高中数学2-2复数检测卷

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高中数学选修2-2综合测试试题及答案解析

高中数学选修2-2综合测试试题及答案解析时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．曲线y ＝4x －x 3在点(－1，－3)处的切线方程是导学号 10510897( ) A ．y ＝7x ＋4 B ．y ＝x －4 C ．y ＝7x ＋2D ．y ＝x －22．设x ＝3＋4i ，则复数z ＝x －|x |－(1－i)在复平面上的对应点在导学号 10510898( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的图象是导学号 10510899( )4．定义复数的一种运算z 1*z 2=|z 1|＋|z 2|2(等式右边为普通运算)，若复数z ＝a ＋b i ，z －为z 的共轭复数，且正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，则z *z －的最小值为导学号 10510900( )A.92B.322C.32D ．945．(2016·宜春高二检测)已知函数f (x )＝sin x ＋e x ＋x 2015，令f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，则f 2016(x )＝导学号 10510901( )A ．sin x ＋e xB ．cos x ＋e xC ．－sin x ＋e xD ．－cos x ＋e x6．函数f (x )＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是导学号 10510902( ) A.12 B ．－1 C ．0D ．17．(2016·哈尔滨质检)在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函数图象恰好经过k 个格点，则称函数为k 阶格点函数．已知函数：①y ＝sin x; ②y ＝cos(x ＋π6)；③y ＝e x －1;④y ＝x 2.其中为一阶格点函数的序号为导学号 10510903( ) A ．①② B ．②③ C ．①③D ．②④8．(2016·淄博高二检测)下列求导运算正确的是导学号 10510904( ) A ．(2x )′＝x ·2x －1 B ．(3e x )′＝3e xC ．(x 2－1x )′＝2x －1x2D ．(xcos x )′＝cos x －x sin x (cos x )29．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是导学号 10510905( )A ．289B ．1024C ．1225D ．137810．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a ＝导学号 10510906( )A ．64B ．32C ．16D ．811．(2016·全国卷Ⅲ理，12)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数，若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有导学号 10510907( )A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个12．当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是导学号 10510908( )A ．[－5，－3]B ．[－6，－98]C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝________.导学号 1051090914．请阅读下列材料：若两个正实数a 1、a 2满足a 21＋a 22＝1，那么a 1＋a 2≤ 2.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1.因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，从而得4(a 1＋a 2)2－8≤0，所以a 1＋a 2≤ 2.类比上述结论，若n 个正实数满足a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，你能得到的结论为________.导学号 1051091015．对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式：导学号 10510911 22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7； 23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19.根据上述分解规律，若n 2＝1＋3＋5＋…＋19，m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是21，则m ＋n 的值为________．16．(2016·全国卷Ⅱ理，16)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.导学号 10510912三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)(2016·大连高二期中)已知z 1、z 2为复数，i 为虚数单位，z 1·z －1＋3(z 1＋z －1)＋5＝0，z 2＋3z 2－3为纯虚数，z 1、z 2在复平面内对应的点分别为P 、Q .导学号 10510913(1)求点P 的轨迹方程； (2)求点Q 的轨迹方程； (3)写出线段PQ 长的取值范围．18．(本题满分12分)设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0<x <2π，求函数f (x )的单调区间与极值.导学号 1051091419．(本题满分12分)已知A n (n ，a n )为函数y 1＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y 2＝x 的图象上的点，设c n ＝a n －b n ，其中n ∈N *.导学号 10510915(1)求证：数列{c n }既不是等差数列也不是等比数列； (2)试比较c n 与c n ＋1的大小．20．(本题满分12分)设函数f (x )＝x ln x .导学号 10510916 (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[18，12]上的最大值和最小值．21．(本题满分12分)(2016·贵州高二检测)已知点列A n (x n,0)，n ∈N *，其中x 1＝0，x 2＝a (a >0)，A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…，A n 是线段A n －2A n －1的中点，….导学号 10510917(1)写出x n 与x n －1、x n －2之间的关系式(n ≥3)；(2)设a n ＝x n ＋1－x n ，计算a 1、a 2、a 3，由此推测数列{a n }的通项公式，并加以证明．22．(本题满分12分)(2016·北京文，20)设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c .导学号 10510918 (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)设a ＝b ＝4，若函数f (x )有三个不同零点，求c 的取值范围； (3)求证：a 2－3b >0是f (x )有三个不同零点的必要而不充分条件．高中数学选修2-2综合测试试题答案解析1．[答案] D[解析] y ′|x ＝－1＝(4－3x 2)|x ＝－1＝1， ∴切线方程为y ＋3＝x ＋1，即y ＝x －2.2． [答案] B[解析] ∵x ＝3＋4i ，∴|x |＝32＋42＝5， ∴z ＝3＋4i －5－(1－i)＝(3－5－1)＋(4＋1)i ＝－3＋5i. ∴复数z 在复平面上的对应点在第二象限，故应选B.3． [答案] A[解析] ∵f ′(x )＝2x ＋b 为增函数，∴排除B 、D ；又f (x )的顶点在第四象限，∴－b2>0，∴b <0，排除C ，故选A.4．[答案] B[解析] 由题意可得z *z －＝|a ＋b i|＋|a －b i|2＝a 2＋b 2＋a 2＋(－b )22＝a 2＋b 2，∵正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，∴b ＝3－a ，∴a 2＋b 2＝a 2＋(3－a )2＝2a 2－6a ＋9，由二次函数可知当a ＝32时，上式取最小值322.故选B.5．[答案] A[解析] f 1(x )＝f ′(x )＝cos x ＋e x ＋2015x 2014，f 2(x )＝f 1′(x )＝－sin x ＋e x ＋2015× 2014x 2013， f 3(x )＝f 2′(x )＝－cos x ＋e x ＋2015×2014×2013x 2012，…，∴f 2016(x )＝sin x ＋e x .6．[答案] D[解析] 由f ′(x )＝3－12x 2＝0得，x ＝±12，∵x ∈[0,1]，∴x ＝12，∵当x∈[0，12]，f ′(x )>0，当x ∈[12，1]时，f ′(x )<0，∴f (x )在[0，12]上单调递增，在[12，1]上单调递减，故x ＝12时，f (x )取到极大值也是最大值，f (12)＝3×12－4×(12)3＝1，故选D.7． [答案] C[解析] 对于①，注意到y ＝sin x 的值域是[－1,1]；当sin x ＝0时，x ＝k π(k ∈Z )，此时相应的整数x ＝0；当sin x ＝±1时，x ＝k π＋π2(k ∈Z )，此时没有相应的整数x ，因此函数y ＝sin x 仅过唯一的整点(0,0)，该函数是一阶格点函数．同理可知，对于②，函数y ＝cos(x ＋π6)不是一阶格点函数．对于③，令y ＝e x －1＝k (k ∈Z )得e x ＝k ＋1>0，x ＝ln(k ＋1)，仅当k ＝0时，x ＝0∈Z ，因此函数y ＝e x －1是一阶格点函数．对于④，注意到函数y ＝x 2的图象经过多个整点，如点(0,0)，(1,1)，因此函数y ＝x 2不是一阶格点函数．综上所述知选C.8．[答案] B[解析] 对于A ，(2x )′＝2x ln2；对于B ，(3e x )′＝3e x ；对于C ，(x 2－1x)′＝2x ＋1x 2；对于D ，(xcos x )′＝cos x ＋x sin x (cos x )2；综上可知选B.9．[答案] C[解析] 图1中满足a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，以上累加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ，a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n ·(n ＋1)2，图2中满足b n ＝n 2，一个数若满足三角形数，其必能分解成两个相邻自然数乘积的一半；一个数若满足正方形数，其必为某个自然数的平方． ∵1225＝352＝49×502，∴选C.10．[答案] A[解析] y ′＝－12x －32，∴k ＝－12a －32，切线方程是y －a －12＝－12a －32(x －a )，令x ＝0，y ＝32a －12，令y ＝0，x ＝3a ，∴三角形的面积是S ＝12·3a ·32a －12＝18，解得a ＝64.11． [答案] C[解析] 由题意可得a 1＝0，a 8＝1，a 2，a 3，…，a 7中有3个0、3个1，且满足对任意k ≤8，都有a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111,00010111,00011011,00011101,00100111,00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101，共14个．12．[答案] C[解析] ax 3≥x 2－4x －3恒成立．当x ＝0时式子恒成立．∴a ∈R ，当x >0时，a ≥1x －4x 2－3x 3恒成立．令1x ＝t ，x ∈(0,1]，∴t ≥1.∴a ≥t －4t 2－3t 3恒成立．令g (t )＝t －4t 2－3t 3，g ′(t )＝1－8t －9t 2＝(t ＋1)(－9t ＋1)， ∴函数g ′(t )在[1，＋∞)上为减函数而且g ′(1)＝－16<0，∴g ′(t )<0在[1，＋∞)上恒成立． ∴g (t )在[1，＋∞)上是减函数， ∴g (t )max ＝g (1)＝－6，∴a ≥－6；当x <0时，a ≤1x －4x 2－3x 3恒成立，∵x ∈[－2,0)，∴t ≤－12，令g ′(t )＝0得，t ＝－1，∴g (t )在(－∞，－1]上为减函数，在(－1，－12]上为增函数，∴g (t )min ＝g (－1)＝－2，∴a ≤－2.综上知－6≤a ≤－2. 13． [答案]22[解析] ∵⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2， ∴2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22.14．[答案] a 1＋a 2＋…＋a n ≤n (n ∈N *)[解析] 构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋1， ∵f (x )≥0对任意实数x 都成立，∴Δ＝4(a 1＋a 2＋…＋a n )2－4n ≤0， ∵a 1，a 2，…，a n 都是正数，∴a 1＋a 2＋…＋a n ≤n .15． [答案] 15[解析] 依题意得n 2＝10×(1＋19)2＝100，∴n ＝10.易知m 3＝21m ＋m (m －1)2×2，整理得(m －5)(m ＋4)＝0，又m ∈N *，所以m ＝5，即53＝21＋23＋25＋27＋29，所以m ＋n ＝15.16． [答案] 1－ln2[解析] 设y ＝kx ＋b 与y ＝ln x ＋2和y ＝ln(x ＋1)的切点分别为(x 1，ln x 1＋2)和(x 2，ln(x 2＋1))．则切线分别为y －ln x 1－2＝1x 1(x －x 1)，y －ln(x 2＋1)＝1x 2＋1(x －x 2)，化简得y ＝1x 1x ＋ln x 1＋1，y ＝1x 2＋1x －x 2x 2＋1＋ln(x 2＋1)，依题意，⎩⎨⎧1x 1＝1x 2＋1ln x 1＋1＝－x 2x 2＋1＋ln (x 2＋1)，解得x 1＝12，从而b ＝ln x 1＋1＝1－ln2.17． [解析] (1)设z 1＝x ＋y i ，(x 、y ∈R )，由z 1·z －1＋3(z 1＋z －1)＋5＝0得x 2＋y 2＋6x ＋5＝0，整理得(x ＋3)2＋y 2＝4，∴点P 的轨迹方程为(x ＋3)2＋y 2＝4. (2)设z 2＝x ＋y i ，(x 、y ∈R )， z 2＋3z 2－3＝x ＋3＋y i x －3＋y i ＝x 2＋y 2－9－6y i(x －3)2＋y 2， ∵z 2＋3z 2－3为纯虚数，∴x 2＋y 2＝9且y ≠0， ∴点Q 的轨迹方程为x 2＋y 2＝9(y ≠0)． (3)PQ 长的取值范围是[0,8)． ∵两圆相交，∴PQ 长的最小值为0，又两圆圆心距为3，两圆半径分别为2和3，∴PQ 长的最大值为8，但点Q 的轨迹方程中y ≠0，∴|PQ |<8，∴线段PQ 长的取值范围是[0,8)．18． [解析] f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1＝2sin(x ＋π4)＋1 (0<x <2π)，令f ′(x )＝0，即sin(x ＋π4)＝－22，解之得x ＝π或x ＝3π2.x ，f ′(x )以及f (x )变化情况如下表：∴f (x )的单调增区间为(0，π)和(3π2，2π)，单调减区间为(π，3π2)．f 极大(x )＝f (π)＝π＋2，f 极小(x )＝f (3π2)＝3π2.19． [解析] (1)证明：依题意，a n ＝n 2＋1，b n ＝n ，c n ＝n 2＋1－n . 假设{c n }是等差数列，则2c 2＝c 1＋c 3，∴2(5－2)＝2－1＋10－3. ∴25＝2＋10，产生矛盾， ∴{c n }不是等差数列．假设{c n }是等比数列，则c 22＝c 1c 3，即(5－2)2＝(2－1)(10－3)．有6＝65－32－10，产生矛盾， ∴{c n }也不是等比数列．(2)解：∵c n ＋1＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)>0，c n ＝n 2＋1－n >0， ∴c n ＋1c n ＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n ＝n 2＋1＋n(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)， 0<n 2＋1<(n ＋1)2＋1，又0<n <n ＋1，∴n 2＋1＋n <(n ＋1)2＋1＋n ＋1， ∴0<n 2＋1＋n(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)<1，∴c n ＋1c n<1，即c n ＋1<c n . 20． [解析] (1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)． ∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝1e ，令f ′(x )>0，得x >1e ，令f ′(x )<0，得0<x <1e，∴f (x )的单调递增区间为(1e ，＋∞)，单调递减区间为(0，1e )．(2)∵f (18)＝18ln 18＝38ln 12，f (12)＝12ln 12，f (1e )＝1e ln 1e ＝－1e ，又12ln 12<38ln 12， ∴求f (x )在区间[18，12]的最大值为38ln 12，最小值为－1e .21． [解析] (1)由题意，当n ≥3时，x n ＝12(x n －1＋x n －2)(2)x 1＝0，x 2＝a ，x 3＝12(x 2＋x 1)＝a 2，x 4＝12(x 3＋x 2)＝3a4，∴a 1＝x 2－x 1＝a ，a 2＝x 3－x 2＝－a 2，a 3＝x 4－x 3＝a4，推测a n ＝a(－2)n －1.方法一证明：对于任意n ∈N *，a n ＝x n ＋1－x n ，a n ＋1＝x n ＋2－x n ＋1＝12(x n ＋1＋x n )－x n ＋1＝－12(x n ＋1－x n )＝－12a n ，又∵a 1＝a >0，∴{a n }是以a 为首项，以－12为公比的等比数列．故a n ＝a ·(－12)n －1＝a(－2)n －1. 方法二下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝a ＝a ·(－12)1－1，结论a n ＝a (－2)n －1成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N )时，a n ＝a (－2)n －1成立，即a k＝a ·(－12)k －1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝x k ＋2－x k ＋1＝x k ＋x k ＋12－x k ＋1＝x k －x k ＋12＝－12a k ＝(－12)·a ·(－12)k －1＝a ·(－12)(k ＋1)－1，所以n ＝k ＋1时，a n ＝a(－2)n －1成立．由①②可知，数列{a n }的通项公式为a n ＝a ·(－12)n －1，n ∈N *.22． [解析] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 因为f (0)＝c ，f ′(0)＝b ，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝bx ＋c . (2)当a ＝b ＝4时，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c ，所以f ′(x )＝3x 2＋8x ＋4.令f ′(x )＝0，得3x 2＋8x ＋4＝0，解得x ＝－2或x ＝－23.f (x )与f ′(x )在区间(－∞，＋∞)上的情况如下：所以，当c >0且c －3227<0时，存在x 1∈(－4，－2)，x 2∈(－2，－23)，x 3∈(－23，0)，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0.由f (x )的单调性知，当且仅当c ∈(0，3227)时，函数f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三个不同零点．(3)当Δ＝4a 2－12b <0时，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b >0，x ∈(－∞，＋∞)，此时函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上单调递增，所以f (x )不可能有三个不同零点．当Δ＝4a 2－12b ＝0时， f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 只有一个零点，记作x 0. 当x ∈(－∞，x 0)时， f ′(x )>0，f (x )在区间(－∞，x 0)上单调递增；当x ∈(x 0，＋∞)时， f ′(x )>0，f (x )在区间(x 0，＋∞)上单调递增；所以f (x )不可能有三个不同零点．综上所述，若函数f (x )有三个不同零点，则必有Δ＝4a 2－12b >0. 故a 2－3b >0是f (x )有三个不同零点的必要条件．当a ＝b ＝4，c ＝0时，a 2－3b >0，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＝x (x ＋2)2只有两个不同零点，所以a 2－3b >0不是f (x )有三个不同零点的充分条件．因此a 2－3b >0是f (x )有三个不同零点的必要而不充分条件．。

高中数学选修2-2综合测试题(全册含答案)

高中数学选修2-2综合测试题(全册含答案)1.复数就像平面上的点，有实部和虚部。

2.复数就像向量，有大小和方向。

3.复数就像计算机中的复数类型，有实部和虚部。

4.复数就像两个数字的有序对，有序对的第一个数字是实部，第二个数字是虚部。

改写：关于复数的四种类比推理，可以用不同的比喻来描述复数的实部和虚部。

一种比喻是将复数看作平面上的点，实部和虚部分别对应点的横坐标和纵坐标；另一种比喻是将复数看作向量，实部和虚部分别对应向量的大小和方向；还可以将复数看作计算机中的复数类型，实部和虚部分别对应类型中的两个数；最后一种比喻是将复数看作有序对，实部和虚部分别对应有序对的第一个数字和第二个数字。

①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则。

②由向量a的性质|a|²＝a²，可以类比得到复数z的性质：|z|²＝z²。

③方程ax²＋bx＋c＝0 (a，b，c∈R，且a≠0)有两个不同的实数根的条件是b²－4ac>0，类比可得方程ax²＋bx＋c＝0 (a，b，c∈C且a≠0)有两个不同的复数根的条件是b²－4ac>0.④由向量加法的几何意义，可以类比得到复数加法的几何意义。

其中类比得到的结论正确的是：A。

①③B。

②④C。

②③D。

①④2.删除明显有问题的段落。

3.填空题：11.若复数z满足z＋i＝0，则|z|＝1.12.直线y＝kx＋1与曲线y＝x³＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为4.13.第n个正方形数是n²。

14.＋＋＝AA′BB′CC′；＋＋＋＝AA′BB′CC′DD′。

4.解答题：15.1) F(x)的单调区间为(-∞。

0)和(2.+∞)。

2) F(x)在[1,5]上的最小值为-5，最大值为9.16.因为AD⊥BC，所以AB²=AD²+DB²。

又因为AB⊥AC，所以AC²=AD²+DC²。

(常考题)人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》测试(答案解析)

一、选择题1．已知复数z 满足：21z -=，则1i z -+的最大值为（）A ．2B 1C 1D ．32．若a b 、为非零实数,则以下四个命题都成立:①10a a+≠；②()2222a b a ab b +=++；③若a b ，=则a b =±；④若2a ab =，则a b ，=则对于任意非零复数a b 、，上述命题中仍为真命题的个数为（）个. A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．已知复数1z ﹑2z 满足()120z z r r -=>，复数,*(1)i i n n N ω≤≤∈满足1i z r ω-=或者2i z r ω-=，且i j r ωω-≥对任意1i j n ≤<≤成立，则正整数n 的最大值为（） A ．6B ．8C ．10D ．124．已知i 为虚数单位，复数32i2iz +=-，则以下命题为真命题的是（） A ．z 的共轭复数为74i 55- B ．z 的虚部为75-C ．3z =D ．z 在复平面内对应的点在第一象限5．已知复数1z i =-（i 为虚数单位）是关于x 的方程20x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，则p q +的值为（） A ．4B ．2C ．0D ．2-6．已知复数Z 满足()13Z i i +=+，则Z 的共轭复数为( ) A ．2i +B ．2i -C ．2i -+D ．2i --7．设复数z 满足()1i i z +=，则z =（）A B ．12C D ．28．设3iz i+=，i 是虚数单位，则z 的虚部为（） A ．1B ．-1C ．3D ．-39．已知复数z 满足()2z i i i -=+，则z =（）A BC D10．若11iai++是纯虚数（其中i 为虚数单位），则实数a 等于（） A ．1B ．1-C ．2D ．2-11．若32a ii-+为纯虚数，则实数a 的值为（） A ．32-B ．23-C ．23D ．3212．对于给定的复数0z ，若满足042z i z z -+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆，则01z -的取值范围是（）A ．)2 B ．)1C ．)2-D ．)1-二、填空题13．棣莫弗公式()cos sin cos sin nx i x nx i nx +=+（i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667~1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数6cos sin 77i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在复平面内所对应的点位于第______象限.14．已知虚数(),2z x yi x yi =+-+（x ，y R ∈）的模为4，则23z i +-的取值范围为________．15．已知1i z z -=-+，则复数z =______. 16．若复数72aiz i+=-的实部为3，其中a 是实数，i 是虚数单位，则2z 的虚部为______. 17．若复数z 满足0z z z z ⋅++=，则复数12z i --的最大值为______. 18．已知a 为实数，i 为虚数单位，若复数2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，则20001a i i+=+______. 19．复数3(2) i (,)z x y x y =++-∈R ，且||2z =，则点(,)x y 的轨迹是_____________．20．已知复数z 满足等式1i 1z --=，则3z -的最大值为______三、解答题21．已知复数z 满足z =，2z 的虚部为2，（1）求复数z ；（2）设22,,z z z z -在复平面上对应点分别为,,A B C ，求ABC ∆的面积.22．设复数(,0)z a bi a b R b =+∈≠且，且1z zω=+，12ω-<<.（1）求复数z 的模；（2）求复数z 实部的取值范围；（3）设11zu z-=+，求证：u 为纯虚数. 23．已知复数1z mi =+（m R ∈，i 为虚数单位），且()1i z -为实数. （1）求复数z ；（2）设复数1z x yi =+（x ，y R ∈）满足11z z -=，求1z 的最小值.24．在复平面内复数1z 、2z 所对应的点为1Z 、2Z ，O 为坐标原点，i 是虚数单位. （1）112z i =+，234z i =-，计算12z z ⋅与12OZ OZ ⋅；（2）设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d ∈R ），求证：1212OZ OZ z z ⋅≤⋅，并指出向量1OZ 、2OZ 满足什么条件时该不等式取等号. 25．计算下列各题：(1)55(1)(1)11i i i i +-+-+；(2)201920191111i i i i +-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭；；(4) 23201920202320192020i i i i i +++++.26．设复数12,z z 满足12122210z z iz iz +-+=. （1）若12,z z 满足212z z i -=，求12,z z .（2）若1z =k ，使得等式24z i k -=恒成立？若存在，试求出k 的值；若不存在，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】复数方程|2|1z -=转化成实数方程()2221x y -+=，再由复数模定义|1|z i -+表示(1,1)-与圆上任一点(,)x y 间距离．【详解】解：设z x yi =+，由|2|1z -=得圆的方程()2221x y -+=，又|1|z i -+(1,1)-与圆上任一点(,)x y 间距离．则由几何意义得x ma |1|11z i -+==，故选：B ．【点睛】本题主要考查复数模的计算和几何意义，属于中档题．2．B解析：B 【解析】【分析】根据复数的概念和性质，利用复数的代数形式的运算法则，即可得出正确选项. 【详解】解：对于①，当a i =时，10a a+=，即①不成立，对于②，根据复数代数形式的运算法则，满足乘法公式，即②在正确，对于③，在复数C 中，1i =，则1,a b i ==时，a b ≠±，即③错误，对于④，根据复数代数形式的运算法则可得，若2a ab =，则a b ，=即④正确，综上可得上述命题中仍为真命题的序号为②④，故选B. 【点睛】本题考查了复数的概念和性质及复数的代数形式的运算法则，属基础题.3．C解析：C 【分析】用向量,OA OB 表示12,z z ，根据题意，可得OA OB BA r -==，因为1i z r ω-=或者2i z r ω-=，根据其几何意义可得i ω的终点的轨迹，且满足条件的终点个数即为n ，数形结合，即可得答案. 【详解】用向量,OA OB 表示12,z z ，因为()120z z r r -=>，所以OA OB BA r -==，又,*(1)i i n n N ω≤≤∈满足1i z r ω-=或者2i z r ω-=，则i ω可表示以O 为起点，终点在以A 为圆心，半径为r 的圆上的向量，或终点在以B 为圆心，半径为r 的圆上的向量，则终点可能的个数即为n ，因为i j r ωω-≥，所以在同一个圆上的两个点，形成的最小圆心角为60︒，如图所示，则最多有10个可能的终点，即n =10. 故选：C 【点睛】解题的关键是根据所给条件的几何意义，得到i ω的终点轨迹，根据条件，数形结合，即可得答案，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.4．D解析：D 【分析】利用复数的除法运算，化简32i2iz +=-，利用共轭复数，虚部，模长的概念，运算求解，进行判断即可. 【详解】()()()()32i 2i 32i 47i 2i 2i 2i 55z +++===+--+，z ∴的共扼复数为47i 55-，z 的虚部为75，224765555z ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，在第一象限. 故选：D. 【点睛】本题考查了复数的四则运算，共轭复数，虚部，模长等概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.5．C解析：C 【分析】根据实系数一元二次方程的根与系数的关系，求出p ,q 即可求解. 【详解】因为复数1z i =-（i 为虚数单位）是关于x 的方程20x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，所以1z i =+也是方程的一个根，故z z p z z q +=-⎧⎨⋅=⎩，即22p q =-⎧⎨=⎩，所以0p q +=，故选：C 【点睛】本题主要考查了实系数一元二次方程的根，根与系数的关系，属于中档题.6．A解析：A 【分析】根据复数的运算法则得()()()()31242112i i i Z ii i +--===-+--，即可求得其共轭复数.【详解】由题：()13Z i i +=+，所以()()()()31242112i i i Z ii i +--===-+--，所以Z 的共轭复数为2i +. 故选：A 【点睛】此题考查求复数的共轭复数，关键在于准确求出复数Z ，需要熟练掌握复数的运算法则，准确求解.7．A解析：A 【解析】由()1i z i +=，得()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22z -=+++-＝＝，2z ∴=＝故选A ． 8．D解析：D 【解析】因为z=3ii+13i =-∴z 的虚部为-3，选D. 9．A解析：A 【分析】首先求得复数z ，然后求解其共轭复数并确定模即可.【详解】由题意可得：2211iz i i i i i+=+=-++=-，则1,z i z =+=故选A . 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．B解析：B 【分析】设11ibi ai +=+，化简后利用复数相等列方程求解即可. 【详解】设()1,,1ibi a b R ai+=∈+，所以()11i bi ai ab bi +=⋅+=-+，所以11ab b -=⎧⎨=⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩，故选：B ．【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，考查复数相等的性质，属于基础题.11．C解析：C 【分析】先化简复数，再利用纯虚数的定义求解. 【详解】由题得()(32)(32)(23)32(32)(32)13a i a i i a a ii i i -----+==++-，因为32a ii-+为纯虚数，则320(23)0a a -=⎧⎨-+≠⎩，所以23a =.故选：C 【点睛】结论点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈则0a =且0b ≠，不要漏掉了0b ≠.12．A解析：A 【分析】根据条件可得042z i -<，即复数0z 对应的点在以()0,4为圆心，2为半径的圆内部.01z -表示复数0z 对应的点到()1,0的距离，由圆的性质可得答案.【详解】因为042z i z z -+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆，所以042z i -<由复数的几何意义可知042z i -<表示复数0z 对应的点到()0,4的距离小于2. 即复数0z 对应的点在以()0,4为圆心，2为半径的圆内部.01z -表示复数0z 对应的点到()1,0的距离.如图，设()0,4C ,1,0A 221417AC =+=则0212AC z AC -<-<+,即01721172z -<-<+ 故选：A【点睛】本题考查椭圆的定义的应用，考查复数的几何意义的应用和利用圆的性质求范围，属于中档题.二、填空题13．二【分析】先根据棣莫弗公式得再根据三角函数确定符号根据复数集合意义得答案【详解】由得∵∴∴复数在复平面内所对应的点位于第二象限故答案为：二【点睛】本题考查复数的几何意义三角函数符号的判断是中档题解析：二【分析】先根据棣莫弗公式得666cos sin cos sin 7777i i ππππ⎛⎫++ ⎪=⎝⎭，再根据三角函数确定符号，根据复数集合意义得答案. 【详解】由()cos sin cos sin nx i x nx i nx +=+，得666cos sin cos sin 7777i i ππππ⎛⎫++ ⎪=⎝⎭， ∵627πππ<<，∴6cos 07π<，6sin 07π>， ∴复数6cos sin 77i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在复平面内所对应的点位于第二象限.故答案为：二. 【点睛】本题考查复数的几何意义，三角函数符号的判断，是中档题.14．【分析】由模长公式易得设（）表示的几何意义为点到点的距离结合图形求出距离的范围即可得解【详解】因为虚数（）的模为4所以有故点的轨迹是以圆心半径为的圆设（）表示的几何意义为点到点的距离由图可知点到点的解析：[]1,9【分析】由模长公式易得()22216x y -+=，设z x yi =+（x ，y R ∈），23z i +-表示的几何意义为点(,)x y 到点(2,3)B -的距离，结合图形求出距离的范围即可得解. 【详解】因为虚数()2x yi -+（x ，y R ∈）的模为4，所以有()22216x y -+=，故点(,)x y 的轨迹是以圆心(2,0)A ，半径为4r =的圆，设z x yi =+（x ，y R ∈），23z i +-表示的几何意义为点(,)x y 到点(2,3)B -的距离，由图可知，点(,)x y 到点(2,3)B -的距离的最大值为AB r +，最小值为AB r -，又因为22(22)(30)5AB =--+-=，所以点(,)x y 到点(2,3)B -的距离的最大值为9，最小值为1，则23z i +-的取值范围为[]1,9. 故答案为[]1,9.【点睛】本题考查复数的模和复数的几何意义，解题关键是根据复数的模长公式，得到x 和y 关系式，根据条件作出图形利用数形结合求解，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查数形结合思想，属于常考题.15．【分析】设根据得到再利用复数相等的条件列出方程组求得的值即可求解【详解】设则因为所以即根据复数相等的条件得解得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了复数相等的条件以及复数的模的计算公式的应用其中解解析：i -【分析】设()i ,z x y x y =+∈R ，根据1i z z -=-+，得到(i 1i x y +=-+，再利用复数相等的条件列出方程组，求得,x y 的值，即可求解. 【详解】设()i ,z x y x y =+∈R，则z =因为1i z z -=-+，所以i 1i x y +=-+，即(i 1i x y +=-+，根据复数相等的条件得11x y ⎧⎪-=-⎨=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩，所以i z =，所以i z =-.故答案为：i - 【点睛】本题主要考查了复数相等的条件，以及复数的模的计算公式的应用，其中解答中熟记复数模的计算公式和复数相等的条件，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.16．6【分析】化简复数实部为3求出a 进而求出【详解】解：由题意知的虚部为6故答案为：6【点睛】本题考查复数的基础知识和含参复数的运算属于基础题解析：6 【分析】化简复数，实部为3,求出a ，进而求出2z . 【详解】解：7(7)(2)2(2)(2)ai ai i z i i i +++==--+(14)(72)1472555a a i a a i -++-+==+. 由题意知1435a-=，1a ∴=-， 3z i ∴=+，286z i ∴=+， 2z ∴的虚部为6. 故答案为：6.【点睛】本题考查复数的基础知识和含参复数的运算，属于基础题.17．【分析】设（）结合条件得在复平面内对应点的轨迹再由的几何意义求解即可【详解】解：设（）则由得即复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心以1为半径的圆如图：表示复数在复平面内对应点到点的距离所以最大值为故解析：221+ 【分析】设z a bi =+，（,a b ∈R ），结合条件0z z z z ⋅++=得z 在复平面内对应点的轨迹，再由12z i --的几何意义求解即可．【详解】解：设z a bi =+，（,a b ∈R ）则由0z z z z ⋅++=,得2220a b a ++=，即()2211a b ++=．复数z 在复平面内对应点的轨迹是以(1,0)A -为圆心，以1为半径的圆，如图：2212(1)(2)z i a b --=-+-z 在复平面内对应点到点(1,2)P 的距离所以12z i --最大值为22||1(11)(02)1212PA +=--+-=．故答案为：221．【点睛】本题考查复平面内复数对应的点的轨迹问题，复数模长的几何意义，是中档题. 18．【分析】利用纯虚数的定义复数的运算法则即可求出【详解】解：为纯虚数且解得故答案为：【点睛】本题考查了复数的运算法则纯虚数的定义考查了推理能力与计算能力属于基础题解析：1i -【分析】利用纯虚数的定义、复数的运算法则即可求出.【详解】解：2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，210a ∴-=，且10a +≠，解得1a =20001112(1)111(1)(1)i i i i i i i ++-∴===-+++-. 故答案为：1i -.【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 19．以为圆心2为半径的圆【分析】根据复数模的定义确定复数对应点满足条件化简即得轨迹【详解】解：∵∴即点的轨迹是以为圆心2为半径的圆故答案为：以为圆心2为半径的圆【点睛】本题考查复数模的定义以及圆的方程含解析：以(3,2)-为圆心，2为半径的圆【分析】根据复数模的定义确定复数对应点满足条件，化简即得轨迹.【详解】解：∵||2z =，∴22(3)(2)4x y ++-=，即点(,)x y 的轨迹是以(3,2)-为圆心，2为半径的圆．故答案为：以(3,2)-为圆心，2为半径的圆【点睛】本题考查复数模的定义以及圆的方程含义，考查基本分析求解能力，属基础题. 20．【分析】由题意画出图形数形结合得答案【详解】|z ﹣1﹣i|＝1的几何意义为复平面内动点到定点（11）距离为1的点的轨迹如图：|z ﹣3|可以看作圆上的点到点(30)的距离由图可知|z ﹣3|的最大值为故解析：51+【分析】由题意画出图形，数形结合得答案．【详解】|z ﹣1﹣i |＝1的几何意义为复平面内动点到定点（1，1）距离为1的点的轨迹，如图：|z ﹣3|可以看作圆上的点到点(3,0)的距离.由图可知，|z ﹣3|22(31)(01)151-+-=．51．【点睛】本题考查复数模的求法，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．三、解答题21．（1）1i +或1i --；（2）1【分析】（1）设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），由已知列关于a ，b 的方程组，求解可得复数z ；（2）分类求得A 、B 、C 的坐标，再由三角形面积公式求解．【详解】解：（1）设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），由已知可得：22ab ==⎪⎩2221a b ab ⎧+=⎨=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=-⎩． ∴z ＝1+i 或z ＝﹣1﹣i ；（2）当z ＝1+i 时，z 2＝2i ，z ﹣z 2＝1﹣i ，∴A （1，1），B （0，2），C （1，﹣1），故△ABC 的面积S 12=⨯2×1＝1；当z ＝﹣1﹣i 时，z 2＝2i ，z ﹣z 2＝﹣1﹣3i ，∴A （﹣1，﹣1），B （0，2），C （﹣1，﹣3），故△ABC 的面积S 12=⨯2×1＝1． ∴△ABC 的面积为1．【点睛】本题考查复数的乘方和加减运算，考查复数相等的条件和复数的几何意义，以及三角形的面积的求法，考查运算能力，属于中档题．22．（1）1；（2）1,12⎛⎫-⎪⎝⎭；（3）见解析【解析】分析：（1）由222211a b z a bi a b i z a bi a b a b ω⎛⎫⎛⎫=+=++=++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，由12ω-<<得R ω∈，从而虚部为0，得221a b +=，进而可得解；（2）由（1）知()21,2a ω=∈-，从而求a 范围即可；（3）化简()()2222121a b biu a b ---=++，由（1）知221a b +=，则()22211bb u i i aa b =-=-+++，从而得证. 详解：（1）22222211a bi a b z a bi a bi a b i z a bi a b a b a b ω-⎛⎫⎛⎫=+=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，由12ω-<<得R ω∈，则220b b a b -=+，由0b ≠，解得221a b +=，所以1z ==，（2）由（1）知()21,2a ω=∈-，所以1,12a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，即复数z 的实部的取值范围是1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭. （3）()()()()()()()()222212*********a b bi a bi a bi a bi z u z a bi a bi a bi a b ---⎡⎤⎡⎤--+----⎣⎦⎣⎦====+++⎡⎤⎡⎤+++-++⎣⎦⎣⎦ ，由（1）知221a b +=，则()22211b b u i i aa b =-=-+++，应为0b ≠，所以u 为纯虚数.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.23．（1）1z i ∴=+；（21【分析】(1)设复数1z mi =+，化简()1i z -, 由复数的相等求解.(2) 设1z x yi =+（x ，y R ∈）,由11z z -=得()()11x yi i +--=，可得,x y 的关系，从而解出答案.【详解】解：（1）由1z mi =+（m R ∈），得()()()()()11111i z i mi m m i -=-+=++-，()1i z -为实数，10m ∴-=，1m ∴=.1z i ∴=+（2）设1z x yi =+（x ，y R ∈），1z i =-，11z z -=， ()()11x yi i ∴+--=，即()()111x y i -++=，()()22111x y ∴-++=，即复数1z 在复平面内对应的点的轨迹是以()1,1-为圆心，以1为半径的圆.1z ∴11=.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．24．（1）12112z z i ⋅=+，125OZ OZ ⋅=-；（2）证明详见解析，当ab cd =时.【分析】（1）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出12z z ⋅，可知()11,2OZ =，()23,4OZ =-，然后进行数量积的坐标运算即可；（2）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出12z z ⋅，以及复数的几何意义表示出1OZ 、2OZ 计算其数量积，利用作差法比较221212,||z z OZ OZ ⋅⋅的大小，并得出何时取等号.【详解】解：（1）()()121234112z z i i i ⋅=+⋅-=+ ()11,2OZ =，()23,4OZ =-所以125OZ OZ ⋅=-证明（2）1z a bi =+，2z c di =+()()12ac bd ad z i z bc =-++∴⋅()()22212z z ac bd ad bc ∴⋅=-++ ()1,OZ a b =，()2,OZ c d =12OZ OZ ac bd ∴⋅=+，()2212OZ OZ ac bd ⋅=+()()()222221212||z z OZ OZ ac bd ad bc ac bd ∴-⋅-⋅=-+++()()2240ad bc ac bd ad cb =--=+⋅≥所以1212OZ OZ z z ⋅≤⋅，当且仅当ad cb =时取“=”，此时12OZ OZ .【点睛】本题考查了复数的乘法运算法则，向量坐标的数量积运算，复数的模长的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．25．(1)0；(2)2i -；(3)516；(4)10101010i - 【分析】根据复数的乘除运算法则及乘方运算，即可计算出(1)(2)的值；利用复数模的运算性质可求出(3)的值；利用分组求和及i 的运算性质可求出(4)的值.【详解】 (1) 5566232322(1)(1)(1)(1)[(1)][(1)]11(1)(1)(1)(1)11i i i i i i i i i i i i i i +-+-+-+=+=+-+-++--- 3333(2)(2)44022i i i i -=+=-=. (2)因为21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+，21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ---===-++-，所以20192019201945043201920319111(22221)i i i i i i i i i i ⨯+-=--==+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-+=⎝⎭=-⎝⎭.==5454845252516⨯====⨯. (4) 23201920202320192020i i i i i +++++(234)(5678)(2017201820192020)i i i i i i =--++--+++--+(22)(22)(22)+i i i =-+-+- 505(22)i =⨯-10101010i =-.【点睛】本题主要考查复数的乘除运算，乘方运算，复数的模的运算性质及i 的运算性质，属于中档题.26．（1）123,5z i z i ==-或12,z i z i =-=-. （2）存在，k =【分析】（1）由条件可得211230z iz --=，设1z a bi =+，即可算出（2）由条件得212212iz z z i -=+，然后22212iz z i -=+22427z i -= 【详解】（1）由212z z i -=，可得212z z i =-，代入已知方程得()()1111222210z z i iz i z i -+--+=，即211230z iz --=.令()1,z a bi a b =+∈R ，所以()22230a b i a bi +---=，即()222320a b b ai +---=，所以2223020a b b a ⎧+--=⎨-=⎩，解得03a b =⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=-⎩. 所以123,5z i z i ==-或12,z i z i =-=-. （2）由已知得212212iz z z i -=+，又1z =所以22212iz z i-=+22222132iz z i -=+，所以()()()()22222121322iz iz z i z i ---=+-，整理得()()224427z i z i -+=，所以22427z i -=，即24z i -=，所以存在常数k =，使得等式24z i k -=恒成立.【点睛】设()1,z a bi a b =+∈R ，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法.。

