电磁场与电磁波第三章习题及参考答案

第3章习题
3-1 半径为的薄圆盘上电荷面密度为s ρ，绕其圆弧轴线以角频率旋转形成电流，求电流面
密度。

解：圆盘以角频率
旋转，圆盘上半径为r 处的速度为r ω，因此电流面密度为
ϕ
ωρρˆr v J s s s ==
3-2 在铜中，每立方米体积中大约有28
105.8⨯个自由电子。

如果铜线的横截面为2
10cm ，电
流为A 1500。

计算 1） 电流密度；
2） 电子的平均漂移速度； 解：1）电流密度
m A S I J /105.110
10150064⨯=⨯==
- 2) 电子的平均漂移速度 v J ρ=，
3102819/1036.1105.8106.1m C eN ⨯=⨯⨯⨯==-ρ
s m J v /101.110
36.1105.1410
6-⨯=⨯⨯==ρ 3-3 一宽度为cm 30传输带上电荷均匀分布，以速度s m /20匀速运动，形成的电流，对应的电
流强度为A μ50，计算传输带上的电荷面密度。

解：电流面密度为
m A L I J S /7.1663.050μ===
因为 v J S S ρ= 所以 2/33.820
7.166m C v J S S μρ=== 3-4 如果ρ是运动电荷密度，U
是运动电荷的平均运动速度，证明：
0=∂∂+∇⋅+⋅∇t
U U ρρρ
证：如果ρ是运动电荷密度，U
是运动电荷的平均运动速度，则电流密度为
U J ρ=
代入电荷守恒定律
t
J ∂∂-=⋅∇ρ
得
0=∂∂+∇⋅+⋅∇t U U ρρρ
3-5 由m S /1012.17
⨯=σ的铁制作的圆锥台，高为m 2，两端面的半径分别为cm 10和cm 12。

求两端面之间的电阻。

解：用两种方法
（1）如题图3.5所示
⎰⎰==2
12
2)(tan z
z l
z dz
S dl R ασπσ)11()(tan 1212z z -=ασπ 01.02
02
.0tan ==
α
题3.5图
m r z .1001.0/1.0tan /11===α
，
m r z 1201.0/12.0tan /22===α
Ω⨯=-⨯⨯⨯=-=--6
4
7212107.4)12
1101(101012.11)11()(tan 1πασπz z R （2）设流过的电流为I ，电流密度为
2r
I S I J π==
电场强度为 2
r I
J E πσσ== 电压为 dz z I
Edz V z z z z ⎰⎰==2
1
212
)tan (σαπ ⎰==2
12
2)(tan z
z z
dz I V R απσΩ⨯=-6
107.4 3-6 在两种媒质分界面上，媒质1的参数为2,/10011==r m S εσ，电流密度的大小为
2/50m A ，方向和界面法向的夹角为030；媒质2的参数为4,/1022==r m S εσ。

求媒质
2中的电流密度的大小、方向和界面法向的夹角，以及界面上的电荷面密度。

解：根据边界条件
n n J J 21=，
t t E E 21=，
2
21
1σσt
t
J J =
，t t J J 11
2
2σσ=
22121
221121212212
2222/37.43100
1
414350)(sin )()(cos )(m A J J J J J J t n t n =⨯+⨯=+=+=
+=ασσ
ασσ
媒质2中的电流密度和界面法向的夹角为2α
0577.0tan 1.0tan cos sin tan 111
2111112
222=⨯====
αασσαασσαJ J J J n
t
23.3=α 1
11σn
n J E =
，2
1222σσn
n
n J J E ==
210-111
122011
1
22112212C/m 101.44cos )(
)(
⨯=-=-=-=-=ασεσεεσεσεεερJ J E E D D r
r n n n n n s
3-7 同轴电缆内导体半径为a ，外导体半径为b ，内外导体之间有两层媒质。

内层从a 到b ，
媒质的参数为11,r εσ；外层从b 到c ，媒质的参数为22,r εσ；求
（1） 每区域单位长度的电容； （2） 每区域单位长度的电导； （3） 单位长度的总电容； （4） 单位长度的总电导。

