BDG中，设CD=x，BG2+DG2=BD2，∴42+x2=（8-x）2，解得x=3，即CD=3。
中考数学---与圆有关的动点几何压轴题1
中考数学---与圆有关的动点几何压轴题1定圆结合直角三角形：1、已知：如图，在Rt △ABC 中， 90=∠C ，4=BC ，21tan =∠CAB ，点O 在边AC 上，以点O 为圆心的圆过A 、B 两点，点P 为AB 上一动点.（1）求⊙O 的半径；（2）联结AP 并延长，交边CB 延长线于点D ，设x P A =，y D B =，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）联结P B ，当点P 是AB 的中点时，求△ABP 的面积与△ABD 的面积比ABDABPS S ∆∆的值．2、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°．半径为1的圆A 与边AB 相交于点D ，与边AC 相交于点E ，连接DE 并延长，与线段BC 的延长线交于点P ．（1）当∠B=30°时，连接AP ，若△AEP 与△BDP 相似，求CE 的长；（2）若CE=2，BD=BC ，求∠BPD 的正切值；（3）若tan ∠BPD=，设CE=x ，△ABC 的周长为y ，求y 关于x 的函数关系式．PD第1题图备用图B3、如图，在半径为5的⊙O 中，点A 、B 在⊙O 上，∠AOB=90°，点C 是弧AB 上的一个动点，AC 与OB 的延长线相交于点D ，设AC=x ，BD=y ．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （2）如果⊙O 1与⊙O 相交于点A 、C ，且⊙O 1与⊙O 的圆心距为2，当BD=OB 时，求⊙O 1的半径； （3）是否存在点C ，使得△DCB ∽△DOC ？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由．定圆中结合平行线：2、在半径为4的⊙O 中，点C 是以AB 为直径的半圆的中点，OD ⊥AC ，垂足为D ，点E 是射线AB 上的任意一点，DF //AB ，DF 与CE 相交于点F ，设EF =x ，DF =y ．（1）如图1，当点E 在射线OB 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域； （2）如图2，当点F 在⊙O 上时，求线段DF 的长；（3）如果以点E 为圆心、EF 为半径的圆与⊙O 相切，求线段DF 的长．ABEFCDOABF C D O动圆结合直角梯形：5、如图，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=4，AD=3，sin ∠DCB=，P 是边CD 上一点（点P 与点C 、D 不重合），以PC 为半径的⊙P 与边BC 相交于点C 和点Q ．（1）如果BP ⊥CD ，求CP 的长；（2）如果PA=PB ，试判断以AB 为直径的⊙O 与⊙P 的位置关系； （3）联结PQ ，如果△ADP 和△BQP 相似，求CP 的长．动圆结合内切直角三角形：6、在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，O 是边AC 上的一个动点，以点O 为圆心作半圆，与边AB 相切于点D ，交线段OC 于点E ，作EP ⊥ED ，交射线AB 于点P ，交射线CB 于点F 。
动点问题圆(含答案)初三数学(2020年整理).pptx
∵OO2=3t，AF=AA2+A2F=4t1+ ，
∴4t1+ ﹣3t1=2，
9
∴t1=2﹣ ，
②当直线 AC 与⊙O 第二次相切时，设移动时间为 t2， 记第一次相切时为位置一，点 O1，A1，C1 共线时位置二，第二次相切时为位置 三，
由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等， ∴ +2﹣（2﹣ ）=t2﹣（ +2），
5
分析如下： 因为长方形的长宽分别为 3，2，那么直接取圆直径最大为 2，则半径最 大为 1．
（2） 如图 1，方案二中连接 O1，O2，过 O1 作 O1E⊥AB 于 E， 方案三中，过点 O 分别作 AB，BF 的垂线，交于 M，N，此时 M，N 恰 为⊙O 与 AB，BF 的切点． 方案二： 设半径为 r， 在 Rt△O1O2E 中， ∵O1O2=2r，O1E=BC=2，O2E=AB﹣AO1﹣CO2=3﹣2r， ∴（2r）2=22+（3﹣2r）2， 解得 r= ．
由（1）得△PMF≌△PNE ∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1
当△OEQ∽△MPF∴ = ∴ =
，无解，
当△OEQ∽△MFP 时，∴ = ， =
，解得，t=2± ，
所以当 t=
，t= ，t=2± 时，使得以点 Q、O、E 为顶点的三角形与以点 P、M、F
为顶点的三角形相似． 【点评】：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是把圆的知识与全等三角形与相似三角 形相结合找出线段关系．
分别相切于点 M 和点 N，点 F 从点 M 出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，
连接 PF，过点 PE⊥PF 交 y 轴于点 E，设点 F 运动的时间是 t 秒（t＞0）
2023年九年级中考数学高频考点突破-圆的动点问题
2023年中考数学高频考点突破--圆的动点问题一、单选题1．如图，在ΔABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（）A．6B．2√13+1C．323D．92．如图，直角△ABC中，∠ACB=90°，BC=2√3，点P是△ABC内部一动点，总满足∠APC=150°，连接BP，则BP的最小值为（）A．2√7−4B．2√31−8C．4−√3D．23√183−83√3 3．点A，B的坐标分别为A (4，0)，B(0，4)，点C为坐标平面内一点，BC﹦2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A．2 √2＋1B．2 √2＋2C．4 √2＋1D．4 √2-24．如图，点A的坐标是（−2，0），点C是以OA为直径的∠B上的一动点，点A关于点C的对称点为点P. 当点C在∠ B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线y=kx－3（k＞0）有且只有一个公共点，则k的值是（）A．23B．√53C．6√55D．√525．如图，A是∠B上任意一点，点C在∠B外，已知AB＝2，BC＝4，∠ACD是等边三角形，则△BCD的面积的最大值为（）A．4 √3＋4B．4C．4 √3＋8D．66．如图，A（12，0），B（0，9）分别是平面直解坐标系xOy坐标轴上的点，经过点O且与AB相切的动圆与x轴、y轴分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（）A．6√2B．10C．7.2D．6√37．设O为坐标原点，点A、B为抛物线y=x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，过O 作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值（）A．