离散数学第一章PPT课件
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离散数学第一章命题逻辑PPT课件
P
Q
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P→Q 1 1 0 1
如： P:雪是黑的。
Q:太阳从东方升起 。
P → Q:如果雪是黑的，则太阳从东方升起 。
命题P→Q是假, 当且仅当P是真而Q是假。
11/20/2020
chapter1
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1.2 联结词
条件与汉语中“如果…，就…”相类似，但有所区别: (1)自然语言中，“如果P则Q”，往往P和Q有一定的因果 关系，而条件复合命题P→Q中 P和Q 可以完全不相关。 (2)自然语言中，“如果P则Q”，当P为0、Q为1时，整个 句子真值难以确定；而条件复合命题P→Q中，当P为0时， 复合命题的真值为1。 P则Q的逻辑含义:P是Q的充分条件,的表示 命题变元——常用P、Q、R、S等大写字母或加下标的大 写字母P1, Q2, R10, ……表示来表示一个命题，称为命题 变元。 如： P:巴黎在法国。
Q:煤是白色的。
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1.1 命题及其表示法
3、命题相关概念 简单命题（原子命题）——不能再分解的命题。 复合命题——由若干个简单命题复合而成的命题。 真值表——把组成复合命题的各命题变元的真值的所有 组合及其相对应的复合命题的真值列成表，称为真值表。
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1.1 命题及其表示法
【例3 】求公式 (P→R)∨(Q→R)的真值表。 解：∵公式含有３个命题变元P、Q、R,
∴真值表有２3=8行。其真值表如下表 所示：
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1.2 联结词
命题和原子命题常可通过一些联结词构成新命题, 这
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且 n=max(i,j)； (c) A=BC, 其中 B,C 的层次及 n 同(b)； (d) A=BC, 其中B,C 的层次及 n 同(b)； (e) A=BC, 其中B,C 的层次及 n 同(b). (3) 若公式A的层次为k, 则称A为k层公式.
例如 公式 A=p, B=p, C=pq, D=(pq)r,
E=((pq) r) (rs)
分别为0层，1层，2层，3层，4层公式.
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公式赋值
定义1.8 设p1, p2, … , pn是出现在公式A中的全部命题变项, 给p1, p2, … , pn各指定一个真值, 称为对A的一个赋值或解释. 若使A为1, 则称这组值为A的成真赋值; 若使A为0, 则称这组
基本要求 深刻理解各联结词的逻辑关系, 熟练地将命题符号化 会求复合命题的真值 深刻理解合式公式及重言式、矛盾式、可满足式等概念 熟练地求公式的真值表，并用它求公式的成真赋值与成假
赋值及判断公式类型 24
练习1
1. 将下列命题符号化 (1) 豆沙包是由面粉和红小豆做成的. (2) 苹果树和梨树都是落叶乔木. (3) 王小红或李大明是物理组成员. (4) 王小红或李大明中的一人是物理组成员. (5) 由于交通阻塞，他迟到了. (6) 如果交通不阻塞，他就不会迟到. (7) 他没迟到，所以交通没阻塞. (8) 除非交通阻塞，否则他不会迟到. (9) 他迟到当且仅当交通阻塞.
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命题概念
例1 下列句子中那些是命题？ (1) 2是有理数. (2) 2 + 5 = 7.
(3) x + 5 > 3. (4) 你去教室吗？ (5) 这个苹果真大呀！ (6) 请不要讲话！ (7) 2050年元旦下大雪.
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(3)至于p为0即“我期终考了年级不是前 10”时,无论q为1或为0，即无论"我老妈 奖励1000元"或不奖励，都不能说老妈的 话是假的，故善意的认为pq为1均为1
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”， 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假，即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了，即pq为1
由于所有内容(整数，实数，字符，汉字，图片，声 音，视频，网页，……)进入电脑后，全是01组成的字 符串，从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现，命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散，由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索：数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性，到2018年12月时能确定的，若届 时建成了则它是对的、为真命题，否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如：
