高考数学复习简化解析几何运算的若干方法和技巧
解析几何化减技巧
解析几何化减技巧解析几何是数学中一个重要的分支，它研究的是几何对象（如点、线、面）在坐标系中的表示和变换。
在解析几何中，我们经常需要化简一些复杂的表达式或方程，以提高计算的效率和准确性。
以下是一些常用的解析几何化简技巧：1. 代数运算：这是最基本的方法，包括加、减、乘、除、乘方等。
例如，对于两个向量的点积，我们可以使用分配律和结合律进行化简。
2. 坐标变换：如果我们有一个表达式涉及到多个坐标点或向量，我们可以考虑使用坐标变换来简化这个表达式。
例如，如果我们有两个参考系，并且知道它们之间的转换关系，我们就可以将一个坐标点从一种参考系转换到另一种参考系。
3. 向量运算：向量运算（如加法、数乘、点积、叉积等）在解析几何中非常常见。
理解这些运算的性质和规则可以帮助我们更有效地进行化简。
4. 矩阵运算：在解析几何中，矩阵经常被用来表示变换（如旋转、平移、缩放等）。
理解矩阵的运算法则（如乘法、转置、逆等）可以帮助我们更有效地进行化简。
5. 参数方程：对于一些复杂的几何形状（如椭圆、抛物线、双曲线等），我们经常使用参数方程来表示它们。
参数方程可以将一个复杂的几何问题转化为一个简单的代数问题，从而更容易进行化简。
6. 极坐标与直角坐标转换：在解析几何中，极坐标和直角坐标是两种常用的坐标系。
理解这两种坐标系之间的转换关系可以帮助我们更有效地进行化简。
7. 对称性：许多几何形状和表达式都具有对称性。
利用这些对称性可以帮助我们更有效地进行化简。
8. 代数恒等式：一些基本的代数恒等式（如平方差公式、完全平方公式等）在解析几何中非常有用。
掌握这些恒等式可以帮助我们更有效地进行化简。
9. 使用软件工具：现代的数学软件工具（如 MATLAB、Geometer's Sketchpad 等）可以帮助我们更方便地进行解析几何的化简和计算。
以上就是一些常用的解析几何化简技巧。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题和情况选择合适的方法进行化简。
高考数学解析几何高分秘籍
高考数学解析几何高分秘籍在高考数学中，解析几何一直是让众多考生头疼的难题之一。
它不仅需要扎实的数学基础知识，还要求具备较强的计算能力、逻辑推理能力和空间想象能力。
那么，如何在高考数学中拿下解析几何的高分呢？下面就为大家分享一些实用的秘籍。
一、扎实掌握基础知识要想在解析几何中取得高分，首先要对相关的基础知识有深入的理解和掌握。
这包括直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程、性质、参数方程等。
对于直线，要熟练掌握其点斜式、斜截式、两点式、一般式等方程形式，以及直线的斜率、倾斜角、平行与垂直的判定等知识。
圆的标准方程和一般方程要能熟练转换，并且要清楚圆心坐标和半径的求解方法。
椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、离心率、焦点坐标等是重点中的重点。
例如，椭圆的定义是平面内到两个定点的距离之和等于常数（大于两定点间的距离）的点的轨迹；双曲线则是平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于常数（小于两定点间的距离）的点的轨迹。
只有把这些基础知识牢记于心，才能在解题时迅速准确地运用。
二、注重图形结合解析几何的题目往往都与图形密切相关，因此要养成图形结合的解题习惯。
在解题过程中，先根据题目条件画出图形，这样可以直观地看出问题的关键所在，有助于寻找解题思路。
例如，对于直线与圆的位置关系问题，可以通过画出图形，观察圆心到直线的距离与圆半径的大小关系来判断。
对于椭圆、双曲线和抛物线的问题，画出图形可以帮助我们更好地理解曲线的形状和性质，从而更有效地进行计算和推理。
同时，在图形中标记出已知条件和所求问题，能够让我们更加清晰地把握解题的方向。
三、熟练运用公式和定理解析几何中有很多重要的公式和定理，如两点间距离公式、点到直线距离公式、弦长公式等，要熟练掌握并能灵活运用。
两点间距离公式：＄d ＝＼sqrt{（x_2 x_1)＾2 ＋（y_2 y_1)＾2}＄点到直线距离公式：＄d ＝＼frac{｜Ax_0 ＋ By_0 ＋ C|｝｛＼sqrt{A^2 ＋ B^2}｝＄弦长公式：对于直线$y ＝ kx ＋ b$与曲线$f(x,y) ＝ 0$相交于两点$A(x_1,y_1)＄，＄B(x_2,y_2)＄，弦长$｜AB| ＝＼sqrt{1 ＋ k^2}＼cdot\sqrt{（x_1 ＋ x_2)＾2 4x_1x_2}＄在解题时，准确运用这些公式可以大大提高解题的效率和准确性。
高考解析几何题
高考解析几何题高考解析几何题的解题技巧与方法解析几何作为高中数学的重要组成部分，在高考数学试题中占有不可忽视的地位。
它主要研究图形的几何性质与代数表达式之间的联系，通过坐标系将几何问题转化为代数问题进行求解。
本文将从几个方面探讨高考解析几何题的解题技巧与方法，帮助考生在面对这类题目时能够更加得心应手。
一、掌握基本概念和公式解析几何的基本概念包括点、线、面的位置关系，以及圆、椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的性质。
熟练掌握这些概念及其相关公式是解题的基础。
例如，直线的方程有一般式、点斜式、两点式等，每种形式都有其适用的场合。
圆的标准方程、椭圆的焦点性质等，都需要考生牢记于心。
二、培养图形的直观感知能力解析几何题目往往需要考生能够在脑海中构建出题目所描述的图形，并能够对图形进行操作和变换。
因此，培养良好的图形直观感知能力对于解题至关重要。
考生可以通过多做练习题、观察生活中的几何图形等方式来提高这方面的能力。
三、运用代数方法解决问题解析几何的特点就是将几何问题转化为代数问题。
因此，考生需要掌握如何通过代数运算来求解几何问题。
例如，通过联立方程组求交点，利用向量方法求解角度和距离，或者运用坐标变换简化问题等。
这些方法都需要考生在解题时灵活运用。
四、注意解题步骤的条理性在高考中，解析几何题目往往步骤较多，需要考生条理清晰地进行解题。
首先，要仔细审题，弄清楚题目的要求和所给条件；其次，要合理规划解题步骤，避免在解题过程中出现混乱；最后，要仔细检查，确保每一步的计算都是正确的。
五、总结常见题型和解题模板高考解析几何题目虽然千变万化，但总有规律可循。
考生可以通过总结历年高考题，找出常见的题型和解题模板。
例如，直线与圆的位置关系、动点轨迹问题、最值问题等，都有其特定的解题思路和方法。
掌握这些模板，可以帮助考生在面对新题目时能够迅速找到解题的切入点。
六、提高解题速度和准确性高考是一场与时间赛跑的考试，提高解题速度和准确性是提高分数的关键。
高中数学解析几何优化计算6大技巧