12B．√22C．√32D．18．已知∠O的半径为3，A为圆内一定点，AO＝1，P为圆上一动点，以AP为边作等腰∠APQ，AP ＝PQ，∠APQ＝120°，则OQ的最大值为（）A．1+3√3B．1+2√3C．3+√3D．3√3−19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，且CF= 2，点E为射线CB上一动点，连接EF．将△CEF沿直线EF折叠，使点C落在点P处，连接AP，BP，则△APB的面积最小值为（）A．3B．6C．245D．1210．如图，在ΔABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心作半圆，使BC与半圆相切，点P,Q分别是边AC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（）A．8B．9C．10D．1211．如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB=2，BC=4，△ACD是等边三角形，则△BCD的面积的最大值为（）A．4√3+4B．4√3C．4√3+8D．6√312．如图，在等边∠ABC中，AB＝6，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，连接AD，BE 交于点F，连接CF，则CF的最小值是（）A．3B．2 √3C．4D．3 √3二、填空题13．在平面直角坐标系中，已知点A (2√3，0)，点B (−6√3，0)，点C是y轴上的一个动点，当∠BCA＝30°时，点C的坐标为．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为4的∠O与x轴的正半轴交于点A，点B是∠O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y=34x−6与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为.15．如图，AB为半圆的直径，AB=10，点O到弦AC的距离为4，点P从B出发沿BA 方向向点A以每秒1个单位长度的速度运动，连接CP，经过秒后，ΔAPC为等腰三角形．16．如图，AB是⊙O的直径，M、N是AB̂异于A，B的两点，C是MN̂一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则E，C两点的运动路径长的比是．三、综合题17．如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正方形ABCD的四条边与坐标轴平行，顶点A、B 分别在第一象限、第二象限，对角线AC、BD的交点与坐标原点O重合，当正方形ABCD的边上存在点Q，满足PQ≤2时，称点P为正方形ABCD的伴随点．（1）点A的坐标为点，B的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为．（2）当正方形ABCD的伴随点P的坐标为(3，0)时，点Q的坐标可以为（写出一个即可）．（3）在点P1(0，0)、P2(5.5，5.5)、P3(−4，2)、P4(1，−2)中，正方形ABCD的伴随点是．（4）点P在直线y=x上．若点P为正方形ABCD的伴随点，直接写出点P横坐标m的取值范围．18．如图，已知∠MON=90°，OT是∠MON的平分线，A是射线OM上一点，OA=12cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AO水平向左做匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1cm/s 的速度沿ON竖直向上做匀速运动．连接PQ，交OT于点B．经过O，P，Q三点作圆，交OT于点C，连接PC，QC．设运动时间为t(s)，其中0<t<12．（1）若tan∠OCQ =13，求t 的值；（2）当△PBC 为等腰三角形时，求t 的值；（3）若△OPQ 的内心为点I ，求线段IC 长度的最小值．19．在平面直角坐标系xOy 中，已知点M(a ，b)，N.对于点P 给出如下定义：将点P 向右(a ≥0)或向左(a <0)平移|a|个单位长度，再向上(b ≥0)或向下(b <0)平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N 的对称点为Q ，称点Q 为点P 的“对应点”．（1）如图，点M(1，1)，点N 在线段OM 的延长线上，若点P(−2，0)，点Q 为点P 的“对应点”．①在图中画出点Q ；②连接PQ ，交线段ON 于点T.求证：NT =12OM ；（2）⊙O 的半径为1，M 是⊙O 上一点，点N 在线段OM 上，且ON =t(12<t <1)，若P 为⊙O 外一点，点Q 为点P 的“对应点”，连接PQ.当点M 在⊙O 上运动时直接写出PQ 长的最大值与最小值的差（用含t 的式子表示）20．如图①，在矩形ABCD 中，BC ＝60cm.动点P 以6cm/s 的速度在矩形ABCD 的边上沿A→D 的方向匀速运动，动点Q 在矩形ABCD 的边上沿A→B→C 的方向匀速运动.P 、Q 两点同时出发，当点P 到达终点D 时，点Q 立即停止运动.设运动的时间为t （s ），∠PDQ 的面积为S （cm 2），S 与t 的函数图象如图②所示.（1）AB＝cm，点Q的运动速度为cm/s；（2）在点P、Q出发的同时，点O也从CD的中点出发，以4cm/s的速度沿CD的垂直平分线向左匀速运动，以点O为圆心的∠O始终与边AD、BC相切，当点P到达终点D时，运动同时停止.①当点O在QD上时，求t的值；②当PQ与∠O有公共点时，求t的取值范围.答案解析部分1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】A 4．【答案】D 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】A 8．【答案】A 9．【答案】B 10．【答案】C 11．【答案】A 12．【答案】B13．【答案】(0，12+6√5) 或 (0，−12−6√5) 14．【答案】815．【答案】145 或4或516．【答案】√217．【答案】（1）(3，3)；(−3，3)；(−3，−3)；(3，−3)（2）(3，1) 答案不唯一 （3）P 3 、 P 4（4）解：如图符合条件的临界点P 有4个，如图，过点 P 5 作 P 5E ⊥x 轴于E ，过点 P 6 作 P 6F ⊥x 轴于F ，∵点P5，点P6在y=x上，∴∠P5OE=45°，∵正方形ABCD边长为6，∴OG=AG=3，∴OA=3√2，P6F=OF=1，∴OP5=3√2+2，∴OE=P5E=√2+2√2=3+√2，∴P5(3+√2，3+√2)，P6(1，1)，∴1≤m≤3+√2，同理可得P7(−1，−1)，P8(−3−√2，−3−√2)，∴−3−√2≤m≤−1，综上，−3−√2≤m≤−1或1≤m≤3+√2．18．