1. 坐标系与坐标变换

第七章解析几何与微分几何

解析几何是运用代数方法研究几何图形的性质，它的主要研究对象是直线、平面、二次曲线与二次曲面.微分几何是运用无穷小分析方法研究几何图形的性质，它的主要研究对象是曲线与曲面.

本章的所有内容都只在欧氏(没有包括仿射和射影)空间中讨论.

全章有十一节.前六节属于解析几何，叙述了平面及空间的坐标系、坐标变换与基本计算公式；平面上和空间中直线与平面方程的各种形式以及它们之间的相互关系，较详细地列出了各种类型的二次曲线和二次曲面的基本元素、标准方程、主要性质和各量的计算公式.最后还从一般的二次方程出发研究了二次曲线与二次曲面的一般性质，并利用不变量写出标准方程和形状的判定.

后五节的内容属于微分几何，关于曲线论这里给出了：平面曲线和空间曲线的雪列-弗莱纳公式和基本定理，以及它们的曲率、挠率的概念和计算公式；等距线、渐开线、渐屈线和包络线的定义和方程，较详细地收集了重要平面曲线和一些特殊空间曲线的方程、图形及其各种特征.关于曲面论这里只叙述了几个特殊曲面的方程、图形和性质，并且给出曲面的基本元素(弧长、面积、夹角、切面、法面等方程和公式)、基本形式、基本方程、基本定理、曲率线、渐近曲线、共轭曲线、测地线与法曲率、测地曲率、总曲率、平均曲率、波恩涅公式等.

本章中凡是有关矢量的概念、运算和公式，请查阅第八章.

§ 1 坐标系与坐标变换

一、平面坐标系及其变换表

[坐标轴的平移]

[坐标轴的旋转]

二、空间坐标系及其变换表

坐标系与图

(c)

坐标系与图形[圆柱面坐标系]

[圆柱面坐标与直角坐标的

[坐标轴的旋转]

（i ） 章动角θ 为OZ 与Oz 两轴正向夹角(0≤θ<π).

（ii ） 进动角ψ为OA 与Ox 的夹角(0≤ψ<2π)，OA 为OXY 与Oxy 两平面的交线，面对Oz 轴的正向，ψ按逆时针方向从Ox 轴开始计算.

（iii ） 自转角ϕ为OA 与OX 的夹角(0≤ϕ<2π)，面对OZ 轴正向，ϕ按逆时针方向从OX 轴开始计算

若设

c 1=c os θ， c 2=c os ψ， c 3=c os ϕ s 1=sin θ， s 2=sin ψ， s 3=sin ϕ 则

l 1 = c 2c 3 - c 1s 2s 3, m 1 = s 2c 3 + c 1c 2s 3， n 1 = s 1s 3

l 2 = - c 2s 3 – c 1s 2c 3, m 2 = -s 2s 3+c 1c 2c 3,

n 2 = s 1c 3 l 3 = s 1s 2,

m 3 = - s 1c 2,

n 3 = c 1

变换行列式 Δ= 13

2

1321

3

21

±=n n n m m m l l l 当右手系变为右手系(或左手系变为左手系)时，Δ=1.当右手系变为左手系(或左手系变

为右手系)时，Δ= -1 .