解析几何优化计算6大技巧中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程．技巧一回归定义，以逸待劳回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是一种朴素而又重要的策略和思想方法．圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点．对于相关的圆锥曲线中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果．【例题】如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是()A.2B.3C.32D.62【解析】由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设双曲线C 2的实半轴长为a ，由椭圆及双曲线的定义和已知，1|＋|AF 2|＝4，2|－|AF 1|＝2a ，1|2＋|AF 2|2＝12，解得a 2＝2，故a ＝ 2.所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝62.【答案】D [关键点拨]本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF 1|，|AF 2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．[对点训练]1.如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是()A.|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1解析：选A 由题意可得S△BCFS △ACF ＝|BC ||AC |＝x B x A ＝|BF |－p 2|AF |－p 2＝|BF |－1|AF |－1.2．抛物线y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A (－m,0)，则|PF ||P A |的最小值为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，由抛物线的定义，知|PF |＝x P ＋m ，又|PA |2＝(x P ＋m )2＋y 2P＝(x P ＋m )2＋4mx P ，则＝(x P ＋m )2(x P ＋m )2＋4mx P ＝11＋4mx P (x P ＋m )2≥11＋4mx P (2x P ·m )2＝12(当且仅当x P ＝m 时取等号)，所以|PF ||PA |≥22，所以|PF ||PA |的最小值为22.答案：22技巧二设而不求，金蝉脱壳设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不求．【例题】已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的标准方程为()A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，＋y 21b 2＝1，＋y 22b2＝1，①②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2a 2.又k AB ＝0＋13－1＝12，所以b 2a 2＝12.又9＝c 2＝a 2－b 2，解得b 2＝9，a 2＝18，所以椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.【答案】D [关键点拨](1)本题设出A ，B 两点的坐标，却不求出A ，B 两点的坐标，巧妙地表达出直线AB 的斜率，通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．(2)在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多．[对点训练]1．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为()A.13B.12C.23D.34解析：选A 设OE 的中点为G ，由题意设直线l 的方程为y ＝k (x ＋a )，分别令x ＝－c 与x ＝0得|FM |＝k (a －c )，|OE |＝ka ，由△OBG ∽△FBM ，得|OG ||FM |＝|OB ||FB |，即12ka k (a －c )＝a a ＋c，整理得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率e ＝13.2．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)＋y 21b2＝1，＋y 22b 2＝1，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴－b 2a 2＝－12，∴a 2＝2b 2.又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22.即椭圆C 的离心率e ＝22.答案：22技巧三巧设参数，变换主元换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍．常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件．【例题】设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |＞3.【解析】法一：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．kx 0，＋y 20b2＝1，消去y 0并整理，得x 20＝a 2b2k 2a 2＋b2.①由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0.而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k＋4.又a ＞b ＞0，故(1＋k 2)2＞4k 2＋4，即k 2＋1＞4，因此k 2＞3，所以|k |＞ 3.法二：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，得x 20a 2＋k 2x 20b2＝1.因为a ＞b ＞0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a2＜1，即(1＋k 2)x 20＜a 2.