数学概念之间的三种关系
数学中的概念与定义
数学中的概念与定义概念与定义是数学学科中最基础、最重要的内容之一。
它们构成了数学的基石，为我们理解和应用数学提供了理论框架和精确定义。
本文将介绍数学中常见的概念与定义，并探讨它们在数学领域中的作用和意义。
一、数与数量的概念与定义数是数学中最基本的概念之一，它指代了一种抽象的概念，可以用来表示和计量物体的个数、大小或顺序。
数的概念与定义在数学中有着重要的地位，它们构成了数学体系的基础。
1.自然数的定义：自然数是从1开始，逐一增加形成的数列，用N 表示。
自然数是最基本的数学对象，它不包括0和负数。
2.整数的定义：整数是自然数及其相反数的集合，用Z表示。
整数是自然数的扩展，它包括正整数、负整数和0。
3.有理数的定义：有理数是可以表达为两个整数的比的数，用Q表示。
有理数包括整数、分数和小数。
在有理数中，分数是一种重要的概念，它代表了可表示为两个整数之间的比率。
4.无理数的定义：无理数是不能表示为两个整数的比的数，用R表示。
无理数包括无限不循环小数和无限循环小数，如π和根号2等。
二、集合与函数的概念与定义集合与函数是数学中另外两个重要的概念，它们描述了数学中元素之间的关系和映射。
1.集合的定义：集合是由一些确定的、互不相同的对象组成的整体。
集合中的对象称为元素，在集合论中，我们用大写字母表示集合，用大括号{}表示元素。
2.子集与真子集的定义：如果集合A的所有元素都属于集合B，那么集合A是集合B的子集。
如果集合A是集合B的子集并且集合B还有除去集合A中的元素外的其他元素，则集合A是集合B的真子集。
3.函数的定义：函数是两个集合之间的一种映射关系，它将一个集合的元素与另一个集合中的元素相对应。
一个函数可以用一个输入和一个输出来表示，输入称为定义域，输出称为值域。
三、几何与代数的概念与定义几何与代数是数学中的两个重要分支，它们有着密切的关系，相互补充和支持。
1.几何中的概念与定义：几何是研究空间、形状、大小和相对位置的数学学科。
第五章 数学概念、命题与问题解决教学
第五章 数学概念、命题与问题解决教学[教学目标] 了解数学概念的意义和结构，概念的定义和分类；理解数学概念之间的关系、定义方式、定义的规则以及分类的基本方法和规则，使学生明确数学概念教学的重要性、基本要求，并对概念教学进行若干教法探讨。
[学时] 8[教学方法] 课堂讲解；课外阅读[重点、难点] 数学概念的意义、定义方式和分类的基本方法；定义的规则，分类的规则，概念的限制与概括[教学过程]§5.1 数学概念及其教学一、数学概念(Mathematical Concept)的意义和结构概念是最基本的思维形式的一种，它与其他形式—判断、推理—是有密切联系的。
人们必须先具有关于某事物的概念。
然后才能作出关于某事物的判断、推理。
概念是判断推理的基础。
另一方面，人们通过判断、推理所获得的新认识，又要形成新的较深刻的概念，所以概念又是判断、推理的结晶。
科学史表明：“科学是与概念并肩成长起来的”。
概念具有如此重要的作用，我们在学习和数学过程中必须十分重视对概念的理解和掌握。
1、数学概念的意义[引题]师问：“等式12)1(22++=+x x x 是不是方程？”生答：“不是。
”“为什么？”“因为这个等式是个恒等式，不论x 取什么数，等式都成立，可以这个等式不是方程。
”师问：“什么叫方程？”生答：“含有未知数的等式叫做方程。
”师问：“等式12)1(22++=+x x x 含有未知数吗？”生答：“含有未知数x ，这是方程。
原来我认为含有未知数的恒等式不是方程，这是不对的。
”师问：“既然这个等式是方程，那么，这个方程有多少根?”生答：“有无穷多解。
”师问：“对。
有的方程有有限个解，例如：x +1=0只有一个解；有的方程无解，例如: 012=+x 在实数范围内无解；有的方程有无穷多解，方程12)1(22++=+x x x 就是一例。
”——以上对话是教师在引导学生明确“方程”这个概念的内涵与外延。
什么是概念的内涵和外延？先从“概念”谈起。
初中数学概念教学相关问题探究
初中数学概念教学相关问题探究摘要：数学是由概念和命题组成的知识体系。
概念是数学的砖瓦，概念是思维的细胞。
正确理解概念是掌握基础知识的前提，学生形成概念，掌握概念和运用概念的技能是提高数学教学质量的关键。
关键词：初中数学概念教学数学是由概念和命题组成的知识体系。
概念是数学的砖瓦，概念是思维的细胞。
正确理解概念是掌握基础知识的前提，学生形成概念，掌握概念和运用概念的技能是提高数学教学质量的关键。
一概念教学在教学中的作用作为一门精确的学科，培养学生的计算能力是数学教学的重要目的之一。
要使计算正确，迅速，合理，必须加强概念教学，这是因为：1 概念可以表示量与量之间的关系这种关系的典型例子是函数概念，函数表示两个数集（定义域与值域）之间的对应关系，当定义域中那些元素对应值域中的零时，则表现为求方程的解集合问题。
学生只有深刻的理解了函数的定义——两个变量之间的对应关系，才能正确的将实际生活中涉及到两个变量的问题，转化为函数问题，进而求解。
2 概念可以作为运算法则有些运算法则是定义，有些运算法则是定理。
