第3章远期与期货的定价+习题

润
K (S I )。 er (T t )
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如果 K (S I )er (T t ) ，即交割价格低于远期理论价格。则 套利者可以进行反向操作：借入标的资产卖掉，得到现 金收入S以无风险利率贷出，同时买入一份交割价为K 的远期合约。在T时刻，套利者可得到贷款本息收 入 Se r (T t ) ，同时付出现金K换得一单位标的证券， 用于归还标的证券的原所有者，并把该标的证券在T-t期 间的现金收益的终值 Ier (T t )同时归还原所有者。这样， 该套利者在T时刻可实现无风险利润 。 (S I )er (T t ) K （注：在卖空交易中，借入证券只是借入证券的使用权 未借入所有权，所以该证券的收益归原所有者。） 案例P55-3.5
结果，获利为43-40.05=2.5美元
反之，如果定价较低为39美元，结果一样，也会出现套 利机会，所以为了保证无套利机会，远期的价格必须为 40.05美元。
关于远期价格的讨论也要分远期合约签订时和签订 后两种情形。 － 一份公平合理的远期合约在签订的当天应 使交割价格等于远期价格。如果实际交割价格不等 于这个理论上的远期价格，该远期合约价值对于多 空双方来说就都不为零 ，实际上隐含了套利空间。 － 在远期合约签订之后，交割价格已经确定， 远期合约价值不一定为零，远期价格也就不一定等 于交割价格。（假设，同一天在签完合约后，标的 资产价格发生变化，这时，远期价格也发生变化。） 所以，远期价值就是远期合约本身的价值，而 远期价格是理论上使远期价值等于零的那个未来的 交割价格。
对空头来说，其价值就是-595
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关于远期价值的讨论要分远期合约签订时和签 订后两种情形。 － 在签订远期合约时，如果信息是对称 的，而且合约双方对未来的预期相同，对于一 份公平的合约，多空双方所选择的交割价格应 使远期价值在签署合约时等于零。 － 在远期合约签订以后，由于交割价格 不再变化，多空双方的远期价值将随着标的资 产价格的变化而变化。
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当无风险利率恒定且所有到期日都相同时，交割日相同 的远期价格和期货价格应相等。 当标的资产价格与利率呈正相关时，期货价格高于远期 价格。
这是因为当标的资产价格上升时，期货价格通常也会随 之升高，期货合约的多头将因每日结算制而立即获利，并可按高于 平均利率的利率将所获利润进行再投资。而当标的资产价格下跌时， 期货合约的多头将因每日结算制而立即亏损，但是可按低于平均利 率的利率从市场上融资以补充保证金。相比之下，远期合约的多头 将不会因利率的变动而受到上述影响。在此情况下，期货多头比远 期多头更具吸引力，期货价格自然就大于远期价格。
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例：考虑一个3个月期的无股息股票的远期合约，假定当前 股票的价格为40美元，3个月期的无风险利率为5%。 如果假定远期价格相对较高，为43美元。套利者能以5% 的利率借入40美元，并利用借贷的资金购买一只股票，并同 时卖出一份远期合约，3个月后偿还贷款的现金为： 40e0.05×3/12=40.05美元
类似地，在期货合约中，我们定义期货价 格（Futures Prices）为使得期货合约价值为 零的理论交割价格。 但值得注意的是，对于期货合约来说，一 般较少谈及“期货合约价值”这个概念。基于 期货的交易机制，投资者持有期货合约，其价 值的变动来源于实际期货报价的变化。由于期 货每日盯市结算、每日结清浮动盈亏，因此期 货合约价值在每日收盘后都归零。
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为分析简便起见，本章的分析是建立在如下假设前提下 的： 1．没有交易费用和税收。 2．市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金。 3．远期合约没有违约风险。 4．允许现货卖空。 5．当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动， 从而使套利机会消失，我们得到的理论价格就是在没有 套利机会下的均衡价格。 6．期货合约的保证金账户支付同样的无风险利率。这 意味着任何人均可不花成本地取得远期和期货的多头或 空头地位。
见案例P52-3.1和3.2
