最小生成树

• 例子：
6
A
1
5 5
A D
2
A
1
B
5 3 6
B C
D
B C
1
D
4
C
4
E
6 （a）
F
E
（b）
F
E
（c）
F
A
A A
1
B
C
D
2
B
1 5
D
1
C
4 4
B
2 3
5
D
C
4 2
E
（d）
F
E
（e）
F E
（f）
F
• 在此处引入辅助数组
U {A} 6 B 3 5 5 A 5 D 2 {A,C} {A,C,F} {B,D,E,F} V-U B C D E F TE
6 B 3
6
3 4 5 5 5 6 6 6
AC 1 DF 2 BE 3 CF 4 BC 5
7.4.3
最小生成树
• 一、
最小生成树问题
• 二、
如何构造最小生成树
一、
最小生成树问题
现实案例： 要在 n 个城市之间建立通信联络网，则 连通 n 个城市只需要修建 n-1条线路，如 何在最节省经费的前提下建立这个通信网？ •
？？？
• 问题转化 用连通网来表示n个城市以及n个城市 之间可能设置的通信线路，其中网中的 顶点表示城市，边表示两城市之间的线 路，赋于边的权值表示相应的经济代价。
{B,C,D,E, F}
AB 6 CB 5 CB 5 CB 5
AC 1
AD 5 AD 5 FD 2
~ ∞ CE 6 CE 6 CE 6
BE 3
~ ∞ CF 4
AC 1 CF 4 FD 2 CB 5
BE 3
1 C 6 E
6
{B,D,E}
4 F {A,C,F,D} {B,E}
{A,C,F,D,B}
{A,C,F,D,B ,E}
建立总花费最少的通信网问题就转 换为求连通网的最小生成树的问题。
• 回忆赫夫曼树（最优二叉树）
•
假设有n个权值{w1，w2……wn}，构 造一棵n个子叶结点的二叉树，每个子叶带 权为wi，则其中带权路径长度WPL最小的 二叉树。
• 相似最小生成树可有如下定义
• 最小生成树定义
•
按照生成树的定义，含n个顶点的 连通网的生成树有n个顶点、n-1条边 （不构成回路）。因此，可以建立许 多不同的生成树，如果一棵生成树的 代价等于树上各边权值之和，那么肯 定有一棵生成树的代价最小，称为最 小代价生成树（简称最小生成树）。
{E}
{}
• 小试牛刀
19
A B
5
C
18
G
14 12
7 16
E
8
D
3
B
9 5 3 5 2
C
E
3
27
F
21
A
4
7
D
F
6 2
（1）
4
5
H
5
G
6
（2）
• 解：
A B
5
C
14
16
E
G
8
D
3
B
E
3
F
F
21
A
3 5 2
C
D
2
（1）
4
H
5
G
（2）
克鲁斯卡尔算法
考虑问题的出发点: 为使生成树上边的权值之 和达到最小，则应使生成树中每一条边的权值 尽可能地小。 具体做法: 先构造一个只含 n 个顶点的子图 SG，然后从权值最小的边开始，若它的添加 不使SG 中产生回路，则在 SG 上加上这条边， 如此重复，直至加上 n-1 条边为止。 一句话，“不构成环的情况下，每次选取最小 边”
• 例子：
6
A来自百度文库
1 5
A
5
A
1
B
5 3 6
D
2
B C
D
B C
1
D
2
C
4
E
6 （a）
F
E
（b）
F
E
（c）
F
A
A A
1
B
3
D
2
B C
3
1
D
1
B
4 2 3
5
D
C
4 2
C E
（d）
F
E
（e）
F E
（f）
F
TE
A 1 5 C 6 E 4 5 2 F
1 2
5 D
A C D F B C C A B A C E E F D D C B E F
• 二、 如何构造最小生成树？
• MST性质： • 假设N=(V,{E})是一个连通网，U是顶点 集V的一个非空子集。若(u, v)是一条具有 最小权值（代价）的边，其中u∈U，v ∈V-U，则最小生成树中必包含边(u, v)。 •
u
v
U
V-U
• •
普里姆算法
假设N=(V,{E})是连通图，TE是N上最小生 成树中边的集合。算法从U={u0}(u0∈V)， TE={}开始，重复执行下述操作：在所有 u∈U, v ∈V-U的边(u,v)∈E中找一条代价最 小的边(u0,v0)并入集合TE，同时v0并入U， 直至U=V为止。此时TE中必有n-1条边，则 T=(V,{TE})为N的最小生成树。 • （从一个结点的子图开始构造生成树：选 择连接当前子图和子图外结点的最小权边， 将相应结点和边加入子图，直至将所有结点 加入子图。）