长方体与正方体的表面积与体积

长方体与正方体的表面积与体积
内容大纲
1.知识梳理
2.经典精讲
3.综合练习
4.拓展提高
5.巩固练习
知识梳理
1、长方体和正方体的认识
（1）、长方体的特征：有6个面，都是长方形，（有时相对的两个面是正方形），相对的面形状相同，
面积（大小）相等；有12条棱，相对的棱长度相等；8个顶点。

（2）、正方体的特征：有6个面，都是正方形，6个面的面积相等；12条棱的长度相等；8个顶点。

说明：正方体是特殊的长方体
（3）、长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4 正方体的棱长总和= 棱长×12
2、长方体和正方体的表面积
（1）、长方体的表面积计算公式：S=2(ab+ah+bh)，其中S为长方体的表面积，a为长，b 为宽，h为高。

（2）正方体的表面积计算公式：S=6×a×a=6a2，其中S为正方体的表面积，a为棱长。

3、长方体和正方体的体积或容积
（1）体积：物体所占空间的大小，是物体的体积。

容积：容器所能容纳物体的体积，是容器的容积。

（2）长方体体积的计算公式：长方体体积=长×宽×高=底面积×高；用字母表示是：V=abh
（3）正方体体积的计算公式：正方体体积=棱长×棱长×棱长；用字母表示是：V=
3 a
注意：长方体与正方体表面积与体积的变化关系
把长方体或正方体截成若干个小长方体（或正方体）后，表面积增加了，体积不变。

长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同。

但要从容器里面量长、宽、高。

所以，
对于同一个物体，体积大于容积。

注意：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。

如长、宽、高各扩大2倍，体积就会扩大到原来的8倍。

4、体积与容积单位换算
常见的体积单位有：3cm ；3dm ；3
m 等。

常见的容积单位有：L 、mL 等
体积单位的换算有：3311000m dm =；33
11000dm cm =；相邻体积单位间的进率是1000.
容积单位的换算有：11000L mL =
体积与容积间的单位换算：311000m L =；311dm L =；311000dm mL =；3
11cm mL =
转换依据：（1）高级单位化为低级单位：乘以进率； （2）低级单位化为高级单位：除以进率。

5、不规则物体的体积或容积
（1）公式法：形状规则的物体可以用公式直接求体积。

（2）排水法：形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式：V
物体
=V
现在
－V
原
来
，也可以 V 物体 =S ×(h 现在- h 原来) V 物体 =S ×h 升高
（3）分割法：对于组合类型的物体，可以通过分割的方法将其分割成几个规则的物体，分别求每一个物体的体积，然后相加求和。

（1）等积变形法：对于某些问题，当外形发生变化时，体积不变，如长方体铁块融化后铸成正方体铁块，体积没有变化，据此可解决有关体积的相关问题。

经典精讲
类型一：长方体和正方体的认识
例1、填表：
名称
相同点
不同点 面
棱
顶点
面的特点 面的大小
棱的长短
长方体 个 条
个
6个面一般都是 也
可能有两个相对 的面是 ；
相对面的面积
每一组互相平行的四
条棱长度 正方体 个 条 个
6个面都是
6个面的面积
12条棱的长度
随堂练习
练习1、长方体的棱长之和是72厘米，长是9厘米，宽是6厘米，高是多少厘米？
练习2、在一个长方体中，从一个顶点出发的三条棱的和是7.5分米，这个长方体的棱长总和是多少分米？
练习3、用一根铁丝围成一个长方体，已知长方体的长是3厘米，宽是2厘米，高是1厘米，这根铁丝长多少厘米？
练习4、一个长方体和一个正方体的棱长之和相等，已知这个长方体长3厘米，宽2厘米，高1厘米，那么正方体的棱长之和是多少？
练习5、如图，捆扎一礼品盒，若打结处绳子的长40厘米，捆扎这个礼品盒需绳子的长度是多少厘米？
类型二：长方体和正方体的表面积
例1、如图，长方体的长是（）厘米，宽是（）厘米，高是（）厘米，那么上下两个面的面积和是（）平方厘米，前后两个面的面积和是（）平方厘米，左右两个面的面积和是（）平方厘米，它的表面积是（）平方厘米。