(7) x与y之和为100，其中x为整数，y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的，当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的，为二进制时正确，当为八进制、 十进制时是错的，因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀！ (10)动作快点！ (11)你是杨老师吗？ 这三个语句不是陈述语句，因此不是命题。
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”， 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假，即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了，即pq为1
由于所有内容(整数，实数，字符，汉字，图片，声 音，视频，网页，……)进入电脑后，全是01组成的字 符串，从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现，命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散，由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索：数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性，到2018年12月时能确定的，若届 时建成了则它是对的、为真命题，否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如：
(7) x与y之和为100，其中x为整数，y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的，当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的，为二进制时正确，当为八进制、 十进制时是错的，因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀！ (10)动作快点！ (11)你是杨老师吗？ 这三个语句不是陈述语句，因此不是命题。
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定义2.1设A,B是两个命题公式，若A，B构成的等价 式AB为重言式，则称A与B等值，记为AB。
20
例2.1判断下面两个公式是否等值： (pq), pq 例2.2判断下面各组公式是否等值： （1）p(qr) 与 (pq)r （2） ( pq)r与 (pq)r
21
置换规则 ： 设（A）是含公式A的命题公式， （B） 是用公式B置换了（A）中所有的A以后得到的命题公式， 若BA，则（B） （A）。
定义1.2 设p，q为两命题，复合命题“p并且q”称为p与 q的合取式，记作“pq”。 pq为真当且仅当 p， q同 时为真。
定义1.3 设p，q为两命题，复合命题“p或q”称为p与q的 析取式，记作“pq”。 p q为假当且仅当 p， q同时为 假。
7
例1.3将下列命题符号化 （1）吴影既用功又聪明。 （2）吴影不仅用功而且聪明。 （3）吴影虽然聪明，但不用功。 （4）张辉与王丽都是三好学生。 （5）张辉与王丽是同学
16
例1.8求下列公式的真值表，并求成真赋值。 (1) (pq)r (2) (pp)(qq) (3) (p q) q r
定义1.10设A为一命题公式 （1）若A在它的各种赋值下取值均为真，则称A是重 言式或永真式。 （2）若A在它的各种赋值下取值均为假，则称A是矛 盾式或永假式。 （3）若A不是矛盾式，则称A是可满足式。
离散数学
1
离散数学课件
离散数学是计算机科学的核心理论课程， 是计算机专业的专业基础课。
第一部分 数理逻辑 第二部分 集合与关系代数 第三部分 图论
2
第一部分数理逻辑
第一章 命题逻辑基本概念 第二章 命题逻辑等值演算 第三章 命题逻辑推理理论 第四章 一阶逻辑基本概念 第五章 一阶逻辑等值演算与推理
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例2.1判断下面两个公式是否等值： (pq), pq 例2.2判断下面各组公式是否等值： （1）p(qr) 与 (pq)r （2） ( pq)r与 (pq)r
21
置换规则 ： 设（A）是含公式A的命题公式， （B） 是用公式B置换了（A）中所有的A以后得到的命题公式， 若BA，则（B） （A）。
定义1.2 设p，q为两命题，复合命题“p并且q”称为p与 q的合取式，记作“pq”。 pq为真当且仅当 p， q同 时为真。
定义1.3 设p，q为两命题，复合命题“p或q”称为p与q的 析取式，记作“pq”。 p q为假当且仅当 p， q同时为 假。
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例1.3将下列命题符号化 （1）吴影既用功又聪明。 （2）吴影不仅用功而且聪明。 （3）吴影虽然聪明，但不用功。 （4）张辉与王丽都是三好学生。 （5）张辉与王丽是同学
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例1.8求下列公式的真值表，并求成真赋值。 (1) (pq)r (2) (pp)(qq) (3) (p q) q r
定义1.10设A为一命题公式 （1）若A在它的各种赋值下取值均为真，则称A是重 言式或永真式。 （2）若A在它的各种赋值下取值均为假，则称A是矛 盾式或永假式。 （3）若A不是矛盾式，则称A是可满足式。
离散数学
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离散数学是计算机科学的核心理论课程， 是计算机专业的专业基础课。