【答案】（1）解：由题意得：OQ=t，OP=12−t，∠MON=90°，∵OQ⌢=OQ⌢，∴∠OPQ=∠OCQ，∴tan∠OPQ=tan∠OCQ=1 3，在Rt△OPQ，tan∠OPQ=OQ OP，∴t12−t=13，解得：t=3；（2）解：∵∠BPC=∠QOC，∠PBC=∠POC+∠OPQ，∵∠MON=90°，OT是∠MON的平分线，∴∠QOC=∠POC=12∠MON=45°，∴∠BPC=45°，∠PBC>45°，∴当△PBC为等腰三角形时，则PB=PC或BC=BP，当PB=PC时，则∠PBC=∠PCB，如图，作BH⊥OQ，BG⊥OP，∵∠PCB=∠OQB，∠PBC=∠OBQ，∴∠OBQ=∠OQB，∴OB=OQ=t，∵∠QOC=∠POC=12∠MON=45°，∴BH=BG=√22t，∵S△OPQ=S△OBQ+S△OBP，∴12OQ⋅OP=12OQ⋅BH+12OP⋅BG，即：12t⋅(12−t)=12t×√22t+12(12−t)×√22t，解得：t=12−6√2；如图，当BC=BP时，则∠BPC=∠BCP=∠QOC=45°，∴∠OQP=∠BCP=45°，∴∠OPQ是等腰直角三角形，∴OP=OQ，即：12−t=t，解得：t=6；综上所述，当△PBC为等腰三角形时，求t的值为12−6√2或6.（3）解：设PQ的中点为D，∵△OPQ的内心为点I，OC平分∠MON，∴点I在OC上，∴ID+CD≥IC，∴当点I、D、C共线时，即点D与点B重合时，线段IC长度的值最小，如图，过点I作IE∠OQ于E，IF∠OP于F，∵点B为PQ中点，为圆心，∴OC为圆的直径，∴∠OPC=∠OQC=90°，∴∠OCP=∠POC=45°，∵∠OCP=∠OQP，∴∠OQP=∠OPQ=45°，∴OP=OQ，OB∠PQ，∴IE=IF=IB，即：12−t=t，解得：t=6；∴OC=√2OQ=6√2，OB=BC=3√2，∵∠QOC=45°，∴OI=√2EI，∵EI=FI=BI，OB=OI+BI，∴OB=√2BI+BI，即：3√2=√2BI+BI，解得：BI=6−3√2，IC=BC+BI=6−3√2+3√2=6，∴线段IC长度的最小为6．19．【答案】（1）解：①点Q如下图所示．∵点M(1，1)，∴点P(−2，0)向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点P′，∴P′(−1，1)，∵点P′关于点N的对称点为Q，N(2，2)，∴点Q的横坐标为：2×2−(−1)=5，纵坐标为：2×2−1=3，∴点Q(5，3)，在坐标系内找出该点即可；②证明：如图延长ON至点A(3，3)，连接AQ，∵AQ//OP，∴∠AQT=∠OPT，在ΔAQT与Δ∠OPT中，{∠AQT =∠OPT∠ATQ =∠OTP AQ =OP，∴ΔAQT ≅ΔOPT(AAS)，∴TA =TO =12OA ， ∵A(3，3)，M(1，1)，N(2，2)，∴OA =√32+32=3√2，OM =√12+12=√2，ON =√22+22=2√2，∴TO =12OA =32√2， ∴NT =ON −OT =2√2−32√2=√22， ∴NT =12OM ； （2）解：PQ 长的最大值与最小值的差为4t −2．20．【答案】（1）30；6（2）解：①如图1，设AB ，CD 的中点分别为E ，F ，当点O 在QD 上时，QC ＝AB+BC ﹣6t ＝90﹣6t ，OF ＝4t ，∵OF∠QC 且点F 是DC 的中点，∴OF ＝12QC ， 即4t ＝12（90﹣6t ）， 解得，t ＝457； ②设AB ，CD 的中点分别为E ，F ，∠O 与AD ，BC 的切点分别为N ，G ，过点Q 作QH∠AD 于H ，如图2﹣1，当∠O 第一次与PQ 相切于点M 时，∵AH+AP＝6t，AB+BQ＝6t，且BQ＝AH，∴HP＝QH＝AB＝30，∴∠QHP是等腰直角三角形，∵CG＝DN＝OF＝4t，∴QM＝QG＝90﹣4t﹣6t＝90﹣10t，PM＝PN＝60﹣4t﹣6t＝60﹣10t，∴QP＝QM+MP＝150﹣20t，∵QP＝√2QH，∴150﹣20t＝30√2，；∴t＝15−3√22如图2﹣2，当∠O第二次与PQ相切于点M时，∵AH+AP＝6t，AB+BQ＝6t，且BQ＝AH，∴HP＝QH＝AB＝30，∴∠QHP是等腰直角三角形，∵CG＝DN＝OF＝4t，∴QM＝QG＝4t﹣（90﹣6t）＝10t﹣90，PM＝PN＝4t﹣（60﹣6t）＝10t﹣60，∴QP＝QM+MP＝20t﹣150，∵QP＝√2QH，∴20t ﹣150＝30√2，∴t ＝15+3√22， 综上所述，当PQ 与∠O 有公共点时，t 的取值范围为：15−3√22≤t≤15+3√22.。
2024年中考数学高频压轴题训练——圆-动点问题及参考答案
2024年中考数学高频压轴题训练——圆-动点问题1．“同弧或等弧所对的圆周角相等”，利用这个推论可以解决很多数学问题．（1）【知识理解】如图1，圆O 的内接四边形ACBD 中，60ABC ∠=︒，BC AC =，①BDC ∠=；DAB ∠DCB ∠（填“>”，“=”，“<”）②将D 点绕点B 顺时针旋转60︒得到点E ，则线段DB DC DA ，，的数量关系为．（2）【知识应用】如图2，AB 是圆O 的直径，1tan 2ABC ∠=，猜想DA DB DC ，，的数量关系，并证明；（3）【知识拓展】如图3，已知2AB =，A B ，分别是射线DA DB ，上的两个动点，以AB 为边往外构造等边ABC ，点C 在MDN ∠内部，若120D ∠=︒，直接写出四边形ADBC 面积S 的取值范围．2．如图1，对于PMN 的顶点P 及其对边MN 上的一点Q ，给出如下定义：以P 为圆心，PQ 为半径的圆与直线MN 的公共点都在线段MN 上，则称点Q 为PMN 关于点P 的内联点．在平面直角坐标系xOy 中：（1）如图2，已知点(70)A ，，点B 在直线1y x =+上．①若点(34)B ，，点(30)C ，，则在点O ，C ，A 中，点是AOB 关于点B 的内联点；②若AOB 关于点B 的内联点存在，求点B 纵坐标n 的取值范围；（2）已知点(20)D ，，点(42)E ，，将点D 绕原点O 旋转得到点F ．若EOF 关于点E 的内联点存在，直接写出点F 横坐标m 的取值范围．3．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于点A 和线段BC ，给出如下定义：若将线段BC 绕点A 旋转可以得到O 的弦B C ''（B C ''，分别是B C ，的对应点），则称线段BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”．（1）如图，点112233A B C B C B C ，，，，，，的横､纵坐标都是整数．在线段112233B C B C B C ，，中，O 的以点A 为中心的“关联线段”是；（2）ABC 是边长为1的等边三角形，点()0A t ，，其中0t ≠．若BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，求t 的值；（3）在ABC 中，12AB AC ==，．若BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值，以及相应的BC 长．4．已知：点C 为⊙O 的直径AB 上一动点，过点C 作CD ⊥AB ，交⊙O 于点D 和点E ，连接AD 、BD ，∠DBA 的角平分线交⊙O 于点F ．（1）若DF ＝BD ，求证：GD ＝GB ；（2）若AB ＝2cm ，在（1）的条件下，求DG 的值；（3）若∠ADB 的角平分线DM 交⊙O 于点M ，交AB 于点N ．