2017年中考数学 考前小题狂做 专题22 等腰三角形(含解析)
2017中考分类汇编—等腰三角形与直角三角形(含解析)
2017中考真题分类汇编—等腰三角形与直角三角形一、选择题1．（2017·长沙一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形2．（2017·东营）在△ABC中，AB=10，AC=2，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（）A．10 B．8 C．6或10 D．8或103、（2017·金华）在直角三角形ABC中，C=90°，AB=5，BC=3，则tanA的值是（）A、B、C、D、4．（2017·湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，点P是Rt△ABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（）A．1 B．C．D．25、（2017·绍兴）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米.则小巷的宽度为（）A、0.7米B、1.5米C、2.2米D、2.4米6．（2017·眉山）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（）A ．1.25尺B ．57.5尺C ．6.25尺D ．56.5尺【考点】KU ：勾股定理的应用．7．（2017·南充）如图，等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为（ ）A ．（1，1）B ．（，1）C ．（，）D ．（1，）【考点】KK ：等边三角形的性质；D5：坐标与图形性质；KQ ：勾股定理．8．（2017·武汉）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=，以ABC ∆的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在ABC ∆的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）A ．4B ．5C ． 6D ．7 【答案】C 二、填空题9. （2017·黄冈）已知：如图，在AOB ∆中，090,3,4AOB AO cm BO cm ∠===，将AOB ∆绕顶点O ，按顺时针方向旋转到11A OB ∆处，此时线段1OB 与AB 的交点D 恰好为AB 的中【考点】直角三角形，勾股定理，旋转10（2017·青岛）如图，在四边形ABCD 中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE、ED、BD，若∠BAD＝58°，则∠EBD的度数为__________度．考点:圆心角性质定理，等腰三角形性质11、（2017·丽水）等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的°数是________. 12．（2017·山西）一副三角板按如图方式摆放，得到△ABD和△BCD，其中∠ADB=∠BCD=90°，∠A=60°，∠CBD=45°．E为AB的中点，过点E作EF⊥CD于点F．若AD=4cm，则EF的长13．（2017·武汉）如图△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，∠DAE=60°，BD=5，CE=8，【答案】7.【解析】14、（2017·金华）如图，已知l1//l2，直线l与l1，l2相交于C,D两点，把一块含30°角的三角尺按如图位置摆放．若∠1=130°，则∠2=________°.【答案】20°15、（2017·嘉兴）如图，把个边长为1的正方形拼接成一排，求得，，，计算________，……按此规律，写出________（用含的代数式表示）．【答案】；【考点】解直角三角形16、（2017·丽水）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示.在图2中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ//AB，则正方形EFGH的边长为________.【答案】10三，解答题17．（2017•北京）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．求证：AD=BC．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC=C=72°，根据角平分线的定义得到∠ABD=∠DBC=36°，∠BDC=72°，根据等腰三角形的判定即可得到结论．【解答】证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=C=72°，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠ABD=∠DBC=36°，∠BDC=72°，∴∠A=∠ABD，∠BDC=∠C，∴AD=BD=BC．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质和判定，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．。
中考数学 抢分训练之“小题狂做”三角形(含解析)
中考数学抢分训练之“小题狂做”三角形（含解析）一、选择题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)1．已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是( ) A．5 B．6 C．11 D．162．一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形3．如图，已知D，E在△ABC上，DE∥BC，∠B＝60°，∠AED＝40°，则∠A的度数为( ) A．100° B．90° C．80° D．70°第3题图第4题图4．如图，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为( ) A．40° B．45° C．50° D．55°二、填空题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)5．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M，如果∠ADF＝100°，那么∠BMD为______度．第5题图第6题图第7题图6．如图，AB，CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD＝38°，则∠A等于______°.7．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，则外角∠ACD＝______度．8．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，∠B＝50°，现将△ADE沿DE折叠，点A落在三角形所在平面内的点A1处，则∠BDA1的度数为______°.\第8题图第9题图9．如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC、△ADF、△BEF 的面积分别为S△ABC、S△ADF、S△BEF，且S△ABC＝24，则S△ADF－S△BEF____．三、解答题(共14分)10．(14分)(1)如图1，若O点是∠ABC与∠ACB的平分线的交点；(2)如图2，若O点是外角∠DBC与∠ECB的平分线的交点；(3)如图3，若O点是∠ABC与外角∠ACD的平分线的交点，试探索下列各图中∠BOC与∠A 的关系．参考答案1. C 解析：设此三角形第三边的长为x ，则10－4＜x ＜10＋4，即6＜x ＜14，四个选项中只有11符合条件．2. D 解析：三角形的三个角依次为180°×22＋3＋7＝30°， 180°×32＋3＋7＝45°，180°×72＋3＋7＝105°，所以这个三角形是钝角三角形． 3. C 解析：由DE ∥BC ，可知∠ADE ＝∠B ＝60°，在△ADE 中，∠A ＝180°－∠ADE －∠AED ＝180°－60°－40°＝80°.4. A 解析：由三角形内角和180°，可得∠BAC ＝180°－67°－33°＝80°，又因为AD 是角平分线，所以∠CAD ＝12∠BAC ＝40°. 5. 85 解析：∵∠ADF ＝100°，∠EDF ＝30°，∴∠MDB ＝180°－∠ADF －∠EDF ＝180°－100°－30°＝50°，∴∠BMD ＝180°－∠B －∠MDB ＝180°－45°－50°＝85°.6. 52 解析：在Rt△ACO 中，∠C ＝90°，∠AOC ＝∠BOD ＝38°，∴∠A ＝180°－90°－38°＝52°.7. 105 解析：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，所以∠ACD ＝∠A ＋∠B ＝45°＋60°＝105°.8. 80 解析：因为D 、E 分别是AB 、AC 的中点，所以DE ∥BC ，所以∠ADE ＝∠B ＝50°，由折叠，得∠A 1DE ＝∠ADE ＝50°，所以∠A 1DB ＝180°－2×50°＝80°.9. 4 解析：因为点D 是AC 的中点，EC ＝2BE ，所以S △ABE ＝13·S △ABC ＝8，S △ABD ＝12S △ABC ＝12， 所以S △ABD －S △ABE ＝S △ADF －S △BEF ＝4.10. (1)∠BOC ＝90°＋12∠A ，证明略．(4分) (2)∠BOC ＝90°－12∠A ，证明略．(8分) (3)∠BOC ＝12∠A ，证明略．(14分)。
江苏省昆山市2017年中考数学专题复习18《等腰三角形》
2017年中考数学专题练习18《等腰三角形》【知识归纳】一、等腰三角形1．等腰三角形的定义：的三角形是等腰三角形．2．等腰三角形的性质(1)等腰三角形两底角；(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称：；(3)等腰三角形是轴对称图形，有条对称轴．3.等腰三角形的判定方法(1)定义判定：一个三角形中，如果有两条边，那么这个三角形是等腰三角形．(2)判定定理：等角对等边，即一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边．4.等边三角形的性质等边三角形的各角都相等，并且每—个角都等于；等边三角形是轴对称图形，有条对称轴．5.等边三角形的判定(1)三边都的三角形是等边三角形；(2)三个角都的三角形是等边三角形；(3)有一个角等于的等腰三角形是等边三角形.【基础检测】1．（2013德州，4，3分）如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE,∠D=740,，则∠B的度数为（）A、680B、320C、220D、1602．（2013四川南充，3，3分）如图，△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A的度数是（） A．70°B．55°C．50°D．40°3．(2015湖北荆门，14，3分)若等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为______． 4．(2013湖北荆门，19，9分)如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上．(1)求证：BE ＝CE ；(2)若BE 的延长线交AC 于点F ，且BF ⊥AC ，垂足为F ，如图2，∠BAC ＝45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF ≌△BCF ．5． （2015，广西玉林，17，3分）如图，等腰直角△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，点O 分斜边AB 为BO ：OA=1：，将△BOC 绕C 点顺时针方向旋转到△AQC 的位置，则∠AQC=105°．6．（2016•莆田）如图，OP 是∠AOB 的平分线，点C ，D 分别在角的两边OA ，OB 上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD 的选项是（ ）AB C D EF(第19题图2) AB C D E (第19题图1)A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC=OD C．∠OPC=∠OPD D．PC=PD7. （2015•河北,第20题3分）如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n= ．8.（2015•山东莱芜,第21题9分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．（2）求证：BE=CD，BE⊥CD．【达标检测】一．选择题1．（2016·湖北黄石·3分）如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°，则∠BDC=（）A．50° B．100° C．120° D．130°2. 如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（）A．36° B．54° C．18° D．64°3.（2016·湖北荆门·3分）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A．5 B．6 C．8 D．104. 如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE=BC，连接DE,则图中等腰三角形共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个5．（2016·湖北荆门）已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（）A．7 B．10 C．11 D．10或116. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，连接AE，若CE=5，AC=12，则BE的长是A ．5B ．10C ．12D ．137. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( )A ．120° B．90° C．60° D．30°8. 已知等腰三角形ABC 中，腰AB=8，底BC=5，则这个三角形的周长为( )A. 21B. 20C. 19D. 189. 如图，在等边△ABC 中，AB=10，BD=4，BE=2，点P 从点E 出发沿EA 方向运动，连接PD ，以PD 为边，在PD 右侧按如图方式作等边△DPF ，当点P 从点E 运动到点A 时，点F 运动的路径长是（ ）A ． 8B ．10C ．3πD ．5π 二．填空题10．（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为 ．11．（2016·湖北黄石·3分）如图所示，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔4海里的A 处，该海轮沿南偏东30°方向航行 海里后，到达位于灯塔P 的正东方向的B 处．EDC BA（第11题图）12．（2016·湖北荆门·3分）如图，已知点A（1，2）是反比例函数y=图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点；若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是．13. 如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．恒成立的结论有．（把你认为正确的序号都填上）14.（2016·福建龙岩·3分）如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE=1，∠E=30°，则BC= ．三．解答题15.（2013四川内江，18，8分）已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D为AB边上一点．求证：BD=AE．16. 如图，一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作：以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于12GH的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E．（1）求证：AB=AE；（2）若∠A=100°，求∠EBC的度数．17．（2016·山东省菏泽市·3分）如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°①求证：AD=BE；②求∠AEB的度数．（2）如图2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：AE=2CM+BN．18. （2016·湖北随州·10分）爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AN⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．【特例探究】（1）如图1，当tan∠PAB=1，c=4时，a= 4，b= 4；如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a= ，b= ；【归纳证明】（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．【拓展证明】（3）如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3，AB=3，求AF的长．【知识归纳答案】一、等腰三角形1．有两条边相等2．等腰三角形的性质(1)等腰三角形两底角相等；(2)三线合一；(3)等腰三角形是轴对称图形，有 1 条对称轴．3.等腰三角形的判定方法(1)定义判定：一个三角形中，如果有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形．(2)判定定理：等角对等边，即一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边相等．4.等边三角形的性质60°； 3 ．5.等边三角形的判定(1)三边都相等的三角形是等边三角形；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形.【基础检测答案】1．（2013德州，4，3分）如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE,∠D=740,，则∠B的度数为（）A、680B、320C、220D、160【答案】B.【解析】在△CDE中，∵CD=CE，∴∠D=∠DEF=74°, ∴∠C=180°-2×74°=32°.∵AB∥CD，∴∠B=∠C=32°.【方法指导】本题考查了平行线性质、等腰三角形性质、三角形内角和.本题把平行线、三角形内角和、等腰三角形基础知识进行简单组合进行考查.注意“等边对等角”前提是在同一个三角形中，也就是是等腰三角形的重要性质.2．（2013四川南充，3，3分）如图，△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A的度数是（） A．70°B．55°C．50°D．40°【答案】：D．【解析】根据等腰三角形的性质等边对等角得到∠C=∠B=70°，再根据三角形内角和定理得∠A=180°-∠C-∠B=180°-70°-70°=40°.故选D.【方法指导】本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理.等腰三角形性质：等边对等角；“三线合一”.三角形内角和定理：三角形内角和为180°.3．(2013湖北荆门，14，3分)若等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为______． 【答案】50°或80°．【解析】(1)若这个内角恰好是顶角，则顶角是50°；(2)若这个内角是底角，则顶角＝180°－2×50°＝80°．【方法指导】当等腰三角形已知的角没指明是顶角还是底角时，或者已知的边没指明是腰还是底边时，若者已知的顶点没指明是顶角的顶点还是底角的顶点时，均需要分类讨论． 4．(2013湖北荆门，19，9分)如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上．(1)求证：BE ＝CE ；(2)若BE 的延长线交AC 于点F ，且BF ⊥AC ，垂足为F ，如图2，∠BAC ＝45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF ≌△BCF ．【思路分析】(1)证△ABE ≌△ACE 即可．(2)△AEF 和△BCF 已具备两组角对应相等，因此只需证有一组对应边相等．由∠BAC ＝45°可知ABF 为等腰直角三角形，于是找到对应边AF ，BF 相等． 【解】证明：(1)∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴∠BAE ＝∠CAE ． 在△ABE 和△ACE 中，∵AB ＝AC ，∠BAE ＝∠CAE ，AE ＝AE ， △ABE ≌△ACE ． ∴BE ＝CE ．(2)∵∠BAC ＝45°，BF ⊥AF ，∴△ABF 为等腰直角三角形．∴AF ＝BF ． 由(1)知AD ⊥BC ，∴∠EAF ＝∠CBF ．AB C D EF(第19题图2) AB C D E (第19题图1)在△AEF和△BCF中，AF＝BF，∠AFE＝∠BFC＝90°，∠EAF＝∠CBF，∴△AEF≌△BCF．【方法指导】证三角形全等，关键是证角相等或边相等．全等三角形的判定方法有：SAS、ASA、AAS、SSS和HL（HL为直角三角形专用）．等腰三角形的三线合一性在三角形全等的证明中有较广泛的应用.5．（2015，广西玉林，17，3分）如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点O 分斜边AB为BO：OA=1：，将△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，则∠AQC= 105°．考点：旋转的性质；等腰直角三角形．专题：计算题．分析：连接OQ，由旋转的性质可知：△AQC≌△BOC，从而推出∠OAQ=90°，∠OCQ=90°，再根据特殊直角三角形边的关系，分别求出∠AQO与∠OQC的值，可求出结果．解答：解：连接OQ，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠BAC=∠A=45°，由旋转的性质可知：△AQC≌△BOC，∴AQ=BO，CQ=CO，∠QAC=∠B=45°，∠ACQ=∠BCO，∴∠OAQ=∠BAC+∠CAQ=90°，∠OCQ=∠OCA+∠ACQ=∠OCA+∠BCO=90°，∴∠OQC=45°，∵BO：OA=1：，设BO=1，OA=，∴AQ=，∴∠AQO=60°，∴∠AGC=105°．点评：本题主要考查了图形旋转的性质，特殊角直角三角形的边角关系，掌握图形旋转的性质，熟记特殊直角三角形的边角关系是解决问题的关键．6．（2016•莆田）如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（）A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC=OD C．∠OPC=∠OPD D．PC=PD【分析】要得到△POC≌△POD，现有的条件为有一对角相等，一条公共边，缺少角，或着是边，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．于是答案可得．【解答】解：∵OP是∠AOB的平分线，∴∠AOP=∠BO P，∵OP=OP，∴根据‘HL’需添加PC⊥OA，PD⊥OB，根据‘SAS’需添加OC=OD，根据‘AAS’需添加∠OPC=∠OPD，故选D．【点评】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．7. （2015•河北,第20题3分）如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n= 9 ．考点：等腰三角形的性质．分析：根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB的度数，∠A2A1C的度数，∠A3A2B的度数，∠A4A3C的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．解答：解：由题意可知：AO=A1A，A1A=A2A1，…，则∠AOA1=∠OA1A，∠A1OA2=∠A1A2A，…，∵∠BOC=9°，∴∠A1AB=18°，∠A2A1C=27°，∠A3A2B=36°的度数，∠A4A3C=45，…，∴9°n＜90°，解得n＜10．故答案为：9．点评：考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．8.（2015•山东莱芜,第21题9分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．（2）求证：BE=CD，BE⊥CD．考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的判定．.专题：证明题．分析：（1）利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC，因为G为BD的中点，可得BG=BC，由∠CGB=45°，∠ADB=45得AD∥CG，由∠CBD+∠ACB=180°，得AC∥BD，得出四边形ACGD 为平行四边形；（2）利用全等三角形的判定证得△DAC≌△BAE，由全等三角形的性质得BE=CD；首先证得四边形ABCE为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE≌△CAD，易得∠CBE=∠ACD，由∠ACB=90°，易得∠CFB=90°，得出结论．解答：（1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AB=BC，∵△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，∴BD==BC=2BC，∵G为BD的中点，∴BG=BD=BC，∴△CBG为等腰直角三角形，∴∠CGB=45°，∵∠ADB=45°，AD∥CG，∵∠ABD=45°，∠ABC=45°∴∠CBD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠CBD+∠ACB=180°，∴AC∥BD，∴四边形ACGD为平行四边形；（2）证明：∵∠EAB=∠EAC+∠CAB=90°+45°=135°，∠CAD=∠DAB+∠BAC=90°+45°=135°，∴∠EAB=∠CAD，在△DAC与△BAE中，，∴△DAC≌△BAE，∴BE=CD；∵∠EAC=∠BCA=90°，EA=AC=BC，∴四边形ABCE为平行四边形，∴CE=AB=AD，在△BCE与△CAD中，，∴△BCE≌△CAD，∴∠CBE=∠ACD，∵∠ACD+∠BCD=90°，∴∠CBE+∠BCD=90°，∴∠CFB=90°，即BE⊥CD．点评：本题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各种定理是解答此题的关键．【达标检测答案】一．选择题1．（2016·湖北黄石·3分）如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°，则∠BDC=（）A．50° B．100° C．120° D．130°【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DCA=∠A，根据三角形的外角的性质计算即可．【解答】解：∵DE是线段AC的垂直平分线，∴DA=DC，∴∠DCA=∠A=50°，∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°，故选：B．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质和三角形的外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．2. 如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（）A．36° B．54° C．18° D．64°【答案】B．【解析】∵AB=AC，∠ABC=72°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∴∠A=36°，∵BD⊥AC，∴∠ABD=90°﹣36°=54°．故选B．3.（2016·湖北荆门·3分）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A．5 B．6 C．8 D．10【分析】勾股定理；等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD=CD，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD=CD，∵AB=5，AD=3，∴BD==4，∴BC=2BD=8，故选C．4. 如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE=BC，连接DE,则图中等腰三角形共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】D【解析】在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，求得∠ABC=∠C=72°，且△ABC是等腰三角形．因为BD是△ABC的角平分线所以∠ABD=∠DBC=36°所以△ABD是等腰三角形．在△BDC中有三角形的内角和求出∠BDC=72°所以△BDC是等腰三角形．所以BD=BC=BE 所以△BDE是等腰三角形．所以∠BDE=72°, 所以∠ADE=36°, 所以△ADE是等腰三角形．共5个．故选D．5．（2016·湖北荆门·3分）已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（）A．7 B．10 C．11 D．10或11【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【分析】把x=3代入已知方程求得m的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC 的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．【解答】解：把x=3代入方程得9﹣3（m+1）+2m=0，解得m=6，则原方程为x 2﹣7x+12=0，解得x 1=3，x 2=4，因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边长，①当△ABC 的腰为4，底边为3时，则△ABC 的周长为4+4+3=11；②当△ABC 的腰为3，底边为4时，则△ABC 的周长为3+3+4=10．综上所述，该△ABC 的周长为10或11．故选：D ．6. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 于E ，连接AE ，若CE=5，AC=12，则BE 的长是A ．5B ．10C ．12D ．13【答案】D.【解析】在Rt △CAE 中，CE=5，AC=12，由勾股定理得：13AE ==又DE 是AB 的垂直平分线，∴BE=AE=13.故选D.7. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( )A ．120° B．90° C．60° D．30°【答案】D ．【解析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解：∵直角三角形中，一个锐角等于60°，∴另一个锐角的度数=90°﹣60°=30°． 故选D ．8. 已知等腰三角形ABC 中，腰AB=8，底BC=5，则这个三角形的周长为( )E DCB A （第11题图）A. 21B. 20C. 19D. 18【答案】A ．【解析】由于等腰三角形的两腰相等，题目给出了腰和底，根据周长的定义即可求解： ∵8+8+5=21．∴这个三角形的周长为21．故选A ．9.. 如图，在等边△ABC 中，AB=10，BD=4，BE=2，点P 从点E 出发沿EA 方向运动，连接PD ，以PD 为边，在PD 右侧按如图方式作等边△DPF ，当点P 从点E 运动到点A 时，点F 运动的路径长是（ ）A ． 8B ．10C ．3πD ．5π【答案】A ．