(易错题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》检测卷(答案解析)(3)

一、选择题1．已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则a bi +=（）AB ．2 CD ．5 2．复数(34)i i +的虚部为A ．3B ．3iC ．4D ．4i3．已知i 是虚数单位，复数1i1i -+（）． A ．1B ．1-C ．iD ．i -4．对于复数z a bi =+（,,a b R ∈i 为虚数单位），定义||||z a b =+‖‖，给出下列命题：①对任何复数z ，都有0z ≥‖‖，等号成立的充要条件是0z =；②z z =‖‖‖‖：③若12z z =，则12=±z z ：④对任何复数1z 、2z 、3z ，不等式131223z z z z z z -≤-+-恒成立，其中真命题的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．45．当复数2(32)()z x x x i x =-+-∈R 的实部与虚部的差最小时，1zi =-（） A ．33i -+ B ．33i +C ．13i -D ．13i --6．已知复数z 满足z （1﹣i ）＝﹣3+i （期中i 是虚数单位），则z 的共轭复数z 在复平面对应的点是（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．满足条件4z i z i ++-=的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（）． A ．椭圆B ．两条直线C ．圆D ．一条直线8．满足条件3z i z i +=+的复数z 对应点的轨迹是（） A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．线段9．复数z 满足(1)35i z i -⋅=+，则||z = A ．2B．CD10．已知a ∈R ，复数12i z a =+，212i z =-，若12z z 为纯虚数，则复数12z z 的虚部为( ) A ．1B ．iC ．25D ．011．设i 是虚数单位，则复数734ii++在复平面内所对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．已知t ∈R ，i 为虚数单位，复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则t 等于( ) A ．34B ．43C ．43-D ．34-二、填空题13．设11()()()()11n ni i f n n i N i+-=+∈-+，则集合{|()}x x f n =的子集个数是___________. 14．已知,z w C ∈，1z w +=，224z w +=，则zw 的最大值为______.15．已知复数12,z z 满足122,3z z ==，若它们所对应向量的夹角为60︒，则1212z z z z +=-___ 16．复数z 满足21z i -+=，则z 的最大值是___________． 17．若复数23z i =+，则1iz+=__________． 18．已知复数43cos sin 55z i θθ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是纯虚数，（i 为虚数单位)，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.19．已知z C ∈，||1z =，则2|21|z z ++的最大值为______．20．如果复数z 满足336z i z i ++-=，那么1z i ++的最小值是__________三、解答题21．（1）在复数范围内解方程：23||()2iz z z i i-++=+（i 为虚数单位）；（2）设系数为整数的一元二次方程20ax bx c ++=的两根恰为（l ）中方程的解，求||||||a b c ++的最小值；22．已知关于x 的实系数方程20x px q -+=，其中p q 、为实数. (1)若12x i =+是该方程的根，求p q +的值； (2)若22p q +=，求该方程两根之积的最大值.23．在复数范围内分解因式：42625x x -+= ________. 24．已知是复数，和均为实数（为虚数单位）.(1)求复数； (2)求的模.25．证明：在复数范围内，方程()()255112iz i z i z i-+--+=+（为虚数单位）无解． 26．已知z 是复数，i z 2+、iz -2均为实数（i 为虚数单位），且复数2)(ai z +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于,a b 的方程组，解得,a b 的值，进而可得答案. 【详解】因为(1)(1)1(1)i bi b b i a +-=++-=，结合,a b ∈R ，所以有110b a b +=⎧⎨-=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以2a bi i +=+==故选C. 【点睛】该题考查的是有关复数的模的问题，涉及到的知识点有复数相等的条件，属于简单题目.2．A解析：A 【解析】【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．【详解】 ∵i （3+4i ）=-4+3i ， ∴i （3+4i ）的虚部为3．故选A. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．D解析：D 【解析】()()()()1i 1i 1i 12i 12ii 1i 1i 1i 112------====-++-+，故选D. 4．C解析：C 【分析】在①中，当z ＝0时，‖z ‖＝0；反之，当‖z ‖＝0时，z ＝0；在②中，z ＝a +bi ，z =a ﹣bi ，从而‖z ‖＝‖z ‖＝|a |+|b |；在③中，当z 1＝2+3i ，z 2＝3+2i 时，不成立；④由绝对值的性质得到‖z 1﹣z 3‖≤‖z 1﹣z 2‖+‖z 2﹣z 3‖恒成立．【详解】由复数z ＝a +bi （a 、b ∈R ，i 为虚数单位），定义‖z ‖＝|a |+|b |，知：在①中，对任何复数，都有‖z ‖≥0，当z ＝0时，‖z ‖＝0；反之，当‖z ‖＝0时，z ＝0， ∴等号成立的充要条件是z ＝0，故①成立；在②中，∵z ＝a +bi ，z =a ﹣bi ，∴‖z ‖＝‖z ‖＝|a |+|b |，故②成立；在③中，当z 1＝2+3i ，z 2＝3+2i 时，‖z 1‖＝‖z 2‖，但z 1≠±z 2，故③错误； ④对任何复数z 1，z 2，z 3，设z 1＝a 1+b 1i ，z 2＝a 2+b 2i ，z 3＝a 3+b 3i ，则‖z 1﹣z 3‖＝|a 1﹣a 3|+|b 1﹣b 3|，‖z 1﹣z 2‖+‖z 2﹣z 3‖＝|a 1﹣a 2|+|a 2﹣a 3|+|b 1﹣b 2|+|b 2﹣b 3|， |a 1﹣a 3|≤|a 1﹣a 2|+|a 2﹣a 3|， |b 1﹣b 3|≤|b 1﹣b 2|+|b 2﹣b 3|，∴‖z 1﹣z 3‖≤‖z 1﹣z 2‖+‖z 2﹣z 3‖恒成立．故④成立．故选：C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意绝对值性质、复数概念及性质的合理运用．5．C解析：C 【解析】【分析】实部与虚部的差为242x x -+。

(必考题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》检测题(含答案解析)(3)

一、选择题1．若i 为虚数单位，则复数311i i-+的模是（） A ．22B ．5C ．5D ．22．已知i 是虚数单位，,a b ∈R ，31ia bi i++=-，则a b -等于（） A ．-1B ．1C ．3D ．43．如果复数z 满足21z i -=，i 为虚数单位，那么1z i ++的最小值是（） A ．101-B ．21-C ．101+D ．21+4．设复数z=()()12i i a ++为纯虚数，其中a 为实数，则a =（） A ．2-B ．12-C ．12D ．25．已知复数z 满足：()()312z i i i -+=(其中i 为虚数单位)，复数z 的虚部等于( ) A ．15-B ．25-C ．45D ．356．若复数满足，则复数的虚部为（）A ．B ．C ．D ．7．已知复数3412iz i+=-，是z 的共轭复数，则z 为 ( ) A ．55B ．221C ．5D ．58．已知复数z 满足z （1﹣i ）＝﹣3+i （期中i 是虚数单位），则z 的共轭复数z 在复平面对应的点是（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．若复数z 满足(34)112i z i -=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（） A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i10．满足条件4z i z i ++-=的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（）． A ．椭圆 B ．两条直线C ．圆D ．一条直线11．已知复数33iz i --=，则z 的虚部为（） A ．3-B ．3C ．3iD ．3i -12．已知复数z 满足(1-i)z=2+i ，则z 的共轭复数为（） A ．3322i + B ．1322i - C ．3322i - D ．1322i + 二、填空题13．已知复数z 满足|2|1z i +-=，则|21|z -的取值范围是________. 14．设复数z 满足(1)1z i i -=+（i 为虚数单位），则z 的模为________． 15．复数z 满足21z i -+=，则z 的最大值是___________． 16．213i(3i)-+化简后的结果为_________． 17．已知i 是虚数单位，则满足()1z i i +=的复数z 的共轭复数为_______________ 18．设a R ∈，若复数3a i z i-=+(i 是虚数单位)的实部为12，则 a = __________．19．已知复数43cos sin 55z i θθ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是纯虚数，（i 为虚数单位)，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.20．已知z C ∈，||1z =，则2|21|z z ++的最大值为______．三、解答题21．（Ⅰ）已知m R ∈，复数()()2245215z m m m m i =--+--是纯虚数，求m 的值；（Ⅱ）已知复数z 满足方程()20z z i +-=，求z 及2z i +的值． 22．已知复数w 满足()432(w w i i -=-为虚数单位）．（1）求w ；（2）设z C ∈，在复平面内求满足不等式12z w ≤-≤的点Z 构成的图形面积． 23．已知复数，，，求：（1）求的值；（2）若,且,求的值．24．已知复数()()2226z m m m m i =-++-所对应的点分别在（1）虚轴上；（2）第三象限．试求以上实数m 的值或取值范围． 25．已知1z i =+．（1）设23(1)4z i ω=+--，求ω；（2）如果2211z az bi z z ++=--+，求实数,a b 的值． 26．下列方程至少有一个实根，求实数t 的值与相应方程的根.（1）2(2)(2)0x t i x ti ++++=；（2）2(21)(3)0x i x t i --+-=.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据复数的除法运算把311i i-+化成(),a bi a b R +∈ 【详解】()()()()2231131331241211112i i i i i i ii i i i i -----++====+++--，31121i i i-∴=+==+ 故选：B . 【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的求模公式，属于基础题.2．A解析：A 【分析】根据复数的除法化简31ii+-，再根据复数相等的充要条件求出,a b ，即得答案. 【详解】()()()()2231334241211112i i i i i ia bi i i i i i +++++++=====+--+-， 1,2,1ab a b ∴==∴-=-.故选：A . 【点睛】本题考查复数的除法运算和复数相等的充要条件，属于基础题.3．A解析：A 【分析】由模的几何意义可转化为以(0,2)为圆心，1为半径的圆上一点与点(1,1)--距离的最小值,根据圆的性质即可求解. 【详解】因为21z i -=，所以复数z 对应的点Z 在以(0,2)为圆心，1为半径的圆上，因为1z i ++表示Z 点与定点(1,1)--的距离，所以Z 点与定点(1,1)--的距离的最小值等于圆心(0,2)与(1,1)--的距离减去圆的半径，即min 111z i ++==，故选：A 【点睛】本题主要考查了复数及复数模的几何意义，圆的性质，属于中档题.4．D解析：D 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a 值. 【详解】()()()()12i i 212i z a a a =++=-++为纯虚数， 20120a a -=⎧∴⎨+≠⎩，解得2a =，故选D. 【点睛】本题主要考查的是复数的乘法运算以及纯虚数的定义，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误.5．C解析：C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则求出241255i z i i i -=+=-++，由此能求出复数z 的虚部．【详解】∵复数z 满足：()()312z i i i -+=(其中i 为虚数单位)，∴()()()122412121255i i i z i i i i i i ---=+=+=-+++-． ∴复数z 的虚部等于45，故选C. 【点睛】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数代数形式的乘除运算法则的合理运用．6．B【解析】分析：先根据复数除法法则得复数，再根据复数虚部概念得结果. 详解：因为，所以，因此复数的虚部为，选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为7．C解析：C 【解析】分析：利用复数模的性质直接求解．详解：∵3412iz i+=-， ∴2222343434512121(2)i i z z i i +++=====--+- 故选C ．点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈的模为22z a b =+1212z z z z =，1122z z z z =． 8．B解析：B 【分析】先化简得到2z i =--，再计算2z i =-+得到答案。

人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》测试卷(有答案解析)(1)

一、选择题1．在复平面内与复数21i z i =+所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（）A ．1i --B ．1i -C ．1i +D ．1i -+ 2．已知复数1z ，2z 满足()1117i z i +=-+，21z =，则21z z -的最大值为（） A ．3B ．4C ．5D ．6 3．当z =时，100501z z ++=（） A ．1 B ．-1 C ．i D ．i -4．若复数(1)(1)z m m m i =-+-是纯虚数，其中m 是实数，则1z =( ) A ．iB ．i -C ．2iD ．2i - 5．设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++⋅⋅⋅+的值为（） A ．10101010i -- B ．10111010i -- C ．10111012i -- D ．10111010i - 6．已知i 是虚数单位，复数z 满足()341z i i +=+，则z 的共轭复数在复平面内表示的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7．已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z z =.则其中正确命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．下列命题中,正确的命题是（）A ．若1212,0z z C z z ∈->、，则12z z >B ．若z R ∈，则2||z z z ⋅=不成立C ．1212,,0z z C z z ∈⋅=，则10z =或20z =D ．221212,0z z C z z ∈+=、，则10z =且20z =9．复数252i +i z =的共轭复数z 在复平面上对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．已知复数 1cos isin z αα=+ 和复数2cos isin z ββ=+，则复数12z z ⋅的实部是( ) A ．()sin αβ- B ．()sin αβ+ C ．()cos αβ-D ．()cos αβ+ 11．已知复数z 满足()12i z i -=+，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 12．已知复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1z z+＝（）A ．32i +B ．132i +C ．332i +D ．12i + 二、填空题13．若i 为虚数单位，则计232020232020i i i i ++++=___________.14．已知复数z 满足1z =，则2z i -（其中i 是虚数单位）的最小值为____________. 15．已知虚数(),2z x yi x yi =+-+（x ，y R ∈）的模为4，则23z i +-的取值范围为________．16．复数2018|(3)|z i i i =-+（i 为虚数单位），则||z =________.17．计算121009100(23)(13)(123)i z i i -+=+=-++_______. 18．已知复数1z =，i 为虚数单位，则34z i -+的最小值为_________.19．若复数z 满足12i z i ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________.20．若复数z 满足12i z i ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________．三、解答题21．（1）计算：()()432-21+3i i （i 为虚数单位）；（2）已知z 是一个复数，求解关于z 的方程，313z z i z i ⋅-⋅=+（i 为虚数单位）. 22．设虚数z 满足2510z z +=+.（1）求z 的值；（2）若()12i z -在复平面上对应的点在第一、第三象限的角平分线上，求复数z . 23．已知复数12z i =-+,1255z z i =-+（其中为虚数单位）（1）求复数2z ；（2）若复数()()()2323231z z m m m i ⎡⎤=---+-⎣⎦所对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围．24．已知复数1z 满足：111z i z =++.（1）求1z ；（2）若复数()()22111z a a z a R =-+-∈，且2z 是纯虚数，求a 的值. 25．在复平面内复数1z 、2z 所对应的点为1Z 、2Z ，O 为坐标原点，i 是虚数单位. （1）112z i =+，234z i =-，计算12z z ⋅与12OZ OZ ⋅；（2）设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d ∈R ），求证：1212OZ OZ z z ⋅≤⋅，并指出向量1OZ 、2OZ 满足什么条件时该不等式取等号.26．已知关于x 的方程x 2+kx+k 2﹣2k=0有一个模为1的虚根，求实数k 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据复数的运算法则求出1z i =+，即可得到其对应点关于虚轴对称点的坐标，写出复数.【详解】由题()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-，在复平面对应的点为（1,1），关于虚轴对称点为（-1,1），所以其对应的复数为1i -+.故选：D【点睛】此题考查复数的几何意义，关键在于根据复数的乘法除法运算准确求解，熟练掌握复数的几何意义.2．D解析：D【分析】先求得1z ，设出2z ，然后根据几何意义求得21z z -的最大值.【详解】由()()()()11711768341112i i i i z i i i i -+--++====+++-，令2z x yi =+，x ，y R ∈，由222||11z x y =⇒+=，()()2134z z x y i -=-+-= 2z 对应点在单位圆上，所以21z z -表示的是单位圆上的点和点()3,4的距离， ()3,4到圆心()0,05=，单位圆的半径为1，所以21max 516z z -=+=.故选：D【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数模的最值的计算.3．D解析：D【分析】根据100501z z ++的结构特点，先由z =，得到()2212-==-i z i ，再代入100501z z ++求解.【详解】因为z = 所以()221,2-==-i z i 所以()()()2550250100,1=-=-=-=-=-z i i z i i ，所100501++=-z z i ，故选：D【点睛】本题主要考查了复数的基本运算，还考查了周期性的应用，运算求解的能力，属于基础题. 4．A解析：A【解析】因为复数()()11z m m m i =-+-是纯虚数，所以()1010m m m ⎧-=⎨-≠⎩，则m =0，所以z i =-，则11i z i==-. 5．B解析：B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案.【详解】解：设2320192342020S i i i i =+++⋅⋅⋅+,可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++⋅⋅⋅++，则24201923020(1)22020i S i i i i ii -=++++⋅⋅⋅+-， 2019242019202023020(1)(1)202020201i i i S i i i i i i i i i i--=+++++⋅⋅⋅+-+-=-，可得：2(1)(1)(1)20202020202112i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-，可得：2021(2021)(1)1011101012i i i S i i -+-++===---，故选：B.【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.6．A解析：A【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【详解】复数z 满足()341z i i +=+，∴()()()()3434134z i i i i +-=+-，∴257z i =-，∴712525z i =-． ∴712525z i =+．则复平面内表示z 的共轭复数的点71,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭在第一象限．故选：A ．【点睛】此题考查复数的运算和几何意义，涉及共轭复数概念辨析，关键在于熟练掌握运算法则，根据几何意义确定点的位置.7．C解析：C【分析】运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.【详解】对于①中复数1z 和2z 的模相等,例如1=1+z i ,2z ,则1z 和2z 是共轭复数是错误的;对于②1z 和2z 都是复数,若12+z z 是虚数,则其实部互为相反数,则1z 不是2z 的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z a =,则z a =所以z z =,反之当z z =时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z z =是正确的.综上正确命题的个数是2个.故选C【点睛】本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.8．C解析：C【分析】A ．根据复数虚部相同，实部不同时，举例可判断结论是否正确；B ．根据实数的共轭复数还是其本身判断2||z z z ⋅=是否成立；C ．根据复数乘法的运算法则可知是否正确；D ．考虑特殊情况：12,1z i z ==，由此判断是否正确.【详解】A ．当122,1i z z i =+=+时，1210z z -=>，此时12,z z 无法比较大小，故错误；B ．当0z =时，0z z ==，所以20z z z ⋅==，所以此时2||z zz ⋅=成立，故错误；C ．根据复数乘法的运算法则可知：10z =或20z =，故正确；D ．当12,1z i z ==时，2212110z z +=-+=，此时10z ≠且20z ≠，故错误. 故选：C.【点睛】本题考查复数的概念以及复数的运算性质的综合，难度一般.(1)注意实数集是复数集的子集，因此实数是复数；(2)若z C ∈，则有2z z z ⋅=. 9．C解析：C【解析】【分析】根据复数的运算求得2i z =-+，得到z 2i =--，再根据复数的表示，即可求解，得到答案．【详解】由题意，根据复数的运算可得复数252i +i 2i z ==-+，则z 2i =--，所以z 对应点(2,1)--在第三象限，故选C ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数的表示是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10．D解析：D【解析】分析：利用复数乘法运算法则化简复数，结合两角和的正弦公式、两角和的余弦公式求解即可.详解：()()12cos cos cos cos z z isin isin ααββαβ⋅=++=()()2cos cos cos i sin isin i sin sin isin αβαβαβαβαβ+++=+++，∴实部为()cos αβ+,故选D.点睛：本题主要考查的是复数的乘法，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++运算的准确性，否则很容易出现错误. 11．D解析：D【解析】()12i z i -=+，()()()()1i 1i 2+i 1i z ∴-+=+，13213i,i,22z z =+=+13i,22z z =-的共轭复数在复平面内对应点坐标为13,22⎛⎫-⎪⎝⎭，z 的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D. 12．B解析：B【分析】由复数1z i =+，得到1z i =-，进而得到121z i z i++=-，根据复数的除法运算法则，即可求解.【详解】由题意，复数1z i =+，可得1z i =-，则()()()()2112131112i i z i i z i i i +++++===--+. 故选：B.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及共轭复数的概念及应用，其中解答中熟练应用复数的除法运算的法则，以及熟记复数的共轭复数的概念是解答的关键，着重考查运算与求解能力.二、填空题13．【分析】设两边乘以相减结合等比数列的求和公式和复数的乘除运算法则计算可得所求和【详解】设上面两式相减可得则故答案为：【点睛】本题考查数列的求和方法：错位相减法以及复数的运算考查等比数列的求和公式以及解析：10101010i -【分析】设232020232020S i i i i =+++⋯+，两边乘以i ，相减，结合等比数列的求和公式和复数的乘除运算法则，计算可得所求和．【详解】设232020232020S i i i i =+++⋯+，2342021232020iS i i i i =+++⋯+，上面两式相减可得，2320202021(1)2020i S i i i i i -=+++⋯+-20202021(1)(11)20202020202011i i i i i i i i--=-=-=---，则(1)202020201010101012i i i S i i +=-=-=--．故答案为：10101010i -．【点睛】本题考查数列的求和方法：错位相减法，以及复数的运算，考查等比数列的求和公式，以及化简运算能力，属于中档题．14．1【分析】复数满足为虚数单位）设利用复数模的计算公式与三角函数求值即可得出【详解】解：复数满足为虚数单位）设则当且仅当时取等号故答案为：1【点睛】本题考查了复数的运算法则模的计算公式及其三角函数求值解析：1【分析】复数z 满足||1(z i =为虚数单位），设cos sin z i θθ=+，[0θ∈，2)π．利用复数模的计算公式与三角函数求值即可得出．【详解】解：复数z 满足||1(z i =为虚数单位），设cos sin z i θθ=+，[0θ∈，2)π．则|2||cos (sin 2)|1z i i θθ-=+-，当且仅当sin 1θ=时取等号．故答案为：1．【点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式及其三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 15．【分析】由模长公式易得设（）表示的几何意义为点到点的距离结合图形求出距离的范围即可得解【详解】因为虚数（）的模为4所以有故点的轨迹是以圆心半径为的圆设（）表示的几何意义为点到点的距离由图可知点到点的解析：[]1,9【分析】由模长公式易得()22216x y -+=，设z x yi =+（x ，y R ∈），23z i +-表示的几何意义为点(,)x y 到点(2,3)B -的距离，结合图形求出距离的范围即可得解.【详解】因为虚数()2x yi -+（x ，y R ∈）的模为4，所以有()22216x y -+=，故点(,)x y 的轨迹是以圆心(2,0)A ，半径为4r =的圆，设z x yi =+（x ，y R ∈），23z i +-表示的几何意义为点(,)x y 到点(2,3)B -的距离，由图可知，点(,)x y 到点(2,3)B -的距离的最大值为AB r +，最小值为AB r -，又因为5AB ==，所以点(,)x y 到点(2,3)B -的距离的最大值为9，最小值为1，则23z i +-的取值范围为[]1,9.故答案为[]1,9.【点睛】本题考查复数的模和复数的几何意义，解题关键是根据复数的模长公式，得到x和y关系式，根据条件作出图形利用数形结合求解，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查数形结合思想，属于常考题.16．1【分析】由复数模的求法及虚数单位的性质化简求值【详解】解：由题得故答案为：1【点睛】本题考查复数模的求法考查虚数单位的性质是基础题解析：1【分析】由复数模的求法及虚数单位i的性质化简求值.【详解】解：由题得222|13|1(3)1211z i i=+=+=-=，||1z∴=.故答案为：1.【点睛】本题考查复数模的求法考查虚数单位i的性质，是基础题.17．-511【分析】利用复数的运算公式化简求值【详解】原式故答案为：【点睛】思路点睛：本题考查复数的次幂的运算注意以及等公式化简求值解析：-511【分析】利用复数的运算公式，化简求值.【详解】原式1212100369100100999(23)121511()13[(23)]132()()iii ii i-=+=+=-+=---⨯-⨯-+-+.故答案为：511-【点睛】思路点睛：本题考查复数的n次幂的运算，注意313122⎛⎫-+=⎪⎪⎝⎭，()212i i+=，以及()()612211i i ⎡⎤+=+⎣⎦，等公式化简求值. 18．4【分析】利用复数的几何意义转化求解即可【详解】解:复数z 满足为虚数单位复数z 表示：复平面上的点到(00)的距离为1的圆的几何意义是圆上的点与的距离所以其最小值为：故答案为：4【点睛】本题考查复数的解析：4【分析】利用复数的几何意义，转化求解即可.【详解】解:复数z 满足1z =，i 为虚数单位，复数z 表示：复平面上的点到(0，0)的距离为1的圆. 34z i -+的几何意义是圆上的点与()34-，的距离，14-= .故答案为：4.【点睛】本题考查复数的几何意义，复数的模的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题. 19．－1【分析】利用复数的运算法则求出根据虚部的概念即可得出【详解】∴的虚部为故答案为【点睛】本题考查了复数的运算法则复数的分类考查了推理能力与计算能力属于基础题解析：－1【分析】利用复数的运算法则求出z ，根据虚部的概念即可得出．【详解】()()212122i i i z i i i+-+===--， ∴z 的虚部为1-，故答案为1-.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 20．2【解析】分析：先根据复数的除法运算进行化简再根据复数实部概念求结果详解：因为则则的实部为点睛：本题重点考查复数相关基本概念如复数的实部为虚部为模为对应点为共轭复数为解析：2【解析】分析：先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果.详解：因为12i z i ⋅=+，则12i 2i iz +==-，则z 的实部为2. 点睛：本题重点考查复数相关基本概念，如复数+i(,)a b a b ∈R 的实部为a 、虚部为b 、、对应点为(,)a b 、共轭复数为i a b -.三、解答题21．（1）8；（2）13z i =-+或1z =-【分析】（1）()()()()()()4222232-22-22-28i i i i -=即可化简得值；（2）设,,z a bi a b R =+∈，建立等式()()()313a bi a bi i a bi i +---=+，列方程组求解.【详解】（1）()()()()()()4222232-22-22-26488i i i -===-；（2）设,,z a bi a b R =+∈，313z z i z i ⋅-⋅=+，即()()()313a bi a bi i a bi i +---=+， 223313a b b ai i +--=+，所以2231,33a b b a +-=-=，解得13a b =-⎧⎨=⎩或10a b =-⎧⎨=⎩，所以13z i =-+或1z =-.故答案为：13z i =-+或1z =-【点睛】此题考查复数的运算，关键在于根据题意利用复数的运算法则，准确计算求解. 22．（1）5；（2或. 【分析】（1）设z x yi =+（x 、y R ∈，i 为虚数单位），根据条件2510z z +=+得出x 、y 所满足的关系式，从而可得出z 的值；（2）将复数()12i z -表示为一般形式，然后由题意得出实部与虚部相等，并结合2225x y +=，求出x 、y 的值，即可得出复数z .【详解】（1）设z x yi =+（x 、y R ∈，i 为虚数单位），则()25252z x yi +=++，()1010z x yi +=++，由2510z z +=+=2225x y +=，因此，5z ==；（2）()()()()()121222i z i x yi x y y x i -=-+=++-，由于复数()12i z -在复平面上对应的点在第一、第三象限的角平分线上，则22x y y x +=-，所以22325y x x y =-⎧⎨+=⎩，解得1023102x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或1023102x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 因此，10310i 22z =-或1031022i -+. 【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的几何意义，解题时要结合已知条件将复数表示为一般形式，考查运算求解能力，属于中等题.23．（1）23z i =-；（2）11m -<<【解析】试题分析：（1）根据复数的四则运算即可求得；（2）将23Z i =-代入得()()23123Z m m m i =--+--，由复数的概念和几何意义得()210230m m m ⎧-->⎨--<⎩，解得11m -<<.试题（1）1255z z i =-+，21555532i i z i z i-+-+===--+ （2）()()()2323231z z m m m i ⎡⎤=---+-⎣⎦()()2231i m m m i ⎡⎤=--+-⎣⎦ ()()2123m m m i =--+--由于3z 所对应的点在第四象限，，所以实数m 的取值范围是24．（1）1z i =-；（2）1a =-.【分析】（1）设1,(,)z a bi a b R =+∈，将已知条件化简后可得1z ；（2）将2z 化简整理，令实部为0，可得a 的值.【详解】（1）设1,(,)z a bi a b R =+∈，221(1)(1)a b i a bi a b i +=+++=+++，22100,,11b a b a b a +=⎧=⎧∴∴⎨⎨=-+=+⎩⎪⎩ ∴1z i =-.（2）由（1）得221(1)(),z a a i a =---∈R由2z 是纯虚数得：21010a a ⎧-=⎨-≠⎩， 1a ∴=-.【点睛】本题主要考查复数的有关概念及四则运算等基本知识.考查概念识记､运算化简能力，属于基础题.25．（1）12112z z i ⋅=+，125OZ OZ ⋅=-；（2）证明详见解析，当ab cd =时.【分析】（1）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出12z z ⋅，可知()11,2OZ =，()23,4OZ =-，然后进行数量积的坐标运算即可；（2）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出12z z ⋅，以及复数的几何意义表示出1OZ 、2OZ 计算其数量积，利用作差法比较221212,||z z OZ OZ ⋅⋅的大小，并得出何时取等号.【详解】解：（1）()()121234112z z i i i ⋅=+⋅-=+()11,2OZ =，()23,4OZ =-所以125OZ OZ ⋅=-证明（2）1z a bi =+，2z c di =+()()12ac bd ad z i z bc =-++∴⋅()()22212z z ac bd ad bc ∴⋅=-++ ()1,OZ a b =，()2,OZ c d =12OZ OZ ac bd ∴⋅=+，()2212OZ OZ ac bd ⋅=+()()()222221212||z z OZ OZ ac bd ad bc ac bd ∴-⋅-⋅=-+++()()2240ad bc ac bd ad cb =--=+⋅≥所以1212OZ OZ z z ⋅≤⋅，当且仅当ad cb =时取“=”，此时12OZ OZ .【点睛】本题考查了复数的乘法运算法则，向量坐标的数量积运算，复数的模长的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．26．1【解析】分析：设两根为1z 、2z ，则21=z z ， 21==1z z ，得12=1z z ⋅，利用韦达定理列方程可求得k 的值，结合判别式小于零即可得结果.详解：由题意，得()222423800k k k k k k ∆=--=-+<⇒<或83k >，设两根为1z 、2z ，则21=z z ， 21==1z z ，得12=1z z ⋅，212=2z z k k ⋅- 221k k ⇒-= 1211k k ⇒==．所以1k =点睛：本题考查复数代数形式乘除运算，韦达定理的使用，实系数方程有虚数根的条件，共轭复数的性质、共轭复数的模，意在考查基础知识的掌握与综合应用，属于中档题.。

