直角三角形 的边角关系(一) 优秀教案
九年级数学下册：第一章直角三角形的边角关系复习教案(北师大版) 教案
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第一章直角三角形的边角关系
回顾与思考
（一）教学核心
1．经历回顾与思考，建立本章的知识框架图；
2．利用计算器，发现同角的正弦、余弦、正切之间的关系；
3．进一步体会直角三角形边角关系在现实生活中的广泛应用；
4．体会数形之间的联系，逐步学会利用数形结合的思想分析问题和解决问题；
（二）课时安排
1课时
（三）教学内容
回顾与思考中共设计有四个问题，帮助大家回顾、思考直角三角形中反映边角关系的三角函数的概念，直角三角形中边角关系在现实生活中的广泛应用，体现数形之间的联系。
以及把实际问题数学化的过程，更进一步了解知识间的联系和综合应用。
使三角函数的意义从现实生活中来，而又服务于现实生活中，从现实生活中抽象出数学问题，然后数形结合，用三角函数解决问题。
（四）教学建议
1.教师可以通过一系列的练习题的解答，逐步呈现本章知识点，然后要求学生自己对本章的内容进行小结，随后进行交流，形成知识框架图。
2．可以让学生说一说他们利用三角函数的知识解决了什么实际问题，或利用三角函数解决问题的体会。
3．可以让学生说一说他们在使用计算器解决问题的过程中有什么发现等。
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北师大版九年级下册第一章直角三角形的边角关系1.1.1梯子的倾斜程度与正切优秀教学案例
（五）作业小结
1.布置具有实际意义的作业，让学生运用正切函数解决实际问题，巩固所学知识。
2.鼓励学生对作业进行自我反思和评价，培养他们的自我调整能力。
3.通过对作业的反馈，了解学生的学习情况，为下一步教学提供依据。
五、案例亮点
1.生活情境的创设：本节课以现实生活中梯子的使用为背景，通过展示不同倾斜程度的梯子，引发学生的思考和兴趣。这种生活情境的创设，使得学生能够更好地理解和运用所学知识，提高他们的数学应用能力。
2.通过示例和几何画板演示，引导学生理解梯子倾斜程度与高度之间的关系，即梯子的倾斜程度越大，能够到达的高度越低。
3.运用公式和实际例子，讲解如何通过测量梯子的倾斜程度来计算能够到达的高度。
4.强调正切函数的性质：正切函数在0°到90°之间是增函数，且周期为180°。
（三）学生小组讨论
1.设计具有挑战性的问题，让学生进行小组讨论：如何利用正切函数解决实际问题？
（四）反思与评价
1.引导学生对所学知识进行反思，巩固他们的记忆和理解。
2.鼓励学生对自己的学习过程进行评价，培养他们的自我反思能力和自我调整能力。
3.组织学生进行互评和小组评价，让他们在评价中学会欣赏他人、学会给予反馈。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示不同倾斜程度的梯子，引发学生对梯子倾斜程度与高度之间关系的思考。
3.鼓励学生积极思考、主动探究，培养他们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
（三）小组合作
1.将学生分成小组，鼓励他们相互讨论、共同解决问题。
2.设计具有合作性的任务，让学生在小组合作中相互学习、相互帮助，提高他们的团队合作能力。
第一章直角三角形的边角关系教学设计
第一章直角三角形的边角关系复习教学设计华西中学马东风一、学生知识状况分析通过本章的学习，学生更多的认识到一般直角三角形的边角关系，掌握了特殊角（30°，45°，60°）的三角函数值，并能用三角函数将直角三角形的边与角联系起来，也能利用三角函数知识解决相关的实际问题。
学生已经经历了对特殊角三角函数值的探究及总结过程，也能把简单的实际问题转化为数学问题。
二、教学任务分析教学目标是：1．以问题的形式梳理本章的内容，使学生进一步会运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题。
2．通过实例进一步掌握锐角三角函数的定义，并能熟练掌握特殊角的三角函数值。
3．通过联系使学生进一步利用计算器由已知锐角求出它的三角函数值；由已知三角函数值求出它对应的锐角。
4、练习过程中，使学生进一步体会数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题。
三、教学过程分析第一环节基础练习活动内容：1、根据给出的三角函数值，由学生给出相应的角（30°，45°，60°）的度数。
2、学生独立练习：教科书第一章复习题A组的1、2、3、4、5、7题第二环节知识小结活动内容：总结和直角三角形相关的边、角的计算，以及本章的知识点。
问题时，把实际问题转化为数学问题打下了基础。
第三环节巩固提高活动内容：1、教科书复习题A 组第10题，B 组第5题；2、课外拓展2个小题课外拓展题题目及答案：① 如图在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=6，D 是AC 上一点，若tan ∠=DBA AD 15，求的长。
A E B②如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A 处运往正西方向的B 处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货，此时接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A 向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响。
北师大版数学九年级下册第一章直角三角形的边角关系之《正弦与面积》优秀教学案例
（一）知识与技能
1.理解并掌握正弦函数的定义，能够准确地描述正弦值在直角三角形中的意义和计算方法。
2.学会运用正弦函数求解直角三角形的面积，并能将其应用于解决实际问题，如测量物体的高度、计算不规则图形的面积等。
3.能够运用正弦函数推导出其他相关公式，如正弦定理，并能在解决具体问题时灵活运用。
北师大版数学九年级下册第一章直角三角形的边角关系之《正弦与面积》优秀教学案例
一、案例背景
在我国北师大版数学九年级下册第一章中，直角三角形的边角关系是教学的重点内容。其中，《正弦与面积》这一节，旨在引导学生探索直角三角形中正弦函数与面积之间的关系，从而加深对正弦概念的理解，并培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。为了让学生更好地掌握这一知识点，本教学案例将结合实际情境，运用生活实例，以问题驱动的教学策略，激发学生的探究欲望，帮助他们构建起正弦与面积之间的桥梁。通过本节课的学习，学生将不仅能熟练运用正弦公式，还能深刻体会到数学与生活的紧密联系，提高学习兴趣和实际操作能力。
（二）问题导向激发学生探究欲望
本案例以问题为导向，设计了一系列具有挑战性和启发性的问题，引导学生自主探究、合作交流。这种教学策略有助于激发学生的探究欲望，培养他们的问题意识和解决问题的能力。
（三）小组合作促进学生共同成长
本案例注重小组合作学习，让学生在小组内相互讨论、交流，共同完成任务。这种教学模式有助于培养学生的团队协作能力、沟通表达能力和共享意识，使学生在合作中共同成长。
2.引导学生认识到数学在科学技术发展中的重要作用，激发他们为国家和民族的繁荣而努力学习数学的使命感。
3.培养学生勇于探索、敢于创新的精神，使他们具备面对困难和挑战时的信心和勇气。
4.强调数学知识与现实生活的紧密联系，让学生学会用数学的眼光观察世界，提高他们的人文素养和社会责任感。
直角三角形的边角关系教案
