第九章机械振动
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
g 0
l
表明：单摆的运动也是简谐振动，故
0
g, l
T 2 l
g
③复摆是绕一固定的水平轴，在重力作用下，作微小摆动的刚体。
O表示复摆的转轴，C表示复摆的质心。OC 与铅直方向的夹角为θ，它是描述刚体位置 的变量。当OC在铅直线上时,θ=0，为平衡 位置。刚体绕O轴转动的力矩是由重力mg 提供的
0t+0
O
M
A
0
A
t=0
px
矢端M在x 轴上的投影P点的运动规律：
x Acos(0t 0 ) v 0 Asin(0t 0 ) a 02 A cos(0t 0 )
例题2：半径为 r 的小球在半径为R的半球形大碗内作纯滚动，这 种运动是简谐振动吗？如果是，求出它的周期。
解：设小球的质心速度vC ，绕质心转动的角速度为ω。小球在滚 动过程中系统的机械能守恒：
mg(R
r)(1
cos )
1 2
mvC2
1 2
IC 2
E0
其中
IC
2 5
mr2
r vC
vC (R r)
以水平的弹簧振子为例
x(t) Acos(0t 0)
v A0 sin(0t 0 )
x
m
Ox
动能:
Ek
1 mv2 2
1 2
mA202
sin2 (t 0 )
1 2
kA2
sin2 (0t
0 )
0 k / m
势能:
Ep
1 2
kx2
1 2
k百度文库2
cos2 (0t
0 )
总能:
E
Ek
Ep
1 2
kA2
总机械能守恒，即总能量不随时间变化. 谐振动的总能量与振幅的平方成正比
M mgl sin
由转动定律
M
I
I
d 2
dt 2
I
d 2
dt 2
mgl sin
小角度时 sin
d 2
dt 2
mgl
I
d 2
dt 2
02
0
转动正向
O l
Ｃ
mg （C点为质心）
角频率：
0
mgl I
4.简谐振动的能量转换
以水平的弹簧振子为例
x(t) Acos(0t 0)
v A0 sin(0t 0 )
x
m
Ox
动能:
Ek
1 mv2 2
1 2
mA202
sin2 (t 0 )
1 2
kA2
sin2 (0t
0 )
0 k / m
势能:
Ep
1 2
kx2
1 2
kA2
cos2 (0t
0 )
总能:
E
Ek
Ep
1 2
kA2
总机械能守恒，即总能量不随时间变化. 谐振动的总能量与振幅的平方成正比
4.简谐振动的能量转换
物体位移为x时，物体所受合力
l
F mg k(l x) kx
O
由牛顿第二定律有
m d 2 x kx dt 2
d2x dt 2
k m
x
0
x
故物体仍做简谐振动，角频率为
0
k m
②单摆 单摆在拉力和重力作用下做圆周运动， 利用切向的牛顿方程可得
ml mgsin
在角度很小时有
sin
于是单摆的运动方程为
是简谐振动的重要
特征。
角频率 0：0
2π
2π T
②相位和初相位
相位：决定简谐运动状态的物理量 0t 0 初相：决定初始时刻物体运动状态的物理量 0
相位比时间更直接更清晰地反映振子运动的状态。
③振幅
振幅A—— 物体离开平衡位置最大位移的绝对值。
初始条件决定振幅和初相位
x Acos(0t 0)
设 t = 0, x = x0 ,v = v0
速度表达式：
——简谐振动的运动方程
v
dx dt
0 Asin(0t 0 ) 0 A cos(0t 0
2
)
加速度表达式：
a
d2x dt 2
02 A cos(0t
0 )
02 A cos(0t 0 )
2. 描述简谐振动的特征参量
①周期、频率和角频率
周期(T)——系统作一次完整振动所需时间。
x(t) x(t T ) , v(t) v(t T )
AAcos0(sin0t( 0t0)
0
Acos[0 (t T ) 0 ] ) A0 sin[0 (t T
)
0
]
0T 2n , n 1, 2,3,...