第一部分 数理逻辑 第二部分 集合与关系代数 第三部分 图论
2
第一部分数理逻辑
第一章 命题逻辑基本概念 第二章 命题逻辑等值演算 第三章 命题逻辑推理理论 第四章 一阶逻辑基本概念 第五章 一阶逻辑等值演算与推理
离散数学第一章第3讲课件.ppt
ＰΛ（Ｐ∨Ｑ） Ｐ
（8）蕴含律： Ｐ→Ｑ¬Ｐ∨Ｑ （9）等价律：
ＰＱ（Ｐ→Ｑ）Λ（Ｑ→Ｐ） （10）零 律： Ｐ∨ＴＴ；ＰΛＦＦ （11）同一律： Ｐ∨ＦＰ；ＰΛＴＰ （12）否定律： Ｐ∨¬ＰＴ；ＰΛ¬ＰＦ （13）逆反律： Ｐ→Ｑ ¬Ｑ→ ¬Ｐ
说明： （1）证明上述１3组等价公式的方法可用真值表法。 （2） Λ、∨、 均满足结合律，则在单一用Λ、∨、
Λ¬Ｓ）→Ｐ，Ｑ→¬（Ｐ→¬Ｑ）等 所以，一个命题公式的代换实例有无限个。
3.等价置换
《定义》：给定一命题公式Ａ，Ａ’是Ａ的任何部分，若
Ａ’也是一命题公式，则称Ａ’是Ａ的子命题公式。
例：Ａ：（Ｐ∨Ｑ）→（Ｑ∨（ＲΛ¬Ｓ））
Ａ的子命题公式有： Ｐ、Ｑ、Ｒ、¬Ｓ、（Ｐ∨Ｑ）、（ＲΛ¬Ｓ）、 （Ｑ∨（ＲΛ¬Ｓ））、（Ｐ∨Ｑ）→（Ｑ∨（ＲΛ¬Ｓ））等。
（ＰΛＱ）→Ｐ为永真式。
(1) 列出真值表证明
P Q Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） （ＰΛＱ）→Ｐ
FF T
T
FT T
T
TF T
T
TT T
T
（2）用等价公式证明 Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） ¬Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ） （¬Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ T
（ＰΛＱ）→Ｐ ¬（ＰΛＱ）∨Ｐ （¬Ｐ∨¬Ｑ）∨Ｐ （¬Ｐ∨Ｐ）∨¬Ｑ T
《定理》 命题公式ＡＢ的充要条件是Ａ↔Ｂ为永真式。
《定理》：给定命题公式Ａ、Ｂ、Ｃ，若ＡＢ，且Ｂ Ｃ，则ＡＣ。 证明：∵ＡＢ，且ＢＣ， ∴（Ａ→Ｂ）Λ（Ｂ→Ｃ）为永真式， 由I6：（Ａ→Ｂ）Λ（Ｂ→Ｃ） （Ａ→Ｃ）， ∴（Ａ→Ｃ）也为永真式；即，ＡＣ成立
《定理》：给定一个命题公式Ａ、Ｂ、Ｃ，若ＡＢ, ＡＣ，则Ａ（ＢΛＣ） 证明：∵ＡＢ Λ ＡＣ， ∴（Ａ→Ｂ）Λ（Ａ→Ｃ）为永真式， 由条件，若Ａ一定为 Ｔ ，则Ｂ、Ｃ均为 Ｔ ， ∴Ａ→（ＢΛＣ）也为 Ｔ ， ∴Ａ（ＢΛＣ）为 Ｔ 。
（8）蕴含律： Ｐ→Ｑ¬Ｐ∨Ｑ （9）等价律：
ＰＱ（Ｐ→Ｑ）Λ（Ｑ→Ｐ） （10）零 律： Ｐ∨ＴＴ；ＰΛＦＦ （11）同一律： Ｐ∨ＦＰ；ＰΛＴＰ （12）否定律： Ｐ∨¬ＰＴ；ＰΛ¬ＰＦ （13）逆反律： Ｐ→Ｑ ¬Ｑ→ ¬Ｐ
说明： （1）证明上述１3组等价公式的方法可用真值表法。 （2） Λ、∨、 均满足结合律，则在单一用Λ、∨、
Λ¬Ｓ）→Ｐ，Ｑ→¬（Ｐ→¬Ｑ）等 所以，一个命题公式的代换实例有无限个。
3.等价置换
《定义》：给定一命题公式Ａ，Ａ’是Ａ的任何部分，若
Ａ’也是一命题公式，则称Ａ’是Ａ的子命题公式。
例：Ａ：（Ｐ∨Ｑ）→（Ｑ∨（ＲΛ¬Ｓ））
Ａ的子命题公式有： Ｐ、Ｑ、Ｒ、¬Ｓ、（Ｐ∨Ｑ）、（ＲΛ¬Ｓ）、 （Ｑ∨（ＲΛ¬Ｓ））、（Ｐ∨Ｑ）→（Ｑ∨（ＲΛ¬Ｓ））等。
（ＰΛＱ）→Ｐ为永真式。
(1) 列出真值表证明
P Q Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） （ＰΛＱ）→Ｐ
FF T
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FT T
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TT T
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（2）用等价公式证明 Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） ¬Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ） （¬Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ T
（ＰΛＱ）→Ｐ ¬（ＰΛＱ）∨Ｐ （¬Ｐ∨¬Ｑ）∨Ｐ （¬Ｐ∨Ｐ）∨¬Ｑ T
《定理》 命题公式ＡＢ的充要条件是Ａ↔Ｂ为永真式。
《定理》：给定命题公式Ａ、Ｂ、Ｃ，若ＡＢ，且Ｂ Ｃ，则ＡＣ。 证明：∵ＡＢ，且ＢＣ， ∴（Ａ→Ｂ）Λ（Ｂ→Ｃ）为永真式， 由I6：（Ａ→Ｂ）Λ（Ｂ→Ｃ） （Ａ→Ｃ）， ∴（Ａ→Ｃ）也为永真式；即，ＡＣ成立
《定理》：给定一个命题公式Ａ、Ｂ、Ｃ，若ＡＢ, ＡＣ，则Ａ（ＢΛＣ） 证明：∵ＡＢ Λ ＡＣ， ∴（Ａ→Ｂ）Λ（Ａ→Ｃ）为永真式， 由条件，若Ａ一定为 Ｔ ，则Ｂ、Ｃ均为 Ｔ ， ∴Ａ→（ＢΛＣ）也为 Ｔ ， ∴Ａ（ＢΛＣ）为 Ｔ 。
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联结词可以嵌套使用，在嵌套使用时，规定如下优先顺序： ( )，┐，∧，∨，→， ，对于同一优先级的联结词，先出现 者先运算。
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值：
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P，Q，R的真值分别为1，1，0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1，1，0。
2．在自然语言中，“如果P，则Q”中的前件P与后件Q往 往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，P与Q可以无任何内 在联系。