【解析】连结DE ，作FH ⊥BC 于H ，如图，∵△ABC 为等边三角形，∴∠B=60°，过D 点作DE ′⊥AB ，则BE ′=12BD=2，∴点E ′与点E 重合，∴∠BDE=30°，BE=，∵△DPF 为等边三角形，∴∠PDF=60°，DP=DF ，∴∠EDP+∠HDF=90°，∵∠HDF+∠DFH=90°，∴∠EDP=∠DFH ，在△DPE 和△FDH 中，∵∠PED=∠DHF ，∠EDP=∠DFH ，DP=FD ，∴△DPE ≌△FDH ，∴FH=DE=P 从点E 运动到点A 时，点F 运动的路径为一条线段，此线段到BC 的距离为P 在E 点时，作等边三角形DEF 1，∠BDF1=30°+60°=90°，则DF 1⊥BC ，当点P 在A 点时，作等边三角形DAF 2，作F 2Q ⊥BC 于Q ，则△DF 2Q ≌△ADE ，所以DQ=AE=10﹣2=8，∴F 1F 2=DQ=8，∴当点P 从点E 运动到点A 时，点F 运动的路径长为8．故选A ．二．填空题10．（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为20和20 ．【考点】正方形的性质；等腰三角形的性质．【分析】分两种情形讨论①当30度角是等腰三角形的顶角，②当30度角是底角，分别作腰上的高即可．【解答】解：如图1中，当∠A=30°，AB=AC时，设AB=AC=a，作BD⊥AC于D，∵∠A=30°，∴BD=AB=a，∴•a•a=5，∴a2=20，∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20．如图2中，当∠ABC=30°，AB=AC时，作BD⊥CA交CA的延长线于D，设AB=AC=a，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=30°，∴∠BAC=120°，∠BAD=60°，在RT△ABD中，∵∠D=90°，∠BAD=60°，∴BD=a，∴•a•a=5，∴a2=20，∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20．故答案为20或20．11．（2016·湖北黄石·3分）如图所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔4海里的A处，该海轮沿南偏东30°方向航行 4 海里后，到达位于灯塔P的正东方向的B处．【分析】根据等腰三角形的性质，可得答案．【解答】解：一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔4海里的A处，该海轮沿南偏东30°方向航行 4海里后，到达位于灯塔P的正东方向的B处故答案为：4．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，利用了等腰三角形的腰相等是解题关键．12．（2016·湖北荆门·3分）如图，已知点A（1，2）是反比例函数y=图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点；若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的性质．【分析】由对称性可知O为AB的中点，则当△PAB为等腰三角形时只能有PA=AB或PB=AB，设P点坐标为（x，0），可分别表示出PA和PB，从而可得到关与x的方程，可求得x，可求得P点坐标．【解答】解：∵反比例函数y=图象关于原点对称，∴A、B两点关于O对称，∴O为AB的中点，且B（﹣1，﹣2），∴当△PAB为等腰三角形时有PA=AB或PB=AB，设P点坐标为（x，0），∵A（1，2），B（﹣1，﹣2），∴AB==2，PA=，PB=，当PA=AB时，则有=2，解得x=﹣3或5，此时P点坐标为（﹣3，0）或（5，0）；当PB=AB时，则有=2，解得x=3或﹣5，此时P点坐标为（3，0）或（﹣5，0）；综上可知P点的坐标为（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0），故答案为：（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）．13. 如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．恒成立的结论有．（把你认为正确的序号都填上）【答案】①②③⑤【解析】①∵正△ABC和正△CDE，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∵∠ACD=∠ACB+∠BCD，∠BCE=∠DCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE，∴△ADC≌△BEC（SAS），∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，（故①正确）；②又∵CD=CE，∠DCP=∠ECQ=60°，∠ADC=∠BEC，∴△CDP≌△CEQ（ASA）．∴CP=CQ，∴∠CPQ=∠CQP=60°，∴∠QPC=∠BCA，∴PQ∥AE，（故②正确）；③∵△CDP≌△CEQ，∴DP=QE，∵△ADC≌△BEC，∴AD=BE，∴AD-DP=BE-QE，∴AP=BQ，（故③正确）；④∵DE＞QE，且DP=QE，∴DE＞DP，（故④错误）；⑤∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，（故⑤正确）．∴正确的有：①②③⑤．14.（2016·福建龙岩·3分）如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE=1，∠E=30°，则BC= 2 ．【考点】等边三角形的性质．【分析】先证明BC=2CD，证明△CDE是等腰三角形即可解决问题．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，BA=BC，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠E=30°，BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∴BC=2DC，∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴∠CDE=∠E=30°，∴CD=CE=1，∴BC=2CD=2，故答案为2三．解答题15.（2013四川内江，18，8分）已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D为AB边上一点．求证：BD=AE．【解析】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．根据等腰直角三角形的性质可得AC=BC，CD=CE，再根据同角的余角相等求出∠ACE=∠BCD，然后利用“边角边”证明△ACE 和△BCD全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明．【解答】证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE，∵∠ACD=∠DCE=90°，∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，∴∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴BD=AE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及等角的余角相等的性质，熟记各性质是解题的关键．16. 如图，一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作：以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于12GH的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E．（1）求证：AB=AE；（2）若∠A=100°，求∠EBC的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）40°．【解析】（1）∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∵ BE是∠ABC的角平分线，∴∠EBC=∠ABE，∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE；（2）∵∠A=100°，∠ABE=∠AEB，∴∠ABE=∠AEB=40°，∵AD∥BC，∴∠EBC=∠AEB=40°．17．（2016·山东省菏泽市·3分）如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°①求证：AD=BE；②求∠AEB的度数．（2）如图2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：AE=2CM+BN．【分析】等腰三角形的性质．（1）①通过角的计算找出∠ACD=∠BCE，再结合△ACB和△DCE 均为等腰三角形可得出“AC=BC，DC=EC”，利用全等三角形的判定（SAS）即可证出△ACD≌△BCE，由此即可得出结论AD=BE；②结合①中的△ACD≌△BCE可得出∠ADC=∠BEC，再通过角的计算即可算出∠AEB的度数；（2）根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角的度数，利用（1）的结论，通过解直角三角形即可求出线段AD、DE的长度，二者相加即可证出结论．【解答】（1）①证明：∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，∴∠ACB=∠DCE=180°﹣2×50°=80°．∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠DCB+∠BCE，∴∠ACD=∠BCE．∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，∴AC=BC，DC=EC．在△ACD和△BC E中，有，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．②解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC．∵点A，D，E在同一直线上，且∠CDE=50°，∴∠ADC=180°﹣∠CDE=130°，∴∠BEC=130°．∵∠BEC=∠CED+∠AEB，且∠CED=50°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=130°﹣50°=80°．（2）证明：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=120°，∴∠CDM=∠CEM=×（180°﹣120°）=30°．∵CM⊥DE，∴∠CMD=90°，DM=EM．在Rt△CMD中，∠CMD=90°，∠CDM=30°，∴DE=2DM=2×=2CM．∵∠BEC=∠ADC=180°﹣30°=150°，∠BEC=∠CEM+∠AEB，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CEM=150°﹣30°=120°，∴∠BEN=180°﹣120°=60°．在Rt△BNE中，∠BNE=90°，∠BEN=60°，∴BE==BN．∵AD=BE，AE=AD+DE，∴AE=BE+DE=BN+2CM．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、解直角三角形以及角的计算，解题的关键是：（1）通过角的计算结合等腰三角形的性质证出△ACD≌△BCE；（2）找出线段AD、DE的长．本题属于中档题，难度不大，但稍显繁琐，解决该题型题目时，利用角的计算找出相等的角，再利用等腰三角形的性质找出相等的边或角，最后根据全等三角形的判定定理证出三角形全是关键．18. （2016·湖北随州·10分）爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AN⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．【特例探究】（1）如图1，当tan∠PAB=1，c=4时，a= 4，b= 4；如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a= ，b= ；【归纳证明】（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．【拓展证明】（3）如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3，AB=3，求AF的长．【考点】四边形综合题．【分析】（1）①首先证明△APB，△PEF都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PE、PF，再利用勾股定理即可解决问题．②连接EF，在RT△PAB，RT△PEF中，利用30°性质求出PA、PB、PE、PF，再利用勾股定理即可解决问题．（2）结论a2+b2=5c2．设MP=x，NP=y，则AP=2x，BP=2y，利用勾股定理分别求出a2、b2、c2即可解决问题．（3）取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，首先证明△ABF是中垂三角形，利用（2）中结论列出方程即可解决问题．【解答】（1）解：如图1中，∵CE=AE，CF=BF，∴EF∥AB，EF=AB=2，∵tan∠PAB=1，∴∠PAB=∠PBA=∠PEF=∠PFE=45°，∴PF=PE=2，PB=PA=4，∴AE=BF==2．∴b=AC=2AE=4，a=BC=4．故答案为4，4．如图2中，连接EF，，∵CE=AE，CF=BF，∴EF∥AB，EF=AB=1，∵∠PAB=30°，∴PB=1，PA=，在RT△EFP中，∵∠EFP=∠PAB=30°，∴PE=，PF=，∴AE==，BF==，∴a=BC=2BF=，b=AC=2AE=，故答案分别为，．（2）结论a2+b2=5c2．证明：如图3中，连接EF．∵AF、BE是中线，∴EF∥AB，EF=AB，∴△FPE∽△APB，∴==，设FP=x，EP=y，则AP=2x，BP=2y，∴a2=BC2=4BF2=4（FP2+BP2）=4x2+16y2，b2=AC2=4AE2=4（PE2+AP2）=4y2+16x2，c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2，∴a2+b2=20x2+20y2=5（4x2+4y2）=5c2．（3）解：如图4中，在△AGE和△FGB中，，∴△AGE≌△FGB，∴BG=FG，取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，同理可证△APH≌△BFH，∴AP=BF，PE=CF=2BF，即PE∥CF，PE=CF，∴四边形CEPF是平行四边形，∴FP∥CE，∵BE⊥CE，∴FP⊥BE，即FH⊥BG，∴△ABF是中垂三角形，由（2）可知AB2+AF2=5BF2，∵AB=3，BF=AD=，∴9+AF2=5×（）2，∴AF=4．。
中考数学真题训练等腰三角形带答案和解释
适用优选文件资料分享2017 年中考数学真题优选训练- 等腰三角形（带答案和解说）第四章三角形第 19 课时等腰三角形江苏近 4 年中考真题优选命题点 1等腰三角形的性质与判断 (2016年 5 次，2015 年 12 次，2014 年 12次， 2013 年 8 次) 1. (2014盐城 7 题 3 分) 若等腰三角形的顶角为 40°，则它的底角度数为 ()A.40 °B.50 °C.60 °D.70°2.(2015苏州 7 题 3 分) 如图，在△ ABC中， AB＝AC，D为BC中点，∠ BAD＝35°，则∠C的度数为 ()A.35°B.45 °C. 55° D. 60 °第2题图第 3 题图 3. (2014扬州7题3分) 如图，已知∠ AOB＝60°，点 P 在边 OA上，OP＝12，点 M，N 在边OB上， PM＝PN，若 MN＝2，则 OM＝()2A.3B.4C.5D.64. (2016 淮安 16 题 3 分) 已知一个等腰三角形的两边长分别为 2 和 4，则该等腰三角形的周长是 ________．5. (2014 徐州 16 题 3 分) 如图，在等腰三角形纸片 ABC中， AB＝AC，∠ A＝50°，折叠该纸片，使点A落在点 B 处，折痕为 DE，则∠ CBE＝ ________．第5题图第 6 题图 6. (2016 宿迁 16 题 3 分 ) 如图，在矩形 ABCD中， AD＝4，点 P 是直线 AD上一动点，若满足△ PBC是等腰三角形的点 P 有且只有 3 个，则 AB的长为 ________． 7. (2015南通16题3分)如图，△ABC中， D是 BC上一点， AC＝AD＝DB，∠ BAC＝102°，则∠ ADC＝______度．第 7 题图 8. (2015南京25题10分)如图，在边长为4的正方形 ABCD中，请画出以 A 为一个极点，别的两个极点在正方形ABCD的边上，且含边长为3 的全部大小不一样的等腰三角形．( 要求：只要画出表示图，并在所画等腰三角形长为 3 的边上注明数字3) 第8 题图 9.(2015 宿迁 21 题 6 分) 如图，已知 AB＝AC＝AD，且 AD∥BC.求证：∠ C＝2∠D.第9题图命题点 2等边三角形的性质与判断(2016 年 1 次，2015 年 2 次，2014年 2 次， 2013 年 2 次) 10. (2016 常州 18 题 2 分) 如图，△ APB中，AB＝2，∠APB＝90°，在 AB的同侧作正△ ABD，正△ APE和正△PBC，则四边形 PCDE面积的最大值是 ________．第 10 题图答案 1. D 【分析】∵等腰三角形的两个底角相等，顶角是 40°，∴其底角为 180°－ 40°2＝70°. 2. C 【分析】∵ AB＝ AC，D为BC中点，∴∠ BAC＝2∠BAD＝70°，∴∠ C＝180°－ 70°2＝55°. 3.C【分析】如解图，过点P作PD⊥OB，交OB于点D，在Rt△OPD中，∵∠ AOB＝60°，∴∠ OPD＝30°，∴ OD＝ 12OP＝12×12＝ 6，∵ PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2，∴MD＝ND＝12MN＝1，∴OM＝ OD－MD＝6－1＝5.2第 3 题解图 4. 10【分析】若三条线段的长分别为2，2，4，∵2＋2＝4，∴它们不可以构成三角形，即此种状况不存在；若三条线段的长分别为 2，4，4，此时能构成三角形，且周长为 10. 故该等腰三角形的周长为 10. 5. 15 °【分析】∵ AB＝ AC，∠ A＝50°，∴∠ ACB＝∠ ABC＝12(180°－ 50°) ＝65°，∵将△ ABC折叠，使点 A 落在点B处，折痕为 DE，∠A＝50°，∴∠ ABE＝∠ A＝50°，∴∠ CBE＝∠ABC －∠ ABE＝65°－ 50°＝ 15°. 6. 4 或 23 【分析】满足△ PBC是等腰三角形的点 P 有且只有 3 个，以 BC为底的三角形必有一个： (1)如解图①，分别以 B，C为圆心， BC长为半径的圆与直线 AD有两个交点时，满足题意，以 BC为腰的等腰三角形中有一个与以 BC为底的三角形重合，∴△ P1BC是等边三角形，∠ ABP1＝30°，利用三角函数可求出 AB＝23；(2) 如解图②，当以 B 为圆心， BC长为半径的圆与直线 AD只有一个交点，此时也满足题意， AB＝BC＝4. 第 6 题解图 7.52【分析】∵AC＝AD＝DB，∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C，设∠B＝∠BAD＝ x，∴∠ ADC＝ 2x，∴∠ C＝ 2x，∴∠ B＋∠ C＝3x，∵∠ BAC＝102°，∴∠ B＋∠ C＝78°，∴ 3x＝78°，解得 x＝26°，∴∠ ADC＝52°. 8.【思想教练】3可能是等腰三角形的腰长，也可能是等腰三角形的底边长，等腰三角形的顶角可能是锐角，可能是直角，也可能是钝角．要把全部的问题考虑全．解：如解图所示．第8题解图9.证明：∵AB＝AD＝AC，∴∠ ABC＝∠ C，∠ABD＝∠ D，∵AD∥BC，∴∠ D＝∠ DBC＝∠ ABD，∴∠ C＝∠ ABC＝2∠ABD＝2∠D. 10. 1 【分析】连接 DE、DC，∵△ ABD，△APE，△BPC都是等边三角形，∴∠ EAD＝∠ EAP－∠ DAP＝∠ PAB，同理∠ PBA＝∠ CBD，∴△ AED≌△ APB(SAS)，△APB≌△ DCB(SAS)，∴ ED＝ PB，AP＝DC，∵ PB＝PC，AP＝EP，∴ ED＝PC，EP＝DC，∴四边形 PCDE是平行四边形，∠BCD＝∠ AED＝90°，∴S五边形 ABCDE＝S△ABD＋S△AED＋S△BCD， S?PCDE＝S 五边形ABCDE－S△APB－S△APE－S△BCP，S△AED＝S△BCD＝S△APB，S?PCDE＝S△ABD＋2S△APB－S△APB－S△APE－S△BPC＝S△ABD＋S△APB－S△APE－ S△BPC，设 AP＝x，BP＝y，原式＝ 34×22＋ 12xy－34x2－34y2＝3＋12xy－34(x2 ＋y2) ＝3＋12xy－3＝12xy＝S△APB，∴当 AP＝B P时， S?PCDE最大＝ S△ABP最大＝ 2×2×12＝ 1.。
中考数学考前小题狂做专题22等腰三角形含解析
等腰三角形一、选择题1. （2016 •山东烟台）如图，Rt△ ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，/ ABC=40 ,射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D,若射线。
将厶ABC 分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是（）A. 40°B. 70°C. 70° 或80°D. 80° 或140°【考点】角的计算.【分析】如图，点O是AB中点，连接DO易知点D在量角器上对应的度数=/ D0B=2BCD 只要求出/ BCD的度数即可解决问题.【解答】解：如图，点O是AB中点，连接DO•••点D在量角器上对应的度数=/ DOB=2BCD•••当射线。
将厶ABC分割出以BC为边的等腰三角形时，/ BCD=40 或70°,•••点D在量角器上对应的度数=/ DOB=2BCD=80或140°,砂---------------- C2. （2016 •山东枣庄）如图，在△ ABC中, AB = AC，/ A = 3 0°, E为BC延长线上一点，/ ABC与/ ACM平分线相交于点D,则/ D等于A . 15°B . 17. 5°C . 20 °D. 22.5 °第4题图【答案】A.【解析】试题分析：在△ ABC中，AB=AC Z A=30°,根据等腰三角形的性质可得/ ABC=/ ACB=75 ,所以/ ACE=180 - / ACB=180 -75 ° =105°，根据角平分线的性质可得/ DBC=37.5°,/ ACD=52.5°，即可得/ BCD=127.5°，根据三角形的内角和定理可得/ D=180° - / DBC-Z BCD=180 -37.5 ° -127.5 ° =15°，故答案选A.考点：等腰三角形的性质；三角形的内角和定理3. （2016.山东省泰安市，3分）如图，在△ PAB中，PA=PB M N K分别是PA PB, AB上的点，且AM=BK BN=AK若/ MKN=44，则/P 的度数为（）A. 44°B. 66°C. 88°D. 92°【分析】根据等腰三角形的性质得到/ A=Z B, 证明△ AMK^A BKN 得到/AMK M BKN根据三角形的外角的性质求出/ A=Z MKN=4°，根据三角形内角和定理计算即可.【解答】解：••• PA=PB•••/ A=Z B,在厶AMK和△ BKN中，•ZA=ZBAK=BN ,•△ AMK^ BKN•••/ AMK M BKN•••/ MKB M MKN乂NKB M A+Z AMK•••/ A=Z MKN=44 ,•Z P=180°-Z A-Z B=92°,故选：D.【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键.4. （2016 •江苏省扬州）如图，矩形纸片ABCD中, AB=4, BC=6.将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是（）A________________ DR ----------------------- rA. 6B. 3C. 2.5D. 2【考点】几何问题的最值.【分析】以BC为边作等腰直角三角形厶EBC延长BE交AD于卩，得厶ABF是等腰直角三角形，作EGLCD于6得厶EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去△ ABF △ BCE △ ECG 得到四边形EFDG此时剩余部分面积的最小【解答】解：如图以BC为边作等腰直角三角形厶EBC延长BE交AD于卩，得厶ABF是等腰直角三角形，作EGL CD于G得厶EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去△ ABF △ BCE △ ECG得到四边形EFDG此时剩余部分面积的最小=4X6--X4X4-」X 3X 6-丄X 3X 3=2.5 .2 2 2 故选C.DG二、填空题1. （2016 •湖北黄冈）如图，已知△ ABC, △ DCE, △ FEG, △ HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC, CE, EQ GI在同一条直线上，且AB=2, BC=1.连接AI，交FG于点Q则QI= ____________ .B C（第14题）【考点】相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质【分析】过点A作AM丄BC.根据等腰三角形的性质，得到MC=2 BC=1，从而MI=MC+CE+EG+GI=.再根据勾股定理，计算出AM和AI的值；根据等腰三角形的性质得出角相等，从而证明AC// GQ则厶IACIQG，故^ = ＞，可计算出QI=-4 .B MC E G I【解答】解：过点A作AML BC.根据等腰三角形的性质，得MC弓BC=2 .••• MI=MC+CE+EG+G7=.在Rt △ AMC中, A M=A C-M C= 2 2- (-2 ) 2=15.易证AC// GQ 则厶lAC s^ IQG• QI _ GI …AT= CI即^=4 • QI=4.故答案为：42. （2016 •四川资阳）如图，在3X3的方格中，A、B、C、D、E、F分别位于格点上，从C、D E、F四点中任取一点，与点A、B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是 '.4C、F时，所作三角形是等腰三角形，即可得出答案.【解答】解：根据从C、D E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D、C、F时，所作三角形是等腰三角形，3故P （所作三角形是等腰三角形）=］；故答案为：...3. （2016 •四川成都• 4分）如图，在矩形ABCD中，AB=3对角线AC, BD相交于点O, AE【考点】矩形的性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质.【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA=AB=OB=3得出BD=2OB=6由勾股定理求出AD即可.AI= AM2 2MI共有4种可能，选取D、占八【解答】解：•••四边形ABCD是矩形，•••OB=OD OA=OC AC=BD•••OA=OB•/ AE垂直平分OB• AB=AO• OA=AB=OB=3• BD=2OB=6• AD=.,t[|E ：・.一=3 ■；故答案为：3二.4. （2016 •四川达州• 3分）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ连接BQ若PA=6PB=8,PC=1Q则四边形APBQ的面积为24+9二_【考点】旋转的性质；等边三角形的性质.【分析】连结PQ如图，根据等边三角形的性质得/ BAC=60°, AB=AC再根据旋转的性质得AP=PQ=6 / PAQ=60，则可判断△ APQ为等边三角形，所以PQ=AP=6接着证明厶APC^△ ABQ得到PC=QB=10然后利用勾股定理的逆定理证明△PBQ为直角三角形，再根据三角形面积公式，利用S四边形APB=S\BPC+S\APQ进行计算.【解答】解：连结PQ如图，•••△ ABC为等边三角形，•/ BAC=60 , AB=AC•••线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ• AP=PQ=6 / PAQ=60 ,•△ APQ为等边三角形，• PQ=AP=6•••/ CAP+Z BAP=60，/ BAP+/ BAQ=60 ,•/ CAP玄BAQ在厶APC和△ ABQ中，03 • Z CAP=ZBAQ ，AP=AQ•••△ APC^A ABQ••• PC=QB=10在厶 BPQ 中，T P 扌=82=64, PQ=62, BQ=102, 而 64+36=100,• PB 2+P Q=B Q ,• △ PBQ 为直角三角形，/ BPQ=90 ,故答案为24+9「.B5. （2016江苏淮安，16 , 3分）已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4,则该等腰三 角形的周长是 10 . 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系.【分析】根据任意两边之和大于第三边，知道等腰三角形的腰的长度是4，底边长2,把三 条边的长度加起来就是它的周长.【解答】解：因为 2+2V 4,所以等腰三角形的腰的长度是 4,底边长2,周长：4+4+2=10,答：它的周长是10,故答案为：10【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是先判断出三角形的两条腰的长度，再根据三角 形的周长的计算方法，列式解答即可.6. （2016 •广东广州）如图 3, △ ABC 中，AB= AC, BC= 12cm,点 D 在 AC 上, DC=4cm , 将线段DC 沿CB 方向平移7cm 得到线段EF ，点E 、F 分别落在边AB BC 上，贝U A EBF 勺 周长是 cm.6 / 21S 四边形 APB(=S ^+S A =［难易］容易［考点］平移，等腰三角形等角对等边［解析］•/ CD沿CB平移7cm至EF.EF//CD,CF=7BF 二BC-CF=5,EF 二CD = 4, EFB —C:AB = AC,. . B—CEB 二EF =4C EBF = EB EF BF = 4 4 5 =13［参考答案］137. （2016 •广西贺州）如图，在△ ABC中，分别以AC BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE连接AE、BD交于点0,则/ AOB的度数为120°.D【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质.【分析】先证明•••△ DCB^A ACE再利用“8 字型”证明/ AOH M DCH=60即可解决问题. 【解答】解：如图：AC与BD交于点H•••△ ACD △ BCE都是等边三角形，• CD=CA CB=CE / ACD M BCE=60 ,•••/ DCB M ACE在厶DCB和厶ACE中，f CD=CA，ZDCB=ZACE,CB=CE•••△ DCB2A ACE•••/ CAE M CDB•••/DCH£CHD£BDC=180 , M AOH M AHO M CAE=180 , M DHC M OHA•••/ AOH M DCH=60 ,•M AOB=180 -M AOH=120 .故答案为120°【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会利用“8字型”证明角相等，属于中考常考题型.& （2016 •山东烟台）如图，0为数轴原点，A, B两点分别对应-3, 3,作腰长为4的等腰△ ABC连接0C以0为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M,则点M对应的实数为二.-3 -2 -10 1 2^3【考点】勾股定理；实数与数轴；等腰三角形的性质.【分析】先利用等腰三角形的性质得到OCL AB则利用勾股定理可计算出0C==，然后利用画法可得到OM=OC=—,于是可确定点M对应的数.【解答】解：•••△ ABC为等腰三角形，OA=OB=3•••OCL AB在Rt△ OBC中，°C=f,二‘ ：〕「='〔「r,•••以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M• •OM=OC= 1,•••点M对应的数为一・故答案为：9. （2016.山东省青岛市,3分）如图，以边长为20cm的正三角形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4cm长的六条线段，过截得的六个端点作所在边的垂线, 形成三个有两个直角的四边形.把它们沿图中虛线剪掉，用剩下的纸板折成一个底为正三角形的无盖柱形盒子，则它的容积为448 - 480 cm5.【考点】剪纸问题.【分析】由题意得出△ ABC为等边三角形，△ OPQ为等边三角形，得出/ A=Z B=Z C=60 , AB=BC=AC / POQ=60，连结AQ 作QM L OP于M 在Rt△ AOD中，/ OAD M OAK=30，得出0D=AD=2cm AD£OD=£cm,同理：BE=AD=^cm,求出PQ QM 无盖柱形盒子的容积=底面积X 高，即可得出结果.【解答】 解：如图，由题意得：△ ABC 为等边三角形，△ OPQ 为等边三角形，•••/ A=Z B=Z C=60 , AB=BC=AC / POQ=60 ,•••/ AD0M AK0=90 .连结AO 作QML OP 于M在 Rt △ AOD 中，/ OAD M OAK=3O ,•• OD= AD=2cm• AD= _OD=2 _cm, 同理：BE=AD=2_cm,• PQ=DE=2€ 2X2 _=20 - 4 - (cm ),•无盖柱形盒子的容积 =_X( 20 - 4 ~) (10 .一 - 6)X 4=448 _ - 480 ( cm 3); 故答案为：448 .二-480.10. （2016 •江苏泰州）如图，已知直线I 1//I 2，将等边三角形如图放置，若/ a =40°,则【考点】等边三角形的性质；平行线的性质.【分析】过点A 作AD//11，如图，根据平行线的性质可得/ BAD M B .根据平行线的传递性 可得AD//1 2,从而得到/ DAC M a =40°.再根据等边△ ABC 可得到/ BAC=60，就可求出 M DAC 从而解决问题.【解答】 解：过点A 作AD//1，如图，则/ BAD M 3 .'/I 1 /I 2,• AD//1 2,•••/ DAC M a =40° •/△ ABC 是等边三角形,• QM=OP?sin6°= ( 20 - 4 二)=10 二-6,•••/ B =Z BAD M BAC-Z DAC=60 - 40° =20° 故答案为20°.三.解答题1. (2016年浙江省宁波市) 从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线于对边相 交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中 一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.(1)如图1,在厶ABC 中，CD 为角平分线，Z A=40° , Z B=60°，求证：ABC 的完美分割线.(2) 在厶ABC 中，Z A=48°,。
