地震层析成像概论
第十四讲地震波层析成像
finite frequency kernels for travel time perturbations
Input
Radon Projected
Recovered (output)
Back projection of the function is a way to solve f() from p()
(“Inversion”): f ( x , y ) p ( x c y s o ) ) d i , s n 0 精品PPT
▪ Remove instrument response, de-mean, detrend, bandpass filter, time-domain normalization, spectral whitening
▪ Cross-correlation: 1 day at a time. ▪ Stack over many days. ▪ Waveform selection (SNR) for tomography
在数学方法上出现了本质上与奥地利数学家1917年提出的Rndon逆变换方 法相同的褶积投影方法，Chapman首先从理论上证明了地震学中的τ-P 变换即是Radon 变换(Chapman , 1981)。
地震波层析成像首先由Aki等提出，并给出了小尺度（Aki and Lee, 1976） 和区域尺度（Aki et al., 1977）远震体波层析成像（Teleseismic body-wave tomography）。 Dziewonski等在1977年给出了全球尺度的体波层析成像成果（Dziewonski et al., 1977）。
层析成像
或写为：
1.13
其中
1.14
式（1.13）是一个关于 三次方程，泊松比 值给定时，就可以求出 的值。而 是瑞利波相速度 与横波速度 之比，显然均匀弹性半空间中的瑞利波速度只与介质的横波速度 和泊松比 有关，而与频率无关（无频散）。
将式（1.9）代入式（1.1）可得由瑞利波传播引起的质点位移（ 和 ）为：
3.1
其中， 为目标函数， 为N维向量空间， 为向量的2范数。从目标函数的形式看，该问题显然属于最小二乘法最优化问题。由于方程（3.1）中无约束控制项，所以该问题是非约束最优化问题。另一方面，从数据与参数之间的关系看，频散数据的个数M一般大于横波速度的个数N，因此该问题是一个超定问题。瑞利波勘探中，较常用的反演方法有最小二乘法及较新的遗传算法。本文主要研究最小二乘算法。
1.3
又有
1.4
由于平面瑞利波的位移发生在x-z平面内，因此由式（1.1）和式（1.4）可知，瑞利波是P波和SV波相互作用的结果。
对于一个角频率为 ，波数为 ，沿x方向传播的瑞利谐波，其势函数可表示为：
1.5
其中， 和 分别表示瑞利波胀缩分量和旋转分量的振幅随深度变化的函数；波数 ， 为瑞利波波长。
1.15
结合式（1.11），由式（1.15）得
1.16
式（1.16）还可写成
1.17
由式（1.17）可知瑞利波质点位移随深度的变化可表示为
1.18
由式（1.8）和式（1.14）可以计算出 和 的比值。
由 与波长 的关系以及式（1.14）、（1.18），我们就可以计算出在给定泊松比情况下 和 与 之间的变化关系。图2.5给出了不同泊松比情况下两种位移用自由表面处的位移（ ）归一化后随深度（ ）的变化曲线。图2.5表明瑞利波的质点位移的大小随深度的增加而迅速减小，在深度约等于1个波长时（ ），质点的位移量已非常小（大概为自由表面处位移的0.2倍）。这意味着瑞利波勘探的穿透深度大约为1个波长。
地震层析成像技术 ppt课件
二、地震层析成像方法面临的主要问题
2.1 地震波走时自动拾取问题 在地震层析成像的研究中 ,可获得的观测数据是地震 记录 .从地震记录中可以获得地震波的走时、振幅和 频率 ,其中最关键的是地震波走时 .随着数字地震技 术的发展 ,观测数据的数量迅速增加 ,准确地进行地 震波走时的拾取越来越成为一项重要且繁重的工作 . 为此 ,走时的自动拾取成为人们研究与关注的对象 .