如，我们定义平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
虽然是以概念形式给出，而本质上是我们求平方根的运算法则。
3 概念作为计算结果有些概念作为运算结果，如，算术平均值，方差等。
只有确切掌握这些概念，便立即可以进行计算。
4 概念本身可推导出某些量的计算公式有些概念定义中表面没有计算，但却可以推出某些计算公式，例如，扇形面积公式就是借助扇形概念来推导的。
综上所述，概念教学是基础的基础，只有基础打牢，学生才能概念清楚，计算准确，判断正确，推理证明合乎逻辑。
只有这样才能有精力有可能去进一步解决综合性较强的题目，从而收到事半功倍之效。
二概念的内涵与外延概念的内涵就是那个概念所包含的一切对象的共同的本质属性的总和。
例如，在“平行四边形”这一概念的内涵中，包含着一切平行四边形所共有的两个本质属性，有四条边，两组对边互相平行。
《逻辑的力量——发现潜藏的逻辑错误》 统编版高中语文选择性必修上册
假二选一也称错误二分，错误二难。一种因对事物或事物的可能性的性质或数量缺乏准确认识而引起的谬误。在实际思维过程中，错误二难一方面表现为把相容选言关系错误的当成不相容选言关系。
在本单元中要学的逻辑是指思维的规律和推理、论证的本领。
导入新课
逻辑的力量
发现潜藏的逻辑谬误
任务一：初识逻辑
1.逻辑是什么？ 《现代汉语》释义为思维的规律和规则。 逻辑通过概念、判断来进行推理、论证，所以要学习逻辑念”
①含义：心理学上认为，概念是人脑对客观事物本质的反映，这种反映是以词来标示和记载的。 概念是思维活动的结果和产物，同时又是思维活动借以进行的单元。
（四）充足理由律 在同一思维和论证过程中，一个思想被确定为真，要有充足的理由。要点：①对所要论证的观点必须给出理由。②给出的理由必须真实。③从给出的理由必须能够推出所要论证的论点。 常见的逻辑错误：“没有理由”“理由虚假”“推不出来”。如：①送来的时候还好好的，怎么到你们医院之后就不行了呢？②小李结婚后就离开了公司，一定是他新婚夫人让他辞去这份工作的。③没撞，你为什么要扶？
互相反对：两个命题互相反对，是指这两个命题不能同真，但可以同假。小明是个男孩子。 小明是个女孩子。 这两个命题是互相矛盾的，不能同真，也不能同假，必有一真一假；小明在写语文作业。 小明在写数学作业。这两个命题是互相反对的，不能同真，但可以同假。
矛盾律的要求是对两个互相矛盾或互相反对的命题,不能同时肯定,必须否定其中的一个。即A不能既是B又不是B。违反矛盾律要求的逻辑错误 ：自相矛盾。
两个概念的外延完全不同，而且非此即彼
可导可微可积连续之间的关系-概述说明以及解释
可导可微可积连续之间的关系-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分旨在介绍本文所讨论的主题——可导、可微、可积和连续之间的关系，并为读者提供一个全面的背景和引导。
本文将探讨这些数学概念之间的联系，以揭示它们之间的内在关联，以及它们在数学和物理学中的应用。
在数学分析中，我们经常遇到函数的性质和特征，而可导性、可微性、可积性和连续性是其中最基本也是最常见的一些性质。
它们描述了函数在不同方面的光滑程度和可测性。
理解这些概念之间的相互关系，对于深入研究微积分、实分析、复分析等领域的数学知识，以及在物理学和工程学中的应用是至关重要的。
本文将依次探讨可导和可微的关系、可微和可积的关系、可导和可积的关系、可微和连续的关系、可积和连续的关系、可导和连续的关系等六个方面。
通过分析这些关系，我们将揭示它们之间的数学联系和性质，并进一步讨论它们在实际应用中的意义和重要性。
对于初学者来说，理解和区分这些概念可能存在一定的难度。
因此，在本文中，我们将从简单到复杂，一步一步地引导读者理解这些概念的定义、性质和相互关系。
通过清晰的解释和具体的例子，我们将帮助读者建立起对这些数学概念的深入理解，并培养他们在实际问题中运用这些概念的能力。
最后，本文的结论部分将对可导、可微、可积和连续之间的关系进行总结，并提供一些对研究和应用的启示和展望。
我们将强调这些概念的重要性和广泛应用的前景，鼓励读者进一步探索和研究这些数学概念，以及它们在不同领域的应用。
通过理解和应用这些概念，我们可以更好地解释和预测自然界和科学现象，并在技术和工程领域中做出更精确的计算和推断。
总之，本文将为读者提供一个深入了解和探索可导、可微、可积和连续之间关系的机会。
通过解释这些概念的定义、性质和相互关系，我们将帮助读者理清思路、认识到它们的重要性，并为将来的研究和应用打下坚实的基础。
希望读者通过本文的阅读，能够对这些数学概念有更全面的认识和理解。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将围绕可导、可微、可积和连续这四个数学概念展开讨论，探讨它们之间的关系。
数学中的线性关系与函数
数学中的线性关系与函数在数学中，线性关系和函数是两个非常重要的概念。
线性关系是指两个变量之间存在着直接的比例或相关关系，而函数则更加广泛地描述了数学中各种关系和规律。
本文将会详细介绍线性关系和函数在数学中的应用和性质，并阐述它们在现实生活中的重要价值。