2017年中考数学专题复习试卷分类汇编(解析版)：--解直角三角形专题
.选择题1. （ 2016山东省荷泽市 3分）如图，△ ABC 与厶A'B'C'都是等腰三角形，且 AB=AC=5, AB 'AC ' =3 若/B+ / B ' =90° 则 A ABC 与厶 A 'B'C 的面积比为（ ）【考点】互余两角三角函数的关系. 【分析】先根据等腰三角形的性质得到 / B=Z C , / B ' =C '，根据三角函数的定义得到 AD=AB?sinB , A D ' AB ' s ?B BC=2BD=2AB?;osB , B C ' =2 D ' =2B ' c ?sB '，然后根据三角 形面积公式即可得到结论. 【解答】解：过 A 作AD 丄BC 于D ，过A 作A D 丄B C 于D ', •••△ ABC 与厶A B C 都是等腰三角形, •••/ B= / C , / B ' M C ； BC=2BD , B C ' =B D ••• AD=AB?sinB , A D ' AB ' S ?B ； BC=2BD=2AB?cosB , B C ' =B D ' =A B ' c ?sB ； •••/ B+ / B ' =90° • sinB=cosB ', sinB ' cosB , •-S BAC 誌 AD7BC 令 AB?si nB?2AB?sosB=25s in B^osB , S A A B C =*A D ' B ? ' = B ' c ?sB ' A2B ' s ?B ' =9iB ' cosB ',•-S A BAC : S A A B C =25: 9.【点评】本题考查了互余两角的关系，解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知 元素的过程就是解直角三角形•也考查了等腰三角形的性质和三角形面积公式.2. （2016重庆市A 卷•分）某数学兴趣小组同学进行测量大树 CD 高度的综合实践活动， 解直角三角形2'A . 25： 9B . 5: 3C . . ~：D . 5. ： 3一扌 故选A .如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1 : 2.4,那么大树CD的高度约为（参考数据：sin36°~ 0.5%os36°~ 0.8，an36°~ 0.73A . 8.1 米B . 17.2 米C. 19.7 米 D . 25.5 米【分析】作BF丄AE于F,贝U FE = BD=6米，DE = BF，设BF=x米，贝U AF =2.4米，在Rt A ABF 中，由勾股定理得出方程，解方程求出DE=BF=5米，AF=12米，得出AE的长度，在Rt A ACE 中，由三角函数求出CE,即可得出结果.【解答】解：作BF丄AE于F，如图所示：贝U FE=BD=6 米，DE=BF ,•••斜面AB的坡度i=1 : 2.4,••• AF =2.4BF ,设BF=x 米，则AF=2.4x 米，在Rt A ABF中，由勾股定理得：x2+（2.4x）2=132,解得：x=5,•DE = BF=5 米，AF=12 米，•AE=AF + FE=18 米，在Rt A ACE 中，CE=AEtan36°18X0.73=13.14 米，•CD = CE- DE=13.14 米- 5 米~8.1 米；故选：A.【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数; 决问题的关键. 3. （ 2016浙江省绍兴市 4分）如图，在 Rt A ABC 中，/ B=90 ° / A=30 °以点A 为圆心, BC 长为半径画弧交 AB 于点D ，分别以点A 、D 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点 E , 连接AE , DE ，则/ EAD 的余弦值是（ A — B F E C 昼 D . 73 5 . 6 . 3 2 【考点】解直角三角形. 【分析】设BC=x ,由含30°角的直角三角形的性质得出 根据题意得出AD = BC=x , AE=DE=AB= ：;x ,作EM 丄AD 于M ，由等腰三角形的性质得出 111 1 AM^-AD^-x , 在 Rt A AEM 中，由三角函数的定义即可得出结果. 【解答】 解：如图所示：设 BC=x , •••在 Rt A ABC 中，/ B=90° , / A=30° ,故选：B . A M I 0 £7 L\ 、 Ec4. （2016重庆市B 卷4分）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是 15米的旗杆ED ,由勾股定理得出方程是解 AC=2BC=2x ,求出 AB= . 】BC=. ; x , 根据题意得： AD=BC=x , AE=DE=AB 「_;x ,在 Rt A AEM 中, cos / EAD= ANAE 13.5 ••• AC=2BC=2x , AB= ';BC= ：_;x , 作EM 丄AD 于M ，贝U AM =」-AD= x ,从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角a是45°旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：.则大楼AB的高度约为（）（精确到o.i 米，参考数据： 1.41 1.73 2.45I~IC DA. 30.6B. 32.1C. 37.9D. 39.4【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.【分析】延长AB交DC于H，作EG丄AB于G,则GH = DE=15米，EG=DH，设BH=x米, 则CH= .「;x米，在Rt A BCH中，BC=12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=6米，CH=6米，得出BG、EG的长度，证明△ AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=6. ：+20（米），即可得出大楼AB 的高度.【解答】解：延长AB交DC于H，作EG丄AB于G,如图所示：贝U GH = DE=15 米，EG=DH ,•••梯坎坡度i=1：「，••• BH : CH=1 ::-.,设BH=x 米，贝U CH= . lx 米，在Rt A BCH 中，BC=12 米，由勾股定理得：x2+ （一「；x）2=122,解得：x=6, • BH=6 米，CH=6. 一;米，•BG = GH - BH=15 - 6=9 （米），EG=DH=CH + CD=6 . :+20 （米），T/ a=45°,•••/ EAG=90°- 45° =45°,•△ AEG是等腰直角三角形，•AG = EG=6 . 1+20 （米），•AB=AG+BG=6 才£+20+A 39.4 （米）；故选：D.H C D【点评】本题考查了解直角三角形的应用-坡度、 俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求 出BH ，得出EG 是解决问题的关键.二.填空题1. （ 2016山东省荷泽市 3分）如图，在正方形 ABCD 外作等腰直角 △ CDE , DE = CE ,连 接 BE ,贝U tan / EBC= 二.~~【考点】正方形的性质；等腰直角三角形；解直角三角形.【专题】计算题.【分析】作EF 丄BC 于F ，如图，设DE=CE = a ,根据等腰直角三角形的性质得 CD=*CE=.:a , / DCE=45 °再利用正方形的性质得 CB=CD^2a , / BCD =90 °接着判断△ CEF 为等【解答】解：作 EF 丄BC 于F ，如图，设DE=CE=a ,•••△ CDE 为等腰直角三角形，••• CD= _ 】CE=.】a , / DCE=45° ,•••四边形ABCD 为正方形，• CB=CD^ ■:a , / BCD =90°,•••/ ECF=45° ,• △ CEF 为等腰直角三角形，腰直角三角形得到 CF = EF= V2 CE=^-' a ，然后在Rt A BEF 中根据正切的定义求解.即/ EBC —•3正方形的四条边都相等， 四个角都是直角；正方形的两 条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四 边形、矩形、菱形的一切性质•也考查了等腰直角三角形的性质.2. （2016湖北荆州3分）全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外•如图，张三同学 在东门城墙上C 处测得塑像底部 B 处的俯角为18°8 '，测得塑像顶部 A 处的仰角为45°点 D 在观测点C 正下方城墙底的地面上，若CD=10米，则此塑像的高 AB 约为 58 米（参考数据：tan 78° 12'~）4.8 7 C* 1 弊:二*「B D【分析】 直接利用锐角三角函数关系得出 EC 的长，进而得出 AE 的长，进而得出答案.【解答】 解：如图所示：由题意可得： CE 丄AB 于点E , BE=DC ,•// ECB=18° 48,'•••/ EBC=78° 12'则 tan78° 12'—=—=4.8, BE 10解得：EC=48 （m ）, •// AEC=45° 贝U AE=EC ,且 BE=DC=10m ,•此塑像的高 AB 约为：AE+EB=58 （米）.故答案为：58.一一 V2 宁一一 BFa 在 RtA BEF 中，tan / EBFE4啓匚 B D【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意得出EC 的长是解题关键. 三•解答题1. （ 2016湖北随州8分）某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝 雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为 30°山高857.5尺，组员从山脚 D 处沿山坡向 着雕像方向前进1620尺到达E 点，在点E 处测得雕像顶端 A 的仰角为60°求雕像AB 的 高度.【考点】 解直角三角形的应用-仰角俯角问题.【分析】构造直角三角形，利用锐角三角函数，进行简单计算即可.【解答】解：如图，过点E 作EF 丄AC , EG 丄CD , 在 Rt A DEG 中，•/ DE=1620, / D=30°•/ BC=857.5, CF=EG ,••• EG=••• BF=BC - CF=47.5, 在 Rt A BEF 中，tan / BEF=三一， EF • EF= -BF , 在 Rt A AEF 中，/ AEF=60° ,设 AB=x , •/ tan / AEF —二 BF • AF =EF xtan / AEF , • x+47.5=3 X 47.5, • x=95, 答：雕像AB 的高度为95尺. 2. （2016吉林7分）如图，某飞机于空中 A 处探测到目标 C ,此时飞行高度 AC=1200m , 从飞机上看地平面指挥台 B 的俯角a =43°，求飞机A 与指挥台B 的距离（结果取整数） （参考数sin43°0.68, cos43°=0.73, tan43° =0.93）答：飞机A 与指挥台B 的距离为1765m . 3. （2016江西8分）如图1是一副创意卡通圆规，图 OB 是旋转臂，使用时，以点 A 为支撑点，铅笔芯端点 OA=OB=10cm . 【考点】 解直角三角形的应用-仰角俯角问题. 【分析】先利用平行线的性质得到 / B= a =43°,然后利用/ B 的正弦计算AB 的长. 【解答】 解：如图，/ B= a =43° , 在 Rt A ABC 中，•/sinB= = AB = & 1765（m ）. 2是其平面示意图，OA 是支撑臂，B 可绕点A 旋转作出圆.已知（1）当/ AOB=18°时，求所作圆的半径；（结果精确到O.O1cm）（2）保持/ A0B=18°不变，在旋转臂0B末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度. （结果精确到0.01cm）（参考数据：sin9°~ 0.15@4cos9°~ 0.9877sin 18°~ 0.3090cos18°~ 0.95,可使用科学计算器）圉1【考点】解直角三角形的应用.【分析】（1）根据题意作辅助线OC丄AB于点C,根据OA=OB=10cm, / OCB=90°,/ AOB=18°,可以求得/ BOC的度数，从而可以求得AB的长；（2）由题意可知，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，则AE=AB,然后作出相应的辅助线，画出图形，从而可以求得BE的长，本题得以解决.【解答】解：（1）作OC丄AB于点C,如右图2所示，由题意可得，OA=OB=10cm, / OCB=90°, / AOB=18°,•••/ BOC=9°••• AB=2BC=2OB?sin9°~ 2X 10X 0.1564 5,即所作圆的半径约为 3.13cm；（2）作AD丄OB于点D,作AE=AB，如下图3所示，•••保持/ AOB=18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，•••折断的部分为BE,•••/ AOB=18°, OA=OB , / ODA =90°,•••/ OAB=81°, / OAD =72°,•••/ BAD=9° ,••• BE=2BD=2AB?sin9°~ 2X 3.13 X 0.1564 笔册98 即铅笔芯折断部分的长度是 0.98cm .4. （2016辽宁丹东10分）某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB 的高度•他们在 C64 °求建筑物的高度.（测角器的高度忽略不计，结果精确到【考点】 解直角三角形的应用-仰角俯角问题.【分析】Rt A ADB 中用AB 表示出BD 、Rt A ACB 中用AB 表示出BC ,根据CD = BC - BD 可 得关于AB 的方程，解方程可得.【解答】 解：根据题意，得 / ADB=64° , / ACB=48°AB 10 tan48& Ji11• CD = BC - BDsin48°^^, tan48°^^,sin64° J10 101A* #建/ /巩/ // /JT £（参考数据:jf fL_CDBAB 1贝VBD=处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°,再往建筑物的方向前进 6米到达D 处，测得仰角为在 Rt A ADB 中，tan64° -二：，在 Rt A ACB 中，tan48° =.AB ■，tan 64°~)2在 Rt △ ACF 中，tan / ACF肿 -_工 =tan2^ ACP tan Cl i 一丄一「在直角AB =x+ BF =4+ x (米)， 在直角 △ ABF 中， =AB ：=x+4tan/AEB3•/ CF - 解得：x= 则AB =~2~ 胡打 3V3+12+4=22答：树高AB 是心］"'（米）.1 AB -二AB2132 解得：AB=== y•••建筑物的高度约为 14.7 米.5. （2016四川宜宾）如图，CD 是一高为4米的平台，AB 是与CD 底部相平的 棵树，在平台顶C 点测得树顶A 点的仰角a =30° ,从平台底部向树的方向 水平前进3米到达点E ，在点E 处测得树顶A 点的仰角3=60° ,求树高AB （结【分析】作CF 丄AB 于点F ,设AF=x 米，在直角△ ACF 中利用三角函数用x 表示出CF 的长，在直角△ ABE 中表示出BE 的长，然后根据CF - BE = DE 即 可列方程求得x 的值，进而求得AB 的长. 【解答】解：作CF 丄AB 于点F ,设AF =x 米， ~ 14.7(米),三角形的应用-仰角俯角问题.△ ABE中， 则CF，(x+4 )米..，则 BEtan / AEB = BE = DE ,即 (x+4 ) =3 .D6. ( 2016湖北黄石8分)如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB 和BC两段，每一段山坡近似是直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角/ BAF=30° / CBE=45°.(1 )求AB段山坡的高度EF ;(2)求山峰的高度CF .(叮［F1.414, CF结果精确到米)【分析】(1)作BH丄AF于H，如图，在Rt A ABF中根据正弦的定义可计算出BH的长, 从而得到EF的长；(2)先在Rt A CBE中利用/ CBE的正弦计算出CE,然后计算CE和EF的和即可.【解答】解：(1)作BH丄AF于H，如图，在Rt A ABF 中，T sin/ BAH==,AB••• BH=800?si n30°=400,/• EF =BH =400m；(2)在Rt A CBE 中，T sin/ CBE=),BC•CE=200?sin45°=100 J 2^ 141.4•CF=CE+EF=141.4+400~541 ( m).答：AB段山坡高度为400米，山CF的高度约为541米.【点评】本题考查了解直角三角形的应用-坡度与坡角问题: 平宽度I 的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i 表示，常写成i=1: m 的形式.把坡面与水平面的夹角 a 叫做坡角，坡度i 与坡角a 之间的关系为：iTan a 7.( 2016湖北荆门6分)如图，天星山山脚下西端 A 处与东端B 处相距800 (1+ '■)米, 小军和小明同时分别从 A 处和B 处向山顶C 匀速行走.已知山的西端的坡角是 45°东端的 坡角是30°小军的行走速度为 *2米/秒•若小明与小军同时到达山顶 C 处，则小明的行走 【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.【分析】过点C 作CD 丄AB 于点D ，设AD=x 米，小明的行走速度是 a 米/秒，根据直角三 角形的性质用x 表示出AC 与BC 的长，再根据小明与小军同时到达山顶 C 处即可得出结论. 【解答】 解：过点C 作CD 丄AB 于点D ，设AD=x 米，小明的行走速度是 a 米/秒， •••/ A=45° , CD 丄 AB , ••• AD = CD=x 米， ••• AC=*x. 在 RtA BCD 中，坡度是坡面的铅直高度 h 和水速度是多少?• BC = sin3Q =2x ,•••小军的行走速度为.米/秒.若小明与小军同时到达山顶 C 处,•••/ B=30° ,8. （2016四川内江）（9分）如图8，禁渔期间，我渔政船在 A 处发现正北方向B 处有一艘可 疑船只，测得 A , B 两处距离为200海里，可疑船只正沿南偏东45。
中考数学专题复习之 22 等腰三角形(含解析)2 精编
22 等腰三角形(含解析)一、选择题1．（4分）（2016•怀化）如图，OP 为∠AOB 的角平分线，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C 、D ，则下列结论错误的是（ ）A ．PC =PDB ．∠CPD =∠DOPC ．∠CPO =∠DPOD ．OC =OD【考点】角平分线的性质．【分析】先根据角平分线的性质得出PC =PD ，再利用HL 证明△OCP ≌△ODP ，根据全等三角形的性质得出∠CPO =∠DPO ，OC =OD ．【解答】解：∵OP 为∠AOB 的角平分线，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C 、D ， ∴PC =PD ，故A 正确；在Rt △OCP 与Rt △ODP 中，OP OP PC PDì=ïïíï=ïî， ∴△OCP ≌△ODP ，∴∠CPO =∠DPO ，OC =OD ，故C 、D 正确．不能得出∠CPD =∠DOP ，故B 错误．故选B ．【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质，得出PC =PD 是解题的关键．2．（4分）（2016•怀化）等腰三角形的两边长分别为4cm 和8cm ，则它的周长为（ ）A ．16cmB ．17cmC ．20cmD ．16cm 或20cm【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论．当腰长为4cm 或是腰长为8cm 两种情况．【解答】解：等腰三角形的两边长分别为4cm 和8cm ，当腰长是4cm 时，则三角形的三边是4cm ，4cm ，8cm ，4cm+4cm=8cm 不满足三角形的三边关系；当腰长是8cm 时，三角形的三边是8cm ，8cm ，4cm ，三角形的周长是20cm ． 故选C ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．3．（4分）（2016•铜仁市）如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】角平分线的性质；平行线的性质．【专题】计算题．【分析】作PE⊥OA于E，如图，先利用平行线的性质得∠ECP=∠AOB=30°，则PE=12PC=2，然后根据角平分线的性质得到PD的长．【解答】解：作PE⊥OA于E，如图，∵CP∥OB，∴∠ECP=∠AOB=30°，在Rt△EPC中，PE=12PC=12×4=2，∵P是∠AOB平分线上一点，PE⊥OA，PD⊥OB，∴PD=PE=2．故选B．【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．解决本题的关键是把求P点到OB的距离转化为点P到OA的距离．2．（3分）（2016•呼伦贝尔）如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（）A．40°B．30°C．70°D．50°【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．【分析】根据AD ∥BC 可得出∠C=∠1=70°，再根据AB=AC 即可得出∠B=∠C=70°，结合三角形的内角和为180°，即可算出∠BAC 的大小．【解答】解：∵AD ∥BC ，∴∠C=∠1=70°，∵AB=AC ，∴∠B=∠C=70°，∴∠BAC=180°﹣∠B ﹣∠C=40°．故选A ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，解题的关键是找出∠B=∠C=70°．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质找出相等（或互补）的角是关键．3．（7分）（2016•呼伦贝尔）如图，分别以Rt △ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD 及等边△ABE ，已知：∠BAC=30°，EF ⊥AB ，垂足为F ，连接DF ．（1）试说明AC=EF ；（2）求证：四边形ADFE 是平行四边形．【考点】平行四边形的判定；等边三角形的性质．【分析】（1）首先由Rt △ABC 中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC ，又由△ABE 是等边三角形，EF ⊥AB ，由此得到AE=2AF ，并且AB=2AF ，然后证得△AFE ≌△BCA ，继而证得结论；（2）根据（1）知道EF=AC ，而△ACD 是等边三角形，所以EF=AC=AD ，并且AD ⊥AB ，而EF ⊥AB ，由此得到EF ∥AD ，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE 是平行四边形．【解答】证明：（1）∵Rt △ABC 中，∠BAC=30°，∴AB=2BC ，又∵△ABE 是等边三角形，EF ⊥AB ，∴AB=2AF∴AF=BC ，在Rt △AFE 和Rt △BCA 中，AF BC AE BA =⎧⎨=⎩， ∴Rt △AFE ≌Rt △BCA （HL ），∴AC=EF ；（2）∵△ACD 是等边三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD ，∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°又∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∵AC=EF，AC=AD，∴EF=AD，∴四边形ADFE是平行四边形．【点评】此题考查了平行四边形的判定、等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得Rt△AFE≌Rt△BCA是关键．4．（3分）（2016•十堰）如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（）A．10cm B．15cm C．D．【分析】根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长，设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到r，然后利用勾股定理计算出圆锥的高．【解答】解：过O作OE⊥AB于E，∵OA=OD=60cm，∠AOB=120°，∴∠A=∠B=30°，∴OE=12OA=30cm，∴弧CD的长=12030180·´=20π，设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=20π，解得r=10，∴圆锥的高=故选D．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．4．如图，I是△ABC的内心，AI的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BI、BD、DC．下列说法中错误的一项是（）A ．线段DB 绕点D 顺时针旋转一定能与线段DC 重合B ．线段DB 绕点D 顺时针旋转一定能与线段DI 重合C ．∠CAD 绕点A 顺时针旋转一定能与∠DAB 重合D ．线段ID 绕点I 顺时针旋转一定能与线段IB 重合【分析】根据I 是△ABC 的内心，得到AI 平分∠BAC ，BI 平分∠ABC ，由角平分线的定义得到∠BAD=∠CAD ，∠ABI=∠CBI 根据三角形外角的性质得到∠BDI=∠DIB ，根据等腰三角形的性质得到BD=DI ．【解答】解：∵I 是△ABC 的内心，∴AI 平分∠BAC ，BI 平分∠ABC ，∠ABI=∠CBI ，∴∠BAD=∠CAD ，故C 正确，不符合题意；∴ CDBD ，∴BD=CD ，故A 正确，不符合题意； ∵∠DAC=∠DBC ，∴∠BAD=∠DBC ，∵∠IBD=∠IBC+∠DBC ，∠BID=∠ABI+∠BAD ，∴∠BDI=∠DIB ，∴BD=DI ，故B 正确，不符合题意；故选D ．【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心的，以及等腰三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等．2．平面直角坐标系中，已知A （2，2）、B （4，0）．若在坐标轴上取点C ，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质．【分析】由点A 、B 的坐标可得到AB =AC =AB ；若BC =AB ；若CA =CB ，确定C 点的个数．【解答】解：∵点A 、B 的坐标分别为（2，2）、B （4，0）．∴AB =①若AC=AB，以A为圆心，AB为半径画弧与坐标轴有4个交点（含B点），即满足△ABC 是等腰三角形的P点有3个；②若BC=AB，以B为圆心，BA为半径画弧与坐标轴有2个交点（A点除外），即满足△ABC 是等腰三角形的P点有2个；③若CA=CB，作AB的垂直平分线与坐标轴有两个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C 点有2个；在一条直线上的要舍去，所以点C在坐标轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有5个．故选A．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，也考查了通过坐标确定图形的性质以及分类讨论思想的运用．5．1．（2016•湘西州）一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（）A．13cm B．14cm C．13cm或14cm D．以上都不对【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】分4cm为等腰三角形的腰和5cm为等腰三角形的腰，先判断符合不符合三边关系，再求出周长．【解答】解：当4cm为等腰三角形的腰时，三角形的三边分别是4cm，4cm，5cm符合三角形的三边关系，∴周长为13cm；当5cm为等腰三角形的腰时，三边分别是，5cm，5cm，4cm，符合三角形的三边关系，∴周长为14cm，故选C【点评】此题是等腰三角形的性质题，主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分类考虑是解本题的关键．1．（2016•陕西）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（）A．7B．8C．9D．10【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理．【分析】根据三角形中位线定理求出DE，得到DF∥BM，再证明EC=EF=12AC，由此即可解决问题．【解答】解：在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，∴10，∵DE是△ABC的中位线，∴DF∥BM，DE=12BC=3，∴∠EFC=∠FCM，∵∠FCE=∠FCM，∴∠EFC=∠ECF，∴EC=EF=12AC=5，∴DF=DE+EF=3+5=8．故选B．【点评】本题考查三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，掌握等腰三角形的判定和性质，属于中考常考题型．1．（3分）（2016•黑龙江）若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，则△ABC 的面积为（）A．2+3B．332C．2+3或2﹣3D．4+23或2﹣3【考点】三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质．【专题】探究型．