数学建模层次分析法题目及程序
数学建模——层次分析法
在大石头中的重量比）可用向量
且
n
w ( w1 , w2 ,..., wn
T 表示， )
. 显然， 的各个列向量与 w 1 A i
i 1
w
仅相差一个比例
因子。 一般地，如果一个正互反阵
A
满足 （8.2.4）
aij a jk aik , i, j, k 1, 2,..., n
则
3 计算权向量并做一致性检验
定理1
当
n 阶正互反阵 A的最大特征根 n，
时
当且仅
A为一致阵。 由于 连续的依赖于 aii ，则 比 n 大的越多， 的不 A
n
一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因
素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引 起的判断误差越大。因而可以用
RI。方法为：
A1 , A2 ,, A500
2.则可得一致性指标 ： CI1 , CI 2 ,CI500
CI1 CI 2 CI500 RI 500
n RI
1 2 500 n 500 n 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
aii 1 ，如用 C1 , C2 ,..., Cn
2 构造成对比较矩阵
2.比较尺度 • 当比较两个可能具有不同性质的因素 Ci 和 C j 对于一个上层 因素 O 的影响时，Saaty提出用1—9尺度（见下表），即aij 的取值范围是1,2,,9 ，及其互反数1,1/ 2,,1/ 9 。其理由 如下：
重，景色次之，居住条件再次。 问题1.怎样由成对比较阵确定诸因素 C , C ,..., C 对上层因 1 2 n 素
数学建模——层次分析法模型
危害性分级模型的建立与求解1.基于层次分析模型对恐怖袭击事件危害性指标建立层次结构模型考虑到恐怖袭击事件的危害性、人员伤亡、经济损失、发生的时机、地域、针对的对象等等诸多因素有关，在构建指标体系时，无法全部考虑到所有指标，因此本文采用层次分析模型，以定性和定量相结合的方法处理指标。
根据上述分析可知, 影响恐怖事件危险性级别的因素有很多，但是，在构建综合评价指标体系时，很难一次性考虑全部细节，此时可以将问题分解成多个层次，而每个层次又包含多个要素，依据大系统理论的分解协调原理，由粗到细，从全局到局部地逐步深入分析，把危险性级别评价的诸多影响因素条理化、层次化，从而建立一个递阶层次分析模型具体的层次分析模型如图1所示。
通过附件1对所有数据指标分析，建立系统的递阶层次结构，第一层为目标层分为5大类，第二层为准则层，第三层为子准则层，第四层为方案层。
其结果目标层准则层子准则层方案层恐怖袭击危害性指标响应级别人员伤亡死亡人数级别1级别2级别3级别4级别5受伤人数被绑人数经济损失损失程度1损失程度2损失程度3损失程度4攻击类型攻击设施攻击个人攻击群体武器类型无杀伤力中小型杀伤力攻击设施1.2 构造成对比较矩阵上一层因素的同一层诸因素，用成对比较法和1~9比较尺度构建成对比较矩阵[1]，直到最底层。
表2 标度------比较尺度解释标度 定义1 因素i 与因素j 相同重要 3 因素i 比因素j 稍重要 5 因素i 比因素j 较重要 7 因素i 比因素j 非常重要 9 因素i 比因素j 绝对重要2,4,6,8因素i 与因素j 的重要性的比值介于上述两个相邻等级之间倒数1，1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8,1/9因素j 与因素i 比较得到判断值为ij a 的互反数，ijji a a 1=1=ii a设要素为i F ，j F ；当i F 与j F 相比同等重要，有ij R =1 ；当i F 与j F 相比略为重要，有ij R =3/1 ；当i F 与j F 相比相当重要，有ij R =5/1 ；当i F 与j F 相比明显重要，有ij R =7/1 ；当i F 与j F 相比绝对重要，有ij R =9/1。
层次分析模型(数学建模)
第k层nk个元素对于第k-1层上第j个元素为 准则的单排序向量 uj(k)=(u1j(k)，u2j(k)，…，un j(k))T j=1，2，…nk-1 其中不受第j个元素支配的元素权重取零，
于是可得到nk×nk-1阶矩阵
u (k ) u21 = ( ) unk1 k
(k ) 11
1 A = ( aij ) n×n , aij > 0, a ji = aij
1/ 2 1 1/ 7 1/ 5 1/ 5 4 7 1 2 3 3 5 1/ 2 1 1
3 成对比较阵 5 A~成对比较阵 1 / 3 是正互反阵 A是正互反阵 1 1
要由A确定 要由 确定C1,… , Cn对O的权向量 确定 的权向量
1. 正互反阵的最大特征根和特征向量的性质 正互反矩阵A 是正单根， 正互反矩阵 的最大特征根λ是正单根， Ak e T 对应正特征向量w， 对应正特征向量 ， lim T k = w, e = (1,1, L ,1) k →∞ e A e 定理1 定理1 正互反阵的最大特征根是正数， 正互反阵的最大特征根是正数， 特征向量是正向量。 特征向量是正向量。 定理2 定理2 n阶正互反阵 的最大特征根λ ≥ n , 阶正互反阵A的最大特征根 λ= n是A为一致阵的充要条件。 为一致阵的充要条件。 是 为一致阵的充要条件 一致性指标 CI =
“选择旅游地”思维过程的归 选择旅游地” 选择旅游地 纳 • 将决策问题分为 个层次：目标层 ，准则层 ， 将决策问题分为3个层次 目标层O，准则层C， 个层次： 方案层P；每层有若干元素， 方案层 ；每层有若干元素， 各层元素间的关系 用相连的直线表示。 用相连的直线表示。 • 通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方 通过相互比较确定各准则对目标的权重， 案对每一准则的权重。 案对每一准则的权重。 • 将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的 将上述两组权重进行综合， 权重。 权重。 层次分析法将定性分析与定量分析结合起来 完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。 完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。
