高中数学必修4(北师版)第一章1.7 正切函数(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案

正切函数的图象 用单位圆上的正切线可作正切函数 y = tan x 在开区间 (−
π π , ) 内的图象．根据正切函数的周期 2 2 π π 性，我们可以把函数图象向左、向右连续平移，得出 y = tan x，x ∈ (− + kπ, + kπ) ， k ∈ Z 2 2
的图象，即正切曲线．
正弦型函数图象的“五点法”作图 作正弦型函数的简图，一般都是先找出确定图象形状的关键的五个点， 然后在描点作图时要注意到，被
T
2π
π
单调性：正切函数在每一个开区间 (−
π π + kπ, + kπ) , k ∈ Z 内都是增函数． 2 2
例题： 求使下列函数取得最大值和最小值的 x 的取值范围，并说出最大值和最小值是什么：（1）
π )(0 ≤ x ≤ π)；（3）y = 2 cos2 x + 5 sin x − 4 ． 4 解：（1）当 x = kπ(k ∈ Z) 时，函数 y = | sin x| 取得最小值 0 ； π 当 x= + kπ(k ∈ Z) 时，函数 y = | sin x| 取得最大值 1 ． 2 π π 3π π √2 （2）因为 0 ≤ x ≤ π ，所以 − ≤ x − ，− ≤ ≤ sin(x − ) ≤ 1 ，所以 4 4 4 2 4 π π π π √2 √2 ．所以当 x − ；当 x − 1 ≤y ≤2+ = − ，即 x = 0 时，y max = 2 + = ，即 2 4 4 2 4 2 3π 时，y min = 1 ． x= 4 5 9 （2）y = 2 cos2 x + 5 sin x − 4 = −2 sin 2 x + 5 sin x − 2 = −2(sin x − )2 + ，因为 4 8 π sin x ∈ [−1, 1] ，所以，当 sin x = −1，即 x = − + 2kπ(k ∈ Z)时，y 有最小值 −9；当 2 π sin x = 1 ，即 x = + 2kπ(k ∈ Z) 时，y 有最大值 1 ． 2 y = | sin x|；（2）y = 2 − sin(x − π π 4π 19π 与 sin ；（2）cos 与 cos ． 4 8 7 7 π π π π π π 解：（1）因为 0 < < < ，且 y = sin x 在 [0, ] 上单调递增，所以 sin > sin ； 8 4 2 2 4 8 19π 5π 5π （2）cos ． = cos(2π + ) = cos 7 7 7 4π 5π 4π 5π 因为 0 < ． < < π，且 y = cos x 在 [0, π] 上单调递减，所以cos > cos 7 7 7 7
高中数学必修4(北师版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 三角函数 1.7 正切函数
一、知识清单
三角函数的图象 三角函数的性质
二、知识讲解
1.三角函数的图象 描述： 正弦函数的图象
正弦函数 y = sin x, x ∈ R 的图象叫做正弦曲线． 余弦函数的图象 把正弦曲线向左平移 弦曲线．
π 个单位就可以得到余弦函数的图象．余弦函数 y = cos x, x ∈ R 的图象叫做余 2
π ) 的最小正周期，单调性，对称轴，对称中心． 3
π ) 的定义域、值域，并指出它的最小正周期、奇偶性、单调性、对称中心． 3 π π 5 kπ 解：由已知 3x − ≠ + kπ，解得 x ≠ π+ , k ∈ Z ，所以，函数的定义域为 3 2 18 3 5 kπ π {x|x ≠ π+ , k ∈ Z} ，函数的值域为 (−∞, +∞) ，最小正周期为 T = ．因为函数的定义域不 18 3 3
比较下列函数值大小：（1）sin 求函数 f (x) = sin(2x − 解：① T =
