关于泰勒公式的论文
泰勒公式数学论文
泰勒公式的几点应用理学院 数学082本 岑燕丹 指导老师：杨征摘要:泰勒公式是非常重要的数学工具，在各类数学问题的解决中有着广泛应用。
高等数学教材中对泰勒公式的理论部分已进行了较详细的介绍，但对于泰勒公式的应用涉及的相对较少。
所以本文主要通过实例对泰勒公式的应用进行探讨。
文中在对泰勒公式系统总结下，主要论述了一元函数泰勒公式在求极限、求极值与拐点及求近似值等的常规应用，还列举了其在判断敛散性、求行列式及解微分方程等的应用，更进一步证明了欧拉公式。
文中还将一元函数的泰勒公式推广到二元函数的泰勒公式，以便将高等数学中泰勒公式的内容系统化，便于其研究内容的进一步发展。
关键词;泰勒公式;应用;极限;行列式;微分方程;二元函数0 引言泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，且有很高的精确度，并在微积分的各个方面都有重要的应用。
它还建立了函数的增量、自变量增量与一阶及高阶导数的关系，将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。
我们还可以使用泰勒公式来很好的解决某些问题，如求某些极限，确定无穷小的阶，证明等式和不等式，判断收敛性，判断函数的拐点以及解决中值问题等。
1 泰勒公式的引入设给定了一个函数()f x ，我们要找到一个在指定点0x x =附近与()f x 很近似的多项式。
我们的目的是希望找到一个关于()0x x -的n 次多项式()()()()2010200nn P x a a x x a x x o x x =+-+-++- (1.1)来近似表示()f x ，并使当0x x →时，其误差()()n f x P x -是较()0nx x -高阶的无穷小。
我们把()()()()000f x f x f x x x '≈+-，与一次多项式()()1010P x a a x x =+-，对照一下，可知应该取()()0010,a f x a f x '==，而01,a a 的这两个数值可以由等式()()()()100100,P x f x P x f x ''==，分别求得。
(整理)数学论文泰勒公式
本科生毕业论文题目: 泰勒公式及其应用研究专业代码: 070101作者姓名: 范文朝学号: 2008200665单位: 2008级1班指导教师: 刘保政2012年5 月20 日精品文档原创性声明本人郑重声明: 所提交的学位论文是本人在导师指导下, 独立进行研究取得的成果. 除文中已经注明引用的内容外, 论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果, 也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料. 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体, 均已在文中以明确方式标明。
本人承担本声明的相应责任。
学位论文作者签名: 日期指导教师签名: 日期目录摘要 (Ⅰ)Abstract (Ⅱ)1.引言 (1)2.泰勒公式的形式........................................... (1)2.1 带有佩亚诺型余项的泰勒公式.............................. .. (1)2.2 具有拉格朗日余项的泰勒公式 (2)2.3 带有积分型余项的泰勒公式 (2)2.4带有柯西型余项的泰勒公式 (2)3.泰勒公式的应用...... ....................... . (2)3.1利用泰勒公式求不定式的极限 (3)3.2利用泰勒公式估算误差 (5)3.3用泰勒公式判断级数的敛散性....................... . (9)3.3.1数项级数的敛散性判断............. .............. ........ ..93.3.2函数项级数的敛散性判断............... .............. .. (10)3.4利用泰勒公式证明中值问题.............. ............. (12)3.5利用泰勒公式证明不等式和等式............. .............. .. (13)3.5.1利用泰勒公式证明积分不等式或积分等式................ .. (13)3.5.2利用泰勒公式证明导数不等式.............. ............. (15)3.5.3利用泰勒公式证明代数不等式............... . (16)结束语 (19)参考文献 (20)致谢 (21)摘要泰勒公式是数学分析中重要的公式，它的基本思想是用多项式来逼近已知函数,而这个多项式的系数由给定函数的各阶导数确定.阐述了泰勒公式的定义及其各种形式，着重对泰勒公式在极限计算、误差估计、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明这五个方面中的应用进行了研究论述.泰勒公式在多方面的应用可以提高我们对泰勒公式的认识,有利于把泰勒公式的研究推向更深处.关键词：泰勒公式; 不定式的极限；误差估计; 级数的敛散性;不等式证明AbstractTaylor formula is a important formula in the mathematical analysis. Its basic idea is that the known function with a polynomial approximation determines the coefficients of the polynomial by the first derivative of the given function. The definition and its various forms of the Taylor formula are elaborated. The applications of Taylor formula in five aspects are studied and discussed, such as the limit calculation, error estimation, the judgment of convergence and divergence, median problems, as well as equality and inequality proof. Taylor formula in many applications can improve our understanding of the Taylor formula , and it benefit to push the research of Taylor formula to deeper.Key words：Taylor formula; the infinitive limits; error estimates; convergence and divergence of the series; Proof of Inequality泰勒公式及其应用研究1. 引言泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，几个微分中值定理中一般的情形是泰勒公式, 它建立了函数的增量,自变量增量与一阶及高阶导数的关系，将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。
泰勒公式的应用范文
泰勒公式的应用范文泰勒公式是一种在微积分中用来近似计算函数值的方法。
它将一个函数表示为一个无穷级数的形式，使得我们可以通过计算级数中的有限项来近似计算函数的值。
泰勒公式广泛应用于数学、物理学、工程学和计算机科学等领域，并对数值计算和数学建模等重要任务具有重要意义。
以下将介绍泰勒公式在这些领域的一些应用。
一、在数学领域的应用：1.函数近似：泰勒公式可用于近似计算一个函数在其中一点的函数值，特别是在点附近的小区间内。
这对于无法直接计算的复杂函数或含有未知变量的函数是非常有用的。
2.导数和高阶导数的计算：泰勒公式可以通过计算级数中的有限项来近似计算一个函数在其中一点的导数。
这对于无法直接计算导数或高阶导数的函数是非常有用的。
3.极限计算：泰勒公式提供了一种计算函数在一个点的极限的方法，特别是对于无法直接计算的函数或复杂函数而言。
二、在物理学领域的应用：1.运动学和动力学：泰勒公式可用于近似计算运动学和动力学中各种物理量的变化率，如速度、加速度和力。
2.波动学：泰勒公式可以近似计算波函数随时间和位置的变化，从而帮助解决波动学相关的问题，如声波、光波和电磁波等。
3.热力学：泰勒公式可用于计算物体在热力学过程中的温度、能量和熵等的变化。
三、在工程学领域的应用：1.信号处理：泰勒公式可以用于近似表示信号在时间域和频域中的变化，从而帮助处理和分析各种类型的信号。
2.控制理论：泰勒公式可用于近似表示控制系统中各种变量的变化，从而帮助设计和优化控制器，以实现稳定和可靠的系统性能。
3.电路分析：泰勒公式可用于近似计算电路中各种元件的电压、电流和功率等的变化，特别是在非线性电路和非稳态电路的分析中。
四、在计算机科学领域的应用：1.数值计算：泰勒公式可用于近似计算各种数学函数的值，从而帮助实现高效和准确的数值计算方法，如数值积分、数值微分和数值优化等。
2.图像处理：泰勒公式可以用于近似表示图像中各个像素值的变化，从而帮助实现图像增强、图像压缩和图像恢复等处理算法。
泰勒公式的应用论文
泰勒公式的应用论文泰勒公式是一个非常重要的数学工具，在物理、工程和其他科学领域都有广泛的应用。
本文将介绍一篇关于泰勒公式应用的论文，通过该论文的介绍，读者可以了解泰勒公式的具体应用以及其在该领域的重要性。
题目：《利用泰勒公式对非线性方程进行求解的数值方法研究》摘要：本文研究了一种利用泰勒公式对非线性方程进行求解的数值方法。
通过将非线性方程展开成泰勒级数的形式，可以近似地求解非线性方程，并得到更加精确的解。
本文通过对该数值方法进行理论推导和实验证明，证明了该方法的有效性和准确性。
引言：非线性方程是很多科学问题中常见的数学模型，然而求解非线性方程通常比线性方程复杂得多。
泰勒公式是一种在求解非线性方程时常用的近似方法。
通过将非线性方程进行泰勒级数展开，可以将非线性方程转化为线性方程或更简单的形式，从而得到近似的解。
方法：本文首先对泰勒公式进行了简要的介绍和推导。
然后，根据泰勒公式的展开形式，将非线性方程的各阶导数代入泰勒级数中，得到更简单的形式。
接下来，研究了如何选取适当的展开点和截断误差来提高近似解的精确性。
最后，利用MATLAB编写了求解非线性方程的数值算法，并通过多个实例进行了验证。
结果与讨论：通过对多个不同类型的非线性方程进行求解，得到了较好的结果。
与传统的数值方法相比，利用泰勒公式进行求解的方法具有更高的精确性和更快的收敛速度。
此外，通过调整展开点和增加泰勒级数的项数，还可以进一步提高解的精确度。
结论：本文研究了一种利用泰勒公式求解非线性方程的数值方法，并通过理论推导和实验证明了该方法的有效性和准确性。
该方法可以准确地求解非线性方程，并且具有更高的精确性和更快的收敛速度。
因此，该方法在实际应用中具有很大的潜力，可以应用于物理、工程和其他科学领域中。
展望：虽然本文对利用泰勒公式求解非线性方程的数值方法进行了研究和验证，但仍然有一些问题需要进一步探讨。
例如，如何选择展开点和确定截断误差的更准确方法，以及将该方法应用于更复杂的非线性方程等。
Taylor公式的发展及其应用论文文档
Taylor 公式的发展及其应用摘要：数学中Taylor 公式是分析和探究相关数学问题的有力工具。
本文将简要介绍Taylor 公式的概念，发展，基本内容式及其简单的应用。
关键词：Taylor 公式发展余项应用一、基本概念在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。
如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。
我们在学习导数和微分概念时已经知道，如果函数f(x)在0x 可导，则有)())((')()(0000x x o x x x f x f x f -+-+=即在点0x 附近，用一次多项式))((')()(000x x x f x f x f -+=逼近函数)(x f 时，其误差为)(0x x -的高阶无穷小量。
然而在很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为n x x o )(0-，其中n 为多项式的次数。
为此，我们考察任一n 次多项式n n n x x a x x a x x a a x p )(.......)()()(02020100-++-+-+=逐次求它在点0x 处的各阶导数，得到00)(a x p n =,10)('a x p n =,20!2)(''a x p n =,……()n n n a n x p !)(0=由此可见，多项式)(0x p n 的各项系数都由其在0x 的各阶到数值唯一确定。
对于一般函数f(x)，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，有这些导数构造一个n 次多项式n n n x x n x f x x x f x x x f x f T )(!)(........)(!2)('')(!1)(')(00)(200000-++-+-+=称为函数f （x ）在点0x 处的Taylor 多项式,)(n x T 的各项系数!)(0)(k x fk （k=1,2……n ）称为Taylor 系数。
关于泰勒公式的论文
关于泰勒公式的论文
泰勒公式是一个强大的数学工具，可以用来计算函数在其中一点的极
限或求解微分方程。
它最初由英国数学家约翰·泰勒于1715年发明，已
经被广泛使用了近300年。
从统计学、物理学和控制工程到经济学、医学
研究，泰勒公式都可以起到巨大的作用。
由于泰勒公式的重要性，关于它的研究也越来越多。
从1825年以来，论文和文章就一直在研究该公式和它的应用，以便更好地理解它背后的原理。
今天，有关泰勒公式的文献有数不清，可以用来帮助研究者们更好地
理解该公式。
首先，1825年，英国数学家兼物理学家莱斯利·卡罗尔发表了他的
论文“泰勒公式:一种新的数学理论”，该论文发表在英国物理学家詹姆斯·牛顿的《英国科学院学报》上。
这是关于泰勒公式的最早研究，主要
介绍了泰勒公式的原理，以及如何使用这一理论来解决复杂的数学问题。
随后，1945年，美国数学家蒂姆·麦克法兰发表了他的论文“基于
泰勒公式的信号分析技术”，该论文发表在《应用数学评论》上。
麦克法
兰的论文主要讨论了使用泰勒公式来进行信号分析的新技术，从而为计算
信号波形提供了一种新的方法。
此外，2024年，美国数学家胡安·德鲁伊斯·戈麦斯发表了他的论
文“泰勒公式在理论物理学中的应用”。
泰勒公式及其应用论文)
泰勒公式及其应用摘 要 文章主要对泰勒公式在近似计算、求极限、证明不等式、外推、求曲线的渐近线方程和判断级数收敛性，对函数凹凸性及拐点判断、广义积分敛散性中的应用关于界的估计、和泰勒公式展开的唯一性问题做了简单系统的介绍和分析，从而体现泰勒公式式在微分学中占有很重要的地位.关键词 泰勒公式; 佩亚诺余项; 拉格朗日余项; 不等式; 根的唯一存在性; 极值; 近似计算.一．引言近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒将函数展开成级数得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式()20000000()()()()()()()(),1!2!!n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-++-称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),n n f x T x x x ο=+-即()200000000()()()()()()()()(()).2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+-称为泰勒公式.我们都知道，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可缺少的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。
在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面.这篇主要在于探索泰勒公式及其应用的新方法，借助泰勒公式的广泛应用，将泰勒公式的知识应用到数学解题的各个方面和领域中去，得出泰勒公式在数学各方面的应用和解求方法的简便性.二．预备知识2.1泰勒公式的定义定义2.1]1[ 若函数()f x 在0x 存在n 阶导数,则有'''200000()()()()()()1!2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+()00()()(),!n n n f x x x r x n +-+ （1）其中 0()()(())n n n r x r x o x x =-满足 上述公式称为()f x 在点0x x =处带有佩亚诺余项的的泰勒公式.当0x =0时,（1）式变成)(!)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n nn x o x n f x f x f f x f +++++= ,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义2.2]2[ 若函数 ()f x 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则''()'20000000()()()()()()()...()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x r x n =+-+-++-+, （2）这里()n r x 为拉格朗日余项(1)10()()()(1)!n n n f r x x x n ξ++=-+,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒公式.当0x =0时,（2）式变成''()'2(0)(0)()(0)(0)...()2!!n nn f f f x f f x x x r x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ .)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!nnn x x x x x o x n =-+-++-+.2311ln(1)(1)()231n nn x x x x x o x n +++=-+-+-++.)(1112n n x o x x x x+++++=- ， +-++=+2!2)1(1)1(x m m mx x m 定理 2.1]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得00)(μ=x f .2.2泰勒公式的意义泰勒公式的意义是，用一个n 次多项式来逼近函数()f x .而多项式具有形式简单，易于计算等优点.泰勒公式由()f x 的n 次泰勒多项式()n P x 和余项0()(())n n R x o x x =-组成，我们来详细讨论它们.当n =1时，有 1000()()()()P x f x f x x x '=+-，是()y f x =的曲线在点00(,())x f x 处的切线（方程），称为曲线()y f x =在点00(,())x f x 的一次密切，显然，切线与曲线的差异是较大的，只是曲线的近似. 当n =2时，有2020000()()()()()()2!f x P x f x f x x x x x '''=+-+-， 是曲线()y f x =在点00(,())x f x 的“二次切线”，也称曲线()y f x =在点00(,())x f x 的二次密切.可以看出，二次切线与曲线的接近程度比切线要好.当次数越来越高时，接近程度越来越密切，近似程度也越来越高. 2.3泰勒公式余项的类型泰勒公式的余项分为两类，一类佩亚诺型余项0(())n o x x -，一类是拉格朗日型余项(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++-+，它们的本质相同，但性质各异.佩亚诺型余项0(())n o x x -是定性的余项，仅表示余项是比0()n x x -（当0x x →时）高阶的无穷小.如33sin ()6x x x o x =-+，表示当0x →时，sin x 用36x x -近似，误差（余项）是比3x 高阶的无穷小.拉格朗日型余项(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++-+是定量的余项（ξ也可以写成00()x x x θ+-）.定量的余项一般用于函数值的计算与函数形态的研究.三．泰勒公式的应用3.1 .利用泰勒公式求极限简化极限运算,就可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限.例1. 求极限sin 2lim sin cos x x xe x xx x x →0-1--- .分析 ： 此为00型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和sin x , xe 分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解： 由1sin 2xx e x x ---=233331()())2626x x x x x o x x x o x ++++-1--(-+=34333()()6126x x x o x o x ++=+, 3233sin cos ()(1())62x x x x x x o x x o x -=-+--+=33()3x o x + 于是1sin 2lim sin cos xx x e x x x x x →0----3333()162()3x o x x o x +==+，3. 2 利用泰勒公式证明不等式当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,往往使证明方便简捷.例1. 当0x ≥时,证明31sin 6x x x ≥-.证明 取31()sin 6f x x x x =-+,00x =,则 '''''''''(0)0,(0)0,(0)0,()1cos ,(0)0.f f f f x x f ====-≥带入泰勒公式,其中n =3,得31cos ()0003!x f x x θ-=+++，其中10<<θ. 故当0x ≥时,31sin 6x x x ≥-.例2. 设()f x 在[0,1]二次可导，而且(0)(1)0f f ==，01lim ()1x f x ≤≤=-，试求存在(0,1)ξ∈，使()8f ξ''≥.证： 由于()f x 在[0,1]的最小值不等于在区间端点的值，故在[0,1]内存在1x ，使1()1f x =-，由费马定理知，1()0f x '=. 又21111()()()()()()2!f f x f x f x x x x x η'''=+-+- 21()1()2!f x x η''=-+-，（η介于x 与1x 之间） 由于(0)(1)0f f ==，不令0x =和1x =，有211()0(0)1(0)2f f x ξ''==-+-， 所以21112()2(1)(1)f x x ξξ-''=-<<，当1112x <≤时，2128x -≥，而当1112x <<时，212(1)8x --≥，可见1()f ξ''与2()f ξ''中必有一个大于或等于8.3.3 利用泰勒公式判断广义积分的敛散性当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,就可以利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则.在判定广义积()a f x dx +∞⎰敛散性时, 通常选取广义积分1(0)p a dx p x +∞>⎰进行比较, 在此通过研究无穷小量()()f x x →+∞的阶来有效地选1pa dx x +∞⎰中的p 值，从而简单地判定()af x dx +∞⎰的敛散性（注意到：如果()af x dx +∞⎰得收敛，则()af x dx +∞⎰得收敛）. 例 1.研究广义积分4dx +∞⎰的敛散性. 解 ： 22(1)(1)1()2!x x x o x αααα-+=+++()f x =112233)(1)2x x=++--22223191131911())(1())22828o o x x x x x x =+⋅-⋅++-⋅-⋅+-3/23/2911()4o x x=-⋅+ ，因此，3/2()9lim14x f x x →+∞=，即()0f x →是1()x x →+∞的32阶，而3/241dx x +∞⎰收敛，故4()f x dx +∞⎰收敛，从而4dx +∞⎰.例2．讨论级数1n∞=∑的敛散性.注意到11ln ln(1)nn n+=+,若将其泰勒展开为1n的幂的形式,开二次方后恰与,会使判敛易进行.解：因为2341111111ln ln(1)234nn nn n n n n+=+=-+-+<,所以<所以nu=>，故该级数是正项级数.又因为3212n =>=-,所以332211)22nun n=-=.因为31212n n∞=∑收敛,所以由正项级数比较判别法知原级数收敛.3.4 利用泰勒公式判断函数的凸凹性及拐点例 1. 设()f x 在[a,b]上连续在(a,b)上具有一阶和二阶导数，若在(a,b)内 ()0f x ´´>()f x 在[a,b]上是凹向的. 12x x 证明：设c <d 为[a,b]内任意两点，且[c,d]足够小.<为[c,d]中的任意两点，1202x x =+记x 由定理条件得泰勒公式： 2000000()()()()()()((-))2n x x f x f x f x x x f x o x x ´´´-=+-++!，22102012001002000()()()()()()()()()()()22x x x x f x f x f x f x x x f x x x f x f x ´´´´´´--+=2+-+-++!!221020())())o x x o x x +(-+(-212()n x x x x 因为余项为-的高阶无穷小，[，]又为足够小，202000()()())()2x x f x o x x f x ´´´´-所以泰勒公式中+(-的符号与相同。