数学建模5-层次分析法
数学建模5-（离散模型）层次分析法层次分析法的基本步骤如下：层次结构分析模型实例：（选择旅游地）每次取两个因素C i和C j，用a ij表示C i和C j对上层因素O的影响之比，全部结果可用成对比较矩阵表示：a ij=1（i=j）由成对比较阵求权向量的特征根法：（原理）一致阵的概念：a ij·a jk=a ik，I,j,k=1,2,……,n一致阵的性质：1.R（A）=1，A的唯一非零特征根为n；2.A的任一列向量都是对应于特征根n的特征向量。
若A不是一致阵在不一致容许的范围内，用对应于A最大特征根（记作λ）的特征向量（归一化后）作为权向量w，即w满足Aw=λw。
（实现方法）——和法例子：一致性检验：一致性指标：（CI越大A的不一致程度越严重）随机一致性指标：一致性比率：当时，认为A的不一致程度在容许范围内。
组合权向量的计算组合一致性检验：关于层次分析法的一些问题：1.不完全层次结构中组合权向量的计算：例：如何得到合理结果？用支配因素的数量对权向量进行加权修正2.成对比较阵残缺时的处理：设Θ表示残缺；3.本节讨论的内容主要是逐阶层次结构（层次内部因素无相互影响或支配，层次自上而下，逐层传递的支配关系）对于更复杂的层次结构，可能存在层次内部因素之间的相互影响，下层反过来对上层有支配作用，层次之间存在反馈作用等。
附：层次分析法的简单MATLAB实现clc;clear;A=[1 1.2 1.5 1.5;0.833 1 1.2 1.2;0.667 0.833 1 1.2;0.667 0.833 0.833 1];%因素对比矩阵A，只需要改变矩阵A[m,n]=size(A); %获取指标个数RI=[0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51];R=rank(A); %求判断矩阵的秩[V,D]=eig(A); %求判断矩阵的特征值和特征向量，V特征值，D特征向量；tz=max(D);B=max(tz); %最大特征值[row, col]=find(D==B); %最大特征值所在位置C=V(:,col); %对应特征向量CI=(B-n)/(n-1); %计算一致性检验指标CICR=CI/RI(1,n);if CR<0.10disp('CI=');disp(CI);disp('CR=');disp(CR);disp('对比矩阵A通过一致性检验，各向量权重向量Q为：');Q=zeros(n,1);for i=1:nQ(i,1)=C(i,1)/sum(C(:,1)); %特征向量标准化endendQ。
【数学建模】层次分析法步骤
层次分析法实例与步骤结合一个具体例子，说明层次分析法的基本步骤和要点。
【案例分析】市政工程项目建设决策：层次分析法问题提出市政部门管理人员需要对修建一项市政工程项目进行决策，可选择的方案是修建通往旅游区的高速路（简称建高速路）或修建城区地铁（简称建地铁）。
除了考虑经济效益外，还要考虑社会效益、环境效益等因素，即是多准则决策问题，考虑运用层次分析法解决。
1. 建立递阶层次结构应用AHP解决实际问题，首先明确要分析决策的问题，并把它条理化、层次化，理出递阶层次结构。
AHP要求的递阶层次结构一般由以下三个层次组成：●目标层（最高层）：指问题的预定目标；●准则层（中间层）：指影响目标实现的准则；●措施层（最低层）：指促使目标实现的措施；通过对复杂问题的分析，首先明确决策的目标，将该目标作为目标层（最高层）的元素，这个目标要求是唯一的，即目标层只有一个元素。
然后找出影响目标实现的准则，作为目标层下的准则层因素，在复杂问题中，影响目标实现的准则可能有很多，这时要详细分析各准则因素间的相互关系，即有些是主要的准则，有些是隶属于主要准则的次准则，然后根据这些关系将准则元素分成不同的层次和组，不同层次1元素间一般存在隶属关系，即上一层元素由下一层元素构成并对下一层元素起支配作用，同一层元素形成若干组，同组元素性质相近，一般隶属于同一个上一层元素（受上一层元素支配），不同组元素性质不同，一般隶属于不同的上一层元素。
在关系复杂的递阶层次结构中，有时组的关系不明显，即上一层的若干元素同时对下一层的若干元素起支配作用，形成相互交叉的层次关系，但无论怎样，上下层的隶属关系应该是明显的。
最后分析为了解决决策问题（实现决策目标）、在上述准则下，有哪些最终解决方案（措施），并将它们作为措施层因素，放在递阶层次结构的最下面（最低层）。
明确各个层次的因素及其位置，并将它们之间的关系用连线连接起来，就构成了递阶层次结构。
【案例分析】市政工程项目进行决策：建立递阶层次结构在市政工程项目决策问题中，市政管理人员希望通过选择不同的市政工程项目，使综合效益最高，即决策目标是“合理建设市政工程，使综合效益最高”。
层次分析法-数学建模
层次分析法一、分析模型和一般步骤二、建立层次结构模型三、构造成对比较矩阵四、作一致性检验五、层次总排序及决策一. 层次分析模型和一般步骤层次分析法是一种定性与定量分析相结合的多因素决策分析方法。
这种方法将决策者的经验判断给于数量化，在目标因素结构复杂且缺乏必要数据的情况下使用更为方便，因而在实践中得到广泛应用。
层次分析的四个基本步骤：（1）在确定决策的目标后，对影响目标决策的因素进行分类，建立一个多层次结构；（2）比较同一层次中各因素关于上一层次的同一个因素的相对重要性，构造成对比较矩阵；（3）通过计算，检验成对比较矩阵的一致性，必要时对成对比较矩阵进行修改，以达到可以接受的一致性；（4）在符合一致性检验的前提下，计算与成对比较矩阵最大特征值相对应的特征向量，确定每个因素对上一层次该因素的权重；计算各因素对于系统目标的总排序权重并决策。
二. 建立层次结构模型将问题包含的因素分层：最高层（解决问题的目的）；中间层（实现总目标而采取的各种措施、必须考虑的准则等。