3
4
13
例2、填表。

图形名称棱长（a）表面积（S）
正方体
2 cm
0.6 m
54平方分米
图形名称长（a）宽（b）高（h）表面积（S）
12 cm 3 cm 6 cm
长方体 5 分米 3分米
6 厘米 3厘米
例3、正方体木料的棱长总和是60分米，问：它的表面积是多少平方分米？
例4、教室长8米，宽5米，高3米，门窗面积15平方米，要粉刷墙壁的四周和顶面，粉刷面积是多少平方米？如果每平方米用漆0.6千克，每千克油漆21元，粉刷这间教室需用多少元？
例5、把一个长方体的高缩短3厘米后，它就变成了一个正方体，表面积比原来减少了60平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？
例6、将4个小正方体堆成一个长方体，表面积比四个小正方体的表面积和少了24cm2，原来每个小正方体的表面积是多少？
例7、如图所示的几何体是由六个相同的小正方体组合而成的，请你画出从不同的三个方向所看到的平面图。

例8、如图是由多个完全相同的小正方体组成的立体图形，请你画出从不同的三个方向（正面、左面、上面）所看到的平面图。

例9、如图所示，是由棱长为1的正方体搭成的积木从三个不同的方向看到的立体图形的平面图则图中棱长为1的正方体的个数是（）。

例10、墙角堆放着一些棱长为4分米的正方体钢块（如图）．若给露在外面的钢块表面涂上油漆，那么涂油漆的面积是多少平方分米？
例11、把19个边长为2厘米的正方体重叠起来，作成如图那样的组合形体，求这个组合形体的露在外面的面积之和是多少？
随堂练习
练习1、计算下面长方体、正方体的表面积。

（单位：厘米）
练习2、一个礼堂长20米，宽15米，高8米，要粉刷礼堂的顶棚和四周墙壁，除去门窗面积120平方米，平均每平方米用涂料0.45千克，一共需涂料多少千克？
练习3、用96厘米长的铁丝焊接成一个正方体的框架，然后用纸给它的表面包裹起来，至少需要多少平方厘米的纸？
练习4、一个长方体无盖铁皮箱子，长1.2米，宽0.8米，高2.5米，做一个这样的箱子至少需要多少铁皮？
练习5、一根长5米的长方形木料，锯成了3个小长方体，表面积比原来增加了16平方米。

原来这根木料的体积是多少？
练习6、一块长方体橡皮泥，长8分米，宽3分米，高5分米。

把它分割成两个小长方体，表面积增加多少平方米？
练习7、有一个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6，从三个不同的角度观察这个正方体所得到的结果如图所示，如果标有数字6的面所对面上的数字记为a，2的面所对面上数字记为b，那么a+b的值为（）.
练习8、求下列立体图形露在外面的面的面积之和。

练习9、这个颁奖台是由3个长方体合并而成的，它的前后两面涂是黄色油漆，其他露出来的面涂是红色油漆．涂黄色油漆和红色油漆的面积各是多少？
练习10、如图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？
类型三：长方体和正方体的体积
例1、以下情况，物体的体积发生变化吗？
（1）在不计损耗的情况下，小亚将一盒果汁倒入杯中，果汁的体积（ ）； （2）一块方钢，锻造成一根钢条，它的体积（ ）；
（3）小胖把一块橡皮泥，先捏成一长条，再捏成一个小兔，它的体积（ ）。

（4）有6块小方块，可以摆放成各种形状，它们的体积（ ）。

例2、如果以下的立体图形都是用棱长是1厘米的正方体的积木，那么下列每个立体图形的体积是多少？
例3、由若干个体积为,93
cm 的小正方体搭成的几何体，从正面和从上面看到的形状图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的总体积最多是 3
cm ；最少是 3
cm 。

例4、求下面图形的体积．
例5、刘刚把3个长是10厘米，宽是8厘米，高是6厘米的长方体橡皮泥捏成一个长和宽都是12厘米的长方体，这个新长方体的高是多少？
例6、一根横截面是正方形的方木，横截面的周长是28分米，方木长5米．如果每立方米木头的质量是0.45吨，这根方木的质量是多少吨？
例7、如图，一个长方体的底面是边长为5分米的正方形，长方体4个侧面的面积之和是500平方分米，求长方体的体积．
随堂练习
练习1、如果以下的立体图形都是用棱长是1厘米的正方体的积木，那么下列每个立体图形的体积是多少？
练习2、用棱长是1厘米的正方体搭出一个大正方体，至少要用（）块，这时它的体积是（）立方厘米。