一、线性关系1.1 线性关系的定义与表达方式线性关系是指两个变量之间存在着直接的比例关系，可以用以下的一般形式来表示：y = kx + b。
其中，x和y分别代表两个变量，k为直线的斜率，b为直线的截距。
这个形式也被称为“斜截式”。
1.2 线性关系的性质线性关系具有以下几个重要的性质：（1）直线的斜率k代表着变量之间的比例关系，可以用来描述变量的变化情况。
（2）直线的截距b表示了当x为0时，y的值，即在一个变量为0的情况下另一个变量的值。
（3）在直线上，任意两点的斜率都是相同的，这也是直线性质的重要特点。
（4）线性关系可以用来预测和推测变量之间的关系，有着广泛的应用价值。
二、函数2.1 函数的定义和符号表示函数是一种将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的元素的规则。
函数可以用以下的形式来表示：f(x) = y。
其中，x称为自变量，y称为因变量。
函数可以用各种符号表示，如f、g、h等。
2.2 函数的性质函数具有以下几个重要的性质：（1）每个自变量对应唯一的因变量，即函数中的每个输入值都有确定的输出值。
（2）函数可以用图像来表示，其中横坐标为自变量，纵坐标为因变量，通过图像可以更直观地理解函数的性质和规律。
（3）函数可以进行运算，如加减乘除、复合等，这样可以进一步揭示函数之间的关系和变化规律。
（4）函数可以进行反函数的运算，即通过函数的逆运算将因变量重新映射回自变量，这有助于解决实际问题中的逆向推导和求解。
三、线性关系与函数的关系线性关系是函数的一种特殊形式，可以看作是函数中的一种简单情况。
线性关系是指当自变量递增或递减时，因变量也按照一定比例线性变化的情况。
数学关系性知识点总结
数学关系性知识点总结在数学中，关系性是一个非常重要的概念。
关系性是指两个或多个变量之间的交互联系。
通常情况下，关系性可以用来描述某种规律、趋势、比例或者其他类型的联系。
在数学中，关系性有着广泛的应用，包括代数、几何、概率统计等各个领域。
本文将对数学中常见的一些关系性知识点进行总结和归纳，包括关系的定义、性质、图像、应用等方面，以便读者更好地理解和应用这些知识。
一、关系的定义在数学中，关系可以描述两个或多个数或者对象之间的联系。
一般来说，数学中的关系通常是指两个集合之间的对应关系。
如果A和B是两个集合，那么从A到B的关系可以用一个包含有序对的集合来表示，通常用R表示。
如果一个有序对(x,y)属于R，则称x与y之间存在关系R，可以表示为xRy。
关系可以分为多种类型，包括函数关系、等价关系、序关系等。
其中，函数关系是最常见的一种关系，下面我们将对函数关系进行详细介绍。
二、函数关系在数学中，函数是一种特殊的关系，它是指一个自变量的值对应一个因变量的值的关系。
一般来说，函数通常用f(x)表示，其中x为自变量，f(x)为因变量。
函数关系包括单值函数、多值函数、显函数、隐函数等多种类型。
1. 单值函数当一个自变量只对应一个确定的因变量时，我们称这样的函数为单值函数。
单值函数通常可以用一个解析式来表示，如y=f(x)。
对于单值函数，根据给定的自变量可以唯一确定对应的因变量。
2. 多值函数相对于单值函数，多值函数指的是一个自变量对应多个因变量的情况。
多值函数通常用解析式f(x)={y1,y2,...,yn}来表示。
多值函数在数学中也有重要的应用，比如在复数的运算中就会涉及到多值函数。
3. 显函数和隐函数在数学中，函数可以分为显函数和隐函数两种类型。
显函数是指因变量可以用自变量的表达式来表示的函数，如y=f(x)，而隐函数则是指因变量不能用自变量的表达式来表示的函数，如x^2+y^2=1。
3. 函数图像函数的图像是函数关系在平面上的几何表示。
简述数学概念之间的关系
①反对关系(对立关系); ②矛盾关系。
Байду номын сангаас
谢谢
数学概念之间具有哪些 关系？
数学概念间具有哪些关系？ 根据两个概念的外延有无共同之处,概念间的关系分为相容关系和不相容关系两类。 (1)概念间的相容关系是指外延至少有一部分重合的两个概念之间的关系,这两个概念称 为相容概念。故相容关系又分同一关系、属种关系和交叉关系三种: ①同一关系; ②属种关系; ③交叉关系； (2)概念间的不相容关系是指属于同一个属概念中的两个在外延上没有任何重合部分的 种概念之间的关系。不相容关系又分为反对关系和矛盾关系。
数列的上下极限概念以及之间关系
数列的上下极限概念以及之间关系数列是由一系列有序的数字按照一定的规律排列而成的序列。
在数学中，数列的上下极限是对数列的一种特殊性质描述。
上下极限可以帮助我们研究数列的趋势，并且可以应用于各种数学问题中。
本文将详细介绍数列的上下极限概念及其之间的关系。
首先，我们来定义数列的上极限和下极限。
定义1：数列{an}的上极限是指当n趋向于无穷大时，数列的子数列{an_k}中的最大极限，记作lim sup n→∞ an = sup{lim n→∞ an_k}。
定义2：数列{an}的下极限是指当n趋向于无穷大时，数列的子数列{an_k}中的最小极限，记作lim inf n→∞ an = inf{lim n→∞ an_k}。
上极限和下极限的定义有些抽象，通过几个实例来解释会更容易理解。