第一章直角三角形的边角关系§1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起教学目标1、经历探索直角三角形中边角关系的过程2、理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明3、能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比4、能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算教学重点和难点重点：理解正切函数的定义难点：理解正切函数的定义教学过程设计一、从学生原有的认知结构提出问题直角三角形是特殊的三角形，无论是边，还是角，它都有其它三角形所没有的性质。
这一章，我们继续学习直角三角形的边角关系。
二、师生共同研究形成概念1、梯子的倾斜程度在很多建筑物里，为了达到美观等目的，往往都有部分设计成倾斜的。
这就涉及到倾斜角的问题。
用倾斜角刻画倾斜程度是非常自然的。
但在很多实现问题中，人们无法测得倾斜角，这时通常采用一个比值来刻画倾斜程度，这个比值就是我们这节课所要学习的——倾斜角的正切。
1）（重点讲解）如果梯子的长度不变，那么墙高与地面的比值越大，则梯子越陡；2）如果墙的高度不变，那么底边与梯子的长度的比值越小，则梯子越陡；3）如果底边的长度相同，那么墙的高与梯子的高的比值越大，则梯子越陡；通过对以上问题的讨论，引导学生总结刻画梯子倾斜程度的几种方法，以便为后面引入正切、正弦、余弦的概念奠定基础。
2、想一想（比值不变）☆想一想书本P 3 想一想通过对前面的问题的讨论，学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度。
当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定。
这一比值只与倾斜角的大小有关，而与直角三角形的大小无关。
3、 正切函数（1） 明确各边的名称（2） 的邻边的对边A A A ∠∠=tan （3） 明确要求：1）必须是直角三角形；2）是∠A 的对边与∠A 的邻边的比值。
☆ 巩固练习a 、 如图，在△ACB 中，∠C = 90°，1） tanA = ；tanB = ；2） 若AC = 4，BC = 3，则tanA = ；tanB = ； 3） 若AC = 8，AB = 10，则tanA = ；tanB = ；b 、 如图，在△ACB 中，tanA = 。
北师大版九年级下册第一章直角三角形的边角关系1.1.1梯子的倾斜程度与正切(教案)
-解决实际问题：培养学生将正切知识应用于解决生活中如梯子倾斜程度测量等问题的能力。
举例：在讲解正切定义时，可以通过图形展示和实际操作，让学生直观地理解正切的含义，并强调其在直角三角形中的位置和作用。
2.教学难点
3.通过对梯子倾斜程度与正切关系的探究，培养学生数据分析、逻辑推理和数学建模的核心素养；
4.培养学生合作交流、积极参与的学习态度，提高学生的团队协作能力和社会责任感。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-正切的定义：强调直角三角形中，锐角的对边与邻边的比值叫做这个锐角的正切，突出正切在直角三角形边角关系中的重要性。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“正切在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，如“正切还可以用来解决哪些实际问题？”
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了正切的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对正切在测量梯子倾斜程度等方面的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
b.实际问题应用：以梯子为例，引导学生如何将梯子的长度和地面的距离转化为直角三角形的对边和邻边，进而运用正切进行计算。
北师大版初中数学九年级下册《直角三角形的边角关系》全章教材分析教案设计
九年级数学第一章直角三角形的边角关系教案一、本章教学的指导意见：本章内容从梯子的倾斜程度说起，引出第一个三角函数——正切。
因为相比之下，正切是生活当中用得最多的三角函数概念，如刻画物体的倾斜程度、山的坡度等。
正弦和余弦的概念，是在正切的基础上、利用直角三角形、通过学生的说理得到的。
接着，又从学生熟悉的三角板引入特殊角30°、45°、60°角的三角函数值的问题。
对于一般包括锐角三角函数值的计算问题，需要借助计算器。
教科书仔细地介绍了如何从角得值、从值得角的方法，并且提供了相应的训练和解决问题的机会。
利用锐角三角函数解决实际问题，也是本章重要的内容之一。
除“船有触礁的危险吗？”“测量物体的高度”两节外，很多实际应用问题穿插于各节内容之中。
直角三角形中边角之间的关系，是现实世界中应用最广泛的关系之一，锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用，如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，一般说来，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角的关系问题。
研究图形之中各个元素之间的关系，如边和角之间的关系，把这种关系用数量的形式表示出来，即进行量化，是分析问题和解决问题过程中常用的方法，是数学中重要的思想方法。
通过这一章内容的学习，学生将进一步感受数形结合的思想、体会数形结合的方法。
通过直角三角形中边角之间关系的学习，学生将进一步体会数学知识之间的联系，如比和比例、图形的相似、推理证明等。
直角三角形中边角之间关系的学习，也将为一般性地学习三角函数的知识及进一步学习其它数学知识奠定基础。
（二）教学重点1．使学生经历探索直角三角形中边角之间关系、探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，从中发展学生观察、分析、发现的能力；2．理解锐角三角函数的概念，并能够通过实例进行说明；3．会计算包括30°、45°、60°角的三角函数值的问题；4．能够借助计算器由已知锐角求出它的三角函数值，或由已知三角函数值求出相应的锐角；5．能够运用三角函数，解直角三角形及解决与直角三角形有关的实际问题，培养学生分析问题和解决问题的能力；6．体会数、形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题。
第一章直角三角形边角关系回顾与思考(教案)
在课程总结时，我发现部分学生对直角三角形边角关系在实际生活中的应用仍存在疑问。为了让学生更好地将所学知识应用于实际，我计划在今后的教学中，引入更多实际案例，让学生在解决实际问题的过程中，深化对知识点的理解。
五、教学反思
在今天的教学中，我重点关注了直角三角形边角关系这一章节的核心知识点。通过导入日常生活中的实际问题，我试图激发学生的兴趣，帮助他们理解数学知识在实际中的应用。在讲授过程中，我发现以下几点值得反思：
首先，学生对勾股定理的理解程度参差不齐。在讲解过程中，我注意到有些学生能够迅速掌握定理的推导和应用，而部分学生则对定理的理解较为吃力。针对这一现象，我考虑在今后的教学中，加强对定理推导过程的演示，并设计不同难度的练习题，以满足不同学生的学习需求。
-举例：使用平面几何图形或三维模型展示勾股定理的推导过程。
-难点2：三角函数值的计算与应用。学生可能在计算过程中混淆三角函数的定义，需要通过反复练习和实际应用案例来加深理解。
-举例：提供不同角度的三角函数值计算练习，并讲解在测量、导航等领域的应用。
-难点3：边角关系在实际问题中的综合应用。学生可能不知道如何将复杂的实际问题抽象为直角三角形的模型，需要教师引导和示范。
2.回顾与思考：
-通过对勾股定理的推导和应用实例，引导学生思考直角三角形边长之间的关系；
-结合锐角三角函数的定义与性质，探讨三角函数在直角三角形中的应用；
