曲线与曲面积分习题参考复习资料

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十 曲线积分与曲面积分习题 (一) 对弧长的曲线积分

1. 计算ds y x L ⎰+)(22,其中L 为圆周t a y t a x sin ,cos == )20(π≤≤t . 解

320

32

2

2

2

20

2

2

2

2

2

2

2cos sin )sin cos ()(a dt a dt t a t a t a t a ds y x

L

ππ

π==++=+⎰⎰⎰.

2. 计算ds x L ⎰,其中L 为由直线x y =及抛物线2x y =所围成的区域的整个边界.

解 )12655(12

1

4121

021

0-+=

++=⎰⎰⎰dx x x dx x ds x L . 3.计算⎰L yds ,其中L 是抛物线x y 42=上从)0,0(O 到)2,1(A 的一段弧. 解 ⎰L yds =dy y y dy y y ⎰⎰+=+2

22

2421)2(1

)122(3

4)4(4412202-=++=

⎰y d y . 4.计算⎰+L ds y x )(,其中L 为从点)0,0(O 到)1,1(A 的直线段. 解 ⎰+L ds y x )(=23

2

11)(1

0=

++⎰x x . 5.计算⎰L xyzds ,其中L 是曲线232

1

,232,t z t y t x ==

=)10(≤≤t 的一段. 解 ⎰L xyzds =⎰⎰+=++1

31

02223)1(232

)2(121232dt t t t dt t t t t t

=143

216.

6.计算22

x y L

e

ds +⎰,其中L 为圆周222x y a +=,直线y x =及x 轴在第

一象限所围成的扇形的整个边界.

解22

x y L

e

ds +⎰=⎰

1

L +⎰2

L +⎰3

L

=dx e dt t a t a e dx e

a

x a a x

⎰⎰⎰+++++0

240

222

2

20

201)sin ()cos (11π

=(2)14

a e a π

+-

7.设在xoy 面内有一分布着质量的曲线L ,在点(),x y 处它的线密度

为(),x y μ,试用对弧长的曲线积分分别表达 (1)这条曲线弧对x 轴,y 轴的转动惯量,x y I I ; (2) 这条曲线弧的质心坐标,x y .

解 (1)⎰=L x dS y I 2μ ⎰=L y dS x I 2μ

(2)⎰⎰=L

L

dS y x dS y x x x ),(),(μμ ⎰⎰=L

L

dS

y x dS y x y y ),(),(μμ

(二) 对坐标的曲线积分

1.计算⎰+L xdy ydx ,其中L 为圆周t R y t R x sin ,cos ==上对应t 从0到2

π的一段弧.

解 ⎰+L xdy ydx =0]cos cos )sin (sin [20=+-⎰dt t tR R t R t R π

2.计算⎰+L ydx xdy ,其中L 分别为

(1)沿抛物线22x y =从)0,0(O 到)2,1(B 的一段; (2)沿从)0,0(O 到)2,1(B 的直线段.; (3)沿封闭曲线OABO ,其中)0,1(A ,)2,1(B . 解 (1)⎰=+=1

022)24(dx x x x I .

(2)2)22(1

=+=⎰dx x x I .

(3)⎰+L ydx xdy =⎰⎰⎰++BO AB OA =2

010(22)0dy x x dx +++=⎰⎰.

3.计算⎰-+++L dz y x zdy xdx )1(,其中Γ是从点)1,1,1(到点)4,3,2(的一段直线.

解 直线方程为

3

1

2111-=

-=-z y x ,其参数方程为13,12,1+=+=+=t z t y t x ,t 从0

变到1.

13])13(3)12(2)1[(1

0=+++++=⎰dt t t t I .

4.计算2()L xydx x y dy x dz +-+⎰,其中L 是螺旋线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 从0=t 到π=t 上的一段.

解 dt t b a t a t a t a t a t a t a I ⎰+-+-•=π

22]cos cos )sin cos ()sin (sin cos [

)(2

22b a a +=π

.

5.设Γ为曲线23,,x t y t z t ===上相应于t 从0变到1的曲线弧.把对坐标的曲线积分Pdx Qdy Rdz Γ++⎰化成对弧长的曲线积分. 解 由于)3,2,1()3,2,1(),,(

2y x t t dt

dz

dt dy dt dx ==,故2

2

9411cos y

x ++=α,

2

2

9412cos y

x x ++=

β,2

2

9413cos y

x y ++=

γ.

(cos cos cos )Pdx Qdy Rdz P Q R dS αβγΓ

Γ

++=++⎰

= dS y

x yR xQ P ⎰Γ

++++2

2

94132.

(三) 格林公式及应用

1.计算⎰-L ydy x dx xy 22,其中L 为圆周222a y x =+,取逆时针方向.

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