例子1：考虑数列{an} = {(-1)^n/n}，我们可以找到它的一些子数列：子数列1：a1,a3,a5,…，对应的极限是1；子数列2：a2,a4,a6,…，对应的极限是-1；子数列3：a1,a2,a3,…，虽然这个子数列并没有收敛，但我们可以找到一个上界和下界（1和-1），所以上、下极限存在，分别是1和-1。
可以看出，这个数列的上极限是1，下极限是-1。
例子2：考虑数列{an} = {sin(n)}，我们发现这个数列并没有收敛，它在[-1,1]范围内不断波动。
虽然无穷多的子数列都没有极限，但我们可以找到一个上界和下界（1和-1），所以上、下极限存在，分别是1和-1。
可以看出，这个数列的上极限是1，下极限是-1。
现在我们来研究数列的上极限和下极限之间的关系。
定理1：对于任何数列{an}，下极限小于等于上极限，即lim inf n→∞ an ≤ lim sup n→∞ an。
证明：设l=lim inf n→∞ an，u=lim sup n→∞ an。
根据定义，对于任意的ε>0，存在子数列{a1_k}和{a2_k}，使得lim n→∞ a1_k = l-ε，lim n→∞ a2_k = u+ε。
关系性质的总结知识点
关系性质的总结知识点关系是数学中一个重要的概念，它描述了两个或更多对象之间的相互作用或联系。
在数学中，我们经常用关系来描述集合之间的对应关系、大小关系等，因此关系性质是数学中很重要的一部分。
本文将总结关系性质的相关知识点，包括关系的定义、判断关系的性质、关系的分类、关系的运算以及关系性质的应用等方面。
一、关系的定义在数学中，关系是指集合之间的一种对应关系，通常用集合的元素对来表示。
如果集合A和集合B之间存在一个对应关系R，那么可以用R={(a, b)|a∈A, b∈B}来表示这个关系。
其中(a, b)表示集合A中的元素a和集合B中的元素b之间存在某种对应关系。
在关系R中，元素a被称为关系的源点，元素b被称为关系的目标点。
例如，如果A={1, 2, 3}，B={4, 5, 6}，那么R={(1, 4), (2, 5), (3, 6)}表示A和B之间的一个对应关系。
二、判断关系的性质在数学中，我们经常需要判断一个给定的关系是否满足某些性质。
常见的关系性质包括自反性、对称性、传递性、反自反性、反对称性和等价性等。
下面我们来逐一介绍这些关系性质的定义和判断方法。
1. 自反性：如果关系R中的每个元素a都和自己存在对应关系，那么我们称关系R是自反的。
即对于任意a∈A，都有(a, a)∈R。
例如，集合A={1, 2, 3}，关系R={(1, 1), (2, 2), (3, 3)}就是自反的。
2. 对称性：如果关系R中的每个元素(a, b)都有对应的(b, a)，那么我们称关系R是对称的。
即对于任意(a, b)∈R，都有(b, a)∈R。
例如，集合A={1, 2, 3}，B={4, 5, 6}，关系R={(1, 4), (2, 5), (3, 6)}就是对称的。
3. 传递性：如果关系R中的元素(a, b)和(b, c)都存在，那么(a, c)也存在，那么我们称关系R是传递的。
即对于任意(a, b)∈R和(b, c)∈R，都有(a, c)∈R。
同余关系的概念与定理
同余关系的概念与定理同余关系是离散数学中一个重要的概念，它在数论、代数和密码学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍同余关系的概念和相关定理。
一、同余关系的概念同余关系是数论中的一个基本概念，它描述了两个数之间的整除关系。
具体来说，给定两个整数a和b，如果它们除以一个正整数m所得的余数相同，即a和b对m同余，记作a≡b(mod m)，则称a和b关于模m同余。
二、同余关系的性质同余关系具有以下三个性质：1.自反性：对于任意整数a，a≡a(mod m)恒成立。
即任意整数与自身关于模m同余。
2.对称性：对于任意整数a和b，若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。
即若a与b关于模m同余，则b与a关于模m同余。
3.传递性：对于任意整数a、b和c，若a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。
即若a与b关于模m同余，且b与c关于模m同余，则a与c关于模m同余。
三、同余关系的定理1. 除法定理：对于任意整数a和正整数m，存在唯一的整数q和r，使得a=qm+r，其中0≤r<m。
即任意整数a可以表示为以m为模的除法形式。
2. 模运算性质：- 同余类的性质：对于任意整数a和正整数m，a关于模m的同余类可以表示为[a]m={b∈Z | b≡a(mod m)}，其中Z表示整数集合。
同余类[a]m是所有与a关于模m同余的整数构成的集合。
- 同余的运算性质：对于任意整数a、b和正整数m，若a≡a' (mod m)且b≡b' (mod m)，则有a+b≡a'+b' (mod m)，a-b≡a'-b' (mod m)，ab≡a'b' (mod m)。
