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第六章微分方程

6.1 微分方程的基本概念

微分方程：

含有未知函数的导数（或微分）的等式称为微分方程。

微分方程的阶：

微分方程中，所含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶。

微分方程的通解：

如果微分方程的解这中含有任意常数，且任意个不相关的常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。

微分方程的特解：

在通解中给予任意常数以确定的值而得到的解，称为特解。

初始条件：

用于确定通解中的任意常数而得到特解的条件称为初始条件。

积分曲线：

微分方程的特解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线。

6.2 一阶微分方程的求解方法

6.2.1分离变量法

可分离变量的微分方程：

形如dy

f ( x)

g ( y) 的微分方程，称为可分离变量的微分方程。dx

特点：

等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个是只含有x 的函数，另一个是只含有y 的函数．解法：

当 g( y)0 时，把dy

f ( x) g( y) 分离变量为dy f ( x)dx, (

g ( y) 0) 对上式两边积dx g( y)

分，得通解为

dy

f ( x)dx C g( y)

（这里我们把积分常数 C 明确写出来，而把dy

， f ( x)dx 分别理解为

1

和f (x)的g( y)g( y)

一个确定的原函数。）

6.2.2齐次方程和可化为齐次方程的一阶方程不考。

6.2.3一阶线性微分方程

一阶线性微分方程：

如果一阶微分方程 F (x, y, y ) 0 可以写为 y p( x) y q( x) 则称之为一阶线性微分方程，

其中 p(x) 、 q(x) 为连续函数．当q( x)0 时，此方程为dy

0 ，称它为对应于

p(x) y

dx

非齐次线性方程的齐次线性微分方程；当 q(x)0 时，称为非齐次线性微分方程。

解法：

用常数变易法可得其通解为：

p( x) dx p( x) dx

c)

y e( q(x)e dx

（注：其中每个积分，不再加任意常数C。）6.4可降阶的二阶微分方程

6.4.1不显含未知函数y 的二阶方程：y f ( x, y )

解法：

令 y p p( x) ，则 y dp dp ，方程变为

dx dx

yp( x)dx ，即得通解。

6.4.2不显含自变量 x 的二阶方程 : y f ( y, y )解法：

令 y= p = p( y) ，则y dp p ，方程变为p

dp

dy dy 解。f ( x, p)

f ( y, p)

，解之得p ,再积分得

，解之得p ,再积分得通

6.5二阶线性微分方程

6.5.1二阶线性微分方程的解的结构

二阶线性微分方程：

形如y p(x) y q( x) y f(x) 的方程,称为二阶线性微分方程。若 f ( x) 0，称之为二阶齐次线性微分方程；若 f ( x)0 ，称之为二阶非齐次线性微分方程。

齐次线性方程解的叠加原理：

如果函数 y1, y2是齐次方程y p( x) y q(x) y 0 的两个解,则y C1 y1C2 y2也是方程 y p(x) y q( x) y0的解 ,其中C ,C均为任意常数。

12

齐次线性方程的通解结构：

如果函数 y1 ( x) , y2 (x) 是齐次方程y p(x) y q(x)y 0的两个线性无关解 ,则函数y C y C y C C y p( x) y q(x) y0

非齐次线性方程的通解结构：

如果

y * 是方程 y

p(x) y

q( x) y f (x) 的一个特解， Y

C 1 y 1 C 2 y 2 是方

程 y p( x) y

q( x) y f ( x) 的通解 , 则 y Y y* C 1

y 1 C 2 y 2

y *

是方程 y p( x) y q( x) y f ( x) 的通解。

线性微分方程的解的叠加原理：

若 y 1 ， y 2 分别是方程 y p( x) y q(x) y

f 1 ( x) ， y

p( x) y q( x) y f 2 (x)

的特解，则

y y 1 y 2

是方程 y

p( x) y q( x) y

f 1 ( x) f 2 (x) 的特解。

6.5.2

二阶常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程：

y

py qy

0 ， 其中 p ， q 是常数。

特征方程与特征根：

根据 y

py qy 0 ，可得 r 2 pr q

0 。只要 r 的值能使 r 2 pr q

0 式成立。

那么

y e rx

就是 y

py qy 0 的解，称 r 2 pr q 0 为 y

py qy

0 的

特征方程，称 r

2

pr q

0 的根 r 1,r 2 为方程特征根。

二阶常系数齐次线性微分方程的通解：

特征方程 r

2

r 1,r 2

微分方程 y py qy 0 的通解

pr q 0 的两个特征根

r 1

r 2

y c 1e r 1x

c 2 e r 2 x

r 1

r 2

y

(c 1

c 2 x)e r 1

x

r 1.2

i

y

e x

(c 1 cos x c 2 sin x)

6.5.3 二阶常系数非齐次线性微分方程

二阶常系数非齐次线性微分方程：

形如 y

py qy f ( x) （其中 p,q 均为常数 , f ( x) 0 ）的方程 ,称为二阶常系数非齐次

线性微分方程。

二阶常系数非齐次线性微分方程的通解：