二、地震层析成像方法面临的主要问题
2.2 三维波动方程有限差分算法模拟地震波场的问题 开展非弹性介质和完全弹性介质有限差分法三维
一、地震层析成像研究发展概况
地震层析成像的研究在70年代首先以井间速度结构 调查为研究对象（Bois et al.1972）。1979年， Dines和Lytle首先对地震层析成像坐了大量数值模 拟，并公布了利用弯曲的地震射线进行地下地震波 速度成像的结果，并首先将层析成像 （ Computerized Geophysical Tomography ） 这 一 名 词 用 于 论 文 的 标 题 。 1984 年 ， 美 国 的 Anderson利用天然地震数据着手全 化、密度结构、地幔物质流动有了新的认识。
二、地震层析成像方法面临的主要问题
2.2 三维波动方程有限差分算法模拟地震波场的问题 不论是天然地震还是人工地震 (即使是二维观测方 式 )的观测数据都是在三维空间介质中形成 .由于地 下地质结构的千变万化 ,理论数据的正演计算只有在 三维空间中实现才更具有实际意义 .而目前大多采用 二维计算 ,使得理论数据与观测数据之间的误差不仅 由地质模型形成而且还由计算方法的数学模型形成 . 三维波动方程的有限差分解是获取地震波三维波场 的有效方法 .
一、地震层析成像研究发展概况
20世纪60年代初期，美国科学家Cormack从数学和 实验结果证实了根据X射线的投影可以唯一地确定人 体内部结构，从而奠定了医学诊断上图像重建的理 论 基 础 ， 即 X 射 线 CT(X Ray Computer Tomography). 60年代中期和70年代中期,随着数 学图像重建方法在射电天文学和电子显微学方面的 应用和发展，在数学方法上出现了本质上与奥地利 数学家1917年提出的Rndon逆变换方法相同的褶积 投影方法，Chapman，1981）。此后，地学界借 助医学CT思想，利用地震波的传播对地壳乃至上地 幔结构开始进行半定量研究。从此，低着层析成像 成为地球物理学研究的一个新领域。
地震层析成像的正演与反演初步
地震层析成像的正演与反演初步摘要本文通过设立一个平行层的地球模型，初始的震源位置和发震时刻，并改变震源出射角的值，求出射线到达地面的位置，以及射线到达台站的到时，获得了正演模型得走时。
并将正演结果用于反演。
在反演中，本文采用了赵大鹏的反演程序1，2，反演速度结构并与设立的模型比较，得到较满意的结果。
1、引言最初用于医学造影的成像技术自从上个世纪七八十年代引入地学后已经发展成为一项成熟的技术，越来越多地用于地球动力学，地幔对流，板块俯冲带及其演化历史，以及消亡的板块的演化历史的研究，并为板块构造理论提供有力的证据。
由于到达台站的地震波的到时与地震波在所穿过的物质中的波速有关，因此，分析地震波的到时数据就可以得到地下波速结构。
结合其它的地学证据，层析成像揭示出地幔由集中的上升结构与下降结构组成10。
高速带通常是冷的岩石圈板块在板块的会聚边界陷入地幔的区域3，6，10，11，12；集中的低速结构通常预示着热的岩浆活动3，10，例如太平洋板块与欧亚板块碰撞形成的火山岛弧下的岩浆活动3，以及东非裂谷带下大规模的岩浆活动，导致了非洲大陆的抬升10。
在对地震波的各向异性的研究中，James Wookey等8根据澳大利亚地震台站接收到的来自Tonga-Kermadec和New Hebrides俯冲带的深源地震的s波分裂，揭示出在该地区地幔中部约660km深处可能存在中部地幔分界层，阻断上下地幔的对流。
随着成像解析度的提高，现在已经能反演出地球深部的速度结构和异常，追述消亡的板块的演化历史5，11，12。
例如Van der Voo等10在西伯利亚1500-2800km深处发现了高速异常带，揭示了大约150-200百万年前Kular-Nera洋关闭，Mongolia-North China陆块与Omolon陆块结合的演化历史。