②由|AP |＝|OA |及A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k2，代入②，得(1＋k2)·4a2(1＋k2)2＜a2，解得k2＞3，所以|k|＞ 3.法三：设P(a cosθ，b sinθ)(0≤θ＜2π)，则线段OP的中点Qθ，b2sin|AP|＝|OA|⇔A Q⊥OP⇔k A Q×k＝－1.又A(－a,0)，所以k A Q＝b sinθ2a＋a cosθ，即b sinθ－ak A Q cosθ＝2ak A Q.从而可得|2ak A Q|≤b2＋a2k2A Q＜a1＋k2A Q，解得|k A Q|＜33，故|k|＝1|k A Q|＞ 3.[关键点拨]求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量．[对点训练]设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆C：(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，求r的取值范围．解：当斜率不存在时，有两条，当斜率存在时，不妨设直线l的方程为x＝ty＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线y2＝4x并整理得y2－4ty－4m＝0，则有Δ＝16t2＋16m＞0，y1＋y2＝4t，y1y2＝－4m，那么x1＋x2＝(ty1＋m)＋(ty2＋m)＝4t2＋2m，可得线段AB的中点M(2t2＋m,2t)，而由题意可得直线AB与直线MC垂直，即k MC·k AB＝－1，可得2t－02t2＋m－5·1t＝－1，整理得m＝3－2t2(当t≠0时)，把m＝3－2t2代入Δ＝16t2＋16m＞0，可得3－t2＞0，即0＜t2＜3，又由于圆心到直线的距离等于半径，即d ＝|5－m |1＋t 2＝2＋2t 21＋t 2＝21＋t 2＝r ，而由0＜t 2＜3可得2＜r ＜4.故r 的取值范围为(2,4)．技巧四数形结合，偷梁换柱著名数学家华罗庚说过：“数与形本是两相倚，焉能分作两边飞．数缺形时少直观，形少数时难入微．”在圆锥曲线的一些问题中，许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合的思想方法，可解决一些相应问题．【例题】已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．【解析】设双曲线的左焦点为F 1，根据双曲线的定义可知|PF |＝2a ＋|PF 1|，则△APF 的周长为|PA |＋|PF |＋|AF |＝|PA |＋2a ＋|PF 1|＋|AF |＝|P A |＋|PF 1|＋|AF |＋2a ，由于|AF |＋2a 是定值，要使△APF 的周长最小，则|PA |＋|PF 1|最小，即P ，A ，F 1共线，由于A (0,66)，F 1(－3,0)，则直线AF 1的方程为x －3＋y 66＝1，即x ＝y26－3，代入双曲线方程整理可得y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)，所以点P 的纵坐标为26，所以＝12×6×66－12×6×26＝12 6.【答案】126[关键点拨]要求△APF 的周长的最小值，其实就是转化为求解三角形三边长之和，根据已知条件与双曲线定义加以转化为已知边的长度问题与已知量的等价条件来分析，根据直线与双曲线的位置关系，通过数形结合确定点P 的位置，通过求解点P 的坐标进而利用三角形的面积公式来处理．[对点训练]1．椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是()A.55B.655C.855D.455解析：选C 如图所示，设椭圆的右焦点为F ′，连接MF ′，NF ′.因为|MF |＋|NF |＋|MF ′|＋|NF ′|≥|MF |＋|NF |＋|MN |，所以当直线x ＝m 过椭圆的右焦点时，△FMN 的周长最大．此时|MN |＝2b 2a ＝855，又c ＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以此时△FMN 的面积S ＝12×2×855＝855.故选C.2．设P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M ，N 分别是圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x－4)2＋y 2＝1上的点，设|PM |－|PN |的最大值和最小值分别为m ，n ，则|m －n |＝()A ．4 B.5C ．6D ．7解析：选C 由题意得，圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4的圆心为(－4,0)，半径为r 1＝2；圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1的圆心为(4,0)，半径为r 2＝1.设双曲线x 2－y 215＝1的左、右焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)．如图所示，连接PF 1，PF 2，F 1M ，F 2N ，则|PF 1|－|PF 2|＝2.又|PM |max ＝|PF 1|＋r 1，|PN |min ＝|PF 2|－r 2，所以|PM |－|PN |的最大值m ＝|PF 1|－|PF 2|＋r 1＋r 2＝5.又|PM |min ＝|PF 1|－r 1，|PN |max ＝|PF 2|＋r 2，所以|PM |－|PN |的最小值n ＝|PF 1|－|PF 2|－r 1－r 2＝－1，所以|m －n |＝6.故选C.技巧五妙借向量，无中生有平面向量是衔接代数与几何的纽带，沟通“数”与“形”，融数、形于一体，是数形结合的典范，具有几何形式与代数形式的双重身份，是数学知识的一个交汇点和联系多项知识的媒介．妙借向量，可以有效提升圆锥曲线的解题方向与运算效率，达到良好效果．【例题】如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．【解析】把y ＝b 2代入椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得x ＝±32a ，则－32a 而F (c,0)，则FB －32a －c FC －c 又∠BFC ＝90°，故有FB ·FC －32a －c －c c 2－34a 2＋14b 2＝c 2－34a 2＋14(a 2－c 2)＝34c 2－12a 2＝0，则有3c 2＝2a 2，所以该椭圆的离心率e ＝c a ＝63.