当点C 与点O 重合时，AD BD DM+＝；据此猜想，当点C 在AB （不含端点）运动过程中，AD BD DM +的值是否发生改变？若不变，请求其值；若改变，请说明理由．5．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于ABC 和直线l 给出如下定义：若ABC 的一条边关于直线l 的对称线段PQ 是O 的弦，则称ABC 是O 的关于直线l 的“关联三角形”，直线l 是“关联轴”．（1）如图1，若ABC 是O 的关于直线l 的“关联三角形”，请画出ABC 与O 的“关联轴”（至少画两条）；（2）若ABC 中，点A 坐标为(23)，，点B 坐标为(41)，，点C 在直线3y x =-+的图像上，存在“关联轴l ”使ABC 是O 的关联三角形，求点C 横坐标的取值范围；（3）已知A ，将点A 向上平移2个单位得到点M ，以M 为圆心MA 为半径画圆，B ，C 为M 上的两点，且2AB =（点B 在点A 右侧），若ABC 与O 的关联轴至少有两条，直接写出OC 的最小值和最大值，以及OC 最大时AC 的长．6．如图，在⊙O 中，AB 为弦，CD 为直径，且AB ⊥CD ，垂足为E ，P 为 AC 上的动点（不与端点重合），连接PD ．（1）求证：∠APD ＝∠BPD ；（2）利用尺规在PD 上找到点I ，使得I 到AB 、AP 的距离相等，连接AD （保留作图痕迹，不写作法）．求证：∠AIP+∠DAI ＝180°；（3）在（2）的条件下，连接IC 、IE ，若∠APB ＝60°，试问：在P 点的移动过程中，IC IE 是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知线段AB 和点P ，给出如下定义：若PA PB =且点P 不在线段AB 上，则称点P 是线段AB 的等腰顶点．特别地，当90APB ∠≥︒时，则称点P 是线段AB 的非锐角等腰顶点．（1）已知点(20)A ，，(42)B ，．①在点(40)C ，，(31)D ，，(15)E -，，(05)F ，中，是线段AB 的等腰顶点的是▲；②若点P 在直线3(0)y kx k =+≠上，且点P 是线段AB 的非锐角等腰顶点，求k 的取值范围；（2）直线33y x =-+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ．⊙P 的圆心为(0)P t ，，半径为，若⊙P 上存在线段MN 的等腰顶点，请直接写出t 的取值范围．8．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，T（0，t）为y轴上一点，P为平面上一点．给出如下定义：若在⊙O上存在一点Q，使得△TQP是等腰直角三角形，且∠TQP＝90°，则称点P为⊙O的“等直点”，△TQP为⊙O的“等直三角形”．如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数．（1）当t＝2时，在点A，B，C，D中，⊙O的“等直点”是；（2）当t＝3时，若△TQP是⊙O“等直三角形”，且点P，Q都在第一象限，求CPOQ的值．9．综合与实践动手操作利用正方形纸片的折叠开展数学活动．探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法．如图1，点E 为正方形ABCD 的AB 边上的一个动点，3AB =，将正方形ABCD 对折，使点A 与点B 重合，点C 与点D 重合，折痕为MN ．思考探索（1）将正方形ABCD 展平后沿过点C 的直线CE 折叠，使点B 的对应点B '落在MN 上，折痕为EC ，连接DB '，如图2．①点B '在以点E 为圆心，的长为半径的圆上；②B M '=；③DB C ' 为三角形，请证明你的结论．（2）拓展延伸当3AB AE =时，正方形ABCD 沿过点E 的直线l （不过点B ）折叠后，点B 的对应点B '落在正方形ABCD 内部或边上．①ABB ' 面积的最大值为；②连接AB '，点P 为AE 的中点，点Q 在AB '上，连接PQ AQP AB E ∠=∠'，，则2B C PQ '+的最小值为．10．在平面直角坐标系xOy 中，过⊙T （半径为r ）外一点P 引它的一条切线，切点为Q ，若0＜PQ≤2r ，则称点P 为⊙T 的伴随点．（1）当⊙O 的半径为1时，①在点A(4，0)，B(0，)，C(1，)中，⊙O 的伴随点是▲；②点D 在直线y ＝x+3上，且点D 是⊙O 的伴随点，求点D 的横坐标d 的取值范围；（2）⊙M 的圆心为M(m ，0)，半径为2，直线y ＝2x ﹣2与x 轴，y 轴分别交于点E ，F ．若线段EF 上的所有点都是⊙M 的伴随点，直接写出m 的取值范围．11．定义：在平面直角坐标系xOy 中，点P 为图形M 上一点，点Q 为图形N 上一点．若存在OP OQ =，则称图形M 与图形N 关于原点O “平衡”．（1）如图，已知⊙A 是以()1,0为圆心，2为半径的圆，点()1,0C -，()2,1D -，()3,2E ．①在点C ，D ，E 中，与⊙A 关于原点O “平衡”的点是；②点H 为直线y x =-上一点，若点H 与⊙A 关于原点O “平衡”，点H 的横坐标的取值范围为：；（2）如图，已知图形G 是以原点O 为中心，边长为2的正方形．⊙K 的圆心在x 轴上，半径为2．若⊙K 与图形G 关于原点O “平衡”，请直接写出圆心K 的横坐标的取值范围．12．阅读下列材料，并按要求解答相关问题：【思考发现】根据直径所对的圆周角是直角，我们可以推出“如果一条定边所对的角始终为直角，那么所有满足条件的直角顶点组成的图形是以定边为直径的圆或圆弧（直径的两个端点除外）”这一正确的结论．如图1，若AB 是一条定线段，且90APB ∠=︒，则所有满足条件的直角顶点P 组成的图形是定边AB 为直径的O （直径两端点A 、B 除外）（1）已知：如图2，四边形ABCD 是边长为8的正方形，点E 从点B 出发向点C 运动，同时点F 从点C 出发以相同的速度向点D 运动，连接AE ，BF 相交于点P ．①当点E 从点B 运动到点C 的过程中，APB ∠的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请直接写出APB ∠的度数．②当点E 从点B 运动到点C 的过程中，点P 运动的路径是（）A ．线段；B ．弧；C ．半圆；D ．圆③点P 运动的路经长是▲．（2）已知：如图3，在图2的条件下，连接CP ，请直接写出E 、F 运动过程中，CP 的最小值．13．对于平面内的图形1G 和图形2G ，记平面内一点P 到图形1G 上各点的最短距离为1d ，点P 到图形2G 上各点的最短距离为2d ，若12d d =，就称点P 是图形1G 和图形2G 的一个“等距点”．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()60A ，，(0B ．（1）在()30R ，，()20S ，，(1T 三点中，点A 和点B 的等距点是；（2）已知直线2y =-．①若点A 和直线2y =-的等距点在x 轴上，则该等距点的坐标为▲；②若直线y a =上存在点A 直线2y =-的等距点，求实数a 的取值范围；（3）记直线AB 为直线1l ，直线2l ：33y x =-，以原点O 为圆心作半径为r 的O ．