3．在数学或其它自然科学中，“如果P，则Q”往往表达 的是前件P为真，后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中， 作为一种规定，当P为假时，无论Q是真是假，P→Q均为真。 也就是说，只有P为真Q为假这一种情况使得复合命题P→Q为 假。
PQ 的真值定义为 PQ为真当且仅当P, Q同真值 因此, P, Q一真一假时, P Q为假。
复合命题P Q的真值表： P
0 0 1 1
Q
P Q
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例1.6 将下列命题符号化，并指出它们的真值：
3如 两 圆O1 , O2的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然. 4当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之当她唱歌时，
真值为真的命题称为真命题；真值为假的命题为假命题。
说明：
1. 命题必须是陈述性语句，而不能是疑问句、命令句、 感叹句等；
2. 命题语句或者为真或者为假，二者必取其一，即命 题的真值是唯一的
判断句子是否为命题的标准： (1)陈述句 (2)有唯一的真值
例1 判断下列句子是不是命题: (1) 4是素数。
第一部分 数理逻辑
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值：
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P，Q，R的真值分别为1，1，0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1，1，0。
2．在自然语言中，“如果P，则Q”中的前件P与后件Q往 往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，P与Q可以无任何内 在联系。
3．在数学或其它自然科学中，“如果P，则Q”往往表达 的是前件P为真，后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中， 作为一种规定，当P为假时，无论Q是真是假，P→Q均为真。 也就是说，只有P为真Q为假这一种情况使得复合命题P→Q为 假。
PQ 的真值定义为 PQ为真当且仅当P, Q同真值 因此, P, Q一真一假时, P Q为假。
复合命题P Q的真值表： P
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P Q
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例1.6 将下列命题符号化，并指出它们的真值：
3如 两 圆O1 , O2的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然. 4当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之当她唱歌时，
真值为真的命题称为真命题；真值为假的命题为假命题。
说明：
1. 命题必须是陈述性语句，而不能是疑问句、命令句、 感叹句等；
2. 命题语句或者为真或者为假，二者必取其一，即命 题的真值是唯一的
判断句子是否为命题的标准： (1)陈述句 (2)有唯一的真值
例1 判断下列句子是不是命题: (1) 4是素数。
第一部分 数理逻辑
离散数学第一章PPT课件
R 0 1 0 1 0 1 0 1
Assignments（作业）
第30页: 4
1.3 公式分类与等价式
1.3.1 公式分类 1.3.2 等价公式（等值演算） 1.3.3 基本等价式----命题定律 1.3.4 代入规则和替换规则 1.3.5 证明命题公式等价的方法
1.3.1 公式分类
定义1.13 设A是一个命题公式，对A所有可能的解释： (1)若A都为真，称A为永真式或重言式。
(2)若A都为假，称A为永假式或矛盾式。
(3)若至少存在一个解释使得A为真，称A为可满足式。
例1 从上一节真值表可知，命题公式(PQ)(P∨Q)为 重言式，(PQ)∧Q为矛盾式，PQ)∧R为可满足式。
注： 1、 永真式必为可满足式，反之则不然；永真式的否定是永 假式，反之亦然； 2、 决定一个公式是否是一个永真式、永假式或可满足式有 三种方法：真值表法（适用于变元少而简单的公式）、求主范
1.否定词(negation connective )﹁
定义1.4 复合命题“非P”称为命题P的否定，记作
P，读作非P。 P为真当且仅当P为假。
例3 设 P：离散数学是计算机专业的核心课程， 则 P:离散数学不是计算机专业的核心课 程。
2.合取词(conjunction connective )∧
命题符号化的目的在于用五个联结词将日 常语言中的命题转化为数理逻辑中的形式命题， 其关键在于对自然语言中语句之间的逻辑关系 以及命题联结词的含义要有正确的理解，使用 适当的联结词： （1）确定语句是否是一个命题；
（2）找出句中连词，用适当的命题联结词表
示。
Assignments（作业）
第30页: 3（偶数小题）
定义1.12 设A是含有n个命题变元的命题 公式，将命题公式A在所有赋值之下取值的情 况汇列成表，称为A的真值表( truth table )。 为列出一个公式的真值表，我们约定： ①命题变元按字典序排列；②对公式的每个 解释，以二进制从小到大列出；③当公式较 复杂时，可先列出子公式的真值，最后列出 所给公式的真值。
离散数学第一章课件
表示“或者” “或者”有二义性，看下面两个例子： 例1-2.3. 灯泡或者线路有故障。 例1-2.4. 第一节课上数学或者上英语。 例3中的或者是可兼取的或。即析取“∨” 例4中的或者是不可兼取的或，也称之为异或、 排斥或。即“ ”.