【答案】63[关键点拨]本题通过相关向量坐标的确定，结合∠BFC ＝90°，巧妙借助平面向量的坐标运算来转化圆锥曲线中的相关问题，从形入手转化为相应数的形式，简化运算．[对点训练]设直线l 是圆O ：x 2＋y 2＝2上动点P (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)处的切线，l 与双曲线x 2－y 22＝1交于不同的两点A ，B ，则∠AOB 为()A ．90° B.60°C ．45°D ．30°解析：选A ∵点P (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)在圆O ：x 2＋y 2＝2上，∴x 20＋y 20＝2，圆在点P (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝2.2－y 22＝1，0x ＋y 0y ＝2及x 20＋y 20＝2得(3x 20－4)x 2－4x 0x ＋8－2x 20＝0.∵切线l 与双曲线交于不同的两点A ，B ，且0＜x 20＜2，∴3x 20－4≠0，且Δ＝16x 20－4(3x 20－4)·(8－2x 20)＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4x 03x 20－4，x 1x 2＝8－2x 203x 20－4∵OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋1y 20(2－x 0x 1)(2－x 0x 2)＝x 1x 2＋12－x 20[4－2x 0(x 1＋x 2)＋x 2x 1x 2]＝8－2x 203x 20－4＋12－x 204－8x 203x 20－4＋x 20(8－2x 20)3x 20－4＝0，∴∠AOB ＝90°.技巧六巧用“根与系数的关系”某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．【例题】已知椭圆x 24＋y 2＝1的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM ，AN 交椭圆于M ，N 两点．(1)当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；(2)当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．【解析】(1)直线AM 的斜率为1时，直线AM 的方程为y ＝x ＋2，代入椭圆方程并化简得5x 2＋16x ＋12＝0.解得x 1＝－2，x 2＝－65，所以－65，(2)设直线AM 的斜率为k ，直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)，k (x ＋2)，y 2＝1，化简得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0.则x A ＋x M ＝－16k 21＋4k2，x M ＝－x A －16k 21＋4k 2＝2－16k 21＋4k 2＝2－8k 21＋4k2.同理，可得x N ＝2k 2－8k 2＋4.由(1)知若存在定点，则此点必为－65，证明如下：因为k MP ＝y M x M ＋65＝2－8k 21＋4k 2＋65＝5k 4－4k 2，同理可得k PN ＝5k 4－4k2.所以直线MN 过x 轴上的一定点－65，[关键点拨]本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出x M ＝2－8k 21＋4k2这体现了整体思想．这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量．[对点训练]已知椭圆C ：x2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且经过点右焦点分别为F 1，F 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的内切圆半径为327，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．解：(1)由c a ＝12，得a ＝2c ，所以a 2＝4c2，b 2＝3c 2，将点P c 2＝1，故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)可知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1，代入椭圆方程，整理得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0，显然判别式大于0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，△AF 2B 的内切圆半径为r 0，则有y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t2，r 0＝327，＝12r 0(|AF 1|＋|BF 1|＋|BF 2|＋|AF 2|)＝12r 0·4a ＝12×8×327＝1227所以12t 2＋14＋3t2＝1227，解得t 2＝1，因为所求圆与直线l 相切，所以半径r ＝2t 2＋1＝2，所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.。
例析高考中解析几何简化运算量的常用策略
评析:解析几何的计算常涉及一个参数或多个参数的运算。根据几何图形的特征,选择合适的参数,可使解题简捷巧妙。
四、先猜后证，绝处逢生
例4：（2009年高考山东卷理科22题）
设椭圆E:＋ ＝1（a,b>0）过M（2，2）、N(6,1）两点，O为坐标原点。
（1）求椭圆E的方程。
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B且OA⊥OB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取析：设而不求，利用韦达定理整体代换可避免冗长的运算，这是直线与圆锥曲线位置关系问题常用处理办法。
三、引入参数，化繁为简
例3：（2016年高考全国卷Ⅰ理科20题）
设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C、D两点，过B作AC的平行线交AD于点E。
解析:（1）略。
（2）设∠MBA=θ〔θ∈（0，π）〕,则在△MAB中，|MA|2=|MB|2+|AB|2-2|MB|·|AB|·cosθ。结合|MA|+|MB|=4可得|MB|=。同理可得|NB|=，从而|MN|=。
