高二数学 抛物线焦点弦的性质
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探究抛物线焦点弦的其它性质
F
O
若A( x1, y1 )，B( x2 , y2 )在抛物线 y2 2 px ( p A0)上，
x
则 y1 y2 p2 直线AB过焦点F
焦半径|
AF
|
xA
p 2
焦点弦长| AB | xA xB p
y
B
通径| H1H2 | 2 p
焦点弦长| AB | 2 p sin2
(其中为直线AB与
焦点弦长| AB | x1 x2 p
⒉过为抛__物_2_4线___y_2；一12条x的焦焦点点弦作长倾为斜16角，为则43弦所的在弦的，直则线此倾弦斜长 角为 ___或__2____．
33
焦点弦长|
AB
|
2p
sin2
(其中为直线AB与对称轴的夹角）
m
⒊过抛物线 y2 2 px ( p 0) 的对称轴上有一点M (p, 0)，
（课本P123习题第6题）
变：设抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点为F，经过点F 的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线 上，且BC x轴，证明AC经过原点O。 （01高考）
本节课，我们主要从代数（方程）的角度研究抛物线 的焦点弦的一些性质。而对于从几何观点去研究它的 性质，希望同学们课后完成。
一、复习
⒈焦点弦的定义
⒉焦半径公式
若M (x0, y0 )在焦点为F的抛物线 y2 2 px ( p 0) 上，
则|MF| =
p x0 2
⒊通径
| H1H2 | 2 p
yy
M
H2
OO FF
xx
H1
p x
2
二、抛物线 y2 2 px ( p 0)的焦点弦性质
下记AB为焦点弦，H1H2为通径
y2 ) p x1
x2
p 2
直线AB过焦点F
2）若
x1
x2 , 则kAB
y2 x2
y1 x1
y2 y22 2p
y1 y12
2p
2p
y1 y2
k AF
y1
x1
p 2
y1 y12 2p
p 2
2 py1 y12 p2
2 py1
y12 y1 y2
2p y1 y2
y
B
kAB kAF 直线AB过焦点F
2 px
y
B
消x，得 : y2 2 p y p2 0 k
y1 y2 p2
F
O
x
A
二、抛物线 y2 2 px ( p 0)的焦点弦性质
下记AB为焦点弦，H1H2为通径 1. 若若AA、、BB的的横纵坐坐标标为为x1y、1、xy2，2，则则x1yx12y2p42 p2 2. 若直线与抛物线y2 2 px ( p 0)的两个交点的纵坐标
y1、y2，满足 y1 y2 p2，则该直线是否经过焦点F ？
2. 若直线与抛物线y2 2 px ( p 0)的两个交点的纵坐标y1、y2， 满足 y1 y2 p2，则该直线是否经过焦点F ？
设交点为A( x1, 1) 若 x1 x2，则|
y1)，B( x2 , y1 | | y2 |
1. 若H1、H2的纵坐标为y1、y2，则 y1 y2 p2
？ 2. 若A、B的纵坐标为y1、y2，则 y1 y2 p2
课本P119习题 8.5的第7题
1) 若AB x轴，则由1.知 y1 y2 p2
2) 若AB不垂直于 x轴，则设 lAB
p
:
y
k(x
p) 2
由
y
y2
k(x ) 2
OF A
x
的对倾称斜轴角的）夹角）
当 90时，lAB : y
由
y y
( 2
x 2
p 2
px
)
tan
Leabharlann Baidu
(x
p )tan
2
消 y，得：x2 tan2 ( p tan2 2 p)x
p2
x p 2
tan2
0
4
x1
x2
p
2p
tan2
,
x1 x2
p2 4
| AB |
1 tan2
(
p
2p
作 2p一，条则直B线点与纵抛坐物标线为交__于_4_Ap_、__B_两点，若A点纵坐标为
由
y y
k( 2 2
x px
p)
y2
2p k
y
2 p2
0
y1 y2
2 p2
4.若AB是抛物线 y2 2 px的一条弦，O为坐标原点， 则OA OB 的充要条件是弦AB过点（2p，0）。
5.过抛物线 焦点的一条直线，与它交于P、Q两点， 经过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，求证直 线MQ平行于抛物线的对称轴。
tan2
)2
4
p2 4
tan2 1
2p
2 p tan2 sin2
二、抛物线 y2 2 px ( p 0)的焦点弦性质
下记AB为焦点弦，H1H2为通径
1.
