机械动力学第二章作业(答案)

第二章习题2- 1如图2-1所示，长度为L 、质量为m 的均质刚性杆由两根刚度为k 的弹簧系住，求杆绕O 点微幅振动的微分方程。

222...2..011T J 2231V 2(sin )(1cos )222()0m 0322ml L Lk mg dT V dtmg k L θθθθθθθ==⋅=⋅+-+=⎛⎫++= ⎪⎝⎭解：设系统处于静平衡位置时势能为，当杆顺时针偏转角时动能：势能：由能量守恒原理，得化简得：2- 2如图2-2所示，质量为m 、半径为r 的圆柱体，可沿水平面作纯滚动，它的圆心O 用刚度为k 弹簧相连,求系统的振动微分方程。

22 (2)2..0111T J ,2221V ()2()03m 02m r J mr k r dT V dtk θθθθθθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭=+=+=解：设系统处于静平衡位置时势能为，当杆顺时针偏转角时动能：势能：由能量守恒原理，得化简得：2- 3如图2-3所示，质量为m 、半径为R 的圆柱体,可沿水平面作纯滚动，与圆心O 距离为a 处用两根刚度为k 的弹簧相连，求系统作微振动的微分方程。

图2- 1 图2- 22.222..220111T J ,2221V (2)[()]2()032()02m R J mR k R a dT V dt mR k R a θθθθθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭=⋅++=++=解：设系统处于静平衡位置时势能为动能：势能：由能量守恒原理，得化简得： 2- 4求图2-4所示弹簧-质量-滑轮系统的振动微分方程(假设滑轮与绳索间无滑动)。

2.222....0111T J ,2221V ()2()0()02m r J Mr k r dT V dt x r x r M m x kx θθθθθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭=⋅+===++=解：设系统处于静平衡位置时势能为动能：势能：由能量守恒原理，得其中，，化简得： 2- 5质量可忽略的刚性杆-质量-弹簧-阻尼器系统参数如图2-5所示，2L 杆处于铅垂位置时系统静平衡，求系统作微振动的微分方程。

图2- 3图2- 4 (22)2112233423422t 230...22222112233433422111T m (L )m (L )m [(L L )]2221V [()](1cos )2.W ()()0[()][()k L L m gl c L dtdT V W dtm L m L m L L cL k L L m gl θθθθθθθθ+=++=+--=⋅++=++++++-⎰动能：势能：耗散能：由能量守恒原理，得化简得：]0θ=2- 6系统参数如图2-6所示，刚性杆质量可忽略，求系统的振动微分方程。

2222...2211222122..22211122220.111T J (),22211V ()2()22()0()()0M r m r r a k k r b dT V dt a J Mr m r k r k r bθθθθθθθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭=++=++++=解：设系统处于静平衡位置时势能为动能：势能：由能量守恒原理，得化简得： 2- 7试用能量法确定图2-7所示系统的振动微分方程。

（假定图示位置是21m m >，图示位置是系统的静平衡位置）图2- 5 图2- 62.221221..12211T (m a m a )2V ()cos (1cos )()0sin []()cos 0m m g a dT V dtm a m a m m g θαθθθθθαθ=+=-⋅⋅-+=≈++-⋅⋅=动能：势能：由能量守恒原理，得很小，化简得：2- 8试确定图2-8所示串并联弹簧系统的等效刚度。

123123123312123123111(),()e e k k k k k k k k k k k k k k k k k +++=+==++++解：弹簧、并联，和弹簧串联，则等效刚度为：2- 9求跨度为L 的均匀简支梁在离支承点3L 处的等效刚度系数。

22323L322433[]633243F 243k y 4e L LF L L FL y L LEI EI EIFL ⋅⋅⎛⎫⎛⎫=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==解：根据材料力学公式，均匀简支梁处扰度：等效刚度为：2- 10系统参数如图2-9所示,刚性杆质量可忽略，求系统对于广义坐标x 的等效刚度。

图2- 7 图2- 8图2- 92- 11一质量为m、长度为L的均匀刚性杆,在距左端O为nL处设一支承点，如图2-10 所示。

求杆对O点的等效质量。

2- 12如图2-11所示，悬臂梁长度为L,弯曲刚度为EI，质量不计。

求系统的等效刚度和等效质量。

2- 13如图2-12所示，固定滑车力学模型中，起吊物品质量为济，滑轮绕中心0的转动惯 量为J ，假定绳索与滑轮间无滑动,求系统的振动微分方程。

2- 14用视察法建立图2-13所示链式系统的振动微分方程。

简要说明必须注意的问题。

图2- 10 图2- 11 图2- 122- 15绳索-质量系统的参数如图2-14所示，设质量122m m 各段绳索中的张力均为T ,试用刚度法建立系统作微振动的微分方程。

图2- 13 图2- 14 图2- 152- 16如图2-15所示系统中,123k k k k ===,12m m m ==,12r r r ==,12J J J==。

求系统的振动微分方程。

2- 17行车载重小车运动的力学模型如图2-16所示，小车质量为1m ，所受到两根刚度为k 弹簧的约束，悬挂物品质量为2m ，悬挂长度为L摆角θ很小,求系统 的振动微分方程。

图2- 162- 18离散化振动系统力学模型由哪些元件组成？质量元件、弹性元件、阻尼元件2- 19实际系统离散化的依据是什么？用课外的实例举例说明。

简化的程度取决于系统本身的复杂程度、外界对它的作用形式和分析结果的精度要求等（以下20-26题请用拉格朗日方程建立系统运动微分方程）2- 20 图2-17所示系统中，轮A 沿水平面纯滚动，轮心以水平弹簧联于墙上，质量为1m 的物块C 以细绳跨过定滑轮B 联于点A 。