高中数学选修2-2章末检测3：第三章数系的扩充与复数的引入

章末检测一、选择题1．i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( ) A ．i ∈S B ．i 2∈S C ．i 3∈SD.2i∈S 2．z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．设z 1，z 2为复数，则下列四个结论中正确的是( )A ．若z 21＋z 22＞0，则z 21＞－z 22B ．|z 1－z 2|＝(z 1＋z 2)2－4z 1z 2C ．z 21＋z 22＝0⇔z 1＝z 2＝0D ．z 1－z 1是纯虚数或零4．已知i 是虚数单位，m ，n ∈R ，且m ＋i ＝1＋n i ，则m ＋n i m －n i 等于( )A ．－1B ．1C ．－iD ．i5．已知a 是实数，a －i1＋i 是纯虚数，则a 等于( )A ．1B ．－1 C. 2D ．－26．若(x －i)i ＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 等于( ) A ．－2＋i B ．2＋i C ．1－2iD ．1＋2i7．已知2＋a i ，b ＋i 是实系数一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，则p ，q 的值为( ) A ．p ＝－4，q ＝5 B ．p ＝4，q ＝5 C ．p ＝4，q ＝－5D ．p ＝－4，q ＝－58．i 为虚数单位，设复数z 满足|z |＝1，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 2－2z ＋2z －1＋i 的最大值为( ) A.2－1B ．2－2C.2＋1D ．2＋29．实数x ，y ，θ有以下关系：x ＋y i ＝3＋5cos θ＋i(－4＋5sin θ)(其中i 是虚数单位)，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．30B ．15C ．25D ．10010．设复数z 满足|z |＜1且⎪⎪⎪⎪z ＋1z ＝52，则|z |等于( ) A.45 B.34 C.23 D.1211．如果关于x 的方程2x 2＋3ax ＋a 2－a ＝0至少有一个模等于1的根，那么实数a 的值( ) A ．不存在 B ．有一个 C ．有三个 D ．有四个12．已知f (n )＝i n －i －n (n ∈N *)，则集合{f (n )}的元素个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．无数个二、填空题13．复平面内，若z ＝m 2(1＋i)－m (4＋i)－6i 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是________．14.已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________. 15．已知|z 1|＝2，|z 2|＝3，|z 1＋z 2|＝4，则z 1z 2＝__________.16．复数|z |＝1，若存在负数a 使得z 2－2az ＋a 2－a ＝0，则a ＝________. 三、解答题17．计算：(1)i 1＋i ÷(1＋3i)2；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－3i 3.18．设z 是虚数，m ＝z ＋1z 是实数，且－1＜m ＜2.(1)求|z |的值及z 的实部的取值范围．(2)设u ＝1－z1＋z ，求证：u 为纯虚数．(3)结合(2)求m －u 2的最小值．[答案]精析1．B2．A [因为z 1＝z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝1或m ＝－2，所以m ＝1是z 1＝z 2的充分不必要条件．]3．D [举例说明：若z 1＝4＋i ，z 2＝2－2i ，则z 21＝15＋8i ，z 22＝－8i ，z 21＋z 22＞0，但z 21与－z 22都是虚数，不能比较大小，故A 错；因为|z 1－z 2|2不一定等于(z 1－z 2)2，故|z 1－z 2|与(z 1＋z 2)2－4z 1z 2不一定相等，B 错；若z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，则z 21＝3＋4i ，z 22＝－3－4i ，z 21＋z 22＝0，但z 1＝z 2＝0不成立，故C 错；设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 1＝a －b i ，故z 1－z 1＝2b i ，当b ＝0时是零，当b ≠0时，是纯虚数．故D 正确．]4．D [由m ＋i ＝1＋n i(m ，n ∈R )，∴m ＝1且n ＝1.则m ＋n i m －n i ＝1＋i 1－i＝(1＋i )22＝i.]5．A [a －i 1＋i ＝(a －i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝(a －1)－(a ＋1)i2是纯虚数，则a －1＝0，a ＋1≠0，解得a ＝1.]6．B [∵(x －i)i ＝y ＋2i ，x i －i 2＝y ＋2i ， ∴y ＝1，x ＝2，∴x ＋y i ＝2＋i.]7．A [由条件知2＋a i ，b ＋i 是共轭复数，则a ＝－1，b ＝2，即实系数一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根是2±i ，所以p ＝－[(2＋i)＋(2－i)]＝－4，q ＝(2＋i)(2－i)＝5.]8．C [|z 2－2z ＋2z －1＋i|＝|z －(1＋i)|，故只需求x 2＋y 2＝1上的点到(1,1)的最大距离，其值为1＋ 2.]9．D [由复数相等知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos θ，y ＝－4＋5sin θ，则x 2＋y 2＝50－50sin(θ－φ)≤100(其中φ为辅助角)． ∴x 2＋y 2的最大值为100.]10．D [因为⎪⎪⎪⎪z ＋1z ＝|z z ＋1||z |＝52，即|z |2＋1＝52|z |，所以|z |＝12.] 11．C [(1)当根为实数时，将x ＝1代入原方程得a 2＋2a ＋2＝0，此方程无实数解；将x ＝－1代入原方程得a 2－4a ＋2＝0，解得a ＝2±2，都符合要求．(2)当根为虚数时，Δ＝a (a ＋8)＜0，∴－8＜a ＜0.此时有x 1·x 2＝|x 1|2＝|x 2|2＝1＝a 2－a2，所以可得a 2－a －2＝0，解得a ＝－1，或a ＝2(舍去)．故共有三个．] 12．B [f (n )有三个值0,2i ，－2i.] 13．(3,4)[解析] ∵z ＝m 2－4m ＋(m 2－m －6)i 所对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m <0，m 2－m －6>0，解得3<m <4.14．1＋2i[解析] 由(a ＋i)(1＋i)＝b i 得a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，即a －1＝0，a ＋1＝b ，解得a ＝1，b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i. 15.16±156i [解析] 由题意，z 1z 1＝4，z 2z 2＝9，(z 1＋z 2)(z 1＋z 2)＝z 1z 1＋z 2z 2＋z 1z 2＋z 2z 1＝4＋9＋9z 1z 2＋4z 2z 1＝16，所以9z 1z 2＋4z 2z 1＝3，令z 1z 2＝t ，则9t ＋4t ＝3，即9t 2－3t ＋4＝0，所以t ＝16±15i 6，即z 1z 2＝16±15i 6. 16.1－52[解析] 由z 2－2az ＋a 2－a ＝0，得(z －a )2＝a . 又a 为负数，所以z －a 为纯虚数．设z －a ＝b i ，则z ＝a ＋b i ，所以(b i)2＝a ，故a ＝－b 2. 又|z |＝1，所以a 2＋b 2＝1，所以a 2－a －1＝0.故a ＝1±52.由a 为负数，所以a ＝1－52.17．解 (1)i1＋i ÷(1＋3i)2＝i (1－i )(1＋i )(1－i )÷[(1＋3i)(1＋3i)] ＝i －i 22÷(1＋3i 2＋23i)＝1＋i 2÷(－2＋23i)＝(1＋i )(－4－43i )(－4＋43i )(－4－43i ) ＝－4－43i －4i －43i 264＝4(－1＋3)－4(1＋3)i 64＝－1＋316－1＋316i.(2)方法一 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－3i 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋i )(1＋3i )(1－3i )(1＋3i )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3i ＋i ＋3i 243＝[(1－3)＋(1＋3)i]343＝ (1－3)3＋3(1－3)2(1＋3)i ＋3(1－3)(1＋3)2i 2＋(1＋3)3i 364＝16－16i 64＝1－i 4.方法二 ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1＋i 1－3i 3＝(1＋i )3(1－3i )3＝1＋3i ＋3i 2＋i 31－33i －9＋33i ＝－2＋2i －8＝1－i 4.18．(1)解 ∵z 是虚数，∴可设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，且y ≠0， ∴m ＝z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i ＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y2＝x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i.∵m 是实数，且y ≠0， ∴y －yx 2＋y2＝0，∴x 2＋y 2＝1，∴|z |＝1，此时m ＝2x . ∵－1＜m ＜2，∴－1＜2x ＜2，从而有－12＜x ＜1.∴|z |＝1，z 的实部的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，1. (2)证明结合(1)可知u ＝1－z 1＋z ＝1－(x ＋y i )1＋(x ＋y i )＝(1－x －y i )(1＋x －y i )(1＋x )2＋y 2＝－y(1＋x )i. 又∵x ∈⎝⎛⎭⎫－12，1，y ≠0， ∴－y1＋x≠0，∴u 为纯虚数．(3)解 m －u 2＝2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 1＋x i 2＝2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋x 2＝2x ＋1－x 2(1＋x )2＝2x ＋1－x 1＋x ＝2x －1＋21＋x＝2(x ＋1)＋21＋x－3.∵－12＜x ＜1，∴1＋x ＞0，∴2(x ＋1)＋21＋x－3≥22(x ＋1)·21＋x－3＝1.当且仅当2(x ＋1)＝21＋x ，即x ＝0(x ＝－2舍去)时，等号成立．故m －u 2的最小值为1，此时z ＝±i.。

(压轴题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》测试题(有答案解析)(3)

一、选择题1．复数34i z i-=，|z |＝（）A B ．3 C ．4 D ．52．若复数z 的虚部小于0，|z |=4z z +=，则iz =（）A ．13i +B ．2i +C ．12i +D ．12i - 3．如果复数z 满足21z i -=，i 为虚数单位，那么1z i ++的最小值是（）A 1B 1C 1D 1 4．若复数z 满足(34)25i z i +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是 A ．3iB ．3i -C ．3D ．-3 5．若复数1a i a i -+为纯虚数，则实数的值为 A ．i B ．0 C ．1 D ．－16．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（）A ．1B ．iC ．1-D ．i -7．2(1)1i i+=-（） A ．1i + B ．1i -C ．1i -+D ．1i -- 8．设i 是虚数单位，复数1a i i -+在复平面内对应的点在直线10x y -+=上，则实数a 的值为（）A ．1B ．0C ．-1D ．29．已知复数z 满足21i z i =+，那么z 的虚部为（） A ．1B ．-iC ．1-D ．i 10．复数411-i ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是( )． A ．－4i B ．4i C ．－4 D ．411．在复平面内，复数65,23i i +-+对应的点分别为,A C .若C 为线段AB 的中点，则点B 对应的复数是( )A ．24i +B ．82i +C ．82i --D ．10i -+ 12．在复平面内，复数3i 12i +在复平面中对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题13．复数z 满足(1＋i)z ＝i|，则z 的共轭复数z ＝________．14．若复数12,z z满足12121,z z z z ==+=，则122z z -的值是____________. 15．如果复数z 满足2z i z i ++-=，那么1z i ++的最小值是________.16．设复数z 满足(1)1z i i -=+（i 为虚数单位），则z 的模为________．17．已知复数43cos sin 55z i θθ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是纯虚数，（i 为虚数单位)，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________. 18．已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________19．设复数1=-i z i ，则z =_____________． 20．如果复数()()2i 1i m m ++（其中i 是虚数单位）是实数，则实数m =___________. 三、解答题21．已知关于x 的方程20x x m -+=()m R ∈的两根为1x 、2x ，且123x x +=，求m 的值.解：1x 、2x 是20x x m -+=的两个根，12121x x x x m +=⎧∴⎨=⎩， 123,x x +=22112229x x x x ∴++=()2121212229x x x x x x +-+=，即122||9m m -+=，解得2m =-.请你仔细阅读上述解题过程，判断是否有错误.如果有，请指出错误之处，并写出正确的解答过程.22．在复数范围内分解因式：42625x x -+= ________.23．已知复数2(1)2(5)3i i z i++-=+. （1）求||z ；（2）若()z z a b i +=+，求实数a ，b 的值.24．已知复数22(232)(32)z m m m m i =--+-+，(其中i 为虚数单位)（1）当复数z 是纯虚数时，求实数m 的值；（2）若复数z 对应的点在第三象限，求实数m 的取值范围.25．已知复数,)32()1(2i m m m m z -++-=（1）当实数m 取什么值时，复数z 是：②纯虚数；③.52i z +=（2）若在复平面C 内，z 所对应的点在第四象限，求m 的取值范围．26．设m ∈R ，复数z 1＝22m m m ++＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据复数的除法运算先把z 化成(),z a bi a b R =+∈的形式，再根据公式z =求模.【详解】 ()()()2234343443i i i i i z i i i i i----+====----，5z ∴==.故选：D .【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的模，属于基础题.2．C解析：C【分析】根据4z z +=可得()2z mi m =+∈R ，结合模长关系列方程，根据虚部小于0即可得解. 【详解】由4z z +=，得()2z mi m =+∈R ，因为||z ==1m =±.又z 的虚部小于0，所以2z i =-，12iz i =+.故选：C【点睛】此题考查复数的概念辨析和模长计算，根据复数的概念和运算法则求解. 3．A解析：A由模的几何意义可转化为以(0,2)为圆心，1为半径的圆上一点与点(1,1)--距离的最小值,根据圆的性质即可求解.【详解】因为21z i -=，所以复数z 对应的点Z 在以(0,2)为圆心，1为半径的圆上，因为1z i ++表示Z 点与定点(1,1)--的距离，所以Z 点与定点(1,1)--的距离的最小值等于圆心(0,2)与(1,1)--的距离减去圆的半径，即min 111z i ++==，故选：A【点睛】本题主要考查了复数及复数模的几何意义，圆的性质，属于中档题.4．C解析：C【分析】本道题目可以设出z a bi =+,然后结合待定系数法,计算参数,即可得出答案.【详解】设z a bi =+,代入原式得到()()()()34343434i z i a bi a b b a i +=++=-++结合待定系数法得到340,3425a b b a -=+=,解得3b =,故选C.【点睛】本道题目考查了待定系数法和复数的四则运算,注意虚部是指i 的系数.5．C解析：C【解析】分析：由题意首先设出纯虚数，然后利用复数相等的充分必要条件整理计算即可求得最终结果. 详解：不妨设()1a i ki k R i-=∈+，则：()21a i ki i ki ki k ki -=+=+=-+，由复数相等的充分必要条件可得：1a k k =-⎧⎨-=⎩，即11a k =⎧⎨=-⎩，即实数a 的值为1.本题选择C 选项. 点睛：本题主要考查复数的分类，复数的综合运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．A【解析】()12i z i +=22(1)112i i i z i i -⇒===++，所以z 的虚部是1，选A. 7．C解析：C【分析】由题意结合复数的运算法则计算其值即可.【详解】由复数的运算法则有：()()()()()22121(1)21111112i i i i i i i i i i i i i +++====+=-+---+. 故选C .【点睛】本题主要考查复数的除法运算，复数的乘法运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．C解析：C【解析】【分析】根据复数的运算得11122a i a a i i --+=-+，得到复数在复平面内对应的点为11(,)22a a -+-，代入直线的方程，即可求解．【详解】由题意，复数()()()()1(1)(1)11111222a i i a i a a i a a i i i i -----+-+===-++-，所以复数在复平面内对应的点为11(,)22a a -+-，则111022a a -+++=，解得1a =-，故选C ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的表示的应用，其中解答熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．9．A解析：A【分析】根据复数除法的运算法则化简，即可求出复数虚部.因为22(1)112i i i z i i -===++，所以虚部为1，故选A. 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则及复数的实部虚部的概念，属于中档题.10．C解析：C【解析】【分析】利用复数的代数形式的乘除运算法则将411i ⎛⎫- ⎪⎝⎭化简，即可求值. 【详解】 ∵21111i i i i-=-=+ ∴2(1)1212i i i +=+-= ∴()421124i i ⎛⎫-==- ⎪⎝⎭故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，利用i 的幂的性质是迅速化简的关键，属于基础题． 11．D解析：D【解析】分析：根据两个复数对应的点的坐标分别为(6,5)A ，(2,3)C -，由C 为线段AB 的中点即可确定中点B 的坐标，从而可得答案．详解：∵复数65,23i i +-+对应的点分别为,A C∴(6,5)A ，(2,3)C -∵C 为线段AB 的中点∴(10,1)B -∴点C 对应的复数是10i -+故选D.点睛：本题考查复平面的基本知识及中点坐标公式．求解此类问题要能够灵活准确的对复平面内的点的坐标与复数进行相互转化，复数(,)x yi x y R +∈与复平面内(,)x y 一一对应. 12．A解析：A【解析】复数()()()3123631212125i i i i i i i ⨯-+==++-，它在复平面内对应的点的坐标为63,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，故对应的点在第一象限故选A二、填空题13．1＋i 【分析】先求出复数的模长把已知登时变形然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数求出即可【详解】因为所以则故答案为【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算考查了复数模长和共轭复数的概念解题的关键是解析：1＋i【分析】先求出复数3i -的模长，把已知登时变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，求出z 即可.【详解】因为()132i z i +=-=，所以211z i i==-+，则，故答案为1i +. 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模长和共轭复数的概念，解题的关键是求出z ，是基础题． 14．【分析】作图先证明四边形ABCD 是正方形再利用复数的几何意义求解【详解】如图所示因为所以所以四边形ABCD 是正方形因为AB=BE 所以故答案为：【点睛】本题主要考查复数的几何意义和复数模的计算意在考查解析：5【分析】作图，先证明四边形ABCD 是正方形，再利用复数的几何意义求解.【详解】如图所示，||1||,||2AB AD AC ===,AC AB AD =+，因为222AD DC AC +=,所以090ADC ∠=,所以四边形ABCD 是正方形.因为AB=BE,所以2212|||2|125ED z z =-=+=.故答案为：5【点睛】本题主要考查复数的几何意义和复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15．【分析】先得出复数对应的点的轨迹为复平面内连接点和的线段的几何意义为复数对应的点到点的距离利用数形结合思想可得出的最小值【详解】设由复数模的三角不等式可得所以复数在复平面的轨迹是连接点和的线段如下图解析：1【分析】先得出复数z 对应的点的轨迹为复平面内连接点()0,1和()0,1-的线段，1z i ++的几何意义为复数z 对应的点到点()1,1--的距离，利用数形结合思想可得出1z i ++的最小值.【详解】设z x yi =+，由复数模的三角不等式可得()()222z i z i z i z i i =++-≥+--==，所以，复数z 在复平面的轨迹是连接点()0,1和()0,1-的线段，如下图所示：当z i =-时，则1z i ++取得最小值1.故答案为1.【点睛】本题考查与复数相关的点的轨迹问题，解本题的关键在于确定出复数对应的点的轨迹，利用数形结合思想求解，考查分析问题的和解决问题的能力，属于中等题.16．【分析】根据复数的运算可得再利用模的计算公式即可求解【详解】由题意复数满足则则的模为【点睛】本题主要考查了复数的运算以及复数模的计算其中解答中熟记复数的运算法则以及复数模的计算公式是解答的关键着重考解析：【分析】根据复数的运算可得11i z i i+==-，再利用模的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足(1)1z i i -=+，则()()()()11121112i i i i z i i i i +++====--+，则z 的模为1z i ==.【点睛】本题主要考查了复数的运算以及复数模的计算，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.17．【分析】利用复数为纯虚数可得实部为零虚部不为零从而可求利用同角的三角函数的基本关系式和两角差的正切可求的值【详解】所以故答案为：【点睛】本题考查复数的概念同角的三角函数的基本关系以及两角差的正确理解解析：7-【分析】利用复数为纯虚数可得实部为零，虚部不为零，从而可求43cos 0,sin 055θθ-=-≠，利用同角的三角函数的基本关系式和两角差的正切可求tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 【详解】4333cos 0,sin 0sin tan 5554θθθθ-=-≠⇒=-⇒=-, 所以tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3147314--=--, 故答案为：7-.【点睛】本题考查复数的概念、同角的三角函数的基本关系以及两角差的正确，理解纯虚数的概念是关键，本题为中档题.18．【分析】利用复数的运算法则模的计算公式即可得出【详解】解：复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i ∴|z|故答案为【点睛】对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【详解】解：复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i ，∴|z |22(1)310=-+=．故答案为10．【点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()a bi c di ++=()()(,,,)ac bd ad bc i a b c d R -++∈．其次要熟悉复数相关概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭复数为a bi -．19．【解析】试题分析：因为所以故应填考点：复数的基本概念及其运算解析：．【解析】试题分析：因为1iz i=-，所以z =，故应填．考点：复数的基本概念及其运算．20．【详解】由复数的运算法则可知因为复数是实数则解析：1- 【详解】由复数的运算法则可知223()(1)()(1)m i mi m m m i ++=-++，因为复数2()(1)m i mi ++是实数，则3101m m +=⇒=-.三、解答题21．不正确，详见解析【分析】解题过程不正确．1x 、2x 为虚根时，22221122||,||x x x x ≠≠．由1x 、2x 是20x x m -+=的两个根，得12121x x x x m +=⎧⎨=⎩，当△0即14m 时，方程有两个实数根，求出2m =-；当△0<即14m >时，方程有一对共轭虚根，求出94m =．【详解】解：解题过程不正确．当两根正确的解答过程如下： 1x 、2x 为虚根时，22221122||,||x x x x ≠≠．1x 、2x 是20x x m -+=的两个根，∴12121x x x x m +=⎧⎨=⎩， ①当0∆≥即14m 时，方程有两个实数根． 12||||3x x +=，∴2211222||9x x x x ++=．2121212()22||9x x x x x x +-+=，即122||9m m -+=，解得2m =-．②当∆<0即14m>时，方程有一对共轭虚根． 221212||||x x x x m ===，13||2x ∴=，解得94m =，综上所述，2m =-或94m =．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，考查一元二次方程的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．22．()()()()2222x i x i x i x i ++--+--+【分析】配方为()()()222422262531634x x x x i -+=-+=--，由()2234i i ±=±结合平方差公式即可求得答案.【详解】 ()2234i i -=-，()2234i i +=+，()()()()()222422222625316343434x x x x i x i x i ∴-+=-+=--=---+()()()()222222343422x i x i x i x i ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+--=-+--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()2222x i x i x i x i ++--+--+=.故答案为()()()()2222x i x i x i x i ++--+--+.【点睛】本题考查在复数范围内进行因式分解，充分利用平方差公式进行分解是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.23．（1；（2）7a =-，13b =-．【解析】试题分析：（1）利用复数的计算法则将其化简，即可求得z ；（2）利用复数的计算法则将等号左边化简，再根据等号左右两边实部虚部相等即可求解．试题（1）∵21021010(3)33310i i i z i i i +--====-++，∴10z =；（2）∵2(3)(3)(3)(3)83(6)i i a i i a a a i b i --+=-+-=+-+=+，∴837{{(6)113a b a a b +==-⇒-+==-．考点：复数的计算． 24．（1）,（2）()1,2m ∈ 【详解】（1）由题意有时，解得，即时，复数为纯虚数.（2）由题意有：222320{320m m m m --<-+<，解得：12{212m m -<<<<，所以当()1,2m ∈时，复数z 对应的点在第三象限考点：纯虚数概念25．（1）①m=1；②m=0；③m=2；（2）30m -<<【解析】试题分析：在复数a bi +中复数为0需满足0a b ==，为纯虚数需满足0,0a b =≠，复数对应的点在第四象限需满足0,0a b ><试题（1）①中需满足()2101230m m m m m ⎧-=∴=⎨+-=⎩②中需满足()2100230m m m m m ⎧-=∴=⎨+-≠⎩③中()2122235m m m m m ⎧-=∴=⎨+-=⎩（2）⎩⎨⎧<-+>-0320)1(2m m m m ⇒30m -<< 考点：复数及相关概念26．m ≠5，m ≠－3且m ≠－2(m ∈R)【解析】试题分析：根据虚数定义得m 2－2m －15≠0，根据分母不为零得m ≠－2，解得m 的取值范围．试题∵z 1＝22m m m ++＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ， ∴z 1＋z 2＝222m m m +-+（）＋[(m －15)＋m (m －3)]i ＝242m m m --+＋(m 2－2m －15)i. ∵z 1＋z 2为虚数，∴m 2－2m －15≠0且m ≠－2，解得m ≠5，m ≠－3且m ≠－2(m ∈R)．点睛：要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为(,)a b 、共轭为.-a bi。

上海控江中学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》测试卷(含答案解析)