-引导学生运用互余两角的三角函数关系，解决实际问题；
-分析直角三角形的边角关系在生活中的应用，提高学生解决实际问题的能力。
第一章直角三角形的边角关系回顾与思考(教案)
-重点三：锐角三角函数的定义与性质。以具体角度为例，引导学生理解正弦、余弦、正切的定义，并探讨其性质，如单调性、周期性等，为解决复杂问题奠定基础。
举例解释：
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如利用三角板和量角器来实际测量并计算直角三角形的边长。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“直角三角形边角关系在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解直角三角形的边角关系的基本概念。直角三角形的边角关系是指在直角三角形中，三条边的长度和两个锐角的大小之间存在特定的数学关系。这些关系是勾股定理、锐角三角函数等，它们在几何学、物理学等领域有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们要测量一个旗杆的高度，我们可以利用直角三角形的边角关系，通过测量旗杆底部的距离和观察角度来计算旗杆的高度。
举例解释：
-在勾股定理的证明教学中，教师可以设计一些动手操作的实验，如使用纸张、剪刀等工具，让学生通过割补法亲身体验定理的证明过程。
-在讲解互余两角的三角函数关系时，教师可以绘制具体角度的直角三角形，让学生观察并计算互余两角的函数值，从而发现它们之间的关系。
-在解决实际问题时，教师可以引导学生从问题中抽象出直角三角形的模型，如利用三角函数计算物体的高度、距离等，帮助学生将理论知识应用于实际情境。
北师大版九年级数学下册第1章直角三角形的边角关系1.230、45、60角的三角函数值优秀教学案例
（二）问题导向
1.引导学生提出问题，激发学生的思考和探究欲望。例如，可以鼓励学生思考：“直角三角形的边长和角度之间有什么关系？”
2.设计具有挑战性和思考性的问题，引导学生深入思考和探究。例如，可以提出一个问题：“如果已知一个直角三角形的斜边长度和其中一个锐角的大小，如何求出另一个锐角的大小？”
3.引导学生通过小组合作、讨论和交流，共同解决问题，培养学生的合作和沟通能力。
2.引导学生相互倾听和尊重对方的意见，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
3.教师在小组活动中扮演观察者和引导者的角色，及时给予学生反馈和指导，促进学生的发展。
（四）总结归纳
1.教师引导学生进行总结归纳，让学生思考和总结30°、45°、60°这三个特殊角的三角函数值的规律和应用。
2.教师可以通过提问学生：“你们总结一下30°、45°、60°这三个特殊角的三角函数值有哪些特点？”来引导学生进行总结。
2.教师通过观察学生的表现和作业情况，对学生的学习进行评价，及时给予学生反馈和建议。
3.教师可以设计一些评价表格或问卷，让学生对自己的学习进行评价，促进学生的自我认识和自我提升。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用实物和图片，展示一个直角三角形的模型，引发学生的兴趣和好奇心。可以提问学生：“你们知道直角三角形有哪些特殊的性质吗？”
北师大版九年级上册数学 第一章 直角三角形的边角关系 全章经典教案
第一章 直角三角形的边角关系第1节 锐角三角函数导入：如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?【知识梳理】1、正切的定义在确定，那么A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作tanA 。
即tanA=baA =∠∠的邻边的对边A■例1已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，AD=8，BD=4，求tanA 的值。
跟踪练习：1、在Rt △ABC 中,锐角A 的对边和邻边同时扩大100 倍,tanA 的值（ ）A.扩大100倍B.缩小100倍C.不变D.不能确定 2、已知∠A,∠B 为锐角(1)若∠A=∠B,则tanA tanB; (2)若tanA=tanB,则∠A ∠B.3、在△ABC 中，∠C=90°，BC=12cm ，AB=20cm ，求tanA 和tanB 的值.4、在等腰△ABC 中,AB=AC=13,BC=10,求tanB.5、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tan θ＝______.2、坡度的定义及表示（难点）我们通常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或坡比）。
坡度常用字母i 表示。
斜坡的坡度和坡角的正切值关系是：lha =tan 注意：（1）坡度一般写成1：m 的形式（比例的前项为1，后项可以是小数）； （2）若坡角为a ，坡度为a lhi tan ==，坡度越大，则a 角越大，坡面越陡。
■例2拦水坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶宽BC 为6m ，坝高为3.2m ，为了提高拦水坝的拦水能力，需要将水坝加高2m ，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD 的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的i=1：2变成i’=1：2.5（有关数据在图上已标明）。
求加高后的坝底HD 的宽为多少？跟踪练习：1、如图，Rt △ABC 是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB 的长为12 m ，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD ，求DB 的长.(结果保留根号)2、若某人沿坡度i ＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高_______米3、正弦、余弦的定义在Rt 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA 。
北师大版九年级下册第一章直角三角形的边角关系1.1.1锐角三角函数教学设计
4.强调数学的严谨性，培养学生的科学精神，教育学生遵循科学方法，遵循逻辑推理。
5.通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力，使学生学会互相尊重、互相帮助，形成良好的人际关系。
二、学情分析
九年级学生已经具备了一定的数学基础，掌握了基本的几何知识和三角形的性质，对于直角三角形的边角关系也有一定的了解。在此基础上，学生对锐角三角函数的概念学习将更加顺利。然而，由于锐角三角函数的概念较为抽象，学生可能在学习过程中遇到困难，需要通过具体实例和直观教具帮助学生形象地理解。此外，学生在解决实际问题时，可能会对如何运用锐角三角函数产生困惑，需要教师在教学中注重培养学生的实际应用能力。考虑到学生个体差异，教师应关注学生的学习兴趣和特长，因材施教，激发学生的学习积极性，提高课堂参与度，使学生在轻松愉快的氛围中掌握知识。
（四）课堂练习
在课堂练习环节，我会设计以下类型的题目：
1.基础题：求解给定直角三角形中，各角度的正弦、余弦、正切值。
2.提高题：运用锐角三角函数解决实际问题，如测量物体的高度、计算物体与观察者的距离等。
3.拓展题：探讨锐角三角函数的性质，如函数的单调性、奇偶性等。
（五）总结归纳
在总结归纳环节，我会带领学生回顾本节课所学的主要内容，强调以下几点：
1.锐角三角函数的定义及其在实际问题中的应用。
2.计算器上锐角三角函数的计算方法。