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1. 析取“∨”
例1-2.3. 灯泡或者线路有故障。 P：灯泡有故障。 Q：线路有故障。 例中的复合命题可表示为：P∨Q P∨Q读成P析取Q，P或者Q。 P∨Q的真值为F，当且仅当P与Q均为F。
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数理逻辑把推理符号化之二
设M(x): x是金属 . 设C(x): x能导电. 设x 表示: 所有的x . 设 a 表示铜. 例2的推理过程表示为： 前提:x(M(x)C(x)) (所有金属都导电.) 前提:M(a) (铜是金属.) 结论:C(a) (铜能导电.) (其中符号M(x)是谓词，所以这就是第二章 “谓词逻辑”中所讨论的内容.）
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四.条件 (蕴涵)“”
表示“如果… 则 …”， 例1-2.5： P表示：缺少水分。 Q表示：植物会死亡。 PQ：如果缺少水分，植物就会死亡。 PQ：也称之为蕴涵式，读成“P蕴涵Q”， “如果P则Q”。 也说成P是PQ 的前件，Q是PQ的后件。还 可以说P是Q的充分条件，Q是P的必要条件。
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1-2 联结词
复合命题的构成：是用“联结词”将原子命题 联结起来构成的。 归纳自然语言中的联结词，定义了六个逻辑联 结词，分别是： (1) 否定“” (2) 合取“∧” (3) 析取“∨” (4) 异或“ ” (5) 蕴涵“” (6) 等价“”
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一. 否定“” (Negation)
北京工业大学《离散数学》课件-第一章 逻辑和证明
第一章基础：逻辑和证明1内容提要◦逻辑（logic）：思维的规律和规则，是研究推理的科学公元前四世纪由希腊哲学家亚里士多德首创◦数理逻辑：用数学方法研究逻辑，又称符号逻辑十七世纪由德国数学家莱布尼兹提出2内容提要命题逻辑数理逻辑谓词逻辑34日常使用的自然语言，往往易产生二义性：•冬天，能穿多少穿多少；夏天，能穿多少穿多少。
•中国足球，谁也打不赢；中国乒乓球，谁也打不赢。
引入形式符号体系5本节摘要◦命题（离散对象）◦命题逻辑（离散对象之间的关系）◦命题逻辑的应用6命题◦命题是一个陈述语句，可判定真假◦举例：◦月亮是绿色奶酪做的。
◦1+0=1◦别的星球有生物。
◦坐下！◦几点了？◦X+1=2。
◦我正在说谎。
7命题非命题说明：◦只有具有确定真值的陈述句才是命题。
一切没有判断内容的句子，无所谓是非的句子，如：感叹句、祈使句、疑问句等，都不是命题。
◦命题只有两种真值，“命题逻辑”又称“二值逻辑”。
◦“具有确定真值”指客观上的具有，与我们是否知道它的真值是两回事。
8命题逻辑◦命题变量：表示命题的变量，习惯上用p, q, r, s, ...表示；真命题用T表示，假命题用F表示◦命题逻辑：涉及命题的逻辑领域研究对象：复合命题由已知命题用逻辑运算符（联结词）组合而来只有成绩好和竞赛获奖的同学才能保研操作符：逻辑联结词包括[否定，合取，析取，异或，条件，双条件]9复合命题：否定联结词◦令p为一命题，则p的否定记为 p，读作“非p”，一元运算符。
命题之否定的真值表T FF T“非”放在命题最前面表意更清晰。
p：地球是圆的；p：并非地球是圆的。
p：咱们班上都是男同学；p：咱们班上都不是男同学(×)or 咱们班上不都是男同学(√)。
10◦令p 和q 为命题，p 和q 的合取（conjunction ）记作pq 。
11复合命题：合取联结词T T T T F F F T F F F F两命题析取的真值表阳光灿烂，但是正在下雨= 阳光灿烂正在下雨我在吃饭我女朋友在吃饭我和女朋友一起吃饭= 我和女朋友都在吃饭复合命题：析取联结词◦令p和q为命题，p和q的析取（disjunction）记作p q。
《离散数学》完整课件
第三节 复合关系与逆关系
本节讨论关系的复合运算与逆运算极其 性质;主要考虑了下列问题:
1.关系的复合是否满足交换律、结合律、 关系的复合对于集合的并(交)是否有分 配律;
2.关系的复合运算与逆运算在关系图和 关系矩阵上的反应;
3.关系的复合运算与关系的逆运算之间 的运算规律.
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11 2021/6/7
|A|<|B|三条中有且仅有一条成立；
2.Bernstein定理:设A,B是两个集合,若|A|≥|B| 且|A| ≤ |B|,则集合A,B等势;
3.设A是任意集合,P(A)为A的幂集,则P(A)的基 数大于A的基数.
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23 2021/6/7
本章小结
本章的主要内容有：集合的等势、有限 集与无限集、可数集与不可数集、较为 常见的集合的基数等.集合的基数反映了 集合的元素的多少，它是集合的一种性 质，一种与该集合等势的集合构成的集 合族的共同性质.
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17 2021/6/7
第九节 复合映射与逆映射
映射的复合就是关系的复合,须注意的是 复合的次序,主要内容有:
1.映射的复合具有结合律,但不符合交换律; 2.区分了左逆与右逆；给出里左逆、右逆
与单射、满射之间的关系； 3.可逆与左、右逆之间的关系.
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18 2021/6/7
本章小结
1.本节首先给出了公式的蕴涵关系的三个等价定 义,及蕴涵关系具有的性质,给出了15个基本蕴 涵式；
2.把蕴涵概念推广,得到公式的逻辑结果的定义；
3.为了研究推理，还引进演绎的概念；
4.用实例说明推理方法.