也可称策略层、约束层、准则层等）；最低层（用于解决问题的各种措施、方案等）。
把各种所要考虑的因素放在适当的层次内。
用层次结构图清晰地表达这些因素的关系。
〔例1〕购物模型某一个顾客选购电视机时，对市场正在出售的四种电视机考虑了八项准则作为评估依据，建立层次分析模型如下：例2〕选拔干部模型对三个干部候选人、、，按选拔干部的五个标准：品德、才能、资历、年龄和群众关系，构成如下层次分析模型：假设有三个干部候选人、、，按选拔干部的五个标准：品德，才能，资历，年龄和群众关系，构成如下层次分析模型例3〕评选优秀学校某地区有三个学校，现在要全面考察评出一个优秀学校。
主要考虑以下几个因素：（1）教师队伍（包括平均学历和年龄结构）（2）教学设施（3）教学工作（包括课堂教学，课外活动，统考成绩和教学管理）（4）文体活动三、构造成对比较矩阵比较第 i 个元素与第 j 个元素相对上一层某个因素的重要性时，使用数量化的相对权重来描述。
数学建模作业及答案
数学建模作业姓名：叶勃学号：班级：024121一：层次分析法1、 分别用和法、根法、特征根法编程求判断矩阵1261/2141/61/41A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦11/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/5311A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦的特征根和特征向量（1）冪法求该矩阵的特征根和特征向量 程序为：#include<iostream> #include<math.h> using namespace std;#define n 3 //三阶矩阵#define N 20 #define err 0.0001 //幂法求特征值特征向量 void main(){cout<<"**********幂法求矩阵最大特征值及特征向量***********"<<endl; int i,j,k;double A[n][n],X[n],u,y[n],max;cout<<"请输入矩阵:\n"; for(i=0;i<n;i++) for(j=0;j<n;j++)cin>>A[i][j]; //输入矩阵 cout<<"请输入初始向量:\n"; for(i=0;i<n;i++)cin>>X[i]; //输入初始向量 k=1; u=0;while(1){ max=X[0]; for(i=0;i<n;i++) {if(max<X[i]) max=X[i]; //选择最大值 }for(i=0;i<n;i++)y[i]=X[i]/max; for(i=0;i<n;i++)X[i]=0;for(j=0;j<n;j++)X[i]+=A[i][j]*y[j]; //矩阵相乘}if(fabs(max-u)<err){cout<<"A的特征值是 :"<<endl; cout<<max<<endl; cout<<"A的特征向量为:"<<endl; for(i=0;i<n;i++) cout<<X[i]/(X[0]+X[1]+X[2])<<" ";cout<<endl;break;}else{if(k<N) {k=k+1;u=max;} else {cout<<"运行错误\n";break;}}} }程序结果为：（2）和法求矩阵最大特征值及特征向量程序为：#include<stdio.h>#include<iostream>#include<math.h> using namespace std;#define n 3 //三阶矩阵#define N 20void main(){int i,j,k;double A[n][n],w[n],M[n],u[n],W[n][n],max;cout<<"********和法求矩阵的特征根及特征向量*******"<<endl;cout<<"请输入矩阵:\n";for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++)cin>>A[i][j]; //输入矩阵 //计算每一列的元素和M[0]=0;M[1]=0;M[2]=0;for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){M[i]+=A[j][i];}//将每一列向量归一化for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){W[j][i]=A[j][i]/M[i];}//输出按列归一化之后的矩阵Wcout<<"按列归一化后的矩阵为："<<endl;for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){cout<<W[i][j]<<" ";if(j==2)cout<<endl;} //求特征向量w[0]=0;w[1]=0;w[2]=0;for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){w[i]+=W[i][j];}cout<<"特征向量为:"<<endl; for(i=0;i<n;i++){u[i]=w[i]/(w[0]+w[1]+w[2]);cout<<u[i]<<" "<<endl;}//求最大特征值max=0;for(i=0;i<n;i++){w[i] = 0;for(j=0;j<n;j++){w[i] += A[i][j]*u[j];}}for(i = 0;i < n;i++){max += w[i]/u[i];}cout<<"最大特征根为："<<endl;cout<<max/n<<endl; }运行结果为：（3）根法求矩阵最大特征值及特征向量：程序为：#include<stdio.h>#include<iostream>#include<math.h>using namespace std;#define n 3 //三阶矩阵#define N 20void main(){int i,j;double