3 远期与期货合约定价

－ 在远期合约签订以后，由于交割价格不再变化， 多空双方的远期价值将随着标的资产价格的变化而变化。
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关于远期价格的讨论也要分远期合约签订时和签订后两种情形。 － 一份公平合理的远期合约在签订的当天应使交割价格
等于远期价格。如果实际交割价格不等于这个理论上的远期价 格，该远期合约价值对于多空双方来说就都不为零 ，实际上隐 含了套利空间。
期限为T－t。然后用S购买一单位标的资产，同时卖出
一份该资产的远期合约，交割价格为K。在T时刻，该套 利者就可将一单位标的资产用于交割换来K现金，并归
还借款本息Se r（T－t），这就实现了 K－Ser（T－t） 的无风
险利润。
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2、若K<Se r（T－t），即交割价值小于现货价格的终值。 套利者就可进行反向操作，即卖空标的资产，将所得收 入以无风险利率进行投资，期限为T-t，同时买进一份 该标的资产的远期合约，交割价格为K。在T时刻，套 利者收到投资本息Ser（T－t），并以K现金购买一单位标 的资产，用于归还卖空时借入的标的资产，从而实现 Ser（T－t）-K的利润。
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（一）完美市场的界定 1．没有交易费用和税收。 2．市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金。 3．允许现货卖空，且资产可以无限分割。
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（二)持有成本模型
假设标的资产无收益，投资者A计划出售一单位标的资产，
以下两种方法应该是等价的：
1.在当前t时刻卖出一份远期价格为F的远期合约，合约到
Ier(T t) 同时归还原所有者。这样，该套利者在T时刻可实
现无风险利润 (S I )er(Tt) K 。
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到期日之前会产生确定的收益率，且收益率为q。 1.利率远期 2. 外汇远期 3.股指期货
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为了给支付已知收益率资产的远期定价，我们可以构建 如下两个组合： 组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为Ker(T t)的现 金；
两式消除掉S后，
F Fe *
r* (T * t )r (T t )
（3.3） 18
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到期日之前会产生确定的现金流，且现值为I。 1.附息债券 2. 已知现金红利的股票 3.黄金、白银
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仍然采用无套利定价法给支付已知现金收益资 产的远期合约定价 。构建如下两个组合： 组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为 Ke –r (T-t) 的 现金 。 组合B：一单位标的证券加上利率为无风险利率、期限 为从当前时刻到现金收益派发日 、本金为I 的负债。
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反证法：
假设 K (S I )er(Tt) ，即交割价格高于远期理论价格。 则套利者可以进行如下操作：以无风险利率借入现金S
买入标的资产，并卖出一份交割价为K的远期合约，将 在T-t期间从标的资产获得的现金收益以无风险利率贷 出至T时刻。这样，到T时刻，套利者将标的资产用于 交割得到现金收入K，还本付息 Ser(T t) ，同时得到Ier(T t) 的本利收入。最终套利者在T时刻可实现无风险利
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F：t时刻的远期合约和期货合约中的理论远期价格和理 论期货价格，如无特别注明，我们分别简称为远期价格 和期货价格。 r：T时刻到期的以连续复利计算的t时刻的无风险利率 （年利率），如无特别说明,利率均为连续复利的年利率。
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到期日之前不会产生任何现金流。 1.贴现债券 2. 不支付红利的股票
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远期价格的期限结构描述的是不同期限远期价格 之间的关系。
设F为在T时刻交割的远期价格，F*为在T*时刻交 割的远期价格, r为T时刻到期的无风险利率,r*为T*时 刻到期的无风险利率。对于无收益资产而言，从无收 益资产的现货-远期平价公式可知,
F Ser(T t)
F * Ser* (T * t)
F Sec(T t)
（3.8）
相应地：
f F Sec(T t)
（3.9）
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无套利条件下 ， F Sec(T t) 。 可以从三个角度分析F和S之间的关系 ：
第一，当标的资产在远期（期货）存续期内没有收 益、已知现金收益较小、或已知收益率小于无风险利率 时，当前远期（期货）价格应高于标的资产的当前现货 价格；当标的资产在远期（期货）存续期内的已知现金 收益较大或已知收益率大于无风险利率时，当前远期 （期货）价格应小于标的资产的当前现货价格。
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（一）远期价格 远期价格是指使远期合约签订时远期价值为零的 的交割价格。远期价格是理论上的交割价格。
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远期价值f是指远期合约本身的价值。
远期价值=标的资产价格-交割价格现值
关于远期价值的讨论要分远期合约签订时和签订 后两种情形。
－ 在签订远期合约时，如果信息是对称的，而且合 约双方对未来的预期相同，对于一份公平的合约，多空双 方所选择的交割价格应使远期价值在签署合约时等于零。