一、选择题1．设复数z 满足1z =，则1z i -+的最大值为（）A ．21-B ．22-C ．21+D ．22+2．下面是关于复数21iz =-+的四个命题：1:2p z =；22:2p z i =；3:p z 的共轭复数为1i +；4:p z 的虚部为1-.其中,真命题的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．43．已知复数z 满足121iz i i+⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．54．如果复数212bii-+的实部与虚部互为相反数，那么实数b 的值为（） A ．2 B ．23C ．-2D ．23-5．若复数满足，则复数的虚部为（）A ．B ．C ．D ．6．已知复数z 满足()(13)10z i i i ++=，其中i 为虚数单位，则z =（） A 3B 6C ．6D ．37．已知i 为虚数单位，复数21iz =+，则z z -等于（） A ．2B ．2iC ．2i -D ．08．已知复数113iz i-=+，则复数z 的虚部是（） A ．25 B ．25i C ．25-D ．25i -9．满足条件4z i z i ++-=的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（）． A ．椭圆B ．两条直线C ．圆D ．一条直线10．满足条件3z i z i +=+的复数z 对应点的轨迹是（） A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．线段11．若复数z 满足()2117z i i -=+（i 为虚数单位），则z =（） A ．35i +B ．35i -C ．35i -+D ．35i --12．已知复数3z a i =+，其中a R ∈.若4z R z+∈，则a =A ．1B ．1-C ．1或1-D ．0二、填空题13．在复平面内，到点133i -+的距离与到直线:3320l z z ++=的距离相等的点的轨迹方程是________.14．i 是虚数单位，则232017232017i i i i ++++=_______.15．下列四个命题中，正确命题的个数是___________.①0比i 小②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数 ③1x yi i +=+的充要条件为1x y ==④如果实数a 与ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应 16．已知i 为虚数单位，计算1i1i-=+__________． 17．已知复数43i z =+（i 为虚数单位），则z =____．18．设集合4{|10,}A x x x C =-=∈，23i z =-，若x A ∈，则||x z -最大值是________ 19．有以上结论：①若x ， y C ∈，则2x yi i +=+的充要条件是2x =， 1y =； ②若实数a 与ai 对应，则实数集与虚数集是一一对应；③由“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比可得“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；④由“若a ， b ， c R ∈，则()()ab c a bc =”类比可得“若a ， b ， c 为三个向量，则()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅.其中正确结论的序号为__________．20．已知复数213(3)2z a i a =+-+，22(31)z a i =++（a R ∈，i 是虚数单位）．（1）若,求的值；（2）若复数12z z -在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围.三、解答题21．实数m 取怎样的值时，复数226(215)z m m m m i =--+--是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？22．已知虚数z 满足|21||22|z i z i +-=+-（i 为虚数单位）. （1）求||z 的值; （2）若1mz R z+∈，求实数m 的值. 23．已知复数z=m(m-1)+( m 2+2m-3)i 当实数m 取什么值时，复数z 是 (1)零；（2）纯虚数；（3）z=2+5i24．已知m R ∈，复数()()22231m m z m m i m +=++--，当m 为何值时，（1）z R ∈？（2）z 是虚数？（3）z 是纯虚数？（4）z 对应的点位于复平面第二象限？（5）z 对应的点在直线30x y ++=上？ 25．复数2(21)(1),z a a a i a R =--+-∈. （1）若z 为实数，求a 的值；（2）若z 为纯虚数，求a 的值；（3）若93z i =-，求a 的值. 26．已知z 是复数，z i +和1zi-都是实数，（1）求复数z ；（2）设关于x 的方程2(1)(31)0x x z m i ++--=有实根，求纯虚数m .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】如图所示，复数满足1z =时轨迹方程为复平面内的单位圆，而()11z i z i -+=--表示z 与复数1i -所对应的点在复平面内的距离，结合圆的性质可知，1z i -+的最大值为()2211121+-+=+.本题选择C 选项.2．B解析：B【分析】化简复数1i z =--，结合复数的基本概念，共轭复数的概念，以及复数的模的计算，即可判定，得到答案. 【详解】由题意，复数()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，则z =，所以1p 是错误的；22(1)2z i i =--=，所以2p 是正确的；z 的共轭复数为1i -+，所以3p 是错误的； z 的虚部为1-，所以4p 是正确的.故选：B. 【点睛】本题主要考查了复数的乘法、除法运算，以及复数的概念及分类，以及共轭复数的概念及应用，着重考查了推理与辨析能力.3．D解析：D 【分析】按照复数的运算法则先求出z ，再写出z ，进而求出z . 【详解】21(1)21(1)(1)2i i ii i i i ++===--+， 1222(2)121i iz i i z i z i i i i i+-∴⋅=-⇒⋅=-⇒==--=---，12||z i z ∴=-+⇒==故选：D 【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.4．D解析：D 【分析】先根据复数除法化为代数形式，再根据实部与虚部互为相反数解得b 的值. 【详解】因为()2242125b b i bi i --+-=+,所以()4222553b b b -+-=-=-，,选D.【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi 5．B解析：B 【解析】分析：先根据复数除法法则得复数，再根据复数虚部概念得结果. 详解：因为，所以，因此复数的虚部为，选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为6．D解析：D 【解析】分析：由()()1310z i i i ++=，，可得10i13iz i =-+，利用复数除法法则可得结果. 详解：因为()()1310z i i i ++=，所以()()()2210i 13i 10i 30i 10i 13i 13i 13i 19i z i i i --+=-=-=-++-- 30+10i310i =-=，所以3z =，故选D. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.7．C解析：C 【解析】 ∵ 22(1)112i z i i -===-+，∴ 1(1)2z z i i i -=--+=-，故选C. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．8．C解析：C 【解析】113i z i -=+(1)(13)121055i i i --==-- ,所以虚部是25- ,选C. 9．A解析：A 【分析】转化复数方程为复平面点的几何意义，然后利用椭圆的定义，即可判定，得到答案．【详解】由题意，复数4z i z i ++-=的几何意义表示：复数z 在复平面上点到两定点(0,1)和(0,1)-的距离之和等于4，且距离之和大于两定点间的距离，根据椭圆的定义，可知复数z 对应点的轨迹为以两定点(0,1)和(0,1)-为焦点的椭圆，故选A ．【点睛】本题主要考查了复数的几何意义的应用，其中解答中熟记复数的表示，以及复数在复平面内的几何意义是解答的关键，注重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．10．A解析：A 【解析】【分析】设复数z =x +yi ，结合复数模的定义可得z 对应点的轨迹. 【详解】设复数z =x +yi ，则：()1z i x y i +=++=()3z i x y i +=++=结合题意有：()()222213x y x y ++=++，整理可得：310--=x y . 即复数z 对应点的轨迹是直线. 故选A . 【点睛】本题主要考查复数的模的计算公式，复数中的轨迹问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．B解析：B 【分析】根据复数的运算，求得35z i =+，再根据共轭复数的概念，即可曲解．【详解】由复数z 满足()2117z i i -=+，即()()()()11721171525352225i i i iz i i i i ++++====+--+，所以35z i =-，故选B ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，及共轭复数的概念，其中解答中熟记复数的运算法则和共轭复数的概念是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．12．C解析：C 【解析】【分析】首先求解4z z+，然后得到关于a 的方程，解方程即可求得实数a 的值. 【详解】由题意可得：4z a z +=++()243a a a =++22441133a i a a ⎛⎫⎫=+- ⎪⎪++⎝⎭⎭，若4z R z +∈，则24103a -=+，解得：a =1或1-. 本题选择C 选项. 【点睛】复数的基本概念和复数相等的充要条件是复数内容的基础，高考中常常与复数的运算相结合进行考查，一般属于简单题范畴.二、填空题13．【分析】设z ＝x+yi （xy ∈R ）可得直线l ：3z+32＝0化为：3x+1＝0由于点3i 在直线3x+1＝0上即可得出点的轨迹【详解】设z ＝x+yi （xy ∈R ）则直线l ：3z+32＝0化为：3x+1＝解析：3y =【分析】设z ＝x +yi （x ，y ∈R ），可得直线l ：3z +3z +2＝0化为：3x +1＝0．由于点13-+3i 在直线3x +1＝0上，即可得出点的轨迹．【详解】设z ＝x +yi （x ，y ∈R ），则直线l ：3z +3z +2＝0化为：3x +1＝0． ∵点13-+3i 在直线3x +1＝0上， ∴在复平面内，到点13-+3i 的距离与到直线l ：3z +3z +2＝0的距离相等的点的轨迹是y ＝3．故答案为：y ＝3．【点睛】本题考查了复数的运算性质、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．【分析】将视为数列的前项的和然后利用错位相减法可求出结果【详解】为数列的前项的和则上述两式相减得故答案为：【点睛】本题考查复数乘方的运算同时也考查利用错位相减法求和考查计算能力属于中等题解析：10081009i +【分析】将232017232017i i i i ++++视为数列{}nni的前2017项的和，然后利用错位相减法可求出结果. 【详解】232017232017i i i i ++++为数列{}nni的前2017项的和2017S，则2320172017232017S i i i i =++++，23201720182017220162017iS i i i i ∴=++++，上述两式相减得()()2017232017201845042201711201720171i i i S i i i i i i i⨯+--=++++-=--()()4504121120172017201711i i i i i i ii⨯+--=-=+=+--， ()()()()201720171201720162018100810091112i i i iS i i i i ++++∴====+--+. 故答案为：10081009i +. 【点睛】本题考查复数乘方的运算，同时也考查利用错位相减法求和，考查计算能力，属于中等题.15．0【分析】根据复数相关概念逐一判断【详解】比不可比较大小；两个复数互为共轭复数则它们的和为实数反之不成立如2与3；当为实数时的充要条件为；因为当时所以实数集与纯虚数集不一一对应；综上无正确命题即正确解析：0 【分析】根据复数相关概念逐一判断. 【详解】0比i 不可比较大小；两个复数互为共轭复数，则它们的和为实数，反之不成立，如2与3；当x y ，为实数时1x yi i +=+的充要条件为1x y ==；因为当0a =时0,ai =所以实数集与纯虚数集不一一对应；综上无正确命题，即正确命题的个数是0. 【点睛】本题考查复数相关概念，考查基本分析判断能力，属基本题.16．【解析】分析：根据复数除法法则求解详解：复数点睛：首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数相关基本概念如复数的实部为虚部为模为对应点为共轭为解析：i -【解析】分析：根据复数除法法则求解. 详解：复数1i (1)(1)2ii 1i (1)(1)2i i i i ----===-++-．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi17．5【解析】解析：5 【解析】5z ==.18．【解析】由得：则x=1时时当时当时故答案为解析：【解析】由410,x x C -=∈得： 1x x i ，=±=±，则x=1时 123x z i -=-+=1x =-时，123x z i -=--+=，当x i =时，2324x z i i i -=-+=-+=当x i =-时，2322x z i i i -=--+=-+=.故答案为19．③【解析】当时复数也是故①错误当时没有复数和其对于故②错误平面中的长度类比到空间即是面积故③正确由于方向与相同或者相反方向与方向相同或者相反故④错误综上所述正确的命题是③点睛：本题主要考查命题真假性解析：③【解析】当,2x i y i ==-时，复数也是2i +，故①错误.当0a =时，没有复数和其对于，故②错误.平面中的长度，类比到空间即是面积，故③正确.由于()a b c ⋅⋅方向与c 相同或者相反， ()a b c ⋅方向与a 方向相同或者相反，故④错误.综上所述，正确的命题是③.点睛：本题主要考查命题真假性的判断.第一个是复数的运算，与平时运算的差别是题目中,x y 是在复数集内选两个数，举出反例判断出结论是错误的.第一个结论主要用0a =来排除.第三个结论涉及到的知识点是向量的数量积运算，向量数量积运算结果是实数，数乘以向量，结果是向量.20．（1）（2）【解析】试题分析：（1）由复数的定义为实数时虚部为0由此可求得；（2）求得对应点是它在第一象限则横纵坐标均大于0列出不等式组可求得范围试题解析：（1）（2）21a -<<-.【解析】试题分析：（1）由复数的定义，z 为实数时，虚部为0，由此可求得a ；（2）求得2123(2)(34)2z z a a i a -=-+--+，对应点是23(3,34)2a a a ---+，它在第一象限，则横、纵坐标均大于0，列出不等式组，可求得a 范围．试题（1）由230a -=，得3a =± （2）由条件得，2123(2)(34)2z z a a i a -=-+--+ 因为12z z -在复平面上对应点落在第一象限，故有2320{2340a a a ->+--> ∴12{241a a a -<<-><-或解得21a -<<-．考点：复数的概念，复数的几何意义．【名师点睛】复数的概念形如a+b i(a ,b ∈R)的数叫做复数,其中a ,b 分别是它的实部和虚部.若b=0,则a+b i 为实数;若b ≠0 ,则a+b i 为虚数;若a=0且b ≠0,则a+b i 为纯虚数.三、解答题21．（1）5m =或3m =-；（2）5m ≠且3m ≠-；（3）3m =或2m =- 【分析】（1）由虚部等于0列式求解m 的值；（2）由虚部不等于0列式求解m 的值；（3）由实部等于0且虚部不等于0列式求解m 的值.【详解】（1）当22150m m --=，即5m =或3m =-时，z 的虚部等于0，所以当5m =或3m =-时，z 为实数；（2）当22150m m --≠时，即5m ≠且3m ≠-时，z 为虚数；（3）当22602150m m m m ⎧--=⎨--≠⎩时，即3m =或2m =-时，z 为纯虚数. 【点睛】该题考查的是有关根据复数的类别求解参数的值的问题，涉及到的知识点有复数的分类，属于简单题目.22．（12）12m =. 【分析】（1）设z a bi =+（,a b ∈R 且0b ≠），利用模长的定义可构造出方程，整理出222a b +=，从而求得z ；（2）整理得到122a b mz am bm i z ⎛⎫+=++- ⎪⎝⎭，根据实数的定义求得结果.【详解】（1）z 为虚数，可设z a bi =+（,a b ∈R 且0b ≠）则22122a bi i a bi i ++-=++-，即()()()()212122a b i a b i ++-=++- ()()()()2222212122a b a b ∴++-=++-整理可得：222a b +=z ∴==（2）由（1）知221122a bi a b mz am bmi am bmi am bm i z a bi a b -⎛⎫+=++=++=++- ⎪++⎝⎭ 1mz R z +∈ 02b bm ∴-= 又0b ≠ 12m ∴=【点睛】本题考查复数模长的求解、根据复数的类型求解参数值的问题，属于基础题.23．⑴m=1⑵m=0⑶ m=2【分析】对于复数(,)z a bi a b R =+∈，（1）当且仅当0ab 时，复数0z =；（2）当且仅当0a =，0b ≠时，复数z 是纯虚数；（3）当且仅当2a =，5b =时，复数25z i =+．【详解】（1）当且仅当 ()210230m m m m ⎧-=⎨+-=⎩解得m=1，即m=1时，复数z=0．（2）当且仅当()210230m m m m ⎧-=⎨+-≠⎩解得m=0，即m=0时，复数z=﹣3i 为纯虚数．（3）当且仅当()212235m m m m ⎧-=⎨+-=⎩ 解得m=2，即m=2时，复数z=2+5i ．【点睛】本题考查了复数的基本概念，深刻理解好基本概念是解决好本题的关键．24．（1）3m =- (2) 13m m ≠≠-且（3）0m =或2m =-（4）3m <-（5）0m =或2m =-【解析】试题分析：（1）要复数为实数，则虚部为零，即2230m m +-=且10m -≠，解得3m =.（2）要复数为纯虚数，则实部()201m m m +=-，虚部2230m m +-≠，解得0,2m m ==-.（3）复数对应的点在第二象限，则实部()201m m m +<-，虚部2230m m +->，解得3m <-.（4）将实部和虚部代入直线方程，解方程可求得0,2m m ==-.试题（1）由2230m m +-=，且10m -≠，得3m =，故当3m =-时， z R ∈；（2）由()220,{1230,m m m m m +=-+-≠ 解得0m =或2m =-，故当0m =或2m =-时， z 为纯虚数；（3）由()220,{1230,m m m m m +<-+-> 解得3m <-，故当3m <-时，复数z 对应的点位于复平面的第二象限；（4）由()()2223301m m m m m +++-+=-，解得0m =或2m =-，故当0m =或2m =-时，复数z 对应的点在直线30x y ++=上.25．（1）1a =；（2）21-=a ；（3）2-=a . 【解析】试题分析：（1）复数(,)z a bi a b R =+∈为实数的条件0b =；（2）复数z 为纯虚数的条件0,0a b =≠；（3）两复数相等的条件：实部、虚部分别对应相等.试题解：（1）若z 为实数，则01=-a ，得1=a ．（2）若z 为纯虚数，则⎩⎨⎧≠-=--010122a a a ，解得21-=a ．（3）若i 39-=z ，则⎩⎨⎧-=-=--319122a a a ，解得2-=a ．考点：1.复数为实数、纯虚数的条件；2.两复数相等的条件.26．（1）1z i =-；（2）m i =-.【分析】（1）设z a bi =+，化简z i +和1z i -，若为实数，则虚部为零；（2）设m di =，根据复数相等计算.【详解】（1）设z a bi =+，则(1)z i a b i +=++，122z a b a b i i -+=+- 若z i +和1z i -都是实数，则1002b a b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1a =，1b =-，所以1z i =-.（2）设m di =，则方程为2(2)(31)0x x i di i +---=，即223(1)0x x d x i +++-=，若方程有实数根，则223010x x d x ⎧++=⎨-=⎩，解得1x =，1d =-，所以，纯虚数m i =-.【点睛】本题考查复数的性质和运算.注意区分虚数、纯虚数、复数等概念.。

人教A版选修2-2数学：第三章《数系的扩充与复数的引入》综合测试2(新人教A版选修2—2).docx

高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题一、选择题1．0a =是复数()z a bi a b =+∈R ，为纯虚数的（）Ａ．充分条件但不是必要条件Ｂ．必要条件但不是充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不是充分也不必要条件答案：Ｂ2．若12z i =+，23()z ai a =+∈R ，12z z +的和所对应的点在实轴上，则a 为（）Ａ．3 Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．1-答案：Ｄ3．复数22(2)(2)z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上，则（）Ａ．2a ≠或1a ≠ Ｂ．2a ≠且1a ≠ Ｃ．0a = Ｄ．2a =或0a =答案：Ｄ4．设1z ，2z 为复数，则下列四个结论中正确的是（）Ａ．若22120z z +>，则2212z z >-Ｂ．12z z -Ｃ．22121200z z z z +=⇔== Ｄ．11z z -是纯虚数或零答案：Ｄ5．设22(253)(22)z t t t t i =+-++-+，t ∈R ，则下列命题中正确的是（）Ａ．z 的对应点Z 在第一象限Ｂ．z 的对应点Z 在第四象限Ｃ．z 不是纯虚数Ｄ．z 是虚数答案：Ｄ6．若1i +是实系数方程20x bx c ++=的一个根，则方程的另一个根为（）Ａ．1i - Ｂ．1i -+ Ｃ．1i -- Ｄ．i 答案：Ａ7．已知复数1cos z i θ=-，2sin z i θ=+，则12z z ·的最大值为（）Ａ．32 Ｄ．3答案：Ａ 8．已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m 等于（）Ａ．2-Ｂ．Ｃ．Ｄ．4答案：Ｂ9．在复平面内，复数12ω=-+对应的向量为OA u u u r ，复数2ω对应的向量为OB u u u r ．那么向量AB u u u r对应的复数是（）Ａ．1 Ｂ．1- Ｄ．答案：Ｄ10．在下列命题中，正确命题的个数为（） ①两个复数不能比较大小；②123z z z ∈C ，，，若221221()()0z z z z -+-=，则13z z =； ③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±； ④z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ；⑤若a b ，是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数； ⑥z ∈R 的一个充要条件是z z =．Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 答案：Ｂ11．复数()a bi a b +∈R ，等于它共轭复数的倒数的充要条件是（）Ａ．2()1a b += Ｂ．221a b += Ｃ．221a b -= Ｄ．2()1a b -=答案：Ｂ12．复数z 满足条件：21z z i +=-，那么z 对应的点的轨迹是（）Ａ．圆Ｂ．椭圆Ｃ．双曲线Ｄ．抛物线答案：Ａ二、填空题13．若复数cos sin z i θθ=-·所对应的点在第四象限，则θ为第象限角．答案：一14．复数z i =与它的共轭复数z 对应的两个向量的夹角为．答案：60°15．已知2z i =-，则32452z z z -++= ．答案：2 16．定义运算a b ad bc c c =-，则符合条件2132i z zi-=+的复数z = ．答案：7455i -三、解答题17．已知复数(2)()x yi x y -+∈R ，的模为3，求yx的最大值．解：23x yi -+=∵，22(2)3x y -+=∴，故()x y ，在以(20)C ，为圆心，3为半径的圆上，yx表示圆上的点()x y ，与原点连线的斜率．如图，由平面几何知识，易知yx的最大值为3． 18．已知1z i a b =+，，为实数．（1）若234z z ω=+-，求ω；（2）若2211z az bi z z ++=--+，求a ，b 的值．解：（1）2(1)3(1)41i i i ω=++--=--， 2ω=∴；（2）由条件，得()(2)1a b a ii i+++=-，()(2)1a b a i i +++=+∴，121a b a +=⎧⎨+=⎩，，∴解得12a b =-⎧⎨=⎩，．19．已知2211z x x i =++，22()z x a i =+，对于任意x ∈R ，均有12z z >成立，试求实数a 的取值范围．解：12z z >∵， 42221()x x x a ++>+∴，22(12)(1)0a x a -+->∴对x ∈R 恒成立．当120a -=，即12a =时，不等式成立；当120a -≠时，21201124(12)(1)0a a a a ->⎧⇒-<<⎨---<⎩，综上，112a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，． 20．已知()z i z ω=+∈C ，22z z -+是纯虚数，又221116ωω++-=，求ω．解：设()z a bi a b =+∈R ，2(2)2(2)z a bi z a bi--+=+++∴2222(4)4(2)a b bia b +-+=++． 22z z -+∵为纯虚数， 22400a b b ⎧+-=⎨≠⎩，．∴222211(1)(1)(1)(1)a b i a b i ωω++-=++++-++∴2222(1)(1)(1)(1)a b a b =++++-++ 222()44a b b =+++844b =++ 124b =+．12416b +=∴．1b =∴．把1b =代入224a b +=，解得a =．z i =∴．2i ω=∴．21．复数3(1)()1i a bi z i++=-且4z =，z 对应的点在第一象限内，若复数0z z ，，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解：2(1)(1)()2()221i i z a bi i i a bi a bi i++=+=+=---···，由4z =，得224a b +=． ①∵复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，z z z =-∴，把22z a bi =--代入化简，得1b =． ② 又Z ∵点在第一象限内，0a <∴，0b <．由①②，得1a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩．故所求a =1b =-．22．设z 是虚数1z z ω=+是实数，且12ω-<<．（1）求z 的值及z 的实部的取值范围．（2）设11zzμ-=+，求证：μ为纯虚数；（3）求2ωμ-的最小值．（1）解：设0z a bi a b b =+∈≠R ，，，，则1a bi a bi ω=+++2222a b a b i a b a b ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．因为ω是实数，0b ≠，所以221a b +=，即1z =．于是2a ω=，即122a -<<，112a -<<．所以z 的实部的取值范围是112⎛⎫- ⎪⎝⎭，；（2）证明：2222111211(1)1z a bi a b bi bi z a bi a b a μ------====-++++++．因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，0b ≠，所以μ为纯虚数；（3）解：22222122(1)(1)b a a a a a ωμ--=+=+++1222111a a a a a -=-=-+++12(1)31a a ⎡⎤=++-⎢⎥+⎣⎦因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以10a +>，故223ωμ-·≥431-=．当111a a +=+，即0a =时，2ωμ-取得最小值1．高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题一、选择题1．实数x ，y 满足(1)(1)2i x i y ++-=，则xy 的值是（）Ａ．1 Ｂ．2Ｃ．2-Ｄ．1-答案：Ａ2．复数cos z i θ=，[)02πθ∈，的几何表示是（）Ａ．虚轴Ｂ．虚轴除去原点Ｃ．线段PQ ，点P ，Q 的坐标分别为(01)(01)-，，，Ｄ．（Ｃ）中线段PQ ，但应除去原点答案：Ｃ3．z ∈C ，若{}22(1)1M z z z =-=-|，则（）Ａ．{}M =实数Ｂ．{}M =虚数Ｃ．{}{}M实数复数苘Ｄ．{}M ϕ=答案：Ａ4．已知复数1z a bi =+，21()z ai a b =-+∈R ，，若12z z <，则（）Ａ．1b <-或1b > Ｂ．11b -<< Ｃ．1b > Ｄ．0b >答案：Ｂ5．已知复数z 满足2230z z --=的复数z 的对应点的轨迹是（）Ａ．1个圆Ｂ．线段Ｃ．2个点Ｄ．2个圆答案：Ａ6．设复数()z z ∈C 在映射f 下的象是zi ·，则12i -+的原象为（）Ａ．2i - Ｂ．2i + Ｃ．2i -+ Ｄ．13i +－答案：Ａ7．设A ，B 为锐角三角形的两个内角，则复数(cot tan )(tan cot )z B A B A i =-+-对应的点位于复平面的（）Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限答案：Ｂ8．已知()22f z i z z i +=++，则(32)f i +=（）Ａ．9i Ｂ．93i +Ｃ．9i -Ｄ．93i -－答案：Ｂ 9．复数2()12miA Bi m AB i-=+∈+R ，，，且0A B +=，则m =（）Ｂ．23 Ｃ．23-Ｄ．2答案：Ｃ10．(32)(1)i i +-+表示（）Ａ．点(32)，与点(11)，之间的距离Ｂ．点(32)，与点(11)--，之间的距离Ｃ．点(32)，与原点的距离Ｄ．点(31)，与点(21)，之间的距离答案：Ａ11．已知z ∈C ，21z -=，则25z i ++的最大值和最小值分别是（）11 Ｂ．3和1Ｃ．和3答案：Ａ12．已知1z ，2z ∈C ，12z z +=1z =2z =12z z -=（）Ａ．1 Ｂ．12Ｃ．2答案：Ｄ二、填空题13．若()1()f z z z =-∈C ，已知123z i =+，25z i =-，则12z f z ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．答案：19172626i - 14．“复数z ∈R ”是“11z z=”的．答案：必要条件，但不是充分条件 15．A ，B 分别是复数1z ，2z 在复平面上对应的两点，O 为原点，若1212z z z z +=-，则AOB △为．答案：直角16．若n 是整数，则6(1)(1)nn i i -+-=· ．答案：8±或8i ±三、解答题17．已知复数3z z -对应的点落在射线(0)y x x =-≤上，1z +=z ．解：设()z a bi a b =+∈R ，，则33324z z a bi a bi a bi -=+-+=+，由题意得4120ba b ⎧=-⎪⎨⎪>⎩，，①又由1z +=22(1)2a b ++=， ② 由①，②解得21a b =-⎧⎨=⎩，，2z i =-+∴．18．实数m 为何值时，复数216(815)55m z m i m i m m -⎛⎫=++++ ⎪++⎝⎭．（1）为实数；（2）为虚数；（3）为纯虚数；（4）对应点在第二象限．解：226(815)5m m z m m i m +-=++++．（1）z 为实数28150m m ⇔++=且50m +≠，解得3m =-；（2）z 为虚数2815050m m m ⎧++≠⇔⎨+≠⎩，，解得3m ≠-且5m ≠-；（3）z 为纯虚数226058150m m m m m ⎧+-=⎪⇔+⎨⎪++≠⎩，，解得2m =；（4）z 对应的点在第二象限226058150m m m m m ⎧+-<⎪⇔+⎨⎪++>⎩，，解得5m <-或32m -<<．19．设O 为坐标原点，已知向量1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r分别对应复数12z z ，，且213(10)5z a i a =+-+，22(25)1z a i a=+--，a ∈R ．若12z z +可以与任意实数比较大小，求1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r 的值．解：213(10)5z a i a =--+，则31232[(10)(25)]51z z a a i a a+=++-+-+-的虚部为0， 22150a a +-=∴．解得5a =-或3a =．又50a +≠∵，3a =∴．则138z i =+，21z i =-+，1318OZ ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r ，，2(11)OZ =-u u u u r ，． 1258OZ OZ =u u u u r u u u u r ∴·．20．已知z 是复数，2z i +与2zi-均为实数，且复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设()z x yi x y =+∈R ，，2(2)z i x y i +=++为实数，2y =-∴．211(22)(4)2255z x i x x i i i -==++---为实数， 4x =∴，则42z i =-．22()(124)8(2)z ai a a a i +=+-+-∵在第一象限， 212408(2)0a a a ⎧+->⎨->⎩，，∴解得26a <<． 21．已知关于x 的方程2(6)90()x i x ai a -+++=∈R 有实数根b ．（1）求实数a ，b 的值；（2）若复数z 满足2z a bi z --=，求z 为何值时，z 有最小值并求出最小值．解：（1）将b 代入题设方程，整理得2(69)()0b b a b i -++-=，则2690b b -+=且0a b -=，解得3a b ==；（2）设()z x yi x y =+∈R ，，则2222(3)(3)4()x y x y -++=+，即22(1)(1)8x y ++-=．∴点Z 在以(11)-，为圆心，22为半径的圆上，画图可知，1z i =-时，min 2z =．。

(常考题)人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》检测卷(有答案解析)(2)