此时,直线PQ的倾斜角为π-θ,方程为xcosθ=ysinθ+cosθ,|PQ|=44-cos2θ,所以S四边形PNQ=|MN|·|PQ|=，所以四边形的取值范围是[12，83）。
例析高考中解析几何简化运算量的常用策略
近年来，解析几何解答题往往在最后两题出现，是高考中区分中上层学生数学成绩的一个关键考点，能顺利解答解析几何题是数学分数跃上新台阶的重要条件。解析几何的主要特征是“算”，考生如果对运算方法运用不当，面临繁杂的运算将无从下手，最终只能望运算而兴叹，以失败告终。
高考数学——解析几何复习与备考经验分享
高考数学——解析几何复习与备考经验分享作为高考数学中的一门重要学科，解析几何既考查学生对几何概念和定理的理解和掌握，又需要运用代数化简、计算和解方程等能力。
本文旨在分享一些解析几何复习和备考的经验和心得，帮助广大考生更好地备战高考。
一、复习内容及技巧1.掌握基本概念和定理解析几何的基本概念和定理是学习的起点，也是高考考查的重点。
重点掌握距离公式、斜率公式、中点公式等基本定理，同时要熟记直线、圆及其相关概念和公式。
复习的过程中，可以制定一份重点及难点汇总表，逐一查漏补缺。
2.多做题、多总结解析几何学科的特点是注重计算和运用，因此多做题非常重要。
不仅可以加深理解和掌握常见的计算方法，还可以培养运用解析方法解决实际问题的能力。
同时，做题过程中遇到难点和疑问，及时总结和查缺补漏，将做错的题目记录下来，找到错误原因并及时纠正，更好地提升解析几何应用能力。
3.加强思维练习解析几何的应用要求学生能够进行代数化简，解方程等操作，因此需要对数学思维进行锻炼。
可以选择一些方法问题或综合问题进行思考和解答，或参加数学竞赛等活动进行实践和应用。
4.提高解题效率解析几何中的计算和运用需要较强的数学功底和计算能力，因此提高解题效率非常重要。
这一技巧的实践要点包括：熟练掌握基本计算规律和技巧，巧用代数化简和简化公式，提高计算精度等。
二、备考心态及技巧1. 调整心态，保持自信高考数学中的解析几何是考查学生对数学知识的掌握和解题能力的一门重要学科，复习过程中可能会遇到困难和难题，要及时调整心态，保持自信心，不要影响学习和备考的进度。
2. 查阅资料，积累经验更新自己的数学知识，在复习中充分展现自己的优势和特长。
在习题解决中，较强的思维抽象和极好的运算能力，有利于解答考试提供充足的时间和思路。
同时要充分了解高考数学考试的规律和趋势，提前准备充足的模拟试题和真题进行复习练习。
3. 坚持做题，增强实践与其它学科相比较，解析几何需要大量的实践更能促进对知识地理的理解，解决不了的问题借助不同的方法去尝试，多做套卷或零散的问题来逐渐适应解析普及难度的思路和方案。
解析几何中简化运算的策略
解析几何中简化运算的策略在解析几何中，方程是刻画曲线性质的代数语言，而曲线又是描绘方程特征的图像语言，数与形的高度统一，使得两者浑然一体，相得益彰.在解决直线与圆锥曲线的问题时，常用方法就是将它们的方程转化为关于x 或y 的二次方程来解决，一般过程较繁.其实，相当一部分解几问题的运算量与选择的解题方法有关，只要把握问题本质，精心构思，就可以获得简捷明快的解题方法，不仅简化或避免复杂的运算、提高效率，而且能训练思维、开发智力、增强信心。
下面谈谈解几种简化运算的常用策略，供参考。
一．回归定义，彰显本质我们解决问题，总是希望寻找到最简单又不失本质的原理与方法，而这方面非“定义”莫属。
只要对问题进行深刻挖掘，彰显本质，然后利用定义解题，达到巧思妙解。
例1， 设)0,6(P ，Q 为圆922=+y x 上的动点，且M 在线段PQ 上，满足21=MQ PM ，求点M 的轨迹方程。
解：由21=MQ PM 想得到在OP 上取点R 使21=RO PR ，即取点)0,4(R ，则OQ MR //且MR 31=OQ 1=， 根据圆的定义知：M 点的轨迹是以R 为圆心、半径为1的圆。
所以M 点的轨迹方程为：()1422=+-y x例2．设F 是抛物线()02>=a ax y 的焦点，直线AB 过F 交抛物线于B A 、两点，点()b a M ,满足条件222b a =；（1） 证明：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切（2） 若P 是抛物线上一点，且PF +PM 的最小值为5，求b a 、的值。
解：（1）设AB 中点为C ，分别过C B A 、、点， 作准线l 的垂线，垂足分别为'''C B A 、、，由抛物线定义可知：AB =+=BF AF '2''CC BB AA =+ ，∴ 以AB 为直径的圆与准线相切（2）过M 作l MH ⊥于H ，交抛物线于点P ，则P 为所求。
2024年高考数学平面解析几何的复习方法总结
2024年高考数学平面解析几何的复习方法总结一、理清知识框架平面解析几何是高中数学的重要内容，复习时首先要理清知识框架，明确各个知识点的内容和重点。
可以根据教材或参考书的章节来进行分类整理，将知识点归纳为直线方程、圆方程、二次曲线方程等等，并注意各个知识点之间的联系和线索。
二、复习关键知识点1. 直线方程：掌握直线的点斜式、斜截式、一般式等多种表示方法，能够灵活转换直线方程，解决直线的位置关系、距离、角平分线等相关问题。
2. 圆方程：了解标准方程和一般方程的定义和性质，能够根据给定条件列出圆的方程，解决圆与直线、圆与圆之间的位置关系、切线、切点等问题。
3. 二次曲线方程：熟练掌握抛物线、双曲线和椭圆的方程表示方法，注意各个二次曲线的基本性质和特点，能够画出二次曲线的图像，解决与二次曲线相关的各种问题。
4. 曲线的判别：掌握判别方程的基本方法，了解直线与二次曲线的位置关系的判别式和条件，能够根据判别式解决相关的问题。
三、掌握基本解题思路1. 了解解题步骤：解决平面解析几何问题通常遵循以下步骤：确定已知条件；列出方程或不等式；解方程或不等式得到未知量的取值范围；根据问题要求，对方程的解或取值范围进行判断与选择。
2. 注意问题的本质：平面解析几何考察的是几何图形的性质和位置关系，因此，在解答问题时要分析问题的本质，结合具体的几何意义去解决。
四、多练习典型题目1. 题海战术：平面解析几何的题目类型较多，考察灵活性较强，因此，在复习过程中要多做一些典型题目，掌握不同类型题目的解题思路和技巧。
2. 整理常见题型：将遇到的题目整理成不同的题型，比如直线方程的求法、圆方程的求法、二次曲线图像的分析等，通过总结常见的题型，加深对知识点的理解，提高解题效率。
五、查缺补漏1. 平时及时记录：在复习过程中，及时记录自己遇到的问题和不理解的知识点，并寻找相关的资料进行补充和学习。
2. 寻求帮助：如果自己在复习过程中遇到难题或困惑，可以向老师、同学或家长寻求帮助，共同解决问题。
解析几何中简化运算的常用技巧