《泰勒公式的证明分析综述1900字》
泰勒公式的证明分析综述目录泰勒公式的证明分析综述 (1)1.1 常见泰勒公式形式 (1)1.1.1 带佩亚诺型余项的泰勒公式 (1)1.1.2 带拉格朗日型余项的泰勒公式 (2)1.2 带佩亚诺型余项的泰勒公式的证明 (2)1.3 带拉格朗日型余项的泰勒公式的证明 (3)高等数学中有不胜枚举的数学公式, 其中泰勒公式可以称得上是, 一个不可或缺的应用尤其广泛的公式. 就目前根据以往的学习情况来看, 针对于泰勒公式的使用有两方面, 一是向量函数下在更高维空间上的运用, 另一种则是在数量函数背景下针对于泰勒公式更加宽泛的使用. 简单来说, 微分几何教材中对于泰勒公式的证明, 它通过使用空间向量直角坐标系下的基向量, 将向量函数表示出来, 并根据给定的向量函数在闭区间上是C n+1类函数, 从而得到泰勒公式. 反观本文泰勒公式, 是在数量函数前提下的, 在数学的发展过程中对它的研究生成了许多的成果. 在泰勒公式不断完善发展的过程中, 针对泰勒公式的证明, 人们采用了多种不同的方法证明, 但整体上证明思想还是殊途同归的. 下面我们就根据泰勒公式的不同余项来构造不同辅助函数从而证明不同余项型的泰勒公式(见文献[8]).1.1常见泰勒公式形式1.1.1带佩亚诺型余项的泰勒公式函数f(x)在点x0若存在直至n阶导数, 我们可以得到f(x)=T n(x)+o((x−x0)n),即f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+f′′′(x0)3!(x−x0)3+∙∙∙+f(n)(x0)n!(x−x0)n+o((x−x0)n)形如o((x−x0)n)的余项称为佩亚诺型余项, 其中limx−x0o((x−x0)n)(x−x0)n=0.1.1.2带拉格朗日型余项的泰勒公式在闭区间[m,n]上, 若函数g(x)满足以下两个条件:(1)存在直至n阶的连续导函数:(2)开区间(m,n)上存在(n+1)阶导函数.则此时对任意取得的x, x0∈(m,n), 就会有g(x)=g(x0)+g′(x0)(x−x0)+g′′(x0)2!(x−x0)2+g′′′(x0)3!(x−x0)3+∙∙∙+g(n)(x0)n!(x−x0)n+g(n)(x0)(n+1)!(x−x0)n成立, 形如g (n)(x0)(n+1)!(x−x0)n的余项称为拉格朗日型余项(见文献[12]).以上, 我们给出了两种类型的泰勒公式, 从形式上看这两种泰勒公式结构大致相似, 但余项不同. 因此根据于这种特性, 我们可以通过带佩亚诺型余项的式子, 方便的进行有关极限内容的学习. 因为后面这个泰勒公式它的余项总是可以确定的, 即我们使用此余项下的泰勒公式, 进行近似计算或者理论分析是非常便捷的, 并且消除了公式中可能存在的误差, 提高了公式计算的精确度(见文献[1]).1.2带佩亚诺型余项的泰勒公式的证明引理1: 若有函数f(x), 则不妨设函数f(x)存在, 在某点x0的直到n阶的导数.并用其导数构造n次多项式L n(x)=f(x0)+f′(x0)1!(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+f′′′(x0)3!(x−x0)3+∙∙∙+f(n)(x0)n!(x−x0)n上式L n(x)就是x0处的泰勒多项式, 且系数f(k)(x0)k!(k=1,2,3,∙∙∙,)就是泰勒系数, f(x)与L n(x)在点x0函数值与n阶的导数值相等, 即有:f(k)(x0)=L n(k)(x0),k=0,1,2,3,∙∙∙,n.定理1: 若函数f在点x0有到n阶的导数, 则有f(x)=L n(x)+ o((x−x0)n),即f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+f′′′(x0)3!(x−x0)3+∙∙∙+f(n)(x0)n!(x−x0)n+o((x−x0)n).证明可设R n(x)=f(x)−L n(x),Q n(x)=(x−x0)n,故此时只需证明lim x−x0R n(x)Q n(x)=0.由引理1可知,R n(x0)=R n′(x0)=R n′′(x0)=R n′′′(x0)∙∙∙=R n(n)(x0)=0,同时由假设知Q n(x0)=Q n′(x0)=Q n′′(x0)=Q n′′′(x0)∙∙∙=R n(n−1)(x0)=0,Q n(n)(x0)=n!.则f(n)(x0)存在, 且f在领域U(x0)上有n−1阶导函数f(x). 于是若满足x∈U°(x0)且x→x0时, 通过洛必达法则可得:lim x−x0R n(x)Q n(x)=limx−x0R n′(x)Q n′(x)=limx−x0R n′′(x)Q n′′(x)=limx−x0R n′′′(x)Q n′′′(x)=∙∙∙=limx−x0R n(n−1)(x)Q n(n−1)(x)=limx−x0f(n−1)(x)−f(n−1)(x0)−f(n)(x0)(x−x0)n(n−1)∙∙∙2(x−x0)=1n!limx−x0[f(n−1)(x)−f(n−1)(x0)(x−x0)−f(n)(x0)]=0.以上, 就是我们所证明余项下的泰勒公式.(见文献[13]).1.3带拉格朗日型余项的泰勒公式的证明定理: 对于一般函数函数f(x), 若在[a,b]上有到n阶的连续导函数, 并位于(a,b)上的存在直至(n+1)阶的导函数, 故对随机的x,x0∈[a,b], 至少有一点ϑ∈(a,b), 可得到f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+f′′′(x0)3!(x−x0)3+∙∙∙+f(n)(x0)n!(x−x0)n+f(n+1)(ϑ)(n+1)!(x−x0)n+1.证明做辅助函数F(t)=f(x)−[f(t)+f′(t)(x−t)+∙∙∙+f(n)(t)n!(x−t)n],G(t)=(x−t)n+1.此时上面定理中的式子即为: F(x0)=f(n+1)(ϑ)(n+1)!G(x0)或 F(x0)G(x0)=f(n+1)(ϑ)(n+1)!. 不妨设x0<x,则F(t)与G(t)在[x0,x]上连续, 在(x0,x)上可导,且F′(t)=−f(n+1)(t)n!(x−t)n,G′(t)=−(n+1)(x−t)n≠0.又因F(x)=G(x)=0, 所以由柯西中值定理证得 F(x0)G(x0)= F(x0)−F(x)G(x0)−G(x)=F′(ϑ)G′(ϑ)=f(n+1)(ϑ)(n+1)!,其中ϑ∈(x0,x)包含于(a,b). 它的余项为R n(x)=f(x)−T n(x)=f(n+1)(ϑ)(n+1)!(x−x0)n+1,ϑ=x0+θ(x−x0)(0<θ<1).故, 我们完成了带拉格朗日型余项型的泰勒公式的证明.( 见文献[3]).。
泰勒公式及其应用论文)
泰勒公式及其应用论文)泰勒公式及其应用摘 要文章主要对泰勒公式在近似计算、求极限、证明不等式、外推、求曲线的渐近线方程和判断级数收敛性，对函数凹凸性及拐点判断、广义积分敛散性中的应用关于界的估计、和泰勒公式展开的唯一性问题做了简单系统的介绍和分析，从而体现泰勒公式式在微分学中占有很重要的地位.关键词 泰勒公式; 佩亚诺余项; 拉格朗日余项; 不等式; 根的唯一存在性; 极值; 近似计算.一．引言近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒将函数展开成级数得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式()20000000()()()()()()()(),1!2!!n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-++-称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),n n f x T x x x ο=+-即()200000000()()()()()()()()(()).2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+-称为泰勒公式.我们都知道，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可缺少的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。
在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面. 这篇主要在于探索泰勒公式及其应用的新方法，借助泰勒公式的广泛应用，将泰勒公式的知识应用到数学解题的各个方面和领域中去，得出泰勒公式在数学各方面的应用和解求方法的简便性.二．预备知识2.1泰勒公式的定义定义2.1]1[ 若函数()f x 在0x 存在n 阶导数,则有'''200000()()()()()()1!2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+()00()()(),!n n n f x x x r x n +-+ （1）其中 0()()(())n n n r x r x o x x =-满足上述公式称为()f x 在点0x x =处带有佩亚诺余项的的泰勒公式.当0x =0时,（1）式变成)(!)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n nn x o x n f x f x f f x f +++++= ,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义2.2]2[ 若函数 ()f x 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则''()'20000000()()()()()()()...()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x r x n =+-+-++-+, （2）这里()n r x 为拉格朗日余项(1)10()()()(1)!n n n f r x x x n ξ++=-+,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒公式.当0x =0时,（2）式变成''()'2(0)(0)()(0)(0)...()2!!n nn f f f x f f x x x r x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ .)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!nnn x x x x x o x n =-+-++-+.2311ln(1)(1)()231n nn x x x x x o x n +++=-+-+-++.)(1112n n x o x x x x+++++=- ， +-++=+2!2)1(1)1(x m m mx x m 定理 2.1]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得00)(μ=x f .2.2泰勒公式的意义泰勒公式的意义是，用一个n 次多项式来逼近函数()f x .而多项式具有形式简单，易于计算等优点.泰勒公式由()f x 的n 次泰勒多项式()n P x 和余项0()(())n n R x o x x =-组成，我们来详细讨论它们.当n =1时，有 1000()()()()P x f x f x x x '=+-，是()y f x =的曲线在点00(,())x f x 处的切线（方程），称为曲线()y f x =在点00(,())x f x 的一次密切，显然，切线与曲线的差异是较大的，只是曲线的近似.当n =2时，有2020000()()()()()()2!f x P x f x f x x x x x '''=+-+-， 是曲线()y f x =在点00(,())x f x 的“二次切线”，也称曲线()y f x =在点00(,())x f x 的二次密切.可以看出，二次切线与曲线的接近程度比切线要好.当次数越来越高时，接近程度越来越密切，近似程度也越来越高. 2.3泰勒公式余项的类型泰勒公式的余项分为两类，一类佩亚诺型余项0(())n o x x -，一类是拉格朗日型余项(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++-+，它们的本质相同，但性质各异.佩亚诺型余项0(())n o x x -是定性的余项，仅表示余项是比0()n x x -（当0x x →时）高阶的无穷小.如33sin ()6x x x o x =-+，表示当0x →时，sin x 用36x x -近似，误差（余项）是比3x 高阶的无穷小.拉格朗日型余项(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++-+是定量的余项（ξ也可以写成00()x x x θ+-）.定量的余项一般用于函数值的计算与函数形态的研究.三．泰勒公式的应用3.1 .利用泰勒公式求极限简化极限运算,就可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限.例1.求极限sin 2limsin cos x x xe x xx x x →0-1--- .分析 ： 此为0型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和sin x ,x e 分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解：由1sin 2xx e x x ---=233331()())2626x x x x x o x x x o x ++++-1--(-+=34333()()6126x x x o x o x ++=+, 3233sin cos ()(1())62x x x x x x o x x o x -=-+--+=33()3x o x + 于是1sin 2lim sin cos xx x e x x x x x →0----3333()162()3x o x x o x +==+，3. 2 利用泰勒公式证明不等式当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,往往使证明方便简捷.例1. 当0x ≥时,证明31sin 6x x x ≥-.证明 取31()sin 6f x x x x =-+,00x =,则'''''''''(0)0,(0)0,(0)0,()1cos ,(0)0.f f f f x x f ====-≥带入泰勒公式,其中n =3,得31cos ()0003!x f x x θ-=+++，其中10<<θ. 故当0x ≥时,31sin 6x x x ≥-.例2. 设()f x 在[0,1]二次可导，而且(0)(1)0f f ==，01lim ()1x f x ≤≤=-，试求存在(0,1)ξ∈，使()8f ξ''≥.证： 由于()f x 在[0,1]的最小值不等于在区间端点的值，故在[0,1]内存在1x ，使1()1f x =-，由费马定理知，1()0f x '=. 又21111()()()()()()2!f f x f x f x x x x x η'''=+-+- 21()1()2!f x x η''=-+-，（η介于x 与1x 之间） 由于(0)(1)0f f ==，不令0x =和1x =，有211()0(0)1(0)2f f x ξ''==-+-， 所以21112()2(1)(1)f x x ξξ-''=-<<，当1112x <≤时，2128x -≥，而当1112x <<时，212(1)8x --≥，可见1()f ξ''与2()f ξ''中必有一个大于或等于8.3.3 利用泰勒公式判断广义积分的敛散性当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,就可以利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则.在判定广义积()a f x dx +∞⎰敛散性时, 通常选取广义积分1(0)pa dx p x +∞>⎰进行比较, 在此通过研究无穷小量()()f x x →+∞的阶来有效地选1pa dx x +∞⎰中的p 值，从而简单地判定()af x dx +∞⎰的敛散性（注意到：如果()af x dx +∞⎰得收敛，则()af x dx +∞⎰得收敛）.例 1.研究广义积分4dx +∞⎰的敛散性. 解 ： 22(1)(1)1()2!x x x o x αααα-+=+++()f x =112233)(1)2x x=++--22223191131911())(1())22828o o x x x x x x =+⋅-⋅++-⋅-⋅+- 3/23/2911()4o x x=-⋅+ ，因此，3/2()9lim14x f x x →+∞=，即()0f x →是1()x x→+∞的32阶，而3/241dx x +∞⎰收敛，故4()f x dx +∞⎰收敛，从而4dx +∞⎰.例2．讨论级数1n∞=∑的敛散性.注意到11ln ln(1)nn n+=+,若将其泰勒展开为1n的幂的形式,开二次方后恰与相呼应,会使判敛易进行.解：因为2341111111ln ln(1)234nn nn n n n n+=+=-+-+<,所以所以nu=>，故该级数是正项级数.又因为3212n=>==-,所以332211)22nun n=<-=.因为31212n n∞=∑收敛,所以由正项级数比较判别法知原级数收敛.3.4 利用泰勒公式判断函数的凸凹性及拐点例 1. 设()f x 在[a,b]上连续在(a,b)上具有一阶和二阶导数，若在(a,b)内 ()0f x ´´>()f x 在[a,b]上是凹向的.12x x 证明：设c <d 为[a,b]内任意两点，且[c,d]足够小.<为[c,d]中的任意两点，1202x x =+记x 由定理条件得泰勒公式： 2000000()()()()()()((-))2n x x f x f x f x x x f x o x x ´´´-=+-++!，22102012001002000()()()()()()()()()()()22x x x x f x f x f x f x x x f x x x f x f x ´´´´´´--+=2+-+-++!!221020())())o x x o x x +(-+(-212()n x x x x 因为余项为-的高阶无穷小，[，]又为足够小，202000()()())()2x x f x o x x f x ´´´´-所以泰勒公式中+(-的符号与相同。
泰勒公式及其应用论文
学士学位论文泰勒公式及其应用2012年5月18日毕业论文成绩评定表院（系）：数学与信息学院学号：独创声明本人在此声明：本篇论文，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议．尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果．对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明．此声明的法律后果由本人承担．作者签名:二〇一二年五月十八日毕业论文使用授权声明本人完全了解鲁东大学关于收集、保存、使用毕业论文的规定．本人愿意按照学校要求提交论文的印刷本和电子版，同意学校保存论文的印刷本和电子版，或采用影印、数字化或其它复制手段保存论文；同意学校在不以营利为目的的前提下，建立目录检索与阅览服务系统，公布论文的部分或全部内容，允许他人依法合理使用．（保密论文在解密后遵守此规定）论文作者（签名）：二〇一二年五月十八日目录1.引言 (1)2. 泰勒公式及其应用 (1)2.1预备知识 (1)3 泰勒公式的应用 (3)3.1利用泰勒公式求极限 (3)3.2利用泰勒公式求不等式 (3)3.3利用泰勒级数判断级数的敛散性 (4)3.4利用泰勒公式证明根的唯一性 (5)3.5利用泰勒公式判断函数的极值 (5)3.6利用泰勒公式求初等函数的幂级展开式 (6)3.7利用泰勒公式进行近似计算 (6)3.8利用泰勒公式判断函数的凸凹性和拐点 (7)3.9利用泰勒公式求高阶导数在某点的数 (8)参考文献 (8)致谢 (8)泰勒公式及其应用（数学与信息学院 数学与应用数学 2008级数本2班20082112010）摘要：在数学分析中泰勒公式是一个重要的内容.本文论述了泰勒公式的定义，内容 ，并介绍了泰勒公式的9个应用及举例说明.利用泰勒公式求不等式,求极限，证明敛散性，根的唯一性等一系列泰勒函数的应用，使我们更加清楚地认识泰勒公式的重要性.关键词：泰勒公式 皮亚诺余项 拉格朗日余项 应用Taylor formula and it ’s application(20082112010 Class 2 Grade 2008 Mathematics & Applied Mathematics School of Mathematics & Information)Abstract:In the mathematical analysis Taylor formula is a important content. This paperdiscusses the definition of Taylor formula, content, and introduces the Taylor formula nine application and give an example. Use Taylor formula for inequality, please limit, folding proof scattered sex, theuniqueness of root, a series of Taylor function of application, make us more clearly know the importance of Taylor formula.Keywords: Taylor ’s formula The emaining of the Piano The remaining of the LagrangianApplication1.引言泰勒公式将一些复杂函数近似的表示为简单的多项式函数,是高等数学中重要部分.作者通过查阅一些参考文献，从中搜集了大量的习题，通过认真计算，其中部分难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳总结.由于本文的主要内容是介绍泰勒公式的应用,所以,本文以例题为主进行讲解说明.2. 泰勒公式及其应用2.1 预备知识定义[]12.1 若函数f 在0t 存在n 阶导数,则有()()()()()()()()()()20000001!2!!n n nn n f t f t f t f t f t t t t t t t o t t n '''=+-+-++-+-（1）这里()()0no t t -为皮亚诺余项,称（1）f 在点0t 的泰勒公式.当0t =0时,（1）式变成()()()()()()200001!2!!n nn f f f f t f t t t o t n '''=+++++称此式称为（带皮亚诺余项的）麦克劳林公式.定义2.2 若函数f 在0t 某邻域内为存在直至n+1阶的连续导数,则()()()()()()()()200000()1!2!!n nn n n f t f t f t f t f t t t t t t t R t n '''=+-+-++-+（2）这里R （n ）为拉格朗日余项()()()110()()1!n n f R n t t n α++=++,其中α在t 与0t 之间,称（2）为f 在0t 的泰勒公示.当0t =0时,（2）式变成()()()()()20000()1!2!!n nn f f f f t f t t t R t n '''=+++++称此式为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式.其中,常见函数的展开式:()()()()21135212224222311212!!(1)!sin (1)()3!5!21!cos (1)()2!4!2!ln 1(1)()231111n n a n n nn nnn n n n n n a a e e a a n n t t t t t o t n t t t t t o t n t t t x t o t n t t t t t++++++=++++++=-+++-++=-+-+-++=-+-+-++=+++++-定理[]12.1 （介值定理）设函数g 在闭区间],[21x x 上连续。