3. 唯一性定理：对于给定的整数a、b和正整数m，存在整数x，使得a≡b (mod m)的充分必要条件是a和b对m的余数相同。
即a和b关于模m同余的充分必要条件是它们对m的余数相同。
4. 同余定理：对于任意整数a、b和正整数m，若a≡b (mod m)，则a^n≡b^n (mod m)，其中n是正整数。
几种级数之间的关系
几种级数之间的关系1.引言1.1 概述级数是数学中重要的概念，它是由无穷多个数相加或相乘而得到的一种数列形式。
在数学中，有许多不同种类的级数，它们之间存在着一些重要的关系。
本文将重点讨论几种常见的级数之间的关系。
首先，我们将介绍第一种级数关系。
这种关系是指当一个级数的每一项都小于或等于另一个级数的对应项时，我们可以说第一个级数是第二个级数的子级数。
我们将讨论子级数的性质以及如何判断一个级数是否是另一个级数的子级数。
其次，我们将探讨第二种级数关系。
这种关系是指当一个级数的每一项都大于或等于另一个级数的对应项时，我们可以说第一个级数是第二个级数的超级数。
我们将研究超级数的性质以及如何判断一个级数是否是另一个级数的超级数。
最后，我们将讨论第三种级数关系。
这种关系是指当一个级数的部分项是另一个级数的部分项的和时，我们可以说第一个级数是第二个级数的部分和级数。
我们将介绍部分和级数的定义和性质，并研究如何计算一个级数的部分和。
通过对这三种级数关系的研究，我们将能够更好地理解级数之间的关系并运用这些关系解决实际问题。
本文的目的是为读者提供一个全面的概述，帮助读者对不同种类的级数关系有一个清晰的认识，并为进一步研究和应用级数提供一定的指导。
1.2 文章结构本文将以几种级数之间的关系为主题进行探讨。
文章分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，我们将对本文的主要内容进行概述，介绍几种级数之间的关系以及本文的目的。
在正文部分，我们将详细讨论三种不同的级数关系。
首先，我们将会介绍第一种级数关系，重点讨论其中的要点1和要点2。
接着，我们将深入探讨第二种级数关系，同样会列举其中的要点1和要点2。
最后，我们将介绍第三种级数关系，并分析其中的要点1和要点2。
在结论部分，我们将对本文进行总结，并对三种级数关系进行对比，找出它们之间的相似之处和不同之处。
同时，我们也会展望未来可能的研究方向，以期为进一步研究提供一定的启示和参考。
数学规则的学习方法
数学规则的学习方法数学规则的学习方法一、教学规则及其掌握的含义学生对数学规则的掌握主要体现在以下几个方面。
二、小学数学规则学习的基本形式数学规则学习和掌握的关键是获得数学概念之间关系的理解，而数学概念之间关系的理解又依赖于新规则与原有认知结构中有关知识的联系，数学论文《数学规则的学习》。
由于新规则和原有认知结构中的关系可以分为下位关系、上位关系和并列关系三种，因此数学规则的学习也可以分为以下三种基本形式。
l．下位学习。
如果原有认知结构中有在概括层次上高于所学新规则的知识，那么新规则和原有认知结构中的有关知识就构成下位关系，利用这种关系获得数学规则的学习形式叫做下位学习。
在下位学习中，新规则揭示的概念与概念之间的关系是从原有认知结构里概括层次较高的知识中分化出来的，新规则可以直接和原有认知结构中的有关数学知识发生联系，并直接纳入原有认知结构使其变得更加充实。
很明显，在下位学习中新规则同原有认知结构相互作用的方式是同化，其学习过程主要是通过分化使有关数学认知结构充实、完善，并形成新的数学认知结构的过程。
根据所学数学规则与原有认知结构中有关数学知识之间的`关系，又可以将下位学习具体划分为派生类属学习和相关类属学习两种不同形式。
前者是指将要学习的新规则整合到原有认知结构的有关内容中去，新规则对原有知识只起支持或证实的作用，新规则通过新旧内容的相互作用而获得意义，原有认知结构不发生质的变化。
如学生学习圆柱体的体积计算方法，由于他们在前面长方体的体积计算方法学习中已经知道了长方体的体积等于底面积乘以高，并且掌握了其计算公式V＝sh，所以学习时就可以将它作为前面已有计算方法的一种特例，通过派生类属学习的形式加以掌握。
相关类属学习是指将要学习的新规则整合到原有认知结构中的有关内容中去，新旧内容整合的结果不但使新规则获得意义，并且原有认知结构被扩充或修改，使原有认知结构发生变化。
如梯形面积计算公式虽然不能直接由平行四边形面积计算公式派生出来，但是它可以通过割补拼合转化成平行四边形，从而得出其面积计算公式s＝（a＋b）h÷2。
逻辑学第二章第三节概念外延间的关系
2.真包含关系
（1）界定：概念A与概念B之间有真包含关系，当且 仅当，对于任一对象x，如果x属于B，则x也属于A； 并且存在对象y，y属于A但是不属于B。
（2）欧拉图
A
B
在对某起生产事故原因的调查中，70%的人 认为是设备故障，30%是人认为是违章操作， 25%的人认为原因不清，需要深入调查。
以下哪项最能合理地解释上述看来包含矛盾 的陈述？( )
A. 被调查的有125人 B. 有的被调查者后来改变了自己的观点 C. 有的被调查者认为事故的发生既有设备故
某大学某寝室中住着若干个学生.其中, 一个是哈尔滨人,两个是北方人,一个是广 东人,两个在法律系,三个是进修生.因此,该 寝室中恰好有8人.