解析几何中简化运算的常用技巧技巧一：弦长公式的“巧用”.①直线AB的方程为，与曲线联立后的一元二次方程为，所以直线与二次曲线相交的弦长公式又可以化为：②1.对于公式①在直线弦长的运用.例题1.已知椭圆C（a>b>0)的离心率为，直线：x+2y=4与椭圆有且只有一个交点T.（I）求椭圆C的方程和点T的坐标；（Ⅱ)O为坐标原点，与OT平行的直线与椭圆C交于不同的两点A，B，直线与直线交于点P，试判断是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由.(1)(2) 由第(1)知 ,设直线与直线：x+2y=4联立得与直线椭圆联立得:点评：该方法在求弦长的时候，巧妙运用了弦长公式，该弦长的一个端点在直线上，另一个端点在曲线上，大大简化了计算量.1.对于公式②在直线弦长的运用.例题2. 设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.（I）（）.（Ⅱ）当与轴不垂直时，设的方程为，， .由得 .过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以 .故四边形的面积.可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为 .当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12.综上，四边形面积的取值范围为 .点评：该方法在求弦长的时候，巧妙运用了简化后的弦长公式，绕开了韦达定理，大大简化了运算量.技巧二：巧设直线方程在直线与圆锥曲线联立的问题中，设直线的点斜式方程是最常用的一种手段，但具体在已知直线过点设方程的是时候，还是很有讲究.当给定的点不在坐标轴上，最好设直线的斜截式方程，计算完后再代点，可大大简化运算量.当给定的点在坐标轴上的时候，则选择直线的点斜式方程为多.【2014年广东，理20，14分】已知椭圆的一个焦点为，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程．解：（1），，，，椭圆的标准方程为：．方法二：若一切线垂直轴，则另一切线垂直于轴，则这样的点共4个，它们的坐标分别为，．若两切线不垂直与坐标轴，设切线方程为，将之代入椭圆方程得：即显然，这四点也满足以上方程，点的轨迹方程为．点评：本题采用设直线的斜截式方程，大大简化了计算量.若果才用设直线的点斜式方程，则计算量和计算难度会繁琐很多.技巧三：巧用平面几何性质已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )A． B．C． D．【解析】设OE的中点为N，如图，因为MF∥OE，所以有＝，＝.又因为OE ＝2ON，所以有＝·，解得e＝＝，故选A．【答案】A此题也可以用解析法解决，但有一定的计算量，巧用三角形的相似比可简化计算．技巧四：设而不求，整体代换对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或弦的中点的轨迹方程的问题时，常常可以用“点差法”求解．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E 于A，B两点．若AB的中点坐标为M(1，－1)，则E的标准方程为( )A．＋＝1 B．＋＝1C．＋＝1 D．＋＝1【解析】通解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，①－②得＋＝0，所以kAB＝＝－＝.又kAB＝＝，所以＝.又9＝c2＝a2－b2，解得b2＝9，a2＝18，所以椭圆E的标准方程为＋＝1.优解：由kAB ·kOM＝－得，×＝－得，a2＝2b2，又a2－b2＝9，所以a2＝18，b2＝9，所以椭圆E的标准方程为＋＝1.【答案】D本题设出A，B两点的坐标，却不求出A，B两点的坐标，巧妙地表达出直线AB的斜率，通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．技巧五巧妙“换元”减少运算量变量换元的关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而将非标准型问题转化为标准型问题，将复杂问题简单化．变量换元法常用于求解复合函数的值域、三角函数的化简或求值等问题．如图，已知椭圆C的离心率为，点A，B，F分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且S△ABF＝1－.(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l：y＝kx＋m与圆O：x2＋y2＝1相切，若直线l与椭圆C交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．【解】(1)由已知椭圆的焦点在x轴上，设其方程为＋＝1(a＞b＞0)，则A(a，0)，B(0，b)，F(c，0)(c＝)．由已知可得e2＝＝，所以a2＝4b2，即a＝2b，可得c＝b①.S△AFB＝×|AF|×|OB|＝(a－c)b＝1－②.将①代入②，得(2b－b)b＝1－，解得b＝1，故a＝2，c＝.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)圆O的圆心为坐标原点，半径r＝1，由直线l：y＝kx＋m与圆O：x2＋y2＝1相切，得＝1，故有m2＝1＋k2③.由消去y，得x2＋2kmx＋m2－1＝0.由题可知k≠0，即(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，所以Δ＝16(4k2－m2＋1)＝48k2＞0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.所以|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－4×＝④.将③代入④中，得|x1－x2|2＝，故|x1－x2|＝.所以|MN|＝|x1－x2|＝×＝.故△OMN的面积S＝|MN|×1＝××1＝.令t＝4k2＋1，则t≥1，k2＝，代入上式，得S＝2＝＝＝＝＝，所以当t＝3，即4k2＋1＝3，解得k＝±时，S取得最大值，且最大值为×＝1.破解此类题的关键：一是利用已知条件，建立关于参数的方程，解方程，求出参数的值，二是通过变量换元法将所给函数转化为值域容易确定的另一函数，求得其值域，从而求得原函数的值域，形如y＝ax＋b±(a，b，c，d均为常数，且ac≠0)的函数常用此法求解，但在换元时一定要注意新元的取值范围，以保证等价转化，这样目标函数的值域才不会发生变化．。
2024年高考数学平面解析几何的复习方法总结
2024年高考数学平面解析几何的复习方法总结如下：