《泰勒公式的应用综述2800字》
泰勒公式的应用综述首先, 给出常见的泰勒公式.设函数f(x)在区间(a,b)内有n+1阶导数,x0∈(a,b),则对任意x∈(a,b), 有:f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+f′′′(x0)3!(x−x0)3+∙∙∙+f(n)(x0)n!(x−x0)n+R n(x).其中Rn(x)为余项, 常见的余项有:(1)佩亚诺型余项: R n(x)=o((x−x0)n);(2)拉格朗日型余项: R n(x)=f(n+1)(x0)(n+1)!(x−x0)n+1;(3)柯西型余项: R n(x)=f(n+1)(ϑ)n!(x−x0)(x−ϑ)n, 其中ϑ在x与x0之间.根据实际的学习情况, 我们知道遇到的大多数有关泰勒公式的问题是, 泰勒公式在x0=0时的特殊形式( 见文献[15]), 即:f(x)=f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+f′′′(0)3!x3+∙∙∙+f(n)(0)n!x n+o(x n) (1)f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+f′′′(x0)3!(x−x0)3+∙∙∙+f(n)(x0)n!(x−x0)n+f(n+1)(x0)(n+1)!(x−x0)n+1(2)(1)式及(2) 式就是分别带佩亚诺型及拉格朗日型余项的麦克劳林公式. 类似的常见函数的余项不同的麦克劳林公式有:e x=1+x+x22!+∙∙∙+x nn!+o(x n);sin x=x−x33!+x55!+∙∙∙+(−1)m−1x2m−1(2m−1)!+o(x2m);cos x=1−x22!+x44!+∙∙∙+(−1)m x2m(2m)!+o(x2m+1);ln(1+x)=x−x22+x33+∙∙∙+(−1)n−1x nno(x n);(1+x)α=1+αx+α(α−1)2!x2+∙∙∙+α(α−1)∙∙∙(α−n+1)n!x n+o(x n);111−x=1+x+x2+∙∙∙+x n+o(x n).e x=1+x+x22!+∙∙∙+x nn!+eθx(n+1)!x n+1,0<θ<1,x∈(−∞,+∞);sin x=x−x33!+x55!+∙∙∙+(−1)m−1x2m−1(2m−1)!+(−1)m cosθx(2m+1)!x2m+1;cos x=1−x22!+x44!+∙∙∙+(−1)m x2m(2m)!+(−1)m cosθx(2m+1)!x2m+1,0<θ<1,x∈(−∞,+∞);ln(1+x)=x−x22+x33+∙∙∙+(−1)n−1x nn+(−1)n x n+1(n+1)(1+θx)n+1,0<θ<1,x>1;(1+x)α=1+αx+α(α−1)2!x2+∙∙∙+α(α−1)∙∙∙(α−n+1)n!x n+α(α−1)∙∙∙(α−n)(n+1)!(1+θx)α−n−1x n+1,0<θ<1,x>1;1 1−x =1+x+x2+∙∙∙+x n+x n+1(1−θx)n+2,0<θ<1,|x|<1.1.1泰勒公式在数学分析中的应用1.1.1泰勒公式在求极限上的应用求极限limx→0cos x−e−x22x4讨论:观察发现针对于此题, 我们当然可以采用之前学习过的方法进行解答，但是我们发现由于题中出现指数幂的形式, 求解过程较繁琐, 在上面泰勒公式的证明中, 我们知道带有佩亚诺型余项的泰勒公式可以在极限求解中使用, 因此我们不妨一试(见文献[14]).根据前面我们可以写出余弦函数和底数为e的幂指数麦克劳林公式, 并做差有:cos x=1−x22+x224+o(x5);e−x 22=1−x22+x48+o(x5);cos x−e−x 22=−x412+o(x5);故而求得:lim x→0cos x−e−x22x4=limx→0−x412+o(x5)x4=−112.1.1.2泰勒公式在近似计算上的应用2例1: 计算e的值, 使其误差不超过10−6;解一开始我们不妨写出函数f(x)=e x的麦克劳林公式形式, 这个可以由泰勒公式写出, 即: e x=1+x+x22!+∙∙∙+x nn!+o(x n), 紧接着对于把麦克劳林公式, 我们可以直接换写为, 带有拉格朗日型余项的形式. 故由f(n+1)=e x, 得到e x=1+x+x2 2!+∙∙∙+x nn!+eθx(n+1)!x n+1,其中0<θ<1,x∈(−∞,+∞). 故R n(1)=eθ(n+1)!<3(n+1)!, 又n取值为9时, 可得R9(1)<310!=33628800<e−6. 则e的近似值为:e=1+1+12!+13!+∙∙∙+19!≈2.718285.例2:证明e 为无理数.证明常见函数f(x)=e x它的麦克劳林公式, 就是: e x=1+x+x22!+∙∙∙+x nn!+o(x n).写成拉格朗日型余项的时候就有:e x=1+x+x22!+∙∙∙+x nn!+eθx(n+1)!x n+1其中0<θ<1,x∈(−∞,+∞). 当x=1时有:e=1+1+12!+13!+∙∙∙+1n!+eθ(n+1)!(0<θ<1).即由上式得: n!e−(n!+n!+3∙4∙ ∙∙∙ ∙n+ ∙∙∙ +n+1)=e θ(n+1). 倘若e=pq(p,q为正整数), 则当n>q时, n!e为正整数, 从而式子n!e−(n!+n!+3∙4∙ ∙∙∙ ∙n+ ∙∙∙ +n+1)=eθ(n+1)左边是正整数. 且我们可知:一方面e θ(n+1)<e(n+1)<1(n+1), 另一方面n大于等于2时右边不是整数, 故而e是无理数.1.2泰勒公式在数值分析中的应用(见文献[4])1.2.1泰勒公式在数值微分上的应用设步长ℎ>0, 把函数f(x+ℎ), 以及函数f(x+ℎ)在x点泰勒展开, 即:f(x+ℎ)=f(x)+ℎf′(x)+ ∙∙∙+ℎkk!f(k)(x)+ℎk+1(k+1)!f(k+1)(ϑ1)3(1)f(x−ℎ)=f(x)−ℎf′(x)+ ∙∙∙+(−ℎ)kk!f(k)(x)+(−ℎ)k+1(k+1)!f(k+1)(ϑ2)(2)其中x−ℎ<ϑ2<x<ϑ1<x+ℎ.当k=1时, 由(1) 式可得:f′(x)=f(x+ℎ)−f(x)ℎ−ℎ2f′′(ϑ1),所以,一阶导数的向前差分公式近似为: f′(x)≈f(x+ℎ)−f(x)ℎ, 同时−ℎ2f′′(ϑ1)是产生的误差. 即k取值为2时,(1) 式和(2) 式作差可得f′(x)=f(x+ℎ)−f(x−ℎ)2ℎ−ℎ26f′′′(ϑ3).其中ϑ2<ϑ3<ϑ1. 则: f′(x)≈f(x+ℎ)−f(x−ℎ)2ℎ是一阶中心差分公式, 其中−ℎ26f′′′(ϑ3)是误差. 又k取值为3时,(1) 式和(2) 作和可得:f′′(x)=f(x+ℎ)−2f(x)+f(x−ℎ)ℎ−ℎ212f′′′′(ϑ4).其中ϑ2<ϑ3<ϑ1. 则: f′′(x)≈f(x+ℎ)−2f(x)+f(x−ℎ)ℎ是二阶中心差分公式, 其中−ℎ212f′′′′(ϑ4)是误差.除了上述之外, 我们进行近似求导时, 不妨使用积分来实现, 即有:Dℎf(x)=32ℎ3∫f(x−t)dt ℎ−ℎ.对函数f(x+t),t∈[−ℎ,ℎ]. 在x点进行泰勒展开可得:f(x+t)=f(x)+tf′(x)+t22f′′(x)+t36f′′′(ϑ5),并由上式可知: x−ℎ<ϑ5<x+ℎ, 且把(4) 式代入(3) 式有:Dℎf(x)=f′(x)+ℎ210f′′′((ϑ5),即:f′(x)≈32ℎ3∫tf(x+t)dt ℎ−ℎ,且其误差为−ℎ210f′′′((ϑ5).1.2.2泰勒公式在常微分方程数值解上的应用(见文献(4))4考虑一阶常微分方程初值问题:{p′=f(x,p),x∈[a,b],p(a)=p0,的数值解.解首先我们要知道, 数值解就是将一般函数p(x), 在离散的节点上的近似值p n≈p(x n)求解出来.其次考虑在[s,t]上, 建立等距的且离散的节点: s=x0< x1< ∙∙∙ <x N=t, 步长为r,即x n=x0+nr,n=0,1,∙∙∙,N.将p(x)在x n点泰勒展开, 可得(8) 式:p(x n+1)=p(x n)+ℎp′(x n)+ℎ22p′′(x n)+o(ℎ3)=p(x n)+ℎf(x n,p(x n))+ℎ22p′′(x n)+o(ℎ3)即得求解上述问题的欧拉法:p n+1=p n+ℎf(x n,p n),n=0,1,∙∙∙,N−1.假设p n是正确的, 即p n=p(x n), 则(8) 式减(9) 式, 可得局部截断误差(10) 式:p(x n+1)−p n+1=ℎ22p′′(x n)+o(ℎ3)对泰勒公式截断误差, 我们还可以在局部进行分析. 下面, 以辛普森(Simpson) 方法:p n+1=p nℎ3[f(x n,p n)+4f(x n+1,p n+1)+f(x n+2,p n+2)](11)为例, 且当它的近似值是准确值时展开分析, 即:p n+2=p(x n)+ℎ3[p′(x n)+4p′(x n+1)+p′(x n+2)](12)分别将p(x)和p′(x)在x n点泰勒展开, 可得:p(x)=p(x n)+(x−x n)p′(x)+∙∙∙+(x−x n)kk!p(k)(x)+o[(x−x n)k+1]5(13)p′(x)=p′(x n)+(x−x n)p′′(x)+∙∙∙+(x−x n)k−1p(k)(x)+o[(x−x n)k](k−1)!(14)又k取值为5时, 在(13) 式中取x=x n+2, 在(14) 式中分别取x=x n+1和x=x n+2, 代入(12) 式得, 辛普森(Simpson) 公式的局部截断误差:p(x n+2)−p n+2=ℎ5p(5)(x n)+o(ℎ6).906参考文献[1]徐会林, 刘智广, 肖中永. 从多项式逼近函数引出泰勒公式[J]. 高师理科学刊, 2018, 38(02): 57-60.[2]张笛. 罗尔中值定理及其应用[J]. 数学学习与研究, 2014(01): 122-123.[3]李晟威. 泰勒公式的证明及应用[J]. 课程教育研究, 2018(42): 129-130.[4]徐会林. 泰勒公式在数值分析中的应用[J]. 韶关学院学报, 2019, 40(12): 5-8.[5]阙凤珍, 温少挺. 柯西中值定理的应用[J]. 数学学习与研究, 2016(21): 19+21.[6]王建云, 全宏波, 赵育林. 浅谈拉格朗日中值定理的几种证明方法[J]. 数学学习与研究, 2021(07): 150-151.[7]陈天戈. 泰勒的著作与成就[J]. 语数外学习(高中版下旬), 2021(04): 63-64.[8]胡有婧. 向量函数的泰勒公式的不同形式及其证明[J]. 数学学习与研究,2021(29): 140-141.[9]韩树新, 何军, 王钥, 王炜卿. 浅谈拉格朗日对数学的贡献[J]. 教育教学论坛,2020(32): 322-323.[10]何锐, 春光. 数学“ 诗人” ——柯西[J]. 课堂内外(小学智慧数学), 2021(12):24-27.[11]Ian Tweddle. The prickly genius – Colin MacLaurin (1698–1746)[J]. TheMathematical Gazette,1998,82(495).[12]迟炳荣, 王秀红. 用数学归纳法证明泰勒公式[J]. 中学数学杂志, 2008(09):13-14.[13]姚海燕. 带有佩亚诺型余项的泰勒公式的新证明[J]. 教育教学论坛, 2014(20):120.[14]胡汉章. 泰勒公式在数学分析解题中的应用探讨[J]. 教育教学论坛, 2020(52):281-282.7[15]何小芳. 浅谈泰勒(Taylor) 公式的应用[J]. 企业家天地(理论版), 2011(07):192-194.8。
泰勒公式的应用论文
目录引言 (2)1．泰勒公式 (3)1.1 泰勒多项式 (3)1.2 两种类型的泰勒公式 (4)2．泰勒公式的应用 (6)2.1 利用泰勒公式求极限 (6)2.2 利用泰勒公式证明不等式 (11)2.3 利用泰勒公式进行近似计算和误差估计 (15)结束语 (17)参考文献 (17)致谢 (18)泰勒公式及其应用理学院数学082 陈培贤指导教师：卢晓忠摘要：泰勒公式是数学分析中重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。
运用泰勒公式可以有效地解决某些问题，在微积分的各个方面都有重要的应用。
本文将介绍泰勒公式及其在求极限、不等式的证明、近似计算三方面的应用，从而能够对泰勒公式有更深入的了解，认识到泰勒公式的重要性。
关键词：泰勒公式; 佩亚诺余项; 拉格朗日余项;应用引言不论是进行近似计算还是理论分析，我们总希望用一些简单的函数来近似表示比较复杂的函数。
多项式是比较简单的一种函数，它只包含加、乘两种运算，最适于使用计算机计算。
因此，我们常用多项式来近似表示函数。
泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的，泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式。
泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，微分学理论中最一般的情形是泰勒公式。
它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。
它建立了函数的增量，自变量增量与一阶及高阶导数的关系，将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用。
这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。
用泰勒公式可以很好的解决某些问题，如求极限、不等式证明、近似计算、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性等方面。
泰勒公式毕业论文
泰勒公式毕业论文摘要泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。
但一般高数教材中仅介绍了如何用泰勒公式展开函数，而对泰勒公式的应用方法并未深入讨论，在教学过程中学生常因学用脱离而难以理解。
本文论述了泰勒公式的一些基本内容，并着重介绍了它在数学分析中的一些应用。
泰勒公式是数学分析中的重要知识，在某些题目中运用泰勒公式会达到快速解题的目的。
本文主要从不同的方面对泰勒公式进行综合论述：利用泰勒公式求极限，求无穷远处极限，证明中值公式，中值点的极限，证明不等式，导数的中值，关于界的估计，方程中的应用，用泰勒公式巧解行列式。
对于泰勒公式如何更广泛的应用于高等代数中这一问题，还在进一步的研究中。
关键字：泰勒公式极限函数不等式函数方程ABSTRACTTaylor formula is a very important concept in advanced mathematics. It divides complicated functions into polynomial functions. It have became a powerful leverage when we analysis and research other mathematics problem because of its simplicity. However, normal advanced mathematic textbooks only introduce how to use Taylor formula to expand the functions and never get into the applications of Taylor formula, The students are always hard to use it because we teach it detached from use in teaching process .This paper discusses some of Taylor's formula for the basic content, and focused on mathematical analysis in some applications. Taylor's formula is the mathematical analysis of the important knowledge, the use of certain topics in Taylor formulato reach the purpose of solving problems quickly. In this paper, different aspects from the Taylor formula for a comprehensive discussion: the use of Taylor's formula for the limit, for infinite distance limit, the proof of the value of the formula in the limit point to prove that inequality in the value of derivatives, it is estimated that the estimates on the sector, equations, using Taylor formula determinant clever solution.Taylor formula for how the wider use of Advanced Algebra with the problem, still further study.Key Words：Taylor formula limit function inequality function equation大连交通大学2012届本科生毕业论文目录一、Taylor公式简介 (1)（一）Taylor公式的基本形式 (1)（二）Taylor公式余项类型 (2)（三）Taylor公式的定理 (5)二、Taylor公式的证明 (6)（一）Taylor公式证明初探 (6)（二）证明Taylor公式 (6)三、Taylor公式的应用 (7)（一）利用Taylor公式求极限 (8)（二）利用Taylor公式判断函数的极值 (9)（三）利用Taylor公式判定广义积分敛散性 (10)（四）利用Taylor公式证明中值定理 (11)（五）利用Taylor公式求行列式的值 (13)（六）Taylor公式在关于界的估计的应用 (14)谢辞............................................... 错误！未定义书签。
(整理)毕业论文泰勒展开式及其应用伟
泰勒公式及其应用摘 要 文章主要对泰勒公式在近似计算、求极限、证明不等式、外推、求曲线的渐近线方程和判断级数收敛性，对函数凹凸性及拐点判断、广义积分敛散性中的应用关于界的估计、和泰勒公式展开的唯一性问题做了简单系统的介绍和分析，从而体现泰勒公式式在微分学中占有很重要的地位.关键词 泰勒公式; 佩亚诺余项; 拉格朗日余项; 不等式; 根的唯一存在性; 极值; 近似计算.一．引言近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒将函数展开成级数得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式()20000000()()()()()()()(),1!2!!n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-++-称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),n n f x T x x x ο=+-即()200000000()()()()()()()()(()).2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+-称为泰勒公式.我们都知道，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可缺少的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。
在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面. 这篇主要在于探索泰勒公式及其应用的新方法，借助泰勒公式的广泛应用，将泰勒公式的知识应用到数学解题的各个方面和领域中去，得出泰勒公式在数学各方面的应用和解求方法的简便性.二．预备知识2.1泰勒公式的定义定义2.1]1[ 若函数()f x 在0x 存在n 阶导数,则有'''200000()()()()()()1!2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+()00()()(),!n n n f x x x r x n +-+ （1）其中 0()()(())n n n r x r x o x x =-满足上述公式称为()f x 在点0x x =处带有佩亚诺余项的的泰勒公式.当0x =0时,（1）式变成)(!)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n nn x o x n f x f x f f x f +++++= ,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义2.2]2[ 若函数 ()f x 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则''()'20000000()()()()()()()...()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x r x n =+-+-++-+, （2）这里()n r x 为拉格朗日余项(1)10()()()(1)!n n n f r x x x n ξ++=-+,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒公式.当0x =0时,（2）式变成''()'2(0)(0)()(0)(0)...()2!!n nn f f f x f f x x x r x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ .)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!nnn x x x x x o x n =-+-++-+.2311ln(1)(1)()231n nn x x x x x o x n +++=-+-+-++.)(1112n n x o x x x x+++++=- ， +-++=+2!2)1(1)1(x m m mx x m 定理 2.1]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得00)(μ=x f .2.2泰勒公式的意义泰勒公式的意义是，用一个n 次多项式来逼近函数()f x .而多项式具有形式简单，易于计算等优点.泰勒公式由()f x 的n 次泰勒多项式()n P x 和余项0()(())n n R x o x x =-组成，我们来详细讨论它们.当n =1时，有 1000()()()()P x f x f x x x '=+-，是()y f x =的曲线在点00(,())x f x 处的切线（方程），称为曲线()y f x =在点00(,())x f x 的一次密切，显然，切线与曲线的差异是较大的，只是曲线的近似.当n =2时，有2020000()()()()()()2!f x P x f x f x x x x x '''=+-+-， 是曲线()y f x =在点00(,())x f x 的“二次切线”，也称曲线()y f x =在点00(,())x f x 的二次密切.可以看出，二次切线与曲线的接近程度比切线要好.当次数越来越高时，接近程度越来越密切，近似程度也越来越高. 2.3泰勒公式余项的类型泰勒公式的余项分为两类，一类佩亚诺型余项0(())n o x x -，一类是拉格朗日型余项(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++-+，它们的本质相同，但性质各异.佩亚诺型余项0(())n o x x -是定性的余项，仅表示余项是比0()n x x -（当0x x →时）高阶的无穷小.