金融工程 第04章 远期和期货价格的确定

[例] S0 =40, T=0.25, r=0.05 ， 因此：F0 = 40e0.05×0.25 = 40.50
（5-1）
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套利策略：买低卖高 F0 VS S0erT
F0 > S0erT：不涉及卖空，买入资产，短头寸远期合约 F0 < S0erT：投资者卖出资产，长头寸远期合约 F0 = S0erT ：无套利机会
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符号:
S0: 远期或期货合约标的资产的当前价格 F0: 远期或期货合约的当前价格 T: 远期或期货合约的期限（以年计）
r: 按连续复利的无风险零息利率
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4.4 投资资产的远期价格 Forward price of investment asset
最易定价的远期合约：无中间收入资产，如：无 股息，零息 1. 套利机会?
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4.5 提供已知中间收入的资产
远期合约标的资产：提供已知中间收入的投资资产 ，如提供股息股票和息票债券,用I表示中间收入的 贴现值，则有： F0 = (S0 – I )erT 证明方法：现金流贴现 注意：F0是期限为T的远期合约的远期价格；I 是 中间已知现金流的贴现值
13
套利策略：买低卖高
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4.4.2不允许卖空会怎么样
公式（5-1）成立的需增加的假设：足够多的投资 者以投资为唯一目的而拥有该资产
套利策略：买低卖高
F0 > S0erT：按利率r借入数量为S0的美元，买入1盎司黄 金，进入价格为F0的黄金期货合约短头寸，盈利为F0 S0erT F0 < S0erT：拥有黄金的投资者以S0的价格卖出黄金，将 资金以利率r进行投资，进入价格为F0的黄金期货合约长 头寸，盈利为S0erT- F0 F0 = S0erT ：无套利机会
4.11.3 便利收益率
便利收益y：因持有资产而带来的好处
关系式：
F0 eyT (S0+U )erT
F0 (S0+U )e(r-y)T
F0 eyT= S0e(r+u)T
F0 = S0e(r+u-y)T
投资资产：便利收益等于零
便利收益率反映将来购买商品的可能性的预期 较低库存会导致较高的便利收益率
投资资产：为投资而持有的资产 主要持有目的：投资，如金融工具和黄金、白银
消费资产：为消费而持有的资产 主要持有目的：消费和生产，如大宗商品
适用的定价理论有些不同：投资资产以无套利为定价理 论基础，消费资产以供需理论为价格理论基础
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4.2 卖空交易 short selling
卖空交易卖出你现在并不拥有，而今后有意买回的 产品 经纪人借入其他客户的证券，并将其在市场上卖出 来执行投资者指令 投资者必须向经纪人支付所有的卖空资产的收入 卖空期限
Table 4-2 arbitrage chance
远期价格=43美元
远期价格=39美元
现在的 交易
以5%利率借入40美元，期限 卖空一只股票，收入现金40美元
为3个月；
；
买入一份资产；
将40美元以5%利率投资3个月；
进入一远期合约，合约约定3个 进入一远期合约，合约约定3个月
月时以43美元卖出资产
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4.8 远期和期货价格相等吗
导致远期价格与期货价格存在差异的因素
利率变化、保证金的处理 税收 交易费用 违约风险 流动性
差异可以忽略的情形
期限小于几个月的大多数情形 本书假定：大多数情形，远期价格等于期货价格
4.9 股指期货价格 stock index futures price
股指被看作是支付一定股息的投资资产 期货价格和现货价格关系为：
消费型资产便利收益率为y ，期货价格满足: F0 = S0 e(c–y )T
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4.13 交割选择 delivery options
交割选择权：交割期内选择交割具体时间
理论期货价格
c>y：交割期的开始为基准，期货价格为期限的递 增函数，持有资产的收益率小于无风险利率，短头 寸方越早交割越有利 c<y ：交割期的结束为基准，与上相反，短头寸方 越晚交割越有利
F (S I )er(Tt) 733 I e4%1
其中， I 2 e4%1 1.92 ，故
F 7331.92e4%1 764.91美元/盎司
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4.6 收益率为已知的情形
远期合约标的资产：投资资产的中间收入在支付时，其数 量是资产价格的一定比例 定价原理：无套利原理
交易策略期限：资产卖空在其后某一时刻，你必 须买回这资产，偿还在此之前借入的资产 卖空挤压：不能借入资产，被动平仓 股票卖空交易的保证金与期货类似
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4.3 假设与符号 assumption and notation 假设:
市场参与者进行交易时没有手续费 市场参与者对所有交易利润都使用同一税率 市场参与者能够以同样的无风险利率借入和借出资金 当套利机会出现时，市场参与者会马上利用套利机会
第4章 远期和期货价格的确定 Determination of forward and future prices
本章导读 远期价格、期货价格、即期价格关系 股指期货 外汇期货 商品期货价格
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4.1 投资资产与消费资产 investment assets vs. consumption assets
ƒ = S0e–qT– Ke–rT
期货合约的每天无负债结算
4.8 远期和期货价格相等吗
远期和期货价格通常被视为相等，完全相等的情形：
当无风险利率对所有期限为常数时，可以证明这一等价关 系 利率为时间的已知函数时
远期价格与期货价格存在差异的情形