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30 2021/6/7
第六节 形式演绎
离散数学课件第一章
图的连通性
04
CHAPTER
逻辑基础
命题逻辑中的基本概念包括命题、真值和逻辑运算，通过这些基本概念可以表达和推理复杂的命题关系。
命题逻辑在计算机科学、人工智能、自动化等领域有广泛应用，是形式化方法的重要基础。
命题逻辑是研究命题之间关系的逻辑分支，主要涉及命题的否定、合取、析取、蕴含等基本运算。
命题逻辑
详细描述
集合的运算包括并集、交集、差集等。并集是指两个或多个集合合并为一个新的集合，包含所有元素；交集是指两个或多个集合中共有的元素组成的集合；差集是指从一个集合中去掉另一个集合中的元素后剩余的元素组成的集合。这些运算在离散数学中有着广泛的应用。
总结词
集合的运算
集合的基数是指集合中元素的个数，通常用大写字母表示。
鸽巢原理
THANKS
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集合论
图论是研究图（由节点和边构成的结构）的数学分支，它广泛应用于计算机科学和工程学科。
图论
逻辑是离散数学的另一个重要分支，它研究推理的形式和规则，是计算机科学和人工智能的基础。
逻辑
组合数学是研究计数、排列和组合问题的数学分支，它在计算机科学和统计学中有重要的应用。
组合数学
离散数学的研究内容
02
CHAPTER
离散数学课件第一章
目录
绪论 集合论基础 图论基础 逻辑基础 组合数学基础
01
CHAPTER
绪论
离散数学是研究离散对象（如集合、图、树等）的数学分支，它不涉及连续的量或函数。
离散数学的定义
离散数学的起源
离散数学的特点
离散数学的起源可以追溯到古代数学，如欧几里得几何和数论。
离散数学强调结构、关系和组合，而不是连续性和微积分。
离散数学ppt
如果X Y，则将A中的X用Y置换所得到 的命题公式B与A等价。 例题： 1、证明：(PQ) (P Q) P 2、证明：(PQ) (Q R) (P Q) R 对偶式： 对偶的概念： 对偶定理：设A，B是命题公式，如果 A B，则A* B*
第四节 主析取范式与主合取范式 命题公式的规范化 1、命题联结的归约：最小命题联结词组 2、命题范式 定义1：一个命题公式称为合取范式，如果它具 有如下形式：A1 A2 …An，其中A1 ， A2 ， …，An都是由命题变元或其否定所组成 的析取式。 定义1：一个命题公式称为析取范式，如果它具 有如下形式：A1 A2 … An，其中A1 ，
注： ①双条件联结词与自然语言中的
“当且仅当”，“充分必要”类似， 但也不尽相同。
②二元运算
命题联结词除了上述五个之外，还有不可 兼析取、条件否定、与非、或非联结词。 在一个复合命题中往往含有多个命题联结 词，其运算的次序是：、、、、 第二节 命题公式及其分类 直观地说，由命题变元、命题常量、命题 联结词、括号组成的一个有意义的式子 成为命题公式。
类似于主析取范式，也有主合取范式。 定义：n个命题变元的析取式，称为布尔大 项或析取，如果每个命题变元或其否定 不能同时出现，但二者必须出现且仅出 现一个。 注：①n个命题变元构成的布尔 大项有2n个 ②布尔大项的编码：命题变元-0，其否定-1 布尔大项的常见性质： 1、每个大项当其真值指派与编码相同时，
的量词。 例子： 所有人都要呼吸：(x)M(x)H(x) 每个学生都要参加考试： (x)P(x)Q(x) 2、存在量词－ 用以表示“有一些”，“至少有一个”等 概念的量词。 例子： 有些人是聪明的：
有的人早饭吃面包： 全称量词与存在量词统称为量词。 在上面的例子中，每个由量词确定的表达 式，都与个体域有关。我们通常总是在 全总个体域中考虑问题，因此就要通过 相应的谓词对个体变元的取值范围加以 说明，这就是特性谓词。一般地，对全 称量词，特性谓词常做蕴含的前件；对 存在量词，特性谓词常作合取项。
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注：命题逻辑中的析取词∨表示的是可
兼或，即允许P∨Q中的P和Q同时为真。 例5(1)李强是100米或400米赛跑冠军。
(2)今天晚上我在家看电视或去剧场看戏。
解（1）可兼或。设P：李强是100米赛冠军，Q：李 强是400米赛冠军，则(1)表示为P∨Q。 （2）排斥或。若设P：今天晚上我在家看电视，Q： 今天晚上我去剧场看戏，则(2)可以表示为 (P∧Q)∨(P∧Q)，也可用后面介绍的异或联结词表 示为PQ。
5.双条件词(biconditional connective )
定义1.8 复合命题“P当且仅当Q”称为P和Q的双条 件复合命题，记作 PQ ，读作 P 当且仅当 Q 。 PQ 为 真当且仅当P与Q的真值相同。 例7 (1)两个三角形全等当且仅当它们的三组对应 边相等。 (2) 2＋2＝4当且仅当雪是黑的。 解(1)设P：两个三角形全等，Q：两个三角形的 三组对应边相等，则(1)可符号化为PQ。 (2)设P：2＋2＝4，Q：雪是黑的，则(2)可符号 化为PQ。
1.1 命题与联结词 1.2 命题公式、翻译、真值表 1.3 公式分类与等价式 1.4 对偶式与蕴涵式 1.5 联结词的扩充与全功能联结词组 1.6 公式标准型——范式 1.7 公式主范式 1.8 命题逻辑的推理规则