目前层析成像技术正向着高精确性，大数据量和适用性的方向发展，正反演数值计算方法的开发，成像方法的评价，成像结果的地学解释都是目前研究的方向。
地震波层析成像和电磁波层析成像
地震波层析成像和电磁波层析成像地震波层析成像和电磁波层析成像1.地震波CT地震层析成像的主要目标是确定地球内部的精细结构和局部不均匀性。
这不仅可以促进地球科学的发展，而且还可以解决许多地质勘探和矿产资源开发中的难题。
第一个原因是岩石地震波与岩性性质有比较稳定的相关性，易于对地球内部成像，反之，对找水活确定流体性质时，电磁波层析成像较好。
第二个原因是对于主要频段的电磁波，其衰减比地震波大。
对于地址勘探、采矿工程、勘察工程等来说目标提一般为几米到几百米，对应波长为几十米，频率为数十赫兹。
这种的地震波在不松散的岩石中传播为几公里后耍贱一般不超过120dB，接收起来不费力。
反而相应波长的电磁波在岩石中传播几十米后就可能衰减100dB，难以穿透几百米的岩层。
第三个原因是电磁波速度太快，反映波速的到时参数难以测量。
地震波波速为每秒几千米，振幅、到时都易于测量，而且在地震记录上可以区分不同的震相，从而得到丰富地质信息。
1.井间地震波数据的采集方法一般地层观测排列均匀布置在风化层一下，以使提高成像分辨率。
一般采集方法及对应的观测方式有：1.共激发点道集数据采集方法单点激发，多点接收的观测方式采集地震数据。
这种方法比较适用于在震源连续性能较差且接收为多道检波系统的情况下使用。
这种方法有采集快，效率高的特点。
但要求至少有一口井的井深超过目的层且满足目的层覆盖要求。
2.共接收点道集数据采集方法这种方法以移动式多点源激发，单点接收的观测方式采集地震数据。
适合在震源连续激发性能较好且接收器为单级检波器系统情况下使用。
但施工效率不高，也有井深要求。
3.YO-YO道集数据采集这种方法采用激发点和接收点反向移动的观测方式采集地震数据。
要求震源系统具有良好的连续激发性能，获得道集多用于反射波成像。
适合井深不符合透射层析成像要求的目的层成像问题。
4.井间地震连续测井方法这种方法采用激发点和接收点等间距同向移动的观测方式采集地震数据。
地震层析成像之模型参数化
地震层析成像——（一）模型参数化冷独行整理地震层析成像（seismic tomography）是指利用大量地震观测数据反演研究区域三维结构的一种方法。
其原理类似于医学上的CT，但地震层析成像比医学上的CT技术更复杂。
大量数据以及其他许多不定因素，包括存在多种数据误差、解的不唯一性在内的地球内部成像问题。
Aki和Lee[3]以及Aki等[4]利用区域台阵的三维成像，以及Dziewonski等[5]对全球大尺度上地幔速度结构的勾画成为成像研究中开拓性的工作地震层析成像是典型的地球物理反演问题，大多数地震层析成像问题都涉及到以下几个方面：①模型参数化，②正演（射线追踪），③反演，④解的评价。
一、模型参数化成像的目的就是要获得接近实际地下结构的模型，所以在成像前必需要建立模型来描述地层结构，而且选取模型的好坏决定了获得地层结构信息能力的好坏。
过于简化的模型可能使结构中有意义的信息被忽略，复杂的模型可能使反演的不确定性增强，同时可能引入虚假信息。
模型参数化可分为两类。
一类是Tarantola和Nercessian等提出了“不分块”的参数化。
不对模型进行离散化，反演完全在泛函空间中进行，只是在最后计算想要的截面时采取离散化。
由于反演在泛函空间中进行，理论上可以计算空间任何位置上的速度，结果不受离散化的影响，有利于成像的显示。
另一类是离散化的模型参数化。
其优点是数学上容易处理，运算相对简单；缺点是在一般方法中出现的某些简化，在用离散时可能被掩盖掉。