当利率变化无法预测时，两价格间将有所不同 • 标的资产价格与利率正相关，期货价格大于远期价格 • 标的资产价格与利率负相关，期货价格小于远期价格
F0 > ( S0 - I )erT：不涉及卖空，买入资产，短头寸远期合 约 F0 < ( S0 - I )erT：投资者卖出资产，长头寸远期合约 F0 = ( S0 - I )erT ：无套利机会
例子
假设黄金现价为每盎司 733 美元，其存储成本为每年每盎司 2 美元，一 年后支付，美元一年期无风险利率为 4％。则一年期黄金期货的理论价格为
关系式：F0 = S0e( r –q )T
q为资产在远期期限内的平均年收益率
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4.7 远期合约的估值
假设： K ：以前成交的合约规定的交割价格 F0 ：目前的远期价格 ƒ：为远期合约今天的价值
远期合约长头寸价值：ƒ = (F0 – K )e–rT 类似地,远期合约短头寸价值为：(K – F0 )e–rT
F Se(rq)(T t) 1518.75e3.77%1.66%0.25 1526.78
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4.10 货币的远期和期货合约
forward and futures contracts on currencies
一个外币类似于提供红利的证券 连续红利是外币的无风险利率
令 rf 为外币的无风险利率， r为美元的无风险利率
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具体情况远期合约价值
没有中间收入的资产远期合约的价值：
F0 = S0erT ƒ = (F0 – K)e–rT
ƒ = S0 – Ke–rT
中间收入贴现值为I 的资产远期合约价值：
F0 = (S0 - I )erT
ƒ = S0 – I – Ke–rT
提供收益率q的资产的远期合约的价值
F0 = S0e(r–q)T
4.11.2 商品期货
futures on commodities
套利策略：买低卖高 假定U为期货期限之间去掉收入后存储费用的 贴现值
F0 < (S0+U )erT F0 > (S0+U )erT F0 (S0+U )erT
假定U为去掉资产所赚取的所有收益率后存贮 费用占即期价格的比例
F0 < S0 e(r+u )T F0 > S0 e(r+u )T F0 S0 e(r+u )T
百度文库
F0 = S0 e(r–q )T
其中： q为股息收益率
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股息收益率q的估计:在期货合约期限中平均的股
息年收益率 指数套利
F0 >S0 e(r–q )T ：买入构成指数的股票，短头寸指数期 货合约，持有短期货币市场资金的机构 F0 <S0 e(r–q )T ：投资者卖出构成指数的股票，长头寸 指数期货合约，养老基金，拥有资产
程序交易
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例子
2007 年 9 月 20 日，美元 3 个月期无风险年利率为 3.77％， S&P500 指数预期红利收益率为 1.66％。当 S&P500 指数为 1518.75 点时，2007 年 12 月到期的 S&P500 指数期货 SPZ7 相应的理论价格应为多少？
由于 S&P500 指数期货总在到期月的第三个星期五到期， 故此 2007 年 9 月 20 日距 SPZ07 期货到期时间为 3 个月， 根据式（3.7），SPZ07 理论价格应为
4.11 商品期货 futures on commodities
投资资产：黄金、白银 消费资产：大宗商品 4.11.1 收入和储存费用 没有存储费用和中间收入时: F0 = S0erT 存在存储费用和中间收入时：
存储费用与商品价格成比例时: F0 = S0e(r+u)T
存储费用另行计算时: F0 (S0+U)erT
时以39美元买入资产
3个月 后的
交易
以43美元卖出资产； 偿还贷款本息40.5美元； 实现盈利2.5美元
以39美元买入资产； 对卖空交易进行平仓，收入40.5 美元投资收入；
实现盈利1.5美元
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4.4.1 远期价格实例推广
实例推广 资产的当前价格： S0 资产的远期价格： F0 T为期限，r为无风险利率 S0 与F0的关系式： F0 = S0erT
4.12 持有成本 cost of carry
持有成本 c包括储存成本加上资产的融资利息，再减 去资产的收益 持有成本
无股息股票：c=r 股指：c=r-q 货币：c=r- rf 一般商品：c=r – q + u
投资资产，期货价格满足： F0 = S0ecT 消费资产，期货价格满足： F0 S0ecT
假设: 无股息股票当前价格是 $40 无风险年利率为 5% 一个3月期的无股息股票的远期合约价格为 $43
存在套利机会吗?
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2. 其他套利机会?
假设: 一个无股息股票价格为 $40 无风险年利率为 5% 一个3月期的无股息股票的远期合约价 格$39
有套利机会吗? 什么情况下，无套利？
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dollars at time T
1000 S 0 dollars at time zero
1000 S 0 e rT
dollars at time T
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例子
澳元和美元的连续复利的两年期限的利率分别 为每年5%和每年7%，澳元和美元的即期汇率 为0.62，若两年期的澳元和美元的远期汇率为 0.63，这时存在什么样的套利机会，套利结果 如何？若两年期的远期汇率为0.66，这时存在 什么样的套利机会，套利结果如何？
，则外币的远期和现货价格关系式为：
F0 S0e(r rf )T
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两种将外汇在时刻T转换成美元的方法
1000 units of foreign currency
at time zero
1000 e r f T
units of foreign currency at time T
1000 F0 e r f T