一、选择题1．在下列命题中，正确命题的个数是（）. ①两个复数不能比较大小；②复数i 1z =-对应的点在第四象限；③若()()22132i x x x -+++是纯虚数，则实数1x =； ④若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==. A ．0B ．1C ．2D ．32．复数()211i z i+=-，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．如果复数z 满足|||i 2|i z z ++-=，那么|1|z i ++的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．2 D ．54．已知复数，是z 的共轭复数，则=A ．B ．C ．1D ．25．设复数z 满足()13i z i +=+，则z =（） A 2B ．2 C ．22D 56．若复数z 满足232,z z i +=-其中i 为虚数单位，则z=A ．1+2iB ．1-2iC ．12i -+D ．12i --7．若实系数一元二次方程20z z m ++=有两虚数根αβ、，且3αβ=-，那么实数m 的值是（） A ．52B ．1C ．1-D ．52-8．已知i 为虚数单位，（1＋i ）x ＝2＋yi ，其中x ，y ∈R ，则｜x ＋yi ｜＝ A ．2 B ．2C ．4D 29．已知复数21aiz i+=-是纯虚数，则实数a 等于（） A 5B ．2C 3D 210．若(),a bia b i+∈R 与()21i +互为共轭复数，则+a b 的值为（） A ．2 B ．2- C ．3- D ．311．对于给定的复数0z ，若满足042z i z z -+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆，则01z -的取值范围是（）A ．)2 B ．)1C ．)2-D ．)1-12．设i 为虚数单位，a R ∈，“复数2202021a i z i=--不是纯虚数“是“1a ≠”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题13．从集合{}0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数a ，b ，组成复数i a b +，其中虚数有______个. 14．若复数72aiz i+=-的实部为3，其中a 是实数，i 是虚数单位，则2z 的虚部为______.15．化简：202020191z i i ⎛⎫=+=⎪ ⎪+⎝⎭________.16．若复数(2)(1)()z a a i a R =-++∈对应的点位于第二象限，则z 的取值范围是_______.17．已知复数z 满足等式1i 1z --=，则3z -的最大值为______ 18．复数(1)(z i i i =-为虚数单位）的共轭复数为________.19．设z 是复数，()a z 表示满足1n z =时的最小正整数n ，i 是虚数单位，则1i()1ia +=-________. 20．若复数214tz t i+=-+在复平面内对应的点位于第四象限,则实数t 的取值范围是____. 三、解答题21．已知方程20x x p ++=有两个根1x ，2x ，p R ∈．（1）若123x x -=，求实数p 的值；（2）若123x x +=，求实数p 的值．22．已知复数z 满足|z |=z 的实部、虚部均为整数，且z 在复平面内对应的点位于第四象限.（1）求复数z ；（2）若()22m m n i z --=，求实数m ，n 的值.23．已知复数12z i =-+,1255z z i =-+（其中为虚数单位）（1）求复数2z ；（2）若复数()()()2323231z z m m m i ⎡⎤=---+-⎣⎦所对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．24．设复数z ：满足432243z i z i +--=-+-，求z 的最大值和最小值． 25．已知复数1sin 2i z x λ=+，2(3)i z m m x =+（,,m x λ∈R ），且12z z =. （1）若0λ=且0πx <<，求x 的值；（2）设()f x λ=；①求()f x 的最小正周期和单调递减区间； ②已知当x α=时，12λ=，试求cos(4)3πα+的值. 26．已知1251034.z i z i =+=-，（1）若12z z ，若在复平面上对应的点分别为A,B ，求AB 对应用的复数（2）若12111z z z z =+，求【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据复数121,2z z ==，可得①是错误的；根据复数的表示，可得②是错误的；根据复数的分类，列出方程组，可得③是正确的；根据1231,,1z z i z ===-，可得④错误的. 【详解】对于①中，例如复数121,2z z ==，此时12z z <，所以①是错误的；对于②中，复数i 1z =-对应的点坐标为(1,1)-位于第二象限，所以②是错误的；对于③中，若()()22132i x x x -+++是纯虚数，则满足2210320x x x ⎧-=⎨++≠⎩，解得1x =，所以③是正确的；对于④中，例如1231,,1z z i z ===-，则()()22110i i -++=，所以④错误的. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，以及复数的表示与复数的运算的综合应用，其中解答中熟记复数的概念与运算，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与运算能力.2．C解析：C 【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，求出z 在复平面内对应的点的坐标得答案．【详解】()()()()212121,1,1111i i i iz i z i ii i i +⋅+====-+∴=-----⋅+ 即z 的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限 .故选C. 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．A解析：A 【分析】直接利用复数模的几何意义求出z 的轨迹．然后利用点到直线的距离公式求解即可．【详解】：∵|z ＋i|＋|z －i|＝2∴点Z 到点A （0，-1）与到点B （0，1）的距离之和为2． ∴点Z 的轨迹为线段AB ．而|z ＋1＋i|表示为点Z 到点（-1，-1）的距离．数形结合，得最小距离为1 故选A ．【点睛】本题只要弄清楚复数模的几何意义，就能够得到解答．4．A解析：A 【分析】利用复数除法化简，再求出共轭复数，进而可得结果.【详解】，，，故答案为：A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.5．D解析：D 【解析】分析：先根据复数除法得z ，再根据复数的模求结果. 详解：因为()13i z i +=+，所以31(3)(1)212i z i i i i +==+-=-+, 因此5,z = 选D.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi6．B解析：B 【解析】试题分析：设i z b a =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故，则12i z =-，选B.【考点】注意共轭复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一.7．A解析：A 【分析】根据实系数方程有两虚数根，利用求根公式解得：12z -±=，由此可得αβ-的m 表示形式，根据3αβ-=即可求得m 的值. 【详解】因为20z z m ++=，所以z =，又因为3αβ-=，所以3=，所以419m -=，解得：52m =. 故选A. 【点睛】实系数一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，有两虚根为,αβ，注意此时的240b ac ∆=-<，因此在写方程根时应写成：2b x -±=而不能写成了2b x -±=.8．A解析：A 【解析】【分析】首先求得x ,y 的值，然后求解复数的模即可. 【详解】由题意可得：2x xi yi +=+，结合复数的充分必要条件可知：2x x y =⎧⎨=⎩，则2x y ==，22x yi i +=+== 本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查复数相等的充分必要条件，复数模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．B解析：B 【分析】化简复数2222a a z i -+=+，根据复数z 是纯虚数，得到202a -=且202a+≠，即可求解. 【详解】由题意，复数()()()()2122211122ai i ai a az i i i i +++-+===+--+，因为复数z 是纯虚数，可得202a -=且202a+≠，解得2a =，所以实数a 等于2. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的基本概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的基本概念求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.10．A解析：A 【分析】把两个复数都化为(,)a bi a b R +∈形式，然后由共轭复数定义求得,a b ，从而得结论．【详解】因为()2i a bi a bi b ai i i++==-，()212i i +=，又1a bi +与()21i -互为共轭复数，所以0b =，2a =.则2a b +=.故选：A ． 11．A解析：A 【分析】根据条件可得042z i -<，即复数0z 对应的点在以()0,4为圆心，2为半径的圆内部.01z -表示复数0z 对应的点到()1,0的距离，由圆的性质可得答案.【详解】因为042z i z z -+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆，所以042z i -<由复数的几何意义可知042z i -<表示复数0z 对应的点到()0,4的距离小于2. 即复数0z 对应的点在以()0,4为圆心，2为半径的圆内部.01z -表示复数0z 对应的点到()1,0的距离.如图，设()0,4C ,1,0AAC ==则0212AC z AC -<-<+,0212z <-< 故选：A【点睛】本题考查椭圆的定义的应用，考查复数的几何意义的应用和利用圆的性质求范围，属于中档题.12．A解析：A 【分析】先化简z ，求出a ，再判断即可. 【详解】()()2202022211112121211222a i a a i a z i i i i i +=-=-=-=-----+，z 不是纯虚数，则21022a -≠，所以21≠a ，即1a ≠±，所以1a ≠±是1a ≠的充分而不必要条件. 故选：A . 【点睛】本题主要考查根据复数的类型求参数，考查充分条件和必要条件的判断，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.二、填空题13．36【分析】若复数为虚数则分两种情况讨论即得解【详解】从集合中任取两个互不相等的数组成复数当时对应的有6个值；当取123456时对应的只有5个值所以虚数有（个）故答案为:36【点睛】本题考查了虚数的解析：36 【分析】若复数i a b +为虚数，则0,0a b =≠，分0,0a a =≠两种情况讨论即得解. 【详解】从集合{}0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数a ，b ，组成复数i a b +，当0a =时，对应的b 有6个值；当a 取1,2,3,4,5,6时，对应的b 只有5个值.所以虚数有66536+⨯=（个）.故答案为:36. 【点睛】本题考查了虚数的定义，考查了学生概念理解，数学运算，分类讨论的能力，属于基础题.14．6【分析】化简复数实部为3求出a 进而求出【详解】解：由题意知的虚部为6故答案为：6【点睛】本题考查复数的基础知识和含参复数的运算属于基础题解析：6 【分析】化简复数，实部为3,求出a ，进而求出2z . 【详解】解：7(7)(2)2(2)(2)ai ai i z i i i +++==--+(14)(72)1472555a a i a ai -++-+==+. 由题意知1435a-=，1a ∴=-， 3z i ∴=+，286z i ∴=+， 2z ∴的虚部为6. 故答案为：6. 【点睛】本题考查复数的基础知识和含参复数的运算，属于基础题.15．【分析】利用的幂的性质化简即可得答案【详解】所以原式故答案为：【点睛】本题考查复数的计算合理利用常见结论可使计算简便如等等解析：1i --【分析】利用i 的幂的性质化简即可得答案. 【详解】2019201633i i i i i =⋅==-，()1010202010102101010082222i 2i i i i 11i 2i 1i ⎡⎤⎛⎫-⎛⎫====⋅==-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭+⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以原式=1i --. 故答案为：1i --. 【点睛】本题考查复数的计算.合理利用常见结论可使计算简便，如4i 1n =，41i i n +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，()21i 2i +=，()21i 2i -=-，1i i=-等等.16．【分析】根据复数的几何意义可知复数对应的点的坐标为再根据该点位于第二象限得即而再用二次函数法求其取值范围【详解】因为复数对应的点的坐标为又因为该点位于第二象限所以解得所以因为所以故答案为：【点睛】本解析：⎫⎪⎪⎣⎭【分析】根据复数的几何意义，可知复数(2)(1)()z a a i a R =-++∈对应的点的坐标为21a a -+（,），再根据该点位于第二象限，得2010a a -<⎧⎨+>⎩即1a 2-<< ，而||z ===范围. 【详解】因为复数(2)(1)()z a a i a R =-++∈对应的点的坐标为()21a a -+,，又因为该点位于第二象限，所以20,10,a a -<⎧⎨+>⎩解得1a 2-<<.所以||z ===因为1a 2-<<，所以||,32z ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭.故答案为：2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【点睛】本题主要考查复数的几何意义，复数的模，还考查运算求解的能力，属于中档题.17．【分析】由题意画出图形数形结合得答案【详解】|z ﹣1﹣i|＝1的几何意义为复平面内动点到定点（11）距离为1的点的轨迹如图：|z ﹣3|可以看作圆上的点到点(30)的距离由图可知|z ﹣3|的最大值为故1【分析】由题意画出图形，数形结合得答案．【详解】|z ﹣1﹣i |＝1的几何意义为复平面内动点到定点（1，1）距离为1的点的轨迹，如图：|z ﹣3|可以看作圆上的点到点(3,0)的距离.由图可知，|z ﹣3|22(31)(01)151-+-=． 51．【点睛】本题考查复数模的求法，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．18．【分析】根据复数的乘法运算可求z 写出其共轭复数即可【详解】因为所以故填【点睛】本题主要考查了复数的运算共轭复数属于中档题解析：1i -【分析】根据复数的乘法运算可求z,写出其共轭复数即可. 【详解】因为()1z i i =-1i =+，所以 1z i =-，故填1i - 【点睛】本题主要考查了复数的运算，共轭复数，属于中档题.19．4【解析】∵∴∵表示满足的最小正整数∴当时满足第一次成立∴故答案为解析：4 【解析】∵21(1)1211(1)(1)11i i i i i i i +++-===--++ ∴1()()1ia a i i+=- ∵()a z 表示满足1n z =的最小正整数n∴当4n =时满足1n i =第一次成立 ∴()4a i = 故答案为4.20．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数再由复数在复平面内对应的点位于第四象限列出不等式组求解即可得结论【详解】在复平面内对应的点位于第四象限解得实数的取值范围是故答案为【点睛】复数是高考中的必解析：()1,2-【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由复数214tz t i+=-+在复平面内对应的点位于第四象限列出不等式组,求解即可得结论. 【详解】()()2222i 114441i i i t t z t t t t ⎡⎤-++=-+=-+=--+⎢⎥-⎣⎦，在复平面内对应的点位于第四象限,24010t t ⎧->∴⎨--<⎩，解得12t -<<， ∴实数t 的取值范围是()1,2-，故答案为()1,2-.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.三、解答题21．（1）52p =或2-；（2）2p =-或94．【分析】（1）根据韦达定理，得出12121,x x x x p +=-=，22121212()4x x x x x x -=+-，则可求出实数p 的值；（2）根据题意，对两根12,x x 进行分类讨论，一是两实根，二是一对共轭虚根，分别根据韦达定理求出实数p 的值. 【详解】解：（1）方程20x x p ++=有两个根1x ，2x ，则由韦达定理知：12121,x x x x p +=-=，22121212()4149x x x x x x p ∴-=+-=-=，52p ∴=或2-；（2）①当1x ，2x 为两个实根，140p =-≥，即14p ≤时， ()()2222121212121212222xx x x x x x x x x x x +=++=+-+，1229p p ∴-+=，则2p =-，②当1x ，2x 为一对共轭虚根，140p =-<，即14p >时，由123x x +=，12x x =，得132x =，由韦达定理可得2194p x ==，综上所述，2p =-或94. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用韦达定理，列出对应关系式，其中要注意对根的虚实情况进行讨论.22．(1) 12z i =-或2i z =-. (2) 3m =±，5n =. 【分析】（1）利用已知条件，设出复数z ，通过225(,)a b a b +=∈Z 及所对点所在位置求出即可复数z ；（2）利用（1），结合复数的乘法运算求解m ，n 的值【详解】（1）设(,)z a bi a b =+∈Z ，则225(,)a b a b +=∈Z ，因为z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以0a >，0b <，所以12a b =⎧⎨=-⎩或21a b =⎧⎨=-⎩，所以12z i =-或2i z =-.（2）由（1）知12z i =-或2i z =-，当12z i =-时，234z i =--；当2i z =-时234z i =-. 因为()22m m n i z --=，所以234m m n =±⎧⎨-=⎩，解得3m =±，5n =. 【点睛】本题考查复数的模长公式，考查复数的乘法运算，考查计算能力，是基础题 23．（1）23z i =-；（2）11m -<< 【解析】试题分析：（1）根据复数的四则运算即可求得；（2）将23Z i =-代入得()()23123Z m m m i =--+--，由复数的概念和几何意义得()210230m m m ⎧-->⎨--<⎩，解得11m -<<. 试题（1）1255z z i =-+，21555532i iz i z i-+-+===--+ （2）()()()2323231z z m m m i ⎡⎤=---+-⎣⎦()()2231i m m m i ⎡⎤=--+-⎣⎦()()2123m m m i =--+--由于3z 所对应的点在第四象限，，所以实数m 的取值范围是24．最大值7；最小值3．【分析】先根据绝对值定义得不等式，再根据绝对值三角不等式求最值. 【详解】由已知等式得()4320z i --+-≤()|||43|4322||523||7z i z i z z ∴--+≤--+≤∴-≤-≤∴≤≤所以z 最大值为7； z 最小值为3．【点睛】本题考查复数模、绝对值三角不等式，考查基本分析求解能力，属中档题. 25．（1）6π，23π；（2）①周期T π=，单调减区间511[,]1212k k ππππ++，k ∈Z ；②78-【分析】根据复数相等的概念列方程，求得关于,,sin 2,cos 2m x x λ的关系式. （1）将0λ=代入上述求得的关系式，由此解出x 的值. （2）由上述求得的关系式，求得()f x λ=的表达式.①利用辅助角公式和三角函数最小正周期和的单调减区间的求法，求得()f x 的最小正周期和单调递减区间.②利用二倍角公式和诱导公式，求得cos(4)3πα+的值.【详解】由于12z z =，所以sin 232x mm x λ=⎧⎪⎨=⎪⎩，故sin 232x x λ=.（1）当0λ=时，sin 2320x x -=，则tan 23x =0πx <<所以022πx <<，所以π23x =或4π23x =，所以π6x =或2π3x =.（2）由于sin 22x x λ=，故()πsin 222sin 23f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. ①函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.由ππ3π2π22π232k x k +≤-≤+，解得5π11πππ1212k x k +≤≤+，所以函数()f x 的单调递减区间为511[,]1212k k ππππ++，k ∈Z . ②依题意π1sin 222sin 232x αα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以π1sin 234α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.所以ππcos 4cos 2236αα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22ππ2cos 212sin 2163αα⎛⎫⎛⎫=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1721168=⨯-=-.【点睛】本小题主要考查复数相等的概念，考查辅助角公式，考查三角函数最小正周期、单调区间的求法，考查二倍角公式和诱导公式，考查运算求解能力，属于中档题. 26．（1）214i --（2）552i - 【详解】（1）()()2134i 510i 214.AB z z i =-=--+=--所以AB 对应用的复数为214i --. （2）由题得121212111z z z z z z z +=+= 1212552z z z i z z ∴==-+。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》检测题(有答案解析)2

一、选择题1．若341i z iz i +=+-（i 是虚数单位），则||z =（） A ．32 B ．2 C ．52 D ．32．已知复数z 满|12||2|22z i z i ---++=（i 是虚数单位），若在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 的轨迹为（）A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．两条射线D ．一条射线3．若202031i i z i+=+，则z 在复平面内对应点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．设复数z=()()12i i a ++为纯虚数，其中a 为实数，则a =（）A ．2-B ．12-C ．12D ．2 5．化简 31i i-++＝（） A ．12i -+ B ．12i - C ．12i + D ．12i -- 6．已知复数3412i z i +=-，是z 的共轭复数，则z 为 ( ) A ．55 B ． 2215 C ．5D ．57．复数 z 与复数 ()i 2i -互为共轭复数（其中 i 为虚数单位），则 z =（） A ．12i - B ．12i + C ．12i -+ D ．12i --8．已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()()2,1,0,1--，则122z z z +=（） A ．22i + B ．22i - C ．2i -+ D ．2i -- 9．设复数z 满足1i 2z --=z 的最大值为（）． A 2B ．2 C ．22D ．410．若复数z 满足()2117z i i -=+（i 为虚数单位），则z =（）A ．35i +B ．35i -C ．35i -+D ．35i --11．已知复数3z a i =+，其中a R ∈.若4z R z+∈，则a = A ．1 B ．1- C ．1或1- D ．012．在复平面内，复数65,23i i +-+对应的点分别为,A C .若C 为线段AB 的中点，则点B 对应的复数是( )A ．24i +B ．82i +C ．82i --D ．10i -+二、填空题13．若复数z 满足||1z i -=（i 是虚数单位），则z 的模的取值范围是________. 14．复数z 满足114z z -++=则复数z 对应点表示的曲线是 _____________.15．设复数z 满足(1)1z i i -=+（i 为虚数单位），则z 的模为________．16．下列四个命题中，正确命题的个数是___________.①0比i 小②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数③1x yi i +=+的充要条件为1x y ==④如果实数a 与ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应17．已知i 为虚数单位，设2391z i i i i =+++++，则z =______．18．若实数,x y 满足()()3235x y x y i i -++=+，则x y += __________．19．下列说法正确的是_______．（填上所有正确答案的序号）①3265->-；② 任何集合都有子集；③ 实数没有共轭复数；④ 命题“正三角形的三条边全相等．”的逆否命题是“如果一个三角形的三条边全不相等，那么这个三角形不是正三角形．”20．设复数1=-i z i，则z =_____________．三、解答题21．实数m 取怎样的值时，复数226(215)z m m m m i =--+--是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？22．已知复数2(1)36z i i =-++.(1)求z 及z ，（2）若2820z az b i ++=-+，求实数,a b 的值．23．已知复数()()2226z m m m m i =-++-所对应的点分别在（1）虚轴上；（2）第三象限．试求以上实数m 的值或取值范围．24．已知复数（1）m 取什么值时，z 是实数？（2）m 取什么值时，z 是纯虚数？25．已知复数22(232)(32)z m m m m i =--+-+，(其中i 为虚数单位)（1）当复数z 是纯虚数时，求实数m 的值；（2）若复数z 对应的点在第三象限，求实数m 的取值范围.26．已知复数z 满足(2)z i a i -=+()a R ∈．（1）求复数z ；（2）a 为何值时，复数2z 对应点在第一象限．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】结合复数的四则运算,计算z ，结合复数模长计算公式，计算，即可．【详解】()3411i i z i +-=-,化简,得到322z i =-+,因此52z ==,故选C. 【点睛】考查了复数的四则运算，考查了复数的模长计算公式，难度中等．2．B解析：B【分析】利用两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离，得出等式的几何意义，结合双曲线的定义，即可求解.【详解】因为复数z 满|12||2|z i z i ---++=（i 是虚数单位），在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 到点(1,2)的距离减去到点(2,1)--的距离之差等于而点(1,2)与点(2,1)--之间的距离为根据双曲线的定义，可得点Z 表示(1,2)和(2,1)--为焦点的双曲线的一支.故选：B.【点睛】本题主要考查了复数的几何意义及其应用，其中解答中根据复数模的几何意义，结合双曲线的定义求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.3．A解析：A【分析】化简得到2z i =+，得到答案.【详解】()()()()202013131342211112i i i i i i z i i i i i +-+++=====++++-，对应的点在第一象限. 故选：A .【点睛】本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力.4．D解析：D【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a 值.【详解】()()()()12i i 212i z a a a =++=-++为纯虚数，20120a a -=⎧∴⎨+≠⎩，解得2a =，故选D. 【点睛】本题主要考查的是复数的乘法运算以及纯虚数的定义，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误.5．A解析：A【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由复数的运算法则有：()()()()31324121112i i i i i i i i -+--+-+===-+++-. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6．C解析：C【解析】分析：利用复数模的性质直接求解．详解：∵3412i z i+=-，∴34341212i i z z i i ++=====-- 故选C ．点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈的模为z =1212z z z z =，1122z z z z =． 7．A解析：A【解析】分析：利用复数代数形式的乘法运算化简i(2i)-，再用共轭复数的概念得到答案, 详解：因为(2)12i i i -=+，又复数z 与复数i(2i)-互为共轭复数，所以12z i =-，故选A.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及的知识点有复数的乘法运算以及复数的共轭复数，属于基础题目.8．A解析：A【解析】分析：首先确定复数12,z z ，然后结合题意进行复数的混合运算即可.详解：由题意可得：122,z i z i =-=-，则：()1222212i i z i i z i i --===+--，21z =，据此可得：12222z z i z +=+. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查复数的定义及其运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．C解析：C【分析】通过复数的几何意义，得到最大值为直径，计算得到答案.【详解】复数z 对应复平面上的点是以()1,1z的最大值即为圆的直径故选C【点睛】本题考查了复数模的最大值，找出对应的几何意义是解题的关键.10．B解析：B【分析】根据复数的运算，求得35z i =+，再根据共轭复数的概念，即可曲解．【详解】由复数z 满足()2117z i i -=+，即()()()()11721171525352225i i i i z i i i i ++++====+--+，所以35z i =-，故选B ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，及共轭复数的概念，其中解答中熟记复数的运算法则和共轭复数的概念是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 11．C解析：C【解析】【分析】首先求解4z z+，然后得到关于a 的方程，解方程即可求得实数a 的值. 【详解】由题意可得： 4z a z +=++()243a a a =++22441133a i a a ⎛⎫⎫=+- ⎪⎪++⎝⎭⎭，若4z R z +∈，则24103a -=+，解得：a =1或1-. 本题选择C 选项.【点睛】复数的基本概念和复数相等的充要条件是复数内容的基础，高考中常常与复数的运算相结合进行考查，一般属于简单题范畴.12．D解析：D【解析】分析：根据两个复数对应的点的坐标分别为(6,5)A ，(2,3)C -，由C 为线段AB 的中点即可确定中点B 的坐标，从而可得答案．详解：∵复数65,23i i +-+对应的点分别为,A C∴(6,5)A ，(2,3)C -∵C 为线段AB 的中点∴(10,1)B -∴点C 对应的复数是10i -+故选D.点睛：本题考查复平面的基本知识及中点坐标公式．求解此类问题要能够灵活准确的对复平面内的点的坐标与复数进行相互转化，复数(,)x yi x y R +∈与复平面内(,)x y 一一对应.二、填空题13．【分析】由题意画出图形数形结合可得答案【详解】解：由可得在复平面内对应点在以为圆心以1为半径的圆上如图则圆上的点到原点的距离的最小值为最大值为根据复数的模的几何意义可得复数的模的取值范围是故答案为：解析：[0,2]【分析】由题意画出图形，数形结合可得答案．【详解】解：由||1z i -=，可得z 在复平面内对应点在以(0,1)为圆心，以1为半径的圆上，如图，则圆上的点到原点的距离的最小值为0，最大值为2，根据复数的模的几何意义可得，复数z 的模的取值范围是[0,2]，故答案为：[0,2]．【点睛】本题考查复数模的求法，考查数形结合的解题思想方法，属于基础题．14．椭圆【分析】设利用复数摸的公式化简等式再由椭圆的定义即可判断【详解】设代入可得所以式子的几何意义是：点到点与点的距离之和为定值4又所以复数对应点表示的曲线为以点与点为焦点的椭圆故答案为：椭圆【点睛】解析：椭圆【分析】设z x yi =+，利用复数摸的公式化简等式，再由椭圆的定义即可判断.【详解】设z x yi =+，代入114z z -++=可得114-++++=x yi x yi ， ()()2222114x y x y -+++=，式子的几何意义是：点(),z x y 到点1,0A 与点()1,0B -的距离之和为定值4，又24=<AB ，所以复数z 对应点表示的曲线为以点1,0A 与点()1,0B -为焦点的椭圆.故答案为：椭圆【点睛】本题主要考查复数模的公式，解题的关键是对椭圆定义的理解，属于中档题.15．【分析】根据复数的运算可得再利用模的计算公式即可求解【详解】由题意复数满足则则的模为【点睛】本题主要考查了复数的运算以及复数模的计算其中解答中熟记复数的运算法则以及复数模的计算公式是解答的关键着重考解析：【分析】根据复数的运算可得11i z i i +==-，再利用模的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足(1)1z i i -=+，则()()()()11121112i i i i z i i i i +++====--+，则z 的模为1z i ==.【点睛】本题主要考查了复数的运算以及复数模的计算，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 16．0【分析】根据复数相关概念逐一判断【详解】比不可比较大小；两个复数互为共轭复数则它们的和为实数反之不成立如2与3；当为实数时的充要条件为；因为当时所以实数集与纯虚数集不一一对应；综上无正确命题即正确解析：0【分析】根据复数相关概念逐一判断.【详解】0比i 不可比较大小；两个复数互为共轭复数，则它们的和为实数，反之不成立，如2与3；当x y ，为实数时1x yi i +=+的充要条件为1x y ==；因为当0a =时0,ai =所以实数集与纯虚数集不一一对应；综上无正确命题，即正确命题的个数是0.【点睛】本题考查复数相关概念，考查基本分析判断能力，属基本题.17．【分析】由于是以4为周期的数列所以相连的四项和为0由此求得【详解】由于所以即=所以填【点睛】记住以下结论可提高运算速度(1)(1±i)2＝±2i ；(2)；(3)；(4)－b ＋ai ＝i(a ＋bi)；(【分析】由于n i 是以4为周期的数列，所以相连的四项和为0，由此求得1z i =+．【详解】由于4414243i 1,i i,i 1,i i n n n n +++===-=-，所以44142430n n n n i i i i ++++++=，即2391z i i i i =+++++=1i +,所以|2|z =，填2．【点睛】记住以下结论，可提高运算速度(1)(1±i)2＝±2i ；(2)11i i i +=-；(3)11+i i i-=-；(4)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)； (5)i 4n ＝1；i 4n ＋1＝i ；i 4n ＋2＝－1；i 4n ＋3＝－i(n ∈N)．18．1【解析】因为实数满足所以解得故答案为解析：1【解析】因为实数,x y 满足()()3235x y x y i i -++=+，所以35{231x y x y -=+= 解得2{1x y ==- ， 1x y +=，故答案为1 .19．①②【解析】试题分析：①通过两边平方可证明是正确的；②一个集合的自己包括空集和它本身所以是正确的；③实数的共轭复数是还是实数；④逆否命题应该为如果一个三角形的三条边不全相等那么这个三角形不是正三角形解析：①②【解析】试题分析：①通过两边平方可证明是正确的；②一个集合的自己包括空集和它本身，所以是正确的；③实数的共轭复数是还是实数；④逆否命题应该为如果一个三角形的三条边不全相等，那么这个三角形不是正三角形考点：命题子集复数分析法证明20．【解析】试题分析：因为所以故应填考点：复数的基本概念及其运算解析：．【解析】试题分析：因为1iz i=-，所以z =，故应填．考点：复数的基本概念及其运算．三、解答题21．（1）5m =或3m =-；（2）5m ≠且3m ≠-；（3）3m =或2m =-【分析】（1）由虚部等于0列式求解m 的值；（2）由虚部不等于0列式求解m 的值；（3）由实部等于0且虚部不等于0列式求解m 的值.【详解】（1）当22150m m --=，即5m =或3m =-时，z 的虚部等于0，所以当5m =或3m =-时，z 为实数；（2）当22150m m --≠时，即5m ≠且3m ≠-时，z 为虚数；（3）当22602150m m m m ⎧--=⎨--≠⎩时，即3m =或2m =-时，z 为纯虚数. 【点睛】该题考查的是有关根据复数的类别求解参数的值的问题，涉及到的知识点有复数的分类，属于简单题目.22．(1) 34,5z i z =+=.(2) 1,2a b =-=.【分析】()1利用复数代数形式的运算进行化简求得z ，根据求模公式可得z()2由()1把z 代入等式，利用复数相等的充要条件可得方程组，解出即可得到答案【详解】（1）解：（1）依题意得，（2）解得：【点睛】本题主要考查了复数代数形式的运算和求模公式，复数相等的充要条件23．（1）0m =;（2）02m <<.【分析】（1）由题()()2226z m m m m i =-++-在虚轴上，则为纯虚数，即满足()0,,0a z a bi ab R b =⎧=+∈⎨≠⎩，建立关于m 的方程组，即可得结果；（2）由()()2226z m m m m i =-++-在复平面上对应的点位于第三象限，即要实部小于零，虚部小于零，可得关于m 的不等式组，建立不等式组可解出.【详解】（1）由，解得m=0．∴若复数()()2226z m m m m i =-++-所对应的点在虚轴上，m=0；（2）由复数()()2226z m m m m i =-++-所对应的点在第三象限，得；，解得；0＜m ＜2．【点睛】本题主要考查复数的几何意义，考查了虚轴的定义，意在考查对基础知识的掌握与灵活应用，属于中档题.24．（1）；（2）3 【解析】试题分析：本题考查了复数的基本概念，明确实数的条件是复数的虚部是0，且分式的分母有意义第二问明确复数是纯虚数的条件是虚部不为0而实部为0．试题（1）解当时，z 为实数（2）解：当时，z 为纯虚数考点：复数是实数，纯虚数的条件．25．（1）,（2）()1,2m ∈ 【详解】（1）由题意有时，解得，即时，复数为纯虚数.（2）由题意有：222320{320m m m m --<-+<，解得：12{212m m -<<<<，所以当()1,2m ∈时，复数z 对应的点在第三象限考点：纯虚数概念26．（1）3z ai =-（2）30a -<<【详解】（1）由已知得21a i z ai i+-==-，∴3z ai =-．（2）由（1）得2296z a ai =--，∵复数2z 对应点在第一象限，∴290{60a a ->->，解得30a -<<．。

高中数学选修2-2同步练习题库：复数代数形式的四则运算(填空题：容易)

复数代数形式的四则运算（填空题：容易）1、为虚数单位，计算．2、复数_____．3、若复数，则_____.4、复数的实部为_______．5、已知为实数，为虚数单位，若为实数，则________．6、复数__________．7、计算__________．（为虚数单位）8、设是虚数单位，则=________9、已知复数满足（为虚数单位），则_______．10、已知复数（是虚数单位），则的实部是______．11、复数__________．12、复数（2+i）·i的模为___________.13、复数所对应的点在复平面内位于第________象限．14、设，则__________．15、设为序数单位，则__________．16、若复数满足，则__________．17、已知（为虚数单位），则__________．18、是虚数单位，复数__________．19、设复数（，为虚数单位）．若，则的值是____．20、已知是虚数单位，若，则 __________．21、复数__________．22、复数满足，则__________．23、复数在复平面内对应的点位于第__________象限．24、复数的共轭复数是__________．25、已知i是虚数单位，复数z满足，则_____．26、已知复数，则复数的虚部为．27、已知复数z与（z-3）2+5i 均为纯虚数，则z= ．28、设复数z满足（z＋i）i＝－3＋4i（i为虚数单位），则z的模为．29、设i为虚数单位，则（1＋i）5的虚部为________．30、设为虚数单位，若复数31、复数（是虚数单位）的虚部是_______。

32、复数（为虚数单位），则______．33、设为虚数单位，若，则复数的虚部为 .34、设复数z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z= ．35、已知复数z满足z（1+i）=2﹣4i，那么z= ．36、设是虚数单位，则复数等于__________．37、复数的虚部为．38、如果是实数,那么实数．39、复数．40、设是虚数单位，则= ．41、设i是虚数单位，则复数＝_____________.42、复数（为虚数单位），则．43、设复数满足（为虚数单位），则= ．44、是虚数单位，复数 .45、设，其中是虚数单位，则．46、若复数，且,则实数=______．47、已知复数（其中是虚数单位），则．48、复数___________49、为虚数单位，复数= ．50、设复数满足（为虚数单位），则的共轭复数．51、若是虚数单位，复数满足,则的虚部为_________．52、已知复数，其中是虚数单位，则．53、已知，其中、为实数，则 .54、若（是虚数单位），则_________．55、为虚数单位，复数= ．56、若复数（为虚数单位）,则复数的模 .57、i + i2 + i3+ + i2012= .58、已知复数，则 .59、已知复数满足（为虚数单位），则 .60、已知复数（其中i为虚数单位），则= .61、复数的模等于______.62、复数的值等于__________．63、计算 .64、已知复数，则= ；65、已知复数，则= ；66、已知复数，则z的虚部为．67、已知复数，则z的虚部为．68、设（i为虚数单位），则69、已知是虚数单位,则复数的共轭复数是_____________70、是虚数单位，计算_________.参考答案1、2、3、4、25、-26、7、8、9、110、11、12、13、四14、15、16、17、218、19、20、21、1.22、23、二24、25、；26、-227、28、29、30、31、32、533、34、3+5i．35、36、37、-138、-139、40、-141、2i42、43、44、45、46、047、48、49、．50、51、.52、53、354、.55、.56、57、058、559、60、561、62、163、64、65、66、167、168、69、70、【解析】1、试题分析：．考点：复数除法运算．2、；故填.3、故答案为4、，故复数的实部为2。

(压轴题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》测试题(包含答案解析)(2)