【分析】根据题意可以画出相应的图形，然后根据不同情况，求出相应的边的长度，从而可以求出不同情况下△ABC的面积，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，如右图所示，存在两种情况，当△ABC为△A1BC时，连接OB、OC，∵点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，OB=OC，∴△OBC 为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA 1⊥BC 于点D ，∴CD=1，OD=31222=-， ∴2)32(221-⨯=⨯='∆D A BC S C B A =2﹣3，当△ABC 为△A 2BC 时，连接OB 、OC ，∵点O 是等腰△ABC 的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，OB=OC ，∴△OBC 为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA 1⊥BC 于点D ，∴CD=1，OD=31222=-，∴S △A2BC =2)32(222+⨯=⨯DA BC =2+3，由上可得，△ABC 的面积为32-或2+3，故选C ．【点评】本题考查三角形的外接圆和外心，等腰三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答问题．1．（4分）（2016•甘孜州）如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，ED ∥BC ，已知AB=3，AD=1，则△AED 的周长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD ，根据两直线平行，内错角相等可得∠CBD=∠BDE ，从而得到∠ABD=∠BDE ，再根据等角对等边可得BE=DE ，然后求出△AED 的周长=AB +AD ，代入数据计算即可得解．【解答】解：∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD ，∵ED∥BC，∴∠CBD=∠BDE，∴∠ABD=∠BDE，∴BE=DE，△AED的周长=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD，∵AB=3，AD=1，∴△AED的周长=3+1=4．故选C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟记性质并推导出BE=DE 是解题的关键．1．（3分）（2016•菏泽）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=6x在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC﹣S△BAD为（）A．36 B．12 C．6 D．3【考点】反比例函数系数k的几何意义；等腰直角三角形．【分析】设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，结合等腰直角三角形的性质及图象可得出点B的坐标，根据三角形的面积公式结合反比例函数系数k的几何意义以及点B的坐标即可得出结论．【解答】解：设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，则点B的坐标为（a+b，a﹣b）．∵点B在反比例函数y=6x的第一象限图象上，∴（a+b）×（a﹣b）=a2﹣b2=6．∴S△OAC﹣S△BAD=12a2﹣12b2=12（a2﹣b2）=12×6=3．故选D．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、等腰三角形的性质以及面积公式，解题的关键是找出a2﹣b2的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，设出等腰直角三角形的直角边，用其表示出反比例函数上点的坐标是关键．1．（3分）（2016•荆门）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A．5B．6C．8D．10【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD=CD，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD=CD，∵AB=5，AD=3，∴，∴BC=2BD=8，故选C．【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．2．（3分）（2016•荆门）已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（）A．7B．10C．11D．10或11【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【分析】把x=3代入已知方程求得m的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC 的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．【解答】解：把x=3代入方程得9﹣3（m+1）+2m=0，解得m=6，则原方程为x2﹣7x+12=0，解得x1=3，x2=4，因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11；②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10．综上所述，该△ABC的周长为10或11．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了三角形三边的关系．6．7．8．9．10．11．12．13．14．15．16．17．18．19．20．二、填空题1．（4分）（2016•铜仁市）如图，点A，B，C在⊙O上，∠OBC=18°，则∠A=72°．【考点】圆周角定理．【专题】计算题；圆的有关概念及性质．【分析】由OB=OC，利用等边对等角得到一对角相等，进而求出∠BOC的度数，再利用圆周角定理求出∠A的度数即可．【解答】解：∵OB=OC，∠OBC=18°，∴∠OBC=∠OCB=18°，∴∠BOC=144°，∵∠A与∠BOC都对 BC，∴∠A=72°，故答案为：72°【点评】此题考查了圆周角定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．2．已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x2﹣8x+15=0的根，则该等腰三角形的周长为19或21或23．【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【分析】求出方程的解，分为两种情况，看看是否符合三角形三边关系定理，求出即可．【解答】解：由方程x2﹣8x+15=0得：（x﹣3）（x﹣5）=0，∴x﹣3=0或x﹣5=0，解得：x=3或x=5，当等腰三角形的三边长为9、9、3时，其周长为21；当等腰三角形的三边长为9、9、5时，其周长为23；当等腰三角形的三边长为9、3、3时，3+3＜9，不符合三角形三边关系定理，舍去；当等腰三角形的三边长为9、5、5时，其周长为19；综上，该等腰三角形的周长为19或21或23，故答案为：19或21或23．【点评】本题考查了解一元二次方程和等腰三角形性质，三角形的三边关系定理的应用，因式分解法求出方程的解是根本，根据等腰三角形的性质分类讨论是关键．2．3．4．5．6．3．4．1．（2016•长沙）如图，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为13．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA=EB，则△BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，故答案为：13．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．1．（3分）（2016•黑龙江）如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次変换，如果这样连续经过2016次变换后，等边△ABC的顶点C【考点】翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质；坐标与图形变化-平移．【专题】规律型．【分析】据轴对称判断出点A 变换后在x 轴上方，然后求出点A 纵坐标，再根据平移的距离求出点A 变换后的横坐标，最后写出即可．【解答】解：解：∵△ABC 是等边三角形AB=3﹣1=2，∴点C 到x 轴的距离为1+2×23=3+1， 横坐标为2，∴A （2，3+1）， 第2016次变换后的三角形在x 轴上方，点A 的纵坐标为3+1，横坐标为2﹣2016×1=﹣2014，所以，点A 的对应点A′的坐标是（﹣2014，3+1），故答案为：（﹣2014，3+1）．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，等边三角形的性质，读懂题目信息，确定出连续2016次这样的变换得到三角形在x 轴上方是解题的关键．2．（3分）（2016•齐齐哈尔）有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为 20和20 ．【考点】正方形的性质；等腰三角形的性质．【专题】分类讨论．【分析】分两种情形讨论①当30度角是等腰三角形的顶角，②当30度角是底角，分别作腰上的高即可．【解答】解：如图1中，当∠A=30°，AB=AC 时，设AB=AC=a ，作BD ⊥AC 于D ，∵∠A=30°，∴BD=AB=a ，∴•a•a=5，∴a2=20，∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20．如图2中，当∠ABC=30°，AB=AC时，作BD⊥CA交CA的延长线于D，设AB=AC=a，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=30°，∴∠BAC=120°，∠BAD=60°，在RT△ABD中，∵∠D=90°，∠BAD=60°，∴BD=a，∴•a•a=5，∴a2=20，∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20．故答案为20或20．【点评】本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．1．（4分）（2016•黔南州）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线ED 交AB于点E，交BC于点D，若CD=3，则BD的长为6．【考点】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等可得AD=BD，可得∠DAE=30°，易得∠ADC=60°，∠CAD=30°，则AD为∠BAC的角平分线，由角平分线的性质得DE=CD=3，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2DE，得结果．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠DAE=∠B=30°，∴∠ADC=60°，∴∠CAD=30°，∴AD 为∠BAC 的角平分线，∵∠C=90°，DE ⊥AB ，∴DE=CD=3，∵∠B=30°，∴BD=2DE=6，故答案为：6．【点评】本题主要考查了垂直平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．2．1．（3分）（2016•大庆）一艘轮船在小岛A 的北偏东60°方向距小岛80海里的B 处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C 处，则该船行驶的速度为 334040+ 海里/小时．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】设该船行驶的速度为x 海里/时，由已知可得BC=3x ，AQ ⊥BC ，∠BAQ=60°，∠CAQ=45°，AB=80海里，在直角三角形ABQ 中求出AQ 、BQ ，再在直角三角形AQC 中求出CQ ，得出BC=40+403=3x ，解方程即可．【解答】解：如图所示：设该船行驶的速度为x 海里/时，3小时后到达小岛的北偏西45°的C 处，由题意得：AB=80海里，BC=3x 海里，在直角三角形ABQ 中，∠BAQ=60°，∴∠B=90°﹣60°=30°，∴AQ=21AB=40，BQ=3AQ=403， 在直角三角形AQC 中，∠CAQ=45°，∴CQ=AQ=40，∴BC=40+403=3x ，解得：x=334040+． 即该船行驶的速度为334040+海里/时； 故答案为：334040+．【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题、等腰直角三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；通过解直角三角形得出方程是解决问题的关键．2．（3分）（2016•哈尔滨）如图，在菱形ABCD 中，∠BAD =120°，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，△BEF 与△GEF 关于直线EF 对称，点B 的对称点是点G ，且点G 在边AD 上．若EG ⊥AC ，AB =FG 的长为【考点】菱形的性质．【分析】首先证明△ABC ，△ADC 都是等边三角形，再证明FG 是菱形的高，根据2•S △ABC =BC •FG 即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD =120°，∴AB =BC =CD =AD ，∠CAB =∠CAD =60°，∴△ABC ，△ACD 是等边三角形，∵EG ⊥AC ，∴∠AEG =∠AGE =30°，∵∠B =∠EGF =60°，∴∠AGF =90°，∴FG ⊥BC ，∴2•S △ABC =BC •FG ，∴(22FG =，∴FG =故答案为【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、翻折变换、菱形的面积等知识，菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半，常借此等面积思想来求线段长．1．（3分）（2016•龙岩）如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE=1，∠E=30°，则BC=2．【考点】等边三角形的性质．【分析】先证明BC=2CD，证明△CDE是等腰三角形即可解决问题．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，BA=BC，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠E=30°，BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∴BC=2DC，∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴∠CDE=∠E=30°，∴CD=CE=1，∴BC=2CD=2，故答案为2【点评】不同考查等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．1．（3分）（2016•菏泽）如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接BE，则tan∠EBC=13．【考点】正方形的性质；等腰直角三角形；解直角三角形．【专题】计算题．【分析】作EF⊥BC于F，如图，设DE=CE=a，根据等腰直角三角形的性质得CDCE，∠DCE=45°，再利用正方形的性质得CB=CD，∠BCD=90°，接着判断△CEF为等腰直角三角形得到CF=EFa，然后在Rt△BEF中根据正切的定义求解．【解答】解：作EF⊥BC于F，如图，设DE=CE=a，∵△CDE为等腰直角三角形，∴CD，∠DCE=45°，∵四边形ABCD为正方形，∴CB=CD，∠BCD=90°，∴∠ECF=45°，∴△CEF为等腰直角三角形，∴CF=EF=2CE=2a，在Rt△BEF中，tan∠EBF=EFBFa=13，即∠EBC=13．故答案为13．【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．也考查了等腰直角三角形的性质．1．（3分）（2016•荆门）如图，已知点A（1，2）是反比例函数y=kx图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点；若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的性质．【分析】由对称性可知O为AB的中点，则当△PAB为等腰三角形时只能有PA=AB或PB=AB，设P点坐标为（x，0），可分别表示出PA和PB，从而可得到关与x的方程，可求得x，可求得P点坐标．【解答】解：∵反比例函数y=kx图象关于原点对称，∴A、B两点关于O对称，∴O为AB的中点，且B（﹣1，﹣2），∴当△PAB为等腰三角形时有PA=AB或PB=AB，设P点坐标为（x，0），∵A（1，2），B（﹣1，﹣2），∴，当PA=AB x=﹣3或5，此时P点坐标为（﹣3，0）或（5，0）；当PB=AB x=3或﹣5，此时P点坐标为（3，0）或（﹣5，0）；综上可知P点的坐标为（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0），故答案为：（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质和反比例函数的对称性，判断出只有PA=AB或PB=AB两种情况是解题的关键，注意方程思想的应用．2．5．6．7．8．9．10．11．12．13．14．15．16．17．18．19．20．三、解答题1．（10分）（2016•铜仁市）如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上，求证：DE=DF．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【专题】证明题．【分析】连接CD，构建全等三角形，证明△ECD≌△FBD即可．【解答】解：连接CD，∵∠C=90°，D是AB的中点，∴CD=12AB=BD，∴CD⊥AB，∠ACD=∠B=45°，∴∠CDF+∠BDF=90°，∵ED⊥DF，∴∠EDF=90°，∴∠EDC+∠CDF=90°，∴∠EDC=∠BDF，∴△ECD≌△FBD，∴DE=DF．【点评】本题考查了等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，运用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形三线合一的性质，同时要熟知等腰直角三角形的特殊性：如两个锐角都是45°；在全等三角形的证明中，常运用同角的余角相等来证明角相等．2．（12分）（2016•铜仁市）如图，已知AB是⊙O的直径，点P为圆上一点，点C为AB延长线上一点，PA=PC，∠C=30°．（1）求证：CP是⊙O的切线．（2）若⊙O的直径为8，求阴影部分的面积．【考点】切线的判定；扇形面积的计算．【分析】（1）连接OP，由等腰三角形的性质得出∠C=∠OPA=30°，∠APC=120°，求出∠OPC=90°即可；（2）证明△OBP是等边三角形，阴影部分的面积=扇形OBP的面积﹣△OBP的面积，即可得出结果．【解答】（1）证明：连接OP，如图所示：∵PA=PC，∠C=30°，∴∠A=∠C=30°，∴∠APC=120°，∵OA=OP，∴∠OPA=∠A=30°，∴∠OPC=120°﹣30°=90°，∴CP 是⊙O 的切线．（2）解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠APB=90°，∴∠OBP=90°﹣∠A=60°，∵OP=OB=4，∴△OBP 是等边三角形，∴阴影部分的面积=扇形OBP 的面积﹣△OBP 的面积=2604360π ﹣1283π﹣【点评】本题考查的是切线的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、扇形面积公式等知识；熟练掌握切线的判定．证明三角形是等边三角形是解决问题（2）的关键．3．（12分）（2016•铜仁市）如图，已知AB 是⊙O 的直径，点P 为圆上一点，点C 为AB 延长线上一点，PA=PC ，∠C=30°．（1）求证：CP 是⊙O 的切线．（2）若⊙O 的直径为8，求阴影部分的面积．【考点】切线的判定；扇形面积的计算．【分析】（1）连接OP ，由等腰三角形的性质得出∠C=∠OPA=30°，∠APC=120°，求出∠OPC=90°即可；（2）证明△OBP 是等边三角形，阴影部分的面积=扇形OBP 的面积﹣△OBP 的面积，即可得出结果．【解答】（1）证明：连接OP ，如图所示：∵PA=PC，∠C=30°，∴∠A=∠C=30°，∴∠APC=120°，∵OA=OP，∴∠OPA=∠A=30°，∴∠OPC=120°﹣30°=90°，即OP⊥CP，∴CP 是⊙O 的切线．（2）解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠APB=90°，∴∠OBP=90°﹣∠A=60°，∵OP=OB=4，∴△OBP 是等边三角形，∴阴影部分的面积=扇形OBP 的面积﹣△OBP 的面积=2604360π ﹣1283π﹣【点评】本题考查的是切线的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、扇形面积公式等知识；熟练掌握切线的判定．证明三角形是等边三角形是解决问题（2）的关键．4． （10分）（2016•株洲）已知AB 是半径为1的圆O 直径，C 是圆上一点，D 是BC 延长线上一点，过点D 的直线交AC 于E 点，且△AEF 为等边三角形（1）求证：△DFB 是等腰三角形；（2）若，求证：CF ⊥AB ．【考点】圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；垂径定理．【分析】（1）由AB 是⊙O 直径，得到∠ACB=90°，由于△AEF 为等边三角形，得到∠CAB=∠EFA=60°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；（2）过点A 作AM ⊥DF 于点M ，设AF=2a ，根据等边三角形的性质得到FM=EN=a ，，在根据已知条件得到AB=AF +BF=8a ，根据直角三角形的性质得到AE=EF=AF=CE=2a ，推出∠ECF=∠EFC ，根据三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：（1）∵AB 是⊙O 直径，∴∠ACB=90°，∵△AEF 为等边三角形，∴∠CAB=∠EFA=60°，∴∠B=30°，∵∠EFA=∠B+∠FDB，∴∠B=∠FDB=30°，∴△DFB是等腰三角形；（2）过点A作AM⊥DF于点M，设AF=2a，∵△AEF是等边三角形，∴FM=EN=a，，在Rt△DAM中，，，∴DM=5a，∴DF=BF=6a，∴AB=AF+BF=8a，在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=4a，∵AE=EF=AF=CE=2a，∴∠ECF=∠EFC，∵∠AEF=∠ECF+∠EFC=60°，∴∠CFE=30°，∴∠AFC=∠AFE+∠EFC=60°+30°=90°，∴CF⊥AB．【点评】本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．5．如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于点F，连接DF、DC．已知OA=OB，CA=CB，DE=10，DF=6．（1）求证：①直线AB是⊙O的切线；②∠FDC=∠EDC；（2）求CD的长．【分析】（1）①欲证明直线AB是⊙O的切线，只要证明OC⊥AB即可．②首先证明OC∥DF，再证明∠FDC=∠OCD，∠EDC=∠OCD即可．（2）作ON⊥DF于N，延长DF交AB于M，在RT△CDM中，求出DM、CM即可解决问题．【解答】（1）①证明：连接OC．∵OA=OB，AC=CB，∴OC ⊥AB ，∵点C 在⊙O 上，∴AB 是⊙O 切线．②证明：∵OA=OB ，AC=CB ，∴∠AOC=∠BOC ，∵OD=OF ，∴∠ODF=∠OFD ，∵∠AOB=∠ODF+∠OFD=∠AOC+∠BOC ，∴∠BOC=∠OFD ，∴OC ∥DF ，∴∠CDF=∠OCD ，∵OD=OC ，∴∠ODC=∠OCD ，∴∠ADC=∠CDF ．（2）作ON ⊥DF 于N ，延长DF 交AB 于M ．∵ON ⊥DF ，∴DN=NF=3，在RT △ODN 中，∵∠OND=90°，OD=5，DN=3，∴ON=22DN OD -=4，∴OC ∥DF ，∵∠OCM+∠CMN=180°，∠OCM=90°，∴∠OCM=∠CMN=∠MNO=90°，∴四边形OCMN 是矩形，∴ON=CM=4，MN=OC=5，在RT △CDM 中，∵∠DMC=90°，CM=4，DM=DN+MN=8，∴CD=22CM DM +=2248+=54．【点评】本题考查切线的判定，等腰三角形的性质、垂径定理、平行线的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．2．1．1．19．（10分）（2016•安徽）如图，河的两岸l 1与l 2相互平行，A 、B 是l 1上的两点，C 、D 是l 2上的两点，某人在点A 处测得∠CAB=90°，∠DAB=30°，再沿AB 方向前进20米到达点E （点E 在线段AB 上），测得∠DEB=60°，求C 、D 两点间的距离．。
2017年中考真题分类解析 等腰三角形与等边三角形
一、选择题1. 6. 7．(2017年四川南充，7，3分)如图4，等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为( ) A ．(1，1) B ．1) C ．D ．(1答案：D 解析：过点B 作BC ⊥OA 于点C ，则OC ＝1，BCB 的坐标为与则点P 到AB 所在直线的距离等于 A ．1 B C.32D ．2（第6题）PB答案：A ，解析：在Rt △ABC 中，连接CP 并延长至AB 于点D ,由三角形的重心性质得到，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1，即:21CP PD =：;又∵AC=BC ，在等腰直角△ABC 中，由三线合一，得到CD 垂直平分线段AB ，AB =6，∴CD =BD =3，点P 到AB 所在直线的距离即为PD 的长度，即PD =1.4. （2017浙江台州，8，4分）如图，已知等腰三角形ABC AB AC =，，若以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰AC 于点E ，则下列结论一定正确的是（ ）A ． AE =ECB ．AE =BEC ． ∠EBC =∠BACD ．∠EBC =∠ABE答案：C ，解析：∵△ABC 是等腰三角形， AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB .又∵BC ＝BE ，∴∠ACB ＝∠BEC ，∴∠BAC ＝∠EBC ，因此选C ．5. （2017内蒙古包头）若等腰三角形的周长为10cm ，其中一边长为2cm ，则该等腰三角形的底边长为（ ） A ． 2cm B ． 4cm C . 6cm D ．8cm答案：A ，解析：考点等腰三角形的性质及三角形的三边关系.（1）若底边长为2cm ，则腰长为(102)24cm -÷=，4+2＞4符合三角形三边关系，所以该等腰三角形的底边长为2cm ；（2）若腰长为2cm ，则底边长为10226cm -⨯=，2+2＜6不符合三角形三边关系，所以该等腰三角形的底边长为6cm 舍去.6. （2017广西河池，12，3分）已知等边△ABC 的边长为12， D 是AB 上的动点，过D 作DE ⊥AC 于点E ，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G.当G与D重合时，AD的长是（）A．3B．4C.8D．9答案：C解析：由题易知△DEF为等边三角形，x＋2x＝12解得x＝4，∴AD＝2x＝87.（2017湖北荆州，6，3分）如图，在△ABC中，AB＝AC, ∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于点D，则∠CBD的度数为（）A.30°B.45°C.50°D.75°答案：B，解析：∵AB=AC，∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=75°，∵AB的垂直平分线交AC于D，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=30°，∴∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．8.（2017四川雅安，7，3分）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2－7x＋12＝0的一根，此三角形的周长是A．12 B．13 C．14 D．12或14答案：C，解析：一元二次方程x2－7x＋12＝0的两根分别为3，4，所以腰长有两种情况：①腰长为3，底边为6，此时三角形三边关系为3+3=6,不符合“三角形任意两边之和大于第三边”，故不成立；②腰长为4，此时三角形三边符合“三角形任意两边之和大于第三边”，所以周长为4+4+6=14．9. 13．(2017海南，13，3分)已知△ABC 的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）条A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】如图所示，共有4种画法二、填空题1.（2017浙江丽水·12·4分）等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是答案：100°.解析：根据三角形的内角和等于1800，又等腰三角形的一个内角为100°，所以这个100°的内角只可能是顶角，2.⊥以3.∴12×4×DE＋12×4×DF＝12×4×CG.∴DE＋DF＝CG＝23.4.∴1.（2017四川内江，18，9分）如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形.思路分析：如图，直接利用平行线的性质得出∠1＝∠3，进而利用角平分线的定义结合互余的性质得出∠B ＝∠BDE ，即可得出答案．证明：∵DE ∥AC ，∴∠1＝∠3． ∵AD 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2． ∴∠2＝∠3．∵AD ⊥BD ，∴∠2+∠B ＝90°，∠3+∠BD E ＝90°. ∴∠B ＝∠BDE ．∴△BDE 是等腰三角形．2. （2017江苏连云港，22，10分） 如图，已知等腰三角形ABC 中，AB AC =，点D ,E 分别在边AB 、AC 上，且AD AE =，连接BE 、CD ，交于点F .(1)判断ABE ∠与ACD ∠的数量关系，并说明理由； (2)求证：过点A 、F 的直线垂直平分线段BC .思路分析：（1）根据全等三角形的判定SAS 可证明△ABE ≌△ACD ，然后证ABE ∠=ACD ∠，（2）根据（1）的结论可得AB =AC ，从而得ABC ACB =∠∠，∵ABE ACD =∠∠∴FBC FCB =∠∠∴FB FC =，得点A 、F 均在线段BC 的垂直平分线上，即可证出结论，解：(1)ABE ACD =∠∠.因为AB AC =，BAE CAD =∠∠，AE AD =，所以ABE ACD △≌△. 所以ABE ACD =∠∠.(2)因为AB AC =，所以ABC ACB =∠∠.由(1)可知ABE ACD=∠∠，所以FBC FCB=∠∠，所以FB FC=.又因为AB AC=，所以点A、F均在线段BC的垂直平分线上，即直线AF垂直平分线段BC．3. 18．（2017呼和浩特）（6分）如图，等腰三角形ABC中，BD，CE分别是两腰上的中线．（1）求证：BD＝CE（2）设BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点．当△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN的形状，无需说明理由．（1）证明：∵AB、AC为等腰三角形的两腰∴AB＝AC∵BD，CE分别是两腰上的中线∴AE＝AD在△AEC与△ADB中AE＝AD∠A＝∠AAC＝AB∴△AEC≌△ADB∴BD＝CE（2）四边形DEMN为正方形4. 26．（2017宁夏，9分在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点P分别作PM⊥AB，PN⊥AC，M、N分别为垂足．