3.解决实际问题时，如何运用锐角三角函数。
4.本节课的重点和难点，为学生课后复习提供指导。
五、作业布置
为了巩固学生对锐角三角函数的理解，提高学生的实际应用能力，我设计了以下几类作业：
1.基础知识巩固题：
九年级数学下册：第一章直角三角形的边角关系复习教案(北师大版)
第1章直角三角形的边角关系课题回顾与思考教具目标(一)教学知识点1．经历回顾与思考，建立本章的知识框架图．2．利用计算器，发现同角的正弦、余弦、正切之间的关系。
3．进一步体会直角三角形边角关系在现实生活中的广泛应用．(二)能力训练要求1．体会数形之间的联系，逐步学会利用数形结合的思想分析问题和解决问题．2．进一步体会三角函数在现实生活中的广泛应用，增强应用数学的意识．(三)情感与价值观要求1．在独立思考问题的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点．并尊重与理解他人的见解，在交流中获益．2．认识到数学是解决现实问题的重要工具，提高学习数学的自信心．教学重点1．建立本章的知识结构框架图．2．应用三角函数解决现实生活中的问题，进一步理解三角函数的意义．教学难点应用三角函数解决问题教学方法探索——发现法教具准备多媒体演示、计算器教学过程Ⅰ．回顾、思考下列问题，建立本章的知识框架图[师]直角三角形的边角关系，是现实世界中应用广泛的关系之一．通过本章的学习，我们知道了锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用．如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，—般来说，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角的关系．利用锐角三角函数解决实际问题是本章的重要内容，很多实际问题穿插于各节内容之中．[问题门举例说明，三角函数在现实生活中的应用．[生]例如：甲、乙两楼相距30 m，甲楼高40 m，自甲楼楼顶看乙楼楼顶．仰角为30°，乙楼有多高?(结果精确到1 m)解：根据题意可知：3乙楼的高度为30tn30°=40+30×3=40+103≈57(m)，即乙楼的高度约为57 m．[生]例如，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距180 m的P和Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正南方向，在Q南偏西50°的方向，求河宽(结果精确到1 m)．解：根据题意，∠TPQ＝90°，∠PQT=90°-50°＝40°，PQ＝180 m．则：PT就是所求的河宽．在Rt△TPQ中，PT=180×tan40°=180×0．839≈151 m，即河宽为151 m．[师]三角函数在现实生活中的应用很广泛，下面我们来看一个例子．多媒体演示如图．MN表示某引水工程的一段设计路线从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°的方向上有一点A，以A为圆心，500 m为半径的圆形区域为居民区，取MN上的另一点B，测得BA 的方向为南偏东75°，已知MB＝400 m，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区?[师生共析]解：根据题意可知∠CMB=30°，∠CMA＝60°，∠EBA＝75°，MB=400 m，输水路线是否会穿过居民区，关键看A 到MN 的最短距离大于400 m 还是等于400 m ，于是过A 作AD ⊥MN ．垂足为D ．∵BE//MC ．∴∠EBD ＝∠CMB ＝30°．∴∠ABN=45°．∠AMD ＝∠CMA-∠CMB ＝60°-30°=30°．在Rt △ADB 中，∠ABD ＝45°，∴tan45°＝BD AD ，BD ＝︒45tan AD ＝AD ， 在Rt △AMD 中．∠AMD=30°，tan30° =MD AD ，MD ＝︒30tan AD =3AD ， ∵MD=MD-BD ，即 3AD-AD ＝400， AD-200(3+1)m>400m ．所以输水路线不会穿过居民区．[师]我们再来看[问题2]任意给定一个角，用计算器探索这个角的正弦、余弦、正切之间的关系．例如∠α＝25°，sin α、cos α、tan α的值是多少?它们有何关系呢?[生]sin25°≈0．4226，cos25°≈0．9063，tan25°≈0．4663． 而︒︒25cos 25sin ≈0．4663． 我们可以发现ααcos sin ＝tan α． [师]这个关系是否对任意锐角都成立呢?我们不妨从三角函数的定义出发来推证一下．[师生共析]如 图，在Rt △ABC 中． ∠C ＝90°，∵sinA ＝ABBC cosA ＝AB AC tanA ＝ACBC ， ∴ACBC AC AB AB BC AB AC AB BC A A =⋅=÷=cos sin =tanA, tanA=A A cos sin . 这就是说，对于任意锐角A ，∠A 的正弦与余弦的商等于∠A 的正切．[师]下面请同学们继续用计算器探索sin α，cos α之间的关系．[生]sin 225°≈0．1787,cos 225°≈0．8213，可以发现：sin 225°+cos 225°≈0．1787+0．8213＝1．[师]我们可以猜想任意锐角都有关系：sin 2α+cos 2α＝1，你能证明吗?[师生共析]如上图．sinA= AB BC ，cosA=ABAC sin 2A+cos 2A ＝2222222AB AC BC AB AC AB BC +=+， 根据勾股定理，得BC 2+AC 2＝AB 2，∴sin 2A+cos 2A ＝1，这就是说,对于任意锐角A ，∠A 的正弦与余弦的平方和等于1．[师]我们来看一个例题，看是否可以应用上面的tanA 、sinA 、cosA 之间的关系．已知cosA=53，求sinA ．tanA ． [生]解：根据sin 2A+cos 2A ＝1．得sinA ＝.54)53(1cos 122=-=-A tanA=345354cos sin ==A A . [生]我还有另外一种解法,用三角函数的定义来解．解：∵cosA ＝.53=∠斜边的邻边A 设∠A 的邻边＝3k ．斜边＝5k ．则∠A 的对边＝.4)3()5(22k k k =-∴sinA=.5454==∠k k A 斜边的邻边 tanA=.3434==∠∠k k A A 的邻边的对边 [师]问题3：你能应用三角函数解决哪些问题?[生]锐角三角函数反映了直角三角形的边角关系．凡是属于直角三角形的问题或可以转化为直角三角形的问题，都可以用三角函数来解决．[师]我们知道在直角三角形中，除直角外，有两个锐角．两条直角边以及斜边共5个元素，它们之间的关系很丰富．如图：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ．(1)边的关系：a 2+b 2=c 2(勾股定理)：(2)角的关系：∠A+∠B ＝90； (3)sinA=c a ，cosA=c b ，tanA=b a ；sinB=c b ，cosB=c a ，tanB=ab ． 利用三角形的全等和直角三角形全等，以及作图，我们知道：当一直角边和斜边确定时，直角三角形唯一确定，即直角三角形的一直角边和斜边已知，则直角三角形中其他元素都可以求出．同学们不妨试一试．[生]例如Rt △ABC 中，∠C ＝90°．a ＝4，c=8求b ，∠A 及∠B解：∵a ＝4，c ＝8，根据勾股定理可得 b=3422=-a c .∵sinA=c a =2184=， ∴∠A ＝30°．又∵∠A+∠B ＝90°，∴∠B ＝60°．[师]很好，是不是只要知道直角三角形除直角外的两个元素，其余元素就都可以求出呢?[生甲]可以．[生乙]不可以．例如Rt △ABC 中，∠c ＝90°，∠A ＝25°．∠B=65°．