如33sin ()6x x x o x =-+，表示当0x →时，sin x 用36x x -近似，误差（余项）是比3x 高阶的无穷小.拉格朗日型余项(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++-+是定量的余项（ξ也可以写成00()x x x θ+-）.定量的余项一般用于函数值的计算与函数形态的研究.三．泰勒公式的应用3.1 .利用泰勒公式求极限简化极限运算,就可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限.例1. 求极限sin 2lim sin cos x x xe x xx x x →0-1--- .分析 ： 此为00型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和sin x , xe 分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解： 由1sin 2xx e x x ---=233331()())2626x x x x x o x x x o x ++++-1--(-+=34333()()6126x x x o x o x ++=+, 3233sin cos ()(1())62x x x x x x o x x o x -=-+--+=33()3x o x + 于是1sin 2lim sin cos xx x e x x x x x →0----3333()162()3x o x x o x +==+，3. 2 利用泰勒公式证明不等式当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,往往使证明方便简捷.例1. 当0x ≥时,证明31sin 6x x x ≥-.证明 取31()sin 6f x x x x =-+,00x =,则'''''''''(0)0,(0)0,(0)0,()1cos ,(0)0.f f f f x x f ====-≥带入泰勒公式,其中n =3,得31cos ()0003!x f x x θ-=+++，其中10<<θ. 故当0x ≥时,31sin 6x x x ≥-.例2. 设()f x 在[0,1]二次可导，而且(0)(1)0f f ==，01lim ()1x f x ≤≤=-，试求存在(0,1)ξ∈，使()8f ξ''≥.证： 由于()f x 在[0,1]的最小值不等于在区间端点的值，故在[0,1]内存在1x ，使1()1f x =-，由费马定理知，1()0f x '=. 又21111()()()()()()2!f f x f x f x x x x x η'''=+-+- 21()1()2!f x x η''=-+-，（η介于x 与1x 之间） 由于(0)(1)0f f ==，不令0x =和1x =，有211()0(0)1(0)2f f x ξ''==-+-， 所以21112()2(1)(1)f x x ξξ-''=-<<，当1112x <≤时，2128x -≥，而当1112x <<时，212(1)8x --≥，可见1()f ξ''与2()f ξ''中必有一个大于或等于8.3.3 利用泰勒公式判断广义积分的敛散性当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,就可以利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则.在判定广义积()a f x dx +∞⎰敛散性时, 通常选取广义积分1(0)pa dx p x +∞>⎰进行比较, 在此通过研究无穷小量()()f x x →+∞的阶来有效地选1pa dx x +∞⎰中的p 值，从而简单地判定()af x dx +∞⎰的敛散性（注意到：如果()af x dx +∞⎰得收敛，则()af x dx +∞⎰得收敛）.例 1. 研究广义积分4(332)x x x dx +∞++--⎰的敛散性. 解 ： 22(1)(1)1()2!x x x o x αααα-+=+++()332f x x x x =++--112233(1)(1)2x x x=++--22223191131911(1())(1())22828x o o x x x x x x =+⋅-⋅++-⋅-⋅+-3/23/2911()4o x x=-⋅+ ，因此，3/2()9lim14x f x x →+∞=，即()0f x →是1()x x →+∞的32阶，而3/241dx x +∞⎰收敛，故4()f x dx +∞⎰收敛，从而4(332)x x x dx +∞++--⎰.例2． 讨论级数111(ln )n n n n∞=+-∑的敛散性.注意到11lnln(1)n n n+=+,若将其泰勒展开为1n 的幂的形式,开二次方后恰与1n相呼应,会使判敛易进行. 解： 因为2341111111lnln(1)234n n n n n n nn+=+=-+-+<, 所以11ln1n n<+, 所以11ln 0n n u n n+=->，故该级数是正项级数. 又因为332332322111111111111ln()()23422n o n n n n n n n n n nn n +=-++>-+=-=-, 所以3322111111ln ()22n n u n n n nn n +=-<--=.因为31212n n∞=∑收敛,所以由正项级数比较判别法知原级数收敛.3.4 利用泰勒公式判断函数的凸凹性及拐点例 1. 设()f x 在[a,b]上连续在(a,b)上具有一阶和二阶导数，若在(a,b)内 ()0f x ´´>()f x 在[a,b]上是凹向的.12x x 证明：设c <d 为[a,b]内任意两点，且[c,d]足够小.<为[c,d]中的任意两点，1202x x =+记x 由定理条件得泰勒公式：2000000()()()()()()((-))2n x x f x f x f x x x f x o x x ´´´-=+-++!，22102012001002000()()()()()()()()()()()22x x x x f x f x f x f x x x f x x x f x f x ´´´´´´--+=2+-+-++!!221020())())o x x o x x +(-+(-212()n x x x x 因为余项为-的高阶无穷小，[，]又为足够小，202000()()())()2x x f x o x x f x ´´´´-所以泰勒公式中+(-的符号与相同。
论文---泰勒公式的应用
泰勒公式的应用摘要：泰勒公式是我们大学数学分析中一个很重要的公式，也是必资必学的一个公式，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这使得我们在解题的时候更加方便快捷，它不仅在近似计算上有独特的优势，利用它可以将非线性问题转化为线性问题，并能满足很高的精确要求。
如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。
泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在 1712 年的一封信里首次叙述了这个公式。
泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容。
除此之外，泰勒公式在应用于求极限， 判断级数的敛散性和多种不等式的证明中，这对深刻体会泰勒公式的重要作用， 拓宽我们的解题思维，提高分析与解决问题的能力以及综合运用知识的能力有着巨大的指导作用。
关键词：泰勒公式；近似计算；函数；敛散性；极限一、 引言1715 年，泰勒在其著作《正的和反的增量方法》中首先提出了著名的泰勒 f （x ）=f （x ）+f ′(x )(x − x ) + f ′′(x 0) (x − x )2 + ⋯ + f (n )(x 0)(x − x )n 当 x = 0 时2!n !O便称作麦克劳林公式。
1772 年，拉格朗日强调了这条公式的重要性，而且称之为微分学基本定理，但是泰勒在 证明中并没有考虑级数的收敛性，因而使证明不严谨，直到十九世纪二十年代才由柯西完成。
在初等函数中，多项式是最简单的函数。
因为多项式函数的运算只有加、减、乘三种运算。
如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数用多项式函数近似代替，而误差 又能满足要求，显然， 这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。
那么一个函数只有什么条件才能用多项式函数近似代替呢?这个多项式函数的各项系数与这个函数有什么关系呢?用多项式函数近似代替这个函数误差又怎么样呢? 通过对数学分析的学习，我感觉到泰勒公式是微积分学中的重要内容，在函 . 数值估测及近似计算，用多项式逼近函数， 求函数的极限和定积分不等式、等式的证明等方面，泰勒公式是非常有用的工具。
泰勒公式及其在极限运算中的运用(论文)
摘要 (2)1 引言 (4)2 泰勒公式 (5)2.1 n次泰勒多项式 (5)2.2 泰勒公式 (6)2.3 泰勒公式的种类 (6)2.31 含有佩亚诺余项的泰勒公式 (6)2.32 含有拉格朗日余项的泰勒公式 (7)2.33 特殊的泰勒公式 (7)3 利用泰勒公式求极限及其应用 (8)3.1 一些常见的麦克劳林公式 (8)3.2 一些实例分析 (9)4 结论 (17)参考文献 (18)在初等函数中，多项式是最简单的函数，因为多项式函数的运算只有加、减、乘三种运算.如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数用多项式函数近似代替，而又满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义.而泰勒公式就起了很好的桥梁作用，本文将系统地阐述对一个函数具有什么条件才能用此多项式近似代替；这个多项式函数的各项系数与这个函数有什么样的关系；用多项式函数近似代替这个函数的误差又怎样；重点是怎样利用泰勒公式计算极限以及其在极限计算中的应用，对比分析出泰勒公式的优越性.关键词：泰勒公式；近似代替；极限运算AbstractPolynomial in elementary function is the most simple function, because the polynomial function is used only three kinds of add, subtract, multiply computing. If can the rational fractional function, especially the irrational function and elementary transcendental function approximation using polynomial function, and meet the requirements, obviously, the study of functional state and function value approximate calculation has important significance. And there was a very good role of bridge and Taylor formula, this article will systematically expounded is what condition for a function to substitute the polynomial approximation; The polynomial function coefficient and the function of what kind of relationship; Using polynomial function approximation instead of what the function of the error; Focuses on how to use Taylor formula calculation, the application limit and the limit analysis of the superiority of the Taylor formula.Key words：Taylor formula;and approximate replace;limit operation1 引言在数学中，泰勒公式是在级数基础上发展起来的，它是用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.在近似计算、极限计算、函数凹凸性判断、敛散性的判断、等式与不等式的证明、中值问题以及行列式的计算等方面有重要的应用.泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，不仅在理论上占有重要的地位.通过泰勒公式和极限运算的学习，已经掌握初等函数在某一点的泰勒展式，对于一些高阶的极限运算，直接求极限不好求，利用泰勒公式能很快地求出.所以对泰勒公式的进一步研究是非常重要的.泰勒公式的证明与应用方面的研究对于科研者来说一直具有强大的吸引力，许多研究者已在此领域获得许多研究成果.例如，[1]刘玉琏、傅沛仁、林玎等人重点谈了无理函数和初等函数用多项式函数近似代替，而这时误差又能满足要求，也即是把函数写成n次泰勒多项式.[3]张筑生体统地谈了用n次多项式来研究可导n次的函数，也就是带小o余项的泰勒公式是无穷小增量公式的推广.[4]沈燮昌、邵品琮等人主要是从逼近角度对它进行介绍，并说明泰勒公式的一些应用.其中用泰勒公式来求极限就是一个应用.对于一些高阶的极限运算，要求得其极限是非常困难的.对泰勒公式的研究就是为了解决上述问题的.通过对数学分析的学习，我感觉到泰勒公式是高等数学中最重要的内容，在各个领域有着广泛的应用，例如在函数值估测及近似运算，用多项式逼近函数，求函数的极限和定积分不等式、等式的证明，求函数在某点的高阶导数值等方面.除此之外，泰勒公式及泰勒级数的应用，往往能峰回路转，使问题变得简单易解.下面主要针对泰勒公式在极限中的应用，在一些题目当中，为解题带来了很多的便捷，这同时也为求极限提供了一种很好的方法.2 泰勒公式泰勒公式是微积分学中的一个重要内容，它用n 次多项式来研究可导n 次函数，这种带o 余项的泰勒公式是无穷小增量公式的推广.因此，泰勒公式是求极限的重要方法.对泰勒公式及其种类的认识是很有必要的.2.1 n 错误!未找到引用源。
泰勒公式数学毕业论文
泰勒公式及其应用[摘 要]文章简要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式,针对泰勒公式的应用讨论了九个问题，即应用泰勒公式求极限，证明不等式，判断级数的敛散性，证明根的唯一存在性,判断函数的极值,求初等函数的幂级数展开式,进行近似计算,求高阶导数在某些点的数值,求行列式的值.[关键词]泰勒公式；极限；不等式；敛散性；根的唯一存在性；极值;展开式;近似计算;行列式.１ 引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明.２预备知识]1[若函数f 在0x 存在n 阶导数,则有'''200000()()()()()()1!2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+()000()()(())!n n n f x x x o x x n +-+- （1）这里))((0n x x o -为佩亚诺型余项,称(1)f 在点0x 的泰勒公式.当0x =0时,（1）式变成)(!)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n nn x o x n f x f x f f x f +++++= ,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.]2[若函数f 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则''()'20000000()()()()()()()...()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-++-+, （2）这里()n R x 为拉格朗日余项(1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=++,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒公式.当0x =0时,（2）式变成''()'2(0)(0)()(0)(0)...()2!!n nn f f f x f f x x x R x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ .)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!nnn x x x x x o x n =-+-++-+.)(1)1(32)1ln(1132++++-+-+-=+n n n x o n x x x x x . )(1112n n x o x x x x+++++=- +-++=+2!2)1(1)1(x m m mx x m . ]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得00)(μ=x f .3泰勒公式的应用3.1 利用泰勒公式求极限为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出.例3.1 求极限2240cos limx x x e x -→-.分析：此为0型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和22x e -分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解 由244cos 1()2!4!x x x o x =-++,222242()21()22x x x e o x --=-++得 2444422111cos ()()()4!22!12x x ex o x x O x --=-+=-+⋅, 于是244244001()cos 112limlim 12x x x x O x x ex x -→→-+-==-. 3.2 利用泰勒公式证明不等式当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,往往使证明方便简捷.例3.2 当0x ≥时,证明31sin 6x x x ≥-. 证明 取31()sin 6f x x x x =-+,00x =,则 '''''''''(0)0,(0)0,(0)0,()1cos ,(0)0.f f f f x x f ====-≥带入泰勒公式,其中n =3,得31cos ()0003!x f x x θ-=+++，其中10<<θ. 故当0x ≥时,31sin 6x x x ≥-. 3.3 利用泰勒公式判断级数的敛散性当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则.例3.3讨论级数1n ∞=∑的敛散性.分析：直接根据通项去判断该级数是正向级数还是非正向级数比较困难,因而也就无法恰当选择判敛方法,注意到11lnln(1)n n n +=+,若将其泰勒展开为1n 的幂的形式,相呼应,会使判敛容易进行.解 因为2341111111lnln(1)234n n nn n n nn+=+=-+-+<, 所以<所以nu=>故该级数是正向级数.又因为3212n=>==-,所以332211)22nun n=-=.因为31212n n∞=∑收敛,所以由正向级数比较判别法知原级数收敛.3.4 利用泰勒公式证明根的唯一存在性例3.4 设f(x)在[,)a+∞上二阶可导,且'()0,()0f a f a><,对''(,),0x a f∈+∞≤,证明：()0f x=在(,)a+∞内存在唯一实根.分析：这里f(x)是抽象函数,直接讨论()0f x=的根有困难,由题设f(x)在[,)a+∞上二阶可导且'()0,()0f a f a><,可考虑将f(x)在a点展开一阶泰勒公式,然后设法应用戒指定理证明.证明因为''()0f x≤,所以'()f x单调减少,又'()0f a<,因此x>a时,''()()0f x f a<<,故f(x)在(,)a+∞''2()()()()()()()2f f x f a f a x a x a a x ξξ=+-+-<<由题设''()0,()0f a f ξ<≤,于是有lim x →∞=-∞,从而必存在b a >,使得()0f b <,又因为()0f a >,在[,]a b 上应用连续函数的介值定理,存在0(,)x a b ∈,使0()0f x =,由f(x)的严格单调性知0x 唯一,因此方程()0f x =在(,)a +∞内存在唯一实根.3.5 利用泰勒公式判断函数的极值]4[(极值的第二充分条件)设f 在0x 的某邻域);(0δx U 内一阶可导,在0x x =处二阶可导,且0)(0'=x f ,0)(0''≠x f .(i)若0)(0''<x f ,则f 在0x 取得极大值.(ii) 若0)(0''>x f ,则f 在0x 取得极小值.证明 由条件，可得f 在0x 处的二阶泰勒公式))(()(!2)()(!1)()()(20200''00'0x x o x x x f x x x f x f x f -+-+-+=.由于0)(0'=x f ,因此200''0))](1(2)([)()(x x o x f x f x f -+=-.(*)又因0)(0''≠x f ,故存在正数δδ≤',当);('0δx U x ∈时,)(210''x f 与)1()(210''o x f +同号.所以,当0)(0''<x f 时,(*)式取负值,从而对任意);('0δx U x ∈有0)()(0<-x f x f ,即f 在0x 0)(0''>x f ,可得f 在0x 取得极小值.3.6 利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式利用基本初等函数的幂级数展开式,通过加减乘等运算进而可以求得一些较复杂的初等函数的幂级数展开式.求211x x ++的幂级数展开式.解 利用泰勒公式231111x x x x -==++-369346791034679100(1)(1)1()222222222(1)[sin ]3n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x n x π∞=-++++=-+-+-+-+=-+-+-+-++=3.7 利用泰勒公式进行近似计算利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,利用)(x f 麦克劳林展开得到函数的近似计算式为'''2(0)(0)()(0)(0)2!!n n f f f x f f x x x n ≈++++,其误差是余项()n R x .解 先写出f(x)=Ln(1+x)带拉格朗日型余项的麦克劳林展开式：231(1)(1)()23nn n x x x Ln x x R x n-+=-+++-+, 其中11(1)()(1)(1)n n n n x R x n ξ++-=++（ξ在0与x 之间）. 令2.0=x ,要使111(0.2)|()|(0.2)0.0001(00.2)(1)(1)n n n n R x n ξξ+++=<≤<<++ 则取5=n 即可. 因此5ln1.20.20.020.002670.000400.000060.1823||0.0001R ≈-+-+=<其误差当要求的算式不能得出它的准确值时,即只能求出其近似值,这时泰勒公式是解决这种问题的最好方法.例3.8 求21x edx -⎰的近似值,精确到510-.解 因为21x e dx -⎰中的被积函数是不可积的（即不能用初级函数表达）,现用泰勒公式的方法求21x e dx -⎰的近似值.在xe 的展开式中以2x -代替 x 得24221(1)2!!nx nx x ex n -=-+++-+逐项积分,得242111112000001(1)2!111111(1)32!52n 111111111310422161329936075600n x nn x x e dx dx x dx dx dx n n -=-+-+-+=-+-+-++=-+-+-+-+⎰⎰⎰⎰⎰！！上式右端为一个收敛的交错级数,由其余项()n R x 的估计式知2711||0.0000157560011111110.7468363104221613299360x R edx -≤<≈-+-+-+≈⎰所以3.8 利用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值如果f(x)泰勒公式已知,其通项中的加项n x x )(0-的系数正是)(!10)(x f n n ,从而可反过来求高阶导数数值,而不必再依次求导.例3.9 求函数x e x x f 2)(=在x=1处的高阶导数)2()100()1(f .