初中数学竞赛辅导讲义1

页脚初中数学竞赛辅导讲义（初三）第一讲 分式的运算[知识点击]1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。

2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。

3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。

[例题选讲]例1．化简2312++x x + 6512++x x + 12712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + )4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 41+x =)4)(1(3++x x 例2． 已知 z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。

页脚解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1例3．设 12+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。

解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x 1 = ｍ + 1 ∴ 22241xx m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x 1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=121-m 例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2+1整除，求ａ的值。

解：页脚13313232+++++x ax x X ax1- ａ=0 ∴ ａ=1例5：设ｎ为正整数，求证311⨯ + 511⨯ + …… +)12)(12(1+-n n ＜ 21 证：左边=21（1 - 31 + 31 - 51 + …… + 121-n - 121+n ） aaax ax xO x -++++1133223页脚 =21（1- 121+n ） ∵n 为正整数，∴121+n ＜ 1 ∴1- 121+n ＜ 1 故左边＜ 21[小结归纳]1、部分分式的通用公式：)(1k x x + = k 1 （x 1 - kx +1） 2、参数法是解决比例问题特别是连比问题时非常有效的方法，其优点在于设连比值为K ，将连等式化为若干个等式，把各字母用页脚同一字母的解析式表示，从而给解题带来方便。

3、整体代换及倒数法是分式的的求值中常用的方法， 应熟练掌握。

[巩固练习]1、若分式1222-+m m 的值是正整数， 则整数m= 。

2、若1432a a a a ++ = 2431a a a a ++ = 3421a a a a ++ = 4321a a a a ++ =ｋ 则k= 。

3、已知a 2-3b 2 = 2ab .(a ＞0，b ＞0),则b a ba -+2 = .页脚4、已知a 、b 、c 是有理数，且b a ab +=31，c b bc + = 41，a c ca += 51，则cabc ab abc ++= 。

5、若x1 - y 1 = 2006，则y xy x y xy x 260192-+++-= 。

6、实数a 、b 满足ab=1，设A = a +11 +b +11 ，B=a +1a + b+1b +1，则A 、B 的关系 为 。

7、当ａ、ｂ、ｃ为何值时，多项式b ax x x x =++-23433能被除数232+-x x 整除？ 8、计算 20072007200720072007752115++ = 。

9、已知)3)(23(322-+--+x x x x x = 1A -X + 2B -X + 3C -X ， 求A 、B 、C 的值。

页脚10、若对于±3以外的一切实数X ，等式3+x m - 3-x n = 982-x x 均成立，则mn = 11、已知b a =c b = a c ，则cb ac b a +--+ = 。

第二讲 分式方程及应用[知识点击]1、 解分式方程的基本思路是去分母化分式方程为整式方程；2、 解分式的方程的常用方法有：换元法、整体法、通分法等；3、 分式方程广泛应用于生活实际中，要注意未知数的值既要是原方程的根，又要与实际意义相符。

页脚[例题选讲]例1． 解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---+=-++661091852x y y x y x y x 分析：令y x +1 =m, y x -1 =n ,则⎩⎨⎧=+=+661091852n m n m 可得：⎪⎩⎪⎨⎧==566n m 易求：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==3121y x 例2． 解方程730468157264-----=-----x x x x x x x x 解：原方程可化为61711121---=---x x x x页脚 两边分别通分：)6)(7(1)1)(2(1---=---x x x x ，易求：ｘ = 4 例3． 当ｍ为何值时，关于x 的方程21122---+=--x x x x x x m 的解为正数？ 解：解方程可得：x=21m -，需⎪⎩⎪⎨⎧≠-≠〉210x x x 可得ｍ＜1 且m ≠-3。

例4． 设库池中有待处理的污水a 吨，从城区流入库池的污水按每小时b 吨的固定流量增加，若同时开动2台机组需30小时处理完污水，同时启动4台机组需10小时处理完污水，若要求在5小时将污水处理完毕，那么至少要同时开动多少台机组？ 解：设1台机组每小时处理污水y 吨，要在5小时处理完污水， 至少同时开动x 台机组，则：页脚 ⎪⎩⎪⎨⎧≤+⨯=+⨯=+xy b a y b a y b a 551041030230 可得 ⎩⎨⎧==y b y a 30 X ≥ 755=+y b a 例5． 求证对任意自然数n ，有222131211n ++++ ＜2 证明：当n=1时，1＜2显然成立。