A[n][n],w[n],M[n],u[n],W[n][n],max;cout<<"********根法求矩阵的特征根及特征向量*******"<<endl; cout<<"请输入矩阵:\n";for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++)cin>>A[i][j]; //输入矩阵//计算每一列的元素和M[0]=0;M[1]=0;M[2]=0;for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){M[i]+=A[j][i];}//将每一列向量归一化for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){W[j][i]=A[j][i]/M[i];}//输出按列归一化之后的矩阵Wcout<<"按列归一化后的矩阵为："<<endl;for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){cout<<W[i][j]<<" ";if(j==2)cout<<endl;}//求特征向量//w[0]=A[0][0];w[1]=A[0][1];w[2]=A[0][2];w[0]=1;w[1]=1;w[2]=1;for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++){w[i]=w[i]*W[i][j];}w[i]=pow(w[i], 1.0/3);}cout<<"特征向量为:"<<endl;for(i=0;i<n;i++){u[i]=w[i]/(w[0]+w[1]+w[2]);cout<<u[i]<<" "<<endl;}//求最大特征值max=0;for(i=0;i<n;i++){w[i] = 0;for(j=0;j<n;j++){w[i] += A[i][j]*u[j];}}for(i = 0;i < n;i++){max += w[i]/u[i];}cout<<"最大特征值为:"<<endl; cout<<max/n;}运行结果为：2、编程验证n阶随机性一致性指标RI：运行结果：3、考虑景色、费用、居住、饮食、旅途五项准则，从桂林、黄山、北戴河三个旅游景点选择最佳的旅游地。
数学建模(层次分析法(AHP法))省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
准则层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
方案层
P1 桂林
P2 黄山
P3 北戴河
例2 大学毕业生就业选择问题 取得大学毕业学位旳毕业生，在“双向选择”时，
用人单位与毕业生都有各自旳选择原则和要求。就 毕业生来说选择单位旳原则和要求是多方面旳，例 如：
①能发挥自己才干作出很好贡献（即工作岗位适合 发挥自己旳专长）；
wn
1
w1 w2
即 aik akj aij i, j 1,2,, n
A
但在例2旳成对比较矩阵中， a23 7, a21 2, a13 4 a23 a21 a13
在正互反矩阵A中，若 aik akj aij ,(A 旳元素具有 传递性)则称A为一致阵。
定理：n 阶正互反阵A旳最大特征根max n, 当且仅当 =n时A为一致阵
这种措施旳特点是在对复杂旳决策问题旳 本质、影响原因及其内在关系等进行进一 步分析旳基础上，利用较少旳定量信息使 决策旳思维过程数学化，从而为多目旳、 多准则或无构造特征旳复杂决策问题提供 简便旳决策措施。
是对难于完全定量旳复杂系统作出决策旳 模型和措施。
层次分析法在经济、科技、文化、军事、 环境乃至社会发展等方面旳管理决策中都 有广泛旳应用。
比较同一层次中每个原因有关上一层次 旳同一种原因旳相对主要性
在拟定各层次各原因之间旳权重时，假如只是定 性旳成果，则经常不轻易被别人接受，因而Saaty 等人提出构造：成对比较矩阵A = (aij)nn，即： 1. 不把全部原因放在一起比较，而是两两相互比较。 2. 对此时采用相对尺度，以尽量降低性质不同旳诸 原因相互比较旳困难，以提升精确度。
用层次分析法评选优秀学生进行数学建模[2]
![用层次分析法评选优秀学生进行数学建模[2]](https://img.taocdn.com/s3/m/909cd61703768e9951e79b89680203d8ce2f6aa4.png)
用层次分析法评选优秀学生一．实验目的运用层次分析法，建立指标评价体系，得到学生的层次结构模型，然后构造判断矩阵，求得各项子指标的权重，最后给出大学生综合评价得分计算公式并进行实证分析，为优秀大学生的评选提出客观公正，科学合理的评价方法。
二．实验内容4.用层次分析法解决一两个实际问题；（1）学校评选优秀学生或优秀班级，试给出若干准则，构造层次结构模型。
可分为相对评价和绝对评价两种情况讨论。
解：层次分析发法基本步骤：建立一套客观公正、科学合理的素质评价体系，对于优秀大学生的评选是至关重要的。
在此我们运用层次分析法(AHP)，以德、智、体三个方面作为大学生综合评价的一级评价指标，每个指标给出相应的二级子指标以与三级指标，然后构造判断矩阵，得到各个子指标的权重，结合现行的大学生评分准则，算出各项子指标的得分，将这些得分进行加权求和得到大学生综合评价得分，根据分配名额按总分排序即可选出优秀大学生。
大学生各项素质的指标体系。
如下表所示：目标层第一准则层第二准则层设评价指标共有n 个，为1x ,2x ..... n x 。
它们对最高层的权系数分别为1w ,2w , ... n w ,于是建立综合评价模型为：解决此类问题关键就是确定权系数，层次分析法给出了确定它们的量化过程，其步骤具体如下： 确定评价指标集 P=（1P ，2P ，3P )建立两两比较的逆对称判断矩阵从1x ,2x .....n x 中任取i x 与jx ，令=ij a i x /jx ，比较它们对上一层某个因素的重要性时。