解 设x=u+1,则e e u e u u g xf u u ⋅+=+==+2)1(2)1()1()()(,)0()1()()(n ng f =,u e 在u=0的泰勒公式为)(!100!99!9811001009998u o u u u u e u++++++= ,从而))(!100!99!981)(12()(10010099982u o u u u u u u e u g +++++++= ,而g(u)中的泰勒展开式中含100u的项应为100100!100)0(u g ,从g(u)的展开式知100u 的项为100)!1001!992!981(u e ++,因此 10101)0(),!1001!992!981(!100)0(100100⋅=++=e g e g , e g f 10101)0()1(100100==.3.9 利用泰勒公式求行列式的值若一个行列式可看做x 的函数（一般是x 的n 次多项式）,记作f(x),按泰勒公式在某处0x 展开,用这一方法可求得一些行列式的值.求n 阶行列式D=xz z z y x z zyy x zy y y x（1） 解 记D x f n =)(,按泰勒公式在z 处展开：n n n n n n z x n z x f z x z f z x z f z f x f )(!)()(!2)()(!1)()()()(2'''--+-+-+= , （2）易知1)(000000000000--=-----=k k y z z y z y y z y y z y y z y y z D 阶（3）由（3）得,时都成立n k y z z z f k k ,,2,1,)()(1 =-=-. 根据行列式求导的规则,有).)((1)(),(2)(,),()1()(),()(1'11'22'11'x x f x f x f x f x f n x f x nf x f n n n n ===-==---因为于是)(x f n 在z x =处的各阶导数为21'')()(|)()(--=-===n n z x n n y z nz z nf z f z f , 3'1'''')()1()(|)()(--=--===n n z x n n y z z n n z nf z f z f ,…………z n n z f n n f z f z x n n n n 2)1()(2)1(|)(111 -=-===--12)1()()(⋅-= n n z f n n把以上各导数代入（2）式中,有nn n n n n z x n n n z x z n n n z x y z z n n z x y z z n y z z x f )(!12)1()()!1()21()()(!2)1()()(!1)()(12321-⋅-+---++-⋅--+--+-=----若y z =,有])1([)()(1y n x y x x f n n -+-=-,若y z ≠,有yz z x y y x z x f nn n ----=)()()(.4 总结本文主要介绍了泰勒公式以及它的九个应用,使我们对泰勒公式有了更深一层的理解,怎样应用泰勒公式解题有了更深一层的认识.,只要在解题训练中注意分析,研究题设条件及其形式特点,并把握上述处理规则,就能比较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧.参考文献[1]陈传章金福林：《数学分析》（下）北京：高等教育出版社,1986.[2]张自兰崔福荫：《高等数学证题方法》陕西：陕西科学出版社,1985.[3]王向东：《数学分析的概念和方法》上海：上海科学技术出版社,1989.[4]同济大学数学教研室主编.高等数学【M】.北京：人民教育出版社,1999.[5]刘玉琏傅沛仁：数学分析讲义【M】.北京：人民教育出版社,2000.[6]华东师范大学数学系,数学分析（第二版）【M】高等教育出版社,1911.[7]张立民Visual Foxpro5.x中文版应用技术手册【M】大连：大连理工大学出版社,1997[8]中文版Visual Foxpro3.0编程指南【M】西安：西安交通大学出版社,1997[9]Visual Basic程序设计【M】中央广播电视大学出版社,2001Some Equivalent Definitionsand Applications of Convex FunctionWang Cuina（Grade06,Class4, Major in Mathematics and Applied Mathematics, Department ofMathematics,ShaanxiUniversity of Technology, Hanzhong 723000, Shaanxi)Tutor:Li Jinlong[Abstract]This paper briefly introduces the T aylor formula and the expansion of several common functions, for the T aylor formula discussed nine issues that limit application of T aylor's formula of seeking to prove that inequality, determine convergence and divergence of series, that the root The only existence, determine the function of the extreme value, find the primary function of the power series expansion, to approximate calculation, find the higher derivative value at some point, find the value of determinant.[Key words]T aylor formula; limit; inequality; Convergence; root of the only existence; extreme;expansion; approximate calculation; determinant.。
泰勒公式的论文
摘要泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，是一种非常重要的数学工具. 本文通过对泰勒公式的证明方法进行介绍，归纳整理其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用，从而进一步加深对泰勒公式的认识.关键词：泰勒公式；极限；敛散性；不等式AbstractThe Taylor formula is an important component in mathematical analysis, is also a useful mathematical tool. The paper introduce the proof methods of the Taylor formula, summarize the applications which solve the limit and derivative, judge convergence and divergence of series and generalized integral, the proof of inequality and integral by Taylor formula, thus deeply understand of Taylor formula.Key words: Taylor formula; limit; the property of convergence and divergence; inequality目录摘要 (I)Abstract (II)第1章泰勒公式的概念及其相关理论 (1)第1节泰勒公式的概念及相关理论的证明 (1)第2节常见的初等函数的麦克劳林公式及其推导过程 (5)第2章泰勒公式的应用 (7)第1节利用泰勒公式求极限 (7)第2节利用泰勒公式进行近似计算 (8)第3节利用泰勒公式证明不等式问题 (9)第4节利用泰勒公式判断级数的敛散性 (11)第5节利用泰勒公式证明根的唯一存在性 (12)第6节利用泰勒公式求函数的极值 (13)第7节利用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值 (13)第8节利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式 (15)结论 (17)参考文献 (18)致谢 (19)第1章 泰勒公式的概念及其相关理论第1节 泰勒公式的概念及相关理论的证明定义1 若任意的一个函数)(x f （不一定是多项式函数），只要函数)(x f 在a 存在n 阶导数，总能形式的写出相应的n 次多项式n n n a x n a f a x a f a x a f a f x )(!)()(!2)()(!1)()()()(2-++-''+-'+=T （1）则称（1）为函数)(x f 在a 的n 阶泰勒多项式．定义2 若将函数)(x f 与它的n 次泰勒多项式)(x n T 的差表示为)()()(x x f x R n n T -=或)()()(x x R x f n n T +=.)(x R n 为函数)(x f 在a 的n 次泰勒余项，简称泰勒余项．定理1（泰勒定理） 若函数)(x f 在a 存在n 阶导数，则)(a U x ∈∀都有])[()()(n n a x o x x f -+T =,（2） 其中n n n a x n a f a x a f a x a f a f x )(!)()(!2)()(!1)()()()(2-++-''+-'+=T ；)]()[()(a x a x o x R n n →-=，即)(x R n 是比n a x )(-的高阶无穷小.其中)]()[()(a x a x o x R n n →-=称为佩亚诺余项，（2）式成为函数)(x f 在a （展开）的泰勒公式．证法 由高阶无穷小的定义，只需证明0)()()(lim )()(lim=--=-→→nn a x n n a x a x x T x f a x x R ,这是0的待定型，应用1-n 次洛必达法则.证明 )()()(x x f x R n n T -=])(!)()(!2)()(!1)()([)()(2n n a x n a f a x a f a x a f a f x f -++-''+-'+-= . ])()!1()()(!1)()([)()(1)(---++-''+'-'='n n n a x n a f a x a f a f x f x R .])()!2()()(!1)()([)()(2)(---++-''+''-''=''n n n a x n a f a x a f a f x f x R .……)](!1)()([)()()1()1()1(a x a f a fx fx R n n n n n-+-=---.（对它不能再求导数了）当a x →时，显然，)(x R n ，)(x R n '，)(x R n ''，…，)()1(x R n n-，以及)()(+∈-N k a x k 都是无穷小．于是，由洛必达法则有nn a x a x x R )()(lim-→1)()(lim -→-'=n n a x a x n x R 2))(1()(lim-→--''=n na x a x n n x R = )(!)(lim )1(a x n x R n n a x -=-→⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=--→)()()(lim !1)()1()1(a f a x a f x f n n n n a x )]()([lim !1)()(a fa f n n n ax -=→0=．定义3 当0=a 时，函数)(x f 在0处存在n 阶导数，（2）式即是)(!)0(!2)0(!1)0()0()()(n nn n x o x n f x f x f f x +++''+'+=T ，称之为麦克劳林公式．定理2（泰勒中值定理） 若函数)(x f 在)(a U 存在1+n 阶导数，)(a U x ∈∀，函数)(t G 在以a 和x 为端点的闭区间I 连续，在其开区间可导，且0)(≠'t G ，则在a 和x 之间至少存在一点c ，使得+-''+-'+=2)(!2)()(!1)()()(a x a f a x a f a f x f )]()([)()(!)()(!)()1()(a G x G c x c G n c f a x n a f n n nn --'+-++（3） 其中)]()([)()(!)()()1(a G x G c x c G n c f x R n n n --'=+.证法 应用柯西中值定理.证明 I t ∈∀，设（将n 次泰勒多项式)(x T n 中的a 换为t ）n n t x n t f t x t f t x t f t f t F )(!)()(!2)()(!1)()()()(2-++-''+-'+= .而 +-''+-''--''+'-'='2)(!2)()(!1)()(!1)()()()(t x t f t x t f t x t f t f t f t Fn n n n t x n t f t x n t f )(!)()(!)()1(1)(-+-++-,即得n n t x n t f t F )(!)()()1(-='+.不难看到，函数)(t F 和)(t G 在闭区间I 连续，在其开区间可导，且0)(≠'t G ，满足柯西中值定理的条件，则在a 和x 之间至少存在一点c ，使得n n c x c G n c f c G c F a G x G a F x F )()(!)()()()()()()()1(-'=''=--+或)]()([)()(!)()()()1(a G x G c x c G n c f a F x F n n -⋅-'=-+.（4） 已知)()(x f x F =，n n a x n a f a x a f a x a f a f a F )(!)()(!2)()(!1)()()()(2-++-''+-'+= ，将它们带入（4）中，移项，有+-''+-'+=2)(!2)()(!1)()()(a x a f a x a f a f x f)]()([)()(!)()(!)()()(a G x G c x c G n c f a x n a f n n nn --'+-+，其中)]()([)()(!)()()1(a G x G c x c G n c f x R n n n -⋅-'=+.泰勒公式中的余项)(x R n 是极为一般的，并且)(t G 是任意的，今后主要应用)(t G 的两种特殊情况．1．带有拉格朗日（Lagrange ）余项的泰勒公式如果取1)()(+-=n t x t G ，它满足定理2的条件，则有0))(1()(≠-+-='n t x n t G ，0)(=x G ，1)()(+-=n a x a G ，c 在a 与x 之间，则带有拉格朗日（Lagrange ）余项的泰勒公式为)1()1()(2)()!1()(!)()(!2)())(()()(++-++++-''+-'+=n n n a x n c f n a f a x a f a x a f a f x f ．特别的，当0=a 时，1)1()(2)!1()(!)0(!2)0()0()0()0(++++++''+'+=n n n x n c f n f x f x f f f .此时上式称之为带有拉格朗日余项麦克劳林（Maclaurin ）公式.2．带有柯西余项的泰勒公式若t x t G -=)(，它也满足定理2的条件，有01)(≠-='t G ，0)(=x G ，a x a G -=)(. 将它们带入)(x R n 之中，有)()(!)()()1(a x c x n c f x R n n n --=+，c 在a 与x 之间，称为柯西余项.特别的，当00=x 时，1)1()(2)1(!)(!)0(!2)0()0()0()0(++-+++''+'+=n n n n x n x f n f x f x f f f θθ ，)10(<<θ此时上式称之为带有柯西余项的麦克劳林（Maclaurin ）公式.第2节 常见的初等函数的麦克劳林公式及其推导过程常见的五种初等函数的麦克劳林公式，在应用时较广泛，因此需简单介绍： 1．x e x f =)(.已知x n e x f =)()(，1)0()(=n f ，取拉格朗日余项，有xn n xe n x n x x x e θ)!1(!!2!1112++++++=+ ，)10(<<θ2．x x f sin )(=.已知)2sin()()(π⋅+=n x x f n ,==2sin)0()(πn f n ⎩⎨⎧+=-=.12)1(.20k n n k n n k 是奇数，，是偶数，， 0)0(=f ，1)0(='f ，0)0(=''f ，1)0(-='''f ，……，以后依次“0，1，0，1-”循环，设k n 2=，有)()!12()1(!3sin 21213n k k x o k x x x x +--++-=-- ．3．x x f cos )(=.已知)2cos()()(π⋅+=n x x f n ，==2cos)0()(πn f n ⎩⎨⎧-=-=.12)1(.20k n n k n n k 是偶数，，是奇数，， 有)()!2()1(!4!21cos 12242++-+-+-=n k k x o k x x x x ． 4．)1ln()(x x f +=. 已知nn n x n x f )1()!1()1()(1)(+--=-，)!1()1()0(1)(--=-n f n n ，有 )(!)1(!3!2)1ln(132n nn x o n x x x x x +-+-+-=+- ．5．α)1()(x x f +=，其中R ∈α.已知n n x n x f -++--=αααα)1)(1()1()()( ，1)1()1)(()1()(--++--=n n x n x f αααα , )1()1()0()(+--=n f n ααα ，则有+-++=+2!2)1(!11)1(x x x αααα)(!)1()1(n n x o x n n +---+ααα .第2章 泰勒公式的应用第1节 利用泰勒公式求极限为了简化极限计算，有时可用某项的泰勒展开式来代替该项，使得原来函数的极限转化为类似多项式的有理式的极限，就能简洁的求出．例1 求极限xxx x 40sin cos )cos(sin lim-→． 分析 本题可以用无穷小量代换将x 4sin 换为4x ，再应用洛必达法则进行求解，但过程比较复杂，对于分母需要求多次导数才可得出计算结果．此时我们考虑用泰勒公式将分子在0=x 点处展开到x 的四次幂约去分母进行计算．解 由等价无穷小可知道，分母为4x ，只要把x cos 和)cos(sin x 展开到4x 即可，)(2421cos 442x o x x x ++-=，)()]([241)](31[211)()]([241)](61[211)(sin 24)(sin 2)(sin 1)cos(sin 44444244233442x o x o x x o x x x o x o x x o x x x o x x x ++++--=++++--=++-=)(245211442x o x x ++-=， 于是xxx x 40sin cos )cos(sin lim-→ 44424420)]}(241211[)](245211{[lim x x o x x x o x x x ++--++-=→ =4440)(61lim x x o x x +→ =])(61[lim 440xx o x +→ =61．例2 计算极限)22ln 111(lim 320xx x x x -+++→． 解 先作如下的变化)21ln()21ln(2121ln22ln x x x xx x --+=-+=-+. 由拉格朗日的展开公式得，)]()2(31)2(212[)]()2(31)2(212[22ln332332x o xx x x o x x x x x ++++++-=-+ )(12133x o x x ++=，于是xx x x -+-+22ln 11132 33332)()121(111xx o x x x x ++-+=33)(1211xx o +-=即333333232)(1211)()121(11122ln111xx o x x o x x x x x x x x +-=++-+=-+-+ 1211])(1211[lim )22ln 111(lim 330320=+-=-+++→→xx o x x x x x x . 第2节 利用泰勒公式进行近似计算当要求的算式不能得出它的准确数值时，即只能求出它的近似值，这时泰勒公式是解决这种问题的最好办法．例1 估计下列近似公式的值并计算：数e 精确到910-．解 132)!1(!3!21++++++++=n n xx n e n x x x x e θ！ ，)10(<<θ当1=x 时，有)!1(!1!31!2111+++++++=n e n e θ，则有)!1(3)!1()!1!31!2111(+<+=+++++-n n e n e θ ， 欲使910)!1(3-<+n ，则有12≥n ，取12=n ，则有910!133-<，故 718281828.2!121!31!2111≈+++++≈ e ． 例2 估计下列近似公式的值并计算：11lg 准确到510-． 解 已知)1011ln(10ln 11)1011lg(1)110lg(11lg ++=++=+=，由于 11132)1)(1()1()1(32)1ln(++-++-+-+++-=+n n nn x n x n x x x x x θ ，)10(<<θ 取101=x ，则 ])101(1)1()101(31)101(21101[10ln 1)1011ln(10ln 1132n n n ⨯-++⨯+⨯--+- 511110)1(210)101)(1()101(---++<+<++=n n n n n θ， 得n n n -+-=>+4)1(51010)1(2，故取4=n ，故04139.1]4000130012001101[10ln 1111lg ≈++++≈． 第3节 利用泰勒公式证明不等式问题当题目中同时涉及)(x f ，)(x f '以及)(x f ''相关性质或不等式时，除了联系函数的单调性、凹凸性解题外，利用泰勒公式展开式也是一种有效的方法．例1 若)(x f 在]1,0[上是二阶可导的，并且有0)1()0(==f f ，当10≤≤x 时，)(x f 的最小值为1-，则)1,0(∈∃ξ，使得8)(≥''ξf ．证明 设0x 是)(x f 在]1,0[上的最小点，1)(0-=x f ，则在0x 点对)(x f 作泰勒公式展开（一阶），因为0)(0='x f ，则有20020000)(!2)()()(!2)())(()()(x x f x f x x f x x x f x f x f -''+=-''+-'+=ξξ， 将0=x 和1=x 分别带入得201)(2110x f ξ''+-=，)0(01x <<ξ； 202)1)((2110x f -''+-=ξ，)1(20<<ξx ， 即212)(x f =''ξ，202)1(2)(x f -=''ξ，此二者中必有一个是大于等于8的．事实上， 当210≤x 时，8)(1≥''ξf ； 当210>x 时，8)(2≥''ξf ；当R x ∈0时，16)()(21≥''+''ξξf f ．注意 此问题中最值点在内部取得，一定是极值点并且可导，故为稳定点． 例2 设)(x f 在],[b a 上二阶可导，且0)()(='='b f a f ，则),(b a c ∈∃，使得)()()(4)(2a fb f a bc f --≥''.证明 将)(x f 分别在a x =，b x =作泰勒公式展开，利用0)()(='='b f a f ，得21)(2)()()(a x f a f x f -''+=ξ， 22)(2)()()(b x f b f x f -''+=ξ, 令2ba x +=代入上两式并相减得， 0)]()([)2(21)()(212=''-''-+-ξξf f a b b f a f ，即())]()([21)]()([4212ξξf f b f a f a b ''-''=--.只要证明),(b a c ∈∃，使得)()(21)(21ξξf f c f ''-''≥'' 成立即可.令)(max{)(1ξf c f ''=''，})(2ξf ''，即可以得到)(4)()()(2c f a b b f a f ''-≤-.也就是)()()(4)(2a fb f a bc f --≥''． 第4节 利用泰勒公式判断级数的敛散性判断级数敛散性的问题，一个有效工具是带佩亚诺余项的泰勒公式．先将通项na 适当展开，再判断敛散性，对于证明问题，泰勒公式也是经常用的．例1 研究级数∑∞=-+2])1(1ln[n p nn 的收敛性.分析 此级数不是正项级数，且通项趋近于0．解 首先，该级数是一个交错级数，可先考虑何时绝对收敛. 因pn n a 1→，故 当1>p 时，原级数绝对收敛； 当1≤p 时，用泰勒公式展开：)(21)1ln(22x o x x x +-=+，)0(→x )1(21)1(])1(1ln[22p p p p p n no n n n +--=-+，)(∞→n可见，当210≤<p 时，原级数发散；当121≤<p 时，原级数条件收敛． 