以下各项关于该寝室的断定是真的,都 能加强上述论证,除了:
A.题干中的介绍涉及了寝室中所有的人. B.广东学生在法律系 C.哈尔滨学生在财经系. D.进修生都是南方人. E.该校法律系不招收进修生.
（2）欧拉图
AB
（3）欧拉图的逻辑涵义： 所有A是B，并且所有B 是A
1.全同关系（同一关系）
例： ①氢元素是原子量最小的元素。 ②偶数指的是能被2整除的整数。 ③人是最高等动物。 ④北京是中华人民共和国首都。
但是，外延上具有全同关系的两个概念，其内涵未 必相同。
例：维多利亚办完公务，已经深夜。来到卧室，她敲了敲
（2）欧拉图
A：属概念
B A B：种概念
明确数学概念与定义的逻辑关系
明确数学概念与定义的逻辑关系数学概念不同于数学定义。
数学概念是从数和形两方面揭示客观事物本质属性的思维产物，它反映了数学概念的内容；数学定义是对数学概念的语言表达，它是数学概念的外壳，反映了数学概念的形式。
对同一个数学概念，可以有不同的定义方式。
比如对平行四边形，既可以定义为“两组对边分别平行的四边形”，也可以定义为“一组对边平行且相等的四边形”，这主要取决于采用哪种定义，更容易凸显出对象的本质，或更容易被学生理解和接受。
当然，这些定义之间是相互等价的。
需要注意的是，由于概念的定义具有人为性，因此定义方式不当，便难以反映出概念的本质属性。
比如，在小学把“角”定义为“具有公共端点的两条射线组成的图形”，这并未反映出角的本质，因为角的本质并非体现在可见的“图形”上，而是体现在不可见的“张口大小”上。
3.正确认识数学概念的逻辑分类如果将一个概念的外延集，按照某一属性分成若干个子集，也就是将一个属概念划分为若干个种概念，这就是明确概念外延的方法——分类。
被分的属概念称为划分的母项，分得的若干种概念称为划分的子项，所依据的属性称为划分的标准[1]。
通过概念的分类，可以使有关的概念系统和完整，同时使被分类的概念的外延更清楚、深刻和具体。
但对概念分类时应注意一些问题，比如每次分类只能依据一个标准、分类要不重不漏、不能越级进行分类等。
在小学数学教学中，经常有教师会问：菱形是平行四边形吗？正方形是长方形吗？平行四边形是梯形吗？圆是扇形吗？等等。
这里就涉及到对概念的逻辑分类问题。
概念的逻辑分类必须基于概念的定义。
比如在教材中，将正方形定义为一种特殊的长方形，菱形定义为一种特殊的平行四边形，因此正方形也是长方形，菱形也是平行四边形，两者之间是包含关系。
但平行四边形并不是用梯形作为属概念来定义的，平行四边形与梯形均是把四边形作为属概念来定义的，因此两者之间是并立关系，把平行四边形当作特殊梯形是不恰当的。
至于圆是不是扇形，单从扇形定义无法判别的话，则通常采用约定的方式，即约定一类对象中的退化情形是否属于该类，这里并不涉及正确与否的科学性问题，仅仅是一种约定俗成的人为规定。
教师招考中学数学数学概念的定义
数学概念一、数学概念的意义1．概念的意义逻辑学认为，概念是反映事物(思维对象)及其特有属性(本质属性)的思维形式。
人们对客观事物的认识一般是通过感觉、知觉、思维形成观念(印象或表象)，这是感性认识阶段，在感性认识的基础上，通过对客观事物的分析、综合、比较、抽象、概括、归纳与演绎等一系列思维活动，从而认识事物的本质属性形成概念，这是认识的理性阶段。
理性认识在实践基础上不断深化，形成的概念又会进一步发展。
2．数学概念的意义数学概念是一类特殊的概念，是其所反映的事物在现实世界中的空间形式和数量关系及其本质属性在思维中的反映。
如平行四边形的概念在人的思维中反映出：这样的对象是四边形形状的而且两组对边是分别平行的。
这就是四边形的本质属性。
数学概念在数学思维中起着十分重要的作用，它是最基本的思维形式。
判断是由概念构成的，推理和证明又是由判断构成的，可以说，数学概念是数学的细胞。
概念是反映客观事物的思想，是客观事物在人们头脑中的抽象概括，是看不见摸不着的。
要通过语词表达出来，才便于人们研究、交流，数学概念也不例外。
如平行四边形概念用语词表达就是：“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”。
数学概念的语词表达的一般形式是“(概念的本质属性)……叫做……(概念的名词)”。
二、数学概念的内涵和外延及它们之间的反变关系1．数学概念的内涵和外延客观世界的事物千差万别，反映在人的思维中也就千差万别，所形成的概念也千差万别，语词表达出来也是如此。
但它们都有一个共同特点，都是用来认识和区别事物的。
我们把一个概念所反映的所有对象的共同本质属性的总和，叫做这个概念的内涵。
如平行四边形的内涵就是平行四边形所代表的所有对象的共同本质属性的总和：有四条边，两组对边分别平行……我们把适合概念的所有对象的范围，叫做概念的外延。
如有理数和无理数，就是实数这个概念的外延。
同样，实数和虚数，也是复数这个概念的外延。