若=ij a 1，认为i x 与jx 对上一层因素的重要性相同； 若=ij a =3，认为i x 比jx 对上一层因素的重要性略大；若=ij a 5，认为i x 比j x 对上一层因素的重要性大； 若=ij a 7，认为i x 比jx 对上一层因素的重要性大很多；若=ij a 9，认为i x 对上一层因素的重要性远远大于jx ；若=ij a 2n ，n=1,2,3,4，元素 i x 与jx 的重要性介于=ij a 2n − 1与=ij a2n + 1之间； 用已知所有的i x /jx ，i ，j =1,2 ... n ，建立n 阶方阵P=n m j i x x ⨯)/（，矩阵P 的第i 行与第j 列元素为i x /j x ，而矩阵P 的第j 行与第i 列元素为j x/i x ，它们是互为倒数的，而对角线元素是1。
数学建模--层次分析法5 资金分配例子
问题的提出：
某工厂有一笔企业留成利润，要由领 导决定如何利用。可供选择的方案有： • 以奖金名义发给职工； • 扩建集体福利设施； • 引进新技术、新设备等。 为进一步促进企业发展，如何合理使 用这笔利润？
问题的分析：
上述三个方案的目的都是为了 更好地调动职工劳动积极性，提高 企业技术水平和改善职工物质生活， 都是为了促进企业更好的发展，因 此可以利用层次分析 层次分析来建立模型。 层次分析
２：构造判断矩阵C1-P,C2-P,C3-P: C1-P,C2-P,C3C1 P1 P1 P2 C2 P2 P3 C3 P1 P2 1 1/3 P2 1 5 P1 1 1/2 P2 3 1 P3 1/5 1 P2 2 1 W 0.75 0.25 W 0.167 0.833
(0.667， 0.333) T λmax均为2， 对应的特征向量分别为： (0.75 0.25)T5Fra bibliotek扩建福利事 业P2
3
引进新设备P3
1
3
5
求解的特征值：
Z C1 C2 C3 C1 1 5 3 C2 1/5 1 1/3 C3 1/3 3 1 W 0.105 0.637 0.258
由表可解出λmax =3.038，从而 W=（0.105，0.637，0.258) T由公式得 CI=0.019 CR=0.033
３：检验
总排序一致性检验： CI＝a1*cI1+ a2*CI2+a3*CI3 =0.105×0+0.637 × 0 +0.258 × × 0=0 从而CR＝0＜0.1
４：结论
由上可知，层次总排序结果具有满意的一致性．所以合 理利用利润，所考虑的三种方案相对优先排序为: P3优于P2，P2优于P1． 利润分配比例为 P3占53.1%，P2占27.1 % ，P1占19.8 % ．
数学建模层次分析法题目及程序
数学建模层次分析法题⽬及程序假期旅游问题现有三个⽬的地可供选择（⽅案）：风光绮丽的杭州（）,迷⼈的北戴河（）,⼭⽔甲天下的桂林（）。
有5个⾏动⽅案准则：景⾊、费⽤、居住、饮⾷、旅途情况。
⽬标层准则层⽅案层选择旅游地的层次结构1-9的标度⽅法1-9的标度⽅法是将思维判断数量化的⼀种好⽅法。
⾸先，在区分事物的差别时，⼈们总是⽤相同、较强、强、很强、极端强的语⾔。
再进⼀步细分，可以在相邻的两级中插⼊折衷的提法，因此对于⼤多数决策判断来说，1-9级的标度是适⽤的。
其次，⼼理学的实验表明，⼤多数⼈对不同事物在相同程度属性上差别的分辨能⼒在5-9级之间，采⽤1-9的标度反映多数⼈的判断能⼒。
再次，当被⽐较的元素其属性处于不同的数量级时，⼀般需要将较⾼数量级的元素进⼀步分解，这可保证被⽐较元素在所考虑的属性上有同⼀个数量级或⽐较接近，从⽽适⽤于1 -9的标度。
选择旅游地J景费居饮旅⾊⽤住⾷途C2 C 3 C4 C5C1G 『1 1/2 4 3 3、C2 2 1 7 5 5A = C3 1/4 1/7 1 1/2 1/3C4 1/3 1/5 2 1 1C5 订/3 1/5 3 1 1」相对于旅途RP 2 F 3P 「1 1 1/4、 B 5 =R 2 1 1 1/4讥4 4 1」程序：A=[1 1/2 4 3 3;1/4 1/7 1 1/2 1/3; 1/3 1/5 2 1 1; 1/3 1/5 3 1 1];[x,y]=eig(A); eige nvalue=diag(y); m=max(eige nvalue);lamda=m n=fin d(m==eige nvalue);y_lamda=x(:,n); s=sum(y_lamda); W2=y_lamda./s B1=[ 12 5;1/2 1 2;相对于景⾊PP 2 RP1f 1 25B 1 =P 21/21 2P 3 <1/5 1/2 '1相对于费⽤R P 2 P 3R (1 1/3 1/8 B 2 =F2 311/3叭 3 '1 ;B 3R 『1 3 4、 B 4=P 21/3 11F 3 '^1/4 1 '1』1/5 1/2 1]; [x1,y1]=eig(B1); eigenvalue1=diag(y1);m1=max(eigenvalue1); lamda1=m1 n1=find(m1==eigenvalue1); y1_lamda1=x1(:,n1);s1=sum(y1_lamda1);8 3 1]; [x2,y2]=eig(B2); eigenvalue2=diag(y2);m2=max(eigenvalue2); lamda2=m2 n2=find(m2==eigenvalue2);y2_lamda2=x2(:,n2);s2=sum(y2_lamda2);W23=y2_lamda2./s2B3=[ 1 1 3;1 1 3;1/3 1/3 1]; [x3,y3]=eig(B3); eigenvalue3=diag(y3);m3=max(eigenvalue3); lamda3=m3 n3=find(m3==eigenvalue3);y3_lamda3=x3(:,n3);s3=sum(y3_lamda3);W33=y3_lamda3./s3B4=[ 1 3 4;1/3 1 1;1/4 1 1]; [x4,y4]=eig(B4); eigenvalue4=diag(y4);m4=max(eigenvalue4); lamda4=m4 