这样的直角三角形有无数多个，是不唯一确定的，所以其余的元素无法确定．[生丙]我认为已知直角三角形中除直角外的两个元素．其中至少有一个边，就可以求出其余元素．[师]很好，我们来做一个练习．多媒体演示：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A ，∠B 、∠C 的对边．(1)已知a ＝3，b ＝3，求C ，∠A ，∠B ．(2)已知b ＝5，c ＝10，求a ，∠A ，∠B ．(3)已知∠A=45°，c ＝8，求a ，b ，∠B ．[生]解：(1)根据勾股定理c ．=23332222=+=+b a .又∵tanA ∴∠A=b a =33=1, ∴∠A=45°． 又∵∠A+∠B ＝90，∴∠B ＝45°．(2)根据勾股定理，得a=355102222=-=-b c ,又∵sinB ＝21105==c b ∴∠B=30°． 又∵∠A+∠B=90°∴∠A=60°.(3)∵sinA=ca ∴=csinA=8×sin45°=42, 又∵cosA ＝c b ∴b=c ·cosA ＝8×cos45°=42， 又∵∠A+∠B ＝90°，∴∠B=45°．[师]实践证明，在直角三角形中，已知除直角外的两个元素(至少有一个是边)，利用直角三角形中特殊的边的关系、角的关系、边角关系，就可求出其余所有元素．因此，在现实生活中，如测量、建筑、工程技术和物理学中，常遇到的距离、高度、角度都可以转化到直角三角形中，这些实际问题的数量关系往往就归结为直角三角形中边和角的关系问题．接下来，我们看问题4：如何测量一座楼的高度?你能想出几种办法?[生]有四种方法：第一种：用太阳光下的影子来测量．因为在同一时刻，物体的高度与它的影子的比值是一个定值．测量出物体的高度和它的影子的长度，再测出高楼在同一时刻的影子的长度．利用物体的高度：物体影子的长度＝高楼的高度，高楼影子的长度．便可求出高楼的高．第二种：在地面上放一面镜子，利用三角形相似，也可以测量出楼的高度．第三种：用标杆的方法．第四种：利用直角三角形的边角关系求楼的高度．[师]下面就请同学们对本章的内容小结，建立本章内容框架图．[师生共析]本章内容框架如下：Ⅱ．随堂练习1．计算(1)︒-︒︒-︒45cos 60sin 45sin 30cos (2)sin 230°+2sin60°+tan45°-tan60°+cos 230°；(3)原式＝.60tan 60tan 60tan 212︒-︒+︒-解：（1）原式=22232223--=1； （2）原式=（21）2+2×23+1-3+（23）2； =4331341+-++ =1+1=2（3）原式=︒-︒-60tan )60tan 1(2＝｜1-tan60°｜-tan60°＝tan60°-1-tan60°＝-1．2．如图，大楼高30 m ，远处有一塔BC ，某人在楼底A 处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D 测得塔顶的仰角为30°，求塔高BC 及楼与塔之间的距离AC(结果19确到0．0l m)．解：没AC=x ，BC ＝y ，在Rt △ABC 中，tan60°=xy ，① 在Rt △BDE 中．tan30°=x y 30-，② 由①得y ＝3x ，代入②得33=xx 303 . x=153≈25．98(m)．将x ＝153代入y=3x=3×153 ＝45(m)．所以塔高BC 为45 m ，大楼与塔之间的距离为25．98 m ．Ⅲ．课时小结本节课针对回顾与思考中的四个问题作了研讨，并以此为基础，建立本章的知识框植架结构图．进一步体验三角函数在现实生活中的广泛应用．Ⅳ．课后作业复习题A 组1，2，5，6，8B 组2．3，4，5，6Ⅴ．活动与探究如图．AC 表示一幢楼，它的各楼层都可到达；BD 表示一个建筑物，但不能到达．已知AC 与BD 地平高度相同，AC 周围没有开阔地带，仅有的测量工具为皮尺(可测量长度)和测角器(可测量仰角、俯角和两视线间的夹角)．(1)请你设计一个测量建筑物BD 高度的方案，要求写出测量步骤和必要的测量数据(用字母表示)，并画出测量示意图：(2)写出计算BD 高度的表达式．[过程]利用测量工具和直角三角形的边角关系来解决．这里的答案不唯一，下面只写出一种方法供参考．[结果]测量步骤(如图)：①用测角器在A 处测得D 的俯角α；②用测角器在A 处测得B 的仰角β ③用皮尺测得AC=am ．(2)CD=αtan a ,BE=αtan a ·tan β, BD=a+αβtan tan a . 板书设计回顾与思考本章内容结构框架图:。
《第一章直角三角形的边角关系》word教案 (公开课获奖)2022北师版
222111B AC C B AC C 和主备人 备课组长签字_________ 教研组长签字__________ 授课教师_______ 第____周星期_________ 日期：2012年___月___日学科章节 第一章 直角三角形的边角关系 适用年级 九年级 课时数 2课时教学课题§1.1 从梯子的倾斜程度谈起教学目标1.能够用表示直角三角形中两边的比，1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正 切、正弦和余弦的意义与现实生活的联系.2.能够运用tanA 、sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡 度等，外能够用进行简单的计算.教学重点1.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系. 1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明.2.能用tanA 、sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算. 教学难点1.理解正切、正弦和余弦的意义，并用它来表示两边的比.2.用函数的观点理解正弦、余弦和正切. 教学方法引导—探索法教学用具教学主要环节和内容设计授课教师修改的主要内容 第一课时一、生活中的数学问题:1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？2、生活问题数学化：⑴如图：梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？⑵以下三组中，梯子AB 和EF 哪个更陡？怎样判断？二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题）⑴Rt △AB 1C 1和Rt△AB 2C 2有什么关系?（2） 有什么关系？ABC∠A 的对边∠A 的邻边斜边⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢?⑷由此你得出什么结论 三、正切概念 1、想一想通过对前面的问题的讨论，学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度。
当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定。
这一比值只与倾斜角的大小有关，而与直角三角形的大小无关。
解直角三角形优秀教学设计 (1)