解： 内外导体之间的两层媒质是非理想的，那么设同轴电缆内、外导体之间单位长度的漏电流为I 那么在半径为r 的圆柱面上电流均匀，电流密度为 r I J r π2=
电场强度为
r
I J E r
r 11
2πσσ==
b r a <<
r
I
E r 22πσ=
c r b <<
第一层的电压为 a
b I dr E V b
a r ln
21
1πσ=
=⎰
第二层的电压为 b
c I
dr E V c
b
r ln 222πσ=
=⎰
第一层单位长度的电导为 a
b V I G ln 211
1πσ==
第二层单位长度的电导为 b
c V I G ln 222
2πσ==
单位长度的总电导为 b
c a b V V I V I G ln 1ln 12212
1σσπ
+=+==
利用静电比拟
第一层单位长度的电容为 a b V q C ln 21
1
1πε==
第二层单位长度的电容为 b
c V q C ln 22
2
2πε==
单位长度的总电容为 b
c a b V V q V q C ln 1ln 12212
1εεπ+=+==
3-8 在上题中，当同轴电缆长度为L ，内外导体之间的电压为V ，利用边界条件求界面上的电
荷面密度。

解：
由上题，b
c I a b I V V V ln 2ln
221
21πσπσ+=+=
b
c a b V
I ln 1ln 1221σσπ
+=
因此 r b
c a b V E r 1211
ln 1ln 1σσσ+= b r a <<
r b
c a b V E r 2211
ln 1ln 1σσσ+= c r b <<
====)()(a r D a r n S ρa b
c a b V E r 121111
ln 1ln 1σσσεε+=
====)()(c r D c r n S ρc b
c a b V E r 221221
ln 1ln 1σσσεε+=
==-===-+)()()(b r D b r D c r n n S ρ][ln 1ln 1112221b b b
c a b V
σεσεσσ-+
3-9 两同心导体球壳，内导体球壳半径为cm 3，外导体球壳半径为cm 9。

两同心导体球壳之间
填充两层媒质，内层从cm 3到cm 6，媒质的参数为3,/5011==r m S εμσ；外层从cm 6到
cm 9，媒质的参数为4,/10022==r m S εμσ；求同心导体球壳
（1） 每区域的电容； （2） 每区域的电导； （3） 总电容； （4） 总电导。

解： 内外导体之间的两层媒质是非理想的，那么设同心导体球壳之间的漏电流为I 那么在半径为r 的圆球面上电流均匀，电流密度为
2
4r
I J r π=
电场强度为 2
14r I
J E r r πσ== b r a << 2
4r
I
E r π= c r b << 第一层媒质的电压为 )1
1(211b a I dr E V b
a
r -==⎰πσ
第二层媒质的电压为 )1
1(222c
b I
dr E V c
b
r -=
=⎰
πσ 第一层媒质单位长度的电导为 a
b ba V I G -==1112πσ 第二层媒质单位长度的电导为 b
c bc V I
G -==
2222πσ 单位长度的总电导为 )11(1)11(12212
1c
b b a V V I V I G -+-=+==σσπ
利用静电比拟
第一层单位长度的电容为 b a V q C 11211
1-==πε 第二层单位长度的电容为 c
b V q C 11222
2-==πε 单位长度的总电容为 )11(1)11(12212
1c
b b a V V q V q C -+-=+==εεπ
其中 cm c cm b cm a 9,6,3===
3-10 上题中，内外导体之间的电压为V 50，利用边界条件求界面上的电荷面密度。

解：
由上题，)11(2)11(22121c
b I b a I
V V V -+-=+=πσπσ
)11(1)11(1221c
b b a V I -+-=σσπ 因此 2
1211
)11(1)11(1r c
b b a V E r σσσ-+-= b r a <<
2
2211
)11(1)11(1r c
b b a V E r σσσ-+-=
c r b <<
====)()(a r D a r n S ρ2
121111
)11(1)11(1a c
b b a V E r σσσεε-+-=
====)()(c r D c r n S ρ2
221121
)11(1)11(1c c
b b a V E r σσσεε-+-=
==-===-+)()()(b r D b r D c r n n S ρ][)11(1)11(121122221b b c
b b a V
σεσεσσ--+-
3-11 平板电容器两导电平板之间为三层非理想介质，厚度分别为
电导率分别为
，平板面积为S ，如果给平板电容器加电压V ，求平板之间的电场。

解：设导电平板之间三层非理想介质中的电场均为匀强电场，分别为1E 、2E 、3E ，根据电压关系和边界条件，1E 、2E 、3E 满足以下关系 V d E d E d E =++332211 332211σσσE E E == 解此方程组得
3
21331132321d d d V
E σσσσσσσσ++=
3
21331132312d d d V
E σσσσσσσσ++=
3
21331132123d d d V
E σσσσσσσσ++=
3-12 在§3.3例2中，如果在弧形导电体两弧面之间加电压，求该导电体沿径向的电阻。