2π = π； 2 π π π π 5π ② 当 − + 2kπ ≤ 2x − ≤ + 2kπ，即 − + kπ ≤ x ≤ + kπ（k ∈ Z） 时，f (x) 的单调 2 3 2 12 12 π 5π 递增区间是 [− + kπ, + kπ](k ∈ Z)； 12 12 π π 3π 5π 11π 当 + 2kπ ≤ 2x − ≤ + 2kπ ，即 + kπ ≤ x ≤ + kπ 时，f (x) 的单调递减区间是 2 3 2 12 12 5π 11π [ + kπ, + kπ ](k ∈ Z)； 12 12 π π 5π kπ 5π kπ ③ 当 2x − 时，f (x) 的对称轴是 x = = + kπ，即 x = + + , k ∈ Z； 3 2 12 2 12 2 π π kπ π k ④ 当 2x − ，所以 f (x) 的对称中心是 ( + π, 0 ), k ∈ Z． = kπ，即 x = + 3 6 2 6 2
递减． 正弦型函数 y = A sin (ωx + φ) 的性质 周期性：最小正周期为 T = 频率 f =
π π π 3π + 2kπ, + 2kπ] (k ∈ Z) 上单调递增；在 [ + 2kπ, + 2kπ] (k ∈ Z) 上单调 2 2 2 2 2π ； |ω|
|ω| 1 ，初相为 φ ； = T 2π [− |A| , |A|] |A|
4π 3 3π 2 0
11π 6 2π 1
2.三角函数的性质 描述： 正弦函数的性质 定义域： R ； 值域： [−1, 1] ；当且仅当 x = 2kπ +
−1 ，其中 k ∈ Z ；
π 3π 时取得最大值 1 ，当且仅当 x = 2kπ + 时取得最小值 2 2
周期性：最小正周期为 2π ； 奇偶性：奇函数； 单调性：在 [−
−|A|
|A|
值域为 [− |A| , |A|] ，最大值为 |A| ，最小值为 −|A| ． |A| 又称为振幅． 余弦函数的性质 定义域： R ； 值域： [−1, 1] ；当且仅当 x = 2kπ 时取得最大值 1 ，当且仅当 x = 2kπ + π 时取得最小值 −1 ， 其中 k ∈ Z ； 周期性：最小正周期为 2π ； 奇偶性：偶函数； 单调性：在 [2kπ, (2k + 1)π] (k ∈ Z) 上单调递减；在 [(2k + 1)π, 2(k + 1)π] (k ∈ Z) 上单调递增． 正切函数的性质 定义域： {x ∣ ∣ x ≠ 2 + kπ, k ∈ Z} ； 值域： R ； 周期性：最小正周期为 π ； 奇偶性：奇函数；
高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
这五个点分隔的区间上的变化情况，在 x = 0, π, 2π 附近函数增加或下降快一些些，曲线变得“平缓”．这种作图方法叫做五点法． , 2 2
例题： 用五点法作下列函数的图象． （1）y = 2 − sin x，x ∈ [0, 2π] ； （2）y = cos(x +
解：（1）按五个关键点列表如下：
π π 11π ), x ∈ [− , ]． 6 6 6 π 0 2 3π 2 −1 3 2π 0 2
x
0
sin x 0 2 − sin x 2
如图所示：
π 2 1 1
x
（2）
− 0 1
π 6 π y = cos(x + ) 6 x+
π 6
π 3 π 2 0
5π 6 π −1
求函数 y = tan(3x − 关于原点对称，所以，函数为非奇非偶函数． 当 kπ −
π π π kπ π kπ 5π 时，解得 < 3x − < kπ + − <x< + (k ∈ Z) ．所以，函数在区间 2 3 2 3 18 3 18 kπ π kπ 5π π kπ π kπ ，即 x = 时，函数的对称中 ( − , + )(k ∈ Z) 上单调递增．当 3x − = + 3 18 3 18 3 2 9 6 π kπ 心是 ( + , 0 )(k ∈ Z)． 9 6