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为了证明无收益资产的现货-远期平价定理 ，我们用反 证法证明等式不成立时的情形是不均衡的。 若K>Ser（T－t），即交割价格大于现货价格的终值。 在这种情况下，套利者可以按无风险利率r 借入S现金， 期限为T－t。然后用S购买一单位标的资产，同时卖出 一份该资产的远期合约，交割价格为K。在T时刻，该 套利者就可将一单位标的资产用于交割换来K现金，并 归还借款本息Se r（T－t），这就实现了 K－Ser （T－t） 的无风险利润。
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3.1远期价格与期货价格 一、远期价值、远期价格与期货价格
远期合约中规定的未来交易价格称为“交割价格”。显然 远期协议一旦签订，在协议到期之前交割价格不会改变。
远期价值是指远期合约本身的价值。 例：一个交割价格为10元，交易量为100单位，距到期日 还有1年的远期合约，如果标的资产当前的市场价格为15 元，市场无风险连续复利率为10%，对多头来说，该远期 的价值为： （15-10×e-10%×1）×100=595
因此，在t时刻，这两个组合的价值应相等，即 f Ker (T t ) S I
f S I Ker (T t )
(3.4)
从组合的角度考虑，式（3.4）说明一单位支付已知 现金收益资产的远期合约多头可由一单位标的资产和 (I+Ke –r (T-t))单位无风险负债构成。 见案例P54-3.4
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F：t时刻的远期合约和期货合约中的理论远期价格和理 论期货价格，在本书中如无特别注明，我们分别简称为 远期价格和期货价格。 r ： T 时刻到期的以连续复利计算的 t 时刻的无风险利率 （年利率），在本书中，如无特别说明，利率均为连续 复利的年利率。
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本章所用的定价方法为无套利定价法。 基本思路为：构建两种投资组合，令 其终值相等，则其现值一定相等；否 则就可进行套利，即卖出现值较高的 投资组合，买入现值较低的投资组合， 并持有到期末，套利者就可赚取无风 险收益。众多套利者这样做的结果， 将使较高现值的投资组合价格下降， 而较低现值的投资组合价格上升，直 至套利机会消失，此时两种组合的现 值相等。这样，我们就可根据两种组 合现值相等的关系求出远期价格。
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远期价格的期限结构描述的是同一标的资产不同 期限远期价格之间的关系。（比如3个月和6个月） 设F为在T时刻交割的远期价格，F*为在T*时刻交 割的远期价格, r为T时刻到期的无风险利率,r*为T*时刻 到期的无风险利率。对于无收益资产而言，从无收益 资产的现货-远期平价公式可知,
F Ser (T t )
*
F Se
两式消除掉S后，
r * (T * t )
F Fe
*
r * (T * t ) r (T t )
（3.3）
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见案例P53-3.3
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支付已知现金收益的标的资产是指在远期合约到期前 会产生完全可预测的现金流的资产，如付息债券和支付红 利的股票。（注，黄金白银不产生收益，但要花费一定的 成本储存，可以看成是负收益） 令已知现金收益的现值为I，对黄金白银来说I是负值。
由于远期价格就是使远期合约价值为零的交割价格K ， 即当 f =0时， K = F 。据此可令式（3.1）中的 f =0，则
F Ser (T t )
(3.2)
这就是无收益资产的现货-远期平价定理（SpotForward Parity Theorem），或称现货期货平价定理 （Spot-Futures Parity Theorem）。
－
当标的资产价格与利率呈负相关时，远期价格就会高于 期货价格。
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远期价格和期货价格的差异幅度还取决于合约有效 期的长短。当有效期只有几个月时，两者的差距通常很 小。此外，税收、交易费用、保证金的处理方式、违约 风险、流动性等方面的因素或差异都会导致远期价格和 期货价格的差异。
远期价格与期货价格的定价思想在本质上是相同的， 其差别主要体现在交易机制和交易费用的差异上，在很 多情况下常常可以忽略，或进行调整。因此在大多情况 下，我们可以合理地假定远期价格与期货价格相等，并 都用F来表示。