练习3、一个正方体的棱长总和是48分米，它的体积是多少？
练习4、一个长方体，长是2.8分米，宽是长的一半，高比长长0.3分米，求这个长方体的体积是多少？
练习5、两个同样的正方体拼成一个长方形，长方体的长是10厘米，则它的体积是多少立方厘米？
类型四：体积与容积单位换算
例1、单位换算
1立方分米=（）立方厘米
1立方米=（）立方分米
0.2立方分米＝（）立方厘米
35立方厘米＝（）立方分米
12立方分米5立方厘米＝（）立方分米
7立方米8立方分米＝（）立方分米
例2、一个长方体的底面积是80平方分米，高是7厘米，它的体积是多少立方厘米？
例3、一根长方体的方木，横截面的面积为25平方厘米，长5分米，它的体积是多少立方米？
例4、（1）至少要多少个小正方体才能拼成一个大正方体？
（2）如果一个小正方体的棱长是5厘米，那么大正方体的表面积是多少平方厘米？体积是多少立方分米？
例5、、一个正方体的底面积是25平方分米，它的表面积是多少平方米，它的体积是多少立方分米？
例6、正方体的棱长总和是72厘米，它的表面积是多少平方分米？体积是多少立方分米？
例7、单位换算。

1升=1（） 1毫升= 1（） 1升=（）毫升
6000毫升=（）升=（）立方分米
7.5升=（）升（）毫升=（）毫升
1000000立方厘米=（）立方分米=（）升
56000升=（）立方分米
45000毫升=（）升=（）立方米
720立方分米=（）立方米=（）立方厘米
810000立方厘米=（）升
4.07立方米=( )立方米( )立方分米=（）升
9.08立方分米=( )升=( )毫升
例8、把30升盐水装入容积是250毫升的盐水瓶里，能装多少瓶？
例9、一个长方体水池，底面长15米，宽6米。

如果要向这个池子里注入1.5米深的水，需要多少升水？
随堂练习
练习1、单位换算
7m2=( )dm2 55 cm2=( ) dm2
1.4 m2=( ) dm242 dm³=（）cm³
24 m2=（）dm2 3.56m³=（）dm³
18m³30dm³=（）m³ 3dm³400cm³=（）cm³
12m³30dm³=（）dm³ 13dm³39cm³=（）dm³练习2、把三个棱长都是4厘米的正方体拼成一个长方体,表面积减少了多少平方厘米,它的体积是多少立方分米？
练习3、一个长方体形状的游泳池,长50米,宽25米,高3米,池内原来水深1.2米,如果用水泵向外排水,每分钟排水2.5立方米,那么需要几个小时排完?游泳池的四周和底部都要贴上瓷砖的面积？
练习4、从一个棱长10厘米的正方体木块上挖去一个棱长2厘米的小正方体剩下部分的表面积是多少？
练习5、一个长方体水箱的容积是350升，这个水箱的底面是一个边长为50厘米的正方形，水箱的高
是多少厘米？
练习6、一个棱长5分米的正方体水箱装满水，如果把这箱水倒入另一个长0.8米，宽25厘米的长方体水箱中，水深是多少？
练习7、一个底面周长是24厘米的正方体玻璃缸，这个玻璃钢装水多少升？
类型五：不规则物体的体积或容积
例1、组合体的体积：计算下列几个铸铁零件的体积.（单位：厘米）
例2、一个长方体玻璃缸，从里面量长40厘米，宽25厘米，缸内水深12厘米。

把一块石头浸入水中后，水面升到16厘米，求石块的体积。

例3、把一块棱长8厘米的正方体钢坯，锻造成长16厘米，宽5厘米的长方体钢板，这钢板有多厚？
随堂练习
练习1、计算下列组合体的体积。

（单位：厘米）
练习2、将一块底面积长为32厘米，宽为4厘米的长方体铁块，锻造成一块棱长为8厘米的正方体。

原来的长方体的高是多少厘米？（不计损耗）
练习3、有一个底面积是300平方厘米、高10厘米的长方体，里面盛有5厘米深的水。

现
练习4、一个长方体的容器，底面积是16平方分米，装的水高6分米，现放入一个体积是24立方分米的铁块。

这时的水面高多少？
练习5、把10升水倒入一个长2.5分米，宽2分米，高6分米的长方体水缸中。

（1）这时水面的高度离容器口有多少分米？
⑵此时，将一个正方体铁块全部浸入水中，水面离容器口还有2.4分米，你能求出正方体铁块的棱长吗？
综合练习
1、一个长方体的长是10厘米，比宽多4厘米，高和宽相等。