1. 理清知识框架：首先，需要理解平面解析几何的基本概念和公式，包括直线的方程、直线的性质、圆的方程、圆的性质等。
建立起完整的知识框架可以帮助你对各个知识点进行系统学习和理解。
2. 刷题巩固：做大量的题目是复习的关键。
刷题可以帮助你提高对各类题型的解题技巧和策略，以及加深对知识点的理解。
可以选择做一些基础题帮助你巩固基础知识，然后再逐渐提高难度做一些模拟试题和历年高考试题。
3. 整理笔记：在复习过程中，及时整理笔记是非常重要的。
将每个知识点的公式、性质、解题步骤等整理出来，可以帮助你更好地回顾知识点，也可以方便你在考场上查阅。
4. 合理利用工具：在复习过程中，可以合理利用计算器和数学软件等工具，帮助你更好地理解和应用解析几何的知识。
但是，也要注意不过度依赖工具，还是要培养自己的手算能力。
5. 多维度理解：解析几何的知识点通常可以从几何、代数和物理多个维度进行理解和应用。
可以尝试从不同的角度来理解和解答问题，这样可以帮助你拓宽思路和方法。
6. 考点分析：查阅往年高考试题和模拟试卷，分析近几年的考点和命题趋势，了解哪些知识点和题型比较重要，及时调整复习重点。
总之，高考数学平面解析几何的复习方法需要通过理清知识框架、刷题巩固、整理笔记、合理利用工具、多维度理解和考点分析等步骤，全面提升解析几何的学习水平。
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高考丨搞定解析几何，这些运算技巧超实用，建议收藏
高考丨搞定解析几何，这些运算技巧超实用，建议收藏我们都知道，数学在高考中是重点，也是难点。
而在数学当中，解析几何可谓是重中之重，让很多考生伤透了脑筋，特别是大题，很多同学都被复杂的图形给吓到了。
今天就总结几点关于几何题的解题思路以及答题要点与模版，希望能帮助广大考生，一定要用心看完哦。
一、空间感可以练出来我们初中几何都是平面图，而到了高中，就接触立体图形了，这是一次艰难的飞跃，很多初中几何学得好的同学都折在这了。
但凡事需要一个过程啊，没有空间感，咱们就建立空间感。
同学们可以自制一些空间几何模型，反复观察练习，这有益于建立空间观念，是个好办法。
也可选择对一些立体图形进行观察、揣摩，并且判断其中的线线、线面、面面位置关系，探索各种角、各种垂线作法，这对于建立空间观念也是好方法。
二、基础知识要记牢要用图形、文字、符号三种形式表达概念、定理、公式，要及时不断地复习前面学过的内容。
这是因为几何的知识点前后联系紧密，前面内容是后面内容的基础，后面内容既巩固了前面的内容，又延伸了前面内容。
在解题中，要注意书写规范，①如用平行四边形ABCD表示平面时，可以写成平面AC，但不可以把平面两字省略掉；②要写出解题根据，不论对于计算题还是证明题都应该如此，不能想当然或全凭直观；③对于文字证明题，要写已知和求证，要画图；用定理时，必须把题目满足定理的条件逐一交待清楚，自己心中有数而不把它写出来是不行的。
④要学会用图帮助解决问题；要掌握求各种角、距离的基本方法和推理证明的基本方法。
三、积累解决问题的方法、提高分析的能力要注意积累解决问题的方法。
如将立体几何问题转化为平面问题，又如将求点到平面距离的问题，或转化为求直线到平面距离的问题，再继而转化为求点到平面距离的问题；或转化为体积的问题。
不断提高分析问题、解决问题的水平，加深对理论的认识水平，养成良好逻辑思维能力，几何题目便不在话下。
四、“转化”思想解立体几何的问题，要运用“转化”这种数学思想，要明确在转化过程中什么变了，什么没变，什么是变量、两者之间存在的联系，这是非常关键的。
解析几何中计算方法与技巧
解析几何中计算方法与技巧高考中解析几何综合题要求具有较强的计算能力,常规的解题方法必须熟练掌握,在此基础上积累计算经验，掌握计算技巧，则解析几何定可得到高分。
一、巧用韦达定理简化运算1、过二次曲线C 上一点P （x 0，y 0）作直线l ，求l 与C 另一交点。
例1：求直线y=kx+22－k 与椭圆22x +y 2=1的交点坐标。
2、合二为一的整体运算例2：过点P （-1，2）作圆C ：（x-1）2+y 2=1的两条切线，求两条切线的斜率和。
例3：过点P （x 0，-41）作抛物线y=x 2的两条切线，求证：切点弦过定点。
例4：抛物线y 2=2x 上动点P ，过点P 作⊙C ：（x-1）2+y 2=1的切线PM ，PN 分别交y轴于M ，N 两点，求△PMN 面积的最小值。
例5：过抛物线x 2=2y 的焦点作斜率分别为k 1、k 2的两条直线l 1和l 2，若l 1交抛物线于A 、B 两点，l 2交抛物线于C 、D 两点。
以线段AB 为直径作圆C 1，以CD 为直 径作圆C 2。
若k 1+k 2=2，求两圆C 1与C 2的公共弦所在直线方程。
二、利用计算的对称性避免重复运算引例：过原点O 作抛物线y 2=2px 的两条互相垂直的弦OA 与OB ，求证：AB 直线过定点。
例1：设椭圆E ：22x +y 2=1上一点A （1，22），过A 作两条关于平行y 轴的直线对称的两条直线AC ，AD 交椭圆E 于另两点C 和D 。
求证：CD 直线的方向确定。
例2：设曲线C 1：42x +y 2=1与曲线C 2：y=x 2-1。
C 2的顶点为M ，过原点O 的直线l 与C 2相交于A 、B 两点，直线MA 、MB 分别与C 1相交于D 、E 。
（1）证明：MD ⊥ME ；（2）若△MAB ，△MDE 的面积分别为S 1、S 2，问是否存在直线l 使得21S S =3217？例3：设椭圆42x +42y =1的左焦点F ，点A 、B 是椭圆上的两点，满足2 ，求A 、B 两点距离。
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常会出现 “柳暗花明又一村 ”的感觉。 例 5 过抛物线 y2=8(x+2) 的焦点 F 作倾斜角为 60°的直线，若此直线与抛物线交于
A ，B
两点，弦 AB 的中垂线与 x 轴交于点 P，则线段 PF 的长等于（ ）
A. 16 . 3
8
16 3
B. 3
C.
.
3
D. 8 3.
解：如图 4，设 AB 的中点为 Q，抛物线的准线为 l 交 x 轴于点 E， 作 AM ⊥ l 于 M ， BN ⊥ l 于 N，则 △ AMF 为正三角形，则 |EF|=4，所以
x2
(y
a2b a2 b2
)
2
a4b2 (a2 b2 )2
( y 0).
评注：上述解法的可取之处是构造出关于
y x 的一元二次方程，使得 OP ⊥ OQ 能和它直接
“对话 ”，极大的缩短了解题过程。
五、巧用平面几何知识
平面几何是解析几何的基础， 在解答解析几何问题时， 若能巧妙地利用平面几何知识， 则
D（如图 2），易求得其横坐标分别是
3 5 .由此可知：
5
当点 P 在椭圆弧 AB 和 CD 上，即在圆 x2+y2=5 内部，那么∠ F1PF2 是钝角，
故有 3 5 xp 3 5.