第一章直角三角形的边角关系《解直角三角形》教学设计一、教材分析在此之前，学生已经具备了勾股定理、锐角三角函数的基本知识，会求任意一个锐角的三角函数值. 本节课是三角函数应用之前的准备课，旨在建立好解直角三角形的数学模型，以便有效的为现实生活服务.培养学生解答实际应用题的技能，掌握如何构建解直角三角形的思想方法、技巧.把勾股定理和锐角三角函数的前期准备知识有机的组织起来，使学生能承前启后、有思想性和可操作性. 因此，本节课在教材教学计划中起着一发牵制全局的重要作用.二、学情分析1、九年级学生已经掌握了勾股定理，刚刚学习过锐角三角函数，能够用定义法求三角函数sinα、cosα、tanα值.2、在计算器的使用上，学生学习了用计算器求任意锐角的三角函数值，并对计算器的二次功能有所了解.有上述知识技能作基础为学生进一步学习“解直角三角形”创造了必要条件.3、但锐角三角函数的运用不一定熟练，综合运用所学知识解决问题，将实际问题抽象为数学问题的能力都比较差，因此要在本节课进行有意识的培养.三、教学任务分析本节内容是在学习了“锐角三角函数”“勾股定理”等内容的基础上进一步探究如何利用所学知识解直角三角形.所以教学目标如下：知识技能：初步理解解直角三角形的含义，掌握运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素.数学思考：在研究问题中思考如何把实际问题转化为数学问题，进而把数学问题具体化.解决问题：解直角三角形的对象是什么？在解决与直角三角形有关的实际问题中如何把问题数学模型化.通过利用三角函数解决实际问题的过程，进一步提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力情感态度：在解决问题的过程中引发学生形成数形结合的数学思想，体会数学与实践生活的紧密联系.从而增强学生的数学应用意识，激励学生敢于面对数学学习中的困难.通过获取成功的体验和克服困难的经历，增进学习数学的信心，养成良好的学习习惯.教学重难点：重点：理解并掌握直角三角形边角之间的关系，运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素.难点：从已知条件出发，正确选用适当的边角关系或三角函数解题.四、教学过程1. 知识回顾1、在一个直角三角形中，共有几条边？几个角？（引出“元素”这个词语）2、在RtΔABC中，∠C=90°.a、b、c、∠A、∠B这些元素间有哪些等量关系呢？讨论复习：RtΔABC的角角关系、三边关系、边角关系分别是什么？总结：直角三角形的边角关系（1）两锐角互余：∠A+∠B=90°（2）三边满足勾股定理：a2+b2=c2（3）边与角的关系：.tan cot ,cot tan ,sin cos ,cos sin ab B A b a B Ac b B A c a B A ======== 3、填一填 记一记三角函数角α30° 45° 60°sin αcos αtan α 定义：在直角三角形中由已知元素求出未知元素的过程就是解直角三角形.2. 探究新知在Rt △ABC 中,（1）根据∠A= 60°,斜边AB=30,你能求出这个三角形的其他元素吗?（2）根据AC=，BC= ，你能求出这个三角形的其他元素吗？（3）根∠A=60°,∠B=30°, 你能求出这个三角形的其他元素吗? 从以上关系引导学生发现，在直角三角形中，只要知道其中两个元素（至少有一个是边）就可以求出其余的几个元素，从而引出解直角三角形的定义： 26 B 6AC在直角三角形中由已知元素求出未知元素的过程就是解直角三角形.3. 例题讲解例1 在Rt△ABC 中，∠C 为直角，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b,c,且a =15，b =5，求这个三角形的其他元素.解;例2：如图：在RtΔABC中，∠C=90°，∠B=25°，b=30.解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）.注意强调：在解决直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，尽量选择原始数据,避免累积误差.4. 知识应用1、在Rt△ABC 中，∠C =90°，根据下列条件求出直角三角形的其他几个元素（角度精确到 1°）（1）已知 a=4，b=8；（2）已知 b=10，∠B=60°；（3）已知 c=20，∠A=60°．（1）中已知两条边如何解直角三角形，（2）（3）已知一条边及一个角解直角三角形，本题的设计重在引导学生体会并归纳常规解直角三角形的常规方法：解直角三角形的方法遵循“有斜用弦，无斜用切；宁乘勿除，化斜为直”2、如图在RtΔABC中，∠C=90°，AC=2，BC=6，解这个直角三角形.5. 能力提升问题：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a一般要满足50°≤∠a≤75°.如果现有一个长6m的梯子，那么（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙？（精确到0.1m）（2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的锐角a等于多少？（精确到1°）这时人是否能够安全使用这个梯子？师生共同分析解决问题1、问题2.注意强调：在解决直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，除特别说明外.边长保留四位有效数字，角度精确到1′.五、课堂小结一、通过本节课的学习，大家有什么收获?六、作业布置：1、习题1.5 1、2.八、教学反思这节课由于内容较多，学生需要变式思维.我通过利用多媒体教学技术的优势，提供给学生直观形象，既提高了学生的解题能力，又增强了他们对运用数学的意识.这是我努力创设授课过程的出发点和重中之重.在教学过程中，采取了学生自主学习、小组讨论和师生互动的形式.通过教师积极组织引导，学生通过利用所掌握的解直角三角形知识与技能解决了生活中的实际问题，又激发了学生学习数学的积极性，为学生今后的学习奠定了基础.取得了教师预期的教学效果，比较圆满的完成了本节课教学目标设计.。
北师大版九年级数学下册：第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》教案
北师大版九年级数学下册：第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》主要介绍了直角三角形的性质，包括锐角三角函数的概念、直角三角形的边角关系等。
本章内容是初中数学的重要知识点，为后续学习三角形相似、解直角三角形等知识打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了三角形的基本概念和性质，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
但学生在学习过程中，可能对锐角三角函数的理解和应用存在困难，因此需要通过本章内容的学习，帮助学生巩固直角三角形的性质，提高解题能力。
三. 教学目标1.理解直角三角形的性质，掌握锐角三角函数的概念。
2.学会运用直角三角形的性质解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.重点：直角三角形的性质，锐角三角函数的概念。
2.难点：锐角三角函数的应用，解直角三角形。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、合作学习法等，引导学生主动探究、积极思考，提高学生的学习兴趣和参与度。
六. 教学准备1.教学课件：制作直角三角形性质、锐角三角函数的课件。
2.教学素材：提供相关案例，如实际问题、例题等。
3.学习工具：准备好直角三角形、锐角三角函数的相关资料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如测量身高、测距等，引出直角三角形的性质和锐角三角函数的概念。
激发学生的学习兴趣，引导学生思考直角三角形在实际生活中的应用。
2.呈现（15分钟）呈现直角三角形的性质和锐角三角函数的定义，通过动画、图片等形式展示，帮助学生直观地理解。
同时，给出相关案例，让学生体会直角三角形性质和锐角三角函数在实际问题中的作用。
3.操练（15分钟）针对直角三角形的性质和锐角三角函数，设计一系列练习题。
让学生独立完成，巩固所学知识。