若A、B的纵坐标为y1、y2，则 y1 y2 若A、B的横坐标为x1、x2，则x1 x2
p2 p2
4
2. 若A( x1, y1 )，B( x2 , y2 )在抛物线 y2 2 px ( p 0)上，
则 y1 y2 p2 直线AB过焦点F
1) 焦点弦长| AB | x1 x2 p
2)
焦点弦长|
AB
|
2p
sin2
(其中为直线AB与
对称轴的夹角）
⒈过抛物线 y2 4x 的焦点作直线交抛物线于 A( x1, y1)， B( x2, y2 ) 两点．若 x1 x2 6 ，则|AB|= ____8_______
F
O
若A( x1, y1 )，B( x2 , y2 )在抛物线 y2 2 px ( p A0)上，
x
则 y1 y2 p2 直线AB过焦点F
焦半径|
AF
|
xA
p 2
焦点弦长| AB | xA xB p
y
B
通径| H1H2 | 2 p
焦点弦长| AB | 2 p sin2
(其中为直线AB与
焦点弦长| AB | x1 x2 p
⒉过为抛__物_2_4线___y_2；一12条x的焦焦点点弦作长倾为斜16角，为则43弦所的在弦的，直则线此倾弦斜长 角为 ___或__2____．
33
焦点弦长|
AB
|
2p
sin2
(其中为直线AB与对称轴的夹角）
m
⒊过抛物线 y2 2 px ( p 0) 的对称轴上有一点M (p, 0)，
（课本P123习题第6题）
变：设抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点为F，经过点F 的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线 上，且BC x轴，证明AC经过原点O。 （01高考）
本节课，我们主要从代数（方程）的角度研究抛物线 的焦点弦的一些性质。而对于从几何观点去研究它的 性质，希望同学们课后完成。
一、复习
⒈焦点弦的定义
⒉焦半径公式
若M (x0, y0 )在焦点为F的抛物线 y2 2 px ( p 0) 上，
则|MF| =
p x0 2
⒊通径
| H1H2 | 2 p
yy
M
H2
OO FF
xx
H1
p x
2
二、抛物线 y2 2 px ( p 0)的焦点弦性质
下记AB为焦点弦，H1H2为通径
y2 ) p x1
x2
p 2
直线AB过焦点F
2）若
x1
x2 , 则kAB
y2 x2
y1 x1
y2 y22 2p
y1 y12
2p
2p
y1 y2
k AF
y1
x1
p 2
y1 y12 2p
p 2
2 py1 y12 p2
2 py1
y12 y1 y2
2p y1 y2
y
B
kAB kAF 直线AB过焦点F
2 px
y
B
消x，得 : y2 2 p y p2 0 k
y1 y2 p2
F
O
x
A
二、抛物线 y2 2 px ( p 0)的焦点弦性质
下记AB为焦点弦，H1H2为通径 1. 若若AA、、BB的的横纵坐坐标标为为x1y、1、xy2，2，则则x1yx12y2p42 p2 2. 若直线与抛物线y2 2 px ( p 0)的两个交点的纵坐标
y1、y2，满足 y1 y2 p2，则该直线是否经过焦点F ？
2. 若直线与抛物线y2 2 px ( p 0)的两个交点的纵坐标y1、y2， 满足 y1 y2 p2，则该直线是否经过焦点F ？
设交点为A( x1, 1) 若 x1 x2，则|
y1)，B( x2 , y1 | | y2 |
1. 若H1、H2的纵坐标为y1、y2，则 y1 y2 p2
？ 2. 若A、B的纵坐标为y1、y2，则 y1 y2 p2
课本P119习题 8.5的第7题
1) 若AB x轴，则由1.知 y1 y2 p2
2) 若AB不垂直于 x轴，则设 lAB
p
:
y
k(x
p) 2
由
y
y2
k(x ) 2
OF A
x
的对倾称斜轴角的）夹角）
当 90时，lAB : y
由
y y
( 2
x 2
p 2
px
)
tan
Leabharlann Baidu
(x
p )tan
2
消 y，得：x2 tan2 ( p tan2 2 p)x
p2
x p 2
tan2
0
4
x1
x2
p
2p
tan2
,
x1 x2
p2 4
| AB |
1 tan2
(
p
2p
作 2p一，条则直B线点与纵抛坐物标线为交__于_4_Ap_、__B_两点，若A点纵坐标为
由
y y
k( 2 2
x px
p)
y2
2p k
y
2 p2
0
y1 y2
2 p2
4.若AB是抛物线 y2 2 px的一条弦，O为坐标原点， 则OA OB 的充要条件是弦AB过点（2p，0）。
5.过抛物线 焦点的一条直线，与它交于P、Q两点， 经过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，求证直 线MQ平行于抛物线的对称轴。
tan2
)2
4
p2 4
tan2 1
2p
2 p tan2 sin2
二、抛物线 y2 2 px ( p 0)的焦点弦性质
下记AB为焦点弦，H1H2为通径
1.
若A、B的纵坐标为y1、y2，则 y1 y2 若A、B的横坐标为x1、x2，则x1 x2
p2 p2
4
2. 若A( x1, y1 )，B( x2 , y2 )在抛物线 y2 2 px ( p 0)上，
则 y1 y2 p2 直线AB过焦点F
1) 焦点弦长| AB | x1 x2 p
2)
焦点弦长|
AB
|
2p
sin2
(其中为直线AB与
对称轴的夹角）
⒈过抛物线 y2 4x 的焦点作直线交抛物线于 A( x1, y1)， B( x2, y2 ) 两点．若 x1 x2 6 ，则|AB|= ____8_______