现在通用的大都是离散化的模型参数化，通常采用两种方法来表示地层结构。
一种是使用少量参数确定三维解析函数（如，Dziewonski；Spencer和Gubbins），例如：Woodhouse、Dziewonski[19]和Su等[20]在全球地震层析成像使用球谐展开来表示模型；Burmakov等将速度扰动展开成一定阶数的切比雪夫多项式，以减少未知量个数，提高求解效率；朱露培提出的频谱参数化法，将待求扰动场按其空间频率展开，反演各阶频率系数。
地震概述（一）
地震概述（一）如果要想比普通人更加了解地震，就要从学术的高度了解地震的机理与性质。
先复习一些概念地震是一种自然现象，指的是地壳快速释放能量过程中造成的振动，期间会产生地震波。
地球上板块与板块之间相互挤压，造成板块边沿及板块内部产生错动，甚至破裂，这也是是引起地震的主要原因。
震源：地球内部直接产生破裂的地方称为震源，它是一个区域，但研究地震时常把它看成一个点。
地面上正对着震源的那一点称为震中，它实际上也是一个区域。
震中：根据地震仪记录测定的震中称为微观震中，用经纬度表示；根据地震宏观调查所确定的震中称为宏观震中，它是极震区的几何中心，也用经纬度表示。
震中距：从震中到地面上任何一点的距离叫做震中距。
同一个地震在不同的距离上观察，远近不同，数值也不一样。
震源深度：从震源到地面的距离叫做震源深度。
极震区：震后破坏程度最严重的地区，极震区往往也就是震中所在的地区。
我们在这里主要关注构造地震——只有这种地震才会直接造成人员伤亡。
构造地震有哪几种？第一种称为孤立型地震，有突出的主震，余震次数少、强度低；主震所释放的能量占全序列的百分之九十九以上，主震震级和最大余震相差二点四级以上。
第二种称为主震-余震型地震，主震非常突出，余震十分丰富；最大地震所释放的能量占全序列的百分之九十以上，主震震级和最大余震相差0.7～2.4级。
第三种称为双震型地震，一次地震活动序列中，百分之九十以上的能量主要由发生时间接近，地点接近，大小接近的两次地震释放。
第四种称为震群型地震，有两个以上大小相近的主震，余震十分丰富；主要能量通过多次震级相近的地震释放，最大地震所释放的能量占全序列的百分之九十以下；主震震级和最大余震相差零点七级以下。
地震空区理论（Seismic Gap Theory）这是一种基于地震周期的预报方法，认为地震是有一定发震周期的。
通过一些方法可以计算出一个地区地震发生的周期是多少，通过上一次地震的发生时间，然后就可以估计下一次地震在什么时候发生。
地震层析成像方法及其应用研究
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2、环境监测：地震层析成像方法也可以应用于环境监测领域。例如，通过 观测地震波在地壳中的传播特征，可以评估地球表面的沉降和隆起状况，监测地 壳运动和地震活动，为环境预警和减灾提供支持。
3、地球科学：地震层析成像方法在地球科学领域的研究中也具有重要意义。 它可以帮助科学家了解地球的内部结构和动力学过程，深化对地球演化历史的认 识。
电阻率法层析成像的原理与方法
电阻率法层析成像基于电阻抗测量技术，通过施加激励信号于研究对象，测 量其内部电学特征，如电阻抗等，并将测量结果转化为图像。具体实验设计包括 选择合适的激励信号、设计测量电路、采集数据及图像处理等步骤。
在物理学领域，电阻率法层析成像被广泛应用于研率的变化，可以推断出材料内部的 导电性能与微观结构。
地震层析成像方法的应用与发展
地震层析成像方法在地球物理领域的应用广泛，主要包括以下几个方面：
1、资源勘探与开发：地震层析成像方法在石油、天然气和地热等资源的勘 探与开发中具有重要作用。通过对地震数据的分析和处理，可以获取地下岩层的 分布、厚度、结构和属性等信息，为资源勘探和开发提供可靠的地质依据。