教师及时批改、讲解，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）通过小组合作学习，让学生运用直角三角形的性质和锐角三角函数解决实际问题。
北师大版九年级下册第一章直角三角形的边角关系1.1锐角三角函数(第1课时)优秀教学案例
4.丰富的教学资源：教师利用实物模型、多媒体课件等丰富的教学资源，为学生提供直观的学习体验，增强学生的动手操作能力，提高学习效果。
考虑到九年级学生的认知特点和学科基础，本节课的教学重点是让学生掌握锐角三角函数的定义及计算方法，难点在于理解各个函数之间的关系和运用。为了提高教学效果，教师在设计教学案例时应注重激发学生的兴趣，培养学生的动手操作能力和团队协作精神。
在教学过程中，教师可利用多媒体课件、实物模型、数学游戏等多种教学手段，引导学生主动探究、积极参与，从而更好地理解和掌握锐角三角函数的相关知识。此外，教师还需关注学生的个体差异，给予不同程度的学生个性化的指导，确保每个学生都能在课堂上得到有效的锻炼和提高。
3.通过对锐角三角函数的学习，培养学生勇于探索、积极进取的精神风貌。
在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，给予不同程度的学生个性化的指导，确保每个学生都能在课堂上得到有效的锻炼和提高。同时，教师还需注重教学评价，及时反馈学生的学习情况，指导学生调整学习策略，提高学习效果。
三、教学策略
（一）情景创设
2.教师为学生提供丰富的学习资源，如实物模型、多媒体课件等，引导学生动手操作，增强直观感受。
3.教师巡回指导，针对不同小组的特点给予个性化指导，提高学生的学习效果。
（四）总结归纳
1.教师引导学生总结本节课所学内容，让学生明确锐角三角函数的定义、计算方法和应用。
2.组织学生进行归纳总结，让学生梳理知识体系，提高学生的逻辑思维能力。
五、案例亮点
1.生活情境的导入：通过引入测量房屋面积、计算比赛距离等生活实际情境，让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣，调动学生的积极性。这种教学方式使得学生能够更好地理解锐角三角函数的概念和应用，提高了学生的学习动力。
直角三角形的边角关系市公开课一等奖省优质课获奖课件
B
C
A
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第5页
4）物华大厦离小伟家60米，小伟从自家窗 中眺望大厦，并测大厦顶部仰角是45°， 而大厦底部俯角时30°，求该大厦高度。
B
A
C
D
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5）海中有一个小岛A，该岛四面10海里内有暗
礁。今有货轮由西向东航行开始在A到南偏西
60°B处，往东行驶20海里后抵达改岛南偏西
30°C处，之后，货轮继续向东航行会有触礁
_北 _C
_B
A_
_东
_D _E
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我是一切根源 天天进步一点点
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30°
A
CE
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知识技能总结 品思感悟
构建适当直角三角形，有效将三角 函数转化为线段比，结合方程思想 处理实际问题。
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布置作业 如图，一条渔船某时刻在位置A观察灯塔B、C(灯 塔B距离A处较近)，两个灯塔恰好在北偏东60° 方向上，渔船向正东方向航行l小时45分钟之后抵 达D点，观察到灯塔B恰好在正北方向上，已知两 个灯塔之间距离是12海里，渔船速度是16海里／ 时，又知在灯塔C周围18.6海里内有暗礁，问这 条渔船按原来方向继续航行，有没有触礁危险?
危险吗？
A
B
C
第7页
中考链接
某数学兴趣小组，利用树影测量树高．已测出树 AB影长AC为9米，并测出此时太阳光线与地 面成30°夹角．
（1）求出树高AB；
（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒 下，在倾倒过程中，树影长度发生了改变，假 设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影最 大长度．
B D
太阳光线
教学目标
• 1、掌握锐角三角函数(sinA, cosA, tanA） 定义，熟记30°、45°、60°角三角函数 值；
《直角三角形的边角关系》锐角三角函数 教学设计及教学反思、评课稿.doc
锐角三角函数一、教材分析1 •教材内容本节课是义务教育课程标准北师大版实验教科书九年级（下）第一章《直角三角形的边角关系》的第一节•本课为第一课时，主要内容是：理解正切的概念，会进行简单的计算，了解坡度.2. 地位及作用正切在生活中的运用非常广泛，如物体的倾斜程度、山的坡度等都往往用正切来刻画•同时正切也是学生接触的第一个三角函数•学好正切，既为正弦余弦的学习打下基础，又为高中系统学习三角函数做好铺垫•因此本节内容极其重要.二、学情分析1. 知识基础九年级学生已经学习了直角三角形，函数和相似三角形的相关知识，具备了学习锐角三角函数的知识基础•但是，锐角三角函数和学生以前学习过的一次函数、反比例函数有所不同，它揭示的是角度与线段比值之间的对应关系•学生是第一次接触用符号表示的函数，因此学生对锐角三角函数的理解仍然比较抽象和困难.2. 能力基础学生已经经历了多次小组合作，探索新知的过程，对探究性学习掌握了一定的方法，具有一定的活动学习的经验，这为本节课采用小组活动来感知概念打下了基础.3. 任教学生特点我班学生数学基础较扎实，求知欲强，想彖力丰富•能较好地运用所学的知识解决问题.三、目标分析1 •教学目标：（1）经历探索直角三角形边角关系的过程，理解正切的概念并能进行简单的计算.（2）经历数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理的、清晰的阐述自己的观点.教学环节教师活动学生活动以诗句引导学生欣赏剑门关、乐山大佛、窦团山登山阶梯图片，再由“激流勇进”让学生感受斜坡的陡悄，提出问题：我们用数学知识怎样來比较阶梯的倾斜程度呢？设计意图用实际问题引出本课的探索问题，让学生感悟数学来源2. 教学重点理解正切概念.3. 教学难点正切概念的形成过程.4•突出重点、突破难点的策略抓住学生的认知盲点，教师加以启发诱导，抽象出本节课重要的数学模型——直角三角形，配合实验直观展示，帮助学生理解一个锐角和它的对边与邻边的比值之间的对应关系，确定这是一种函数关系，给出正切概念，突破本节课的难点•理解概念后，通过小组合作辨析、应用概念，突出本节课重点.四、教法、学法教法：启发式与自主探究结合的教法.学法：自主探究、合作交流的学法.五、过程设计结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节如下:感悟概念C=> 理解概念应用概念 ^=> 归纳小结生活.现实模型学生欣赏图片，思考问题合作探究念1・请学生观察4幅图片.教师提出问题并巡视各个小组交流情况.并请小组代表汇报观察得出的结论.小组活动1学牛观察4幅图片，展开讨论.学生代表发言，展示探究四幅图片的成果.判断梯子的倾斜程度可以通过研究倾斜角的度数.教师活动问题1：如图，梯子AB和DE 哪个更陡？你是怎么判断的？学生活动设计意图合作探感7S m1（图• 澜/顾］11\14f>Llmre L打Y'图1中的梯子等高，底小的更陡。
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《直角三角形的边角关系复习课》（一）教学设计
一. 教学任务与目标
1、能从整个学段梳理并掌握直角三角形中边、角关系，掌握解直角三角形及一般三角形的方法,理解锐角三角函数本质.