若O 上有m 个直线1l 和直线2l 的等距点，以及n 个直线1l 和y 轴的等距点（0m ≠，0n ≠），求m n ≠时，求r 的取值范围．14．如图，平面上存在点P 、点M 与线段AB ．若线段AB 上存在一点Q ，使得点M 在以PQ 为直径的圆上，则称点M 为点P 与线段AB 的共圆点．已知点P （0，1），点A （﹣2，﹣1），点B （2，﹣1）．（1）在点O （0，0），C （﹣2，1），D （3，0）中，可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是；（2）点K 为x 轴上一点，若点K 为点P 与线段AB 的共圆点，请求出点K 横坐标x K 的取值范围；（3）已知点M （m ，﹣1），若直线y ＝12x +3上存在点P 与线段AM 的共圆点，请直接写出m 的取值范围．15．如图，在ABC 中，AB BC =，30CAB ∠=︒，8AC =，半径为2的O 从点A 开始（如图1）沿直线AB 向右滚动，滚动时始终与直线AB 相切（切点为D ），当O 与ABC 只有一个公共点时滚动停止，作OG AC ⊥于点G ．（1）图1中，O 在AC 边上截得的弦长AE =；（2）当圆心落在AC 上时，如图2，判断BC 与O 的位置关系，并说明理由．（3）在O 滚动过程中，线段OG 的长度随之变化，设AD x =，OG y =，求出y 与x 的函数关系式，并直接写出x 的取值范围．16．在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：若点P 在图形M 上，点Q 在图形N 上，称线段PQ 长度的最小值为图形M ，N 的“近距离”，记为d(M ，N)，特别地，若图形M ，N 有公共点，规定d(M ，N)＝0．已知：如图，点A(2-，0)，B(0，．（1）如果⊙O 的半径为2，那么d(A ，⊙O)＝，d(B ，⊙O)＝．（2）如果⊙O 的半径为r ，且d （⊙O ，线段AB ）=0，求r 的取值范围；（3）如果C(m ，0)是x 轴上的动点，⊙C 的半径为1，使d （⊙C ，线段AB ）<1，直接写出m 的取值范围．17．在平面直角坐标系xOy 中，对于点()P m n ，，我们称直线y mx n =+为点P 的关联直线.例如，点()24P ，的关联直线为24y x =+．（1）已知点()12A ，．①点A 的关联直线为；②若O 与点A 的关联直线相切，则O 的半径为；（2）已知点()02C ，，点()0.D d ，点M 为直线CD 上的动点．①当2d =时，求点O 到点M 的关联直线的距离的最大值；②以()11T -，为圆心，3为半径作.T 在点M 运动过程中，当点M 的关联直线与T 交于E ，F 两点时，EF 的最小值为4，请直接写出d 的值．18．在平面直角坐标系xOy 中，给定圆C 和点P ，若过点P 最多可以作出k 条不同的直线，且这些直线被圆C 所截得的线段长度为正整数，则称点P 关于圆C 的特征值为.k 已知圆O 的半径为2，（1）若点M 的坐标为()11，，则经过点M 的直线被圆O 截得的弦长的最小值为，点M 关于圆O 的特征值为；（2）直线y x b =+分别与x ，y 轴交于点A ，B ，若线段AB 上总存在关于圆O 的特征值为4的点，求b 的取值范围；（3）点T 是x 轴正半轴上一点，圆T 的半径为1，点R ，S 分别在圆O 与圆T 上，点R 关于圆T 的特征值记为r ，点S 关于圆O 的特征值记为.s 当点T 在x 轴正轴上运动时，若存在点R ，S ，使得3r s +=，直接写出点T 的横坐标t 的取值范围．答案解析部分1．【答案】（1）60︒；=；DC DB DA=+（2）解：在AB 上取一点E ，使ADE BDC ∠=∠，如图所示：∵AB 是圆O 的直径，1tan 2ABC ∠=，∴1tan 2AC ABC BC BC =∠⋅=，∴在Rt ACB 中，52AB BC ==，∵ BD BD =，∴DAB DCB ∠=∠，∵ADE BDC ∠=∠，∴ADE CDB ∽，∴ADAECD CB =，∴AD CB CD AE ⋅=⋅，∵ AD AD =，∴DBA DCA ∠=∠，∵ADE CDE CDB CDE ∠-∠=∠-∠，即ADC BDE ∠=∠，∴BDE CDA ∽，∴BDBECD AC =，∴BD AC CD BE ⋅=⋅，∴()AD CB AC BD CD AE CD BE CD AE BE CD AB⋅+⋅=⋅+⋅=⋅+=⋅，∴AB CD AC DB AD BC ⋅=⋅+⋅，∴122BC CD BC DB AD BC ⋅=⋅+⋅，∴5122CD DB AD ⋅=⋅+，∴5122CD DB AD =+，即2DB AD =+，故答案为：2DB AD =+．（3）解：∵A B ，分别是射线DA DB ，上的两个动点，120D ∠=︒，ABC 是等边三角形，∴四边形ADBC 的两个对角180ADB ACB ∠+∠=︒，∴构造四边形ADBC 的外接圆，∴根据四边形外接圆的性质可得：当点A 和点D 重合时，四边形ADBC 面积S 最小；当CD AB ⊥时，四边形ADBC 面积S 最大，①当点A 和点D 重合时，四边形ADBC 面积S 最小，∵CBD 时等边三角形，且2AB =，∴60CBD ∠=︒，2AB BD BC ===∴1sin 602CBD S BC BD =⋅⋅⋅= ，②当CD AB ⊥时，四边形ADBC 面积S 最大，∵CBD 时等边三角形，且2AB =，∴30ACD ∠=︒，2AC =，∴tan 233AD ACD AC =∠⋅==，∴11232322233ADC S AD DC =⋅⋅=⨯= ，∴23ADC ADBC S S == 四边形；433S <≤．2．【答案】（1）解：①O ，C ②当点B 的坐标为（0，1）时，如图，此时以BO 为半径的B 与线段OA 相切于点O ，∴点O 是OAB 关于点B 的内联点；当点B 移动到在y 轴左侧时，作图发现B 与x 轴有相交，且有一个交点不在线段OA 上，∴不再有OAB 关于点B 的内联点；当点B 的坐标为（7，8）时，以BA 为半径的B 与x 轴相切于点A ，∴点A 是OAB 关于点B 的内联点；当点B 直线x=7的右侧时，以BA 为半径的B 与x 轴相交，且有一个交点不在线段OA 上∴不再有OAB 关于点B 的内联点；综上所述，若AOB 关于点B 的内联点存在，求点B 纵坐标n 的取值范围为18n ≤≤；（2）80m 555m -≤≤≤≤或3．【答案】（1）22B C （2）解：由题意可得：当BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”时，则有AB C '' 是等边三角形，且边长也为1，当点A 在y 轴的正半轴上时，如图所示：设B C ''与y 轴的交点为D ，连接OB '，易得B C y ''⊥轴，∴12B D DC ''==，∴32OD ==，32==，∴OA =，∴t =；当点A 在y 轴的正半轴上时，如图所示：同理可得此时的OA =，∴t =；（3）当1min OA =时，此时BC =；当2max OA =时，此时2BC =．4．