例2 设函数)(x f 在0=x 处二阶可导，且0)(lim0=→x x f x ，证明级数)1(1n f n n ∑∞=是收敛的．证明 应用泰勒公式，由条件有0)(=x f ，以及0)(lim )0()(lim)0(00==-='→→xx f x f x f f x x ， 于是，有)()0(21)()0(!21)0()0()(2222x o x f x o x f x f f x f +''=+''+'+=，)0(→x 从而得出)0(21])()0(21[lim )(lim 22020f x x o f x x f x x ''=+''=→→， 所以有)0(211)1(lim 23f nnf n n ''=∞→， 由∑∞=1321n n收敛，则)1(1n f n n ∑∞=也是收敛的．第5节 利用泰勒公式证明根的唯一存在性例1 设函数)(x f 在),[+∞a 上是二阶可导，并且有0)(>a f 和0)(<'a f 成立，对),(+∞∈a x ，0)(≤''x f ，证明0)(=x f 在),(+∞a 内存在唯一实根．分析 这里)(x f 是抽象函数，直接讨论0)(=x f 的根有困难，由题设)(x f 在),[+∞a 上二阶可导，并且0)(>a f ，0)(<'a f ，可考虑)(x f 将在a 点展开一阶泰勒公式，然后设法应用介值定理证明．证明 因为0)(≤''x f ，所以)(x f '单调减少，又因为0)(<'a f ，因此a x >时，0)()(<'<'a f x f ，故)(x f 在),(+∞a 上严格单调减少．在a 点展开一阶泰勒公式有2)(!2)())(()()(a x f a x a f a f x f -''+-'+=ξ，)(x a <<ξ由题设0)(<'a f ，0)(≤'ξf ，于是有-∞=∞→)(lim x f x ，从而必存在a b >，使得0)(<b f ，又因为0)(>a f ，在],[b a 上应用连续函数的介值定理，存在),(0b a x ∈，使0)(0=x f ，由)(x f 的严格单调性知0x 唯一，因此方程0)(=x f 在),(+∞a 内存在唯一实根．第6节 利用泰勒公式求函数的极值本节应用函数的泰勒公式，对函数的极值问题的第二充要条件作了进一步讨论. 例1（极值的第二充分条件） 设函数f 在0x 的某邻域),(0δx U 内一阶可导，在=x 0x 处二阶可导，且0)(0='x f ，0)(0≠''x f ，则（i ）若0)(0<''x f ，则f 在0x 取得极大值； （ii ）若0)(0>''x f ，则f 在0x 取得极小值．分析 连续函数及其高阶导数的桥梁是泰勒公式，因此，已知函数)(x f 的高阶导数的性质讨论)(x f 的性质，要应用泰勒公式．证明 由已知，可得f 在0x 处的二阶泰勒公式])[()(!2)()(!1)()()(20200000x x o x x x f x x x f x f x f -+-''+-'+=． 由于0)(0='x f ，因此，)])((2)([)()(2000x x o x f x f x f -+''=-， （1） 又因0)(0≠''x f ，故存在正数δδ≤'.当),(0δ'∈x U x 时，)(210x f ''和])[()(21200x x o x f -+''同号． 所以，当0)(0<''x f 时, （1）式取负值，对任意),(0δ'∈x U x ，有0)()(0<-x f x f ,即f 在0x 取得极大值. 同理可得，当0)(0>''x f ，可得f 在0x 取得极小值．第7节 利用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值对于函数)(x f 求一阶导数，较容易得出，而高阶导数则不容易求得，利用泰勒公式展开，可以轻易地求出)(x f n ，常用于处理与高阶导数相关的函数的属性研究．例1 求函数x e x x f 2)(=在1=x 处的高阶导数)1()100(f ． 解 设1+=u x ，则e e u e u u g xf u u ⋅+=+==+2)1(2)1()1()()(，)0()1()()(n n g f =，u e 在0=u 的泰勒公式为)(!100!99!9811001009998u o u u u u e u++++++= ，从而)](!100!99!981)[12()(10010099982u o u u u u u u e u g ++++++++= ，而)(u g 中的泰勒展开式中含100u的项应为100)100(!100)0(u g ，从)(u g 的展开式知100u 的项为100)!1001!992!981(u e ++， 因此)!1001!992!981(!100)0()100(++=e g ， 10101)0()100(⋅=e g ， e g f 10101)0()1()100()100(==．例2 设)1ln()(2x x x f +=，求)0()(n f . )3(>n 解 由)1ln(x +的麦克劳林，)()1(32)1ln(132n nn x o nx x x x x +-+++-=+- ， 可得)]()1(32[)(1322n nn x o nx x x x x x f +-+++-=- )(2)1(2343n nn x o n x x x +--++-=- ，)0(→x 所以2)1(!)0(3)(--=-n n fn n ．第8节 利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式利用某些已知函数的幂级数展开式（特别五个基本初等函数x e ，x sin ，x cos ，)1ln(x +和α)1(x +的幂级数展开式）通过他们的变换，四则运算，符合运算，逐渐求导或者逐渐积分等手段导出所求函数的幂级数展开式，这种间接的方法是最常用的．例1 将下列函数展开为x 的幂级数，并确定敛散性：（1）x x f 3sin )(=； （2）)1ln()(2x x x f ++=.解 （1）利用基本展开式∑∞=++-=012)!12()1(sin n n n n x x ，R x ∈就有x x x 3sin 41sin 43sin 3-=∑∑∞=+∞=++--+-=012012)!12()3()1(41)!12()1(43n n n n n n n x n x 1220)31()!12()1(43+∞=-+-=∑n n n nx n . )(R x ∈（2）()211x x f +='212)1(x +=nnn x n n 21!)!2(!)!12()1(1--+=∑∞=，其中)1,1(-∈x .对于)1,1(-∈∀x ，逐渐积分上式就有dt t f f x f x⎰'=-0)()0()(⎰∑--+=∞=x nnn dt t n n x 021!)!2(!)!12()1(，而0)0(=f ，由此即得12!)!2(!)!12()1()(121+--+=-∞=∑n x n n x x f n n n，其中)1,1(-∈x ， 故有12!)!2(!)!12()1()1ln(1212+--+=+++∞=∑n x n n x x x n nn ，其中)1,1(-∈x ．结论泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，本文主要介绍了泰勒公式以及它在求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面的应用．通过本文的研究使我们对泰勒公式有了更深一层的理解，对于怎样应用泰勒公式解题有了更深一层次的认识．只要在解题训练中注意分析，研究题设条件及其形式特点，并把握处理规则，就能比较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧．参考文献[1] 刘玉琏，傅沛仁，数学分析讲义[M]，北京：高等教育出版社，(2003)：230-240[2] 裴礼文，数学分析中的典型问题[M]，北京：高教教育出版社，(1993)：98-104[3] 孙清华，孙昊，数学分析内容、方法与技巧[M]，武汉：华中科技大学出版社，(2003)：165-174[4] 朱永生，刘莉，基于泰勒公式应用的几个问题[J]，长春师范学院学报，2007，8(12)：6-9[5] 华东师范大学数学系，数学分析（第二版）[M]，北京：人民教育出版社，(2001)：134-140[6] 王三宝，泰勒公式的应用举例[J]，高等函授学报，2008，17(9)：15-18[7] 冯平，泰勒公式在求高等数学问题中的应用[J]，新疆职业大学学报，2003，13(5)：8-11[8] 唐清干，泰勒公式在判断级数及积分敛散性中的应用[J]，桂林电子工业大学学报，2002，9(13)：16-19致谢在本文的撰写过程中，孙威老师作为我的指导教师，她治学严谨，学识渊博，视野广阔，为我们营造了一种良好的学术氛围．置身其间，耳濡目染，潜移默化，使我不仅接受了全新的思想观念，树立了明确的学术目标，领会了基本的思考方式，掌握了通用的研究方法，而且还让我明白了许多待人接物与为人处世的道理．孙老师的严以律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力，与无微不至、感人至深的人文关怀，令人如沐春风，倍感温馨．正是由于孙威老师您在百忙之中多次审阅全文，对细节进行修改，并为本文的撰写提供了许多中肯而且宝贵的意见，本文才得以成型．在此特向孙威老师您致以衷心的谢意！同时向您无可挑剔的敬业精神、严谨认真的治学态度、深厚的专业修养和平易近人的待人方式表示深深的敬意！。
泰勒公式及其应用论文.doc
泰勒公式及其应用摘要：泰勒公式是数学分析中的重要知识,在某些题目中运用泰勒公式会达到快速解题的目的.本文主要阐述了利用泰勒公式进行近似计算和误差分析、求极限、求函数在某点处的高阶导数、求定积分、求某些微分方程的解、巧解行列式、判断函数极值与拐点、判断级数与广义积分的敛散性、证明不等式、证明根的唯一性等方面的应用及技巧.关键字：泰勒公式；应用；极限；不等式；敛散性；根的唯一存在性；极值.一.引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.本文主要探索的是泰勒公式的一些重要应用,并对不同的应用进行相应的分析,并且通过例题分析说明泰勒公式的应用及注意事项和应用技巧.二.泰勒公式及其余项1.泰勒公式的基本概述若函数)(x f 在0x 处存在n 阶导数,则对)(0x U x ∈∀,有)()(!)()(!2)())(()(00)(200000x R x x n x f x x x f x x x f x f n n +-++-''+-'+ , (1)])[()(0n n x x x R -=ο,)(0x x →,即)(x R n 是比n x x )(0-的高阶无穷小. (1)式称为)(x f 在0x 处的泰勒展开式.2.泰勒公式的重要形式泰勒定理中给出的余项])[()(0nn x x x R -=ο称为佩亚诺余项.佩亚诺余项])[(0n x x -ο只是给出来余项的定性描述,它不能估算余项)(x R n 的数值,还需要进一步的进行定量描述.（1）拉格朗日余项若函数)(x f 在)(0x U 内存在1+n 阶的连续导数,则对)(0x U x∈∀有)()(!)()(!2)()()(00)(2000x R x x n x f x x x f x f x f n n n +-++-+= , (2) 1)1()()!1()()(0++-+=n n n x x n f x R ξ称为拉格朗日余项,其中ξ在x 与0x 之间,称(2)式为)(x f 在0x 的带拉格朗日余项的泰勒公式.当00=x 时, (2)式变成)(!)0(!2)0()0(')0()()(2x R x n f x f f f x f n nn ++++= ,1)!1()()()1(++=+n n x n f x R n ξ,其中ξ在0与x 之间,称此式为带拉格朗日余项的麦克劳林公式.（2）柯西余项若函数)(x f 在)(0x U 内存在1+n 阶的连续导数,则对)(0x U x∈∀有)()(!)()(!2)())(()()(00)(200000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+= , (3))()(!)()(0)1(x x x n f x R n n n --=+ξξ,其中ξ在x 与0x 之间,称(3)式为)(x f 在0x 带柯西余项的泰勒公式.当00=x 时, (3)式变成)(!)0(!2)0()0()0()()0(2x R x n f x f x f f x f n n+++''+'+= ,1)1()1(!)()(++-=n n n n x n x f x R θθ,其中10<<θ,称此式为带柯西余项的麦克劳林公式.（3）积分余项若函数)(x f 在)(0x U 内存在1+n 阶的连续导数,则对)(0x U x∈∀有)()(!)()(!2)())(()()(00)(200000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+= , (4)⎰-=+x x n n n dt t x t f n x R 0))((!1)()1(,称(4)式为)(x f 在0x 带积分余项的泰勒公式.3.常见函数的展开式12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ ；)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n nx o n x x x x x ；24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!nnn x x x x x o x n =-+-++-+；)(1)1(32)1ln(1132++++-+-+-=+n n n x o n x x x x x ； )(1112n n x o x x x x+++++=- ；+-++=+2!2)1(1)1(x m m mx x m .三.泰勒公式的应用1.利用泰勒公式近似计算和误差估计在研究学习过程中,我们经常因为一些数据是无理数而无法得出具体的数值,但是通过泰勒公式就可以将这些数表示成容易计算并且可以计算的形式,进而得出具体的数值来近似该数.另外绝大多数的数值计算结果都会有误差,但是通过合理的计算方法就能最大限度的减少误差,同时减少计算的复杂程度.泰勒公式在近似计算和误差估计中应用就显得十分突出.下面在具体例子展示泰勒公式计算的方便与精确.例1 计算e 的值,使其误差不超过610-.解 x e x f =)(,由x n e x f=+)()1(,得到12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ ,10,<<θ)(∞+-∞∈，x .有: )!1(!1!2111++++++=n e n e θ,故)!1(3)!1()1(+<+=n n e R n θ,当9=n 时,便有691036288003!103)1(-<=<R , 从而略去)1(9R 而求得的近似值为.718285.2!91!31!2111≈+++++≈ e例2 2128x x ≈+-,[0,1]x ∈的绝对误差.解 设()f x =则因为1)0(=f ,21)1(21)('-+=x x f , 21)0('=f ,23)1(41)(''-+-=x x f , 41)0(''-=f ,.)1(83)('''25-+=x x f所以x x f +=1)(带有拉格朗日型余项的二阶麦克劳林公式为：2532)1(168211-++-+=+x x x x x θ,)10(<<θ.从而：161)1(16)(2532≤+=-x x x R θ ,]1,0[∈x . 2.利用泰勒公式求极限正如我们所知的一样,有一些特殊的极限通过一些常规的方法是没有办法直接计算得出来的,比如常见的00、∞∞型等,而通过利用泰勒公式将其中的一些项用泰勒展式替换将函数的极限化为类似于多项式有理式的极限,就可以解决这些问题的极限计算.例3 求30)1(sin lim x x x x e x x --→的极限. 解 因为分母为3x ,故分子的泰勒展开式中取3=n .)(!3!21332x o x x x e x++++= , )(!3sin 43x o x x x +-=.30)1(sin lim x x x x e xx --→3433320)1()](!3)][(!3!21[lim x x x x o x x x o x x x x --+-++++=→324320)(!3lim x x x x o x x x x --+++=→3430)(!3limx x o xx +=→ 31=. 例4 设函数)(x ϕ在],0[+∞上二次连续可微,如果)(lim x x ϕ+∞→存在,且)(''x ϕ在],0[+∞上有界.求证：0)('lim =+∞→x x ϕ.证明 要证明0)('lim =+∞→x x ϕ,即要证明:0>∀ε,0>∆∃ ,当∆>x 时, εϕ<)('x .利用泰勒公式,2)(''21)(')()(,0h h x x h x h ξϕϕϕϕ++=+>∀, 即 2)(''21)]()([1)('h x h x h x ξϕϕϕϕ--+=, (5)记)(lim x A x ϕ+∞→=,因''ϕ有界,所以0>∃M ,使得)()(''a x M x ≥∀≤，ϕ,故由(5)知221))()((1)('Mh x A A h x h x +-+-+≤ϕϕϕ, (6) 对0>∀ε,首先可取0>h ,充分小,使得2212ε<Mh ,然后将h 固定. 因A x x =+∞→)(lim ϕ,所以0>∆∃,当∆>x 时2))()((1εϕϕ<-+-+x A A h x h , 从而由(6)式即得.22)('εεεϕ=+<x3.利用泰勒公式判断函数极值拐点例5 设f 在0x 的某邻域);(0δx U 内一阶可导,在0x x =处二阶可导,且0)('0=x f ,0)(''0≠x f .证明(i)若0)(''0<x f ,则f 在0x 取得极大值； (ii) 若0)(''0>x f ,则f 在0x 取得极小值. 证明 由条件,可得f 在0x 处的二阶泰勒公式))(()(!2)('')(!1)(')()(20200000x x o x x x f x x x f x f x f -+-+-+=. 由于0)('0=x f ,因此2000))](1(2)(''[)()(x x o x f x f x f -+=-. (7) 又因0)(''0≠x f ,故存在正数δδ≤',当);('0δx U x ∈时,)(''210x f 与)1()(''210o x f +同号. 所以,当0)(''0<x f 时, (7)式取负值,从而对任意)';(0δx U x ∈有0)()(0<-x f x f ,即f 在0x 取得极大值.同样对0)(''0>x f ,可得f 在0x 取得极小值.例6 判定)4,0(是否是x e e x f x x cos 2)(++=-的拐点？解 x e e x f x x sin 2)('--=-,0)0('=f ；''()2cos x x f x e e x -=+-,0)0(''=f ； '''()2sin x x f x e e x -=-+,0)0('''=f ； (4)()2cos x x fx e e x -=+-,(4)(0)40f =≠.因为4n =,所以)4,0(不是)(x f 的拐点.注： 用泰勒公式可证明：若)(x f 在某个),(0δx u 内n 阶可导,且满足0)()('')('0)1(00=+==-x f x f x f n ,且，0)(0)(≠x f n )2(>n ,若：（1）n 为奇数,则))(,(00x f x 为拐点； （2）n 为偶数,则))(,(00x f x 不是拐点.4.利用泰勒公式判断级数的敛散性当我们所要判断的级数的表达式是由不同类型的函数构成的较为复杂的形式的时候,我们直接是很难判断该级数的敛散性的,但是如果利用泰勒公式将其形式化简成统一的形式,就可以利用相应的收敛准则快速地判断级数的收敛性了.下面通过例题说明如何利用泰勒公式判断级数的收敛性.例7 讨论级数)1111(22nn n a n n n ---=∑∑∞-∞-的敛散性. 解 由比较判别法可知：若11lim =∞→pnn n a ,+∞<<p 0,则正项级数∑∞-2n na和正项级数∑∞-21n pn同是收敛和发散.为了选取∑∞-21n pn中的p 的值,可以用泰勒公式研究通项0→n a ,)(∞→n 的阶.n n n a n 1111---=nnn n 1)1(11--⋅=n n n o n n n 11))1(()1(11[122--+++=n n n o n n n 11)1(1112/32/3--+++=)1(12/32/3n o n +=.因为当23=p 时11lim 23=∞→n a nn , 所以正项级数∑∞-21n pn收敛.故∑∞-2n na收敛.即证.5.利用泰勒公式判断广义积分的敛散性.)(x f 为正值函数,要判定dx x f a)(⎰+∞的收敛性.若能找到恰当的p xx g 1)(=,0>p 使l x g x f x =+∞→)()(lim ,又比较判别法的极限形式可判别出无穷积分dx x f a)(⎰+∞的收敛性.这里的问题也是如何选取0>p ,才能应用判别法则呢？运用泰勒公式通过研究)(x f 的阶,就可以解决这类问题.例8 研究广义积分dx xx xx ⎰-1sin sin 的敛散性.解 因为sin sin x xx x =∞-,所以0=x 是瑕点.由比较判别法可以知道,)(l dx x f x q =+∞<<l 0,则1q <时,()1f x dx ⎰收敛；当1q ≥时,()1f x dx ⎰发散. 因为 )(!3)](!3[sin sin 4343x o x x x x o x x x x x x x +--+-=- )](1[6)](611[32x o xx o x ++-=.所以 0sin lim 6sin x x xx x x+→⋅=-.因为1q =,所以广义积分dx xx xx ⎰-10sin sin 发散. 6.利用泰勒公式求函数在某点处的高阶导数如果)(x f 泰勒公式已知,其通项中的加项)()(n a x -的系数是)(!10)(x f n n ,从而可求高阶导数数值)(0)(x f n ,而不必依次求导.例9 写出22()x f x e-=的麦克劳林公式,并求)0()98(f与)0()99(f .解 因)(!2122n nxx o n x x x e +++++= ， (8)用)2(2x -替换(8)中的x ,得)(!2)1(!22212224222n n nn x x o n x x x e+⋅-++⋅+-=- , 由泰勒公式系数的定义,在上述)(x f 的麦克劳林公式中,98x 与99x 的系数分别为!4921)1()0(!9814949)98(⋅⋅-=f ,0)0(!991)99(=f . 由此得到!492!98)1()0(4949)98(⋅⋅-=f ,0)0()99(=f . 例10 求函数x e x x f 2)(=在1=x 处的高阶导数)1()100(f .解 设1+=u x ,则e e u e u u g xf u u ⋅+=+==+2)1(2)1()1()()(,)0()1()()(n ng f =,u e 在0=u 的泰勒公式为)(!100!99!9811001009998u o u u u u e u++++++= ,从而))(!100!99!981)(12()(10010099982u o u u u u u u e u g +++++++= ,而)(u g 中的泰勒展开式中含100u的项应为100100!100)0(u g ,从)(u g 的展开式知100u 的项为100)!1001!992!981(u e ++, 因此)!1001!992!981(!100)0(100++=e g ,10101)0(100⋅=e g , e g f 10101)0()1(100100==.7.利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式证明不等式主要是因为当我们证明的不等式中含有初等函数和多项式的混合物时,我们可利用泰勒公式将其化为统一的形式,方便我们的证明.例11 当0≥x 时,证明361sin x x x -≥.证明 取361sin )(x x x x f +-=,00=x ,则 0)0(=f ,0)0('=f ,0)0(''=f ,x x f cos 1)(''-=,0)0(''≥f .带入泰勒公式,其中3=n ,得3!3cos 1000)(x x x f θ-+++=,其中10<<θ. 故当0≥x 时,361sin x x x -≥. 例12 设)(x f 在区间),(b a 内二阶可导,且0)(''≥x f ,则nn n nnn p p p x f p x f p x f p p p p x p x p x p f +++++≤++++2122121221)()()()(11，其中n p p p ,,21 均为正数；),(,,21b a x x x n ∈ .证明 记nnn p p p x p x p x p x ++++=2122101,则),(0b a x ∈.由于)(x f 在区间),(b a 内二阶可导,故)(x f 在点0x 处一阶泰勒公式成立.20000)(!2)(''))((')()(x x f x x x f x f x f -+-+=ξ,ξ在x 与0x 之间. 