内涵和外延是概念的两个方面，正确的思维要求概念明确，明确概念即是要明确概念的内涵和外延。
数学概念间的关系
略论数学概念之间的关系客观对象之间所存在的这样或那样的联系，反映到思维中来，便是概念与概念间的相互关系。
为了达到明确概念、掌握概念和使用概念的目的，理清概念间的基本关系，以便在“联系”之中进一步考察概念是非常必要的。
例如，方根和幂这两个概念，我们知道它们都是相对概念，并且它们共处于同一种数学关系（x n=a中）。
下面我们将对这种数学关系进行具体考察，分析它的特点，区别它的类属，从而为学习概念奠定基础。
数学概念之间的关系，主要是从外延方面来着手区分的。
1、同一关系概念的同一关系，建立在以下两个事实之上，其一，客观对象的本质属性不是绝对的，也不是唯一的，或者说，等价命题的客观存在。
例如，对“等边三角形”来说，“三条边相等”可以作为它的种差，“三个内角相等”也可以作为它的种差，这两个表述该类三角形本质属性的命题是等价的。
它们都可以分别用来表述等边三角形的内涵特征（这样就出现了第二个事实）。
其二，对于同一类对象的认识，由于观察角度不同而往往形成不同的概念。
例如，对某类三角形的认识，若从边上去考察，可以获得“三条边相等的三角形”的概念；若从内角方面去考察，则又形成“三个内角相等的三角形”的概念，由于“三条边相等”与“三个内角相等”是等价的命题，所以以上两个概念只是对同一对象的两种不同属性的客观而真实的反映，它们的内涵虽然不完全相同，但在外延上却是完全相同的。
外延完全相同的两个概念之间的关系，叫做概念间的同一关系，处于同一关系下的两个概念，叫做同一概念。
例如，直线y=kx+b和一次函数的图象,平方和二次方，立方和三次方，“小学学过的数”(或称算术数)和正数，矩形和长方形，立方体和正方体，相似比和相似系数，等等。
如果用圆表示处于同一关系下的两个概念的外延，那么，这两个圆应当完全重合。
如图1所示。
教师如果搞不清这个问题，就容易出现把意义不同但却相近，外观相似或名称相仿的两个概念与同一概念混为一谈的现象，这就是人们常说的混淆数学概念的现象。
属于互逆的概念概括
属于互逆的概念概括互逆的概念是指两个概念之间存在一种相互对立、相互排斥的关系。
在不同领域中，互逆的概念有许多种，下面将分别从哲学、数学和物理学的角度来探讨互逆的概念。
在哲学领域中，存在许多抽象的概念是互逆的。
例如，存在与非存在、自由与造化、好与恶、真理与谬误等。
这些概念之间的互逆关系是哲学思考的基础之一。
对于存在与非存在的互逆关系来说，一切存在的东西都有一个相应的不存在的东西。
例如，如果世界上存在真理，那么就必然存在谬误。
自由与造化也是互逆关系，自由是指人们按照自己的意愿行动的能力，而造化则是指由于种种条件的限制而无法实现完全自由。
好与恶也是互逆关系，每种好的事物都有对应的恶的事物，它们是相互对立的。
真理与谬误也是互逆的概念，真理是指与事实相符合的陈述，而谬误则是指与事实不符的陈述。
在数学领域中，互逆的概念主要涉及运算和集合论。
例如，加法与减法是互逆的运算，两者相互对立又相互依赖。
加法是指将两个数相加得到一个总和，而减法则是指将一个数从另一个数中减去得到差。
如果我们将两个数相加，然后再减去其中一个数，最终的结果必然等于另一个数。
因此，加法和减法可以被看做是互逆运算。
类似地，乘法和除法，幂和对数等也是互逆的运算概念。
在集合论中，互逆的概念体现在集合的补集上。
如果给定一个集合A，那么A和A的补集是互逆的概念。
补集是指所有不属于集合A的元素的集合。
例如，如果A是所有偶数的集合，那么A的补集就是所有奇数的集合。
在物理学领域中，互逆的概念可以从不同的角度来考虑。
例如，在运动学中，速度和加速度是互逆概念。
速度是指物体在单位时间内移动的距离，而加速度是指单位时间内物体速度的变化量。
速度和加速度是相互依赖的，变化的速度决定了加速度的大小。
在热力学中，温度和热量也是互逆的概念。
温度是物体内部微观粒子热运动的平均能量，而热量是指由于温度差而传递的能量。
温度是衡量物体热能状态的指标，而热量是物体之间热能的传递方式。
总结来说，互逆的概念在不同的领域中具有不同的含义和体现方式。
数学概念与实际情景的联系与应用实例分析
矩阵：用于处理 实际问题中的多 维数据，如数据 分析、图像处理 等
概率论：解决实 际问题中的随机 事件问题，如天 气预报、风险评 估等
微积分：解决实 际问题中的连续 变化问题，如物 理学、工程学等
面积计算：使用几何概念计算矩形、三角形、圆形等图形的面积 体积计算：使用几何概念计算长方体、圆柱体、球体等立体图形的体积 角度计算：使用几何概念计算直线、曲线、多边形等图形的角度 距离计算：使用几何概念计算两点、多点之间的距离和方位
数学概念在实际情景中的应 用可以促进我们创新和创造
数学概念在实际情景中的应 用可以增强我们的问题解决