【答案】（1）证明：∵CD ⊥直径AB ，∴ BDBE =，∵DF ＝BD ，∴ DFBD =，∴ BEDF =，∴∠1＝∠2，∴DG ＝BG（2）解：∠DBA 的角平分线交⊙O 于点F ，∴∠2＝∠3，由（1）知，∠1＝∠2，∴∠1＝∠2＝∠3，∵∠BCD ＝90°，∴∠1+∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠2＝∠3＝30°，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠4＝90°﹣∠2﹣∠3＝30°，∵AB ＝2，∴BD ＝1，在Rt △BCD 中，∠1＝30°，∴BC ＝12BD ＝12，在Rt △BCG 中，∠3＝30°，∴CG ＝＝6，∴BG ＝2CG ＝33，由（1）知，DG ＝BG ＝33（3）5．【答案】（1）解：如图1，作BM ⊥x 轴，垂足为M ，根据题意AB=AE=EF=BF=，且∠EFO=∠BFM=45°，∴∠EFB=90°，∴四边形ABFE 是正方形，∴边AE ，BF 的中点所在直线就是ABC 与O 的一条“关联轴”；∵O 的半径为1，∴，且∠EFG=90°，∴四边形EFGH 是正方形，∵∠EFG+∠EFB=180°，∴B 、F 、G 三点共线，∴直线EF 是ABC 与O 的一条“关联轴”．（2）解：如图2，根据A （2，3），B （4，1），C （4，1），计算2=，故AB 不能落在圆的内部；过点A 作AN ⊥y 轴，垂足为N ，则AN=2，等于圆的直径，存在“关联轴l ”使ABC 是O 的关联三角形，此时0C x =；作点B 关于x 轴的对称点P ，此时BP=2，等于圆的直径，存在“关联轴l ”使ABC 是O 的关联三角形，此时4C x =，综上所述，点C 横坐标的范围是04C x ≤≤．（3）解：OC 的最小值为2-；OC 最大，根据勾股定理，AC=4.6．【答案】（1）证明：∵直径CD ⊥弦AB ，∴ AD BD=，∴∠APD=∠BPD ；（2）解：如图，作∠BAP 的平分线，交PD 于I ，证：∵AI 平分∠BAP ，∴∠PAI=∠BAI ，∴∠AID=∠APD+∠PAI=∠APD+BAI ，∵ AD BD=，∴∠DAB=∠APD ，∴∠DAI=∠DAB+∠BAI=∠APD+∠BAI ，∴∠AID=∠DAI ，∵∠AIP+∠DAI=180°，∴∠AIP+∠DAI=180°；（3）解：如图2，连接BI ，AC ，OA ，OB ，∵AI 平分∠BAP ，PD 平分∠APB ，∴BI 平分∠ABP ，∠BAI=12∠BAP ，∴∠ABI=12∠ABP ，∵∠APB=60°，∴∠PAB+∠PBA=120°，∴∠BAI+∠ABI=12（∠BAP+∠ABP ）=60°，∴∠AIB=120°，∴点I 的运动轨迹是 AB ，∴DI=DA ，∵∠AOB=2∠APB=120°，∵AD ⊥AB ，∴ AD BD=，∴∠AOB=∠BOD=60°，∵OA=OD ，∴△AOD 是等边三角形，∴AD=AO ，∵CD 是⊙O 的直径，∴∠DAC=90°，∵CD ⊥AB ，∴∠AED=90°，∴∠AED=∠CAD ，∵∠ADC=∠ADE ，∴△ADE ∽△CDA ，∴AD DE CD AD=，∴AD 2=DE•CD ，∵DI′=DI=AD ，∴DI 2=DE•CD ，∵∠I′DE 是公共角，∴△DIE ∽△DCI ，∴2IC CD IE DI==．7．【答案】（1）解：①C(4，0)，E(-1，5)；②（Ⅰ）当点(40)，在直线3y kx =+上时，430k +=，34k =-；（Ⅱ）当点(31)，在直线3y kx =+上时，331k +=，23k =-；（Ⅲ）当点(22)，在直线3y kx =+上时，232k +=，12k =-；结合图象可得3142k -≤≤-且23k ≠-；（2）解：直线333y x =-+与x 轴的交点M 坐标为()30，，与y 轴交点N 的坐标为(03，，∴tan 3NMO ∠=，∴30NMO ∠=︒，如图，作出线段MN 的垂直平分线，如图为两个临界情况：，利用待定系数法求得MN 垂直平分线解析式为y =，∴(0R -，，12230ORQ P RQ ∠=∠=︒，∴1112PR PQ ==，2222P R P Q ==，∴(10P ，(20P -，，∴t -≤<．8．【答案】（1）A 、B 、D（2）解：如图，依题意作⊙O 的“等直三角形”△TQP∴TQ=PQ ，∠TQP=90°过Q 点作MH //x 轴，交y 轴于M 点，过点P 作PH ⊥MH 于H 点∴∠TMQ=∠QHP=90°∴∠TQM+∠MTQ=∠TQM+∠HQP=90°∴∠MTQ=∠HQP∴△TMQ ≌△QHP （AAS ）∴TM=QH ，MQ=HP设Q （x ，y ）∴HM=MQ+QH=MQ+TM=x+3-y ，PH=MQ=x∴P （x-y+3，x+y ）∵C （3，0）∴∵∴CP OQ ．9．【答案】（1）BE ；3332-；等边；证明：B′D=BC CD ==，∴△DB'C 为等边三角形（2）310．【答案】（1）B ，C ；解：②如图2中，设点D 的坐标为(3)d d +，当过点D 的切线长为22r =时，OD ==由两点之间的距离公式得：OD =解得1221d d =-=-，结合图象可知，点D 的横坐标d 的取值范围是21d -≤≤-；（2）解：对于22y x =-当0y =时，220x -=，解得1x =，则点E 的坐标为(10)E ，当0x =时，2y =-，则点F 的坐标为(02)F -，⊙M 的半径为2，⊙M 的圆心为(0)M m ，24r ∴=，OM m=由题意，由以下两种情况：如图3-1中，点M 在点E 的右侧设FT 是⊙M 的切线则有两个临界位置：4FT =和点E 对应的切线长为0当4FT =时，则4OM m FT ===当点E 对应的切线长为0，即2EM =12EM m ∴=-=解得3m =结合图象得，当34m <≤时，线段EF 上的所有点都是⊙M 的伴随点②如图3-2和3-3中，点M 在点E 的左侧则有如下两个临界位置：如图3-2，设ET 是⊙M 的切线，连接MT ，则90MTE ∠=︒当4ET =时，2222245EM MT ET =+=+此时15m -=解得15m =-如图3-3，当⊙M 在直线EF 的左侧与EF 相切时，设切点为T ，连接MT∵(10)(02)E F -，，，∴12OE OF ==，∴22125EF =+=∵EF 是切线∴EF MT⊥∴90MTE FOE ∠=∠=︒∵MET FEO∠=∠∴MTE FOE~ ∴EM MTEF OF =，即22=解得EM =，即1m -=解得1m =-结合图象得，当11m -≤<-时，线段EF 上的所有点都是⊙M 的伴随点综上，m 的取值范围是11m -≤<-或34m <≤．11．【答案】（1）点C 、D ；22H x -≤≤-或22H x ≤≤（2）解： 图形G 是以原点O 为中心，边长为2的正方形，∴原点O 到正方形的最短距离是1d =，最长距离是d =，⊙K 与图形G 关于原点O “平衡”，∴原点O 到⊙K 上一点的距离1d ≤≤，⊙K 的圆心在x 轴上，半径为2，∴当⊙K 在x 轴正半轴时，圆心K 的横坐标的取值范围为：22x -≤≤+，当⊙K 在x 轴负半轴时，圆心K 的横坐标的取值范围为：22x --≤≤，综上所述，圆心K 的横坐标的取值范围22x -≤≤+或22x --≤≤．12．【答案】（1）解：①90°；②B ；③2π（2）解：413．【答案】（1）S(2，0)（2）解：①（4，0）或（8，0）；②如图，设直线y a =上的点Q 为点A 和直线2y =-的等距点，连接QA ，过点Q 作直线2y =-的垂线，垂足为点C ．点Q 为点A 和直线2y =-的等距点，QA QC ∴=．22QA QC ∴=．点Q 在直线y a =上，∴可设点Q 的坐标为()Q x a ，．