1.1 命题与联结词
1.1.1 命题的基本概念 1.1.2 命题分类与命题标识符
1.1.3 命题联结词
1.1.1 命题的基本概念
定义1.1 能判断真假的陈述句称为命题。一 个命题的真或假称为命题的真值，分别用 T(或1)与F(或0)表示。真值为真的命题称为真 命题，真值为假的命题称为假命题。
注意：判断一个句子是否为命题应分为两步：首 先判断它是否为陈述句，其次判断它能否确定真假。 注意，一个陈述句能否判断真假，和我们是否知道 它的真假是两回事。
命题符号化的目的在于用五个联结词将日 常语言中的命题转化为数理逻辑中的形式命题， 其关键在于对自然语言中语句之间的逻辑关系 以及命题联结词的含义要有正确的理解，使用 适当的联结词： （1）确定语句是否是一个命题；
（2）找出句中连词，用适当的命题联结词表
4.条件词(conditional connective )
定义1.7 复合命题“如果P，则Q”称为P与Q的条 件式，记作 PQ ，读作如果 P 则 Q 。其中 P 称为前件 (Premise) ， Q 称为后件 (Consequence) 。 PQ 为假当 且仅当P为真而Q为假。
在自然语言中，“如果”与“则”之间常有因果联系，
例 1 判断下列句子哪些是命题？ (1)雪是黑的。 命题 (2)天气多好呀！ 感叹句，不是命题 (3)别的星球上有生物。 命题（目前无法判断） (4)1＋101＝110。 命题（由上下文而定） (5)你上网了吗？ 疑问句，不是命题 (6)全体立正！ 祈使句，不是命题 (7)x＋y＞5。 陈述句，但没有确定的真值，不是命题 (8)人有五指。 命题（因人而异） (9)现在是6点钟。 命题（因地而异） (10)我正在说谎。 悖论，不是命题
条件或 P 是 Q 的充分条件。复合命题“只要 P ，就 Q” 、
“因为P，所以Q”、“除非 Q，才 P”、“除非 Q，否则
非 P”、“ P 仅当 Q”、“只有 Q ，才 P”等均可符号化为
PQ的形式。
例6 (1)只要不下雨，我就骑自行车上班。 (2)只有不下雨，我才骑自行车上班。 解 设P：天下雨，Q：我骑自行车上班。则(1) 可符号化为PQ；(2)表示为QP。
1.否定词(negation connective )﹁
定义1.4 复合命题“非P”称为命题P的否定，记作
P，读作非P。 P为真当且仅当P为假。
例3 设 P：离散数学是计算机专业的核心课程， 则 P:离散数学不是计算机专业的核心课 程。
2.合取词(conjunction connective )∧
定义1.3 一个命题标识符如表示真值确定的命题， 则称其为命题常元，如果命题标识符表示真值不确定 的陈述句，则称其为命题变元。
1.1.3 命题联结词
通过命题联结词可以把原子命题复合成一 个复合命题，命题逻辑中常用的联结词有以下 五种：“非”、“且”、“或”、“如果…， 则…”、“…当且仅当…”，下面给出它们的确 切含义和符号表示。
定义1.5 复合命题“P且Q”称为P与Q
的合取式，记作P∧Q，读作P且Q。P∧Q
为真当且仅当P与Q都为真。
例4 设P：今天上机，Q：今天下雨，则 P∧Q表示今天上机且今天下雨。
3.析取词(disjunction connective )∨
定义1.6 复合命题“P或Q”称为P与Q的析取式， 记作P∨Q，读作P或Q。P∨Q为假当且仅当P和Q都为 假。 由于自然语言中的“或”具有多义性，包括“可
否则没有意义，但对条件命题 PQ来说，只要 P 和Q 能够确定 真值， PQ 即成为命题。在条件命题中，若前提为假时，条 件命题的真值为真，称为善意的推断。前件假而整个句子为 真的例子，在自然语言中也是常见的，如：假如给我一根合 适的杠杆，我可以把地球撬起来。
条件式 PQ 表示的基本逻辑关系是： Q 是 P 的必要
1.1.2 命题分类与命题标识符
定义1.2 不能再分解为其他命题的命题称为原子 命题。由原子命题和命题联结词构成的命题称为复合 命题。
例如，例1中的命题都是原子命题，而命题“张三和李四 都是大学生”是复合命题，因为它由“张三是大学生”和 “李四是大学生”两个原子命题组成。 表示原子命题的符号称为命题标识符。例2 P：雪是黑的。
兼或”、“排斥或”和“表示近似的或”，因此需要
指出命题逻辑中的“或”是指哪一种。先看下表给出
或的含义
联结词 非联结词
的例子。
可兼或 排斥或 表示近似数的或
例子
说明
两者至少有一个发生，不 排斥两者都发生的情况 非此即彼，不可兼得 表示近似数
a· b ＝ 0 即 a ＝ 0 或b ＝0 或a ＝b ＝ 0
注：命题逻辑中的析取词∨表示的是可
兼或，即允许P∨Q中的P和Q同时为真。 例5(1)李强是100米或400米赛跑冠军。
(2)今天晚上我在家看电视或去剧场看戏。
解（1）可兼或。设P：李强是100米赛冠军，Q：李 强是400米赛冠军，则(1)表示为P∨Q。 （2）排斥或。若设P：今天晚上我在家看电视，Q： 今天晚上我去剧场看戏，则(2)可以表示为 (P∧Q)∨(P∧Q)，也可用后面介绍的异或联结词表 示为PQ。
5.双条件词(biconditional connective )