它的表面积是多少？
2、小敏房间的地面是长方形。

长5米、宽3米，铺设了2厘米厚的木地板，至少需要木材多少立方米？
3、将192立方米的沙土铺撒在一条宽为4米的路上，铺撒的厚度为2分米。

可以铺撒多少米？
4、一个礼堂长20米，宽15米，高8米，要粉刷礼堂的顶棚和四周墙壁，除去门窗面积120平方米，平均每平方米用涂料0.45千克，一共需涂料多少千克？
5、、学校要砌一道长20米，宽24厘米、高2米的墙，每立方米需要砖525块，学校需要买多少块砖？
1、一个长方体的棱长总和是140cm，已知长是宽的2倍，宽是高的2倍，求这个长方体的长、宽、高分别是多少。

2、用4个棱长都是3cm的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的棱长总和是多少？
3、王老师家新买一套住房，客厅长6米，宽3米，高3米．王老师这样装修客厅：①地面
铺边长为
0.6米的方砖．请你算一算，王老师至少要买多少块这样的方砖？②用立邦漆粉刷四周墙面，每平方米大约需要1.2千克．王老师至少要买多少千克立邦漆？（扣除10平方米的门窗面积）
巩固练习
1、填空：
（1）长方体有（）个面，（）与（）、（）与（）、（）与（）是相对的面，它们的（）相同，（）相等。

（3）正方体有（）条棱，（）相等。

（4）一个长方体的一个顶点上的三条棱长的和是34.7厘米，这个长方体的棱长和是（）。

2、用铁丝焊接一个长6厘米、宽5厘米、高4厘米的长方体模型，至少要用多少厘米长铁丝？如果将这根铁丝焊成一个正方体模型，正方体棱长是多少厘米？
3、把一个棱长是8厘米正方体切成三个完全一样的长方体，这三个长方体的棱长总和比原来正方体
的棱长总和增加了多少厘米？
4、一只鱼缸，棱长和为240cm，其中，底面周长为80cm，右面周长为60cm，前面周长为100cm，鱼缸的长、宽、高各是多少？
5、一个长方体的食品盒长宽高分别是40cm、20cm、和15cm．售货员用红色的塑料绳，如右图那样进行了捆扎，捆扎用的塑料绳共需多少厘米？（挽扣部分用30cm）
6、把两个正方体拼成一个长方体后，表面积减少了30平方厘米，问：拼成的长方体的表面积是多少平方厘米？
7、如图是一个长方体表面的展开图，请算出这个长方体的表面积．（单位：厘米）
8、如图，有30个棱长为1米的正方体堆成一个四层的立体图形．请问：这个立体图形的表面积等于多少？
9、将一个长方体从上、下两端分别锯去高为3cm和2cm的两个长方体后，剩下中间的是一个正方体。

已知其表面积比原来减少了120cm2，则原来长方体的表面积是多少？
10、下列形体的体积各是多少？（单位：厘米）
8
6
6
15
8
8
11、求下列零件的体积。

（体积：厘米）
12、用棱长为1厘米的正方体木块，拼搭成如图所示的立体图形，这个立体图形的总体积是多少立方厘米？．
13、看图回答问题．
（1）这个桔子的体积是多少？
（2）如果再放一个相同体积的桔子，烧杯的刻度应该是多少？
14、用铁丝焊接一个长、宽、高分别是6厘米、5厘米、4厘米的长方体框架，至少需要铁丝铁丝多少厘米？如果改成焊正方体，它的体积是多少立方厘米？
15、一个正方体和一个长方体的体积相等，已知正方体的棱长是6厘米。

长方体的长是5厘米，高3厘米，它的宽是多少厘米？
16、有一个完全封闭的容器，里面的长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米，平放时里面装了7厘米深的水．如果把这个容器竖起来放，水的高度是多少？。