高考数学复习简化解析几何运算的若干方法和技巧

当且仅当点 B 是 AM 与椭圆的交点时取等号，此时
B(
53
5
2 , 2) 。所以，当Байду номын сангаас|AB|+ 3 |BF|
取最小值时，点
B 的坐标为 B(
53
, 2)。
2
评注：本题运用了椭圆的第二定义， 真正发挥了定义的解题功能， 达到了优化解题的目的。
二、巧用数形结合
数形结合是解析几何的基本思想， 它是在深刻分析方程或已知条件中的几何性质之下，
的方程式为 y-1=2(x-1), 即 2x-y-1=0 。代入双曲线方程并整理得
2x
2
-4x+3=0,
其判别式
△ = -8< 0,
所以直线 m 与双曲线交于两点矛盾，故这样的直线 m 不存在。
评注： 本例是直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题， 运用韦达定理和点差法是两种典型
的设而不求的通法， 而点差法较之运用韦达定理简捷， 但并非过每点都存在圆锥曲线的中点弦，
三、巧设而不求
在解答解析几何问题时， 常常涉及曲线和曲线的交点， 若要求交点， 不但运算繁冗而且易
出错，若能设而不求，则能使运算简捷许多。
例 3 给定双曲线 x 2
y2 1. 2
（ 1）过点 A(2,1) 的直线 l 与双曲线交于 P1，P2，求线段 P1P2 中点 P 的轨迹方程： （ 2）过点 B（ 1，1）能否作直线 m 交双曲线于 Q1，Q2，且 B 是 Q1Q2 的中点，这样的直 线若存在，求出方程，若不存在，请说明理由。
因此要进行验证。
四、巧用韦达定理
在解题过程中，若能巧妙运用韦达定理，对于简化运算过程往往能起到意想不到的效果。
例 4 已知椭圆的长半轴长为 a，短半轴长为 b，O 为短轴的一个端点， 设 P、Q 为椭圆上
异于 O 的任意两点，且 OP⊥OQ ， M 是 O 在 PQ 上的射影，求点 M 的轨迹方程。
所以 y1 y 2 x1 x2
y 1 ,(x 1 x2 ) x2
故 2x y·y 1 0, x2
若 x1 x 2 则 p(2,0)也满足方程。
即 2x2-y 2-4x+y=0 为所求 P 点的轨迹方程。
（ 2）假设存在这样的直线
m，设其斜率为 k，则由①式得： k 2 xB yB
2 ，所以直线 m
以
形助数的方法，往往使问题简捷、清晰地得以解决。
例 2 椭圆 x 2 9
y 2 1 的焦点为 F1， F2。点 P 为其上的一个动点，当∠ F1PF2 为钝角时， 4
求点 P 的横坐标的取值范围。
解：设以原点 O 为圆心， OF1（值 5 ）为半径的圆与椭圆 x 2 9
y 2 1 交一于 A ，B，C， 4
常会出现 “柳暗花明又一村 ”的感觉。 例 5 过抛物线 y2=8(x+2) 的焦点 F 作倾斜角为 60°的直线，若此直线与抛物线交于
A ，B
两点，弦 AB 的中垂线与 x 轴交于点 P，则线段 PF 的长等于（ ）
A. 16 . 3
8
16 3
B. 3
C.
.
3
D. 8 3.
解：如图 4，设 AB 的中点为 Q，抛物线的准线为 l 交 x 轴于点 E， 作 AM ⊥ l 于 M ， BN ⊥ l 于 N，则 △ AMF 为正三角形，则 |EF|=4，所以
x2
(y
a2b a2 b2
)
2
a4b2 (a2 b2 )2
( y 0).
评注：上述解法的可取之处是构造出关于
y x 的一元二次方程，使得 OP ⊥ OQ 能和它直接
“对话 ”，极大的缩短了解题过程。
五、巧用平面几何知识
平面几何是解析几何的基础， 在解答解析几何问题时， 若能巧妙地利用平面几何知识， 则
D（如图 2），易求得其横坐标分别是
3 5 .由此可知：
5
当点 P 在椭圆弧 AB 和 CD 上，即在圆 x2+y2=5 内部，那么∠ F1PF2 是钝角，
故有 3 5 xp 3 5.
5
5
评注： 本题若直接设椭圆上一点的横坐标，
利用余弦定理来解， 其运算量较大； 现巧妙地
借助于形，不但减少解题运算量，也给人一种耳目一新之感。
x12 y12 1
解：（ 1）设 P(x , y), P 1(x 1,y1), P2(x 2,y2) ，则有
x22
2 y22
2
，两式相减，得
1
( x1 x2)( x1 x2) ( y1 y2 )( y1 y2 ) 0, 2
即 2 x y·y1 y2 0 x1
①
x1 x2
因为 P、 A 两点在直线 l 上，
一、巧用定义 对于涉及圆锥曲线的焦点、 准线有关的问题， 若能恰当地利用圆锥曲线的定义， 则能收到 其他方法技巧所无法达到的效果。
例 1 给定 A(-2,2), 已知点 B 是椭圆 x 2 25
y2 16
1 上的动点，
F 是左焦点，当
5
|AB|+ 3
|BF|
取最小值时，求点 B 的坐标。
解：如图
1，由题意可知：
解：如图 3 建立坐标系，则椭圆方程为
2
2
x ( y b)
a2
b2
1 ,即
1 a2
x2
1 b2
y2
2y b
0 .设
PQ 方 程 为
1 a2
x2
1 b2
y2
mx+
2 y(mx b
n y=1 ， 将 其 代 入 椭 圆 方 程 ， 得 ：
ny) 0
,
将
其
化
为
1 2n y2 2m y 1
(b2
b ) x2
2008 高考数学复习 简化解析几何运算的若干方法和技巧
众所周知，运算复杂是成功解答解析几何的最大障碍之一； 若在解题时选择的方法不恰当， 又不注意探求优化解题过程、 降低运算量的方法和技巧， 则很容易陷入繁冗的运算而不能自拔， 导致解题失败。现介绍几种简化解析几何运算过程的方法和技巧，供大家参考。
· bx
a2
0 .设 P(x1,y1), Q(x 2,y2),因为 OP ⊥OQ,
1
所以 y1 ·y2 x1 x2
1,即
a2 1 2n
1，
b2 b
推得 n
a2 b2 2a 2b
,所以
PQ 方程为
mx
a2 b2 2 a 2b
y
1 ,即直线
PQ 过定点
2a 2b N（ 0， a2 b2
),
所以点 M 在以 ON 为直径的圆上（除原点） ，所以点 M 的轨迹方程为
a=5, b=4, c=3, e= c a
3 =5
,左准线方程为：
25 x=- 3
,过 B 点作左准线
的垂线，垂足为 N，过点 A 作左准线的垂线，垂足为 M ，由椭圆的定义可知：
1
5
|BN|= e |BF|=3 |BF|,
于是，
5 |AB|+
3
|BF|=|AB|+| BN|
≥ |AN|
≥ |AM|,