2017年中考数学 考前小题狂做 专题22 等腰三角形(含解析)

等腰三角形

一、选择题

1．（2016·山东烟台）如图，Rt△ABC 的斜边AB 与量角器的直径恰好重合，B 点与0刻度线

的一端重合，∠ABC=40°，射线CD 绕点C 转动，与量角器外沿交于点D ，若射线CD 将△ABC

分割出以BC 为边的等腰三角形，则点D 在量角器上对应的度数是（ ）

A ．40°

B ．70°

C ．70°或80°

D ．80°或140°

【考点】角的计算．

【分析】如图，点O 是AB 中点，连接DO ，易知点D 在量角器上对应的度数=∠DOB=2∠BCD，

只要求出∠BCD 的度数即可解决问题．

【解答】解：如图，点O 是AB 中点，连接DO ．

∵点D 在量角器上对应的度数=∠DOB=2∠BCD，

∵当射线CD 将△ABC 分割出以BC 为边的等腰三角形时，

∠BCD=40°或70°，

∴点D 在量角器上对应的度数=∠DOB=2∠BCD=80°或140°，

故选D ．

2．（2016·山东枣庄）如图，在△ABC 中，AB = AC ，∠A = 30°，E 为BC 延长线上

一点，∠ABC 与∠ACE 的平分线相交于点D ，则∠D 等于

A ．15°

B ．17. 5°

C ．20°

D ．22.5°

【答案】A.

【解析】

试题分析：在△ABC 中，AB=AC ，∠A=30°，根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=75°，

D

A B 第4题图

所以∠ACE=180°-∠ACB=180°-75°=105°，根据角平分线的性质可得∠DBC=37.5°，∠ACD=52.5°，即可得∠BCD=127.5°，根据三角形的内角和定理可得∠D=180°-∠DBC-∠BCD=180°-37.5°-127.5°=15°，故答案选A.

考点：等腰三角形的性质；三角形的内角和定理.

3．（2016.山东省泰安市，3分）如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）

A．44°B．66°C．88°D．92°

【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B，证明△AMK≌△BKN，得到∠AMK=∠BKN，根据三角形的外角的性质求出∠A=∠MKN=44°，根据三角形内角和定理计算即可．

【解答】解：∵PA=PB，

∴∠A=∠B，

在△AMK和△BKN中，

，

∴△AMK≌△BKN，

∴∠AMK=∠BKN，

∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK，

∴∠A=∠MKN=44°，

∴∠P=180°﹣∠A﹣∠B=92°，

故选：D．

【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键．

4．（2016·江苏省扬州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6．将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是（）

A．6 B．3 C．2.5 D．2

【考点】几何问题的最值．

【分析】以BC 为边作等腰直角三角形△EBC，延长BE 交AD 于F ，得△ABF 是等腰直角三角形，作EG⊥CD 于G ，得△EGC 是等腰直角三角形，在矩形ABCD 中剪去△ABF，△BCE，△ECG 得到四边形EFDG ，此时剩余部分面积的最小

【解答】解：如图以BC 为边作等腰直角三角形△EBC，延长BE 交AD 于F ，得△ABF 是等腰直角三角形，

作EG⊥CD 于G ，得△EGC 是等腰直角三角形，

在矩形ABCD 中剪去△ABF，△BCE，△ECG 得到四边形EFDG ，此时剩余部分面积的最小=4×6﹣×4×4﹣×3×6﹣×3×3=2.5．

故选C ．

二、填空题

1.（2016·湖北黄冈）如图，已知△ABC, △DCE, △FEG, △HGI 是4个全等的等腰三角形，底边BC ，CE ，EG ，GI 在同一条直线上，且AB=2，BC=1. 连接AI ，交FG 于点Q ，则QI=_____________.

A D F H

Q

B C E G I

（第14题）

【考点】相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质.

【分析】过点A 作AM ⊥BC. 根据等腰三角形的性质，得到MC=21

BC=21

，从而

MI=MC+CE+EG+GI=27.再根据勾股定理，

计算出AM 和AI 的值；根据等腰三角形的性质得出角相等，从而证明AC ∥GQ ，则△IAC ∽△IQG ，故AI QI

=CI GI

，可计算出QI=34.

A D F H

Q

B M

C E G I

【解答】解：过点A 作AM ⊥BC.

根据等腰三角形的性质，得 MC=21BC=21. ∴MI=MC+CE+EG+GI=27. 在Rt △AMC 中，AM 2=AC 2-MC 2= 22-（21

）2

=415. AI=MI AM

22+=)(272415+=4. 易证AC ∥GQ ，则△IAC ∽△IQG ∴AI QI =CI GI

即4

QI

=31

∴QI=34

.

故答案为：34

.

2. (2016·四川资阳)如图，在3×3的方格中，A 、B 、C 、D 、E 、F 分别位于格点上，从C 、D 、E 、F 四点中任取一点，与点A 、B 为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是 ．

【考点】概率公式；等腰三角形的判定．

【分析】根据从C 、D 、E 、F 四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D 、

C 、F 时，所作三角形是等腰三角形，即可得出答案．

【解答】解：根据从C 、D 、E 、F 四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D 、C 、F 时，所作三角形是等腰三角形，

故P （所作三角形是等腰三角形）=

；

故答案为：

．