一、选择题1．已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则a bi +=（）A ．2B ．2C ．5D ．52．已知i 是虚数单位，则复数1012ii-的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知复数z x yi =+，x ∈R ，y R ∈，满足114z z ++-=，则点()x y ，的轨迹是（） A ．线段 B ．圆 C ．双曲线 D ．椭圆 4．若复数z 满足(34)25i z i +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是A ．3iB ．3i -C ．3D ．-35．若复数满足，则复数的虚部为（）A ．B ．C ．D ．6．已知(,)z x yi x y R =+∈且1z =，则3x y 的最大值（） A ．13B ．2C ．1D 37．在下列命题中，正确命题的个数是（）①若z 是虚数，则20z ；②若复数2z 满足2z ∈R ，则z R ∈；③若复数11z i =+，2z t i =+，且12z z ⋅对应的复数位于第四象限，则实数t 的取值范围是()1,1-；④若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==. A ．0B ．1C ．2D ．38．已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()()2,1,0,1--，则122z z z +=（） A ．22i +B ．22i -C ．2i -+D ．2i --9．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（） A ．1B ．iC ．1-D ．i -10．已知2(1i)=1i z(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数等于（）A ．1i --B ．1i -C ．1i -+D ．1i +11．复数1234ii-+在复平面上对应的点位于第________象限 A ．一B ．二C ．三D ．四12．已知t ∈R ，i 为虚数单位，复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则t 等于( )A ．34B ．43C ．43-D ．34-二、填空题13．复数z 满足114z z -++=则复数z 对应点表示的曲线是 _____________.14．计算10251(12)()1i i i i+-⋅+=-__.15．若复数z 满足221(1)2i z i ⎛⋅=+ ⎝⎭，则z =_______________. 16．已知i 为虚数单位，若(1)2z i i ⋅+=，则复数z =________． 17．已知i 为虚数单位，计算1i1i-=+__________． 18．已知复数z=i （2+i ），则|z|=___．19．已知复数()()13i z m m m R =-+-∈对应的点在x 轴上方，则m 的取值范围是_______．20．复平面内，已知复数13z x i =-所对应的点都在单位圆内，则实数x 的取值范围是__________．三、解答题21．已知复数0z 满足00|215|10|z z ++，（1）求证：0||z 为定值；（2）设12i x +=，0n n z z x =，若1||n n n a z z -=-，*n N ∈，求12lim()n n a a a →∞++⋯+． 22．实数m 取怎样的值时，复数226(215)z m m m m i =--+--是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？23．（1）设复数z 和它的共轭复数z 满足：42i z z +=，求复数z ；（2）设复数z 满足：228z z ++-=，求复数z 对应的点的轨迹方程. 24．已知复数22(34)(224)z m m m m i =+-+--()m R ∈．（1）若复数z 所对应的点在一、三象限的角平分线上，求实数m 的值；（2）若复数z 为纯虚数，求实数m 的值．25．已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，12z z ⋅是实数，求2z ．26．已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i }，P ＝{－1，1，4i }，若M P P =，求实数m的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于,a b 的方程组，解得,a b 的值，进而可得答案. 【详解】因为(1)(1)1(1)i bi b b i a +-=++-=，结合,a b ∈R ，所以有110b a b +=⎧⎨-=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以2a bi i +=+==故选C. 【点睛】该题考查的是有关复数的模的问题，涉及到的知识点有复数相等的条件，属于简单题目.2．C解析：C 【分析】先计算出104212ii i=-+-，求出其共轭复数，即得解. 【详解】由题得1010(12)20104212(12)(12)5i i i ii i i i +-+===-+--+，所以1012ii-的共轭复数为42i --，它对应的点为(4,2)--，在第三象限. 故选：C 【点睛】本题主要考查复数的除法和共轭复数，考查复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．D解析：D 【分析】根据复数模长的几何意义，结合椭圆的定义知，复数z 对应的点在某一椭圆上．【详解】复平面上，复数z 满足114z z ++-=，则z 对应的点M 到点()11,0F -，点()21,0F 的距离和为4，即12124,24MF MF F F +==<， ∴复数z 对应的点M 在以12,FF 为焦点，长轴长为4的椭圆上．故选：D ．【点睛】本题考查了复数的代数形式与模长几何意义应用问题，也考查了椭圆的定义应用问题，是基础题．4．C解析：C 【分析】本道题目可以设出z a bi =+,然后结合待定系数法,计算参数,即可得出答案. 【详解】设z a bi =+,代入原式得到()()()()34343434i z i a bi a b b a i +=++=-++ 结合待定系数法得到340,3425a b b a -=+=,解得3b =, 故选C. 【点睛】本道题目考查了待定系数法和复数的四则运算,注意虚部是指i 的系数.5．B解析：B 【解析】分析：先根据复数除法法则得复数，再根据复数虚部概念得结果. 详解：因为，所以，因此复数的虚部为，选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为6．B解析：B 【解析】分析：由1z =可得221x y +=，可设cos x θ=，sin y θ=，R θ∈，可得32sin()6x πθ+=+，进而利用正弦函数的性质求出答案．详解：∵(),z x yi x y R =+∈且1z = ∴221x y +=设cos x θ=，sin y θ=，R θ∈. ∴3cos 32sin()6x πθθθ+=+=+∴x 的最大值是2 故选B.点睛：本题主要考查复数的求模公式及三角函数的性质，解答本题的关键是利用三角换元结合三角函数的性质求函数的最值．7．B解析：B 【解析】分析：利用复数的知识对每一个命题逐一分析判断.详解：对于①,举例z=1+i ,但是22z i =，但是不能说2i≥0，因为虚数和实数不能比较大小.所以①不正确.对于②，举例z=i ，所以21,z R =-∈但是i R ∉,所以②不正确. 对于③，12z z ⋅=(1)()1(1),i t i t t i +-=++-所以10,1 1.10t t t +>⎧∴-<<⎨-<⎩所以③正确.对于④，若()()2212230z z z z -+-=，举例1232,1,1,z z z i ===-但是123z z z ==不成立.所以④不正确. 故答案为B点睛：（1）本题主要考查复数的基础知识，意在考查学生对复数的基础知识的掌握能力.(2)判断命题的真假时，要灵活，可以证明，也可以举反例.8．A解析：A 【解析】分析：首先确定复数12,z z ，然后结合题意进行复数的混合运算即可. 详解：由题意可得：122,z i z i =-=-，则：()1222212i i z i i z i i --===+--，21z =，据此可得：12222z z i z +=+. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查复数的定义及其运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．A解析：A 【解析】()12i z i +=22(1)112i i i z i i -⇒===++，所以z 的虚部是1，选A. 10．A【解析】【分析】由复数的运算法则，化简复数1z i =-+，再根据共轭复数的概念，即可求解，得到答案．【详解】由题意，复数满足2(1)=1i i z，即221(1)2=11111i i i iz i i ii i，所以复数z 的共轭复数等于1z i =--，故选A ．【点睛】本题主要考查了复数的运算法则，以及共轭复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则，准确求解复数z 是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．11．C解析：C 【解析】【分析】将复数化简为a bi +的形式，得到(,)a b ，就可以得到答案．【详解】 ∵复数12(12)(34)5101234(34)(34)2555i i i i i i i i -----===--++- ∴复数1234ii-+在复平面上对应的点位于第三象限故选C. 【点睛】复数化简为a bi +的形式，是解题关键，a b 、的符号决定复数在复平面上对应的点位于的象限．基础题目．12．D解析：D 【详解】因为z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，所以z 1·z 2＝(3t －4)＋(4t ＋3)i ，又z 1·z 2是实数，所以4t ＋3＝0，所以t ＝34-. 故选：D.二、填空题13．椭圆【分析】设利用复数摸的公式化简等式再由椭圆的定义即可判断【详解】设代入可得所以式子的几何意义是：点到点与点的距离之和为定值4又所以复数对应点表示的曲线为以点与点为焦点的椭圆故答案为：椭圆【点睛】解析：椭圆设z x yi =+，利用复数摸的公式化简等式，再由椭圆的定义即可判断. 【详解】设z x yi =+，代入114z z -++=可得114-++++=x yi x yi ，4=，式子的几何意义是：点(),z x y 到点1,0A 与点()1,0B -的距离之和为定值4，又24=<AB ，所以复数z 对应点表示的曲线为以点1,0A 与点()1,0B -为焦点的椭圆.故答案为：椭圆【点睛】本题主要考查复数模的公式，解题的关键是对椭圆定义的理解，属于中档题.14．【分析】由复数的除法和乘法化简再求即可【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的四则运算属于中档题解析：13i -+【分析】由复数的除法和乘法化简11i i+-，102i ，再求10251(12)()1i i i i +-⋅+-即可. 【详解】221(1)121(1)(1)2i i i i i i i i ++++===-+-，()51102251(1)1i i ==-=- 102551(12)()1212131i i i i i i i i i+∴-⋅+=-++=-++=-+-故答案为：13i -+ 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，属于中档题.15．【分析】利用复数的四则运算得出结合共轭复数的定义即可得出答案【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及共轭复数的定义属于中档题 i【分析】利用复数的四则运算得出z i ，结合共轭复数的定义，即可得出答案.【详解】()2222112(1)12i i i z i i ⎛⎫⎫+- ⎪⎪⎫+==⎪⎪⎛⎝⎭+ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭=⎝z i ∴=i 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及共轭复数的定义，属于中档题.16．【解析】【分析】由题意利用复数的除法运算法则确定z 的值即可【详解】【点睛】本题主要考查复数的除法运算属于基础题解析：1i +. 【解析】【分析】由题意利用复数的除法运算法则确定z 的值即可. 【详解】()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-. 【点睛】本题主要考查复数的除法运算，属于基础题.17．【解析】分析：根据复数除法法则求解详解：复数点睛：首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数相关基本概念如复数的实部为虚部为模为对应点为共轭为解析：i -【解析】分析：根据复数除法法则求解. 详解：复数1i (1)(1)2ii 1i (1)(1)2i i i i ----===-++-．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi18．【解析】分析：先计算复数再根据复数的模的定义求结果详解：点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念属于基本题首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数相关基本概念如复数的【解析】分析：先计算复数，再根据复数的模的定义求结果.详解：(2)21z i i i z =+=-∴==点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi19．【解析】分析：首先根据复数在复平面内对应的点的坐标为之后根据坐标系中各个象限内的点的横纵坐标的符号结合题中要求点落在轴上方要求其纵坐标大于零从而确定出所满足的不等关系式最后求得结果详解：复数在复平面解析：3m <. 【解析】分析：首先根据复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,3)m m +-，之后根据坐标系中各个象限内的点的横纵坐标的符号，结合题中要求点落在x 轴上方，要求其纵坐标大于零，从而确定出m 所满足的不等关系式，最后求得结果.详解：复数()()13,z m m i m R =-+-∈在复平面上对应的点的坐标为(1,3)m m --，如果该点落在x 轴上方，则有30m ->，解得3m <.点睛：该题考查的是有关复数在复平面内对应的点的坐标的问题，应用实部是横坐标，虚部是纵坐标，结合题中的要求，列出式子，求得结果.20．【详解】∵z 对应的点z(x －)都在单位圆内∴|z|<1即<1∴x2+<1∴x2<∴－解析：222233x -<<【详解】 ∵z 对应的点z (x ,－)都在单位圆内， ∴|z|<1,即<1.∴x 2+<1.∴x 2<. ∴－.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）356 【分析】（1）设0(,)z x yi x y R =+∈，利用00|215|310|z z +=+，可得2275x y +=，即可证明：0||z 为定值；（2）12||532nn n n a z z -⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，再求极限．【详解】（1）证明：设0(,)z x yi x y R =+∈，则00|215|10|z z ++，|2152|10|x yi x yi ∴+++-，2222(215)(2)3(10)3x y x y ∴++=++， 2275x y ∴+=，0||z ∴= （2）解：12ix +=，0n n z z x =， 12||32nnn n a z z-⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭，121nn a a a ⎫⎪-⎪⎝⎭∴++⋯+=∴121lim()nnn n a a a →∞⎫⎪-⎪⎝⎭++⋯+===．【点睛】本题考查复数模的计算，考查极限的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 22．（1）5m =或3m =-；（2）5m ≠且3m ≠-；（3）3m =或2m =- 【分析】（1）由虚部等于0列式求解m 的值；（2）由虚部不等于0列式求解m 的值；（3）由实部等于0且虚部不等于0列式求解m 的值. 【详解】（1）当22150m m --=，即5m =或3m =-时，z 的虚部等于0，所以当5m =或3m =-时，z 为实数；（2）当22150m m --≠时，即5m ≠且3m ≠-时，z 为虚数；（3）当22602150m m m m ⎧--=⎨--≠⎩时，即3m =或2m =-时，z 为纯虚数.【点睛】该题考查的是有关根据复数的类别求解参数的值的问题，涉及到的知识点有复数的分类，属于简单题目.23．（1）1i 2z =+；（2）2211612x y +=【解析】分析：（1）设(),z x yi x y R =+∈，由题意结合复数的运算法则可得62x yi i +=，则12x y ==，12z i =+. （2）设复数(),z x yi x y R =+∈，由题意可得()884=>，则其轨迹是椭圆，轨迹方程为：2211612x y +=. 详解：（1）设(),z x yi x y R =+∈，则4262z z x yi +=+，由42z z i +=可得：62x yi i +=，所以12x y ==，12z i ∴= （2）设复数(),z x yi x y R =+∈，由228z z ++-=得：()884=>，其轨迹是椭圆，此时28,4a a ==，24,2c c ==，212b =，所求的轨迹方程为：2211612x y +=. 点睛：求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义先定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法，其关键是准确应用解析几何中有关曲线的定义．24．（1）4m =-；（2）1m =.【解析】试题分析：（1）利用实部与虚部相等列方程求解即可；（2）利用实部为零列方程，验证虚部不为零即可得结果.试题（1）复数z 所对应的点在一、三象限的角平分线上，∴ 2234224m m m m +-=--，解得 4m =-.（2）复数z 为纯虚数，∴ 22340{2240m m m m +-=--≠ 41{46m m m m =-=≠-≠或且解得 1m =. 25．242z i =+【解析】解：1(2)(1)1z i i -+=-⇒12z i =-（4分）设22,z a i a R =+∈，则12(2)(2)(22)(4)z z i a i a a i =-+=++-，（12分） ∵12z z R ∈，∴242z i =+（12分）26．m ＝1或m ＝2.【分析】先由M P P =，知M 是P 的子集，再依据集合中元素的互异性得复数22(2)(2)m m m m i -++-的取值，最后根据复数相等的定义即可解出m ．【详解】由MP P =，知M 是P 的子集，从而可知22(2)(2)1m m m m i -++-=-或4i ．由22(2)(2)1m m m m i -++-=-，得222120m m m m ⎧-=-⎨+-=⎩，解之得：1m =，由22(2)(2)4m m m m i i -++-=，得222024m m m m ⎧-=⎨+-=⎩，解之得：2m =，综上可知：1m =或2m =．【点睛】本题主要考查了并集及运算、复数的基本概念，是一道复数与集合交汇的题目，属于基础题.。

新人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》检测卷(有答案解析)

一、选择题1．设a R ∈，则复数22121a aiz a-+=+所对应点组成的图形为（） A ．单位圆B ．单位圆除去点()1,0±C ．单位圆除去点()1,0D ．单位圆除去点()1,0-2．在复平面内,复数1i +与13i +分别对应向量OA 和OB ,其中O 为坐标原点,则AB =（）ABC ．2D ．43．213(1)ii +=+（） A ．3122i - B ．3122i + C ．3122i -- D ．3122i -+ 4．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知复数()()31z m m i m Z =-+-∈在复平面内对应的点在第二象限，则1z=（）A B ．2C D ．126．“复数3iia z -=在复平面内对应的点在第三象限”是“0a ≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知集合，()(){}221,3156M m m m m i =--+--，{}1,3N =，{}1,3M N ⋂=，则实数m 的值为（） A ．4 B ．－1 C ．4或－1 D ．1或6 8．已知i 为虚数单位，（1＋i ）x ＝2＋yi ，其中x ，y ∈R ，则｜x ＋yi ｜＝A ．B ．2C ．4D9．设3iz i+=，i 是虚数单位，则z 的虚部为（） A ．1B ．-1C ．3D ．-310．已知复数z 满足()12i z i -=+，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．i 为虚数单位，复平面内表示复数2iz i-=+的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限12．设i 为虚数单位，a R ∈，“复数2202021a i z i=--不是纯虚数“是“1a ≠”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题13．设z 为复数，且1z =，当23413z z z z ++++取得最小值时，则此时复数z =______.14．已知(1,1)OP =，将OP 按逆时针方向旋转3π得到OZ ，则Z 点对应的复数为________.15．设复数z ，满足11z =，22z =，12z z i +=，则12z z -=____________． 16．设复数z 满足1z =，且使得关于x 的方程2230zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的和为______.17．已知复数34z i =+所对应的向量为OZ ，把OZ 依逆时针旋转θ得到一个新向量为1OZ ．若1OZ 对应一个纯虚数，当θ取最小正角时，这个纯虚数是________．18．已知复数032z i =+，其中i 是虚数单位，复数z 满足003z z z z ⋅=+，则复数z 的模等于__________.19．设b R ∈，i 是虚数单位，已知集合{}|2A z z i =-≤，{}11|1,B z z z bi z A ==++∈，若A B ⋂≠∅，则b 的取值范围是________．20．已知复数z ＝a在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z 等于________．三、解答题21．（1）计算：()()432-2i （i 为虚数单位）；（2）已知z 是一个复数，求解关于z 的方程，313z z i z i ⋅-⋅=+（i 为虚数单位）. 22．设复数z 1=1-ai （a ∈R ），复数z 2=3+4i ．（1）若12z z R +∈，求实数a 的值；（2）若12z z 是纯虚数，求|z 1|．23．已知复数z=（m ﹣1）+（2m+1）i （m ∈R ）（1）若复数z 为纯虚数，求实数m 的值；（2）若复数z 在复平面内的对应点位于第二象限，求 |z| 的最小值． 24．已知复数()()()121z m m m i =-++- (m R ∈，i 为虚数单位) (1)若z 是纯虚数，求实数m 的值； (2)若2m =，设1z ia bi z +=+- (,ab ∈R )，试求+a b . 25．（1）已知()232z z z i i ++=-，求复数z ；（2）已知复数z 满足2z z-为纯虚数，且1z i -=，求复数z ． 26．复数z 满足||1z =，且2120z z z++<．求z ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据复数222221212111a ai a az i a a a -+-==++++，得到复数z 对应点的坐标为：22212,11a a a a ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，然后由22212,11a ax y a a -==++，利用复数的模求解. 【详解】因为复数222221212111a ai a a z i a a a-+-==++++，所以复数z 对应点的坐标为：22212,11a a a a ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，即22212,11a ax y a a-==++，所以222222212111a a x y a a ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，因为22212111a x a a -==-+++，又因为a R ∈，所以211a +≥，所以22021a<≤+，所以221111a-<-+≤+，即11x -<≤，所以复数z 对应点组成的图形为单位圆除去点()1,0-. 故选：D 【点睛】本题主要考查复数的几何意义以及复数模的轨迹问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.2．C解析：C 【分析】利用复数的几何意义、向量的模长公式和坐标运算，即可求解，得到答案．【详解】因为复数1i +与13i +分别对应向量OA 和OB ，所以向量(1,1)OA =和(1,3)OB =，所以(0,2)AB OB OA =-=，则202AB AB ===，故选C ．【点睛】本题主要考查了复数的几何意义、向量的模长计算和坐标运算，着重考查了推理能力和计算能力，属于基础题．3．A解析：A 【分析】首先计算2(1)i +，之后应用复数的除法运算法则，求得结果. 【详解】()21313312221ii i i i ++==-+，故选A.【点睛】该题考查的是有关复数的运算，属于简单题目.4．B解析：B 【分析】由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答. 【详解】由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)． ∵2∈，∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故选B. 【点睛】本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.5．C解析：C 【解析】分析：由题意得到关于m 的不等式组，求解不等式组确定m 的范围，然后结合题意即可求得最终结果.详解：由题意可得：3010x m m Z -<⎧⎪->⎨⎪∈⎩，即13m <<且m Z ∈，故2m =，则：1z i =-+，由复数的性质11222z z ===. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的综合运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．A解析：A 【详解】因为33aiz a i i-==--，所以由题设可得00a a -<⇒>，因此0a >是0a ≥的充分不必要条件，故应选答案A ．7．B解析：B 【分析】根据交集的定义可得()()2231563m m m m i --+--=，由复数相等的性质列方程求解即可. 【详解】因为()(){}221,3156M m m m m i =--+--，{}1,3N =，{}1,3M N ⋂=，所以()()2231563m m m m i --+--=，可得223131560m m m m m ⎧--=⇒=-⎨--=⎩，故选B. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算.8．A解析：A 【解析】【分析】首先求得x ,y 的值，然后求解复数的模即可. 【详解】由题意可得：2x xi yi +=+，结合复数的充分必要条件可知：2x x y=⎧⎨=⎩，则2x y ==，22x yi i +=+== 本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查复数相等的充分必要条件，复数模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．D解析：D 【解析】因为z=3ii+13i =-∴z 的虚部为-3，选D. 10．D解析：D 【解析】()12i z i -=+，()()()()1i 1i 2+i 1i z ∴-+=+，13213i,i,22z z =+=+13i,22z z=-的共轭复数在复平面内对应点坐标为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，z 的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D.11．C解析：C 【解析】(2)21122(2)(2)555i i i i z i i i i -----====--++-．故选C 12．A解析：A 【分析】先化简z ，求出a ，再判断即可. 【详解】()()2202022211112121211222a i a a i a z i i i i i +=-=-=-=-----+，z 不是纯虚数，则21022a -≠，所以21≠a ，即1a ≠±，所以1a ≠±是1a ≠的充分而不必要条件. 故选：A . 【点睛】本题主要考查根据复数的类型求参数，考查充分条件和必要条件的判断，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.二、填空题13．【分析】设复数的辐角为将用表示出来再利用二倍角公式二次函数性质求最小值可得与的值即可得复数【详解】设复数的辐角为所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的三角形形式涉及三角恒等变换及二次函数性质解析：144-±【分析】设复数z 的辐角为θ，将23413z z z z ++++用θ表示出来，再利用二倍角公式，二次函数性质求最小值，可得cos θ与sin θ的值，即可得复数z . 【详解】设复数z 的辐角为θ，23413z z z z ++++==2cos22cos 3θθ=++ 24cos 2cos 1θθ=++ 21334cos 444θ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭所以1cos 4θ=-，sin θ=所以14z =-±，故答案为：144i -± 【点睛】本题主要考查了复数的三角形形式，涉及三角恒等变换及二次函数性质，属于中档题.14．【分析】写出P 点对应的复数为根据复数乘法的几何意义可写出Z 点对应的复数【详解】解：由题意得P 点对应的复数为由复数乘法的几何意义得：故填故答案为：【点睛】本题主要考查复数三角形式的几何意义属于基础题解析：1122i + 【分析】写出P 点对应的复数为1i +，根据复数乘法的几何意义可写出Z 点对应的复数. 【详解】解：由题意得，P 点对应的复数为1i +，由复数乘法的几何意义得：11(1)cos sin 3322z i i ππ+⎛⎫=+⋅+=+ ⎪⎝⎭，.. 【点睛】本题主要考查复数三角形式的几何意义，属于基础题.15．【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出的值【详解】设在复平面中对应的向量为对应的向量为如下图所示：因为所以所以又因为所以所以所以又故答案为：【点睛】【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出12z z -的值. 【详解】设12,z z 在复平面中对应的向量为12,OZ OZ ，12z z +对应的向量为3OZ ，如下图所示：因为123z z i +，所以12312z z =+=+，所以222131221cos 1224OZ Z +-∠==⨯⨯，又因为1312180OZ Z Z OZ ∠+∠=︒，所以12131cos cos 4Z OZ OZ Z ∠=-∠=-，所以222211212122cos 1416Z Z OZ OZ OZ OZ Z OZ =+-⋅⋅∠=++=，所以216Z Z =，又12216z z Z Z -==， 6. 【点睛】结论点睛：复数的几何意义：（1）复数(),z a bi a b R =+∈←−−−→一一对应复平面内的点()(),,Z a b a b R ∈；（2）复数(),z a bi a b R =+∈ ←−−−→一一对应平面向量OZ .16．【分析】首先设(且)代入方程化简为再分和两种情况求验证是否成立【详解】设(且)则原方程变为所以①且②；（1）若则解得当时①无实数解舍去；从而此时或3故满足条件；（2）若由②知或显然不满足故代入①得所解析：74-【分析】首先设z a bi =+ (a ，b ∈R 且221a b +=)，代入方程，化简为()()222320axax bx bx i +++-=，再分0b =和0b ≠两种情况求,a x 验证是否成立.【详解】设z a bi =+，(a ，b ∈R 且221a b +=)则原方程2230zx zx ++=变为()()222320ax ax bx bx i +++-=. 所以2230ax ax ++=，①且220bx bx -=，②；（1）若0b =，则21a =解得1a =±，当1a =时①无实数解，舍去；从而1a =-，2230x x --=此时1x =-或3，故1z =-满足条件；（2）若0b ≠，由②知，0x =或2x =，显然0x =不满足，故2x =，代入①得38a =-，558b =±，所以838z =-±.综上满足条件的所以复数的和为337188884i i ⎛⎫⎛⎫-+-++--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：74- 【点睛】思路点睛：本题考查复系数二次方程有实数根问题，关键是设复数z a bi =+后代入方程，再进行整理转化复数的代数形式，注意实部和虚部为0，建立方程求复数z .17．【分析】确定复数对应点在第一象限旋转后在轴的正半轴上计算复数模得到答案【详解】对应的点为在第一象限逆时针旋转最小正角时对应的点在轴的正半轴上故纯虚数为故答案为：【点睛】本题考查了复数对应的点复数的旋解析：5i【分析】确定复数对应点在第一象限，旋转后在y 轴的正半轴上，计算复数模得到答案. 【详解】34z i =+，对应的点为()3,4在第一象限，逆时针旋转最小正角时，对应的点在y轴的正半轴上，5z ==，故纯虚数为5i . 故答案为：5i . 【点睛】本题考查了复数对应的点，复数的旋转，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18．【分析】可设出复数z 通过复数相等建立方程组从而求得复数的模【详解】由题意可设由于所以因此解得因此复数的模为：【点睛】本题主要考查复数的四则运算相等的条件比较基础解析：2【分析】可设出复数z ，通过复数相等建立方程组，从而求得复数的模. 【详解】由题意可设z a bi =+，由于003z z z z ⋅=+，所以(32)(23)(33)(23)a b a b i a b i -++=+++，因此32332323a b a a b b -=+⎧⎨+=+⎩，解得132a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩，因此复数z= 【点睛】本题主要考查复数的四则运算，相等的条件，比较基础.19．【解析】【分析】根据复数的代数表示法及其几何意义可知集合A表示的点的轨迹是以（01）为圆心半径为2的圆及内部；集合B表示圆的圆心移动到了（11+b）；两圆面有交点即可求解b的取值范围【详解】由题意集解析：b≤≤【解析】【分析】根据复数的代数表示法及其几何意义可知集合A表示的点的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为2的圆及内部；集合B表示圆的圆心移动到了（1，1+b）；两圆面有交点即可求解b 的取值范围．【详解】由题意，集合A表示的点的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为2的圆及内部；集合B表示点的轨迹为以（1，1+b）为圆心，半径为2的圆及内部∵A∩B≠∅，说明，两圆面有交点；∴4≤．≤≤，可得：b≤≤，故答案：b【点睛】本题考查复数几何意义，圆与圆的位置关系，体现了数学转化思想方法，明确A.B集合的意义是关键，是中档题20．【分析】由题意可得a＜0由|z|=2可得a的方程解出即得【详解】∵z=a+i 在复平面内对应的点位于第二象限∴a＜0由|z|=2得=2解得a=﹣1或1（舍去）∴z=﹣1+i故答案为﹣1+i【点睛】该题解析：【分析】由题意可得a＜0，由|z|=2，可得a的方程，解出即得．【详解】∵i在复平面内对应的点位于第二象限，∴a＜0，由|z|=2，解得a=﹣1或1（舍去），∴z=﹣．故答案为﹣【点睛】该题考查复数的模、复数代数形式的表示及其几何意义，属基础题．三、解答题21．（1）8；（2）13z i =-+或1z =-【分析】（1）()()()()()()4222232-22-22-28i i i i -=即可化简得值；（2）设,,z a bi a b R =+∈，建立等式()()()313a bi a bi i a bi i +---=+，列方程组求解.【详解】（1）()()()()()()4222232-22-22-286488i i i i --===-；（2）设,,z a bi a b R =+∈，313z z i z i ⋅-⋅=+，即()()()313a bi a bi i a bi i +---=+， 223313a b b ai i +--=+，所以2231,33a b b a +-=-=，解得13a b =-⎧⎨=⎩或10a b =-⎧⎨=⎩，所以13z i =-+或1z =-.故答案为：13z i =-+或1z =- 【点睛】此题考查复数的运算，关键在于根据题意利用复数的运算法则，准确计算求解. 22．（1）a =4（2）54【分析】（1）由已知利用复数代数形式的加减化简，再由虚部为0求得a 值；（2）利用复数代数形式的乘除运算化简12z z ,由实部为0且虚部不为0求得a 值，再由复数模的计算公式求|z 1|.【详解】解：（1）∵z 1=1-ai （a ∈R ），z 2=3+4i ，∴z 1+z 2=4+（4-a ）i ，由12z z R +∈，得4-a =0，即a =4；（2）由12z z =()()()()134134343434342525ai i ai a a i i i i ----+==-++-是纯虚数，得{340340a a -=+≠，即34a =， ∴|z 1|=|314i -54=．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是中档题．23．（1）m=1；（2）355 . 【解析】分析：（1）利用纯虚数的定义即可得出．（2）利用复数模的计算公式、几何意义即可得出．详解：（1）∵z=（m ﹣1）+（2m+1）i （m ∈R ）为纯虚数，∴m ﹣1=0且2m+1≠0∴m=1（2）z 在复平面内的对应点为（m ﹣1，2m+1））由题意：，∴．即实数m 的取值范围是.而|z|=()()22121m m -++==，当时，=．点睛：本题考查了纯虚数的定义、复数模的计算公式、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．24．（1）2m =-；（2）85 【解析】分析：（Ⅰ）先把复数整理成z a bi =+的形式，由虚部等于0得到实数m 的值；（Ⅱ）把复数z i z i+-整理成a bi +的形式，根据复数相等的条件得到a b 、的值进而求出a b +．详解：（Ⅰ）若z 是纯虚数，则()()m 1m 2010m ⎧-+=⎨-≠⎩，()()m 1m 20,10,m ⎧-+=⎨-≠⎩解得m 2=-.（Ⅱ）若m 2=，则z 4i =+.∴()()()()42i 3i 4i i 42i 71a bi i 4i 13i 3i 3i 55+-++++====++-++- ()()()()42i 3i 4i i 42i a bi 4i 13i 3i 3i +-++++====+-++- 71 i 55+， ∴7a 5=，1b 5=，∴8a b 5+=. 点睛：本题考查纯虚数和复数相等的概念，以及复数的四则运算．对于复数要掌握常规运算技巧和常规思路，其次要熟记复数的实部、虚部、模、几何意义、共轭复数等知识点． 25．（1）12i -±；（2）2z i =或1z i =-+或1z i =+.【分析】（1）设复数(),z a bi a b R =+∈，根据复数的运算法则和复数相等得出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数，即可得出复数z ；（2）设复数(),z a bi a b R =+∈，根据2z z-为纯虚数和1z i -=列出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数，可得出复数z .【详解】（1）设复数(),z a bi a b R =+∈，由()232z z z i i ++=-，得()22232a b ai i ++=-，根据复数相等得22322a b a ⎧+=⎨=-⎩，解得12a b =-⎧⎪⎨=⎪⎩12z i =-；（2）设复数(),z a bi a b R =+∈，则()()()222222222a bi a b z a bi a bi a b i z a bi a bi a bi a b a b -⎛⎫⎛⎫-=+-=+-=-++ ⎪ ⎪++-++⎝⎭⎝⎭，由题意可得2220a a a b -=+，2220b b a b +≠+. ()11z i a b i -=+-=()2211a b +-=，所以有()()()2222222222202011a a b a b b a b a b a b ⎧+-⎪=+⎪⎪++⎪≠⎨+⎪⎪+-=⎪⎪⎩，解得02a b =⎧⎨=⎩或11a b =±⎧⎨=⎩. 因此，2z i =或1z i =-+或1z i =+.【点睛】本题考查复数的求解，常将复数设为一般形式，根据复数的相关运算列举出方程组进行求解，考查运算求解能力，属于中等题. 26．1z =-或132z =-± 【分析】由题意可知设复数cos sin z i αα=+,计算出2z ,2z ,1z ,代入2120z z z++<中可得cos 23cos 02sin cos sin 0ααααα+<⎧⎨+=⎩可求得复数z . 【详解】由题意可知：cos sin z i αα=+,则222cos sin 2sin cos z i αααα=-+,22cos 2sin z i αα=+,1cos sin i zαα=-, ∴212(cos23cos )(2sin cos sin )0z z i zααααα++=+++<, ∴cos 23cos 02sin cos sin 0ααααα+<⎧⎨+=⎩,即()cos 23cos 0sin 2cos 10αααα+<⎧⎨+=⎩，若sin 0α=，则cos21α=，由cos23cos 0αα+<得cos 1α=-，所以1z =-，若1cos 2α=-，则1cos 2cos 23cos 02ααα=-+<，，得12z =-±，∴1z =-或122z =-±. 【点睛】本题考查复数的计算，关键在于设出复数z 的三角形式进行运算，理解复数小于零的含义，属于中档题.。

(常考题)人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》检测卷(有答案解析)