能力
数学概念与实际情景的联系：帮助学生理解抽象的数学概念，提高学习兴趣 教学策略：采用案例教学法，将数学概念与实际情景相结合，提高教学效果 教学评价：关注学生解决问题的能力，评价学生的学习效果 教师培训：提高教师对数学概念与实际情景联系的认识，提升教学能力
数学概念：函数 添加标题
数学概念：向量 添加标题
数学概念：概率 添加标题
数学概念：微积分 添加标题
添加标题
添加标题
实际情景：描述变量之间的 关系
添加标题
实际情景：描述力和速度的 方向和大小
添加标题
实际情景：解决变化率和极 限问题
实际情景：预测事件的可能 性
线性方程：解决 实际问题中的线 性关系问题，如 商品价格、利率 等
养和思维能力。
展望未来，数学概 念与实际情景的联 系与应用实例分析 将继续发挥重要作 用，如人工智能、 大数据等领域的发 展都离不开数学概 念与实际情景的联 系与应用实例分析。
数学概念与实际 情景的联系将更 加紧密，数学将 在更多领域得到 应用。
数学教育将更加 注重培养学生的 实际应用能力， 让学生更好地理 解数学概念与实 际情景的联系。
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只有一组 对边平行
两组对边 分别平行
（其一）并列关系
• ⑦两类特殊的梯形
直角梯形 等腰梯形
梯形
（其一）并列关系
• ⑧两条平行直线(AB∥CD)
直线AB 直线C 对应相等
SSS
已知 两边及一角 对应相等
不一定
已知 一边及两角 对应相等
一定
（其一）并列关系
（其一）并列关系
• ②两条线段的大小关系
a＞b a＝b a＜b
（其一）并列关系
• ③角的分类
锐角 直角 钝角
（其一）并列关系
• ④三角形按角的分类
锐角
三角形
直角
三角形
钝角
三角形
（其一）并列关系
• ⑤三角形按边的分类
不等边 等腰 三角形 三角形
（其一）并列关系
• ⑥四边形的分类
两组对边 都不平行
（其一）并列关系
• ⒀整数（正整数、零指数、负整数）指数 幂的意义
• Ⅰ、an=aa…a； • Ⅱ、a0=1（a≠0）； • Ⅲ、a-n=an的倒数；
（其二）交叉关系
• ①两条相交直线
直线m 直线n
（其二）交叉关系
• ②等腰三角形与直角三角形
等腰三角形 直角三角形
（其二）交叉关系
• ③矩形与菱形
数学概念之间的三种关系 （其一）并列关系
①两条直线的位置关系
平行 相交
平行四边形；
矩形； 菱形； 正方形；
等腰梯形；
特殊四边形 对角线所具有的性质
对比
对角线
①互相 平分；
是；
②相等；
不一定
是；
是
③互相 垂直； 不一定
不一定
是； 是； 否；
不一定 是 是
是
是
不一定
④平分 对角； 不一定 不一定
是
是
否
• ⑩三角形全等的判定
两边及夹角
两边及其中一边的对角
对应相等
对应相等
SAS
不一定
两边及一角
对应相等
（其一）并列关系
• ⑾三角形全等的判定
两角及夹边 对应相等
ASA
两角及其中一角的对边 对应相等
AAS
一边及两角 对应相等
（其一）并列关系
• ⑿不一定可以画出唯一的形状、大小都确 定的三角形的条件是
• Ⅰ、已知三边的大小； • Ⅱ、已知两边及夹角的大小； • Ⅲ、已知两边及其中一边的对角的大小； • Ⅳ、已知一边及两角的大小；
（其三）包含关系
• ⑤等腰三角形与等腰直角三角形
等腰三角形 等腰直角三角形
（其三）包含关系
• ④直角三角形与等腰直角三角形
直角三角形 等腰直角三角形
（其三）包含关系
•⑥
四边形
平行四边形
矩形 正方形
（其三）包含关系
•⑦
四边形
正方形
矩形
（其三）包含关系
•⑧
四边形
平行四边形
菱形 正方形
（其三）包含关系
矩形 菱形
（其二）交叉关系
• ④不大于与不小于
不大于 不小于
（其三）包含关系
• ①直线与它所经过的点
直线
直线所经过的点
（其三）包含关系
• ②三角形与直角三角形
三角形 直角三角形
（其三）包含关系
• ③三角形与等腰三角形
三角形 等腰三角形
（其三）包含关系
• ④等腰三角形与等边三角形
等腰三角形
等边三角形
行
四3
四
边4 边
形5形
A
a
a菱
b
c形
正 方 B形
平行四边形的判定
1
四边形 A 菱形 正方形 2
等腰梯形的判定
四边形
1
梯形 2 等腰梯形
3
平行四边形、矩形、菱形、正方形 的判定及相互关系
平
四 边
行 四
形
边
形
矩形 正方形 矩形 正方形
菱形
•⑨
菱形 正方形
四边形
（其三）包含关系
• ⑩三角形全等的判定 • （两边及一角对应相等）；
两边及一角 对应相等 不一定
两边及夹角 对应相等
SAS
一定
平行四边形的判定
1
平
2
行
四3
四
边4 边
形5形
A AA
A矩
B形
a b c
正 方 形
平行四边形的判定
1
矩形 A
四边形
2
正方形
3
平行四边形的判定
1
平
2