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本章将要用到的符号主要有： T：远期和期货合约的到期时间，单位为年。 t：现在的时间，单位为年。变量T 和t 是从合约生效之 前的某个日期开始计算的，T-t 代表远期和期货合约中以 年为单位的距离到期时间的剩余时间。 S：远期（期货）标的资产在时间t时的价格。 ST：远期（期货）标的资产在时间T时的价格（在t时刻 这个值是个未知变量）。 K：远期合约中的交割价格。 f：远期合约多头在t时刻的价值，即t时刻的远期价值。
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反证法： 假设 K (S I )er (T t ) ，即交割价格高于远期理论价格。 则套利者可以进行如下操作：以无风险利率借入现金S 买入标的资产，并卖出一份交割价为K的远期合约，将 在T-t期间从标的资产获得的现金收益以无风险利率贷出 至T时刻。这样，到T时刻，套利者将标的资产用于交 Ser (T t ) 割得到现金收入K，还本付息 ，同时得到 的本利收入。最终套利者在 T时刻可实现无风险利 Ie r (T t )
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根据远期价格的定义，我们可从式 f S I Ker (T t ) 中求得： F (S I )er (T t ) （3.5） 这就是支付已知现金收益资产的现货-远期平价公式。式 （3.5）表明，支付已知现金收益资产的远期价格等于标 的证券现货价格与已知现金收益现值差额的终值。
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例如，为了给无收益资产的远期合约定价，我们构建如 下两个组合： 组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为Ke-r（T－t）的 现金； 组合B：一单位标的资产。
组 合 A
远期 合约
现金
组 合 B
标的资产
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在组合A中，Ke-r（T－t）的现金以无风险利率投资， 投资期为（T－t）。到T时刻，其金额将达到K。这是因 为：Ke-r（T－t）er（T－t）=K 在远期合约到期时，这笔现金刚好可用来交割换来 一单位标的资产。这样，在T时刻，两种组合都等于一 单位标的资产。根据无套利原则：终值相等，则其现值 一定相等，这两种组合在t时刻的价值必须相等。 即： f+ Ke-r（T－t）=S f=S－Ke-r（T－t） （3.1） 该公式表明，无收益资产远期合约多头的价值等于 标的资产现货价格与交割价格现值的差额。或者说,一 单位无收益资产远期合约多头等价于一单位标的资产多 头和Ke-r（T－t）单位无风险负债的资产组合。 17
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支付已知收益率的标的资产是指在远期合约到期前将 产生与该资产现货价格成一定比率的收益的资产。 货币是典型的代表，其收益率就是该货币发行国的无 风险利率，因此利率远期和外汇远期都可以看成是支付已 知收益率资产的远期合约。股指也可近似的看成是支付已 知收益率的资产。
仍然采用无套利定价法给支付已知现金收益资产的远 期合约定价 。构建如下两个组合：
组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为 Ke 金 。
–r (T-t)
的现
组合B：一单来自百度文库标的证券加上利率为无风险利率、期限为从 当前时刻到现金收益派发日 、本金为I 的负债。
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组合A在T时刻的价值等于一单位标的证券。 在组合B中，由于标的证券的现金收益刚好可以用 来偿还负债的本息，因此在T时刻，该组合的价值也等 于一单位标的证券。
远期价格是指使远期合约签订时价值为零的交割价 格。 如上例，假设远期价格为F，那么远期价格就是使得
（15-F×e-10%×1）×100=0的F，通过计算可得 F=16.58
即，当交割价格为16.58时，该远期价值才为零。 所以，远期价格又是理论上的交割价格。(在实际中， 远期价格与交割价格是对应的，但远期价格不一定 与理论上的交割价格一致，不一致时出现套利)
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若K<Se r（T－t），即交割价格小于现货价格的终值。 套利者就可进行反向操作，即卖空标的资产，将所得收 入以无风险利率进行投资，期限为T-t，同时买进一份该 标的资产的远期合约，交割价格为K。在T时刻，套利 者收到投资本息Ser（T－t），并以K现金购买一单位标的 资产，用于归还卖空时借入的标的资产，从而实现Ser （T－t）-K的利润。