（1）求证：不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；（2）当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大，并求出最大值．NMP CBA思路分析：（1）连结AP，将△ABC分割成两个三角形，结合等边三角形的三条边相等，利用面积公式，即可求证结论；（2）设BP的长为x，利用面积的和差关系，将四边形AMPN的面积S用含x的代数式表示，将几何问题转换成代数式求最值问题，在此即是S关于x 的二次函数，运用配方法求出最值．（1）解：连结AP，∵△ABC是等边三角形，故不妨设AB=BC=AC=a，其中BC边上的高记作h，∴S四边形AMPN= S△ABC -S△BMP -S△PNC28x-8(2-x)2= -4(x-1)2+4∴ 当BP =1时，四边形AMPN 的面积最大，是334．5. （2017北京，19，5分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ． 求证：AD ＝BC ．DCB A思路分析：由等腰三角形性质及三角形内角和定理，可求出∠AB D ＝∠C ＝BDC . 再据等角对等边，及等量代换即可求解．解：∵AB ＝AC , ∠A ＝36°∴∠ABC ＝∠C ＝12(180°-∠A )＝12×(180°-36°)＝72°，又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠DBC ＝12∠ABC ＝12×72°＝36°，∠BDC ＝∠A +∠ABD ＝36°+36°＝72°， ∴∠C＝∠BDC ，∠A ＝∠ABD ，∴AD ＝BD ＝BC ．6. （2017黑龙江大庆，24， 7分）如图，以BC 为底边的等腰ABC ∆，点G E D ,,分别在AC AB BC ,,上，且BC EG //，AC DE //，延长GE 至点F ，使得BF BE =.（1）求证：四边形BDEF 为平行四边形；（2）当045=∠C ，2=BD 时，求F D ,两点间的距离.思路分析:（1）证明两组对比分别平行（2）构造直角△DHF ，利用勾股定理求解解：（1）∵EG ∥BC ，∴EF ∥BD ，∴∠AEG =∠ABC ，AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB =∠AGF ,又BE =BF ，∴∠F =∠FEB =∠AEG =∠AGE ,∴BF ∥AC ，∵ED ∥AC ，∴BF ∥DE ，∴四边形BDEF 为平行四边形.（2）如图,作FH ⊥DE ，交DE 延长线于点H ，则四边形FBEH 为正方形，FH =EH =EB .∵∠ACB=45°，∴△ABC 和△EDB 都是等腰直角三角形，∵BD =2，∴BE =2×sin45°=2，∴FH =2,HD =22,在Rt △FHD 中，DF =22FH HD +=82+=107.、OQE ＝45°，写出结论.（2）（1）中的结论成立.证△PCE ≌△EDQ 可得EP ＝EQ ． （3）∠AOB 的度数＝12（四边形的内角和－∠AGB 的度数）． 解：（1）EP ＝EQ ．连接OE ．∵∠AOB ＝90°，E 是AB 的中点，∴OE ＝AE ．又∵OP＝AP，∴PE垂直平分OA，∴点C在PE上．∵∠OP A＝90°，∴∠OPE＝12∠OP A＝45°．同理可证∠OQE＝45°．∴EP＝EQ．（2）∵△OP A等腰直角三角形，点C是OA的中点，∴OC＝PC，∠PCA＝90°．∵点C、D、E分别是OA、OB、AB的中点，∴CE∥OD，OC∥DE．∴四边形ODEC是平行四边形．∴OC＝DE．∴PC＝DE．同理可证CE＝DQ，∠BDQ＝90°．∵CE∥OD，OC∥DE，∴∠ACE＝∠AOD＝∠EDB．∴∠PCE＝∠EDQ．∴△PCE≌△EDQ．∴EP＝EQ．（3）连接OG．∵△OP A等腰直角三角形，点C是OA的中点，∴OC＝PC，∠PCA＝90°．∴PC垂直平分OA．∵点G在PC上，∴AG＝OG．同理可证点G在QC上，∴BG＝OG．∴∠PCA＝∠PCA，∠PCA＝∠PCA．∵△ABG为等边三角形，∴∠AGB＝60°．∵四边形的内角和为360°，∴∠AOB的度数＝12（四边形的内角和－∠AGB的度数）＝12（360°－60°）＝150°．8. 21．（本题满分9分）（2017山东莱芜，21，9分）己知△ABC与△DEC是两个大小不同的等腰直角三角形．（1）如图①所示，连接AE、DB．试判断线段AE和DB的数量和位置关系，并说明理由；（2）如图②所示，连接DB，将线段DB绕D点顺时针旋转90°到DF，连接AF，试判断线段DE和AF的数量和位置关系，并说明理由．思路分析：（1）通过证明Rt △ACE ≌Rt △BCD 即可解决；（2）通过证明△EBD ≌△ADF 即可得解.解：（1）AE ＝DB ，AE ⊥DB .理由：由题意可知，CA ＝CB ，CE ＝CD ，∠ACE ＝∠BCD ＝90°，∴Rt △ACE ≌Rt △BCD .∴AE ＝DB .延长DB 交AE 于点M ，∵Rt △ACE ≌Rt △BCD ，∴∠AEC ＝∠BDC .又∵∠AEC ＋∠EAC ＝90°，∴∠BDC ＋∠EAC ＝90°，∴在△AMD 中，∠AMD =180°－90°＝90°，∴AE ⊥DB .（2）DE ＝AF ，DE ⊥AF .理由：设ED 与AF 相交于点N ，由题意可知，BE ＝AD .① C E B ② F C E B （第21题图）∵∠EBD＝∠C＋∠BDC＝90°＋∠BDC，∠ADF＝∠BDF＋∠BDC＝90°＋∠BDC，∴∠EBD＝∠ADF，又∵DB＝DF，∴△EBD≌△ADF.∴DE＝AF.∠E＝∠F AD，∵∠E＝45°，∠EDC＝45°，∴∠F AD＝45°. ∴∠AND＝90°.∴DE⊥AF.9. 20. （2017吉林，7分）图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点在格点上.（1）在图①、图②中，以AB为边各画一个等腰三角形，且第三个顶点在格点上.（所画图形不全等）（2）在图③中，以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上.思路分析：（1）观察发现，线段AB相等与是两边长为2和1的一个三角形的第三边，∴在图中再找一条边是边长为2和1的一个三角形的一边即可；（2）平移线段AB，使平移后的线段端点也在格点上，连结平移前与平移后的对应顶点，构成的四边形就是平行四边形.解析：（1）答案不唯一，符合题意即可；（2）答案不唯一，符合题意即可.。
2017中考数学冲刺复习--第22题几何探索压轴题
2017中考数学冲刺复习--第22题几何探索压轴题《动态几何、类比探索专题》在中考中，几何综合题主要考察了利用图形变换（平移、旋转、轴对称）证明线段、角的数量关系及动态几何问题。
学生通常需要在熟悉基本几何图形及其辅助线添加的基础上，将几何综合题目分解为基本问题，转化为基本图形或者可与基本图形、方法类比，从而使问题得到解决。
在解决几何综合题时，重点在思路，在老师讲解及学生解题时，对于较复杂的图形，根据题目叙述重复绘图过程可以帮助学生分解出基本条件和图形，将新题目与已有经验建立联系从而找到思路，之后绘制思路流程图往往能够帮助学生把握题目的脉络；在做完题之后，注重解题反思，总结题目中的基本图形及辅助线添加方法，将题目归类整理；对于典型的题目，可以解析题目条件，通过拓展题目条件或改变条件，给出题目的变式，从而对于题目及相应方法有更深入的理解。
同时，在授课过程中，将同一类型的几何综合题成组出现，分析讲解，对学生积累对图形的“感觉”有一定帮助。
一.考试说明要求图形与证明中要求：会用归纳和类比进行简单的推理。
图形的认识中要求：会运用几何图形的相关知识和方法（两点之间的距离，等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识，全等三角形的知识和方法，平行四边形的知识，矩形、菱形和正方形的知识，直角三角形的性质，圆的性质）解决有关问题；能运用三角函数解决与直角三角形相关的简单实际问题；能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题；能解决与切线有关的问题。
图形与变换中要求：能运用轴对称、平移、旋转的知识解决简单问题。
二.基本图形及辅助线解决几何综合题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧”模型间的关联，明确努力方向，才能进一步综合应用数学知识来解决问题。
在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。
2017年浙江中考数学真题分类汇编--三角形(解析版)
2017年浙江中考数学真题分类汇编--三角形(解析版)DBE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）。
(1)△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；(2)△DEF是否为正三角形？请说明理由；(3)进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设，，，请探索，，满足的等量关系。
10、（2017•绍兴）已知△ABC，AB=AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD=AE，设∠BAD=α，∠CDE=β.(1)如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上.①如果∠ABC=60°，∠ADE=70°，那么α=________°，β=________°.②求α，β之间的关系式.________(2)是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，请求出这个关系式（求出一个即可）；若不存在，说明理由.11、（2017·台州）如图，已知等腰直角△ABC，点P 是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径(1)求证：△APE是等腰直角三角形；(2)若⊙O的直径为2，求的值12、（2017•杭州）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若AD=3，AB=5，求的值．13、（2017•温州）如图，在五边形ABCDE中，∠BCD=∠EDC=90°，BC=ED，AC=AD．(1)求证：△ABC≌△AED；(2)当∠B=140°时，求∠BAE的度数．答案解析部分一、单选题1、【答案】C【考点】三角形三边关系【解析】【解答】解：A.2+3＞4，故能组成三角形；B.5+7＞7，故能组成三角形；C.5+6＜12，故不能组成三角形；D.6+8＞10，故能组成三角形；故答案为C。
2017年江苏省盐城市中考数学试题及答案--等腰三角形
绝密★启用前盐城市二○一一年高中阶段教育招生统一考试数 学 试 题注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、选择题（本大题共有８小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．-2的绝对值是 A ．-2B ．- 12C ．2D ．122．下列运算正确的是 A ．x 2+ x 3= x 5B ．x 4²x 2 = x 6C ．x 6÷x 2 = x 3D ．( x 2)3 = x 83．下面四个几何体中，俯视图为四边形的是4．已知a -b =1，则代数式2a -2b -3的值是A ．-1B ．1C ．-5D ．55．若⊙O 1、⊙O 2的半径分别为4和6，圆心距O 1O 2=8，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是 A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离6．对于反比例函数y = 1x ，下列说法正确的是A ．图象经过点（1，-1）B ．图象位于第二、四象限C ．图象是中心对称图形D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大 7．某市6月上旬前5天的最高气温如下（单位：℃）：28，29，31，29，32．对这组数据，下列说法正确的是 A ．平均数为30B ．众数为29C ．中位数为31D ．极差为58．小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校.A B C D2折线表示小亮的行程s (km)与所花时间t (min)之间的函 数关系. 下列说法错误．．的是 A ．他离家8km 共用了30min B ．他等公交车时间为6min C ．他步行的速度是100m/min D ．公交车的速度是350m/min二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9．27的立方根为 ▲ ．10．某服装原价为a 元，降价10%后的价格为 ▲ 元．11．“任意打开一本200页的数学书，正好是第35页”，这是 ▲ 事件（选填“随机”或“必然”）．12．据报道，今年全国高考计划招生675万人．675万这个数用 科学记数法可表示为 ▲ ．13．化简：x 2 - 9x - 3= ▲ ．14．如图，△ABC 的顶点都在正方形网格格点上，点A 的坐标为(-1，4). 将△ABC 沿y 轴翻折到第一象限，则点C 的 对应点C ′的坐标是 ▲ . 15．将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图示画线得到四边形ABCD ，则四边形ABCD 的形状是 ▲ ．16．如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC ，垂足为D ，E 是AC 的中点．若DE =5，则AB 的长为 ▲ ．17．如图，已知正方形ABCD 的边长为12cm ，E 为CD 边上一点，DE =5cm ．以点A 为中心，将△ADE 按顺时针方向旋转得△ABF ，则点E 所经过的路径长为 ▲ cm ． 18．将1、2、3、6按右侧方式排列．若规定（m ，n ）表示第m 排从左向右 第n 个数，则（5，4）与（15，7）表示 的两数之积是 ▲ ．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文DCB A F ED CB A（第15题图） （第16题图） （第17题图）AB CD E111122663263323第1排第2排第3排第4排第5排（第14题图）3字说明、推理过程或演算步骤） 19．（本题满分8分）（1）计算：(3)0- (12 )-2 +tan45°； （2）解方程：x x -1 - 31-x= 2．20．（本题满分8分）解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x +23 ＜1，2(1-x )≤5，并把解集在数轴上表示出来．21．（本题满分8分）小明有３支水笔，分别为红色、蓝色、黑色；有2块橡皮，分别为白色、灰色．小明从中任意取出1支水笔和1块橡皮配套使用．试用树状图或表格列出所有可能的结果，并求取出红色水笔和白色橡皮配套的概率．22．（本题满分8分）为迎接建党90周年，某校组织了以“党在我心中”为主题的电子小报制作比赛，评分结果只有60，70，80，90，100五种．现从中随机抽取部分作品，对其份数及成绩进行整理，制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）求本次抽取了多少份作品，并补全两幅统计图；（2）已知该校收到参赛作品共900份，请估计该校学生比赛成绩达到90分以上（含90分）的作品有多少份？23．（本题满分10分）已知二次函数y = -12x 2-x +32.（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象； （2）根据图象，写出当y＜ 0时，x 的取值范围；（3）若将此图象沿x 轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．24．（本题满分10分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB 长为40cm ，灯罩BC 长为30cm ，底座厚度为2cm ，灯臂与底座构成的∠BAD =60°. 使用发现，光线最佳时作品成绩扇形统计图60分 %100分 10%90分30%80分%70分20%成绩/分100908070604灯罩BC 与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C 到桌面的高度CE 是多少cm ？ （结果精确到0.1cm ，参考数据：3≈1.732）25．（本题满分10分）如图，在△ABC 中，∠C =90°，以AB 上一点O 为圆心，OA 长为半径的圆与BC 相切于点D ，分别交AC 、AB 于点E 、F ． （1）若AC =6，AB =10，求⊙O 的半径；（2）连接OE 、ED 、DF 、EF ．若四边形BDEF 是平行四边形，试判断四边形OFDE 的形状， 并说明理由．26．(本题满分10分)利民商店经销甲、乙两种商品. 现有如下信息:请根据以上信息，解答下列问题： （1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元?（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m 元. 在不考虑其他因素的条件下，当m 定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？27．（本题满分12分）情境观察A5将矩形ABCD 纸片沿对角线AC 剪开，得到△ABC 和△A′C ′D ，如图1所示.将△A′C ′D 的顶点A′与点A 重合，并绕点A 按逆时针方向旋转，使点D 、A (A′)、B 在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC 相等的线段是 ▲ ，∠CAC ′= ▲ °．问题探究如图3，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，以A 为直角顶点，分别以AB 、AC 为直角边，向△ABC 外作等腰Rt △ABE 和等腰Rt △ACF ，过点E 、F 作射线GA 的垂线，垂足分别为P 、Q . 试探究EP 与FQ 之间的数量关系，并证明你的结论. 拓展延伸如图4，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，分别以AB 、AC 为一边向△ABC 外作矩形ABME 和矩形ACNF ，射线GA 交EF 于点H . 若AB =k AE ，AC =k AF ，试探究HE 与HF之间的数量关系，并说明理由.28．（本题满分12分）如图，已知一次函数y =-x +7与正比例函数y = 43x 的图象交于点A ，且与x 轴交于点B .图4MNGFECBAH图3AB CEFGPQ 图1 图2C'A'B A DCABCDBCD A (A')C'6（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l ∥y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒.①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．盐城市二○一一年高中阶段教育招生统一考试数学试题参考答案（备用图）7二、填空题（每小题3分，共30分）9．3 10．0.9a 11．随机 12．6.75³10613．x +3 14．（3，1）15．等腰梯形 16．10 17．132π（也可写成6.5π）18．2 3三、解答题19．（1）解：原式=1-4+1=-2.（2）解：去分母，得 x +3=2(x -1) . 解之，得x =5. 经检验，x =5是原方程的解.20．解：解不等式x +23＜1，得x ＜1； 解不等式2(1-x )≤5，得x ≥-32；∴原不等式组的解集是- 32≤x ＜1.解集在数轴上表示为21．解：解法一：画树状图：P （红色水笔和白色橡皮配套）= 16.P （红色水笔和白色橡皮配套）= 16.22．解：（1）∵24÷20%=120（份），∴本次抽取了120份作品.开始蓝黑结果白 灰橡皮 水笔 白 灰白 灰(红,白) (红,灰) (蓝,白) (蓝,灰) (黑,白) (黑,灰)8补全两幅统计图 （补全条形统计图1分，扇形统计图2分）（2）∵900³（30%＋10%）=360（份）；∴估计该校学生比赛成绩达到90分以上（含90分）的作品有360份. 23．解：（1）画图(如图)；（2）当y＜ 0时，x 的取值范围是x ＜-3或x ＞1；（3）平移后图象所对应的函数关系式为y =- 12（x -2）2+2（或写成y =- 12x 2+2x ）.24．解：过点B 作BF ⊥CD 于F ，作BG ⊥AD 于G .在Rt △BCF 中，∠CBF =30°，∴CF =BC ²sin 30°= 30³12 =15.在Rt △ABG 中，∠BAG =60°，∴BG =AB ²sin 60°= 40³32 = 20 3.∴CE =CF +FD +DE =15+203+2=17+203≈51.64≈51.6（cm ）cm. 答：此时灯罩顶端C 到桌面的高度CE 约是51.6cm. 25．解：（1）连接OD . 设⊙O 的半径为r . ∵BC 切⊙O 于点D ，∴OD ⊥BC .∵∠C =90°，∴OD ∥AC ，∴△OBD ∽△ABC .∴OD AC = OB AB ，即 r 6 = 10-r10. 解得r = 154， ∴⊙O 的半径为154.(2)四边形OFDE 是菱形.∵四边形BDEF 是平行四边形，∴∠DEF =∠B .∵∠DEF =12∠DOB ，∴∠B =12∠DOB .∵∠ODB =90°，∴∠DOB +∠B =90°，∴∠DOB =60°.∵DE ∥AB ，∴∠ODE =60°.∵OD =OE ，∴△ODE 是等边三角形.∴OD =DE .∵OD =OF ，∴DE =OF .∴四边形OFDE 是平行四边形. ∵OE =OF ，∴平行四边形OFDE 是菱形.26．解：（1）设甲商品的进货单价是x 元，乙商品的进货单价是y 元．根据题意，得⎩⎨⎧x +y =53(x +1)+2(2y -1)=19 解得⎩⎨⎧x =2y =311OA成绩/分70分20%80分35%90分30%100分 10%60分 5%答：甲商品的进货单价是2元，乙商品的进货单价是3元．（2）设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为s 元，则s =(1-m )(500+100³m 0.1)+(5-3-m )(300+100³m0.1)即 s =-2000m 2+2200m +1100 =-2000(m -0.55)2+1705. ∴当m =0.55时，s 有最大值，最大值为1705.答：当m 定为0.55时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润是1705元.27.解：情境观察AD （或A′D ），90 问题探究结论：EP =FQ .证明：∵△ABE 是等腰三角形，∴AB =AE ，∠BAE =90°.∴∠BAG +∠EAP =90°.∵AG ⊥BC ，∴∠BAG +∠ABG =90°，∴∠ABG =∠EAP . ∵EP ⊥AG ，∴∠AGB =∠EP A =90°，∴Rt △ABG ≌Rt △EAP . ∴AG =EP . 同理AG =FQ . ∴EP =FQ . 拓展延伸结论： HE =HF .理由：过点E 作EP ⊥GA ，FQ ⊥GA ，垂足分别为P 、Q . ∵四边形ABME 是矩形，∴∠BAE =90°，∴∠BAG +∠EAP =90°.AG ⊥BC ，∴∠BAG +∠ABG =90°， ∴∠ABG =∠EAP .∵∠AGB =∠EP A =90°，∴△ABG ∽△EAP ，∴AG EP = ABEA .同理△ACG ∽△F AQ ，∴AG FP = ACF A .∵AB =k AE ，AC =k AF ，∴AB EA = AC F A =k ，∴AG EP = AGFP. ∴EP =FQ .∵∠EHP =∠FHQ ，∴Rt △EPH ≌Rt △FQH . ∴HE =HF28．解：（1）根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y =-x +7y=43x，解得 ⎩⎨⎧x =3y =4，∴A (3，4) .令y =-x +7=0，得x =7．∴B （7，0）.（2）①当P 在OC 上运动时，0≤t ＜4.Q P H ABCEFGNM10由S △APR =S 梯形COBA -S △ACP -S △POR -S △ARB =8，得 12(3+7)³4-12³3³(4-t )- 12t(7-t )- 12t ³4=8 整理,得t 2-8t +12=0, 解之得t 1=2,t 2=6（舍） 当P 在CA 上运动，4≤t ＜7.由S △APR = 12³(7-t ) ³4=8，得t =3（舍）∴当t =2时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8. ②当P 在OC 上运动时，0≤t ＜4. ∴AP=（4-t ）2+32，AQ=2t ，PQ=7-t 当AP =AQ 时， （4-t ）2+32=2(4-t )2, 整理得，t 2-8t +7=0. ∴t =1, t =7(舍) 当AP=PQ 时，（4-t ）2+32=(7-t )2, 整理得，6t =24. ∴t =4(舍去) 当AQ=PQ 时，2（4-t ）2=(7-t )2整理得，t 2-2t -17=0 ∴t =1±3 2 (舍)当P 在CA 上运动时，4≤t ＜7. 过A 作AD ⊥OB 于D ,则AD =BD =4.设直线l 交AC 于E ，则QE ⊥AC ，AE =RD =t -4，AP =7-t .由cos ∠OAC= AE AQ = ACAO ，得AQ = 53(t -4)．当AP=AQ 时，7-t = 53(t -4)，解得t = 418.当AQ=PQ 时，AE ＝PE ，即AE = 12AP得t -4= 12(7-t )，解得t =5.当AP=PQ 时，过P 作PF ⊥AQ 于F AF = 12AQ = 12³53(t -4).在Rt △APF 中，由cos ∠P AF ＝AFAP ＝ 35，得AF ＝ 35AP 即 12³53(t -4)= 35³(7-t )，解得t= 22643.∴综上所述，t=1或 418或5或 22643时，△APQ 是等腰三角形。
(已整理)中考数学必刷压轴题专题：抛物线之等腰三角形(含解析)
中考数学抛物线压轴题之等腰三角形（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△DBO∽△EBC；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．3．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，己知点O（0，0），A（5，0），B（4，4）．（1）求过O、B、A三点的抛物线的解析式．（2）在第一象限的抛物线上存在点M，使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大，求点M的坐标．（3）作直线x=m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当△PQB为等腰三角形时，求m的值．5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．6．如图，已知二次函数L1：y=ax2﹣2ax+a+3（a＞0）和二次函数L2：y=﹣a（x+1）2+1（a＞0）图象的顶点分别为M，N，与y轴分别交于点E，F．（1）函数y=ax2﹣2ax+a+3（a＞0）的最小值为，当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是．（2）当EF=MN时，求a的值，并判断四边形ENFM的形状（直接写出，不必证明）．（3）若二次函数L2的图象与x轴的右交点为A（m，0），当△AMN为等腰三角形时，求方程﹣a（x+1）2+1=0的解．7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣（m+n）x+mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B 的右侧），与y轴相交于点C．（1）若m=2，n=1，求A、B两点的坐标；（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是（0，﹣1），求∠ACB的大小；（3）若m=2，△ABC是等腰三角形，求n的值．8．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．（3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l 经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）．（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；（2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m 为何值时，△OPQ是等腰三角形．10．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A （﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．11．在平面直角坐标xOy中，（如图）正方形OABC的边长为4，边OA在x轴的正半轴上，边OC在y轴的正半轴上，点D是OC的中点，BE⊥DB交x轴于点E．（1）求经过点D、B、E的抛物线的解析式；（2）将∠DBE绕点B旋转一定的角度后，边BE交线段OA于点F，边BD交y轴于点G，交（1）中的抛物线于M（不与点B重合），如果点M的横坐标为，那么结论OF=DG能成立吗？请说明理由；（3）过（2）中的点F的直线交射线CB于点P，交（1）中的抛物线在第一象限的部分于点Q，且使△PFE 为等腰三角形，求Q点的坐标．12．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．（1）求a，b，c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．13．如图1，抛物线y=ax2+bx﹣1经过A（﹣1，0）、B（2，0）两点，交y轴于点C．点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，交x轴于点E．（1）请直接写出抛物线表达式和直线BC的表达式．（2）如图1，当点P的横坐标为时，求证：△OBD∽△ABC．（3）如图2，若点P在第四象限内，当OE=2PE时，求△POD的面积．（4）当以点O、C、D为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出动点P的坐标．14．如图，已知二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；（4）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标．16．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过△ABC的三个顶点，与y轴相交于（0，），点A坐标为（﹣1，2），点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上．（1）求该抛物线的函数关系表达式．（2）点F为线段AC上一动点，过F作FE⊥x轴，FG⊥y轴，垂足分别为E、G，当四边形OEFG为正方形时，求出F点的坐标．（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动，设平移的距离为t，正方形的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在请说明理由．17．如图1，抛物线y=﹣x2平移后过点A（8，0）和原点，顶点为B，对称轴与x轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积S阴影；（2）如图2，直线AB与y轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，∠PMN为直角，边MN与AP相交于点N，设OM=t，试探究：①t为何值时△MAN为等腰三角形；②t为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．18．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．（1）求此抛物线的表达式：（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由．19．如图1，抛物线y＝﹣++2与x轴相交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C，对称轴与x轴相交于点H，与AC相交于点T．