定义1.8 复合命题“P当且仅当Q”称为P和Q的双条 件复合命题，记作 PQ ，读作 P 当且仅当 Q 。 PQ 为 真当且仅当P与Q的真值相同。 例7 (1)两个三角形全等当且仅当它们的三组对应 边相等。 (2) 2＋2＝4当且仅当雪是黑的。 解(1)设P：两个三角形全等，Q：两个三角形的 三组对应边相等，则(1)可符号化为PQ。 (2)设P：2＋2＝4，Q：雪是黑的，则(2)可符号 化为PQ。
1.1 命题与联结词 1.2 命题公式、翻译、真值表 1.3 公式分类与等价式 1.4 对偶式与蕴涵式 1.5 联结词的扩充与全功能联结词组 1.6 公式标准型——范式 1.7 公式主范式 1.8 命题逻辑的推理规则
1.1 命题与联结词
1.1.1 命题的基本概念 1.1.2 命题分类与命题标识符
1.1.3 命题联结词
1.1.1 命题的基本概念
定义1.1 能判断真假的陈述句称为命题。一 个命题的真或假称为命题的真值，分别用 T(或1)与F(或0)表示。真值为真的命题称为真 命题，真值为假的命题称为假命题。
注意：判断一个句子是否为命题应分为两步：首 先判断它是否为陈述句，其次判断它能否确定真假。 注意，一个陈述句能否判断真假，和我们是否知道 它的真假是两回事。
命题符号化的目的在于用五个联结词将日 常语言中的命题转化为数理逻辑中的形式命题， 其关键在于对自然语言中语句之间的逻辑关系 以及命题联结词的含义要有正确的理解，使用 适当的联结词： （1）确定语句是否是一个命题；
（2）找出句中连词，用适当的命题联结词表
4.条件词(conditional connective )
定义1.7 复合命题“如果P，则Q”称为P与Q的条 件式，记作 PQ ，读作如果 P 则 Q 。其中 P 称为前件 (Premise) ， Q 称为后件 (Consequence) 。 PQ 为假当 且仅当P为真而Q为假。
在自然语言中，“如果”与“则”之间常有因果联系，
例 1 判断下列句子哪些是命题？ (1)雪是黑的。 命题 (2)天气多好呀！ 感叹句，不是命题 (3)别的星球上有生物。 命题（目前无法判断） (4)1＋101＝110。 命题（由上下文而定） (5)你上网了吗？ 疑问句，不是命题 (6)全体立正！ 祈使句，不是命题 (7)x＋y＞5。 陈述句，但没有确定的真值，不是命题 (8)人有五指。 命题（因人而异） (9)现在是6点钟。 命题（因地而异） (10)我正在说谎。 悖论，不是命题
条件或 P 是 Q 的充分条件。复合命题“只要 P ，就 Q” 、
“因为P，所以Q”、“除非 Q，才 P”、“除非 Q，否则
非 P”、“ P 仅当 Q”、“只有 Q ，才 P”等均可符号化为
PQ的形式。
例6 (1)只要不下雨，我就骑自行车上班。 (2)只有不下雨，我才骑自行车上班。 解 设P：天下雨，Q：我骑自行车上班。则(1) 可符号化为PQ；(2)表示为QP。
1.否定词(negation connective )﹁
定义1.4 复合命题“非P”称为命题P的否定，记作
P，读作非P。 P为真当且仅当P为假。
例3 设 P：离散数学是计算机专业的核心课程， 则 P:离散数学不是计算机专业的核心课 程。
2.合取词(conjunction connective )∧
定义1.3 一个命题标识符如表示真值确定的命题， 则称其为命题常元，如果命题标识符表示真值不确定 的陈述句，则称其为命题变元。
1.1.3 命题联结词
通过命题联结词可以把原子命题复合成一 个复合命题，命题逻辑中常用的联结词有以下 五种：“非”、“且”、“或”、“如果…， 则…”、“…当且仅当…”，下面给出它们的确 切含义和符号表示。
定义1.5 复合命题“P且Q”称为P与Q
的合取式，记作P∧Q，读作P且Q。P∧Q
为真当且仅当P与Q都为真。
例4 设P：今天上机，Q：今天下雨，则 P∧Q表示今天上机且今天下雨。
3.析取词(disjunction connective )∨
定义1.6 复合命题“P或Q”称为P与Q的析取式， 记作P∨Q，读作P或Q。P∨Q为假当且仅当P和Q都为 假。 由于自然语言中的“或”具有多义性，包括“可
否则没有意义，但对条件命题 PQ来说，只要 P 和Q 能够确定 真值， PQ 即成为命题。在条件命题中，若前提为假时，条 件命题的真值为真，称为善意的推断。前件假而整个句子为 真的例子，在自然语言中也是常见的，如：假如给我一根合 适的杠杆，我可以把地球撬起来。
条件式 PQ 表示的基本逻辑关系是： Q 是 P 的必要
1.1.2 命题分类与命题标识符
定义1.2 不能再分解为其他命题的命题称为原子 命题。由原子命题和命题联结词构成的命题称为复合 命题。
例如，例1中的命题都是原子命题，而命题“张三和李四 都是大学生”是复合命题，因为它由“张三是大学生”和 “李四是大学生”两个原子命题组成。 表示原子命题的符号称为命题标识符。例2 P：雪是黑的。
兼或”、“排斥或”和“表示近似的或”，因此需要
指出命题逻辑中的“或”是指哪一种。先看下表给出
或的含义
联结词 非联结词
的例子。
可兼或 排斥或 表示近似数的或
例子
说明
两者至少有一个发生，不 排斥两者都发生的情况 非此即彼，不可兼得 表示近似数
a· b ＝ 0 即 a ＝ 0 或b ＝0 或a ＝b ＝ 0