n4=find(m4==eigenvalue4);y4_lamda4=x4(:,n4);s4=sum(y4_lamda4);W43=y4_lamda4./s4B5=[1 1 1/4;1 1 1/4;4 4 1];[x5,y5]=eig(B5);eigenvalue5=diag(y5);m5=max(eigenvalue5);lamda5=m5n5=find(m5==eigenvalue5);y5_lamda5=x5(:,n5);s5=sum(y5_lamda5);W53=y5_lamda5./s5%层次总排序W3=[W13 W23 W33 W43 W53]; W=W3*W2 %判断矩阵的⼀致性N=size(A,1);elseif(N==2)RI=0.00elseif(N==3)RI=0.58elseif(N==4)N==4RI=0.90elseif(N==5)RI=1.12elseif(N==6)RI=1.24elseif(N==7)RI=1.32elseif(N==8)RI=1.41elseif(N==9)RI=1.45elseif(N==10)RI=1.49elseif(N==11)RI=1.51endCR=CI/RI运算结果：lamda = 5.0721W2 =0.26360.47580.05380.0981lamda1 =3.0055 W13 =0.1283 lamda2 =3.0015 W23 =0.08190.23630.6817 lamda3 =3.0000 W33 =0.42860.42860.1429 lamda4 =3.0092 W43 =0.63370.1744 lamda5 =3W53 =0.16670.16670.66670.29930.24530.4554 ans =RI =1.1200 CR =0.0161 >> aa lamda = 5.0721 W2 =0.26360.47580.05380.09810.1087 lamda1 =3.0055 W13 =0.59540.27640.1283 lamda2 =。
数学建模第四次作业-根据层次分析法选择旅游目的地
数学建模期末作业题目：根据层次分析法选择旅游目的地、问题提出假设有杭州、成都、北京、桂林、西安、重庆、武汉、青岛、三亚、厦门、上海、天津、广州、苏州、南京、深圳、洛阳、大连、内蒙古、拉萨共20 个地方供你选择，你会根据景色、费用、居住、饮食、旅游等一些条件，去选择一个城市旅游。
根据层次分析法，如何选择？二、层次分析法基本简介层次分析法(The analytic hierarchy process) 简称AHP ，在20 世纪70 年代中期由美国运筹学家托马斯·塞蒂(T.L.Saaty) 正式提出。
它是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。
该方法是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂于本世纪70 年代初，在为美国国防部研究"根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配"课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。
所谓层次分析法，是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统，将目标分解为多个目标或准则，进而分解为多指标(或准则、约束)的若干层次，通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序（权数）和总排序，以作为目标（多指标）、多方案优化决策的系统方法。
层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，然后用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。
这里所谓“优先权重”是一种相对的量度，它表明各备择方案在某一特点的评价准则或子目标，标下优越程度的相对量度，以及各子目标对上一层目标而言重要程度的相对量度。
层次分析法比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题。
其用法是构造判断矩阵，求出其最大特征值。
及其所对应的特征向量W ，归一化后，即为某一层次指标对于上一层次某相关指标的相对重要性权值。
(完整版)数学建模之层次分析法
层次分析法层次分析法是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法。
该方法将定量分析与定性分析结合起来，用决策者的经验判断各衡量目标能否实现的标准之间的相对重要程度，并合理地给出每个决策方案的每个标准的权数，利用权数求出各方案的优劣次序，比较有效地应用于那些难以用定量方法解决的课题。
缺点：（1）层次分析法的主观性太强，模型的搭建，判断矩阵的输入都是决策者的主观判断，往往会因为决策者的考虑不周、顾此失彼而造成失误。
（2）层次分析法模型的内部结构太过理想化，完全分离、彼此独立的层次结构在实践中很难做到。
（5）层次分析法只能从给定的决策方案中去选择，而不能给出新的、更优的策略。
1.模型的应用用于解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析。
（1）公司选拔人员，（2）旅游地点的选取，（3）产品的购买等，（4）船舶投资决策问题（下载文档），（5）煤矿安全研究，（6）城市灾害应急能力，（7）油库安全性评价，（8）交通安全评价等。
2.步骤①建立层次结构模型首先明确决策目标，再将各个因素按不同的属性从上至下搭建出一个有层次的结构模型，模型如下图所示。
目标层准则层方案层目标层：表示解决问题的目的，即层次分析要达到的总目标。
通常只有一个总目标。
准则层：表示采取某种措施、政策、方案等实现预定总目标所涉及的中间环节。
方案层：表示将选用的解决问题的各种措施、政策、方案等。
通常有几个方案可选。