一、选择题1．在复平面内与复数21i z i =+所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（）A ．1i --B ．1i -C ．1i +D ．1i -+ 2．已知复数()()31z m m i m Z =-+-∈在复平面内对应的点在第二象限，则1z =（）A B ．2 C D ．123．设复数z 满足()13i z i +=+，则z =（）A B ．2 C ．D 4．已知复数z 满足33z -=，则4z i -（i 为虚数单位）的取值范围为（）A ．[]28,B ．3⎤⎦C ．[]1,9D ．[]3,8 5．已知i 是虚数单位，复数z 满足()341z i i +=+，则z 的共轭复数在复平面内表示的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．复数51i i-的虚部是( ) A ．12 B ．2i C ．12- D ．2i - 7．已知复数1223,z i z a bi =+=+（,R,0a b b 且∈≠），其中i 为虚数单位，若12z z 为实数，则a b 的值为（） A ．32- B ．23- C ．23D ．32 8．复数z 满足(12)3z i i +=+，则z =（）A ．15i +B ．1i -C ．15i -D ．1i +9．已知复数z 满足()15i z i -+＝，则z =（）A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i - 10．在复平面内，复数201812z i i =++对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 11．若11i ai++是纯虚数（其中i 为虚数单位），则实数a 等于（）A ．1B ．1-C ．2D ．2- 12．若32a i i -+为纯虚数，则实数a 的值为（） A ．32- B ．23- C ．23 D ．32二、填空题13．已知1i z z -=-+，则复数z =______.14．已知1cos z isin αα=+，2cos z isin ββ=-，α，β为实数，i 为虚数单位，且125121313z z i -=+，则cos()αβ+的值为_______. 15．复数3(2) i (,)z x y x y =++-∈R ，且||2z =，则点(,)x y 的轨迹是_____________．16．若复数z 满足||1z =，则()()z i z i +-的最大值是________.17．已知i 为虚数单位，则（1）(23i)(32i)-+-+=________________；（2）(4i)(23i)+--+=________________；（3）已知复数13i z b =-，22i z a =-+，其中a ，b R ∈，若复数12z z z =+，且复数z 对应的点在第三象限，则+a b 的取值范围为________________；（4）在复平面内，复数1z 对应的点为(2,2)-，复数2z 对应的点为(1,1)-，若复数21z z z =-，则复数z 对应的点在第________________象限．18．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z 等于________．19．若复数 z =21i i-,则3z i + =__________ 20．如果复数z 的模不大于1，而z 的虚部的绝对值不小于，则复平面内复数z 的对应点组成图形的面积是___．三、解答题21．实数m 取什么值时,复数22(56)(215)z m m m m i =+++--(1)与复数212i -相等(2) 与复数1216i +互为共轭复数(3)对应的点在x 轴上方.22．化简下列复数（1）()()6532i i -++（2）()()()56234i i i -+---+23．已知关于x 的方程()2250x px p R -+=∈的两根为1x 、2x . （1）若134x i =+，求p 的值；（2）若121x x -=，求实数p 的值.24．如图，在复平面内，已知复数z 1，z 2，z 3对应的向量分别是OA OB OC ，，，i 是虚数单位，若复数123z z z z ⋅=，求11i 2z +.25．复数z 满足||1z =，且2120z z z++<．求z ． 26．已知复数z 满足|z|2,2z 的虚部为2，z 所对应的点在第一象限，(1)求z ;(2)若z ,z 2,z-z 2在复平面上对应的点分别为A ,B ,C ,求cos ∠ABC ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据复数的运算法则求出1z i =+，即可得到其对应点关于虚轴对称点的坐标，写出复数.【详解】由题()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-，在复平面对应的点为（1,1），关于虚轴对称点为（-1,1），所以其对应的复数为1i -+.故选：D【点睛】此题考查复数的几何意义，关键在于根据复数的乘法除法运算准确求解，熟练掌握复数的几何意义.2．C解析：C【解析】分析：由题意得到关于m 的不等式组，求解不等式组确定m 的范围，然后结合题意即可求得最终结果.详解：由题意可得：3010x m m Z -<⎧⎪->⎨⎪∈⎩，即13m <<且m Z ∈，故2m =，则：1z i =-+，由复数的性质112z z ===. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的综合运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3．D解析：D【解析】分析：先根据复数除法得z ，再根据复数的模求结果.详解：因为()13i z i +=+，所以31(3)(1)212i z i i i i +==+-=-+,因此z =选D.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b(,)a b 、共轭为.-a bi4．A解析：A【分析】利用复数模长的三角不等式可求得4z i -的取值范围.【详解】()()4334z i z i -=-+-，由复数模长的三角不等式可得()()334334334z i z i z i ---≤-+-≤-+-，即35435z i -≤-≤+，即248z i ≤-≤，因此，4z i -的取值范围是[]28,.故选：A.【点睛】本题考查复数模长的取值范围的计算，考查三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.5．A解析：A【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【详解】复数z 满足()341z i i +=+，∴()()()()3434134z i i i i +-=+-，∴257z i =-，∴712525z i =-． ∴712525z i =+．则复平面内表示z 的共轭复数的点71,2525⎛⎫⎪⎝⎭在第一象限．故选：A ．【点睛】此题考查复数的运算和几何意义，涉及共轭复数概念辨析，关键在于熟练掌握运算法则，根据几何意义确定点的位置.6．A解析：A【解析】【分析】由题意首先化简所给的复数，然后确定其虚部即可.【详解】由复数的运算法则可知：51i i-()()()1111122i i i i i +==-+-+，则复数51i i-的虚部是12. 本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．B解析：B【分析】先根据复数乘法计算，再根据复数概念求a,b 比值.【详解】因为()1223(z z i a bi =++)()23(32a b a b =-++) i ，所以320a b +=，因为0b ≠，所以23a b =-，选B. 【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为(,)a b 、共轭为.-a bi8．D解析：D【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得1i z =-，利用共轭复数的定义可得结论.【详解】()12i 3i z +=+，()()()()3i 12i 3i 55i 1i 12i 12i 12i 5z +-+-∴====-++-，所以1z i =+，故选D.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.9．B解析：B【解析】【分析】根据复数的运算法则计算即可．【详解】()15i z i -+＝，()()()()51523111i i i z i i i i +-+∴===+++-， 2 3.z i ∴=-故选B.【点睛】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的概念，属于基础题10．C解析：C【解析】因为201812z i i =++()()22231122555i i i i i i --=+=-=--+- ，复数201812z i i=++对应的点的坐标为31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ，故复数201812z i i=++对应的点位于第三象限,故选C. 11．B解析：B【分析】设11i bi ai+=+，化简后利用复数相等列方程求解即可. 【详解】设()1,,1i bi a b R ai+=∈+，所以()11i bi ai ab bi +=⋅+=-+，所以11ab b -=⎧⎨=⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩，故选：B ．【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，考查复数相等的性质，属于基础题.12．C解析：C【分析】先化简复数，再利用纯虚数的定义求解.【详解】由题得()(32)(32)(23)32(32)(32)13a i a i i a a i i i i -----+==++-，因为32a i i-+为纯虚数，则320(23)0a a -=⎧⎨-+≠⎩，所以23a =. 故选：C【点睛】结论点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈则0a =且0b ≠，不要漏掉了0b ≠.二、填空题13．【分析】设根据得到再利用复数相等的条件列出方程组求得的值即可求解【详解】设则因为所以即根据复数相等的条件得解得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了复数相等的条件以及复数的模的计算公式的应用其中解解析：i -【分析】设()i ,z x y x y =+∈R ，根据1i z z -=-+，得到(i 1i x y +=-+，再利用复数相等的条件列出方程组，求得,x y 的值，即可求解.【详解】设()i ,z x y x y =+∈R，则z = 因为1i z z -=-+，所以i 1i x y +=-+，即(i 1i x y +=-+，根据复数相等的条件得11x y ⎧⎪-=-⎨=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩，所以i z =，所以i z =-. 故答案为：i -【点睛】本题主要考查了复数相等的条件，以及复数的模的计算公式的应用，其中解答中熟记复数模的计算公式和复数相等的条件，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.14．【分析】根据复数减法和复数相等的条件列方程组结合两角和的余弦公式化简求得的值【详解】得即故答案为：【点睛】本小题主要考查复数减法和复数相等的条件考查两角和的余弦公式考查化归与转化的数学思想方法属于基解析：12【分析】根据复数减法和复数相等的条件列方程组，结合两角和的余弦公式，化简求得cos()αβ+的值.【详解】1cos sin z i αα=+，2cos sin z i ββ=-，12512(cos cos )(sin sin )1313z z i i αβαβ∴-=-++=+，5cos cos ,1312sin sin ,13αβαβ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩①② 22+①②，得22cos()1αβ-+=，即1cos()2αβ+=.故答案为：12【点睛】本小题主要考查复数减法和复数相等的条件，考查两角和的余弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.15．以为圆心2为半径的圆【分析】根据复数模的定义确定复数对应点满足条件化简即得轨迹【详解】解：∵∴即点的轨迹是以为圆心2为半径的圆故答案为：以为圆心2为半径的圆【点睛】本题考查复数模的定义以及圆的方程含解析：以(3,2)-为圆心，2为半径的圆【分析】根据复数模的定义确定复数对应点满足条件，化简即得轨迹.【详解】解：∵||2z =，∴22(3)(2)4x y ++-=，即点(,)x y 的轨迹是以(3,2)-为圆心，2为半径的圆．故答案为：以(3,2)-为圆心，2为半径的圆【点睛】本题考查复数模的定义以及圆的方程含义，考查基本分析求解能力，属基础题. 16．【分析】设求出后再求其模利用可求模的最大值【详解】设则故其中当时故答案为：2【点睛】本题考查复数的乘法共轭复数以及复数的模处理复数的模的问题有两个思路：（1）利用复数的几何意义求解；（2）复数问题实解析：2【分析】设,,z a bi a b R =+∈，求出()()z i z i +-后再求其模，利用221a b +=可求模的最大值.【详解】设,,z a bi a b R =+∈，则()()()22()()111z i z i a b i a b i a b +-=+-+-=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，故()()z i z i +-==[]1,1b ∈-. 当1b =-时，max ()()2z i z i +-=，故答案为：2.【点睛】本题考查复数的乘法、共轭复数以及复数的模，处理复数的模的问题有两个思路：（1）利用复数的几何意义求解；（2）复数问题实数化即把复数的模的问题归结实部和虚部的问题（即实数范围内的问题），本题属于中档题.17．四【分析】(1)利用复数的加法法则计算即可；(2)利用复数的减法法则计算即可；(3)由题意可得则且据此可得的取值范围(4)由题意可得结合可得据此确定其所在的象限即可【详解】（1）（2）（3）因为所以解析：1i --62i -(,5)-∞四【分析】(1)利用复数的加法法则计算()()2332i i -+-+即可；(2)利用复数的减法法则计算()()423i i +--+即可；(3)由题意可得12(2)(3)i z z b a z =+=-+-，则2b <且3a <，据此可得+a b 的取值范围.(4)由题意可得122i z =-+，21z i =-，结合21z z z =-可得33z i =-，据此确定其所在的象限即可.【详解】（1）()()(23)(32)23321i i i i i -+-+=-+-+=--．（2）()()(4)(23)42362i i i i i +--+=++-=-．（3）因为13i z b =-，22i z a =-+，所以12(2)(3)i z z b a z =+=-+-，又复数z 对应的点在第三象限，所以2030b a -<⎧⎨-<⎩，所以2b <且3a <，所以5a b +<，故+a b 的取值范围为(,5)-∞．（4）因为复数1z 对应的点为(2,2)-，复数2z 对应的点为(1,1)-，所以122i z =-+，21z i =-，又复数21z z z =-，所以1i (22i)33i z =---+=-，所以复数z 对应的点为(3,3)-，在第四象限【点睛】本题主要考查复数的加法、减法运算，复数所在象限的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．【分析】由题意可得a ＜0由|z|=2可得a 的方程解出即得【详解】∵z=a+i 在复平面内对应的点位于第二象限∴a ＜0由|z|=2得=2解得a=﹣1或1（舍去）∴z=﹣1+i 故答案为﹣1+i 【点睛】该题解析：【分析】由题意可得a ＜0，由|z|=2，可得a 的方程，解出即得．【详解】∵i 在复平面内对应的点位于第二象限，∴a ＜0，由|z|=2，解得a=﹣1或1（舍去），∴z=﹣．故答案为﹣【点睛】该题考查复数的模、复数代数形式的表示及其几何意义，属基础题．19．【解析】分析：先化简复数z 再求再求的值详解：由题得所以故答案为：点睛：（1）本题主要考查复数的运算共轭复数和复数的模的计算意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力(2)复数的共轭复数解析：5 【解析】分析：先化简复数z,再求3z i +，再求3z i + 的值. 详解：由题得2i 2i(1i)22i 1i 1i (1i)(1i)2z +-+====-+--+，所以2231312,3(1)2 5.z i i i i z i +=--+=-+∴+=-+=故答案为：5.点睛：（1）本题主要考查复数的运算、共轭复数和复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 复数(,)z a bi a b R =+∈的共轭复数,z a bi =-22||z a b =+.20．【解析】分析：先根据复数的模以及复数的虚部列不等式再根据扇形面积减去三角形面积得弓形面积详解：设则如图因此复平面内复数z 的对应点组成图形为两个弓形其面积为扇形面积减去三角形面积是点睛：本题重点考查复解析：23-32π 【解析】分析：先根据复数的模以及复数的虚部列不等式，再根据扇形面积减去三角形面积得弓形面积.详解：设(,)z x yi x y R =+∈，则2211,2x y y +≤≥ ，如图,2.3AOB π∠=因此复平面内复数z 的对应点组成图形为两个弓形，其面积为扇形面积减去三角形面积是21212232(111sin )23233πππ⨯⋅-⨯⨯⨯=-点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi三、解答题21．（1）m ＝－1（2）m ＝1（3）m<－3或m>5.【解析】解：(1)根据复数相等的充要条件得22562{21512m m m m ++=--=-解得m ＝－1. (2)根据共轭复数的定义得225612{21516m m m m ++=--=-解得m ＝1. (3)根据复数z 的对应点在x 轴的上方可得m 2－2m －15>0，解得m<－3或m>5. 22．（1）93i -；（2）11i -.【分析】利用复数的加减运算法则求解.【详解】（1）()()6532i i -++，()()6325i =++-，93i =-.（2）()()()56234i i i -+---+，()()523614i =--+---，11i =-.【点睛】本题主要考查复数的加减，相等，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．（1）6；（2）p =或p =±【分析】（1）将134x i =+代入方程，将复数化为一般形式，利用复数相等可求得实数p 的值；（2）列出韦达定理，由121x x -=可得出关于p 的等式，由此可解得实数p 的值.【详解】（1）已知关于x 的方程()2250x px p R -+=∈的一根为134x i =+，所以，()()()()23434251832440i p i p p i +-++=-+-=，所以，1832440p p -=-=，解得6p ；（2）2100p ∆=-，由题意得121225x x p x x +=⎧⎨=⎩. 若0∆≥，即2100p ≥，则121x x -===，解得p =；若∆<0，即100p <，由2250x px -+=，可得22210024p p x ⎫-⎛⎫⎪-== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得12p x =+，22p x =，则121x x i -===，解得p =±.综上所述，p=或p =±【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（1）在解第一问时，可利用实系数的二次方程的两个虚根互为共轭复数来求解；（2）在解第二问时，应对二次方程是否有实根进行分类讨论，并结合韦达定理求解. 24．3【分析】由题图可知，z 1＝3＋i ，z 2＝1－2i ，z 3＝－2＋2i ，再求出复数z,再求i 2z +. 【详解】解：由题图可知，z 1＝3＋i ，z 2＝1－2i ，z 3＝－2＋2i ，则123(3)(12)5222z z i i z z i ⋅+-===--+，∴532222z z +=-++==. 【点睛】本题主要考查复数的几何意义，考查复数的计算和模的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.25．1z =-或122z =-± 【分析】由题意可知设复数cos sin z i αα=+,计算出2z ,2z ,1z ,代入2120z z z++<中可得cos 23cos 02sin cos sin 0ααααα+<⎧⎨+=⎩可求得复数z . 【详解】由题意可知：cos sin z i αα=+,则222cos sin 2sin cos z i αααα=-+,22cos 2sin z i αα=+,1cos sin i zαα=-, ∴212(cos23cos )(2sin cos sin )0z z i zααααα++=+++<, ∴cos 23cos 02sin cos sin 0ααααα+<⎧⎨+=⎩,即()cos 23cos 0sin 2cos 10αααα+<⎧⎨+=⎩，若sin 0α=，则cos21α=，由cos23cos 0αα+<得cos 1α=-，所以1z =-，若1cos 2α=-，则1cos 2cos 23cos 02ααα=-+<，，得12z =-±，∴1z =-或12z =-±. 【点睛】本题考查复数的计算，关键在于设出复数z 的三角形式进行运算，理解复数小于零的含义，属于中档题.26．(1) z=1+i .(2) 【解析】分析：（1）设z=x+yi(x,y ∈R)，根据题意得到x,y 的方程组，即得z.(2)先求z ,z 2,z-z 2在复平面上对应的点，再利用向量的夹角公式求cos ∠ABC.详解：(1)设z=x+yi(x,y ∈R).∵|z|=∴x 2+y 2=2. ①又z 2=(x+yi)2=x 2-y 2+2xyi,∴2xy=2,∴xy=1. ②由①②可1,-1,1-1.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩解得或 ∴z=1+i 或z=-1-i.又x>0,y>0,∴z=1+i.(2)z 2=(1+i)2=2i,z-z 2=1+i-2i=1-i.如图所示,∴A(1,1),B(0,2),C(1,-1),()()BA 1,1,BC 1,3,∴=-=-∴cos ∠ABC BA?BC 255|BA||BC|21025====⨯ 点睛：（1）本题主要考查复数的求法和复数的几何意义，考查向量的夹角，意在考查学生对这些知识的掌握水平. (2) 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，θ为向量a 与b 的夹角，则121222221122cos x y x y θ=+⋅+.。

人教版高中数学选修2-2综合测试卷B(含答案).docx

数学选修2-2综合测试卷B （含答案）一、选择题1、设)(x f 为可导函数，且满足12)1()1(lim 0-=--→xx f f x ，则过曲线)(x f y =上点))1(,1(f 处的切线斜率为（）A 、2B 、-1C 、1D 、-22、若复数i m m m m z )23()232(22+-+--=是纯虚数，则实数m 的值为A 、1或2B 、21-或2 C 、21- D 、2 3、设)(,)(3bx a f x x f -=的导数是（）A 、)(3bx a -B 、2)(32bx a b --C 、2)(3bx a b -D 、2)(3bx a b -- 4、点P 在曲线323+-=x x y 上移动时，过点P 的切线的倾斜角的取值范围是（） A 、],0[π B 、),43[)2,0(πππ⋃ C 、]43,2[]2,0[πππ⋃ D 、),43[]2,0[πππ⋃ 5、已知0,,≠∈b a R b a 且，则在①ab b a ≥+222；②2≥+b a a b ；③2)2(b a ab +≤；④2)2(222b a b a +≤+ 这四个式子中，恒成立的个数是（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个6、利用数学归纳法证明“*),12(312)()2)(1(N n n n n n n n ∈-⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=+⋅⋅⋅++ ”时，从“k n =”变到 “1+=k n ”时，左边应增乘的因式是（）A 、12+kB 、112++k k C 、1)22)(12(+++k k k D 、132++k k 7、若函数2)(3-+=ax x x f 在区间),1(+∞内是增函数，则实数a 的取值范围是（）A 、),3(+∞B 、),3[+∞-C 、),3(+∞-D 、)3,(--∞8、当n 取遍正整数时，n n i i -+表示不同值得个数是A 、1B 、2C 、3D 、49、函数12)(2++=ax ax x f 在[-3，2]上有最大值4。