结论
电阻率法层析成像作为一种无损、非侵入性的成像方法，在物理学、化学、 生物医学等多个领域具有广泛的应用前景。本次演示详细介绍了电阻率法层析成 像的原理、方法及其在各领域的应用，并展望了其未来发展方向。随着技术的不 断进步和应用领域的拓展，电阻率法层析成像将在未来发挥更加重要的作用，为 科学研究与实际应用提供有力支持。
在应用前景方面，地震层析成像方法仍然有很大的发展空间。例如，利用该 方法进行深部矿产资源勘探、地下水污染监测以及地壳运动和地质灾害预警等领 域的应用研究，都具有重要的现实意义和社会价值。
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《地震层析成像概论》大作业张义蜜，01272016-01-04目录1简述用于地震走时成像方法中的射线追踪算法及原理。
(1)打靶法 (1)近(旁)轴射线追踪 (1)完全非线性打靶算法 (2)弯曲(调整)法 (2)伪弯曲法 (3)其它弯曲算法 (4)基于网格(节点)波前扩展的算法 (4)快速行进法(FastMarchingMethod) (5)最短路径算法 (5)改进型最短路径算法 (8)多次反射与透射波射线追踪 (9)分区多步快速行进法(MultistageFMM) (9)分区多步不规则最短路径算法(MultstageISPM) (10)球坐标系中MultistageISPM算法原理 (11)多值波前(射线)追踪 (12)2简述用于地震走时成像方法中的反演算法及原理。
(13)反向投影算法 (13)代数重建技术(ART) (13)同时迭代重建技术(SIRT) (14)梯度法 (14)最速下降法 (14)高斯-牛顿法 (14)阻尼最小二乘法 (15)共轭梯度(CG)法 (16)2.3全局最优化法 (16)蒙特卡罗(MonteCarlo)方法 (16)遗传(GeneticMethod)方法 (16)模拟退火(SimulatedAnnealing)法 (17)3简述用于地方震走时成像方法中的炮检排列（作图）、基本步骤、以及最终目的 (18)炮检排列 (18)基本步骤 (18)最终目的 (18)4如何进行反演解的评价，解得评价在地震成像中的意义如何？ (19)分辨率和协方差矩阵 (19)合成实验 (21)5简述采用L1和L2范数下的反演目标函数各自的优缺点，是否可以采用L1/L2范数混合下的反演目标函数，简述如何实现这一混合的反演目标函数。
(22)范数 (22)实现的步骤： (23)1简述用于地震走时成像方法中的射线追踪算法及原理。
打靶法地震射线的打靶法原理简单，它是由射线的运动学方程(1式)定义的初值问题，可用来进行完全射线的追踪计算(存在速度界面时采用斯奈尔定律)。
在寻找炮点和检波器点间的地震射线的两点问题是一个反演问题，其中未知参量是射线的初始方向，函数取最小值的原则是使射线终点到检波器间的距离为最小。
这类算法的主要挑战是反演问题的非线性行为，且这种非线性行为随介质的复杂程度急剧增加(见图1所示)。
ddl[s drdl]=∇s（1）图2是打靶法原理图近(旁)轴射线追踪图1平滑不均匀介质中由点源(灰色圆)发出的100条均匀射线族.尽管最初自炮点发出的相邻地震射线的夹角是相同的,但这种相同的射线夹角在后续传播中发生了不同的变化.图2打靶法原理,表明初始射线路径不断更新直至与检波器点相交为止.射线理论的一个还未提及的重要领域是近轴射线近似，它被广泛地用来进行数据预测。
完全非线性打靶算法在弱非均匀介质中，非线性迭代打靶算法解决边值问题是十分有效的，但当介质复杂程度增加时则变得不稳定。
图3说明了这种情况，展示出具有不同复杂程度的两个速度模型中射线倾角与射线终点到检波器间距离的关系。