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为分析简便起见，本章的分析是建立在如下假设前提下 的： 1．没有交易费用和税收。 2．市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金。 3．远期合约没有违约风险。 4．允许现货卖空，且资产可以无限分割。 5．当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动， 从而使套利机会消失，我们得到的理论价格就是在没有 套利机会下的均衡价格。 6．期货合约的保证金账户支付同样的无风险利率。这 意味着任何人均可不花成本地取得远期和期货的多头或 空头地位。
－ 在远期合约签订之后，交割价格已经确定，远期合约 价值不一定为零，远期价格也就不一定等于交割价格。
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（二）期货价格 在期货合约中，我们定义期货价格（Futures Prices）为 使得期货合约价值为零的理论交割价格。 但值得注意的是，对于期货合约来说，一般较少谈及 “期货合约价值”这个概念。基于期货的交易机制，投 资者持有期货合约，其价值的变动来源于实际期货报价 的变化。由于期货每日盯市结算、每日结清浮动盈亏， 因此期货合约价值在每日收盘后都归零。
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举例来说，不支付红利的股票没有保存成本和收益，所 以持有成本就是利息成本 r ；股票指数的资产红利率为 q，其持有成本就为 r-q；货币的收益率为rf ，所以其持 有成本是 r-rf；对黄金和白银等投资性商品而言，若其 存储成本与现货价格的比例为u，则其持有成本就为r＋ u；依此类推。
所以，如果我们用c表示持有成本，远期价格就为:
在远期（期货）到期日，远期（期货）价格将收敛 于标的资产的现货价格（这是套利行为决定的）。
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第二，标的资产的现货价格对同一时刻的远期（期 货）价格起着重要的制约作用，正是这种制约关系决定 了远期（期货）是无法炒作的。
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第三，对式（3.8）进行变换，可得
S Fec(T t)
在现实生活中，大量实证研究表明，在面临新的市场信 息冲击时，投资者越来越多地先在远期（期货）市场上 进行操作，使得新信息往往先在远期（期货）市场上得 到反映，然后才传达至现货市场，从而使得F反过来具 有引领S价格变化的信号功能。当前远期（期货）价格 对当前现货价格的这种引领作用也被称为远期（期货） 的“价格发现”（Price Discovery）功能。
这样，我们就可根据两种组合现值相等 的关系求出远期价格。
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为了给无收益资产的远期合约定价，我们构建如下两个 组合： 组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为Ke-r（T－t）的 现金；
组合B：一单位标的资产。
组 合 A
远期 合约
现金
组 合 标的资产
B
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在组合A中，Ke-r（T－t）的现金以无风险利率投资，
T时刻交割必定能获得F；
2.在当前t时刻立刻出售获得S，并以无风险利率r贷出，
这样在T时刻可以获得确定性收入Ser(Tt) 。
由于t时刻两种投资的价值都为S，T时刻的两种确定性收
入应相等：
F Ser(T t)
如果实际价格高于或低于上述理论价格F，市场上就存在 套利机会。
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我们可以用持有成本（Cost-of-Carry）的概念来概括 远期价格与现货价格的关系。持有成本的基本构成如下： 持有成本＝保存成本＋无风险利息成本－标的资产在合 约期限内提供的收益
F Ser(T t)
(3.2)
这就是无收益资产的现货-远期平价定理（SpotForward Parity Theorem），或称现货期货平价定理 （Spot-Futures Parity Theorem）。
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1、若K>Ser（T－t）,即交割价格大于现货价格的终值。 在这种情况下，套利者可以按无风险利率r 借入S现金，
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本章所用的定价方法为无套利定价法。 基本思路为：
构建两种投资组合，令其终值相等，则 其现值一定相等。
否则就可进行套利，即卖出现值较高的 投资组合，买入现值较低的投资组合， 并持有到期末，套利者就可赚取无风险 收益。众多套利者这样做的结果，将使 较高现值的投资组合价格下降，而较低 现值的投资组合价格上升，直至套利机 会消失，此时两种组合的现值相等。
组合B：eq(T t) 单位证券并且所有收入都再投资于该证
券，其中q 为该资产按连续复利计算的已知收益率。
组合A在T时刻的价值等于一单位标的证券。 组合B由于获得的红利收入全部都再投资于该证券，拥 有的证券数量随着红利的不断发放而增加，所以在时刻 T，正好拥有一单位标的证券。
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因此在t时刻两个组合的价值也应相等，即：
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本章将要用到的符号主要有： T：远期和期货合约的到期时间，单位为年。 t：现在的时间，单位为年。变量T 和t 是从合约生效之 前的某个日期开始计算的，T-t 代表远期和期货合约中 以年为单位的距离到期时间的剩余时间。 S：远期（期货）标的资产在时间t时的价格。 ST：远期（期货）标的资产在时间T时的价格（在t时刻 这个值是个未知变量）。 K：远期合约中的交割价格。 f：远期合约多头在t时刻的价值，即t时刻的远期价值。