注意：（1）任一元素属于且仅属于一个层次；任一元素仅受相邻的上层元素的支配，并不是任一元素与下层元素都有联系；（2）虽然对准则层中每层元素数目没有明确限制，但通常情况下每层元素数最好不要超过 9 个。
这是因为，心理学研究表明，只有一组事物在 9 个以内，普通人对其属性进行判别时才较为清楚。
当同一层次元素数多于 9 个时，决策者对两两重要性判断可能会出现逻辑错误的概率加大，此时可以通过增加层数，来减少同一层的元素数。
②构造判断（成对比较）矩阵以任意一个上一层的元素为准则，对其支配的下层各因素之间进行两两比a重要程度的衡量用Santy的1—9较。
数学建模层次分析法
(Analytic Hierarchy Process) 建模
数学建模
模型背景 基本步骤 应用实例
一、模型背景
❖ 美国运筹学家匹兹堡大学教授Saaty在20世纪70 年代初提出的一种层次权重决策分析方法。
❖层次分析法(Analytic Hierarchy Process简称AHP) 是一种定性和定量分析相结合的决策分析方法。
对总目标Z的排序为
A1
A2
Am
a1, a2 ,, am
B层n个因素对上层 A中因素为 Aj
其层次单排序为
B1
B2
Bn b1 j ,b2 j ,,bnj ( j 1,2,, m)
层次 A A1
层次 B a1
B1
b11
B2
b21
.
.
.
.
.
.
Bn
bn1
A2 … Am B 层次总
a2
… am 排序权值
RI 0i RIi 0.58 i 1
CR CI / RI 0.087 / 0.58 0.015 0.1
C5
0.118 0.166 0.166 0.668
层次P的 总排序
0.3 0.246 0.456
层次分析法的优点
系统性——将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合 的思维方式进行决策。成为成为继机理分析、统 计分析之后发展起来的系统分析的重要工具；
w(2) (0.263, 0.475, 0.055, 0.090, 0.110)T
同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量
方案层对C1(景色)的 成对比较阵
方案层对C2(费用)的 成对比较阵
…Cn
数学建模——层次分析法
用matlab求层次分析法的特征向量，特征值，检验一致性的程序：clc,clearA=input('A=');n=length(A(1,:))lambdamax=max(eig(A))CI=(lambdamax-n)/(n-1)i=1:n;M=[prod(A,2)];M1=M.^(1/n);W=(M1./sum(M1))'if n==1;RI=0.00elseif n==2;RI=0.00elseif n==3;RI=0.58elseif n==4;RI=0.90elseif n==5;RI=1.12elseif n==6;RI=1.24elseif n==7;RI=1.32elseif n==8;RI=1.41elseif n==9;RI=1.45endCR=CI/RI层次分析法（The Analytic Hierarchy Process ，简记AHP）是美国著名的运筹学家T ．L ．Satty 等人在２０世纪７０年代提出的一种定性与定量分析相结合的多准则决策方法。
它是指将决策问题的有关元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础上进行定性分析和定量分析的一种决策方法。
它把人的思维过程层次化、数量化，并用数学为分析、决策、预报或控制提供定量的依据。
这一方法的特点，是在对复杂决策问题的本质、影响因素以及内在关系等进行深入分析之后，构建一个层次结构模型，然后利用较少的定量信息，把决策的思维过程数学化，从而为求解多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题，提供一种简便的决策方法。
尤其适合于人的定性判断起重要作用的、对决策结果难于直接准确计量的场合。
应用层次分析法分析问题时，首先要把问题层次化。
根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解为不同组成因素，并按照因素间的相互关联影响以及隶属关系将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层次的分析结构模型。
并最终把系统分析归结为最底层（供决策的方案、措施等），相对于最高层（总目标）的相对重要性权值的确定或相对优劣次序的排序问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
假期旅游问题
现有三个目的地可供选择（方案）：风光绮丽的杭州（ ），迷人的北戴河（ ），山水甲天下的桂林（ ）。
有5个行动方案准则：景色、费用、居住、饮食、旅途情况。
选择旅游地的层次结构
1-9 的标度方法
1-9 的标度方法是将思维判断数量化的一种好方法。
首先，在区分事物的差别时，人们总是用相同、较强、强、很强、极端强的语言。
再进一步细分，可以在相邻的两级中插入折衷的提法，因此对于大多数决策判断来说，1-9 级的标度是适用的。
其次，心理学的实验表明，大多数人对不同事物在相同程度属性上差别的分辨能力在 5-9 级之间，采用 1-9 的标度反映多数人的判断能力。
再次，当被比较的元素其属性处于不同的数量级时，一般需要将较高数量级的元素进一步分解，这可保证被比较元素在所考虑的属性上有同一个数量级或比较接近，从而适用于 1-9 的标度。
目标层
选择旅游地
景
色
费用
居住
饮食 旅途
准则层
1
P 2
P 3
P 方案层
⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=1135/13
/11125/13/13/12/117/14
/1557123342/1154321C C C C C A 54321C C C C C 选择旅游地
景色
费
用
居住
饮食
旅途
程序：
A=[1 1/2 4 3 3; 2 1 7 5 5; 1/4 1/7 1 1/2 1/3; 1/3 1/5 2 1 1; 1/3 1/5 3 1 1]; [x,y]=eig(A);