北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案

北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案模块综合测评(时间150分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若复数z＝a＋i的实部与虚部相等，则实数a＝()A.－1B.1C.－2D.2【解析】z＝a＋i的虚部为1，故a＝1，选B.【答案】B2.已知复数z＝11＋i，则z·i在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】∵z＝11＋i＝1－i2，∴z＝12＋12i，∴z·i＝－12＋1 2i.【答案】B3.观察：6＋15<211， 5.5＋15.5<211，4－2＋17＋2<211，……，对于任意的正实数a，b，使a＋b<211成立的一个条件可以是()A.a＋b＝22B.a＋b＝21C.ab＝20D.ab＝21【解析】由归纳推理可知a＋b＝21.故选B.【答案】B4.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝()A.－eB.－1C.1D.e【解析】∵f(x)＝2xf′(1)＋ln x，∴f′(x)＝2f′(1)＋1x，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，∴f′(1)＝－1.【答案】B5.由①y＝2x＋5是一次函数；②y＝2x＋5的图像是一条直线；③一次函数的图像是一条直线.写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是()A.②①③B.③②①C.①②③D.③①②【解析】该三段论应为：一次函数的图像是一条直线(大前提)，y＝2x＋5是一次函数(小前提)，y＝2x＋5的图像是一条直线(结论).【答案】D6.已知函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像如图1所示，则( )图1A.函数f (x )有1个极大值点，1个极小值点B.函数f (x )有2个极大值点，2个极小值点C.函数f (x )有3个极大值点，1个极小值点D.函数f (x )有1个极大值点，3个极小值点【解析】根据极值的定义及判断方法，检查f ′(x )的零点左右值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个点处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个点处取得极小值；如果左右都是正，或者左右都是负，那么f (x )在这个点处不是极值.由此可见，x 2是函数f (x )的极大值点，x 3是极小值点，x 1，x 4不是极值点. 【答案】 A7.曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.94e 2 B.2e 2C.e 2D.e 22【解析】 ∵f ′(x )＝e x ，∴曲线在点(2，e 2)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝e 2，切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即e 2x －y －e 2＝0，切线与x 轴和y 轴的交点坐标分别为A (1，0)，B (0，－e 2)，则切线与坐标轴围成的△OAB 的面积为12×1×e 2＝e 22.【答案】 D8.已知数列1，a ＋a 2，a 2＋a 3＋a 4，a 3＋a 4＋a 5＋a 6，…，则数列的第k 项是( ) A.a k ＋a k ＋1＋…＋a 2k B.a k －1＋a k ＋…＋a 2k －1 C.a k －1＋a k ＋…＋a 2k D.a k －1＋a k ＋…＋a 2k －2【解析】由归纳推理可知，第k 项的第一个数为a k －1，且共有k 项.故选D. 【答案】 D9.函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( ) A.a ≤0 B.a <1C.a <2D.a ≤13 【解析】由题意可知f ′(x )＝3ax 2－1≤0在R 上恒成立，则a ≤0. 【答案】 A10.设a ＝⎠⎛10x －13d x ，b ＝1－⎠⎛01x 12d x ，c ＝⎠⎛10x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系( ) A .a>b>c B.b>a>c C .a>c>b D.b>c>a【解析】由题意可得a ＝⎠⎛01x －13dx ＝32x 23⎪⎪⎪10＝32；b ＝1－⎠⎛01x 12dx ＝1－23x 32⎪⎪⎪10＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23－0＝13；c ＝⎠⎛01x 3dx ＝x 44⎪⎪⎪1＝14.综上，a >b >c . 【答案】 A11.在数学归纳法的递推性证明中，由假设n ＝k 时成立推导n ＝k ＋1时成立时，f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n －1增加的项数是( )A.1B.2k ＋1C.2k －1D.2k【解析】 ∵f (k )＝1＋12＋13＋…＋12k －1，又f (k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1.从f (k )到f (k ＋1)是增加了(2k ＋1－1)－2k ＋1＝2k 项.【答案】 D12.已知函数f (x )＝x 3－ln (x 2＋1－x )，则对于任意实数a ，b (a ＋b ≠0)，则f （a ）＋f （b ）a ＋b的值为( )A.恒正B.恒等于0C.恒负D.不确定【解析】可知函数f (x )＋f (－x )＝x 3－ln (x 2＋1－x )＋(－x )3－ln (x 2＋1＋x )＝0，所以函数为奇函数，同时， f ′(x )＝3x 2＋1x 2＋1>0，f (x )是递增函数，f （a ）＋f （b ）a ＋b＝f （a ）－f （－b ）a －（－b ），所以f （a ）＋f （b ）a ＋b>0，所以选A .【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13.复数3＋ii 2(i 为虚数单位)的实部等于________. 【解析】 ∵3＋ii 2＝－3－i ，∴其实部为－3.【答案】－314.观察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，……，根据上述规律，第五个等式为________.【解析】第n 个等式左边为1到n ＋1的立方和，右边为1＋2＋3＋…＋(n ＋1)的平方，所以第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.【答案】 13＋23＋33＋43＋53＋63＝21215.曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝12围成的封闭图形的面积为__________.【解析】由于曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝12的交点的横坐标分别为x ＝π6及x ＝5π6，因此所求图形的面积为⎠⎜⎛π65π6⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －12dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x －12x ⎪⎪⎪⎪5π6π6＝3－π3.【答案】3－π316.已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程是________.【解析】设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝e x －1＋x . ∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝e x －1＋x . ∵当x ＞0时，f ′(x )＝e x －1＋1， ∴f ′(1)＝e 1－1＋1＝1＋1＝2.∴曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程为 y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.【答案】 2x －y ＝0三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设复数z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i，若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值.【解】 z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝（3－i ）（2－i ）5＝5－5i5＝1－i .因为z 2＋az ＋b ＝(1－i )2＋a (1－i )＋b ＝－2i ＋a －ai ＋b ＝(a ＋b )－(2＋a )i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－（2＋a ）＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.18.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3x ＋1. (1)当a ＝－2时，讨论f (x )的单调性；(2)若x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥0，求a 的取值范围. 【解】 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 3－32x 2＋3x ＋1， f ′(x )＝3x 2－62x ＋3.令f ′(x )＝0，得x 1＝2－1，x 2＝2＋1.当x ∈(－∞， 2－1)时，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，2－1)上是增函数；当x ∈(2－1，2＋1)时，f ′(x )＜0，f (x )在(2－1, 2＋1)上是减函数；当x ∈(2＋1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(2＋1，＋∞)上是增函数.(2)由f (2)≥0，得a ≥－54.当a ≥－54，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＝3(x 2＋2ax ＋1)≥3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －2)＞0，所以f (x )在(2，＋∞)上是增函数，于是当x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥f (2)≥0.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，＋∞.19.(本小题满分12分)设等差数列{a n }的公差为d ，S n 是{a n }中从第2n －1项开始的连续2n －1项的和，即 S 1＝a 1， S 2＝a 2＋a 3，S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7， ……S n ＝a 2n －1＋a 2n －1＋1＋…＋a 2n －1， ……若S 1，S 2，S 3成等比数列，问：数列{S n }是否成等比数列？请说明你的理由.【解】 ∵S 1，S 2，S 3成等比数列， ∴S 1＝a 1≠0，且S 1·S 3＝S 22，由S 1·S 3＝S 22，得a 1(a 4＋a 5＋a 6＋a 7)＝(a 2＋a 3)2，即a 1(4a 1＋18d )＝(2a 1＋3d )2，2a 1d ＝3d 2.∴d ＝0或a 1＝32d . 当d ＝0时，S n ＝2n －1a 1≠0，S n ＋1S n ＝2n a 12n －1a 1＝2(常数)，n ∈N ＋，{S n }成等比数列；当a 1＝32d 时，S n ＝a 2n －1＋a 2n －1＋1＋a 2n －1＝2n －1a 2n －1＋2n －1（2n －1－1）2d＝2n －1[a 1＋(2n －1－1)d ]＋2n －1（2n －1－1）2d＝2n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫32d ·2n －1＋a 1－32d ＝32d ·4n －1≠0， S n ＋1S n ＝32d ·4n32d ·4n －1＝4(常数)，n ∈N ＋，{S n }成等比数列.综上所述，若S 1，S 2，S 3成等比数列，则{S n }成等比数列.20.(本小题满分12分)已知幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设函数g (x )＝14f (x )＋ax 3＋92x 2－b (x ∈R )，其中a ，b ∈R ，若函数g (x )仅在x ＝0处有极值，求a 的取值范围.【解】 (1)因为f (x )在区间(0，＋∞)上是单调增函数，所以－m 2＋2m ＋3>0，即m 2－2m －3<0，所以－1<m <3，又m ∈Z ，所以m ＝0，1，2. 而m ＝0，2时，f (x )＝x 3不是偶函数，m ＝1时， f (x )＝x 4是偶函数，所以f (x )＝x 4.(2)由(1)知g (x )＝14x 4＋ax 3＋92x 2－b ，则g ′(x )＝x (x 2＋3ax ＋9)，显然x ＝0不是方程x 2＋3ax ＋9＝0的根. 为使g (x )仅在x ＝0处有极值，必须x 2＋3ax ＋9≥0恒成立，即有Δ＝9a 2－36≤0，解不等式得a ∈[－2，2]. 这时，g (0)＝－b 是唯一极值，所以a ∈[－2，2].21.(本小题满分12分)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n . (1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想到数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想.【解】 (1)由S 1＝a 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，得a 21＝1，因为a n >0，所以a 1＝1.由S 2＝a 1＋a 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2，得a 22＋2a 2－1＝0，所以a 2＝2－1，由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋1a 3，得a 23＋22a 3－1＝0，所以a 3＝3－ 2. (2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N ＋).证明：①当n ＝1时， a 1＝1－0＝1，命题成立； ②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时， a k ＝k －k －1成立，则n ＝k ＋1时， a k ＋1＝S k ＋1－S k＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ，即a k ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1 －12⎝⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ，所以a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0. 所以a k ＋1＝k ＋1－k ，则n ＝k ＋1时，命题成立. 则①②知，n ∈N ＋，a n ＝n －n －1.22.(本小题满分12分)设函数f (x )＝a e x ln x ＋b ex －1x ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2.(1)求a ，b ； (2)证明：f (x )>1.【解】 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x ln x ＋a x e x －b x 2e x －1＋bx e x －1.由题意可得f (1)＝2，f ′(1)＝e.故a ＝1，b ＝2.(2)证明：由(1)知，f (x )＝e x ln x ＋2x e x －1，从而f (x )>1等价于x ln x >x e －x －2e .设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x .所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0.故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e .设函数h (x )＝x e －x －2e ，则h ′(x )＝e －x (1－x ).所以当x ∈(0，1)时，h ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0.故h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e . 综上，当x >0时，g (x )>h (x )，即f (x )>1.章末综合测评(一) 推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下面四个推理不是合情推理的是()A.由圆的性质类比推出球的有关性质B.由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C.某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D.蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的【解析】逐项分析可知，A项属于类比推理，B项和D项属于归纳推理，而C项中各个学生的成绩不能类比，不是合情推理.【答案】C2.用反证法证明命题“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；③假设直线AC，BD是共面直线.则正确的序号顺序为()A.①②③B.③①②C.①③②D.②③①【解析】结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.【答案】B3.下列推理是归纳推理的是()A.A，B为定点，动点P满足|P A|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆B.由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C.由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πabD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【解析】由归纳推理的特点知，选B.【答案】B4.用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，下列假设正确的是()A.假设a，b，c都小于0B.假设a，b，c都大于0C.假设a，b，c中都不大于0D.假设a，b，c中至多有一个大于0【解析】用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，应先假设要证命题的否定成立.而要证命题的否定为：“假设a，b，c中都不大于0”，故选C.【答案】C5.用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，当n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k＋1－2k＋1变形为()A.(5k－2k)＋4·5k－2kB.5(5k－2k)＋3·2kC.(5－2)(5k－2k)D.2(5k－2k)－3·5k【解析】5k＋1－2k＋1＝5k·5－2k·2＝5k·5－2k·5＋2k·5－2k·2＝5(5k－2k)＋3·2k.【答案】B6.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n＝2⎝⎛⎭⎪⎫1n＋2＋1n＋4＋…＋12n时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证n＝________时等式成立.()A.k＋1B.k＋2C.2k＋2D.2(k＋2)【解析】根据数学归纳法的步骤可知，n＝k(k≥2且k为偶数)的下一个偶数为n＝k＋2，故选B.【答案】B7.已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为()A.a1a2a3…a9＝29B.a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29C.a1a2a3…a9＝2×9D.a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9【解析】根据等差、等比数列的特征知，a1＋a2＋…＋a9＝2×9.【答案】D8.袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则()A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【解析】取两个球往盒子中放有4种情况：①红＋红，则乙盒中红球数加1；②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.因为红球和黑球个数一样多，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机.③和④对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响.①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样.综上，选B.【答案】 B9.在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19且n ∈N ＋)成立，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b 11＝1，则有( )A.b 1·b 2·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 19－nB.b 1·b 2·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 21－nC.b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 19－nD.b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 21－n 【解析】令n ＝10时，验证即知选B. 【答案】 B10.将石子摆成如图1的梯形形状.称数列5，9，14，20，…为“梯形数”.根据图形的构成，此数列的第2 016项与5的差，即a 2 016－5＝( )图1 A.2 018×2 014 B.2 018×2 013 C .1 010×2 012 D.1 011×2 013【解析】 a n －5表示第n 个梯形有n －1层点，最上面一层为4个，最下面一层为n ＋2个.∴a n －5＝（n －1）（n ＋6）2，∴a 2 016－5＝2 015×2 0222＝2 013×1 011. 【答案】 D11.在直角坐标系xOy 中，一个质点从A (a 1，a 2)出发沿图2中路线依次经过B (a 3，a 4)，C (a 5，a 6)，D (a 7，a 8)，…，按此规律一直运动下去，则a 2 015＋a 2 016＋a 2 017＝( )图2A.1 006B.1 007C.1 008D.1 009【解析】依题意a 1＝1，a 2＝1；a 3＝－1，a 4＝2；a 5＝2，a 6＝3；…，归纳可得a 1＋a 3＝1－1＝0，a 5＋a 7＝2－2＝0，…，进而可归纳得a 2 015＋a 2 017＝0，a 2＝1，a 4＝2，a 6＝3，…，进而可归纳得a 2 016＝12×2 016＝1 008，a 2 015＋a 2 016＋a 2 017＝1 008.故选C.【答案】 C12.记集合T ＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 110＋a 2102＋a 3103＋a 4104|a i ∈T ，i ＝1，2，3，4，将M 中的元素按从大到小排列，则第2 016个数是( )A.710＋9102＋8103＋4104B.510＋5102＋7103＋2104C.510＋5102＋7103＋3104D.710＋9102＋9103＋1104【解析】因为a 110＋a 2102＋a 3103＋a 4104 ＝1104(a 1×103＋a 2×102＋a 3×101＋a 4)，括号内表示的10进制数，其最大值为9 999，从大到小排列，第2 016个数为9 999－2 016＋1＝7 984，所以a 1＝7，a 2＝9，a 3＝8，a 4＝4. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13.已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为__________.【解析】圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y 分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换.故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1.【答案】经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1 14.观察下列等式： 13＝1， 13＋23＝9，13＋23＋33＝36，13＋23＋33＋43＝100， ……照此规律，第n 个等式可为__________.【解析】依题意，注意到13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×1×（1＋1）2，13＋23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×2×（2＋1）2＝9，13＋23＋33＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×3×（3＋1）2＝36，……，照此规律，第n 个等式可为13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n （n ＋1）2. 【答案】 13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n （n ＋1）2 15.当n ＝1时，有(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，当n ＝2时，有(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3，当n ＝3时，有(a －b )(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4，当n ∈N ＋时，你能得到的结论是__________.【解析】根据题意，由于当n ＝1时，有(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，当n ＝2时，有(a －b )(a 2＋ab＋b2)＝a3－b3，当n＝3时，有(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，当n∈N＋时，左边第二个因式可知为a n＋a n－1b＋…＋ab n－1＋b n，那么对应的表达式为(a －b)·(a n＋a n－1b＋…＋ab n－1＋b n)＝a n＋1－b n＋1.【答案】(a－b)(a n＋a n－1b＋…＋ab n－1＋b n)＝a n＋1－b n＋116.如图3，如果一个凸多面体是n(n∈N＋)棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条，这些直线共有f(n)对异面直线，则f(4)＝________，f(n)＝__________.(答案用数字或n的解析式表示)图3【解析】所有顶点所确定的直线共有棱数＋底边数＋对角线数＝n＋n＋n（n－3）2＝n（n＋1）2.从题图中能看出四棱锥中异面直线的对数为f(4)＝4×2＋4×12×2＝12，所以f(n)＝n(n－2)＋n（n－3）2·(n－2)＝n（n－1）（n－2）2.【答案】n（n＋1）212n（n－1）（n－2）2三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)用综合法或分析法证明：(1)如果a，b>0，则lg a＋b2≥lg a＋lg b2；(2)6＋10>23＋2.【证明】(1)当a，b>0时，有a＋b2≥ab，∴lg a＋b2≥lg ab，∴lg a＋b2≥12lg ab＝lg a＋lg b2.(2)要证6＋10>23＋2，只要证(6＋10)2>(23＋2)2，即260>248，这是显然成立的，所以，原不等式成立.18.(本小题满分12分)观察以下各等式：sin230°＋cos260°＋sin 30°cos 60°＝3 4，sin 220°＋cos 250°＋sin 20°cos 50°＝34， sin 215°＋cos 245°＋sin 15°cos 45°＝34.分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明.【解】猜想：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α2＋sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α＝sin 2α＋34cos 2α－32sin αcos α＋14sin 2α＋ 32sin α·cos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α ＝34.19.(本小题满分12分)点P 为斜三棱柱ABC A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N .(1)求证：CC 1⊥MN ；(2)在任意△DEF 中有余弦定理：DE 2＝DF 2＋EF 2－2DF ·EF ·cos ∠DFE .扩展到空间类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.【解】 (1)证明：因为PM ⊥BB 1，PN ⊥BB 1，又PM ∩PN ＝P ，所以BB 1⊥平面PMN ，所以BB 1⊥MN . 又CC 1∥BB 1，所以CC 1⊥MN . (2)在斜三棱柱ABC A 1B 1C 1中，有S 2ABB 1A 1＝S 2BCC 1B 1＋S 2ACC 1A 1－2S BCC 1B 1S ACC 1A 1cos α. 其中α为平面BCC 1B 1与平面ACC 1A 1所成的二面角. 证明如下：因为CC 1⊥平面PMN ，所以上述的二面角的平面角为∠MNP . 在△PMN 中，因为PM 2＝PN 2＋MN 2－2PN · MN cos ∠MNP ，所以PM 2·CC 21＝PN 2·CC 21＋MN 2·CC 21－2(PN ·CC 1)·(MN ·CC 1)cos ∠MNP ，由于S BCC 1B 1＝PN ·CC 1，S ACC 1A 1＝MN ·CC 1， S ABB 1A 1＝PM ·BB 1＝PM ·CC 1，所以S 2 ABB 1A 1＝S 2 BCC 1B 1＋S 2 ACC 1A 1－2S BCC 1B 1·S ACC 1A 1·cos α.20.(本小题满分12分)如图4，在三棱锥P ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点.已知P A ⊥AC ，P A ＝6，BC ＝8，DF ＝5.求证：图4(1)直线P A ∥平面DEF ； (2)平面BDE ⊥平面ABC .【证明】 (1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以DE ∥P A . 又因为P A ⊆/平面DEF ，DE 平面DEF ，所以直线P A ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ＝6，BC ＝8，所以DE ∥P A ，DE ＝12P A ＝3，EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2，所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF . 又P A ⊥AC ，DE ∥P A ，所以DE ⊥AC . 因为AC ∩EF ＝E ，AC 平面ABC ，EF 平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC . 又DE 平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC .21.(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝14，且a n ＋1＝（n －1）a n n －a n(n ≥2).(1)求a 3，a 4，猜想a n 的表达式，并加以证明；(2)设b n ＝a n ·a n ＋1a n ＋a n ＋1，求证：对任意的n ∈N ＋，都有b 1＋b 2＋…＋b n <n3.【解】 (1)容易求得：a 3＝17，a 4＝110.故可以猜想a n ＝13n －2，n ∈N ＋.下面利用数学归纳法加以证明： ①显然当n ＝1，2，3，4时，结论成立， ②假设当n ＝k (k ≥4，k ∈N ＋)时，结论也成立，即a k ＝13k －2.那么当n ＝k ＋1时，由题设与归纳假设可知：a k ＋1＝（k －1）a kk －a k＝（k －1）×13k －2k －13k －2＝k －13k 2－2k －1＝k －1（3k ＋1）（k －1）＝13k ＋1＝13（k ＋1）－2. 即当n ＝k ＋1时，结论也成立，综上，对任意n ∈N ＋，a n ＝13n －2成立.(2)证明：b n ＝a n ·a n ＋1a n ＋a n ＋1＝13n －2·13n ＋113n －2＋13n ＋1＝13n ＋1＋3n －2＝13(3n ＋1－3n －2)，所以b 1＋b 2＋…＋b n ＝13[(4－1)＋(7－4)＋(10－7)＋…＋(3n ＋1－3n －2)] ＝13(3n ＋1－1)，所以只需要证明13(3n ＋1－1)<n3⇔3n ＋1<3n ＋1⇔3n ＋1<3n ＋23n ＋1⇔0<23n (显然成立)，所以对任意的n ∈N ＋，都有b 1＋b 2＋…＋b n <n 3.22.(本小题满分12分)记U ＝{1，2，…，100}，对数列{a n }(n ∈N ＋)和U 的子集T ，若T ＝∅，定义S T ＝0；若T ＝{t 1，t 2，…，t k }，定义S T ＝at 1＋at 2＋…＋at k .例如：T ＝{1，3，66}时，S T ＝a 1＋a 3＋a 66.现设{a n }(n ∈N ＋)是公比为3的等比数列，且当T ＝{2，4}时，S T ＝30.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意正整数k (1≤k ≤100)，若T ⊆{1，2，…，k }，求证：S T <a k ＋1； (3)设C ⊆U ，D ⊆U ，S C ≥S D ，求证：S C ＋S C ∩D ≥2S D .【解】 (1)由已知得a n ＝a 1·3n －1，n ∈N ＋.于是当T ＝{2，4}时，S T ＝a 2＋a 4＝3a 1＋27a 1＝30a 1. 又S T ＝30，故30a 1＝30，即a 1＝1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N ＋.(2)证明：因为T ⊆{1，2，…，k }，a n ＝3n －1>0，n ∈N ＋，所以S T ≤a 1＋a 2＋…＋a k ＝1＋3＋…＋3k －1＝12(3k －1)<3k .因此，S T <a k ＋1.(3)证明：下面分三种情况证明.①若D 是C 的子集，则S C ＋S C ∩D ＝S C ＋S D ≥S D ＋S D ＝2S D . ②若C 是D 的子集，则S C ＋S C ∩D ＝S C ＋S C ＝2S C ≥2S D . ③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集. 令E ＝C ∩∁U D ，F ＝D ∩∁U C ，则E ≠∅，F ≠∅，E ∩F ＝∅.于是S C ＝S E ＋S C ∩D ，S D ＝S F ＋S C ∩D ，进而由S C ≥S D 得S E ≥S F . 设k 为E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则k ≥1，l ≥1，k ≠l . 由(2)知，S E <a k ＋1.于是3l －1＝a l ≤S F ≤S E <a k ＋1＝3k ，所以l －1<k ，即l ≤k . 又k ≠l ，故l ≤k －1.从而S F ≤a 1＋a 2＋…＋a l ＝1＋3＋…＋3l －1＝3l －12≤3k －1－12＝a k －12≤S E －12，故S E ≥2S F ＋1，所以S C －S C ∩D ≥2(S D －S C ∩D )＋1，即S C ＋S C ∩D ≥2S D ＋1. 综合①②③得，S C ＋S C ∩D ≥2S D .章末综合测评(二) 变化率与导数(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.某质点沿直线运动的位移方程为f (x )＝－2x 2＋1，那么该质点从x ＝1到x ＝2的平均速度为( )A.－4B.－5C.－6D.－7【解析】Δy Δx ＝f （2）－f （1）2－1＝（－2×22＋1）－（－2×12＋1）1＝－6.【答案】 C2.设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( )A.1B.12C.－12 D.－1【解析】 y ′＝2ax ，于是切线斜率k ＝f ′(1)＝2a ，由题意知2a ＝2，∴a ＝1. 【答案】 A3.下列各式正确的是( ) A.(sin α)′＝cos α(α为常数) B.(cos x )′＝sin xC.(sin x)′＝cos xD.(x－5)′＝－15x－6【解析】由导数公式知选项A中(sin α)′＝0；选项B中(cos x)′＝－sin x；选项D中(x －5)′＝－5x－6.【答案】C4.设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a等于()【解析】令f(x)＝ax－ln(x＋1)，则f′(x)＝a－1x＋1.由导数的几何意义可得在点(0，0)处的切线的斜率为f′(0)＝a－1.又切线方程为y＝2x，则有a－1＝2.∴a＝3.【答案】D5.已知二次函数f(x)的图像如图1所示，则其导函数f′(x)的图像大致形状是()图1A B C D【解析】由图像知f(x)＝ax2＋c(a<0)，∴f′(x)＝2ax(a<0)，故选B.【答案】B6.已知函数y＝x－1，则它的导函数是()A.y′＝12x－1 B.y′＝x－12（x－1）C.y′＝2x－1x－1 D.y′＝－x－12（x－1）【解析】u＝x－1，y′＝(u)′·u′＝12u＝12x－1＝x－12（x－1）.【答案】B7.若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()A.4x－y－3＝0B.x＋4y－5＝0C.4x－y＋3＝0D.x＋4y＋3＝0【解析】切线l的斜率k＝4，设y＝x4的切点的坐标为(x0，y0)，则k＝4x30＝4，∴x0＝1，∴切点为(1，1)，即y－1＝4(x－1)，∴4x－y－3＝0.【答案】A8.设函数f (x )＝x m＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1f （n ）(n ∈N ＋)的前n 项和是( )A.n n ＋1 B.n ＋2n ＋1 C.n n －1 D.n ＋1n 【解析】 ∵f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，∴m ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ，∴1f （n ）＝1n 2＋n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f （n ）(n ∈N ＋)的前n 项和为1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.故选A.【答案】 A9.如图2，下列图像中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图像，则f (－1)等于( )图2A.－13B.13C.73D.－13或73【解析】 f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)＝[x ＋(a －1)][x ＋(a ＋1)].显然(2)(4)不符合，若(1)是f ′(x )的图像，则有a ＝0，与已知矛盾，故(3)是f ′(x )的图像，∴a ＝－1.∴f (－1)＝－13－1＋1＝－13.【答案】 A10.过点(－1，0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( ) A.2x ＋y ＋2＝0 B.3x －y ＋3＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0 【解析】 y ′＝2x ＋1，设所求切线的切点为(x 0，x 20＋x 0＋1)，则x 20＋x 0＋1x 0＋1＝2x 0＋1，∴x 0＝0或x 0＝－2.当x 0＝0时，曲线y ＝x 2＋x ＋1在点(0，1)处的切线斜率为1，方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0.当x 0＝－2时，切线方程为3x ＋y ＋3＝0. 【答案】 D11.点P 是曲线x 2－y －2ln x ＝0上任意一点，则点P 到直线4x ＋4y ＋1＝0的最短距离是( )A.22(1－ln 2)B.22(1＋ln 2) C.22⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋ln 2D.12(1＋ln 2)【解析】 y ′＝2x －1x ＝－1⇒x ＝12⇒y ＝14＋ln 2，所以切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14＋ln 2，切点到直线的距离就是两平行线间的距离，由点到直线的距离公式求得d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4×12＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋ln 2＋142＋42＝22(1＋ln 2)，故选B.【答案】 B12.已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 【解析】因为y ＝4e x＋1，所以y ′＝－4e x（e x ＋1）2＝－4e xe 2x ＋2e x ＋1＝－4e x ＋1ex ＋2. 因为e x >0，所以e x ＋1e x≥2，所以y ′∈[－1，0)，所以tan α∈[－1，0).又因为α∈[0，π)，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上) 13.设函数y ＝f (x )是一次函数，若f (1)＝－1，且f ′(2)＝－4，则f (x )＝________. 【解析】 ∵y ＝f (x )是一次函数，∴设f (x )＝ax ＋b ， ∴f ′(x )＝a ，则f (1)＝a ＋b ＝－1，又f ′(2)＝a ＝－4.即a ＝－4，b ＝3，∴f (x )＝－4x ＋3. 【答案】－4x ＋314.若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标为－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________.【解析】 ∵y ′＝2x －1， ∴当x ＝－2时，y ′＝－5. 又P (－2，6＋c )， ∴6＋c －2＝－5，∴c ＝4. 【答案】 415.设函数f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )(a ，b ，c 是两两不等的常数)，则a f ′（a ）＋bf ′（b ）＋cf ′（c ）＝________. 【解析】 ∵f ′(x )＝(x －b )(x －c )＋(x －a )·(x －c )＋(x －a )·(x －b )， ∴f ′(a )＝(a －b )(a －c )，同理f ′(b )＝(b －a )(b －c )， f ′(c )＝(c －a )(c －b )，代入原式中得值为0. 【答案】 016.设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0<φ<π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝____. 【解析】 f ′(x )＝－sin (3x ＋φ)·(3x ＋φ)′＝－3sin (3x ＋φ)，∴f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)＝2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋φ＋π3，当f (x )＋f ′(x )为奇函数时，φ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵0<φ<π，∴φ＝π6.【答案】 π6三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)求下列函数的导数. (1)y ＝3x 2＋x cos x ；(2)y ＝tan x x ；(3)y ＝x 2－2x ＋5x 3.【解】 (1)y ′＝(3x 2)′＋(x cos x )′ ＝6x ＋x ′cos x ＋x (cos x )′ ＝6x ＋cos x －x sin x .(2)法一：y ′＝（tan x ）′·x －tan xx 2＝xcos 2x －tan x x 2＝x －cos 2x ·tan x x 2cos 2x ＝x －sin x cos x x 2cos 2x .法二：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x cos x ′＝（sin x ）′x cos x －sin x （x cos x ）′x 2cos 2x＝x cos 2x －sin x （cos x －x sin x ）x 2cos 2x＝x －sin x cos x x 2cos 2x .(3)∵y ＝1x －2x 2＋5x 3＝x －1－2x －2＋5x －3，∴y ′＝－x －2－2×(－2)x －3＋5×(－3)x －4＝－1x 2＋4x 3－15x 4.18.(本小题满分12分)已知曲线y ＝f (x )＝x 3－8x ＋2. (1)求曲线在点(0，2)处的切线方程；(2)过原点作曲线的切线l ：y ＝kx ，求切线l 的方程.【解】 (1)∵f (x )＝x 3－8x ＋2，∴f ′(x )＝3x 2－8，则f ′(0)＝－8，所以曲线在点(0，2)处的切线方程为y －2＝－8(x －0)，即8x ＋y －2＝0.(2)设切点为P (a ，a 3－8a ＋2)，切线斜率k ＝3a 2－8，则切线方程y －(a 3－8a ＋2)＝(3a 2－8)(x －a )，又因为切线过原点，所以0－(a 3－8a ＋2)＝(3a 2－8)(0－a )，即2a 3－2＝0，所以a ＝1，即切线l 斜率为k ＝－5，切线l 方程为y ＝－5x ，即5x ＋y ＝0.19.(本小题满分12分)已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限.(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程.【解】 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1，由已知得3x 2＋1＝4，解得x ＝±1.当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又因为点P 0在第三象限，所以切点P 0的坐标为(－1，－4).(2)因为直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，所以直线l 的斜率为－14，因为l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，所以直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.20.(本小题满分12分)设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)求过点(2，f (2))且与切线y ＝(e －1)x ＋4垂直的直线方程l .【解】 (1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设，⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知k l ＝11－e ，且f (2)＝2e ＋2， ∴y －(2e ＋2)＝11－e(x －2).即所求直线l 的方程为y ＝11－e x ＋21－e ＋2e ＋2.21.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2. (1)若a ＝1，求f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)对于任意x ≥2使得f ′(x )≥x 恒成立，求实数a 的取值范围.【解】 (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋x 2，则f ′(x )＝1x ＋2x ，故在点(1，f (1))处的切线斜率为k ＝f ′(1)＝3，又f (1)＝1，即切点为(1，1)，故切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)当x ≥2时，f ′(x )≥x ，即ax ＋2x ≥x (x ≥2)恒成立，即a ≥－x 2在x ∈[2，＋∞)上恒成立. 令t ＝－x 2，当x ∈[2，＋∞)时，易知t max ＝－4，为使不等式a ≥－x 2恒成立，则a ≥－4，故实数a 的取值范围为[－4，＋∞).22.(本小题满分12分)已知两曲线f (x )＝x 3＋ax ，g (x )＝ax 2＋bx ＋c 都经过点P (1，2)，且在点P 有公切线.(1)求a ，b ，c 的值；(2)设k (x )＝f （x ）g （x ），求k ′(－2)的值.【解】 (1)依题意，⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝2，a ＋b ＋c ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＋c ＝1.故f (x )＝x 3＋x ，g (x )＝x 2＋bx ＋1－b ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，g ′(x )＝2x ＋b ，由于两曲线在点P (1，2)处有公切线，故f ′(1)＝g ′(1)，即4＝2＋b ，所以b ＝2. 故c ＝1－b ＝－1.(2)由(1)可得f (x )＝x 3＋x ，g (x )＝x 2＋2x －1，故k (x )＝f （x ）g （x ）＝x 3＋x x 2＋2x －1，故k ′(x )＝（x 3＋x ）′（x 2＋2x －1）－（x 3＋x ）（x 2＋2x －1）′（x 2＋2x －1）2＝（3x 2＋1）（x 2＋2x －1）－（x 3＋x ）（2x ＋2）（x 2＋2x －1）2＝x 4＋4x 3－4x 2－1（x 2＋2x －1）2. 故k ′(－2)＝16－32－16－1（4－4－1）2＝－33.章末综合测评(三) 导数应用(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.物体运动的方程为s ＝14t 4－3，则t ＝5时的瞬时速度为( ) A.5 B.25 C.125 D.625【解析】 ∵v ＝s ′＝t 3，∴t ＝5时的瞬时速度为53＝125. 【答案】 C2.函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A.(－∞，2) B.(0，3) C.(1，4) D.(2，＋∞)【解析】 f ′(x )＝(x －2)e x ，由f ′(x )>0，得x >2，所以函数f (x )的单调递增区间是(2，＋∞). 【答案】 D3.函数f (x )＝ax 3＋x ＋1有极值的充要条件是( ) A.a ≥0 B.a >0 C.a ≤0 D.a <0 【解析】 f ′(x )＝3ax 2＋1，当a ＝0时，f ′(x )＝1>0，f (x )单调增加，无极值；当a ≠0时，只需Δ＝－12a >0，即a <0即可. 【答案】 D4.函数f (x )的导函数f ′(x )的图像如图1所示，那么f (x )的图像最有可能的是( )图1A B C D【解析】数形结合可得在(－∞，－2)，(－1，＋∞)上，f ′(x )<0，f (x )是减函数；在(－2，－1)上，f ′(x )>0，f (x )是增函数，从而得出结论.【答案】 B5.若函数y ＝a (x 3－x )的递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，则a 的取值范围是( )A.a >0B.－1<a <0C.a >1D.0<a <1【解析】依题意得y ′＝a (3x 2－1)>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，∴a >0.【答案】 A6.若函数f (x )在R 上可导，且满足f (x )－xf ′(x )>0，则( ) A.3f (1)<f (3) B.3f (1)>f (3) C.3f (1)＝f (3) D.f (1)＝f (3) 【解析】由于f (x )>xf ′(x )，⎝ ⎛⎭⎪⎫f （x ）x ′＝f ′（x ）x －f （x ）x 2<0恒成立，因此f （x ）x 在R 上是单调递减函数，∴f （3）3<f （1）1，即3f (1)>f (3)，故选B.【答案】 B7.若函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a 在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为( )A.－5B.7C.10D.－19【解析】 ∵f (x )′＝－3x 2＋6x ＋9＝－3(x ＋1)(x －3)，所以函数在[－2，－1]内单调递减，所以最大值为f (－2)＝2＋a ＝2， ∴a ＝0，最小值为f (－1)＝a －5＝－5. 【答案】 A8.函数y ＝12x －2sin x 的图像大致是( )【解析】因为y ′＝12－2cos x ，所以令y ′＝12－2cos x >0，得cos x <14，此时原函数是增函数；令y ′＝12－2cos x <0，得cos x >14，此时原函数是减函数，结合余弦函数图像，可得选项C 正确.【答案】 C9.若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是( )A.[－1，＋∞)B.(－1，＋∞)C.(－∞，－1]D.(－∞，－1)【解析】 f ′(x )＝－x ＋bx ＋2，由题意知f ′(x )≤0在(－1，＋∞)上恒成立，即b ≤x 2＋2x 在(－1，＋∞)上恒成立，即b ≤(x ＋1)2－1，则b ≤－1，故选C.【答案】 C10.已知y ＝f (x )是定义在R 上的函数，且f (1)＝1，f ′(x )>1，则f (x )>x 的解集是( ) A.(0，1) B.(－1，0)∪(0，1) C.(1，＋∞) D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】不等式f (x )>x 可化为f (x )－x >0，设g (x )＝f (x )－x ，则g ′(x )＝f (x )′－1，由题意g ′(x )＝f ′(x )－1>0，∴函数g (x )在R 上单调递增，又g (1)＝f (1)－1＝0， ∴原不等式⇔g (x )>0⇔g (x )>g (1)，∴x >1，故选C. 【答案】 C11.当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.[－5，－3]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98C.[－6，－2]D.[－4，－3] 【解析】当x ＝0时，ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变为3≥0恒成立，即a ∈R . 当x ∈(0，1]时，ax 3≥x 2－4x －3，a ≥x 2－4x －3x 3，∴a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3max . 设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝（2x －4）x 3－（x 2－4x －3）3x 2x 6＝－x 2－8x －9x 4＝－（x －9）（x ＋1）x 4＞0，∴φ(x )在(0，1]上递增，φ(x )max ＝φ(1)＝－6. ∴a ≥－6.当x ∈[－2，0)时，a ≤x 2－4x －3x 3，∴a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3min . 仍设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝－（x －9）（x ＋1）x 4.当x ∈[－2，－1)时，φ′(x )＜0.当x ∈(－1，0)时，φ′(x )＞0.∴当x ＝－1时，φ(x )有极小值，即为最小值. 而φ(x )min ＝φ(－1)＝1＋4－3－1＝－2，∴a ≤－2.综上知－6≤a ≤－2. 【答案】 C12.已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若函数f (x )在(0，1)上单调，则实数a 的取值范围是( ) A.a ≥0 B.a <－4 C.a ≥0或a ≤－4 D.a >0或a <－4【解析】 f ′(x )＝2x ＋2＋ax ，x ∈(0，1)， ∵f (x )在(0，1)上单调，∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(0，1)上恒成立，∴2x ＋2＋a x ≥0或2x ＋2＋ax ≤0在(0，1)上恒成立，即a ≥－2x 2－2x 或a ≤－2x 2－2x 在(0，1)上恒成立.设g (x )＝－2x 2－2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋12，则g (x )在(0，1)上单调递减，∴g (x )max ＝g (0)＝0，g (x )min ＝g (1)＝－4.∴a ≥g (x )max ＝0或a ≤g (x )min ＝－4.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上) 13.已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________. 【解析】因为f (x )＝(2x ＋1)e x ，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ，所以f ′(0)＝3e 0＝3. 【答案】 314.函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为________.【解析】 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ′(x )＝e x cos x ≥0，∴f (0)≤f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即12≤f (x )≤12e π2.【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，12e π2 15.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，在x ＝1时有极值10，则a ＋b ＝________. 【解析】 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝2a ＋b ＋3＝0，f (1)＝a 2＋a ＋b ＋1＝10，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－3，a 2＋a ＋b ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11，当a ＝－3时，x ＝1不是极值点，a ，b 的值分别为4，－11，∴a ＋b ＝－7.【答案】－716.周长为20 cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________cm 3.【解析】设矩形的长为x ，则宽为10－x (0<x <10)，由题意可知所求圆柱的体积V ＝πx 2(10－x )＝10πx 2－πx 3，∴V ′(x )＝20πx －3πx 2.由V ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)，x ＝203，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，203时，V ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫203，10时，V ′(x )<0，∴当x ＝203时，V (x )取得最大值为4 00027π cm 3.【答案】 4 00027π三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)若函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋3既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围.【解】 ∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，令3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0，∵函数f (x )有极大值和极小值，∴方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a 2－4a －8>0，解得a >2或a <－1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).18.(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图像与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11).(1)求a ，b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性.【解】 (1)求导得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b .由于f (x )的图像与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)，所以f (1)＝－11，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧1－3a ＋3b ＝－11，3－6a ＋3b ＝－12，解得a ＝1，b ＝－3. (2)由a ＝1，b ＝－3得f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x 2－2x －3) ＝3(x ＋1)(x －3).令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3；又令f ′(x )<0，解得－1<x <3.故当x ∈(－∞，－1)和x ∈(3，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－1，3)时，f (x )是减函数.。

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选修2-2 3章末综合训练
一、选择题
1．复数i 3(1＋i)2＝( )
A ．2
B ．－2
C ．2i
D ．－2i
[答案] A
[解析] 考查复数代数形式的运算．
i 3(1＋i)2＝－i·(2i)＝2.
2．对于下列四个命题：
①任何复数的绝对值都是非负数．
②如果复数z 1＝5i ，z 2＝2－3i ，z 3＝－5i ，z 4＝2－i ，那么这些复数的对应点共圆． ③|cos θ＋isin θ|的最大值是2，最小值为0.
④x 轴是复平面的实轴，y 轴是虚轴．
其中正确的有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
[答案] D
[解析] ①正确．因为若z ∈R ，则|z |≥0，若z ＝a ＋b i(b ≠0，a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2>0.②正确．因为|z 1|＝5，|z 2|＝(2)2＋(3)2＝5，|z 3|＝5，|z 4|＝5，这些复数的对应点均在以原点为圆心，5为半径的圆上．③错误．因为|cos θ＋isin θ|＝cos 2θ＋sin 2θ＝1为定值，最大、最小值相等都阿是1.④正确．故应选D.
3．(2010·陕西理，2)复数z ＝i 1＋i
在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
[答案] A
[解析] z ＝i 1＋i ＝12＋12
i ，对应点在第一象限． 4．设复数z ＝(a ＋i)2在复平面上的对应点在虚轴负半轴上，则实数a 的值是( )
A ．－1
B ．1
C. 2 D ．－ 3
[答案] A
[解析] z ＝(a ＋i)2＝(a 2－1)＋2a i ，据条件有
⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2－1＝02a ＜0，∴a ＝－1. 5．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x 的值为( )
A ．1
B ．±1
C ．－1
D ．－2
[答案] A
[解析] 解法1：由x 2－1＝0得，x ＝±1，当x ＝－1时，x 2＋3x ＋2＝0，不合题意，当x ＝1时，满足，故选A. 解法2：检验法：x ＝1时，原复数为6i 满足，排除C 、D ；
x ＝－1时，原复数为0不满足，排除B ，故选A.
二、填空题
6．若z 1＝1－i ，z 2＝3－5i ，在复平面上与z 1，z 2对应的点分别为Z 1，Z 2，则Z 1，Z 2的距离为________．
[答案] 2 5
[解析] 由z 1＝1－i ，z 2＝3－5i 知
Z 1(1，－1)，Z 2(3，－5)，由两点间的距离公式得：d ＝(3－1)2＋(－5＋1)2＝2 5.
7．已知复数z 满足z ＋(1＋2i)＝10－3i ，则z ＝______________.
[答案] 9－5i
[解析] ∵z ＋(1＋2i )＝10－3i
∴z ＝10－3i －(1＋2i)＝(10－1)＋(－3－2)i
＝9－5i.
8．已知复数z 1＝cos θ－i ，z 2＝sin θ＋i ，则z 1·z 2的实部最大值为________，虚部最大值为________．
[答案] 32 2 [解析] z 1·z 2＝(cos θ－i)·(sin θ＋i)
＝(cos θsin θ＋1)＋i(cos θ－sin θ)
实部cos θsin θ＋1＝1＋12sin2θ≤32，最大值为32
，虚部cos θ－sin θ＝2cos ⎝⎛⎭
⎫θ＋π4≤2，最大值为 2. 三、解答题
9．设存在复数z 同时满足下列条件：
(1)复数z 在复平面内对应点位于第二象限；
(2)z ·z ＋2i z ＝8＋a i (a ∈R )，试求a 的取值范围．
[解析] 设z ＝x ＋y i (x 、y ∈R )，
由(1)得x <0，y >0.
由(2)得x 2＋y 2＋2i(x ＋y i)＝8＋a i.
即x 2＋y 2－2y ＋2x i ＝8＋a i.
由复数相等得，⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2－2y ＝8，2x ＝a . 解得－6≤a ＜0.
10．设z 是虚数，ω＝z ＋1z
是实数，且－1<ω<2. (1)求z 的实部的取值范围；
(2)设u ＝1－z 1＋z
，求证：u 是纯虚数． (3)求ω－u 2的最小值．
[分析] 本题涉及复数的概念、复数与不等式的综合应用，考查学生解综合题的能力．
[解析] (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，且b ≠0)，
则ω＝z ＋1z ＝a ＋b i ＋1a ＋b i
＝⎝⎛⎭⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝⎛⎭
⎫b －b a 2＋b 2i. ∵ω∈R ，∴b －b a 2＋b 2＝0. ∵b ≠0，∴a 2＋b 2＝1.
此时ω＝2a ，又－1<ω<2，
∴－1<2a <2⇔－12
<a <1. ∴z 的实部的取值范围是⎝⎛⎭
⎫－12，1. (2)证明：u ＝1－z 1＋z ＝1－a －b i 1＋a ＋b i ＝1－a 2－b 2－2b i (1＋a )2＋b 2
＝－b a ＋1
i. ∵a ∈⎝⎛⎭
⎫－12，1，b ≠0，a ，b ∈R ， ∴u 为纯虚数．
(3)ω－u 2＝2a ＋b 2(a ＋1)2＝2a ＋1－a 2(a ＋1)2
＝2a －a －1a ＋1＝2a －1＋2a ＋1
＝2⎣⎡⎦
⎤(a ＋1)＋1a ＋1－3. ∵－12
<a <1，∴a ＋1>0. ∴2⎣⎡⎦
⎤(a ＋1)＋1a ＋1－3 ≥2·2(a ＋1)·1a ＋1
－3＝1. 当且仅当a ＋1＝1a ＋1
，即a ＝0时取“＝”号，故ω－u 2的最小值为1.
[点评] 本题表面上是考查复数的有关概念，但实质上是借复数的知识考查学生的化归能力，考查均值不等式的应用，综合考查学生运用所学知识解决问题的能力是高考改革的方向．。