T 的最小值 ：
T 2 0
频率 ： 1 0
T 2π
T、 和0由振动
系统本身的性质决 定,振幅A无关，这
第九章 机械振动
§9.1简谐振动
振动：任何一个物理量在某一数值附近的反复变化。振动具有 重复性和周期性。
振动是普遍存在的一种运动形式 ①物体的来回往复运动(弹簧振子、单摆等) ②电流、电压的周期性变化。
A LC
B
K
机械振动：物体在一定位置附近作周期性往复运动。
1.简谐振动的特征及其表达式
弹簧振子——轻弹簧与物体m 组成的系统。
求: 运动方程？
解：
0
2
T
4 (s1), A
x02
v02
02
2.0102 (m)
tg v0 3 4
0 x0
3
代入简谐振动表达式，则有
x 2.0102 cos(4 t 4 （) m)
3
3、常见的简谐振动
①竖直悬挂的弹簧振子
选平衡位置为坐标原点，
平衡时，弹簧伸长量为：
mg kl
v
dx dt
A0
sin(0t
0 )
对给定振动系统，
则 x0 Acos0, v0 A0 sin0
周期由系统本身性
A
x02
v02
02
,
tan 0
v0
x00
质决定，振幅和初 相由初始条件（两 个）决定。
例题1：一放置在水平桌面上的弹簧振子,周期为0.5 s。
当t=0时， x0 1.0102 m, v0 0.218m s1
物体只受弹力作用
Fx kx 其中k弹性系数
弹力的两个特点
① 弹力的指向总是与位移x的方向 反向，总是指向平衡位置。
② 弹力的大小正比于位移x的大小。
由牛顿定律： m d 2 x kx dt 2
令 02
k m
，则有
d2x dt 2
02
x
0
弹簧振子的运动
m
=0
Ox
F
A
v
x -A
F
v
F=0 x=0
方程的解为： x A cos(0t 0 ) A与0 由初始条件定
Ek
1 T
T 0
12m02 A2
sin2
0t
0
dt
1 4
kA2
1 2
E
Ep
1 T
T 0
1kA2 2
cos2
0t
0
dt
1 4
kA2
1 2
E
5.简谐振动的表示法
① 旋转矢量图示法
作坐标轴ox ,自原点作一矢量A(OM )
旋转矢量
简谐振动
模
振幅A
初始与x 轴的夹角 初相0
角速度
角频率 0
与x 轴的夹角 相位 0t 0
所以可得
mg(R
r)(1
cos
)
7 10
m(R
r)2
2
E0
两边对t 求导
5g sin 0
7(R r)
小角度滚动时 1,sin ，运动方程化简为
5g 0
7(R r)
0
5g 7(R r)
因此小球在碗底部的小角度滚动是简谐振动，其周期为
T 2 2 7(R r)
0
5g
能量平均值：
l
表明：单摆的运动也是简谐振动，故
0
g, l
T 2 l
g
③复摆是绕一固定的水平轴，在重力作用下，作微小摆动的刚体。
O表示复摆的转轴，C表示复摆的质心。OC 与铅直方向的夹角为θ，它是描述刚体位置 的变量。当OC在铅直线上时,θ=0，为平衡 位置。刚体绕O轴转动的力矩是由重力mg 提供的
0t+0
O
M
A
0
A
t=0
px
矢端M在x 轴上的投影P点的运动规律：
x Acos(0t 0 ) v 0 Asin(0t 0 ) a 02 A cos(0t 0 )
例题2：半径为 r 的小球在半径为R的半球形大碗内作纯滚动，这 种运动是简谐振动吗？如果是，求出它的周期。
解：设小球的质心速度vC ，绕质心转动的角速度为ω。小球在滚 动过程中系统的机械能守恒：
mg(R
r)(1
cos )
1 2
mvC2
1 2
IC 2
E0
其中
IC
2 5
mr2
r vC
vC (R r)
以水平的弹簧振子为例
x(t) Acos(0t 0)
v A0 sin(0t 0 )
x
m
Ox
动能:
Ek
1 mv2 2
1 2
mA202
sin2 (t 0 )
1 2
kA2
sin2 (0t
0 )
0 k / m
势能:
Ep
1 2
kx2
1 2
k百度文库2
cos2 (0t
0 )
总能:
E
Ek
Ep
1 2
kA2
总机械能守恒，即总能量不随时间变化. 谐振动的总能量与振幅的平方成正比
M mgl sin
由转动定律
M
I
I
d 2
dt 2
I
d 2
dt 2
mgl sin
小角度时 sin
d 2
dt 2
mgl
I
d 2
dt 2
02
0
转动正向
O l
Ｃ
mg （C点为质心）
角频率：
0
mgl I
4.简谐振动的能量转换
以水平的弹簧振子为例
x(t) Acos(0t 0)
v A0 sin(0t 0 )