2、能用这些关系来解决复杂几何图形中的相关计算，渗透转化与方程思想方法,为综合数学应用问题的解决提供基础.
3、能利用解直角三角形解决生活中的实际问题，培养学生建模、识图、计算能力.
二.教学重点:利用锐角三角函数解三角形及有关的实际问题.
教学难点:把一般三角形问题转化成直角三角形问题.把实际问题转化成解三角形问题.
三. 教学设计
第一环节：前置学习
任务一：知识点整理与回顾
如图Rt△ABC中，∠C=90°。
1、直角三角形三边的关系: .
2、直角三角形两锐角的关系: .
3、直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数的定义：
4、互余两角之间的三角函数关系: sin(900-A)= cos(900-A)=
5、同角之间的三角函数关系: sin2A+cos2A=
A
A
cos
sin
=
6、特殊角300,450,600角的三角函数值.
7、锐角三角函数的变化规律：
锐角的正弦值或正切值随角度的增大而，
锐角的余弦值或余切值随角度的增大而。
8、会识别仰角、俯角、方向角，掌握坡度（坡比）和坡角的定义:
=
=B
A cos
sin=
=B
A sin
cos=
=B
A cot
tan
54sin =B 00)60
(tan
2-21-⎪⎭⎫ ⎝⎛图一中的角叫： 图二中的角叫： 。
图三中A 在B 的 方向上， C 在B 的 方向上。
图四中迎水坡坡面是AD,则坡角为 ，
坡面AD 的坡度（也叫 ）i= =
任务二：基础热身练习
1、（类型一：考察定义）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝8 ， ，则BC= cosB= .
2、（类型二：考察特殊三角函数值的准确记忆）
计算 + +
3、（类型三：由特殊函数值求角度）若 ，则∠a = .
4、（类型四：锐角三角函数的增减性）若锐角a 满足cosa<
2
2，tana<3，则a 的取值范围是
5、（类型四：转化求等角的函数值或利用cosa=sin(900-a ）)如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，
CD ⊥AB ，AC=5，BC=2，则=∠DCB cos 。
第二环节：课堂展示
一 、交换知识点题单，检查，熟记，并提出疑问,解决疑问。
二、请学生讲解课前任务二的5道题。
（方法、考察点，易错点、思路）
第三环节：课堂教学
（利用三角形来解一般三角形）
问题1：（可以直接求得的类型）如图△ABC 中，∠B=45°，∠C=30°，AB=24，求AC
长。
A 130sin 560cos 300-2
310-sin(0=）a
问题2：（不可直接求得的类型）如图在△ABC 中，∠B=135°，∠C=30°，BC=13 ， 求AB 、AC 。
第四环节：拓展提升
利用解直角三角形解决实际问题，常见如下类型：
测量高度问题（分为底部可及与不可及两种）、测量河宽问题、台风、噪音、沙尘暴问题、航行问题、影子问题等等）。
类型一：测量高度问题
问题1：底部可达类型（这种类型比较简单，前期学生们掌握得还好，本节课不作特别复习） 问题2：底部不可达类型
挑战自我：重庆是一座美丽的山城，某中学依山而建，校门A 处，有一斜坡AB ，在坡顶B 处看教学楼CF 的楼顶C 的仰角∠CBF=53°，离B 点4米远的E 处有一花台，在E 处仰望C 的仰角∠CEF=63.4°，CF 的延长线交校门处的水平面于D 点，FD=5米．求DC 的长． （参考数据：tan53°≈3
4，tan63.4°≈2）
活学活用：上面问题是底部不可达的高度测量问题，而珠穆朗玛峰的高度测量和这个教学楼的测量有类似之处。
说到珠穆朗玛峰。
同学们，你了解它吗？（展示珠峰图片）
珠穆朗玛峰是世界最高峰，是无数人心目中最圣洁的净土，1975年，我国科学家在艰苦的条件下，测出了珠峰的高度为8848.13米，这个数据得到世界各国的认可。
但是珠穆朗玛峰每100年高度就会增加7cm ，所以我们也不能坐享其成。
请同学们根据所学，设计一个简易的方案，测出珠峰的近似高度（同桌商量，设计）
可能有同学会问：为何要学解直角三角形？那是因为解直角三角形的知识有十分广泛的作
用。
在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们都会遇到距离、高度、角度的计算问题，这些问题的数量关系往往会归结为直角三角形中边和角的数量关系来解决。
随着科学技术的发展，今天在所有的领域里，特别是在航海、航空、航天、测量、建筑、机械、电气等各种实用方面，可以毫不夸张的说：“绝对没有不用到三角的问题。
”
所以掌握好本单元的知识对今后进一步的学习是非常重要的。
（学生设计方案，请学生代表讲解设计思路。
）
（其它实际问题在第二课时解决）
当堂练习：
<<天府前沿>>P24:1-4
第五环节:课堂小结
1 知识上.
2 思想方法上3、学习习惯上4、创新设计上5、自我评价上
视频欣赏，交流感受。
(目的：通过观看视频，从思想上认可学习解直角三角形的重要性)第六环节：作业：<<天府前沿>>：小老师P24-26余下部分，徒弟P24-26A组余下部分
课后阅读了解：
可能有同学会问：为何要学解直角三角形？那是因为解直角三角形的知识有十分广泛的作用。
在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们都会遇到距离、高度、角度的计算问题，这些问题的数量关系往往会归结为直角三角形中边和角的数量关系来解决。
随着科学技术的发展，今天在所有的领域里，特别是在航海、航空、航天、测量、建筑、机械、电气等各种实用方面，可以毫不夸张的说：“绝对没有不用到三角的问题。
”
所以掌握好本单元的知识对今后进一步的学习是非常重要的。