曲线与曲面积分习题参考复习资料
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十 曲线积分与曲面积分习题 (一) 对弧长的曲线积分
1. 计算ds y x L ⎰+)(22,其中L 为圆周t a y t a x sin ,cos == )20(π≤≤t . 解
320
32
2
2
2
20
2
2
2
2
2
2
2cos sin )sin cos ()(a dt a dt t a t a t a t a ds y x
L
ππ
π==++=+⎰⎰⎰.
2. 计算ds x L ⎰,其中L 为由直线x y =及抛物线2x y =所围成的区域的整个边界.
解 )12655(12
1
4121
021
0-+=
++=⎰⎰⎰dx x x dx x ds x L . 3.计算⎰L yds ,其中L 是抛物线x y 42=上从)0,0(O 到)2,1(A 的一段弧. 解 ⎰L yds =dy y y dy y y ⎰⎰+=+2
22
2421)2(1
)122(3
4)4(4412202-=++=
⎰y d y . 4.计算⎰+L ds y x )(,其中L 为从点)0,0(O 到)1,1(A 的直线段. 解 ⎰+L ds y x )(=23
2
11)(1
0=
++⎰x x . 5.计算⎰L xyzds ,其中L 是曲线232
1
,232,t z t y t x ==
=)10(≤≤t 的一段. 解 ⎰L xyzds =⎰⎰+=++1
31
02223)1(232
)2(121232dt t t t dt t t t t t
=143
216.
6.计算22
x y L
e
ds +⎰,其中L 为圆周222x y a +=,直线y x =及x 轴在第
一象限所围成的扇形的整个边界.
解22
x y L
e
ds +⎰=⎰
1
L +⎰2
L +⎰3
L
=dx e dt t a t a e dx e
a
x a a x
⎰⎰⎰+++++0
240
222
2
20
201)sin ()cos (11π
=(2)14
a e a π
+-
7.设在xoy 面内有一分布着质量的曲线L ,在点(),x y 处它的线密度
为(),x y μ,试用对弧长的曲线积分分别表达 (1)这条曲线弧对x 轴,y 轴的转动惯量,x y I I ; (2) 这条曲线弧的质心坐标,x y .
解 (1)⎰=L x dS y I 2μ ⎰=L y dS x I 2μ
(2)⎰⎰=L
L
dS y x dS y x x x ),(),(μμ ⎰⎰=L
L
dS
y x dS y x y y ),(),(μμ
(二) 对坐标的曲线积分
1.计算⎰+L xdy ydx ,其中L 为圆周t R y t R x sin ,cos ==上对应t 从0到2
π的一段弧.
解 ⎰+L xdy ydx =0]cos cos )sin (sin [20=+-⎰dt t tR R t R t R π
2.计算⎰+L ydx xdy ,其中L 分别为
(1)沿抛物线22x y =从)0,0(O 到)2,1(B 的一段; (2)沿从)0,0(O 到)2,1(B 的直线段.; (3)沿封闭曲线OABO ,其中)0,1(A ,)2,1(B . 解 (1)⎰=+=1
022)24(dx x x x I .
(2)2)22(1
=+=⎰dx x x I .
(3)⎰+L ydx xdy =⎰⎰⎰++BO AB OA =2
010(22)0dy x x dx +++=⎰⎰.
3.计算⎰-+++L dz y x zdy xdx )1(,其中Γ是从点)1,1,1(到点)4,3,2(的一段直线.
解 直线方程为
3
1
2111-=
-=-z y x ,其参数方程为13,12,1+=+=+=t z t y t x ,t 从0
变到1.
13])13(3)12(2)1[(1
0=+++++=⎰dt t t t I .
4.计算2()L xydx x y dy x dz +-+⎰,其中L 是螺旋线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 从0=t 到π=t 上的一段.
解 dt t b a t a t a t a t a t a t a I ⎰+-+-•=π
22]cos cos )sin cos ()sin (sin cos [
)(2
22b a a +=π
.
5.设Γ为曲线23,,x t y t z t ===上相应于t 从0变到1的曲线弧.把对坐标的曲线积分Pdx Qdy Rdz Γ++⎰化成对弧长的曲线积分. 解 由于)3,2,1()3,2,1(),,(
2y x t t dt
dz
dt dy dt dx ==,故2
2
9411cos y
x ++=α,
2
2
9412cos y
x x ++=
β,2
2
9413cos y
x y ++=
γ.
(cos cos cos )Pdx Qdy Rdz P Q R dS αβγΓ
Γ
++=++⎰
⎰
= dS y
x yR xQ P ⎰Γ
++++2
2
94132.
(三) 格林公式及应用
1.计算⎰-L ydy x dx xy 22,其中L 为圆周222a y x =+,取逆时针方向.