（1）点P是线段AC上方抛物线上一点，过点P作PQ∥AC交抛物线的对称轴于点Q，当△AQH面积最大时，点M、N在y轴上（点M在点N的上方），MN＝，点G在直线AC上，求PM+NG+GA的最小值．（2）点E为BC中点，EF⊥x轴于F，连接EH，将△EFH沿EH翻折得△EF'H，如图所示，再将△EF'H沿直线BC平移，记平移中的△EF'H为△E'F″H'，在平移过程中，直线E'H'与x轴交于点R，则是否存在这样的点R，使得△RF'H'为等腰三角形？若存在，求出R点坐标．20．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣x﹣4交x轴于A、B两点，交y轴于点C．（1）点P为线段BC下方抛物线上的任意一点，一动点G从点P出发沿适当路径以每秒1个单位长度运动到y轴上一点M，再沿适当路径以每秒1个单位长度运动到x轴上的点N，再沿x轴以每秒个单位长度运动到点B．当四边形ACPB面积最大时，求运动时间t的最小值；（2）过点C作AC的垂线交x轴于点D，将△AOC绕点O旋转，旋转后点A、C的对应点分别为A1、C1，在旋转过程中直线A1C1与x轴交于点Q．与线段CD交于点I．当△DQI是等腰三角形时，直接写出DQ的长度．1.抛物线的解析式：y=﹣x2+2x+3．（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P；∵点A、B关于直线l对称，∴PA=PB，∴BC=PC+PB=PC+PA设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），将B（3，0），C（0，3）代入上式，得：，解得：∴直线BC的函数关系式y=﹣x+3；当x=1时，y=2，即P的坐标（1，2）．（3）抛物线的对称轴为：x=﹣=1，设M（1，m），已知A（﹣1，0）、C（0，3），则：MA2=m2+4，MC2=（3﹣m）2+1=m2﹣6m+10，AC2=10；①若MA=MC，则MA2=MC2，得：m2+4=m2﹣6m+10，得：m=1；②若MA=AC，则MA2=AC2，得：m2+4=10，得：m=±；③若MC=AC，则MC2=AC2，得：m2﹣6m+10=10，得：m1=0，m2=6；当m=6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M点，且坐标为 M（1，）（1，﹣）（1，1）（1，0）．方法二：（1）∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），∴y=﹣（x+1）（x﹣3），即y=﹣x2+2x+3．（2）连接BC，∵l为对称轴，∴PB=PA，∴C，B，P三点共线时，△PAC周长最小，把x=1代入l BC：y=﹣x+3，得P（1，2）．（3）设M（1，t），A（﹣1，0），C（0，3），∵△MAC为等腰三角形，∴MA=MC，MA=AC，MC=AC，（1+1）2+（t﹣0）2=（1﹣0）2+（t﹣3）2，∴t=1，（1+1）2+（t﹣0）2=（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t=±，（1﹣0）2+（t﹣3）2=（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t1=6，t2=0，经检验，t=6时，M、A、C三点共线，故舍去，综上可知，符合条件的点有4个，M1（1，），M2（1，﹣），M3（1，1），M4（1，0）．（4）作点O关于直线AC的对称点O交AC于H，作HG⊥AO，垂足为G，∴∠AHG+∠GHO=90°，∠AHG+∠GAH=90°，∴∠GHO=∠GAH，∴△GHO∽△GAH，∴HG2=GO•GA，∵A（﹣1，0），C（0，3），∴l AC：y=3x+3，H（﹣，），∵H为OO′的中点，∴O′（﹣，），∵D（1，4），∴l O′D：y=x+，l AC：y=3x+3，∴x=﹣，y=，∴Q（﹣，）．2.（1）抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3，（2）由（1）知，抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴E（1，﹣4），∵B（3，0），A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴BC=3，BE=2，CE=，∵直线y=﹣x+1与y轴交于点D，∴D（0，1），∵B（3，0），∴OD=1，OB=3，BD=，∴，，，∴，∴△BCE∽△BDO，（3）存在，理由：设P（1，m），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴BC=3，PB=，PC=，∵△PBC是等腰三角形，①当PB=PC时，∴=，∴m=﹣1，∴P（1，﹣1），②当PB=BC时，∴3=，∴m=±，∴P（1，）或P（1，﹣），③当PC=BC时，∴3=，∴m=﹣3±，∴P（1，﹣3+）或P（1，﹣3﹣），∴符合条件的P点坐标为P（1，﹣1）或P（1，）或P（1，﹣）或P（1，﹣3+）或P（1，﹣3﹣）3．（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）此抛物线的解析式为y=﹣x2+x；（3）存在；如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±2，当y=2时，在Rt△P′OD中，∠P′DO=90°，sin∠P′OD==，∴∠P′OD=60°，∴∠P′OB=∠P′OD+∠AOB=60°+120°=180°，即P′、O、B三点在同一直线上，∴y=2不符合题意，舍去，∴点P的坐标为（2，﹣2）②若OB=PB，则42+|y+2|2=42，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2）．方法二：（3）设P（2，t），O（0，0），B（﹣2，﹣2），∵△POB为等腰三角形，∴PO=PB，PO=OB，PB=OB，（2﹣0）2+（t﹣0）2=（2+2）2+（t+2）2，∴t=﹣2，（2﹣0）2+（t﹣0）2=（0+2）2+（0+2）2，∴t=2或﹣2，当t=2时，P（2，2），O（0，0）B（﹣2，﹣2）三点共线故舍去，（2+2）2+（t+2）2=（0+2）2+（0+2）2，∴t=﹣2，∴符合条件的点P只有一个，∴P（2，﹣2）．（4）∵点B，点P关于y轴对称，∴点M在y轴上，设M（0，m），∵⊙M为△OBF的外接圆，∴MO=MB，∴（0﹣0）2+（m﹣0）2=（0+2）2+（m+2）2，∴m=﹣，M（0，﹣）．4．（1）∵该抛物线经过点A（5，0），O（0，0），∴该抛物线的解析式可设为y=a（x﹣0）（x﹣5）=ax（x﹣5）．∵点B（4，4）在该抛物线上，∴a×4×（4﹣5）=4．∴a=﹣1．∴该抛物线的解析式为y=﹣x（x﹣5）=﹣x2+5x．（2）以O、A、B、M为顶点的四边形中，△OAB的面积固定，因此只要另外一个三角形面积最大，则四边形面积即最大．①当0＜x＜4时，点M在抛物线OB段上时，如答图1所示．∵B（4，4），∴易知直线OB的解析式为：y=x．设M（x，﹣x2+5x），过点M作ME∥y轴，交OB于点E，则E（x，x），∴ME=（﹣x2+5x）﹣x=﹣x2+4x．S△OBM=S△MEO+S△MEB=ME（x E﹣0）+ME（x B﹣x E）=ME•x B=ME×4=2ME，∴S△OBM=﹣2x2+8x=﹣2（x﹣2）2+8∴当x=2时，S△OBM最大值为8，即四边形的面积最大．②当4＜x＜5时，点M在抛物线AB段上时，图略．可求得直线AB解析式为：y=﹣4x+20．设M（x，﹣x2+5x），过点M作ME∥y轴，交AB于点E，则E（x，﹣4x+20），∴ME=（﹣x2+5x）﹣（﹣4x+20）=﹣x2+9x﹣20．S△ABM=S△MEB+S△MEA=ME（x E﹣x B）+ME（x A﹣x E）=ME•（x A﹣x B）=ME×1=ME，∴S△ABM=﹣x2+x﹣10=﹣（x﹣）2+∴当x=时，S△ABM最大值为，即四边形的面积最大．比较①②可知，当x=2时，四边形面积最大．当x=2时，y=﹣x2+5x=6，∴M（2，6）．（3）由题意可知，点P在线段OB上方的抛物线上．设P（m，﹣m2+5m），则Q（m，m）当△PQB为等腰三角形时，①若点B为顶点，即BP=BQ，如答图2﹣1所示．过点B作BE⊥PQ于点E，则点E为线段PQ中点，∴E（m，）．∵BE∥x轴，B（4，4），∴=4，解得：m=2或m=4（与点B重合，舍去）∴m=2；②若点P为顶点，即PQ=PB，如答图2﹣2所示．易知∠BOA=45°，∴∠PQB=45°，则△PQB为等腰直角三角形．∴PB∥x轴，∴﹣m2+5m=4，解得：m=1或m=4（与点B重合，舍去）∴m=1；③若点Q为顶点，即QP=QB，如答图2﹣3所示．∵P（m，﹣m2+5m），Q（m，m），∴PQ=﹣m2+4m．又∵QB=（x B﹣x Q）=（4﹣m），∴﹣m2+4m=（4﹣m），解得：m=或m=4（与点B重合，舍去），∴m=．综上所述，当△PQB为等腰三角形时，m的值为1，2或．5．（1）．（2）①设直线AB的解析式为y=kx+b．∴解得：，∴直线AB的解析式为．∴C点坐标为（0，）∵直线OB过点O（0，0），B（3，﹣3），∴直线OB的解析式为y=﹣x．∵△OPC为等腰三角形，∴OC=OP或OP=PC或OC=PC．设P（x，﹣x），（i）当OC=OP时，．解得，（舍去）．∴P 1（，）．（ii）当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，∴P2（，﹣）．（iii）当OC=PC时，由，解得，x 2=0（舍去）．∴P3（，﹣）．∴P点坐标为P 1（，）或P2（，﹣）或P3（，﹣）．②过点D作DG⊥x轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BH⊥x轴，垂足为H．设Q（x，﹣x），D（x，）．S△BOD=S△ODQ+S△BDQ=DQ•OG+DQ•GH，=DQ（OG+GH），=，=，∵0＜x＜3，∴当时，S取得最大值为，此时D（，﹣）．方法二：（1）略．（2）①由A（﹣1，﹣1），B（3，﹣3）得l AB：y=﹣x﹣，∴C（0，﹣），l OB：y=﹣x，设P（t，﹣t），O（0，0），C（0，﹣），∵△OPC为等腰三角形，∴OP=OC，OP=PC，PC=OC，（t﹣0）2+（﹣t﹣0）2=（0﹣0）2+（0+）2，∴t1=，t2=﹣（舍），（0﹣0）2+（0+）2=（t﹣0）2+（﹣t+）2，∴t1=，t2=0（舍），（t﹣0）2+（﹣t﹣0）2=（t﹣0）2+（﹣t+）2，∴t=，∴P点坐标为P 1（，）或P2（，﹣）或P3（，﹣）．②过D作x轴垂线交OB于Q，∵B（3，﹣3），∴l OB：y=﹣x，设D（t，﹣t2+t），Q（t，﹣t），∵S△OBD=（D Y﹣Q Y）（B X﹣O X），∴S△OBD=（﹣t2+t+t）•（3﹣0）=﹣t2+t，当t=时，S有最大值，D（，﹣）．（3）∵△FAB是以AB为斜边的直角三角形，∴∠GOA+∠BOH=90°，∵BH⊥OH，∴∠OBH+BOH=90°，∴∠GOA=∠OBH，∴△GOA∽△OBH，∵点F为x轴上一动点，∴设F（m，0），∵A（﹣1，﹣1），B（3，﹣3），∴，∴m2﹣2m=0，∴m=0或2，∴F 1（0，0），F2（2，0）．6．（1）∵二次函数L1：y=ax2﹣2ax+a+3=a（x﹣1）2+3，∴顶点M坐标为（1，3），∵a＞0，∴函数y=ax2﹣2ax+a+3（a＞0）的最小值为3，∵二次函数L1的对称轴为x=1，当x＜1时，y随x的增大而减小；二次函数L2：y=﹣a（x+1）2+1的对称轴为x=﹣1，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；∴当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是﹣1≤x≤1；。
最新中考数学 真题精选 专题试卷 22 等腰三角形(含答案解析)
等腰三角形一、选择题1. （•广东,第9题3分）一个等腰三角形地两边长分别是3和7,则它地周长为（）A．17 B．15 C．13 D．13或17考点：等腰三角形地性质；三角形三边关系．分析：由于未说明两边哪个是腰哪个是底,故需分：（1）当等腰三角形地腰为3；（2）当等腰三角形地腰为7；两种情况讨论,从而得到其周长．解答：解：①当等腰三角形地腰为3,底为7时,3+3＜7不能构成三角形；②当等腰三角形地腰为7,底为3时,周长为3+7+7=17．故这个等腰三角形地周长是17．故选A．点评：本题考查地是等腰三角形地性质,在解答此题时要注意进行分类讨论．2. （•广西玉林市、防城港市,第10题3分）在等腰△ABC中,AB=AC,其周长为20cm,则AB边地取值范围是（）A．1cm＜AB＜4cm B．5cm＜AB＜10cm C．4cm＜AB＜8cm D．4cm＜AB＜10cm考点：等腰三角形地性质；解一元一次不等式组；三角形三边关系．[来源:学科网]分析：设AB=AC=x,则BC=20﹣2x,根据三角形地三边关系即可得出结论．解答：解：∵在等腰△ABC中,AB=AC,其周长为20cm,∴设AB=AC=xcm,则BC=（20﹣2x）cm,∴,解得5cm＜x＜10cm．故选B．点评：本题考查地是等腰三角形地性质,熟知等腰三角形地两腰相等是解答此题地关键．[来源:学*科*网]3．（·浙江金华,第8题4分）如图,将Rt△ABC绕直角顶点顺时针旋转90°,得到△A′B′C,连结AA′,若∠1=20°,则∠B地度数是【】A．70°B．65° C．60° D．55°【答案】B．【解析】4. （•扬州,第7题,3分）如图,已知∠AOB=60°,点P在边OA上,OP=12,点M,N在边OB 上,PM=PN,若MN=2,则OM=（）（第1题图）A．3B．4C．5D．6考点：含30度角地直角三角形；等腰三角形地性质分析：过P作PD⊥OB,交OB于点D,在直角三角形POD中,利用锐角三角函数定义求出OD地长,再由PM=PN,利用三线合一得到D为MN中点,根据MN求出MD地长,由OD﹣MD即可求出OM地长．解答：解：过P作PD⊥OB,交OB于点D,在Rt△OPD中,cos60°==,OP=12,∴OD=6,∵PM=PN,PD⊥MN,MN=2,∴MD=ND=MN=1,∴OM=OD﹣MD=6﹣1=5．故选C．点评：此题考查了含30度直角三角形地性质,等腰三角形地性质,熟练掌握直角三角形地性质是解本题地关键．[来源:学*科*网]二.填空题1. （•广东,第16题4分）如图,△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′,若∠BAC=90°,AB=AC=,则图中阴影部分地面积等于﹣1 ．考点：旋转地性质．分析：根据题意结合旋转地性质以及等腰直角三角形地性质得出AD=BC=1,AF=FC′=AC′=1,进而求出阴影部分地面积．解答：解：∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=, ∴BC=2,∠C=∠B=∠CAC′=∠C′=45°,∴AD⊥BC,B′C′⊥AB,[来源:学科网]∴AD=BC=1,AF=FC′=AC′=1,∴图中阴影部分地面积等于：S△AFC′﹣S△DEC′=×1×1﹣×（﹣1）2=﹣1．故答案为：﹣1．点评：此题主要考查了旋转地性质以及等腰直角三角形地性质等知识,得出AD,AF,DC′地长是解题关键．2. （•珠海,第10题4分）如图,在等腰Rt△OAA1中,∠OAA1=90°,OA=1,以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2,以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3,…则OA4地长度为8 ．考点：等腰直角三角形专题：规律型．分析：利用等腰直角三角形地性质以及勾股定理分别求出各边长,进而得出答案．解答：解：∵△OAA1为等腰直角三角形,OA=1,∴AA1=OA=1,OA1=OA=；∵△OA1A2为等腰直角三角形,∴A1A2=OA1=,OA2=OA1=2；∵△OA2A3为等腰直角三角形,∴A2A3=OA2=2,OA3=OA2=2；∵△OA3A4为等腰直角三角形,∴A3A4=OA3=2,OA4=OA3=8．故答案为：8．点评：此题主要考查了等腰直角三角形地性质以及勾股定理,熟练应用勾股定理得出是解题关键．3. （•广西贺州,第17题3分）如图,等腰△ABC中,AB=AC,∠DBC=15°,AB地垂直平分线MN 交AC于点D,则∠A地度数是50°．考点：线段垂直平分线地性质；等腰三角形地性质．分析：根据线段垂直平分线上地点到两端点地距离相等可得AD=BD,根据等边对等角可得∠A=∠ABD,然后表示出∠ABC,再根据等腰三角形两底角相等可得∠C=∠ABC,然后根据三角形地内角和定理列出方程求解即可．解答：解：∵MN是AB地垂直平分线,∴AD=BD,∴∠A=∠ABD,∵∠DBC=15°,∴∠ABC=∠A+15°,[来源:学|科|网]∵AB=AC,∴∠C=∠ABC=∠A+15°,∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°,解得∠A=50°．故答案为：50°．点评：本题考查了线段垂直平分线上地点到两端点地距离相等地性质,等腰三角形地性质,熟记性质并用∠A表示出△ABC地另两个角,然后列出方程是解题地关键．4．(年天津市,第17 题3分)如图,在Rt△ABC中,D,E为斜边AB上地两个点,且BD=BC,AE=AC,则∠DCE地大小为45 （度）．考点：等腰三角形地性质．分析：设∠DCE=x,∠ACD=y,则∠ACE=x+y,∠BCE=90°﹣∠ACE=90°﹣x﹣y,根据等边对等角得出∠ACE=∠AEC=x+y,∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°﹣y．然后在△DCE中,利用三角形内角和定理列出方程x+（90°﹣y）+（x+y）=180°,解方程即可求出∠DCE地大小．解答：解：设∠DCE=x,∠ACD=y,则∠ACE=x+y,∠BCE=90°﹣∠ACE=90°﹣x﹣y．∵AE=AC,∴∠ACE=∠AEC=x+y,∵BD=BC,∴∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°﹣x﹣y+x=90°﹣y．在△DCE中,∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=180°,∴x+（90°﹣y）+（x+y）=180°,解得x=45°,∴∠DCE=45°．故答案为45．点评：本题考查了等腰三角形地性质及三角形内角和定理,设出适当地未知数列出方程是解题地关键．5．（•新疆,第12题5分）如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,点D在AC上,BD=BC,则∠ABD 地度数是．考点：等腰三角形地性质．分析：根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC=∠C,再求出∠CBD,然后根据∠ABD=∠ABC﹣∠CBD代入数据计算即可得解．解答：解：∵AB=AC,∠A=40°,∴∠ABC=∠C=（180°﹣40°）=70°,∵BD=BC,∴∠CBD=180°﹣70°×2=40°,∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD=70°﹣40°=30°．故答案为：30．点评：本题考查了等腰三角形两底角相等地性质,三角形地内角和定理,熟记性质并准确识图是解题地关键．（年云南省,第13题3分）如图,在等腰△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD⊥AC于点D,则∠CBD= 6．18°．考点：等腰三角形地性质．分析：根据已知可求得两底角地度数,再根据三角形内角和定理不难求得∠DBC地度数．解答：解：∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠ACB=72°．∵BD⊥AC于点D,∴∠CBD=90°﹣72°=18°．故答案为：18°．点评：本题主要考查等腰三角形地性质,解答本题地关键是会综合运用等腰三角形地性质和三角形地内角和定理进行答题,此题难度一般．7. （•益阳,第13题,4分）如图,将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转,使边AB与AC重合得△ACD,BC地中点E地对应点为F,则∠EAF地度数是60°．（第1题图）考点：旋转地性质；等边三角形地性质．分析：根据等边三角形地性质以及旋转地性质得出旋转角,进而得出∠EAF地度数．解答：解：∵将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转,使边AB与AC重合得△ACD,BC地中点E地对应点为F,∴旋转角为60°,E,F是对应点,则∠EAF地度数为：60°．故答案为：60°．点评：此题主要考查了等边三角形地性质以及旋转地性质,得出旋转角地度数是解题关键．8. （•泰州,第15题,3分）如图,A、B、C、D依次为一直线上4个点,BC=2,△BCE为等边三角形,⊙O过A、D、E3点,且∠AOD=120°．设AB=x,CD=y,则y与x地函数关系式为y=（x＞0）．（第2题图）考点：相似三角形地判定与性质；等边三角形地性质；圆周角定理．分析：连接AE,DE,根据同弧所对地圆周角等于圆心角地一半,求得∠AED=120°,然后求得△ABE∽△EC D．根据相似三角形地对应边对应成比例即可表示出x与y地关系,从而不难求解．解答：解：连接AE,DE,∵∠AOD=120°,∴为240°,∴∠AED=120°,∵△BCE为等边三角形,∴∠BEC=60°；∴∠AEB+∠CED=60°；又∵∠EAB+∠AEB=60°,∴∠EAB=∠CED,∵∠ABE=∠ECD=120°；∴=,即=,∴y=（x＞0）．点评：此题主要考查学生圆周角定理以及对相似三角形地判定与性质及反比例函数地实际运用能力．9. （•扬州,第10题,3分）若等腰三角形地两条边长分别为7cm和14cm,则它地周长为35 cm．考点：等腰三角形地性质；三角形三边关系．分析：题目给出等腰三角形有两条边长为7cm和14cm,而没有明确腰、底分别是多少,所以要进行讨论,还要应用三角形地三边关系验证能否组成三角形．解答：解：①14cm为腰,7cm为底,此时周长为14+14+7=35cm；②14cm为底,7cm为腰,则两边和等于第三边无法构成三角形,故舍去．故其周长是35cm．故答案为35．点评：此题主要考查学生对等腰三角形地性质及三角形地三边关系地掌握情况．已知没有明确腰和底边地题目一定要想到两种情况,分类进行讨论,还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答,这点非常重要,也是解题地关键．10.（•呼和浩特,第13题3分）等腰三角形一腰上地高与另一腰地夹角为36,则该等腰三角形地底角地度数为63°或27°．考点：等腰三角形地性质．专题：分类讨论．分析：分锐角三角形和钝角三角形两种情况,利用等腰三角形地性质和三角形内角和定理即可求出它地底角地度数．解答：解：在三角形ABC中,设AB=AC,BD⊥AC于D．①若是锐角三角形,∠A=90°﹣36°=54°,底角=（180°﹣54°）÷2=63°；②若三角形是钝角三角形,∠BAC=36°+90°=126°,此时底角=（180°﹣126°）÷2=27°．所以等腰三角形底角地度数是63°或27°．点评：此题主要考查学生对等腰三角形地性质和三角形内角和定理地理解和应用,此题地关键是熟练掌握三角形内角和定理．三.解答题1. （•湘潭,第25题）△ABC为等边三角形,边长为a,DF⊥AB,EF⊥AC,（1）求证：△BDF∽△CEF；（2）若a=4,设BF=m,四边形ADFE面积为S,求出S与m之间地函数关系,并探究当m为何值时S取最大值；（3）已知A、D、F、E四点共圆,已知tan∠EDF=,求此圆直径．（第1题图）考点：相似形综合题；二次函数地最值；等边三角形地性质；圆周角定理；解直角三角形分析：（1）只需找到两组对应角相等即可．（2）四边形ADFE面积S可以看成△ADF与△AEF地面积之和,借助三角函数用m表示出AD、DF、AE、EF地长,进而可以用含m地代数式表示S,然后通过配方,转化为二次函数地最值问题,就可以解决问题．（3）易知AF就是圆地直径,利用圆周角定理将∠EDF转化为∠EAF．在△AFC中,知道tan∠EAF、∠C、AC,通过解直角三角形就可求出AF长．解答：解：（1）∵DF⊥AB,EF⊥AC,∴∠BDF=∠CEF=90°．∵△ABC为等边三角形,∴∠B=∠C=60°．∵∠BDF=∠CEF,∠B=∠C,∴△BDF∽△CEF．（2）∵∠BDF=90°,∠B=60°,∴sin60°==,cos60°==．∵BF=m,∴DF=m,BD=．∵AB=4,∴AD=4﹣．[来源:学科网]∴S△ADF=AD•DF=×（4﹣）×m=﹣m2+m．同理：S△AEF=AE•EF=×（4﹣）×（4﹣m）=﹣m2+2．∴S=S△ADF+S△AEF=﹣m2+m+2=﹣（m2﹣4m﹣8）=﹣（m﹣2）2+3．其中0＜m＜4．∵﹣＜0,0＜2＜4,∴当m=2时,S取最大值,最大值为3．∴S与m之间地函数关系为：S═﹣（m﹣2）2+3（其中0＜m＜4）．当m=2时,S取到最大值,最大值为3．（3）如图2,∵A、D、F、E四点共圆, ∴∠EDF=∠EAF．∵∠ADF=∠AEF=90°,∴AF是此圆地直径．∵tan∠EDF=,∴tan∠EAF=．∴=．∵∠C=60°,∴=tan60°=．设EC=x,则EF=x,EA=2x．∵AC=a,∴2x+x=A．∴x=．∴EF=,AE=．∵∠AEF=90°,∴AF==．∴此圆直径长为．点评：本题考查了相似三角形地判定、二次函数地最值、三角函数、解直角三角形、圆周角定理、等边三角形地性质等知识,综合性强．利用圆周角定理将条件中地圆周角转化到合适地位置是解决最后一小题地关键．2. （•益阳,第20题,10分）如图,直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B,抛物线y=a （x﹣2）2+k经过点A、B,并与X轴交于另一点C,其顶点为P．（1）求a,k地值；（2）抛物线地对称轴上有一点Q,使△ABQ是以AB为底边地等腰三角形,求Q点地坐标；（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N,使以A,C,M,N为顶点地四边形为正方形,求此正方形地边长．（第2题图）考点：二次函数综合题．分析：（1）先求出直线y=﹣3x+3与x轴交点A,与y轴交点B地坐标,再将A、B两点坐标代入y=a（x﹣2）2+k,得到关于a,k地二元一次方程组,解方程组即可求解；（2）设Q点地坐标为（2,m）,对称轴x=2交x轴于点F,过点B作BE垂直于直线x=2于点E．在Rt△AQF与Rt△BQE中,用勾股定理分别表示出AQ2=AF2+QF2=1+m2,BQ2=BE2+EQ2=4+（3﹣m）2,由AQ=BQ,得到方程1+m2=4+（3﹣m）2,解方程求出m=2,即可求得Q点地坐标；（3）当点N在对称轴上时,由NC与AC不垂直,得出AC为正方形地对角线,根据抛物线地对称性及正方形地性质,得到M点与顶点P（2,﹣1）重合,N点为点P关于x轴地对称点,此时,MF=NF=AF=CF=1,且AC⊥MN,则四边形AMCN为正方形,在Rt△AFN中根据勾股定理即可求出正方形地边长．解答：解：（1）∵直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B,∴A（1,0）,B（0,3）．又∵抛物线抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A（1,0）,B（0,3）,∴,解得,故a,k地值分别为1,﹣1；（2）设Q点地坐标为（2,m）,对称轴x=2交x轴于点F,过点B作BE垂直于直线x=2于点E．在Rt△AQF中,AQ2=AF2+QF2=1+m2,在Rt△BQE中,BQ2=BE2+EQ2=4+（3﹣m）2,∵AQ=BQ,∴1+m2=4+（3﹣m）2,∴m=2,∴Q点地坐标为（2,2）；（3）当点N在对称轴上时,NC与AC不垂直,所以AC应为正方形地对角线．又∵对称轴x=2是AC地中垂线,∴M点与顶点P（2,﹣1）重合,N点为点P关于x轴地对称点,其坐标为（2,1）．此时,MF=NF=AF=CF=1,且AC⊥MN,∴四边形AMCN为正方形．在Rt△AFN中,AN==,即正方形地边长为．点评：本题是二次函数地综合题型,其中涉及到地知识点有二元一次方程组地解法,等腰三角形地性质,勾股定理,二次函数地性质,正方形地判定与性质,综合性较强,难度适中．3. （•株洲,第23题,8分）如图,PQ为圆O地直径,点B在线段PQ地延长线上,OQ=QB=1,动点A在圆O地上半圆运动（含P、Q两点）,以线段AB为边向上作等边三角形AB C．（1）当线段AB所在地直线与圆O相切时,求△ABC地面积（图1）；（2）设∠AOB=α,当线段AB、与圆O只有一个公共点（即A点）时,求α地范围（图2,直接写出答案）；（3）当线段AB与圆O有两个公共点A、M时,如果AO⊥PM于点N,求CM地长度（图3）．（第3题图）考点：圆地综合题；等边三角形地性质；勾股定理；切线地性质；相似三角形地判定与性质；特殊角地三角函数值．分析：（1）连接OA,如下图1,根据条件可求出AB,然后AC地高BH,求出BH就可以求出△ABC 地面积．（2）如下图2,首先考虑临界位置：当点A与点Q重合时,线段AB与圆O只有一个公共点,此时α=0°；当线段AB所在地直线与圆O相切时,线段AB与圆O只有一个公共点,此时α=60°．从而定出α地范围．（3）设AO与PM地交点为D,连接MQ,如下图3,易证AO∥MQ,从而得到△PDO∽△PMQ,△BMQ∽△BAO,又PO=OQ=BQ,从而可以求出MQ、OD,进而求出PD、DM、AM、CM地值．解答：解：（1）连接OA,过点B作BH⊥AC,垂足为H,如图1所示．∵AB与⊙O相切于点A,∴OA⊥A B．∴∠OAB=90°．∵OQ=QB=1,∴OA=1．==．∵△ABC是等边三角形,∴AC=AB=,∠CAB=60°．∵sin∠HAB=,∴HB=AB•sin∠HAB=×=．∴S△ABC=AC•BH=××=．∴△ABC地面积为．（2）①当点A与点Q重合时,线段AB与圆O只有一个公共点,此时α=0°；[来源:学.科.网Z.X.X.K] ②当线段A1B所在地直线与圆O相切时,如图2所示,线段A1B与圆O只有一个公共点,此时OA1⊥BA1,OA1=1,OB=2,∴cos∠A1OB==．∴当线段AB与圆O只有一个公共点（即A点）时, α地范围为：0°≤α≤60°．（3）连接MQ,如图3所示．∵PQ是⊙O地直径,∴∠PMQ=90°．∵OA⊥PM,∴∠PDO=90°．∴∠PDO=∠PMQ．∴△PDO∽△PMQ．∴==∵PO=OQ=PQ．∴PD=PM,OD=MQ．同理：MQ=AO,BM=A B．∵AO=1,∴MQ=．∴OD=．∵∠PDO=90°,PO=1,OD=,∴PD=．∴PM=．∴DM=．∵∠ADM=90°,AD=A0﹣OD=, ∴AM===．∵△ABC是等边三角形, ∴AC=AB=BC,∠CAB=60°．∵BM=AB,∴AM=BM．∴CM⊥A B．∵AM=,∴BM=,AB=．∴AC=．∴CM===．∴CM地长度为．点评：本题考查了等边三角形地性质、相似三角形地性质与判定、直线与圆相切、勾股定理、特殊三角函数值等知识,考查了用临界值法求角地取值范围,综合性较强．4. （•泰州,第23题,10分）如图,BD是△ABC地角平分线,点E,F分别在BC、AB上,且DE∥AB,EF∥A C．（1）求证：BE=AF；（2）若∠ABC=60°,BD=6,求四边形ADEF地面积．（第4题图）考点：平行四边形地判定与性质；角平分线地性质；等腰三角形地判定与性质；含30度角地直角三角形分析：（1）由DE∥AB,EF∥AC,可证得四边形ADEF是平行四边形,∠ABD=∠BDE,又由BD是△ABC地角平分线,易得△BDE是等腰三角形,即可证得结论；（2）首先过点D作DG⊥AB于点G,过点E作EH⊥BD于点H,易求得DG与DE地长,继而求得答案．解答：（1）证明：∵DE∥AB,EF∥AC,∴四边形ADEF是平行四边形,∠ABD=∠BDE,∴AF=DE,∵BD是△ABC地角平分线,∴∠ABD=∠DBE,∴∠DBE=∠BDE,∴BE=DE,∴BE=AF；（2）解：过点D作DG⊥AB于点G,过点E作EH⊥BD于点H, ∵∠ABC=60°,BD是∠ABC地平分线,∴∠ABD=∠EBD=30°,∴DG=BD=×6=3,∵BE=DE,∴BH=DH=BD=3,∴BE==2,∴DE=BE=2,∴四边形ADEF地面积为：DE•DG=6．点评：此题考查了平行四边形地判定与性质、等腰三角形地判定与性质以及三角函数等知识．此题难度适中,注意掌握辅助线地作法,注意掌握数形结合思想地应用．5. （•泰州,第26题,14分）平面直角坐标系xOy中,点A、B分别在函数y1=（x＞0）与y=﹣（x＜0）地图象上,A、B地横坐标分别为2a、B．（第5题图）（1）若AB∥x轴,求△OAB地面积；（2）若△OAB是以AB为底边地等腰三角形,且a+b≠0,求ab地值；（3）作边长为3地正方形ACDE,使AC∥x轴,点D在点A地左上方,那么,对大于或等于4地任意实数a,CD边与函数y1=（x＞0）地图象都有交点,请说明理由．考点：反比例函数综合题．