eigenvalue=diag(y); m=max(eigenvalue); lamda=m
n=find(m==eigenvalue); y_lamda=x(:,n); s=sum(y_lamda); W2=y_lamda./s
B1=[ 1 2 5; 1/2 1 2;
⎪⎪
⎪
⎭⎫ ⎝⎛=1`2/15/1212/15213211P P P B 3
2
1
P P P 相对于景色
⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=1`383/1138/13/113212P P P B 3
2
1
P P P 相对于费用
相对于居住 3
2
1
P
P P 相对于饮食 ⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=1`14/1113/14313214P P P B 3
2
1
P
P P ⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=1`3/13/131********P P P B 相对于旅途
⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=1444/1114/1113215P P P B 321
P P P
1/5 1/2 1];
[x1,y1]=eig(B1); eigenvalue1=diag(y1);
m1=max(eigenvalue1); lamda1=m1
n1=find(m1==eigenvalue1); y1_lamda1=x1(:,n1);
s1=sum(y1_lamda1);
W13=y1_lamda1./s1
B2=[1 1/3 1/8;
3 1 1/3;
8 3 1];
[x2,y2]=eig(B2); eigenvalue2=diag(y2);
m2=max(eigenvalue2); lamda2=m2
n2=find(m2==eigenvalue2); y2_lamda2=x2(:,n2);
s2=sum(y2_lamda2);
W23=y2_lamda2./s2
B3=[ 1 1 3;
1 1 3;
1/3 1/3 1];
[x3,y3]=eig(B3); eigenvalue3=diag(y3);
m3=max(eigenvalue3); lamda3=m3
n3=find(m3==eigenvalue3); y3_lamda3=x3(:,n3);
s3=sum(y3_lamda3);
W33=y3_lamda3./s3
B4=[ 1 3 4;
1/3 1 1;
1/4 1 1];
[x4,y4]=eig(B4); eigenvalue4=diag(y4);
m4=max(eigenvalue4); lamda4=m4
n4=find(m4==eigenvalue4); y4_lamda4=x4(:,n4);
s4=sum(y4_lamda4);
W43=y4_lamda4./s4
B5=[1 1 1/4;
1 1 1/4;
4 4 1];
[x5,y5]=eig(B5);
eigenvalue5=diag(y5);
m5=max(eigenvalue5);
lamda5=m5
n5=find(m5==eigenvalue5);
y5_lamda5=x5(:,n5);
s5=sum(y5_lamda5);
W53=y5_lamda5./s5
%层次总排序
W3=[W13 W23 W33 W43 W53]; W=W3*W2
%判断矩阵的一致性
N=size(A,1);
CI=(lamda-N)/(N-1);
if(N==1)
RI=0.00
elseif(N==2)
RI=0.00
elseif(N==3)
RI=0.58
elseif(N==4)
N==4
RI=0.90
elseif(N==5)
RI=1.12
elseif(N==6)
RI=1.24
elseif(N==7)
RI=1.32
elseif(N==8)
RI=1.41
elseif(N==9)
RI=1.45
elseif(N==10)
RI=1.49
elseif(N==11)
RI=1.51 end
CR=CI/RI
运算结果：lamda =
5.0721 W2 =
0.2636
0.4758
0.0538
0.0981
0.1087 lamda1 =
3.0055 W13 =
0.5954
0.2764
0.1283 lamda2 =
3.0015 W23 =
0.0819
0.2363
0.6817
lamda3 =
3.0000 W33 =
0.4286
0.4286
0.1429 lamda4 =
3.0092 W43 =
0.6337
0.1919
0.1744 lamda5 =
3
W53 =
0.1667
0.1667
0.6667 W =
0.2993
0.2453
0.4554 ans =
1
RI =
1.1200 CR =
0.0161 >> aa lamda =
5.0721 W2 =
0.2636
0.4758
0.0538
0.0981
0.1087 lamda1 =
3.0055 W13 =
0.5954
0.2764
0.1283 lamda2 =
3.0015
W23 =
0.0819 0.2363 0.6817 lamda3 = 3.0000 W33 = 0.4286 0.4286 0.1429 lamda4 = 3.0092 W43 = 0.6337 0.1919 0.1744 lamda5 = 3 W53 = 0.1667 0.1667 0.6667 W =
0.2993 0.2453 0.4554 RI =
1.1200 CR =
0.0161
根据W 的值，首选旅游地为 ，其次为 ，再者 同理，对于第二层次的景色、费用、居住、饮食、旅途五个 判断矩阵的一致性检验均通过。
0.018250.0162950.11.12
CI CR RI ===<3P 1P 2P。