()()22262x a a ∴-+=--⎡⎤⎣⎦．整理得2123240x x a -+-=．由题意得关于x 的方程2123240x x a -+-=有实数根．()()()212413241610a a ∴∆=--⨯⨯-=+≥．解得1a ≥-．（3）解：如图．直线l 1和直线l 2的等距点在直线l 3：33y x =-+上，直线l 1和y 轴的等距点在直线4l y =+：或33y x =+上，点O 与l 4的距离为32，点O 与l 3的距离为，点O 与l 5的距离为3，当r ＜时，n=0不符合题意，当r=时，m=2，n=0，符合题意，当＜r ＜3时，m=n=2，不符合题意，当r≥3时，m=2，n=3或4，符合题意，综上所述，r=或r≥3.14．【答案】（1）C（2）解：∵P （0，1），点A （﹣2，﹣1），点B （2，﹣1）．∴AP ＝BP ＝＝2，如图2，分别以PA 、PB 为直径作圆，交x 轴于点K 1、K 2、K 3、K 4，∵OP＝OG＝1，OE∥AB，∴PE＝AE＝，∴OE＝12AG＝1，∴K1（﹣1﹣，0），k2（1﹣，0），k3（﹣1，0），k4（1+，0），∵点K为点P与线段AB的共圆点，∴﹣1﹣≤x k≤1﹣或﹣1≤x k≤1+（3）解：分两种情况：①如图3，当M在点A的左侧时，Q为线段AM上一动点，以PQ为直径的圆E与直线y＝12x+3相切于点F，连接EF，则EF⊥FH，当x＝0时，y＝3，当y＝0时，y＝12x+3＝0，x＝﹣6，∴ON＝3，OH＝6，∵tan∠EHF＝ON EFOH FH＝36＝12，设EF＝a，则FH＝2a，EH＝a，∴OE＝6﹣a，Rt △OEP 中，OP ＝1，EP ＝a ，由勾股定理得：EP 2＝OP 2+OE 2，∴2221(6)a =+-，解得：a ＝2+（舍去）或2，∴QG ＝2OE ＝2（6﹣a ）＝﹣3+2，∴m≤3﹣2；②如图4，当M 在点A 的右侧时，Q 为线段AM 上一动点，以PQ 为直径的圆E 与直线y ＝12x+3相切于点F ，连接EF ，则EF ⊥FH ，同理得QG ＝3+2，∴m≥3+2，综上，m 的取值范围是m≤3﹣2或m≥3+215．【答案】（1）2（2）解：BC 与O 相切；理由：如图2，过点O 作OH BC ⊥于H ，连接OD ，∵O 与AB 相切于D ，∴OD AB ⊥，在Rt AOD 中，30BAC ∠=︒，∴24OA OD ==，∵8AC =，∴4OC =，在ABC 中，AB BC =，∴30C BAC ∠=∠=︒，在Rt OHC 中，30C ∠=︒，∴122OH OC OD ===，∴BC 与O 相切，（3）解：①当点O 在AC 的左侧时，连接OD 交AC 于F ，如备用图1，∵O 与AB 相切于D ，∴OD AB ⊥，∵OG AC ⊥，∴30FOG BAC ∠=∠=︒，在Rt FDA 中，tan FD BAC AD ∠=，∴tan 3FD AD BAC x =⋅∠=，∴23OF x =-，在Rt FOG 中，331cos 2322y OG OF FOG ⎛⎫==⋅∠=-⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭，即12y x =-+，此时x 的取值范围为0x ≤≤；②当点O 在AC 的右侧时，连接DO 并延长交AC 于F ，如备用图2，同①的方法得，33FD x =，∴23OF x =-，∵FD AB ⊥，∴90BAC AFD ∠+∠=︒，∴30FOG BAC ∠=∠=︒，在Rt FOG 中，331cos 2322y OG OF FOG x x ⎛⎫==⋅∠=-⨯- ⎪⎪⎝⎭，即12y x =-，此时x 的取值范围为1433x ≤≤．16．【答案】（1）0；2-（2）解：过点O 作OD ⊥AB 于点D ，∵点A(2-，0)，B(0，．∴2OA OB ==，，∴4AB ==，∵1122OA OB AB OD ⋅=⋅，∴112422OD ⨯⨯=⨯⨯∴DO =，∵d （⊙O ，线段AB ）=0，∴当⊙O 的半径等于OD 时最小，当⊙O 的半径等于OB 时最大，∴r r ≤≤（3）43423m -<<-17．【答案】（1）2y x =+（2）解：①当2d =时，()20D ，，设直线CD 的解析式为：y kx b =+，()02C ，，202k b b +=⎧∴⎨=⎩，解得：12k b =-⎧⎨=⎩，∴直线CD 的解析式为：y x =-+，设点M 的坐标为()2m m -+，，∴点M 的关联直线为：()212y mx m m x =-+=-+，∴点M 的关联直线经过定点()12N ，，如图2，过点O 作直线2y mx m =--+的垂线，垂足为H ，连接ON ，ON OH ∴≥，∴当点H与点N重合时，OH最大，即点O到点M的关联直线的距离最大，∴点O到点M=；2 d=②或2 3-18．【答案】（1）；3（2）解：设点G是O的特征值为4的点，∴经过一点G且弦长为4(最长弦)的直线有1条，弦长为3的直线有2条，弦长为2的直线有且只有1条， 经过点G的直线被O截得的弦长的最小值为2，=，∴关于O的特征值为4的所有点都在以O为半径的圆周上，直线y x b=+分别与x，y轴交于点A、B，()0A b∴-，，()B b，，OA OB b∴==，45OBH∴∠=︒，当0b>时，线段AB与以O为半径的圆相切时，点G特征值为4，设切点为为H，连接OH，则OH=，OB∴==，b∴=，设以O 为半径的圆与y 轴正半轴的交点记为1B ，则1OB =，当线段AB 与以O 1B 时，可得b =，b ≤≤同理可求当0b <时，b ≤≤，综上，b b b ≤≤-≤（3）当372122t -≤≤+时，存在点R ，S ，使得3r s +=。
与圆有关的动点问题[下学期]--浙教版
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(2)当△ABC的一边与半圆O所在的圆相切时,如果半圆O与 直径DE围成的区域与△ABC的三边围成的区域有重叠部分, 求重叠部分的面积.
小结：
1．复习整理所学圆的知识，注意前后知识的衔接．
2．解题要注重审题．在了解所用知识和产生解题方 案过程中，适时关注数学思想方法运用．
与圆有关的动点 问题
初三数学组
1.如图,⊙ O的半径为1,圆心O在正三角形的边
AB上沿图示方向移动,当⊙ O移动到与AC边相
23
切时,OA的长是 3 .
2.如图,从⊙ O外一点A作⊙ O的切线AB,AC,切点 分别为B、C， ⊙ O的直径BD为6，连结CD，AO.
(1)求证:CD∥AO;
(2)设CD=x,AO=y,求y与x之间的函数关系式,并写 出x的取值范围;
(3)若AO+CD=11,求AB的长.
3.如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点p从 A开始折线A——B——C——D以4cm/秒的 速度 移动， 点Q从C开始沿CD边以1cm/秒的速度移动，如果点P、Q 分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也 随之停止运动，设运动的时间t（秒）
OF FH 1 AE AB 2
∴AE与以CD为直径的圆F相 切．
如图,半圆O直径DE=12,Rt△ABC中,BC=12,∠ACB=900, ∠ACBC=300.半圆O以每秒2个单位从左到右运动,在运动 过程中,点D,E始终在直线BC上,设运动时间为t秒.当t=0 时,半圆O在△ABC的左侧,OC=8.