[来源:学_科_网]分析：（1）如图1,AB交y轴于P,由于AB∥x轴,根据k地几何意义得到S△OAC=2,S△OBC=2,所以S△OAB=S△OAC+S△OBC=4；（2）根据分别函数图象上点地坐标特征得A、B地纵坐标分别为、﹣,根据两点间地距离公式得到OA2=a2+（）2,OB2=b2+（﹣）2,则利用等腰三角形地性质得到a2+（）2=b2+（﹣）2,变形得到（a+b）（a﹣b）（1﹣）=0,由于a+b≠0,a＞0,b＜0,所以1﹣=0,易得ab=﹣4；（3）由于a≥4,AC=3,则可判断直线CD在y轴地右侧,直线CD与函数y1=（x＞0）地图象一定有交点,设直线CD与函数y1=（x＞0）地图象交点为F,由于A点坐标为（a,）,正方形ACDE地边长为3,则得到C点坐标为（a﹣3,）,F点地坐标为（a ﹣3,）,所以FC=﹣,然后比较FC与3地大小,由于3﹣FC=3﹣（﹣）=,而a≥4,所以3﹣FC≥0,于是可判断点F在线段DC上．解答：解：（1）如图1,AB交y轴于P,∵AB∥x轴,∴S△OAC=×|4|=2,S△OBC=×|﹣4|=2,∴S△OAB=S△OAC+S△OBC=4；（2）∵A、B地横坐标分别为a、b,∴A、B地纵坐标分别为、﹣,∴OA2=a2+（）2,OB2=b2+（﹣）2,[来源:学科网ZXXK]∵△OAB是以AB为底边地等腰三角形,∴OA=OB,∴a2+（）2=b2+（﹣）2,∴a2﹣b2+（）2﹣（）2=0,∴a2﹣b2+=0,∴（a+b）（a﹣b）（1﹣）=0,∵a+b≠0,a＞0,b＜0,∴1﹣=0,∴ab=﹣4；（3）∵a≥4,而AC=3,∴直线CD在y轴地右侧,直线CD与函数y1=（x＞0）地图象一定有交点, 设直线CD与函数y1=（x＞0）地图象交点为F,如图2,∵A点坐标为（a,）,正方形ACDE地边长为3,∴C点坐标为（a﹣3,）,∴F点地坐标为（a﹣3,）,∴FC=﹣,∵3﹣FC=3﹣（﹣）=,而a≥4,∴3﹣FC≥0,即FC≤3,∵CD=3,∴点F在线段DC上,即对大于或等于4地任意实数a,CD边与函数y1=（x＞0）地图象都有交点．[来源:学科网ZXXK]点评：本题考查了反比例函数地综合题：掌握反比例函数图象上点地坐标特征、反比例函数比例系数地几何意义、图形与坐标和正方形地性质；会利用求差法对代数式比较大小．6. （•扬州,第28题,12分）已知矩形ABCD地一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B 落在CD边上地P点处．（第6题图）（1）如图1,已知折痕与边BC交于点O,连结AP、OP、O A．①求证：△OCP∽△PDA；②若△OCP与△PDA地面积比为1：4,求边AB地长；（2）若图1中地点P恰好是CD边地中点,求∠OAB地度数；（3）如图2,,擦去折痕AO、线段OP,连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合）,动点N在线段AB地延长线上,且BN=PM,连结MN交PB于点F,作ME⊥BP 于点E．试问当点M、N在移动过程中,线段EF地长度是否发生变化？若变化,说明理由；若不变,求出线段EF地长度．考点：相似形综合题；全等三角形地判定与性质；等腰三角形地判定与性质；勾股定理；矩形地性质；特殊角地三角函数值．专题：综合题；动点型；探究型．分析：（1）只需证明两对对应角分别相等即可证到两个三角形相似,然后根据相似三角形地性质求出PC长以及AP与OP地关系,然后在Rt△PCO中运用勾股定理求出OP长,从而求出AB长．（2）由DP=DC=AB=AP及∠D=90°,利用三角函数即可求出∠DAP地度数,进而求出∠OAB地度数．（3）由边相等常常联想到全等,但BN与PM所在地三角形并不全等,且这两条线段地位置很不协调,可通过作平行线构造全等,然后运用三角形全等及等腰三角形地性质即可推出EF是PB地一半,只需求出PB长就可以求出EF长．解答：解：（1）如图1,①∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,DC=AB,∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．由折叠可得：AP=AB,PO=BO,∠PAO=∠BAO．∠APO=∠B．∴∠APO=90°．∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠PO C．∵∠D=∠C,∠APD=∠PO C．∴△OCP∽△PD A．②∵△OCP与△PDA地面积比为1：4, ∴====．∴PD=2OC,PA=2OP,DA=2CP．∵AD=8,∴CP=4,BC=8．设OP=x,则OB=x,CO=8﹣x．在Rt△PCO中,∵∠C=90°,CP=4,OP=x,CO=8﹣x,∴x2=（8﹣x）2+42．解得：x=5．∴AB=AP=2OP=10．∴边AB地长为10．（2）如图1,∵P是CD边地中点,∴DP=D C．∵DC=AB,AB=AP,∴DP=AP．∵∠D=90°,∴sin∠DAP==．∴∠DAP=30°．∵∠DAB=90°,∠PAO=∠BAO,∠DAP=30°, ∴∠OAB=30°．∴∠OAB地度数为30°．（3）作MQ∥AN,交PB于点Q,如图2．∵AP=AB,MQ∥AN,∴∠APB=∠ABP,∠ABP=∠MQP．∴∠APB=∠MQP．∴MP=MQ．∵MP=MQ,ME⊥PQ,∴PE=EQ=PQ．∵BN=PM,MP=MQ,∴BN=QM．∵MQ∥AN,∴∠QMF=∠BNF．在△MFQ和△NFB中,．∴△MFQ≌△NF B．∴QF=BF．∴QF=Q B．∴EF=EQ+QF=PQ+QB=P B．由（1）中地结论可得：PC=4,BC=8,∠C=90°．∴PB==4．∴EF=PB=2．∴在（1）地条件下,当点M、N在移动过程中,线段EF地长度不变,长度为2．点评：本题是一道运动变化类地题目,考查了相似三角形地性质和判定、全等三角形地性质和判定、矩形地性质、等腰三角形地性质和判定、勾股定理、特殊角地三角函数值等知识,综合性比较强,而添加适当地辅助线是解决最后一个问题地关键．7．（•温州,第20题10分）如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC地延长线于点F．（1）求∠F地度数；（2）若CD=2,求DF地长．考点：等边三角形地判定与性质；含30度角地直角三角形．分析：（1）根据平行线地性质可得∠EDC=∠B=60,根据三角形内角和定理即可求解；（2）易证△EDC是等边三角形,再根据直角三角形地性质即可求解．解答：解：（1）∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°,∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B=60°,∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°,∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；（2）∵∠ACB=60°,∠EDC=60°,∴△EDC是等边三角形．∴ED=DC=2,∵∠DEF=90°,∠F=30°,∴DF=2DE=4．点评：本题考查了等边三角形地判定与性质,以及直角三角形地性质,30度地锐角所对地直角边等于斜边地一半．8.（年广东汕尾,第19题7分）如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,分别以点A、C为圆心,大于AC 长为半径画弧,两弧相交于点M、N,连接MN,与AC、BC分别交于点D、E,连接AE．（1）求∠ADE；（直接写出结果）（2）当AB=3,AC=5时,求△ABE地周长．分析：（1）根据题意可知MN是线段AC地垂直平分线,由此可得出结论；（2）先根据勾股定理求出BC地长,再根据线段垂直平分线地性质即可得出结论．解：（1）∵由题意可知MN是线段AC地垂直平分线,∴∠ADE=90°；（2）∵在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,AC=5,∴BC==4,∵MN是线段AC地垂直平分线,∴AE=CE,∴△ABE地周长=AB+（AE+BE）=AB+BC=3+4=7．点评：本题考查地是作图﹣基本作图,熟知垂直平分线上任意一点,到线段两端点地距离相等是解答此题地关键．9.（•襄阳,第21题6分）如图,在△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,BD与CE交于点O,给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②BE=CD；③OB=O C．（1）上述三个条件中,由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？（用序号写出所有成立地情形）（2）请选择（1）中地一种情形,写出证明过程．考点：全等三角形地判定与性质；等腰三角形地判定专题：开放型．分析：（1）由①②；①③．两个条件可以判定△ABC是等腰三角形, （2）先求出∠ABC=∠ACB,即可证明△ABC是等腰三角形．解答：解：（1）①②；①③．（2）选①③证明如下,∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,∵∠EBO=∠DCO,又∵∠ABC=∠EBO+∠OBC,∠ACB=∠DCO+∠OCB, ∴∠ABC=∠ACB,∴△ABC是等腰三角形．点评：本题主要考查了等腰三角形地判定,解题地关键是找出相等地角求∠ABC=∠AC B．10.（•滨州,第24题10分）如图,已知正方形ABCD,把边DC绕D点顺时针旋转30°到DC′处,连接AC′,BC′,CC′,写出图中所有地等腰三角形,并写出推理过程．考点：正方形地性质；等腰三角形地判定；旋转地性质分析：利用旋转地性质以及正方形地性质进而得出等腰三角形,再利用全等三角形地判定与性质判断得出．解答：解；图中地等腰三角形有：△DCC′,△DC′A,△C′AB,△C′BC, 理由：∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD=DC,∠BAD=∠ADC=90°,∴DC=DC′=DA,∴△DCC′,△DC′A为等腰三角形,∵∠C′DC=30°,∠ADC=90°,∴∠ADC′=60°,∴△AC′D为等边三角形,∵∠C′AB=90°﹣60°=30°,∴∠CDC′=∠C′AB,在△DCC′和△AC′B中,∴△DCC′≌△AC′B（SAS）,∴CC′=C′B,∴△BCC′为等腰三角形．点评：此题主要考查了等腰三角形地判定以及全等三角形地判定与性质等知识,得出△AC′D为等边三角形是解题关键．作DE∥AC,交AB于E,若AB=5,求线段DE地长．考点：等腰三角形地判定与性质；平行线地性质．分析：（1）求出∠CAD=∠BAD=∠EDA,推出AE=DE,求出∠ABD=∠EDB,推出BE=DE,求出AE=BE,根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．解答：解：（1）∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∵DE∥AC,。
中考数学压轴题解析二十二
中考数学压轴题解析二十二一、选择题6．（2017湖北省咸宁市，第8题，3分）在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标为（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（）A．（32，0）B．（2，0）C．（52，0）D．（3，0）【答案】C．【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，易证△ACO≌△BCD（AAS），从而可求出B的坐标，进而可求出反比例函数的解析式，根据解析式与A的坐标即可得知平移的单位长度，从而求出C的对应点．点睛：本题考查反比例函数的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，反比例函数的解析式，平移的性质等知识，综合程度较高，属于中等题型．考点：反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化﹣平移；综合题．学科#网9．（2017怀化，第10题，4分）如图，A，B两点在反比例函数1kyx的图象上，C，D两点在反比例函数2kyx的图象上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC=2，BD=1，EF=3，则12k k的值是（）A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】D．【分析】由反比例函数的性质可知S△AOE=S△BOF=12k1，S△COE=S△DOF=﹣12k2，结合S△AOC=S△AOE+S△COE和S△BOD=S△DOF+S△BOF可求得k1﹣k2的值．点睛：本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是利用参数，构建方程组解决问题，属于中考常考题型．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．17．（2016吉林省长春市）如图，在平面直角坐标系中，点P（1，﹣4）、Q（m，n）在函数kyx=（x＞0）的图象上，当m＞1时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C、D．QD交PA于点E，随着m的增大，四边形ACQE的面积（）A．减小B．增大C．先减小后增大D．先增大后减小【答案】B．【分析】首先利用m和n表示出AC和AQ的长，则四边形ACQE的面积即可利用m、n表示，然后根据函数的性质判断．【解析】AC=m﹣1，CQ=n，则S四边形ACQE=AC•CQ=（m﹣1）n=mn﹣n．∵Q（m，n）在函数kyx=（x＞0）的图象上，∴mn=k=﹣4（常数），∴S四边形ACQE=AC•CQ=（m﹣1）n=﹣4﹣n，∵当m＞1时，n随m的增大而减小，∴S四边形ACQE=﹣4﹣n随m的增大而增大．故选B．考点：反比例函数系数k的几何意义．23．（2016山东省济宁市）如图，O为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，sin∠AOB=45，反比例函数48yx=在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，则△AOF的面积等于（）A．60 B．80 C．30 D．40【答案】D．【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，设OA=a，BF=b，通过解直角三角形分别找出点A、F的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a、b的值，通过分割图形求面积，最终找出△AOF的面积等于梯形AMNF的面积，利用梯形的面积公式即可得出结论．【解析】过点A作AM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，如图所示．设OA=a ，BF=b ，在Rt△OAM 中，∠AMO=90°，OA=a ，sin∠AOB=45，∴AM=OA•sin∠AOB=45a ，OM=22OA AM -=35a ，∴点A 的坐标为（35a ，45a ）．∵点A 在反比例函数48y x =的图象上，∴35a×45a=21225a=48，解得：a=10，或a=﹣10（舍去），∴AM=8，OM=6．∵四边形OACB 是菱形，∴OA=OB=10，BC∥OA，∴∠FBN=∠AOB．在Rt△BNF 中，BF=b ，sin∠FBN=45，∠BNF=90°，∴FN=BF•sin∠FBN=45b ，BN=22BF FN -=35b ，∴点F 的坐标为（10+35b ，45b ）．∵点B 在反比例函数48y x =的图象上，∴（10+35b ）×45b=48，解得：b=56125-，或b=56125--（舍去），∴FN=4(615)-，BN=615-，MN=OB+BN ﹣OM=611-． S△AOF=S△AOM+S 梯形AMNF ﹣S△OFN=S 梯形AMNF=12（AM+FN ）•MN=12（8+4(615)3-）×（611-）=40．故选D ．考点：反比例函数与一次函数的交点问题；综合题．30．（2016湖北省荆州市）如图，在Rt△AOB 中，两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，将△AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到△A′O′B．若反比例函数ky x =的图象恰好经过斜边A′B 的中点C ，S△ABO=4，tan∠BAO=2，则k 的值为（ ）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C．【分析】先根据S△ABO=4，tan∠BAO=2求出AO、BO的长度，再根据点C为斜边A′B的中点，求出点C的坐标，点C的横纵坐标之积即为k值．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．31．（2016辽宁省抚顺市）如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数kyx=（x＜0）的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，若△BCE的面积是6，则k的值为（）A．﹣6 B．﹣8 C．﹣9 D．﹣12【答案】D．【分析】先设D（a，b），得出CO=﹣a，CD=AB=b，k=ab，再根据△BCE的面积是6，得出BC×OE=12，最后根据AB∥OE，得出BC ABOC EO=，即BC•EO=AB•CO，求得ab的值即可．【解析】设D（a，b），则CO=﹣a，CD=AB=b，∵矩形ABCD的顶点D在反比例函数kyx=（x＜0）的图象上，∴k=ab，∵△BCE的面积是6，∴12×BC×OE=6，即BC×OE=12，∵AB∥OE ，∴BC ABOC EO =，即BC•EO=AB•CO，∴12=b ×（﹣a ），即ab=﹣12，∴k=﹣12，故选D ．考点：反比例函数系数k 的几何意义；矩形的性质；平行线分线段成比例；数形结合． 34．（2015眉山）如图，A 、B 是双曲线x ky =上的两点，过A 点作AC ⊥x 轴，交OB 于D 点，垂足为C ．若△ADO 的面积为1，D 为OB 的中点，则k 的值为（ ）A ．34B ．38C ．3D ．4【答案】B ．考点：1．反比例函数系数k 的几何意义；2．相似三角形的判定与性质． 35．（2015内江）如图，正方形ABCD 位于第一象限，边长为3，点A 在直线y=x 上，点A的横坐标为1，正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴．若双曲线kyx=与正方形ABCD有公共点，则k的取值范围为（）A．1＜k＜9 B．2≤k≤34 C．1≤k≤16 D．4≤k＜16 【答案】C．考点：1．反比例函数与一次函数的交点问题；2．综合题．36．（2015孝感）如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，点A在反比例函数1 yx =的图象上．若点B在反比例函数kyx=的图象上，则k的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2【答案】A．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．相似三角形的判定与性质；3．综合题．37．（2015宜昌）如图，市煤气公司计划在地下修建一个容积为410m3的圆柱形煤气储存室，则储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）的函数图象大致是（）A． B． C． D．【答案】A．考点：1．反比例函数的应用；2．反比例函数的图象．学科#网二、填空题51．（2017江苏省连云港市，第15题，3分）设函数3yx与y=﹣2x﹣6的图象的交点坐标为（a，b），则12a b的值是．【答案】﹣2．【分析】由两函数的交点坐标为（a，b），将x=a，y=b代入反比例解析式，求出ab的值，代入一次函数解析式，得出2a+b的值，将所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算后，把ab及2a+b的值代入即可求出值．点睛：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，其中将x=a，y=b代入两函数解析式得出关于a与b的关系式是解本题的关键．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．53．（2017浙江省宁波市，第17题，4分）已知△ABC的三个顶点为A（﹣1，﹣1），B（﹣1，3），C（﹣3，﹣3），将△ABC向右平移m（m＞0）个单位后，△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数3yx的图象上，则m的值为．【答案】4或1 2．【分析】求得三角形三边中点的坐标，然后根据平移规律可得AB边的中点（﹣1，1），BC 边的中点（﹣2，0），AC边的中点（﹣2，﹣2），然后分两种情况进行讨论：一是AB边的中点在反比例函数3yx的图象上，二是AC边的中点在反比例函数3yx的图象上，进而算出m的值．【解析】∵△ABC的三个顶点为A（﹣1，﹣1），B（﹣1，3），C（﹣3，﹣3），∴AB边的中点（﹣1，1），BC边的中点（﹣2，0），AC边的中点（﹣2，﹣2），∵将△ABC向右平移m （m＞0）个单位后，∴AB边的中点平移后的坐标为（﹣1+m，1），AC边的中点平移后的坐标为（﹣2+m，﹣2）．∵△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数3yx的图象上，∴﹣1+m=3或﹣2×（﹣2+m）=3，∴m=4或m=12．故答案为：4或12．点睛：此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．考点：反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化﹣平移；分类讨论．54．（2017浙江省温州市，第15题，5分）如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y 轴上，点B在第一象限，点D在边BC上，且∠AOD=30°，四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称（点A′和A，B′和B分别对应）．若AB=1，反比例函数kyx（k≠0）的图象恰好经过点A′，B，则k的值为．【答案】3 3．【分析】设B（m，1），得到OA=BC=m，根据轴对称的性质得到OA′=OA=m，∠A′OD=∠AOD=30°，求得∠A′OA=60°，过A′作A′E⊥OA于E，解直角三角形得到A′（12m，3m），列方程即可得到结论．【解析】∵四边形ABCO是矩形，AB=1，∴设B（m，1），∴OA=BC=m，∵四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称，∴OA′=OA=m，∠A′OD=∠AOD=30°，∴∠A′OA=60°，过A′作A′E⊥OA于E，∴OE=12m，A′E=3m，∴A′（12m，3m），∵反比例函数kyx（k≠0）的图象恰好经过点A′，B，∴12m•3m=m，∴m=43，∴k=43．故答案为：433．点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，轴对称的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．考点：反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质；轴对称的性质；综合题．72．（2016山东省滨州市）如图，已知点A、C在反比例函数y=的图象上，点B，D在反比例函数y=的图象上，a＞b＞0，AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB=，CD=，AB与CD间的距离为6，则a﹣b的值是．【答案】3．【分析】设点A、B的纵坐标为y1，点C、D的纵坐标为y2，分别表示出来A、B、C、D四点的坐标，根据线段AB、CD的长度结合AB与CD间的距离，即可得出y1、y2的值，连接OA、OB，延长AB交y轴于点E，通过计算三角形的面积结合反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．。
2017全国中考数学真题 等腰三角形与等边三角形(选择题+填空题+解答题)解析版
2017全国中考数学真题分类知识点29等腰三角形与等边三角形（选择题+填空题+解答题）解析版一、选择题1. 6. 7．(2017年四川南充，7，3分)如图4，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为( )A．(1，1) B．，1) C．) D．(1答案：D解析：过点B作BC⊥OA于点C，则OC＝1，BC．∴点B的坐标为(1，．故选D．2. 11．(2017天津，3分)如图，在△ABC中，AB=AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于BP+EP最小值的是A．BC B．CE C．AD D．AC第11题答案：B，解析：由AB=AC，可得△ABC是等腰三角形，根据“等腰三角形的三线合一性质”可知点B与点C关于直线AD对称，BP=CP，因此连接CE，BP+CP的最小值为CE，故选B.3. 6.（2017浙江湖州，3分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC,AB=6，点P是Rt△ABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于A．1B C.32D．2图3（第6题）DPBA答案：A，解析：在Rt△ABC中，连接CP并延长至AB于点D,由三角形的重心性质得到，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1，即:21CP PD=：;又∵AC=BC，在等腰直角△ABC中，由三线合一，得到CD垂直平分线段AB，AB=6，∴CD=BD=3，点P到AB所在直线的距离即为PD的长度，即PD=1.4.（2017浙江台州，8，4分）如图，已知等腰三角形ABC AB AC=，，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（）A．AE=EC B．AE=BEC．∠EBC=∠BAC D．∠EBC=∠ABE答案：C，解析：∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵BC＝BE，∴∠ACB＝∠BEC，∴∠BAC ＝∠EBC，因此选C．5.（2017内蒙古包头）若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．2cm B．4cm C. 6cm D．8cm答案：A，解析：考点等腰三角形的性质及三角形的三边关系.（1）若底边长为2cm，则腰长为(102)24cm-÷=，4+2＞4符合三角形三边关系，所以该等腰三角形的底边长为2cm；（2）若腰长为2cm，则底边长为10226cm-⨯=，2+2＜6不符合三角形三边关系，所以该等腰三角形的底边长为6cm舍去.6.（2017广西河池，12，3分）已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E 作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G.当G与D重合时，AD的长是（）A．3B．4C.8D．9答案：C解析：由题易知△DEF 为等边三角形，x ＋2x ＝12解得x ＝4，∴AD ＝2x ＝87. （2017湖北荆州，6，3分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC , ∠A ＝30°，AB 的垂直平分线交AC 于点D ，则∠CBD 的度数为（ ）A.30°B.45°C.50°D.75°答案：B ，解析：∵AB=AC ，∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=75°，∵AB 的垂直平分线交AC 于D ，∴AD=BD ，∴∠A=∠ABD=30°，∴∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．二、填空题1. （2017浙江丽水·12·4分）等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是答案：100°.解析：根据三角形的内角和等于1800，又等腰三角形的一个内角为100°，所以这个100°的内角只可能是顶角，故填100°．2. 16．(2017江苏扬州，，3分)如图，把等边△ABC 沿着DE 折叠，使点A 恰好落在BC 边上的点P 处，且DP ⊥BC ，若BP =4cm ，则EC = ▲ cm ． 【答案】3【解析】根据“030角所对的直角边等于斜边的一半”可求得BD=8,再由勾股定理求得DP ＝3根据折叠的性质可以得到060DPE A ∠=∠=,43DP DA ==,易得0030,90EPC PEC ∠=∠=,所以11(8434)22322EC PC ==+=+EDCA3.（2017山东淄博，16，4分）在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE ⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE＋DF＝____________.答案：23，解析：过点C作CG⊥AB，垂足为G，连接AD，则AG＝BG＝2．∴CG＝AC2－AG2＝42－22＝23.∵S△ABD＋S△ACD＝S△ABC,∴12AB×DE＋12AC×DF＝12AB×CG.∴12×4×DE＋12×4×DF＝12×4×CG.∴DE＋DF＝CG＝23.GFEAB C三、解答题1.（2017四川内江，18，9分）如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形.思路分析：如图，直接利用平行线的性质得出∠1＝∠3，进而利用角平分线的定义结合互余的性质得出∠B ＝∠BDE，即可得出答案．证明：∵DE∥AC，∴∠1＝∠3．∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2．∴∠2＝∠3．∵AD⊥BD，∴∠2+∠B＝90°，∠3+∠BD E＝90°.∴∠B＝∠BDE．∴△BDE是等腰三角形．2.（2017江苏连云港，22，10分）如图，已知等腰三角形ABC中，AB AC，点D,E分别在边AB、AC上，且AD AE，连接BE、CD，交于点F.(1)判断ABE∠与ACD∠的数量关系，并说明理由；(2)求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC.思路分析：（1）根据全等三角形的判定SAS可证明△ABE≌△ACD，然后证ABE∠=ACD∠，（2）根据（1）的结论可得AB=AC，从而得ABC ACB∠∠∴FBC FCB∠∠∴FB FC，得点A、F均在∠∠，∵ABE ACD线段BC的垂直平分线上，即可证出结论，解：(1)ABE ACD∠∠.△≌△.因为AB AC，BAE CAD∠∠，AE AD，所以ABE ACD所以ABE ACD∠∠.(2)因为AB AC，所以ABC ACB∠∠.由(1)可知ABE ACD∠∠，所以FB FC.∠∠，所以FBC FCB又因为AB AC，所以点A、F均在线段BC的垂直平分线上，即直线AF垂直平分线段BC．3. 18．（2017呼和浩特）（6分）如图，等腰三角形ABC中，BD，CE分别是两腰上的中线．（1）求证：BD＝CE（2）设BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点．当△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN的形状，无需说明理由．（1）证明：∵AB、AC为等腰三角形的两腰∴AB＝AC∵BD，CE分别是两腰上的中线∴AE＝AD在△AEC与△ADB中AE＝AD∠A＝∠AAC＝AB∴△AEC≌△ADB∴BD＝CE（2）四边形DEMN为正方形4.26．（2017宁夏，9分在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点P分别作PM⊥AB，PN⊥AC，M、N分别为垂足．（1）求证：不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；（2）当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大，并求出最大值．P思路分析：（1）连结AP，将△ABC分割成两个三角形，结合等边三角形的三条边相等，利用面积公式，即可求证结论；（2）设BP的长为x，利用面积的和差关系，将四边形AMPN的面积S用含x的代数式表示，将几何问题转换成代数式求最值问题，在此即是S关于x的二次函数，运用配方法求出最值．