因为 0)(''≥x f ,),(b a x ∈,所以 0)(''≥ξf ，))((')()(000x x x f x f x f -+≥.分别取n x x x x ,,21 =,则有))((')()(0001x x x f x f x f -+≥； ))((')()(0002x x x f x f x f -+≥；).)((')()(000x x x f x f x f n -+≥以上各式分别乘以12,,,n p p p ,得))((')()(000111x x x f x f p x f p -+≥； ))((')()(000222x x x f x f p x f p -+≥；))((')()(000x x x f x f p x f p n n n -+≥.将上面n 个不等式相加得].)()[(')()()()()()(02122110002012211x p p p x p x p x p x f x f p x f p x f p x f p x f p x f p n n n n n n ++-+++++++≥+++因为nnn p p p x p x p x p x +++++=2122110,所以)()()()()()(002012211x f p x f p x f p x f p x f p x f p n n n +++≥+++ .即nn n p p p x f p x f p x f p x f +++++≤2122110)()()()(，从而nn n n n n p p p x f p x f p x f p p p p x p x p x p f +++++≤+++++212211212211)()()()(.即证.注： 利用泰勒公式证明函数不等式,主要有两步：(1)构造一个函数)(x f ,选一个展开点0x ,然后写出)(x f 在0x 处带有拉格朗日余项的泰勒公式； (2)根据所给的最高阶导数的大小,函数的界或者三角不等式对),(b a ∈ξ进行放缩. 设函数)(x f 在点0x 附近二阶可导,由泰勒展式显然有结论： （a ）若0)(''≥x f ,则有))((')()(000x x x f x f x f -+≥； （b ）若0)(''≤x f ,则有))((')()(000x x x f x f x f -+≤.8.利用泰勒公式证明根的唯一存在性例13 设)(x f 在),[+∞a 上二阶可导,且0)(>a f ,0)('<a f ,对),(+∞∈a x ,0)('<x f ,证明：0)(=x f 在),(+∞a 内存在唯一实根.分析：这里)(x f 是抽象函数,直接讨论)(x f =0的根有困难,由题设)(x f 在[,)a +∞上二阶可导且()0,'()0f a f a ><,可考虑将)(x f 在a 点展开一阶泰勒公式,然后设法应用介值定理证明.证明 因为0)('≤x f ,所以)('x f 单调减少,又0)('<a f ,因此a x >时,0)(')('<<a f x f ,故)(x f 在),(+∞a 上严格单调减少.在a 点展开一阶泰勒公式有)()(2)('))((')()(2x a a x f a x a f a f x f <<-+-+=ξξ.由题设0)('<a f ,0)('≤ξf ,于是有-∞=+∞→)(lim x f x ,从而必存在a b >,使得0)(<b f ,又因为0)(>a f ,在],[b a 上应用连续函数的介值定理,存在),(0b a x ∈,使0)(0=x f ,由)(x f 的严格单调性知0x 唯一,因此方程()0f x =在),(+∞a 内存在唯一实根.9.利用泰勒公式巧解行列式若一个行列式可看做x 的函数（一般是x 的n 次多项式）,记作)(x f ,按泰勒公式在某处0x 展开,用这一方法可求得一些行列式的值.例14 求n 阶行列式D =xz z z y xzzyy x zyy y x. (9)解 记D x f n =)(,按泰勒公式在z 处展开：n n n n n n z x n z x f z x z f z x z f z f x f )(!)()(!2)('')(!1)(')()()(2--+-+-+= , (10)易知1)(0000000000--=-----=k ky z z y z y yz y y z y y z y y z D(11)由(11)得,时都成立n k y z z z f k k ,,2,1,)()(1 =-=-. 根据行列式求导的规则,有)()('1x nf x f n n -=,)()1()('2x f n x f n n --=,… ,)(2)('12x f x f =,1)('=x f n (因为x x f =)(1).于是)(x f n 在z x =处的各阶导数为21)()(|)(')('--=-===n n z x n n y z nz z nf z f z f , 31)()1()('|)('')(''--=--===n n z x n y z z n n z nf z fn z f ,… … … …z n n z f n n f z f z x n n n n 2)1()(2)1(|)(111 -=-===--,12)1()()(⋅-= n n z f n n .把以上各导数代入(10)式中,有nn n n n n z x n n n z x z n n n z x y z z n n z x y z z n y z z x f )(!12)1()()!1()21()()(!2)1()()(!1)()(12321-⋅-+---++-⋅--+--+-=----若y z =,有])1([)()(1y n x y x x f n n -+-=-,若y z ≠,有yz z x y y x z x f nn n ----=)()()(.10.利用带积分型余项的泰勒公式求定积分例15 计算⎰<<∈-++b a n n b a N n dx x b x)0(),(,)(12.解 设xx f 1)(=，则21)1()!1()1()(++++-=n n n x n x f ， dx x b x n dx xx b nn b a n ba n n )()1()!1()1()()1(12-+-=-+++⎰⎰ ])()1()(1)(111[!)!1()1(112321n n n n a b a a b a a b a a b n n --++---+-⋅+-=++ ba bn n n 11)1(1)1(++-⋅+-=. 注: 由带积分余项的泰勒公式可得以下引理.引理： 若函数)(x U ,)(x V 在闭区间],[b a 上存在连续的1+n 阶导数，则有b a ban n n n n x V x U x V x U x V x U dx x V x U ⎰-++-=-+)]()()1()()(')()([)()()()1()()1(⎰++-+ban n dx x V x U )()()1()1(1，)3,2,1( =n .11.利用泰勒公式求某些微分方程的解泰勒公式在常微分方程数值求解中的应用.解析法很难求解的常微分方程,用数值方法求其特解是一种常见的方法,一般用逐步逼近法来进行,其中泰勒公式是常用的工具.下面,就应用泰勒公式求解具有给定x 和y 初值的联立方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==),,(),,(t y x G dtdy t y x F dt dx给出初值),,(000t y x . 我们用如下形式表示一个x 和y 的联立方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==),,(),,(t y x G dtdy t y x F dt dx(12) 求方程组(12)通过点),,(000t y x 的特解,其中已知).,,(000t y x 我们设想用一种逼近计算求出在下列各点kh t t h t t h t t h t t k +=+=+=+=0030201,,3,2, 处y x ,的近似值,其中h 为t 轴上选取的恰当步长.现在,设在k t t =处,已求出y x ,的近似值,且表示为).(),(k k k k t y y t x x == 由泰勒公式可知：,!3)('''!2)('')(')()(32 ++++=+h t x h t x h t x t x h t x++++=+!3)('''!2)('')(')()(32h t y h t y h t y t y h t y . (13) 令k t t =,即可得出计算11++k k y x 值的公式 3,2,1,0=k,!3)('''!2)('')(')()(321++++=+=+h t x h t x h t x t x h t x x k k k k k k++++=+=+!3)('''!2)('')(')()(321h t y h t y h t y t y h t y y k k k k k k . (14)其中),,('t y x F dtdxx ==, ),,('k k t y x F x k k =, ),,('t y x G dtdy y == , ),,('k k t y x G y k k =,,''t F dt dy y G dt dx x F x ∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=,''t G dt dy y G dt dx x G y ∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=,),,('),,('),,(''tt y x F y y t y x F x x t y x F x k k k k k k k k k k k k ∂∂+∂∂+∂∂=,),,('),,('),,(''tt y x G y yt y x G x xt y x G y k k k k k k k k k k k k ∂∂+∂∂+∂∂=……,),,()1()1()()1()1()(----∂∂==∂∂=n k n n n k n n n t t y x F x x t F xk k.),,()1()1()()1()1()(----∂∂==∂∂=n k n n n k n n n tt y x G y y t G yk k 当给定了初值条件),,(000t y x 时,由方程(14),令0=k ,则得出：,!3'''!2'''3020001 ++++=h x h x h x x x .!3'''!2'''3020001 ++++=h y h y h y y y其中1x ,1y 在取近似值时的保留项数,取决于步长h 及所需的精确度.当求出1x ,1y 后,再令1k =,可求出2x ,2y ,后面依次类推.取近似值时所要保留的项数,也可由上同样处理.为了说明以上方法,下面举个简单例子.例16 求：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==),,(),,(t y x G dtdy t y x F dtdx的解,其初始条件为,0=t 处, 2=x ,0=y .解 首先,我们可选定步长1.0=h ,并依次计算 ,2.0,1.0=t 等处的近似值,由逐次求导得出)3(,,,''''',1''',')1()(≥==-=-=-n x x x x x x t x x n n , )3(,,,''''',1''',')1()(≥==-=-=-n y y y y y t y y n n .因此在0=t 处,有1,1,,1''',1''',0',2',0,200000000========nn y x y x y x y x ,令0=k ,则方程组(14)给出++++=6223012h h h x x=2052.20002.00050.02000.02=++++ .++++=6223012h h h y y2052.20002.00050.02000.02=++++= .接着在1.0=t 处,有2052.2,2052.211==y x ； 1052.2',1052.2'11==y x ；1052.1'',1052.1''11==y x ； 1052.1''',1052.1'''11==y x ；……令1=k ,由方程(14)：++++=!3'''!2'''3111122h x h x h x x x4214.20022.00055.00055.02105.02052.2=+++++= .++++=!3'''!2'''3111122h y h y h y y y4214.20022.00055.00055.02105.02052.2=+++++= .这个过程可以根据需要不断地重复进行.四.总结本文主要介绍了泰勒公式以及它的多个应用,使我们对泰勒公式有了更深一层的理解,对怎样应用泰勒公式解题有了更深一层的认识.只要在解题训练中注意分析,研究题设条件及其形式特点,并把握上述处理规则,就能比较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧.参考文献[1]刘玉琏,傅沛仁编.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社,2003：233-234. [2]丁晓庆.工科数学分析[M].北京：科学出版社，2001：191-192.[3]孙清华，孙昊.数学分析疑难分析与解题方法(上)[M].武汉：华中科技大学出版社，2009：140-147. [4]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社,2005：173-179. [5]邵剑，陈维新.大学数学考研专题复习[M].北京：科学出版社，2005:62-62. [6]丁凡.浅析泰勒公式的应用[J].数学通讯,2003(13):56-58.[7]斯瑜.泰勒公式在计算中的应用[J].兰州理工大学学报,2005(10):13-16. [8]郑玉仙.泰勒定理的妙用[J].陕西省:高等数学研究，2006(01):46-47.[9]齐成辉.泰勒公式的应用[J].陕西师范大学学报（自然科学版），2003（04）：24-25. [10]王三宝.泰勒公式的应用举例[J].高等函授学报，2005:14-15.Application of Taylor formulaName:Zhao Zaibiao Student ID:2009010287 Tutor:Cui Shuli(Shihezi University College of Science Department of mathematics Zip code:832000)Abstract: Taylor formula is one of the most important knowledge in mathematical analysis,which will achieve the goal to solve some of the math problems quickly.This paper mainly expounds the elaborated using the Taylor formula for approximate calculation and error analysis,limit and function at some point in some higher order derivative,definite integral and differential equation solution,smart solution determinant, judgment of function extreme value and a inflection point, judging progression and improper integral of divergence, the inequality proof and prove the uniqueness of the root of the application and skill.Keywords: Taylor formula；application；limit；inequality；convergence；the existence and uniqueness of the maximum root.。
泰勒公式及其在解题中的应用毕业设计论文
毕业设计（论文）题目：泰勒公式及其在解题中的应用Title: Taylor formula and its application in solving problems学院：理学院专业：信息与计算科学姓名：罗书云学号：08102209指导教师：蔡奇嵘二零一二年六月摘要泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，它的理论方法已成为研究函数极限和估计误差等方面的不可或缺的工具，它集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算方面有着得天独厚的优势，利用它可以将复杂问题简单化，可以将非线性问题化为线性问题，并且能满足相当高的精确度要求。
它是微积分中值定理的推广，亦是应用高阶导数研究函数性态的重要工具。
泰勒公式在微积分的各个领域都有着重要的应用，而且泰勒公式“化繁为简”的功能在数学领域的研究方面也起到了很大的作用。
文章除了介绍了带佩亚诺型余项和拉格朗日型余项的泰勒公式在常用的近似计算、求极限、不等式的证明、判断函数极值上作求解证明外，特别地，对泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断、级数和广义积分敛散性判断、行列式计算等问题的应用上做了详细系统的介绍，并且本文讨论了一种新的证明泰勒公式的方法，进一步将泰勒公式推广到更一般的形式。
关键词：泰勒公式；佩亚诺型余项；拉格朗日型余项；应用ABSTRACTTaylor's formula is an important part of mathematical analysis, the theory has become an indispensable tool of the research function limits and estimation error, which embodies the essence of calculus "approximation method", It have an unique advantage in the approximate calculation, it also can make complex issues into simplistic, non-linear problem into a linear problem, and can meet the very high accuracy requirements. It is the promotion of the mean value theorem in calculus, is also an important tool for the application of higher order derivatives of the functional state. Taylor formula in the calculus of the various fields have important applications, and the Taylor formula for complex simple "function in the mathematical field of research has played a significant role. This article in addition introdution Peano remainder and Lagrange remainder term of Taylor formula commonly used in approximate calculation, the limit inequality proof to determine the function extremum for solving prove, in particular, A detailed introduction of the Taylor formula in the application of the function bump and the inflection point judgment, the judgment of convergence and divergence of series and generalized integral, determinant calculation, and the article discusses a new method to prove that the Taylor formula, further Taylor formula to the more general form.Keywords: Taylor formula; Peano more than; Lagrange remainder; application东华理工大学毕业设计（论文）目录目录1. 绪论 (1)1.1综述 (1)1.2泰勒公式的研究背景 (2)1.3泰勒公式的研究意义 (2)1.4泰勒公式的研究目的 (2)1.5本论文所做的工作 (3)1.6本论文的基本思路与采用的方法 (3)2. 泰勒公式 (4)2.1泰勒公式的建立 (4)2.2泰勒公式的定义 (6)2.2.1 带有佩亚诺(Peano)型余项的泰勒公式 (6)2.2.2 带有拉格朗日(Lagrange)型余项的泰勒公式 (7)3. 泰勒公式的新证明及其推广 (8)3.1罗尔中值定理的两种推广形式 (8)3.2泰勒公式的新证明 (10)3.3泰勒公式的推广 (11)4. 泰勒公式在解题中的应用 (15)4.1利用泰勒公式求近似值 (15)4.2利用泰勒公式求极限 (16)4.3泰勒公式在判断级数和广义积分的敛散性中的应用 (17)4.3.1 判断级数的敛散性 (17)4.3.2 判断广义积分的敛散性 (18)4.4泰勒公式在判别函数的极值中的应用 (19)4.5泰勒公式在不等式证明中的应用 (20)4.6泰勒公式在判断函数凹凸性及拐点中的应用 (22)4.6.1 判断函数凹凸性 (23)4.6.2 判别函数拐点 (24)4.7泰勒公式在行列式计算方面的应用 (25)结论及展望 (27)致谢 (28)参考文献 (29)东华理工大学毕业设计（论文） 绪论11. 绪 论1.1 综述十七世纪中叶，随着近代微积分的蓬勃发展，极限作为数学中的一个概念也就被明确地提了出来。
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泰勒公式及其应用臧树霞摘要：泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，它的理论方法已成为研究函数极限和估计误差等方面的不可或缺的工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，它是微积分中值定理的推广，亦是应用高阶导数研究函数性态的重要工具, 它的用途很广泛.本文详细介绍泰勒公式及其应用在数学领域几个应用作论述。
文章除了对泰勒公式在常用的近似计算、求极限、不等式的证明、行列式的计算、求高阶导数在某点的数值、根的唯一存在性的证明、判断函数的极值外，特别的，泰勒公式还对函数凹凸性及拐点判断的应用做详细的介绍。