给定非线性迭代打靶算法易出的错误，完全非线性算法至少是值得研究的。
然而，相关文献较少，或许是近来太多的基于网格节点和波前算法出现就是用来克服上述局限。
弯曲(调整)法射线追踪调整算法的原理就是不断循环调整连接炮点与检波器间任意初始路径直至成为真实射线路径为止(即：满足费马原理所说的稳定时间路径，见图4所示)。
通常的做法是推导出可以循环求解的射线运动学方程的边值形式。
图3说明初始射线轨迹与射线终点至检波器点间距存在的非线性关系(a:具有速度标准偏差s的弱不均匀介质;b:具有速度标准偏差s的强不均匀介质.灰色圆:炮点;灰色三角形:检波器.注意:上图中只显示了100条射线,下图则是相应的射线倾角与射线终点间的关系).伪弯曲法伪弯曲法原理上与上述弯曲算法相似，但不对射线方程直接求解。
该算法较早提出之一是Um和Thurber(1987)，主要基于射线可由一组线性插值点表示。
给定某些任意路径，其目的是不断调整每个节点的位置，从而满足射线方程。
利用确定射线路径的法方向，然后直接运用费马原理而有效地实现上述算法。
Zhao等(1992)修改了Um和Thurber(1987)的三点扰动算法，且容许速度界面的存在。
这种情况下，定义射线的点序列包括射线穿过每个界面上的点。
当更新至界面上这些点时，将沿界面扰动(此时，连接界面两侧的点不动)直到满足斯奈尔定律为止。
Koketsu和Sekine(1998)图17伪弯曲算法中参数示意图(a:射线切向矢量m t、法向矢量m n和点r处的负法向单位矢量的定义;b:三点扰动示意图).图18Um和Thurber(1987)提出的伪弯曲算法原理.在此示意图中,初始估计路径由三点定义.中心点被扰动来满足费马原理,循环一次射线路径段数加倍.在球坐标系下提出了相似的算法。
其它弯曲算法除了弯曲和伪弯曲算法外，还有其他类似的弯曲算法也是值得一提的。
Prothero等(1988)提出了基于函数极小值的三维弯曲算法。
利用大量的搜寻找到炮点与检波器点间最小时间圆弧作为初始射线路径。
利用三角谐函数的求和对射线进行扰动，去寻找产生走时最小的振幅系数。
Debski和Ando(2004)开发了一种所谓“光谱射线追踪器”，其与Prothero等(1988)算法相近，不同的是射线由Chebyshev多项式定义。
弯曲问题可形成函数求极小值问题，其中Chebyshev多项式分项系数变成可调整的变量直至两点间走时为最小。
其中不是利用线性化方法去寻求最小值，而是利用遗传基因算法去产生和选择多项式分项系数。
射线追踪中大多数求解边值问题可归类为打靶法和弯曲法。
然而，其它的算法也是存在的，较著名的是基于结构扰动理论(Cerveny,2001)。
在这类算法中，假设在参考介质中已知两点间的射线路径，其目的是要通过对参考介质的扰动确定真实介质中相应两点的射线路径。
基于网格(节点)波前扩展的算法炮点与检波器间的射线追踪的另一类选择算法是计算由网格节点定义介质中所有节点上的走时和波前模拟。
完整的走时场隐含了波前面是时间[即：T(x)的等值线]和所有可能路径(由 T定义)的函数图20扩展矩形如何失效示意图.此例中路径1由扩展矩形法得到,但路径图19节点定义的速度场中使用扩展矩形波前的方式计算走时.图22忽略后续波波前时发生初至波波前的不连续性[a:由初始波前形成的歼灭尾翼(虚线所示);b:含不连续性的初至波波前;c:上行熵满足有限差分算法通过各象限得到合适的解).快速行进法(FastMarchingMethod)当波前自身相交(也就是说多值路径存在)时，初至波前自身包含绞缠或不连续，通常与后续波前相交。
由于通常只计算初至波走时，这些信息被丢弃。
为了保证计算的稳定性，计算新走时时，一般不用不连续介质两面不同的差分节点。