（1）解：连结AP，∵△ABC是等边三角形，故不妨设AB=BC=AC=a，其中BC边上的高记作h，∵PM⊥AB，PN⊥AC，∴S△ABC =S△ABP+S△ACP =111() 222AB MP AC PN a PM PN ⋅+⋅=+，又∵S△ABC =1122BC h ah⋅=，∴PM+PN =h，即不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；BCP（2）解：设BP =x ，在Rt △BNP 中，∠BMP =90°，∠B =60°，BP =x ，∴ BM =BP ·cos60°=12x ，MP =BP ·sin60°，∴ S △BMP =12BM ·MP =12·12x2x ； ∵ PC=2-x ，同理可得：S △PNC =8(2-x )2；又∵ S △ABC=4×22， ∴ S 四边形AMPN = S △ABC -S△BMP -S △PNC2x-x )2=x -1)2∴当BP =1时，四边形AMPN5. （2017北京，19，5分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ． 求证：AD ＝BC ．DCBA思路分析：由等腰三角形性质及三角形内角和定理，可求出∠AB D ＝∠C ＝BDC . 再据等角对等边，及等量代换即可求解．解：∵AB ＝AC , ∠A ＝36°∴∠ABC ＝∠C ＝12(180°-∠A )＝12×(180°-36°)＝72°，又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠DBC ＝12∠ABC ＝12×72°＝36°，∠BDC ＝∠A +∠ABD ＝36°+36°＝72°， ∴∠C ＝∠BDC ，∠A ＝∠ABD ，∴AD ＝BD ＝BC ．6. （2017黑龙江大庆，24， 7分）如图，以BC 为底边的等腰ABC ∆，点G E D ,,分别在AC AB BC ,,上，且BC EG //，AC DE //，延长GE 至点F ，使得BF BE =.（1）求证：四边形BDEF 为平行四边形；（2）当045=∠C ，2=BD 时，求F D ,两点间的距离.思路分析:（1）证明两组对比分别平行（2）构造直角△DHF ，利用勾股定理求解解：（1）∵EG ∥BC ，∴EF ∥BD ，∴∠AEG =∠ABC ，AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB =∠AGF ,又BE =BF ，∴∠F =∠FEB =∠AEG =∠AGE ,∴BF ∥AC ，∵ED ∥AC ，∴BF ∥DE ，∴四边形BDEF 为平行四边形.（2）如图,作FH ⊥DE ，交DE 延长线于点H ，则四边形FBEH 为正方形，FH =EH =EB .∵∠ACB=45°，∴△ABC 和△EDB 都是等腰直角三角形，∵BD =2，∴BE =2×sin45°=2，∴FH =2,HD =22,在Rt △FHD 中，DF =22FH HD +=82+=107. （2017内蒙古赤峰，25，12 分）△OPA 和△OQB 分别是以OP 、OQ 为直角边的等腰直角三角形，点C 、D 、E分别是OA 、OB 、AB 的中点．图3图2图1BAAO（1）当∠AOB＝90°时如图1，连接PE 、QE ，直接写出EP 与EQ 的大小关系；（2）将△OQB 绕点O 逆时针方向旋转，当∠AOB 是锐角时如图2，（1）中的结论是否成立?若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明．（3）仍将△OQB 绕点O 旋转，当∠AOB 为钝角时，延长PC 、QD 交于点G ，使△ABG 为等边三角形如图3，求∠AOB 的度数．思路分析：本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的三线合一性质，等角对等边，等边对等角，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，多边形内角和等，掌握相关图形的判定定理与性质定理是解题的关键．（1）①利用直角三角形斜边上的中线性质证OE ＝AE ；②证PE 垂直平分OA ；③证∠OPE ＝45°，④证∠OQE ＝45°，写出结论.（2）（1）中的结论成立.证△PCE ≌△EDQ 可得EP ＝EQ ． （3）∠AOB 的度数＝12（四边形的内角和－∠AGB 的度数）． 解：（1）EP ＝EQ ．连接OE ．∵∠AOB ＝90°，E 是AB 的中点，∴OE ＝AE ． 又∵OP ＝AP ，∴PE 垂直平分OA ，∴点C 在PE 上． ∵∠OPA ＝90°，∴∠OPE ＝12∠OPA ＝45°． 同理可证∠OQE ＝45°．∴EP ＝EQ ．（2）∵△OPA 等腰直角三角形，点C 是OA 的中点，∴OC ＝PC ，∠PCA ＝90°．∵点C 、D 、E 分别是OA 、OB 、AB 的中点， ∴CE ∥OD ，OC ∥DE ．∴四边形ODEC 是平行四边形． ∴OC ＝DE ． ∴PC ＝DE ．同理可证CE ＝DQ ，∠BDQ ＝90°． ∵CE ∥OD ，OC ∥DE ， ∴∠ACE ＝∠AOD ＝∠EDB ． ∴∠PCE ＝∠EDQ ． ∴△PCE ≌△EDQ ． ∴EP ＝EQ ． （3）连接OG ．∵△OPA 等腰直角三角形，点C 是OA 的中点， ∴OC ＝PC ，∠PCA ＝90°． ∴PC 垂直平分OA ．∵点G 在PC 上，∴AG ＝OG ． 同理可证点G 在QC 上，∴BG ＝OG ． ∴∠PCA ＝∠PCA ，∠PCA ＝∠PCA ． ∵△ABG 为等边三角形，∴∠AGB ＝60°． ∵四边形的内角和为360°， ∴∠AOB 的度数＝12（四边形的内角和－∠AGB 的度数）＝12（360°－60°）＝150°．8. 21．（本题满分9分）（2017山东莱芜，21，9分） 己知△ABC 与△DEC 是两个大小不同的等腰直角三角形．（1）如图①所示，连接AE 、DB ．试判断线段AE 和DB 的数量和位置关系，并说明理由；（2）如图②所示，连接DB ，将线段DB 绕D 点顺时针旋转90°到DF ，连接AF ，试判断线段DE 和AF 的数量和位置关系，并说明理由．思路分析：（1）通过证明Rt △ACE ≌Rt △BCD 即可解决；（2）通过证明△EBD ≌△ADF 即可得解. 解：（1）AE ＝DB ，AE ⊥DB .① C E B ② F C E B （第21题图）2017全国中考数学真题（精品文档）11 理由：由题意可知，CA ＝CB ，CE ＝CD ，∠ACE ＝∠BCD ＝90°， ∴Rt △ACE ≌Rt △BCD .∴AE ＝DB .延长DB 交AE 于点M ，∵Rt △ACE ≌Rt △BCD ，∴∠AEC ＝∠BDC .又∵∠AEC ＋∠EAC ＝90°，∴∠BDC ＋∠EAC ＝90°，∴在△AMD 中，∠AMD =180°－90°＝90°，∴AE ⊥DB .（2）DE ＝AF ，DE ⊥AF .理由：设ED 与AF 相交于点N ，由题意可知，BE ＝AD .∵∠EBD ＝∠C ＋∠BDC ＝90°＋∠BDC ，∠ADF ＝∠BDF ＋∠BDC ＝90°＋∠BDC ，∴∠EBD ＝∠ADF ，又∵DB ＝DF ，∴△EBD ≌△ADF .∴DE ＝AF .∠E ＝∠FAD ，∵∠E ＝45°，∠EDC ＝45°，∴∠FAD ＝45°. ∴∠AND ＝90°. ∴DE ⊥AF .。
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等腰三角形一、选择题1．（2016·山东烟台）如图，Rt△ABC 的斜边AB 与量角器的直径恰好重合，B 点与0刻度线的一端重合，∠ABC=40°，射线CD 绕点C 转动，与量角器外沿交于点D ，若射线CD 将△ABC分割出以BC 为边的等腰三角形，则点D 在量角器上对应的度数是（ ）A ．40°B ．70°C ．70°或80°D ．80°或140°【考点】角的计算．【分析】如图，点O 是AB 中点，连接DO ，易知点D 在量角器上对应的度数=∠DOB=2∠BCD，只要求出∠BCD 的度数即可解决问题．【解答】解：如图，点O 是AB 中点，连接DO ．∵点D 在量角器上对应的度数=∠DOB=2∠BCD，∵当射线CD 将△ABC 分割出以BC 为边的等腰三角形时，∠BCD=40°或70°，∴点D 在量角器上对应的度数=∠DOB=2∠BCD=80°或140°，故选D ．2．（2016·山东枣庄）如图，在△ABC 中，AB = AC ，∠A = 30°，E 为BC 延长线上一点，∠ABC 与∠ACE 的平分线相交于点D ，则∠D 等于A ．15°B ．17. 5°C ．20°D ．22.5°【答案】A.【解析】试题分析：在△ABC 中，AB=AC ，∠A=30°，根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=75°，DA B 第4题图所以∠ACE=180°-∠ACB=180°-75°=105°，根据角平分线的性质可得∠DBC=37.5°，∠ACD=52.5°，即可得∠BCD=127.5°，根据三角形的内角和定理可得∠D=180°-∠DBC-∠BCD=180°-37.5°-127.5°=15°，故答案选A.考点：等腰三角形的性质；三角形的内角和定理.3．（2016.山东省泰安市，3分）如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）A．44°B．66°C．88°D．92°【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B，证明△AMK≌△BKN，得到∠AMK=∠BKN，根据三角形的外角的性质求出∠A=∠MKN=44°，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵PA=PB，∴∠A=∠B，在△AMK和△BKN中，，∴△AMK≌△BKN，∴∠AMK=∠BKN，∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK，∴∠A=∠MKN=44°，∴∠P=180°﹣∠A﹣∠B=92°，故选：D．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键．4．（2016·江苏省扬州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6．将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是（）A．6 B．3 C．2.5 D．2【考点】几何问题的最值．【分析】以BC 为边作等腰直角三角形△EBC，延长BE 交AD 于F ，得△ABF 是等腰直角三角形，作EG⊥CD 于G ，得△EGC 是等腰直角三角形，在矩形ABCD 中剪去△ABF，△BCE，△ECG 得到四边形EFDG ，此时剩余部分面积的最小【解答】解：如图以BC 为边作等腰直角三角形△EBC，延长BE 交AD 于F ，得△ABF 是等腰直角三角形，作EG⊥CD 于G ，得△EGC 是等腰直角三角形，在矩形ABCD 中剪去△ABF，△BCE，△ECG 得到四边形EFDG ，此时剩余部分面积的最小=4×6﹣×4×4﹣×3×6﹣×3×3=2.5．故选C ．二、填空题1.（2016·湖北黄冈）如图，已知△ABC, △DCE, △FEG, △HGI 是4个全等的等腰三角形，底边BC ，CE ，EG ，GI 在同一条直线上，且AB=2，BC=1. 连接AI ，交FG 于点Q ，则QI=_____________.A D F HQB C E G I（第14题）【考点】相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质.【分析】过点A 作AM ⊥BC. 根据等腰三角形的性质，得到MC=21BC=21，从而MI=MC+CE+EG+GI=27.再根据勾股定理，计算出AM 和AI 的值；根据等腰三角形的性质得出角相等，从而证明AC ∥GQ ，则△IAC ∽△IQG ，故AI QI=CI GI，可计算出QI=34.A D F HQB MC E G I【解答】解：过点A 作AM ⊥BC.根据等腰三角形的性质，得 MC=21BC=21. ∴MI=MC+CE+EG+GI=27. 在Rt △AMC 中，AM 2=AC 2-MC 2= 22-（21）2=415. AI=MI AM22+=)(272415+=4. 易证AC ∥GQ ，则△IAC ∽△IQG ∴AI QI =CI GI即4QI=31∴QI=34.故答案为：34.2. (2016·四川资阳)如图，在3×3的方格中，A 、B 、C 、D 、E 、F 分别位于格点上，从C 、D 、E 、F 四点中任取一点，与点A 、B 为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是 ．【考点】概率公式；等腰三角形的判定．【分析】根据从C 、D 、E 、F 四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D 、C 、F 时，所作三角形是等腰三角形，即可得出答案．【解答】解：根据从C 、D 、E 、F 四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D 、C 、F 时，所作三角形是等腰三角形，故P （所作三角形是等腰三角形）=；故答案为：．3. （2016·四川成都·4分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE 垂直平分OB于点E，则AD的长为3．【考点】矩形的性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质．【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA=AB=OB=3，得出BD=2OB=6，由勾股定理求出AD即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，∴OA=OB，∵AE垂直平分OB，∴AB=AO，∴OA=AB=OB=3，∴BD=2OB=6，∴AD===3；故答案为：3．4. （2016·四川达州·3分）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10，则四边形APBQ的面积为24+9．【考点】旋转的性质；等边三角形的性质．【分析】连结PQ，如图，根据等边三角形的性质得∠BAC=60°，AB=AC，再根据旋转的性质得AP=PQ=6，∠PAQ=60°，则可判断△APQ为等边三角形，所以PQ=AP=6，接着证明△APC≌△ABQ得到PC=QB=10，然后利用勾股定理的逆定理证明△PBQ为直角三角形，再根据三角形面积公式，利用S四边形APBQ=S△BPQ+S△APQ进行计算．【解答】解：连结PQ，如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC，∵线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，∴AP=PQ=6，∠PAQ=60°，∴△APQ为等边三角形，∴PQ=AP=6，∵∠CAP+∠BAP=60°，∠BAP+∠BAQ=60°，∴∠CAP=∠BAQ，在△APC和△ABQ中，，∴△APC≌△ABQ，∴PC=QB=10，在△BPQ中，∵PB2=82=64，PQ2=62，BQ2=102，而64+36=100，∴PB2+PQ2=BQ2，∴△PBQ为直角三角形，∠BPQ=90°，∴S四边形APBQ=S△BPQ+S△APQ=×6×8+×62=24+9．故答案为24+9．5.（2016江苏淮安，16，3分）已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是10 ．【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】根据任意两边之和大于第三边，知道等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，把三条边的长度加起来就是它的周长．【解答】解：因为2+2＜4，所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，周长：4+4+2=10，答：它的周长是10，故答案为：10【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是先判断出三角形的两条腰的长度，再根据三角形的周长的计算方法，列式解答即可．6.（2016·广东广州）如图3，△ABC中，AB＝AC，BC＝12cm,点D在AC上，DC＝4cm,将线段DC沿CB方向平移7cm得到线段EF，点E、F分别落在边AB、BC上，则△EBF的周长是 cm.［难易］ 容易［考点］ 平移 ，等腰三角形等角对等边［解析］ ∵CD 沿CB 平移7cm 至EF∴=∴=-===∠=∠=∴∠=∠∴==∴=++=++=V Q //,75,4,,444513EBF EF CD CF BF BC CF EF CD EFB CAB AC B C EB EF C EB EF BF［参考答案］ 137.（2016·广西贺州）如图，在△A BC 中，分别以AC 、BC 为边作等边三角形ACD 和等边三角形BCE ，连接AE 、BD 交于点O ，则∠AOB的度数为 120° ．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【分析】先证明∴△DCB≌△ACE，再利用“8字型”证明∠AOH=∠DCH=60°即可解决问题．【解答】解：如图：AC 与BD 交于点H ．∵△ACD，△BCE 都是等边三角形，∴CD=CA，CB=CE ，∠ACD=∠BCE=60°，∴∠DCB=∠ACE，在△DCB 和△ACE 中，，∴△DCB≌△ACE，∴∠CAE=∠CDB，∵∠DCH+∠CHD+∠BDC=180°，∠AOH+∠AHO+∠CAE=180°，∠DHC=∠OHA，∴∠AOH=∠DCH=60°，∴∠AOB=180°﹣∠AOH=120°．故答案为120°【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会利用“8字型”证明角相等，属于中考常考题型．8．（2016·山东烟台）如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应﹣3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为．【考点】勾股定理；实数与数轴；等腰三角形的性质．【分析】先利用等腰三角形的性质得到OC⊥AB，则利用勾股定理可计算出OC=，然后利用画法可得到OM=OC=，于是可确定点M对应的数．【解答】解：∵△ABC为等腰三角形，OA=OB=3，∴OC⊥AB，在Rt△OBC中，OC===，∵以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，∴OM=OC=，∴点M对应的数为．故答案为．9．（2016.山东省青岛市,3分）如图，以边长为20cm的正三角形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4cm长的六条线段，过截得的六个端点作所在边的垂线，形成三个有两个直角的四边形．把它们沿图中虛线剪掉，用剩下的纸板折成一个底为正三角形的无盖柱形盒子，则它的容积为448﹣480 cm3．【考点】剪纸问题．【分析】由题意得出△ABC为等边三角形，△OPQ为等边三角形，得出∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC．∠POQ=60°，连结AO，作QM⊥OP于M，在Rt△AOD中，∠OAD=∠OAK=30°，得出OD=AD=2cm，AD=OD=2cm，同理：BE=AD=2cm，求出PQ、QM，无盖柱形盒子的容积=底面积×高，即可得出结果．【解答】解：如图，由题意得：△ABC为等边三角形，△OPQ为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC，∠POQ=60°，∴∠ADO=∠AKO=90°．连结AO，作QM⊥OP于M，在Rt△AOD中，∠OAD=∠OAK=30°，∴OD=AD=2cm，∴AD=OD=2cm，同理：BE=AD=2cm，∴PQ=DE=20﹣2×2=20﹣4（cm），∴QM=OP•sin60°=（20﹣4）×=10﹣6，（cm），∴无盖柱形盒子的容积=×（20﹣4）（10﹣6）×4=448﹣480（cm3）；故答案为：448﹣480．10．（2016·江苏泰州）如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α=40°，则∠β等于20°．【考点】等边三角形的性质；平行线的性质．【分析】过点A作AD∥l1，如图，根据平行线的性质可得∠BAD=∠β．根据平行线的传递性可得AD∥l2，从而得到∠DAC=∠α=40°．再根据等边△ABC可得到∠BAC=60°，就可求出∠DAC，从而解决问题．【解答】解：过点A作AD∥l1，如图，则∠BAD=∠β．∵l1∥l2，∴AD∥l2，∵∠DAC=∠α=40°．∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠β=∠BAD=∠BAC﹣∠DAC=60°﹣40°=20°．故答案为20°．三.解答题1.（2016年浙江省宁波市）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线于对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB 的度数．（3）如图2，△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】新定义．【分析】（1）根据完美分割线的定义只要证明①△ABC不是等腰三角形，②△ACD是等腰三角形，③△BDC∽△BCA即可．（2）分三种情形讨论即可①如图2，当AD=CD时，②如图3中，当AD=AC时，③如图4中，当AC=CD时，分别求出∠ACB即可．（3）设BD=x，利用△BCD∽△BAC，得=，列出方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，∵∠A=40°，∠B=60°，∴∠ACB=80°，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°，∴∠ACD=∠A=40°，∴△ACD为等腰三角形，∵∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线．（2）①当AD=CD时，如图2，∠ACD=∠A=45°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．②当AD=AC时，如图3中，∠ACD=∠ADC==66°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°．③当AC=CD时，如图4中，∠ADC=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃．∴∠ACB=96°或114°．（3）由已知AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴=，设BD=x，∴（）2=x（x+2），∵x＞0，∴x=﹣1，∵△BCD∽△BAC，∴==，∴CD=×2=﹣．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会分类讨论思想，属于中考常考题型．2．（2016·上海）如图所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且∠AGE=∠DAB．（1）求线段CD的长；（2）如果△AEC是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；（3）如果点F在边CD上（不与点C、D重合），设AE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．【考点】四边形综合题．【专题】综合题．【分析】（1）作DH⊥AB于H，如图1，易得四边形BCDH为矩形，则DH=BC=12，CD=BH，再利用勾股定理计算出AH，从而得到BH和CD的长；（2）分类讨论：当EA=EG时，则∠AGE=∠GAE，则判断G点与D点重合，即ED=EA，作EM⊥AD 于M，如图1，则AM=AD=，通过证明Rt△AME∽Rt△AHD，利用相似比可计算出此时的AE长；当GA=GE时，则∠AGE=∠AEG，可证明AE=AD=15，（3）作DH⊥AB于H，如图2，则AH=9，HE=AE﹣AH=x﹣9，先利用勾股定理表示出DE=，再证明△EAG∽△EDA，则利用相似比可表示出EG=，则可表示出DG，然后证明△DGF∽△EGA，于是利用相似比可表示出x和y的关系．【解答】解：（1）作DH⊥AB于H，如图1，易得四边形BCDH为矩形，∴DH=BC=12，CD=BH，在Rt△ADH中，AH===9，∴BH=AB﹣AH=16﹣9=7，∴CD=7；（2）当EA=EG时，则∠AGE=∠GAE，∵∠AGE=∠DAB，∴∠GAE=∠DAB，∴G点与D点重合，即ED=EA，作EM⊥AD于M，如图1，则AM=AD=，∵∠MAE=∠HAD，∴Rt△AME∽Rt△AHD，∴AE：AD=AM：AH，即AE：15=：9，解得AE=；当GA=GE时，则∠AGE=∠AEG，∵∠AGE=∠DAB，而∠AGE=∠ADG+∠DAG，∠DAB=∠GAE+∠DAG，∴∠GAE=∠ADG，∴∠AEG=∠ADG，∴AE=AD=15，综上所述，△AEC是以EG为腰的等腰三角形时，线段AE的长为或15；（3）作DH⊥AB于H，如图2，则AH=9，HE=AE﹣AH=x﹣9，在Rt△ADE中，DE==，∵∠AGE=∠DAB，∠AEG=∠DEA，∴△EAG∽△EDA，∴EG：AE=AE：ED，即EG：x=x：，∴EG=，∴DG=DE﹣EG=﹣，∵DF∥AE，∴△DGF∽△EGA，∴DF：AE=DG：EG，即y：x=（﹣）：，∴y=（9＜x＜）．【点评】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握梯形的性质等等腰三角形的性质；常把直角梯形化为一个直角三角形和一个矩形解决问题；会利用勾股定理和相似比计算线段的长；会运用分类讨论的思想解决数学问题．3．（2016·江苏省宿迁）如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为 4 ．【分析】如图，当AB=AD时，满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个．【解答】解：如图，当AB=AD时，满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，△P1BC，△P2BC是等腰直角三角形，△P3BC是等腰直角三角形（P3B=P3C），则AB=AD=4，故答案为4．【点评】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．4．（2016·江苏省宿迁）如图，已知BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在边AB、BC上，ED∥BC，EF∥AC．求证：BE=CF．【分析】先利用平行四边形性质证明DE=CF，再证明EB=ED，即可解决问题．【解答】证明：∵ED∥BC，EF∥AC，∴四边形EFCD是平行四边形，∴DE=CF，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∴∠EBD=∠EDB，∴EB=ED，∴EB=CF．【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用直线知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．5．（2016·江苏省宿迁）已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是边AB上一动点（A、B两点除外），将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．（1）如图1，当α=90°时，G是边AB上一点，且BG=AD，连接GF．求证：GF∥AC；（2）如图2，当90°≤α≤180°时，AE与DF相交于点M．①当点M与点C、D不重合时，连接CM，求∠CMD的度数；②设D为边AB的中点，当α从90°变化到180°时，求点M运动的路径长．【分析】（1）欲证明GF∥AC，只要证明∠A=∠FGB即可解决问题．（2）①先证明A、D、M、C四点共圆，得到∠CMF=∠CAD=45°，即可解决问题．②利用①的结论可知，点M在以AC为直径的⊙O上，运动路径是弧CD，利用弧长公式即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，∵CA=CB，∠ACB=90°，∴∠A=∠ABC=45°，∵△CEF是由△CAD旋转逆时针α得到，α=90°，∴CB与CE重合，∴∠CBE=∠A=45°，∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，∵BG=AD=BF，∴∠BGF=∠BFG=45°，∴∠A=∠BGF=45°，∴GF∥AC．（2）①如图2中，∵CA=CE，CD=CF，∴∠CAE=∠CEA，∠CDF=∠CFD，∵∠ACD=∠ECF，∴∠ACE=∠CDF，∵2∠CAE+∠ACE=180°，2∠CDF+∠DCF=180°，∴∠CAE=∠CDF，∴A、D、M、C四点共圆，∴∠CMF=∠CAD=45°，∴∠CMD=180°﹣∠CMF=135°．②如图3中，O是AC中点，连接OD、CM．∵AD=DB，CA=CB，∴CD⊥AB，∴∠ADC=90°，由①可知A、D、M、C四点共圆，∴当α从90°变化到180°时，点M在以AC为直径的⊙O上，运动路径是弧CD，∵OA=OC，CD=DA，∴DO⊥AC，∴∠DOC=90°，∴的长==．∴当α从90°变化到180°时，点M运动的路径长为．【点评】本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、平行线的判定和性质、弧长公式、四点共圆等知识，解题的关键是发现A、D、M、C四点共圆，最后一个问题的关键，正确探究出点M的运动路径，记住弧长公式，属于中考压轴题．6．（2016•辽宁沈阳）在△ABC中，AB=6，AC=BC=5，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜180°），点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD，BE．（1）如图，当α=60°时，延长BE交AD于点F．①求证：△ABD是等边三角形；②求证：BF⊥AD，AF=DF；③请直接写出BE的长；（2）在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE，当∠DAG=∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接写出BE+CE的值．温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．【考点】三角形综合题．【分析】（1）①由旋转性质知AB=AD，∠BAD=60°即可得证；②由BA=BD、EA=ED根据中垂线性质即可得证；③分别求出BF、EF的长即可得；（2）由∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°、∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°、∠DAG=∠ACB、∠DAE=∠BAC 得∠BAE=∠BAC且AE=AC，根据三线合一可得CE⊥AB、AC=5、AH=3，继而知CE=2CH=8、BE=5，即可得答案．【解答】解：（1）①∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE，∴AB=AD，∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形；②由①得△ABD是等边三角形，∴AB=BD，∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE，∴AC=AE，BC=DE，又∵AC=BC，∴EA=ED，∴点B、E在AD的中垂线上，∴BE是AD的中垂线，∵点F在BE的延长线上，∴BF⊥AD，AF=DF；③由②知BF⊥AD，AF=DF，∴AF=DF=3，∵AE=AC=5，∴EF=4，∵在等边三角形ABD 中，BF=AB•sin∠BAF=6×=3，∴BE=BF﹣EF=3﹣4；（2）如图所示，∵∠DAG=∠ACB，∠DAE=∠BAC，∴∠ACB+∠BAC+∠ABC=∠DAG+∠DAE+∠ABC=180°，又∵∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°，∴∠BAE=∠ABC，∵AC=BC=AE，∴∠BAC=∠ABC，∴∠BAE=∠BAC，∴AB⊥CE，且CH=HE=CE，∵AC=BC，∴AH=BH=AB=3，则CE=2CH=8，BE=5，∴BE+CE=13．【点评】本题主要考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、中垂线的性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．21。