x
m
Ox
动能:
Ek
1 mv2 2
1 2
mA202
sin2 (t 0 )
1 2
kA2
sin2 (0t
0 )
0 k / m
势能:
Ep
1 2
kx2
1 2
kA2
cos2 (0t
0 )
总能:
E
Ek
Ep
1 2
kA2
总机械能守恒，即总能量不随时间变化. 谐振动的总能量与振幅的平方成正比
4.简谐振动的能量转换
物体位移为x时，物体所受合力
l
F mg k(l x) kx
O
由牛顿第二定律有
m d 2 x kx dt 2
d2x dt 2
k m
x
0
x
故物体仍做简谐振动，角频率为
0
k m
②单摆 单摆在拉力和重力作用下做圆周运动， 利用切向的牛顿方程可得
ml mgsin
在角度很小时有
sin
于是单摆的运动方程为
是简谐振动的重要
特征。
角频率 0：0
2π
2π T
②相位和初相位
相位：决定简谐运动状态的物理量 0t 0 初相：决定初始时刻物体运动状态的物理量 0
相位比时间更直接更清晰地反映振子运动的状态。
③振幅
振幅A—— 物体离开平衡位置最大位移的绝对值。
初始条件决定振幅和初相位
x Acos(0t 0)
设 t = 0, x = x0 ,v = v0
速度表达式：
——简谐振动的运动方程
v
dx dt
0 Asin(0t 0 ) 0 A cos(0t 0
2
)
加速度表达式：
a
d2x dt 2
02 A cos(0t
0 )
02 A cos(0t 0 )
2. 描述简谐振动的特征参量
①周期、频率和角频率
周期(T)——系统作一次完整振动所需时间。
x(t) x(t T ) , v(t) v(t T )
AAcos0(sin0t( 0t0)
0
Acos[0 (t T ) 0 ] ) A0 sin[0 (t T
)
0
]
0T 2n , n 1, 2,3,...
T 的最小值 ：
T 2 0
频率 ： 1 0
T 2π
T、 和0由振动
系统本身的性质决 定,振幅A无关，这
第九章 机械振动
§9.1简谐振动
振动：任何一个物理量在某一数值附近的反复变化。振动具有 重复性和周期性。
振动是普遍存在的一种运动形式 ①物体的来回往复运动(弹簧振子、单摆等) ②电流、电压的周期性变化。
A LC
B
K
机械振动：物体在一定位置附近作周期性往复运动。
1.简谐振动的特征及其表达式
弹簧振子——轻弹簧与物体m 组成的系统。
求: 运动方程？
解：
0
2
T
4 (s1), A
x02
v02
02
2.0102 (m)
tg v0 3 4
0 x0
3
代入简谐振动表达式，则有
x 2.0102 cos(4 t 4 （) m)
3
3、常见的简谐振动
①竖直悬挂的弹簧振子
选平衡位置为坐标原点，
平衡时，弹簧伸长量为：
mg kl
v
dx dt
A0
sin(0t
0 )
对给定振动系统，
则 x0 Acos0, v0 A0 sin0
周期由系统本身性
A
x02
v02
02
,
tan 0
v0
x00
质决定，振幅和初 相由初始条件（两 个）决定。
例题1：一放置在水平桌面上的弹簧振子,周期为0.5 s。
当t=0时， x0 1.0102 m, v0 0.218m s1
物体只受弹力作用
Fx kx 其中k弹性系数
弹力的两个特点
① 弹力的指向总是与位移x的方向 反向，总是指向平衡位置。
② 弹力的大小正比于位移x的大小。
由牛顿定律： m d 2 x kx dt 2
令 02
k m
，则有
d2x dt 2
02
x
0
弹簧振子的运动
m
=0
Ox
F
A
v
x -A
F
v
F=0 x=0
方程的解为： x A cos(0t 0 ) A与0 由初始条件定
Ek
1 T
T 0
12m02 A2
sin2
0t
0
dt
1 4
kA2
1 2
E
Ep
1 T
T 0
1kA2 2
cos2
0t
0
dt
1 4
kA2
1 2
E
5.简谐振动的表示法
① 旋转矢量图示法
作坐标轴ox ,自原点作一矢量A(OM )
旋转矢量
简谐振动
模
振幅A
初始与x 轴的夹角 初相0
角速度
角频率 0
与x 轴的夹角 相位 0t 0
所以可得
mg(R
r)(1
cos
)
7 10
m(R
r)2
2
E0
两边对t 求导
5g sin 0
7(R r)
小角度滚动时 1,sin ，运动方程化简为
5g 0
7(R r)
0
5g 7(R r)
因此小球在碗底部的小角度滚动是简谐振动，其周期为
T 2 2 7(R r)
0
5g
能量平均值：