A 、B 两轮皆为均质圆盘，半径为R ，质量为2m 。

弹簧刚度为k ，质量不计。

当弹簧较软，在细绳能始终保持张紧的条件下，求此系统的运动微分方程。

2- 21在图2-18所示的运动系统中，重物1M 的质量为1m ，可沿光滑水平面移动；摆锤2M 的质量为2m ，两个物体用无重杆链接，杆长为l 。

试用第二类拉格朗日方程建立此系统的运动微分方程。

图2- 17 图2- 182- 22运用拉格朗日方程推导单摆的运动微分方程(如图2-19)。

分别以下列参数为广义坐标：(1)转角ϕ；(2)水平坐标x ；(3)铅直坐标y 。

（1） 以ϕ为广义坐标，则系统221T 2(1cos )ml V mgl L T Vϕϕ==-=-代入拉格朗日方程d 0L Ldt ϕϕ⎛⎫∂∂-= ⎪∂∂⎝⎭ 得运动微分方程 sin 0l g ϕϕ+=（2） 以x 为广义坐标，约束方程222x y l +=()22222222220,1122()()xx x y y y xy x m x y ml l x V mg l y mg l l x +==+=-=-=--即则T=对上式时间求导将LT V =-代入拉格朗日方程得()()322222220l l x x xx gx l x ⎡⎤-++-=⎣⎦（3） 以y 为广义坐标，同样有约束方程222x y l +=()()()222222222221,20y T ml V mg l y l y L T V l l y y y y g l y ==--=-⎡⎤-+--=⎣⎦有将代入拉格朗日方程得2- 23斜块A 的质量为Am ，在常力F 作用下水平向右并推动活塞杆BC 向上运动；活塞与杆BC 的质量为m ，上端由弹簧压住，弹簧的刚度系数为k 。

运动开始时，系统静止，弹簧未变形。

见图2-20，不计摩擦，求顶杆BC 的运动微分方程。

2- 24质量为1m 的均质杆OA 长为l ，可绕水平轴O 在铅垂面内转动，其下端有一个与基座相连的螺线弹簧，刚度系数为k ，当=0θ时，弹簧无变形。

OA 杆的A 端装有可自由转动图2- 20 图2- 19的均质圆盘，盘的质量为2m ，半径为r ，在盘面上作用有矩为M 的常力偶，设广义坐标为ϕ和θ，如图2-21所示。

求该系统的运动微分方程。

系统的动能()22222212211111123222T m l m l m r θθϕ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭广义坐标ϕθ，对应的广义力()()1221sin 32Q MQ k m m gl ϕθθθ=⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭代入拉格朗日方程(),,4i i id TTQ i dt q q ϕθ⎛⎫∂-== ⎪∂∂⎝⎭将（1）（2）（3）代入（4）式，得2221122121sin 032m r M m m m l k m gl ϕθθθ=⎛⎫⎛⎫++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2- 25设有一个与弹簧相连的滑块A ，其质量为1m ，它可以沿光滑水平面无摩擦的来回滑动，弹簧的刚度系数为k 。

在滑块A 上又连接一个单摆，如图2-22所示。

摆长为l ，B 的质量为2m 。

列出该系统的运动微分方程。

系统动能()222212112cos 22T m x m x l l x ϕϕϕ=+++系统势能221cos 2V kx m gl ϕ=-拉格朗日函数()222221221112cos cos 222L T V m x m x l l x kx m gl ϕϕϕϕ=-=+++-+将上式代入拉格朗日方程0i id L Ldt q q ⎛⎫∂∂-= ⎪∂∂⎝⎭化简得()21222cos sin 0cos sin 0m m x m l m l kx x l g ϕϕϕϕϕϕϕ++-+=++=当ϕ为小量时，cos 1,sin ϕϕϕ≈≈，略去高阶小量2ϕ项，有()12200m m x m l kx x l g ϕϕϕ+++=++=2- 26图示直角三角块A 可以沿着光滑水平面滑动。

三角块的光滑斜面上放置一个均质圆柱体B ，其上面绕有不可伸长的绳索，绳索通过滑轮C 悬挂一质量为m的物块D ，可沿三角块的铅直光滑槽运动。

已知圆柱B 的质量为2m ，三角块A 的质量为3m，o=30θ。

设开始时系统处于静止状态，滑轮C 的大小和质量略去不计。

试确定系统中各物体的运动方程。

解：系统动能()()()()()()2222222222211111322cos 2222235323324T m x m x y mr m x y r x y r my mx mr mry mxy mrx ϕϕϕθϕϕϕ⎛⎫=+++++--- ⎪⎝⎭=++--+系统势能()2sin V mgy mg y r mgr ϕθϕ=-+-=- 把拉格朗日函数 L T V =-代入拉格朗日方程0,,,i i d L Li x y dt q q ϕ⎛⎫∂∂-== ⎪∂∂⎝⎭ 化简得图2- 231 图2- 23 图2- 233633033205322x y r x y r x y r gϕϕϕ-+=-+=-+=解得：23336111011x g y gg r ϕ=-==积分得：222333311511x gt y gtg tr ϕ=-== 考试复习题：一、 图1所示系统中，四个弹簧均未受力，已知m ＝50kg, k1＝9800N/m, k2＝k3＝4900N/m,k4＝19600N/m 。