克服这一问题方法之一是：求解粘性程函方程，其中对不连续进行了平滑。
这种平滑解的局限是仅限于初至波波前的计算。
业已证明，上述粘性局限解同样可利用熵满足算子求解方程(18)得到，其中估计 T时考虑了方向性最短路径算法最短路径算法是在网格化节点速度场中计算所有节点走时的另一种流行方法不需求解差分方程，而是由网格节点的连线作为具有走时的射线段。
采用类似Dijkstra算法来求取给定点到网格上所有节点的最短路径。
根据费马原理两点间最短路径(最小走时路径)相应于实际射线路径。
最短路径网格通常是由单元或中心节点来参数化。
Nakanishi和Yamaguchi(1986)把速度场参数化为由常速度单元组成，而节点定义在单元边界上(参见图26a)。
该算法的优势在于每对节点间的走时可以很容易地计算(t=d⋅s)，这里d是两节点间的距离，s是含节点单元的波慢度。
计算精度可通过缩小单元尺度或增加单元边界上节点的个数来提高。
图26b刻画了在均匀介质中从某节点到其它几个节点间最小走时路径的选择。
图26由常速度单元节点定义的最短路径网格(NakanishiandYamaguchi,1986;Moser,1991)(a:所有容许的节点连接路径,虚线表示某节点可能的连接;b:均匀介质中炮点与邻近节点的最短路径选择).另一种形成网格节点的方法是利用规则的速度节点，并进行线性连接(Moser,1991)，如图27a所示。
两连接节点A和B间的走时可简单地由：t=d(sA +s B)/2得到，这里sA和sB分别为节点A和B处的波慢度值，而d则为两节点间的距离。
图27a中自某一节点到相邻节点连线的角度为45︒是比较大的，但可以通过增加节点的连接减小角度(图27b)。
这种连接方式有时称之为“forwardstar”(KlimesandKvasnicka,1994)。
图27a中“forwardstar”有8种连接，而图27b 中有16种连接。
最短路径网格节点化方式的优势是可以准确地表示连续变化的速度场，同时界面的引入也更容易。
一旦网格节点结构及节点间走时计算的方式确定之后，接下来就是计算整个走时场和相应射线路径。
Dijkstra(1959)最早提出原始的网格理论算法，其中计算时间正比于O(M2)，而M为所有节点总数。
此算法的概念十分简单，即：有总数为Q的未知走时节点，起初Q含M个元素，而P是空集，将Q集节点的走时设置为任意大的数。
算法将炮节点加入P集开始，然后由上述提及的“forwardstar”方式计算临近节点的走时(见图28)。
这些组成了可能的走时，然后算法从中挑选最小走时，将其加入P集直至所有Q集内节点计算完毕为止。
如果Q集内的节点在上次循环中已有计算走时，则选择具有最小走时使之更新。
完整的走时场可通过M次迭代得到，射线路径可通过记录节点更新的顺序获得。
图27由速度节点参数化的最短路径网格(Moser,1991)(a:由25个节点组成的网格,其中每个节点最多有8个连接;b:增加节点的连接可以更准确地表示小的路径偏离).图28最短路径算法(使用8个连接方式)的前三次迭代过程示意图.灰色点为已知走时的节点,黑色点为已有计算的走时(但可能不是最小走时)的节点,白色点为还未计算的节点.尽管最短路径算法只能用来计算连续介质中的初至波路径，但同样也可作合适修改像解程函方程那样去追踪反射和折射波。
Moser(1991)描述了在层状介质中利用带约束的最短路径算法计算这类震相地震射线，其中需要射线路径重访界面上特殊的节点。
原则上来说，其算法与后面将要讨论的multistageFMM算法相似。
最短路径算法在许多实际应用（要求在横向不均匀介质中计算大量的走时信息）中被证明是有效的。
在最初的最短路径算法中，Nakanishi和Yamaguchi(1986)利用地方震走时资料反演二维速度结构。