解：设流过两弧面的电流为I 。

作以与两弧面同轴的半径为r 的弧面，流过此弧面的电流密度为
ρˆJ J = ，则由 ⎰⎰⋅=S
S d J I
得
brJ I 2
π
=
由此得 br I
J π2=
br
I
J E πσσ2=
= 两弧面之间的电压为 c
c
a b I Edr V a
c c
+=
=
⎰
+ln
2πσ 该导电体沿径向的电阻为 c
c
a b I V R +==
ln
2πσ
3-13 圆球形电容器内导体半径为a ，外导体内半径为c ，内外导体之间填充两层介电常数分别为，电导分别为的非理想介质，两层非理想介质分界面半径为b ，如果内外导体间电压为V ，求电容器中的电场及界面上的电荷密度。

解：由于圆球形电容器内填充两层非理想介质，有电流流过，设电流为I 。

在圆球形电容器内取
一半径为r 的球面，流过此球面的电流密度为ρ
ˆJ J = ，则由⎰⎰⋅=S
S d J I
得 24r J I π= 或 2
4r
I
J π= 电场强度为
b r a << 2
114r I
E πσ=
c r b << 2
224r
I
E πσ= 电压为 )}11(1)11(1{42121c
b b a I dr E dr E V c
b
b
a
-+-=
+=⎰
⎰σσπ 由此求出电流与电压的关系后，电场为
212211)
11()11(r c
b b a V
E -+-=σσσ
212121
)
11()11(r c
b b a V E -+-=σσσ
内导体表面的电荷密度为
===)(11a r D n s ρ21221111)
11()11(a c b b a V
E -+-=σσσεε
外导体内表面的电荷密度为
===)(22c r D n s ρ21212221
)
11()11(c c
b b a V
E -+--=-σσσεε
媒质分界面的（驻立）电荷密度为 =-=n n s D D 123ρ212122111221
)
11()11()(b c
b b a V E E -+--=
-σσεσεσεε
3-14 求3-11题中电容器的漏电导。

解：由3-2题得 3
21331132321d d d V
E σσσσσσσσ++=
流过电容器的电流为
=
==S E S J I 111σ321331132321d d d VS
σσσσσσσσσ++
所以 ==V I
G 3
21331132321d d d S σσσσσσσσσ++
3-15 求3-13题中圆球形电容器的电容及漏电导。

解：此圆球形电容器的电容及漏电导是并串联的形式如图所示。

b a C 11411-=
πε；c b C 11422-=πε；b a G 11411-=πσ；c
b G 1142
2-=πσ
3-16 分别求3-11题及3-13题中电容器的损耗功率。

解：（1）3-11题
===G V VI P 2
3
213311322
321d d d SV σσσσσσσσσ++
（2）3-13题
bc
b
c ab a b V R V VI P 212
24σσπ-+
-=
==
3-17 边长均为a 的正方体导电槽中充满电导率为的电解液，除导电板盖的电位为V 外，槽的其余五个边界面电位为零。

求电解液中的电位。

解：此题电位所满足的方程和边界条件与题2-33相同，因此其解也与题2-33相同。

3-18 将半径为a 的半个导电球刚好埋入电导率为的大地中，如图所示。

求接地电阻。

解：设从地线流出的电流为I ，在大地中作与导体球同心，半径为r 的半球面，在此半球面上电
流密度r J J ˆ=
相同，显然满足关系 2
2r
I
J π= 电场强度为 22/r I
J E πσσ==
导电球的电位为 ⎰∞
==a
a I
Edr V πσ2
因此导电球的接地电阻为 a
I V R πσ21=
=
题3-18 图
3-19 在电导率为的大地深处，相距d 平行放置半径均为a 的无限长导体圆柱。

求导体圆柱之间单位长度的漏电导。

解：用静电比拟法。

此问题可与介质中的平行双导线比拟，其电导与电容的关系为 C G ε
σ=
因为介质中的平行双导线单位长度的电容为 a
a
D D C 24ln
2
2
-+=
πε
因此，埋地导体圆柱之间单位长度的漏电导为 a
a
D D G 24ln
2
2
-+=
πσ。