当ｎ＞1时，ｎ（ｎ-1）＜ｎ2 所以21n＜ n n n n 111)1(1--=- 故：222131211n ++++ ＜)111()3121()211(1n n --++-+-+ n12-＜2页脚 [点评归纳]1、 当某个代数式在一个问题中多次反复出现时，我们可以把这个代数式当作一个整体去替换，使问题简化；2、 假分式构成的分式方程一般先分离整数， 然后等式两边分别通分可解。

3、 解分式方程要注意验根，在求分式方程中待定字母的值时往入容易忽略这一点。

[巩固练习]1、某同学用一架不等臂天平称药品， 第一次将左盘放入50g 砝码，右盘放药品使天平平衡，第二次将右盘放入50g 砝码，左盘放药品使天平平衡，则两次称得药品总质量（ ）A 、等于100gB 、大于100gC 、小于100gD 、都有可能2、用大小两部抽水机给麦田浇水，先用两部抽水机一起抽水2小时， 再用小抽水机单独抽水1小时即可浇完， 已知单独用小抽水机所用时间是大抽水机单独抽水所需时间的211倍，求两部抽水机单独浇完这块麦田各需多少小时？页脚3、解方程13307223+++++x x x x x = 20724536112223+++++x x x x x 4、解方程52)10)(9(1)32(1)2)(1(1101=+++++++++++x x x x x x x ）（ 5、某工厂将总价2000元的甲种原料与总价4800元的乙种原料混合后，其平均价格比原甲种原煤料每斤少3元，比原乙种原料每斤多1元，问混合后的单价。

6、自然数m 、n 是两个不同质数，且m+n+mn 的最小值为P ，则222pn m += 7、已知m x x x f ++=2372)(有因式32+x ，则ｍ= 8、求112++=x x y 的最大值。

页脚第三讲 一元二次方程的解法[知识点击]1、 一元二次方程的常规解法有：直接开平方、配方法、因式分解及求根公式法。

2、 对于复杂的一元二次方程往往要借助换元法、和差构造法等。

3、 含有字母系数的一元二次方程一般要分类型讨论。

4、 设而不研究一元二次方程公共解的基本方法。

[例题选讲]例1． 解方程161311112222=+++++++x x x x x x 解：令y x x x =+++1122，则y y 1+ =1613,解得321=y ，232=y页脚 即321122=+++x x x 或231122=+++x x x ，解得2153,,1321±-==x x 例2． 解方程8532++x x - 1532++x x =1 解：∵（8532++x x + 1532++x x ）（8532++x x -1532++x x ）=7∴ 8532++x x + 1532++x x =7① 又8532++x x -1532++x x =1②①+②：8532++x x =4易知：X 2=1 X 2= 38 例3：已知m 是方程X 2-2007X+1=0的一个不为O 的根页脚求 ｍ2 -2006m+120072+m 的值 解：∵ｍ为方程的非零根，∴ｍ2 -2007ｍ+1=0可得ｍ2 =2007ｍ-1，ｍ+m1=2007，ｍ2+1=2007ｍ 原式=2007ｍ-1-2006ｍ+m 20072007=ｍ+m1-1=2007-1=2006 例4、设ａ、ｂ为实数，那么a 2+ab+b 2-ａ- 2b 的最小值为多少？解：原式：=a 2+（b-1）a+（b 2-2b ） =(a+21-b ）2 +43(b-1）2-1 当a=o b=1时，最小值为-1例5：解方程ｍ2（x 2-x+1）-ｍ（x 2-1）=（ｍ2-1）ｘ页脚解：原方程整理为：ｍ（ｍ-1）ｘ2-（2ｍ2-1）ｘ+ｍ（ｍ+1）=0[ｍｘ-（m + 1）[（ｍ-1）ｘ-ｍ]=0ｍx=ｍ+1 或（ｍ-1）ｘ=ｍ1） 当ｍ≠0，ｍ≠1时，x1=m m 1+，x2=1-m m 2） ｍ=0，ｘ= 03） ｍ=1时ｘ=2 例6：方程（2007ｘ）2 -2006×2008X-1=0的较大根为ｍ，方程2006x 2-2007X+1=0的较小根为ｎ,求ｎ-ｍ的值解:方程①可化为(20072X+1)(X-1)=0 X=-220071 X 2=1 ∵ X 2＞X 1 ∴m=1 方程②可化为(2006X-1`)(X-1)=0页脚X 1 =-20061 X 2=1 ∵X 1 ＜X 2∴ｎ=20061 n - m =20061-1=-20062005 [点评归纳]1、 有的方程某部分重复出现，或经过变形后产生重复出现的式子，可通过换元使方程简化而便于求解。