5
5
评注： 本题若直接设椭圆上一点的横坐标，
利用余弦定理来解， 其运算量较大； 现巧妙地
借助于形，不但减少解题运算量，也给人一种耳目一新之感。
所以 y1 y 2 x1 x2
y 1 ,(x 1 x2 ) x2
故 2x y·y 1 0, x2
若 x1 x 2 则 p(2,0)也满足方程。
即 2x2-y 2-4x+y=0 为所求 P 点的轨迹方程。
（ 2）假设存在这样的直线
m，设其斜率为 k，则由①式得： k 2 xB yB
2 ，所以直线 m
因此要进行验证。
四、巧用韦达定理
在解题过程中，若能巧妙运用韦达定理，对于简化运算过程往往能起到意想不到的效果。
例 4 已知椭圆的长半轴长为 a，短半轴长为 b，O 为短轴的一个端点， 设 P、Q 为椭圆上
异于 O 的任意两点，且 OP⊥OQ ， M 是 O 在 PQ 上的射影，求点 M 的轨迹方程。
2008 高考数学复习 简化解析几何运算的若干方法和技巧
众所周知，运算复杂是成功解答解析几何的最大障碍之一； 若在解题时选择的方法不恰当， 又不注意探求优化解题过程、 降低运算量的方法和技巧， 则很容易陷入繁冗的运算而不能自拔， 导致解题失败。现介绍几种简化解析几何运算过程的方法和技巧，供大家参考。
解：如图 3 建立坐标系，则椭圆方程为
2
2
x ( y b)
a2
b2
1 ,即
1 a2
x2
1 b2
y2
2y b
0 .设
PQ 方 程 为
1 a2
x2
1 b2
y2
mx+
2 y(mx b
n y=1 ， 将 其 代 入 椭 圆 方 程 ， 得 ：
ny) 0
,
将
其
化Байду номын сангаас
为
1 2n y2 2m y 1
(b2
b ) x2
当且仅当点 B 是 AM 与椭圆的交点时取等号，此时
B(
53
5
2 , 2) 。所以，当 |AB|+ 3 |BF|
取最小值时，点
B 的坐标为 B(
53
, 2)。
2
评注：本题运用了椭圆的第二定义， 真正发挥了定义的解题功能， 达到了优化解题的目的。
二、巧用数形结合
数形结合是解析几何的基本思想， 它是在深刻分析方程或已知条件中的几何性质之下，
a=5, b=4, c=3, e= c a
3 =5
,左准线方程为：
25 x=- 3
,过 B 点作左准线
的垂线，垂足为 N，过点 A 作左准线的垂线，垂足为 M ，由椭圆的定义可知：
1
5
|BN|= e |BF|=3 |BF|,
于是，
5 |AB|+
3
|BF|=|AB|+| BN|
≥ |AN|
≥ |AM|,
以
形助数的方法，往往使问题简捷、清晰地得以解决。
例 2 椭圆 x 2 9
y 2 1 的焦点为 F1， F2。点 P 为其上的一个动点，当∠ F1PF2 为钝角时， 4
求点 P 的横坐标的取值范围。
解：设以原点 O 为圆心， OF1（值 5 ）为半径的圆与椭圆 x 2 9
y 2 1 交一于 A ，B，C， 4
x12 y12 1
解：（ 1）设 P(x , y), P 1(x 1,y1), P2(x 2,y2) ，则有
x22
2 y22
2
，两式相减，得
1
( x1 x2)( x1 x2) ( y1 y2 )( y1 y2 ) 0, 2
即 2 x y·y1 y2 0 x1
①
x1 x2
因为 P、 A 两点在直线 l 上，
三、巧设而不求
在解答解析几何问题时， 常常涉及曲线和曲线的交点， 若要求交点， 不但运算繁冗而且易
出错，若能设而不求，则能使运算简捷许多。
例 3 给定双曲线 x 2
y2 1. 2
（ 1）过点 A(2,1) 的直线 l 与双曲线交于 P1，P2，求线段 P1P2 中点 P 的轨迹方程： （ 2）过点 B（ 1，1）能否作直线 m 交双曲线于 Q1，Q2，且 B 是 Q1Q2 的中点，这样的直 线若存在，求出方程，若不存在，请说明理由。
一、巧用定义 对于涉及圆锥曲线的焦点、 准线有关的问题， 若能恰当地利用圆锥曲线的定义， 则能收到 其他方法技巧所无法达到的效果。
例 1 给定 A(-2,2), 已知点 B 是椭圆 x 2 25
y2 16
1 上的动点，
F 是左焦点，当
5
|AB|+ 3
|BF|
取最小值时，求点 B 的坐标。
解：如图
1，由题意可知：
的方程式为 y-1=2(x-1), 即 2x-y-1=0 。代入双曲线方程并整理得
2x
2
-4x+3=0,
其判别式
△ = -8< 0,
所以直线 m 与双曲线交于两点矛盾，故这样的直线 m 不存在。
评注： 本例是直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题， 运用韦达定理和点差法是两种典型
的设而不求的通法， 而点差法较之运用韦达定理简捷， 但并非过每点都存在圆锥曲线的中点弦，
· bx
a2
0 .设 P(x1,y1), Q(x 2,y2),因为 OP ⊥OQ,
1
所以 y1 ·y2 x1 x2
1,即
a2 1 2n
1，
b2 b
推得 n
a2 b2 2a 2b
,所以
PQ 方程为
mx
a2 b2 2 a 2b
y
1 ,即直线
PQ 过定点
2a 2b N（ 0， a2 b2
),
所以点 M 在以 ON 为直径的圆上（除原点） ，所以点 M 的轨迹方程为