y ( X 2 1) X 2
4
4
4
(2)作OF⊥CD，垂足为F，
中考数学专题：动点与动圆2
ABxPO· · Cy 中考数学专题：动点与动圆21．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，⊙C 的圆心坐标为（－2，－2），半径为2． 函数y ＝－x ＋2的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点P 为AB 上一动点 （1）连接CO ，求证：CO ⊥AB ；（2）若△POA 是等腰三角形，求点P 的坐标；（3）当直线PO 与⊙C 相切时，求∠POA 的度数；当直线PO 与⊙C 相交时，设交点为E 、F ，点M 为线段EF 的中点，令PO ＝t ，MO ＝s ，求s 与t 之间的函数关系，并写出t 的取值范围．变式练习：如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，-1）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）. 已知A 点坐标为（0，3）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ， 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时， △PAC 的面积最大？并求出此时P 点的坐标和△PAC 的最大面积.AxyB OCD2、如图，已知射线DE 与x 轴和y 轴分别交于点D （3，0）和点E （0，4）．动点C 从点M （5，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向左作匀速运动，与此同时，动点P 从点D 出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE 的方向作匀速运动．设运动时间为t 秒． （1）请用含t 的代数式分别表示出点C 与点P 的坐标；（2）以点C 为圆心、1/2 t 个单位长度为半径的圆C 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），连接PA 、PB ．①当与射线DE 有公共点时，求t 的取值范围；②当△PAB 为等腰三角形时，求t 的值．3、如图1，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，AC 是弦，OC=4，∠OAC=600．（1）求∠AOC 的度数； （2）在图1中，P 为直径BA 延长线上的一点，当CP 与⊙O 相切时，求PO 的长； （3） 如图2，一动点M 从A 点出发，在⊙O 上按逆时针方向运动，当S △MAO =S △CAO 时， 求动点M 所经过的弧长．·图2M OBACA COPB图1变式练习：如图，已知⊙O的直径AB＝2，直线m与⊙O相切于点A，P为⊙O上一动点（与点A、点B不重合），PO的延长线与⊙O相交于点C，过点C的切线与直线m相交于点D．（1）求证：△APC∽△COD．（2）设AP＝x，OD＝y，试用含x的代数式表示y．（3）试探索x为何值时，△ACD是一个等边三角形．4、如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°.点P从A点出发，以3cm/s的速度，沿AC向C 作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动。
中考数学专题复习：与圆有关的动点问题(精品含答案)
2014年中考数学专题复习：与圆有关的动点问题1、如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线DC，P点为优弧CBA上一动点（不与A．C重合）．（1）求∠APC与∠ACD的度数；（2）当点P移动到CB弧的中点时，求证：四边形OBPC是菱形．（3）P点移动到什么位置时，△APC与△ABC全等，请说明理由．2、如图，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，AC=12AB，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点．（1）如图1，求证：△PCD∽△ABC；（2）当点P运动到什么位置时，△PCD≌△ABC？请在图2中画出△PCD并说明理由；（3）如图3，当点P运动到CP⊥AB时，求∠BCD的度数．3、如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．4、如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts．（1）当P异于A．C时，请说明PQ∥BC；（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？5、如图，在菱形ABCD中，AB＝23，∠A＝60º，以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E．(1)求证：⊙D与边BC也相切；(2)设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，求图中阴影部分的面积(结果保留π)；(3)⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周，当S△HDF＝3S△MDF时，求动点M经过的弧长(结果保留π)．6、半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，⊙O与l相切于点F，DC在l上．（1）过点B作的一条切线BE，E为切点．①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是；②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长；（2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC与OF重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围．7、如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点P在射线AC上运动，过点P作PH⊥AB，垂足为H．（1）直接写出线段AC、AD及⊙O半径的长；（2）设PH=x，PC=y，求y关于x的函数关系式；（3）当PH与⊙O相切时，求相应的y值．8、如图1，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不与M、C重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线，交AD于点F，切点为E．（1）求证：OF∥BE；（2）设BP=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）延长DC、FP交于点G，连接OE并延长交直线DC与H（图2），问是否存在点P，使△EFO∽△EHG（E、F、O与E、H、G为对应点）？如果存在，试求（2）中x和y的值；如果不存在，请说明理由．9、如图，⊙O 的半径为1，直线CD 经过圆心O ，交⊙O 于C 、D 两点，直径AB ⊥CD ，点M 是直线CD 上异于点C 、O 、D 的一个动点，AM 所在的直线交于⊙O 于点N ，点P 是直线CD 上另一点，且PM=PN ．（1）当点M 在⊙O 内部，如图一，试判断PN 与⊙O 的关系，并写出证明过程； （2）当点M 在⊙O 外部，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否还成立？请说明理由； （3）当点M 在⊙O 外部，如图三，∠AMO=15°，求图中阴影部分的面积．10、如图，在⊙O 中，直径AB ⊥CD ，垂足为E ，点M 为OC 上动点，AM 的延长线交⊙O 于点G ，交过C 的直线于F ，∠1=∠2，连结CB 与DG 交于点N ． （1）求证：CF 是⊙O 的切线；（2）点M 在OC 上移动时（点M 不与O 、C 点重合），探究△ACM 与△DCN 之间关系，并证明 （3）若点M 移动到CO 的中点时，⊙O 的半径为4，cos ∠BOC=41，求BN 的长．11、如图，已知AB 是圆O 的直径，BC 是圆O 的弦，弦ED ⊥AB 于点F,交BC于点G，过点C作圆O的切线与ED的延长线交于点P．(1）求证：PC＝PG；（2）点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系，并写出证明过程；（3）在满足（2）的条件下，已知圆为O的半径为5,若点O到BC时，求弦ED的长．12、如图1，已知⊙O的半径长为3，点A是⊙O上一定点，点P为⊙O上不同于点A的动点．（1）当1A=时，求AP的长；tan2（2）如果⊙Q过点P、O，且点Q在直线AP上（如图2），设AP＝x，QP＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）在（2）的条件下，当4A=时（如图3），存在⊙M与⊙O相内切，同时与⊙Qtan3相外切，且OM⊥OQ，试求⊙M的半径的长．图1 图2 图3答案：1、解：（1）连接AC ，如图所示：∵AB=4，∴OA=OB=OC=12AB=2。
人教版数学九年级圆上的动态问题探析
人教版数学九年级圆上的动态问题探析 动态问题依然是中考数学的重量级的题型。
是体现学生创造性解题能力的代表。
也是学生综合数学素质的体现。
下面就谈一谈圆中的动态问题以及解答的策略，供同学们学习时参考。
一 动点在圆的直径上，探求线段和的最小值例1 如图1所示，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN ＝30°，B 为AN 弧的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA ＋PB 的最小值为( )(A)22 (B) 2 (C)1 (D)2分析： 要求求出线段和的最小值，关键是要明白当点P 运动到何位置时才能存在最小值。
这个问题实际上就是一个对称性作图问题。
具体的解答过程如下：过点A 作AC ⊥MN 交圆O 于点C ，连接CB 交MN 于点P ，则线段BC 就是PA+PB 的最小值。
如图2所示，连接OB ，OC ，因为∠AMN ＝30°，所以AN 弧的度数为60°。
因为B 为AN 弧的中点，所以∠BON ＝30°。
因为AC ⊥MN ，MN 是圆的直径，所以AN 弧等于CN 弧，所以CN 弧的度数为为60°。
所以∠CON ＝60°。
所以∠BOC ＝90°。
在直角三角形BOC 中，OC=OB=1，所以BC=2211+=2。
解：选B 。
点评：利用对称性确定出线段和最小位置是解题的关键所在。
只要确定好了，求就变得简单多了。
二 动点圆上走，探求三角形面积最小值例2 如图3，已知A 、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C 的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最小值是A ．2B ．1C ．222- D ．22-分析： 确定好点D 运动到何时位置时，点E 到直线AB 的距离最短，是解题的关键。
原因是：线段AB 是一个定值，所以三角形ABE 的面积大小就只取决于点E 到AB 的距离了。
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初三数学圆动点问题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
初三数学圆动点问题
[ 标签：初三数学 ]
在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=13cm,BC=5cm,AB为圆O的直径，动点P沿AD从点A开始向点D以1m/s,的速度运动，动点Q沿CB从点C 开始向点B以2cm/s的速度运动，点P、Q分别从A、C两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动。
是否存在某一时刻t,使直线PQ与圆O相切？若存在，求出t的值，若不存在，说明理由。
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设经过t秒，PQ与圆O且于点E，此时：AP = t CQ = 2t BQ = 15 - 2t PD = 13 - t
根据切线长定理可得：PE = PA QE = QB
∴ PQ = 15 - t
过A点作PQ的平行线，交BQ于F，则：BF = 15 - 3t
于是，根据 AB² +BF² = PQ²可以列出关于 t的方程。
【AB的长应该告诉了的吧】
2011-11-20 19:27
满意答案
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存在．
若PQ与圆相切，设切点为G．（如图二）
作PH⊥BC于H．
∴PG=PA=t．
QG=QB=16-2t，QH=QB-BH=（16-2t）一t=16-3t
PQ=QB+AP=16一t．
在Rt△PQH中，PQ2=PH2+QH2，即（16一t）2=16+（16-3t）2∴t2-8t+2=0．
解得t1=4+，t2=4- ，
∵0≤t≤8，
∴当t=4± 时，PQ与圆相切．
图示。