关键词：泰勒公式；佩亚诺余项；拉格朗日余项Taylor’s Formula and its ApplicationZhang shu-xiaAbstract：Taylor’s formula is the mathematical analysis of the important part, it has become a research function theory method and estimated error limit of the indispensable tools such as a concentrated expression of the calculus, “approximation” of the essence, which is the value of the Calculus theorem is also of high order derivative function of an important tool for state, its use is very wide. This paper introduces the Taylor formula and its applications in mathematics for discussion on several applications. Article in addition to the common Taylor formula for approximate calculation, limit, inequality, the determinant calculation, high derivatives at come point the only numerical, root the existence of proof, judging function outside the extremum, special, Taylor formula also for function convexity and application of inflexion point judge detail.Keyword:Taylor formula, Peano remainder, Lagrange remainder一 引言1.1综述近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式()20000000()()()()()()()(),1!2!!n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-++-称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),n n f x T x x x ο=+-即()200000000()()()()()()()()(()).2!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+-称为泰勒公式.众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、近似计算、不等式证明等方面. 1.2研究现状关于泰勒公式的应用，已有许多专家学者对它产生了浓厚的兴趣，它们对某些具体的题目作出了具体的解法，如求极限，判断函数凹凸性和收敛性，求渐近线，界的估计和近似值的计算等等.虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，但也还有很多方面学者还很少提及，因此在这泰勒公式及其应用方面我们有研究的必要，并且有很大的空间.1.3研究意义泰勒公式不仅在极限和不等式证明中能解决许多问题，同时也是研究分析数学的重要工具.其原理是很多函数都能用泰勒公式表示.因此泰勒公式在数学实际应用中是一种重要的应用工具，我们必须掌握它，用泰勒公式这一知识解决更多的数学实际问题.1.4本论文所作的工作泰勒公式的应用一直以来都属于数学领域里重要的研究内容.本文将简略介绍一些基本的泰勒公式的应用实际方法，然后把泰勒公式应用到求极限等方面中去.1.5研究目标探索泰勒公式及其应用的新方法，借助泰勒公式的广泛应用，将泰勒公式的知识应用到数学解题的各个方面和领域中去，得出泰勒公式在数学各方面的应用和解求方法的简便性.1.6本论文解决的关键问题了解泰勒公式及其各类型余项的泰勒公式展开式，熟练掌握带有佩亚诺余项和带有拉格朗日余项的泰勒公式应用.1.7本论文的研究方法将带有佩亚诺余项和带有拉格朗日余项的泰勒公式应用到求极限等的解题应用上，得出最佳的解题方法.二 泰勒公式2.1泰勒公式的意义泰勒公式的意义是，用一个n 次多项式来逼近函数f .而多项式具有形式简单，易于计算等优点.泰勒公式由()f x 的n 次泰勒多项式()n P x 和余项0()[()]n n R x o x x =-组成，我们来详细讨论它们.当n =1时，有1000()()()()P x f x f x x x '=+-，是()y f x =的曲线在点00(,())x f x 处的切线（方程），称为曲线()y f x =在点00(,())x f x 的一次密切，显然，切线与曲线的差异是较大的，只是曲线的近似. 当n =2时，有2020000()()()()()()2!f x P x f x f x x x x x '''=+-+-， 是曲线()y f x =在点00(,())x f x 的“二次切线”，也称曲线()y f x =在点00(,())x f x 的二次密切.可以看出，二次切线与曲线的接近程度比切线要好.当次数越来越高时，接近程度越来越密切，近似程度也越来越高. 2.2泰勒公式余项的类型泰勒公式的余项分为两类，一类是定性的，一类是定量的，它们的本质相同，但性质各异.定性的余项如佩亚诺型余项0(())n o x x -，仅表示余项是比0()n x x -（当0x x →时）高阶的无穷小.如33sin ()6x x x o x =-+，表示当0x →时，sin x 用36x x -近似，误差（余项）是比3x 高阶的无穷小.定量的余项如拉格朗日型余项(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++-+（ξ也可以写成00()x x x θ+-）、柯西余项（如在某些函数的幂级数展开时用）.定量的余项一般用于函数值的计算与函数形态的研究.2.3泰勒公式的定义及常见函数的泰勒展开 （1）带有佩亚诺(Peano)型余项的泰勒公式如果函数()f x 在点0x 的某邻域内具有n 阶导数, 则对此邻域内的点x ,有()200000000()()()()()()()()(()).2!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+-当00x =时, 上式称为麦克劳林(Maclaurin)公式,即()(1)21(0)(0)(0)()(0)(0)(01)2!!(1)!n n n n f f f f x f f x x x x n n θθ++'''=+++++<<+.（2）带有拉格朗日(Lagrange)型余项的泰勒公式如果函数()f x 在点0x 的某邻域内具有1n +阶导数, 则对此邻域内的点x , 有()(1)2100000000()()()()()()()()()()2!!(1)!n n n n f x f x f f x f x f x x x x x x x x x n n ξ++'''=+-+-++-+-+(ξ介于0x 与x 之间）. 常见函数的展开式：.)!1(!!2112+++++++=n xn xx n e n x x x e σ352+12+2sin = + ...+ (1)+ ()3!5!(2+1)!n nn x x x x x o x n - .)()!2()1(!6!4!21cos 22642n nn x o n x x x x x +-++-+-= . )()1(32)1ln(132n nn x o nx x x x x +-+++-=+- . 2(1)(1)12m m m x x x-+=+m +!…+nx n n m m m !)1()1(+--()n+o x . 21=1+ + + ... + +()1n n x x x o x x. 2.4泰勒公式的证明两种余项的泰勒公式所表达的根本思想都是怎样用多项式来逼近函数，带有佩亚诺余项的泰勒公式是反映了极限性质的渐进等式，所以这个公式在求极限时很有用，对余项可以提供充分小的估计值.带有拉格朗日余项的泰勒公式有确切的表达式，当然也有像中值这样不确定的因素，但是并不妨碍定理的使用，为近似计算的误差估计提供了理论依据.定理1：（带有佩亚诺型余项的泰勒公式）若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有))(()()(0n n x x o x T x f -+=，即))(()(!)()(!2)())(()()(000)(200"00'0n n n x x o x x n x f x x x f x x x f x f x f -+-++-+-+=证明：设)()()(x T x f x R n n -=，n n x x x Q )()(0-=，现在只要证0)()(lim0=-x Q x R nn x x由n k x T x f k n k ,,2,1,0)()(0)(0)( ==，可知，0)()()(0)(0'0====x R x R x R n n n n ，并易知!)(,0)()()(0)(0)1(0'0n x Q x Q x Q x Q n n n n n n =====-因为)(0)(x f n 存在，所以在点0x 的某邻域)(0x U 内)(x f 存在1-n 阶导函数)(x f .于是，当)(0x U x ∈且0x x →时，允许接连使用洛必达（L'Hospital ）法则1-n 次，得到)]()()([lim !1)(2)1())(()()(lim )()(lim )()(lim )()(lim 0)(00)1()1(000)(0)1()1()1()1(''00000=---=-----====--→--→--→→→x f x x x f x f n x x n n x x x f x f x f x Q x R x Q x R x Q x R n n n x x n n n x x n nn n x x n n x x n n x x 所以定理1成立.定理2：若函数)(x f 在[]b a ,上存在直至n 阶的连续导函数，在),(b a 内存在)1(+n 阶导函数，则对任意给定的],[,0b a x x ∈，至少存在一点),(b a ∈ζ，使得)1()()!1()()(!)()(!2)())(()()()1(0)1(00)(200"00'0++-++-++-+-+=n n nn x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ζ 证明：作辅助函数])(!)())(()([)()()('n n t x n t f t x t f t f x f t F -++---= ，1)()(+-=n t x t G所以要证明的（1）式即为)!1()()()()()!1()()()1(000)1(0+=+=++n f x G x F x G n f x F n n ζζ或 不妨设x x <0，则)(t F 与)(t G 在],[0x x 上连续，在),(0x x 内可导，且))(1()()(!)()(')1('≠-+-=--=+n nn t x n t G t x n t f t F 又因0)()(==x G x F ，所以由柯西中值定理证得)!1()()()()()()()()()()1(''0000+==--=+n f G F x G x G x F x F x G x F n ζζζ 其中),(),(0b a x x ⊂∈ζ 所以定理2成立.三 泰勒公式的实际应用3.1利用泰勒公式求极限对于待定型的极限问题，一般可以采用洛比达法则来求，但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛比达法则的情况，泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具.利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项.当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限.例1 求2240cos limx x x e x -→-.分析：此题分母为4x ，如果用洛比达法则，需连用4次，比较麻烦.而用带佩亚诺余项的泰勒公式解求较简单.解： 因为2211()2!x e x x o x =+++ 将x 换成22x -有222222211()()(())22!22x x x x eo -=+-+-+-又244cos 1()2!4!x x x o x =-++所以 24442111cos ()()()2484x x ex o x o x --=-+-441()12x o x =-+ 故2442441()cos 112limlim 12x x x x o x x e x x -→∞→∞-+-==-.例2 求极限1sin 2lim sin cos xx xx x x x xe →0---- .分析：此为00型极限,若用洛必达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和sinx, xe 分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解： 由1sin 2xx x x e---=34333()()6126o o x x x x x ++=+3233sin cos ()(1())62x x x o x o x x x x -x =-+--+33()3o xx =+于是1sin 2lim sin cos x x x x x x x x e →0----3333()162()3o o x x x x +==+.带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具 ,运用得当会使求函数的极限变得十分简单.3.2利用泰勒公式进行近似计算利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,利用)(x f 麦克劳林展开得到函数的近似计算式为'''2(0)(0)()(0)(0)2!!n nf f f x f f x x x n ≈+ + + + ,其误差是余项()n R x .例1 计算Ln1.2的值,使误差不超过0.0001.解： 先写出f(x)=Ln(1+x)带拉格朗日型余项的麦克劳林展开式：231(1)(1)()23nn n x x x Ln x x R x n-+=-+++-+, 其中11(1)()(1)(1)n n n n x R x n ξ++-=++（ξ在0与x 之间）.令2.0=x ,要使111(0.2)|()|(0.2)0.0001(00.2)(1)(1)n n n n R x n ξξ+++=<≤<<++ 则取5=n 即可. 因此.0001.0R 1823.000006.000040.000267.002.02.02.15<=+-+-≈其误差Ln当要求的算式不能得出它的准确值时,即只能求出其近似值,这时泰勒公式是解决这种问题的最好方法.例2 计算lg11的值,准确到5-10. 解: 111lg11lg(101)1lg ln )10ln1010=+=+(1+)=1+(1+ 因为 23ln(1)23x x x x +=-++ (1)n x n -(-1)n +(-1)11(1)(1)n n x n x ++++θ， 1x 0<θ<1, >-，要使(1)1(1)10(1)(1)ln1010n n n n -++-||θ++5102(1)n -n+1-<<10+⇒ 542(1)1010n n -(n+1)-+>=取4n =，故11111lg111ln1010200300040000≈+(-++)≈1.04139.3.3在不等式证明中的应用关于不等式的证明，我们已经在前面介绍了多种方法，如利用拉格朗日中值定理来证明不等式，利用函数的凸性来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法.下面我们举例说明，泰勒公式也是证明不等式的一个重要方法.例 在[a,b]上f(x)>0，且()0nx f<，试证明2max ()()ba a x bf x f x dx b a<<<∫-. 证明： 任取[p,q]⊂[a,b]，对任意x ∈[p,q]，利用泰勒公式及其条件()0nx f<可得 ()()f p f x =+()x ´ƒ22()()(2p x p f ξ-+-x)!<ƒ(x)+()x ´ƒ()p x - （1）()()f q f x =+()x ´ƒ222()()(2q x q fξ-+-x)!<ƒ(x)+()x ´ƒ()q x -（2） )()2()()1(p x x q -⨯+-⨯ 得))(())(())((p q x f p x q f x q p f -<-+-所以有 ()()q p f p q x ∫[-()()f q x p +-]()qp x dx dx <(q-p)∫ƒ 即()()()()2q p f p f q q p x dx +-<∫ƒ （3） 设c ∈[a,b]，使 ()c ƒ=max ()a x bx <<ƒ 根据（3）及()x ƒ >0得()()()b c ba a c x dx x dx x dx ∫ƒ=∫ƒ+∫ƒ()()2f a f c +>+()()()2f c f b b c +- ()()()()()()222f c f c f c c a b c b a >-+-=- 即 2max ()()ba a x bf x f x dx b a<<<∫-.3.4在行列式计算方面的应用若一个行列式可看做x 的函数（一般是x 的n 次多项式）,记作f(x),按泰勒公式在某处0x 展开,用这一方法可求得一些行列式的值.例 求n 阶行列式D=xz z z y x z zyy x zy y y x （1）解： 记()n f x D =,按泰勒公式在z 处展开：'''()2()()()()()()()()1!2!!n n n n n n f z f z f x z f x f z x z x z x z n -=+-+-++-, （2）易知100000000()0k k z y y z y y z yy D z z y z yy z y -阶---==--- （3）由（3）得, 1()(),1,2,,k k f z z z y k n -=-=时都成立.根据行列式求导的规则,有''''1122111()(),()(1)(),,()2(),()1(()).n n n n f x nf x f x n f x f x f x f x f x x ---==-==因为=于是)(x f n 在z x 处的各阶导数为''21()()|()()n n n x z n f z f z nf z nz z y -=-===-,'''''31()()|()(1)()n n n x z n f z f z nf z n n z z y -=-===--,… … … …111()|(1)2()(1)2n n n n x z f z f n n f z n n z --===-=-()()(1)2n n f z n n =-把以上各导数代入（2）式中,有12321(1)()()()()()()1!2!(12)(1)21()()(1)!!n n n n n nn n n f x z z y z z y x z z z y x z n n n n z x z x z n n -----=-+--+----.++-+--若z y =,有1()()[(1)]n n f x x y x n y -=-+-,若z y ≠,有()()()n nn z x y y x z f x z y---=-.3.5证明根的唯一存在性例 设f(x)在[,)a +∞上二阶可导,且'()0,()0f a f a ><,对''(,),0x a f ∈+∞≤, 证明： ()0f x =在(,)a +∞内存在唯一实根.分析：这里f(x)是抽象函数,直接讨论()0f x =的根有困难,由题设f(x)在[,)a +∞上二阶可导且'()0,()0f a f a ><,可考虑将f(x)在a 点展开一阶泰勒公式,然后设法应用介值定理证明.证明： 因为''()0f x ≤,所以'()f x 单调减少,又'()0f a <,因此x>a 时,''()()0f x f a <<,故f(x)在(,)a +∞上严格单调减少.在a 点展开一阶泰勒公式有''2()()()()()()()2f f x f a f a x a x a a x ξξ=+-+-<<由题设''()0,()0f a f ξ<≤,于是有-∞=∞→)(lim x f x ,从而必存在b a >,使得()0f b <,又因为()0f a >,在[,]a b 上应用连续函数的介值定理,存在0(,)x a b ∈,使0()0f x =,由f(x)的严格单调性知0x 唯一,因此方程()0f x =在(,)a +∞内存在唯一实根.3.6 判断函数的极值例 (极值的第二充分条件)设f 在0x 的某邻域);(0δx U 内一阶可导,在0x x =处二阶可导,且0)(0'=x f ,0)(0''≠x f .(i)若0)(0''<x f ,则f 在0x 取得极大值. (ii) 若0)(0''>x f ,则f 在0x 取得极小值. 证明： 由条件，可得f 在0x 处的二阶泰勒公式))(()(!2)()(!1)()()(20200''00'0x x o x x x f x x x f x f x f -+-+-+=.由于0)(0'=x f ,因此200''0))](1(2)([)()(x x o x f x f x f -+=-.(*)又因0)(0''≠x f ,故存在正数δδ≤',当);('0δx U x ∈时,)(210''x f 与)1()(210''o x f +同号.所以,当0)(0''<x f 时,(*)式取负值,从而对任意);('0δx U x ∈有0)()(0<-x f x f ,即f 在0x 取得极大值.同样对0)(0''>x f ,可得f 在0x 取得极小值.3.7泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用泰勒公式是高等数学的一个重要内容，在各个领域有着广泛的应用，不少书中利用它来判断函数的单调性、极值，由于泰勒公式的广泛应用，所以尝试利用泰勒公式来研究函数的凹凸性及拐点.定理 1 设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上具有一阶和二阶导数.若在(,)a b 内()0f x ''>，则()f x 在[,]a b 上的图形是凹的.证明： 设c d <为[,]a b 内任意两点，且[,]c d 足够小.12x x <为[,]c d 中的任意两点，记012()/2x x x =+由定理条件的泰勒公式22000000()()()()()()()2!f x x x f x f x f x x x o x x ''-'=+-++-由此，2012001002010()()()2()()()()()()2!f x f x f x f x f x x x f x x x x x ''''+=+-+-+- 2220102020()()()()2!f x o x x x x o x x ''+-+-+- 因为余项为2()n x x -的高阶无穷小，12[,]x x 又为足够小，所以泰勒公式22000()()()2!f x x x o x x ''-+-的符号与0()f x ''相同.又因012()/2x x x =+，所以 010020()()()()0f x x x f x x x ''-+-=，可得：2222201200101020()()()2()()()()()02!x x f x f x f x f x x x o x x o x x -''+-=-++-+->即120()()2()0f x f x f x +->，得012()[()()]/2f x f x f x <+.由12,x x 得任意性，可得()f x 在足够小的区间[,]c d 上是凹的.再由,c d 得任意性，可得()f x 在[,]a b 内任意一个足够小的区间内部都是凹向的.定理2 若()f x 在某个0(,)U x δ内n 阶可导，且满足(1)000()()()0n f x f x f x -'''====，且0()0(2)n f x n ≠>若（1）n 为奇数，则00(,())x f x 为拐点； （2）n 为偶数，则00(,())x f x 不是拐点. 证明：写出()f x ''在0x 处的泰勒公式))(()!2())(())(()(20200000---+--++-'''=''n n n x x o n x x x f x x x f x f因为(1)000()()()0n f x f x f x -'''====则22000()()()/(2)!(())n n n f x f x x x n o x x --''=--+-，同样余项是20()n x x --的高阶无穷小.所以()f x ''的符号在0x 的δ心领域内与200()()/(2)!n n f x x x n ---相同.当n 为奇数时，显然在0x 的两边，200()()/(2)!n n f x x x n ---符号相异，即()f x ''的符号相异，所以00(,())x f x 为拐点.当n 为偶数时，则()f x ''的符号相同，所以00(,())x f x 不是拐点.例 ,4判断（0）是否是 x x -ƒ(x)=e +e +2cosx 的拐点.解： ()2sin ,x x x x ´-ƒ=e -e - (0)´ƒ0=()x x x ´´-ƒ=e -e -2cosx,(0)0´´ƒ=()2sin ,x x x x ´´´-ƒ=e -e + (0)´´´ƒ=0(4)(),x x x -ƒ=e -e -2cosx (4)(0)ƒ=4≠0因为n =4， 所以,4（0）不是x x-ƒ(x)=e +e +2cosx 的拐点.参考文献：[1] 华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高教出版社，2006.[2] 裴礼文编. 数学分析中的典型问题[M]. 北京:高教出版社,1993.[3]陈纪修,於崇华,金路.数学分析第二版上册[M].高等教育出版社，2004.[4]孙清华,孙昊.数学分析内容、方法与技巧（上）[M].华中科技大学出版社，2003.[5]朱永生, 刘莉.基于泰勒公式应用的几个问题[J].长春师范学院学报, 2006(08):4-25.[6]王三宝.泰勒公式的应用例举[J].高等函授学报(自然科学版) , 2005(03)：3-19.[7]冯平,石永廷.泰勒公式在求解高等数学问题中的应用[J]. 新疆职业大学学报, 2003(04):4-11.[8]严振祥,沈家骅.泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用[J]. 重庆交通大学学报(自然科学版)，2007（8）：4-26.。