2013年实中杯七年级数学竞赛试卷

2013年“实中杯”七年级数学竞赛试卷
（完卷时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分）
1．设A 、B 、C 、D 为大于零的整数，满足算式14.451212A B C D
=+
+
+
，那么A+B+C+D=
（ ）
A ．9
B ．10
C ．11
D ．12 2．若a 为正整数，且25a
x
=，则324(2)4a a x x ÷的值为（ ）
A ．5
B ．
5
2
C ．25
D ．10 3．若01a <<，21b -<<-，则
1212a b a b
a b a b
-++-+-++的值是（ ） A ．0 B ．－1 C ．－3 D ．－4 4．若a+b ＜0， ab ＜0，则下列式子成立的是（ ）
A ．a<0，b ＜0且a ≠b
B ．a ＜0，b ＞0且a ＜b
C ．a ＜0＜b ，且－a ＞b
D ．a ＞0,b ＞0且b ＜a
5．已知有理数,,,A B x y 满足0A B +≠， ():()(2):()A B A B x y x y +-=+-，那么
:()A A B +=（ ）
A ．3:(2)x x y +
B ．3:(42)x x y +
C ．:()x x y +
D ．2:(2)x x y +
班级 姓名 ――――――――――――――――――――密―――――――――――――――封―――――――――――线―――――――――――――――
B
(第8题)
D
A
A '
B '
E A
B
C
D E
6．如图，在一个正方体的两个面上画了两条对角线AB ，AC ，那么这两条对角线的夹角(即∠BAC)等于（ ）
A ．600
B ．750
C ．900
D ．1350 7．如图，把∆ABC 绕点C 顺时针旋转25度，得到∆A ′B ′C ，A ′B ′交AC 于D ，已 知∠A ′DC ＝80度，若AB 与A ′B ′交于点
E ，则∠BEA ′的度数是 ( ) A ．135度 B ．145度 C ．155度 D ．165度 8．如图，是一个装饰物品连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个 呈现出来的图形是（ ）
9．在代数式z x y 2
中，若x 与y 的值各减少25%，z 的值增加25%，则代数式的值（ ） A.减少
21 B.减少 43 C.减少256135 D.减少256
121
10．QQ 空间是一个展示自我和沟通交流的网络平台．它既是网络日记本，又可以上传图片、视频等．QQ 空间等级是用户资料和身份的象征，按照空间积分划分不同的等级．当用户在10级以上，每个等级与对应的积分有一定的关系．现在知道第10级的积分是90，第11级的积分是160，第12级的积分是250，第13级的积分是360，第14级的积分是490……若某用户的空间积分达到1 000，则他的等级是（ ） A ．18
B ．17
C ．16
D ．15
二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）
11．若32012x
=，32013y
=，则3
x y
-= ．
12．如图，E 是正方形ABCD 的AB 边延长线上一点，AB =8，BE =4，BD 所在
(第18题)
(第17题)
S 4 S 1
S 2
S 3 圆的圆心是C ，则图中阴影部分的面积是 ．（ 3.14π≈） 13．若a=2009，b=2010-，则=++ab 3b 2a 2
2
． 14．从3点15分开始到时针与分针第一次成30°角，需要的时间是 分． 15．已知数轴上的点A 到原点的距离是2个单位长度，那么数轴上到A 点的距离是3个单位长度的点所表示的数有 个．
16．7公斤桃子的价钱等于1公斤苹果和2公斤梨的价钱；7公斤苹果的价钱等于10公斤梨和1公斤桃子的价钱 ，则购买12公斤苹果所需的钱可以购买梨 公斤．
17．如图，一个大正方形被两条线段分割成两个小正方形和两个长方形，如
果S 1＝75cm 2，S 2＝15cm 2，那么大正方形的面积是S ＝_____________cm 2．
18．如图有一长条型链子，其外型由边长为1cm 的正六边形排列而成。

其中每个黑色六边形与6个白色六边形相邻。

若链子上有35个黑色六边形，则此链子有 个白色六边形．
三、解答题：（第19、20题，每小题7分，第21、22、23题，每小题8分，满分38分）)
19．已知a 、b 、c 为实数，且111456ab bc ca a b b c c a ===+++，， 求abc
ab bc ca
++的值.
20．已知(2013)(2011)2012m m --=.求：22
(2013)(2011)m m -+-的值.
21．已知关于x 、y 的二元一次方程(3)(25)60a x a y a -+-+-=当a 每取一个值时就有一个方程，这些方程有一个公共解. （1）求出这个公共解；
（2）请说明，无论ａ取何值，这个公共解都是二元一次方程(3)(25)60a x a y a -+-+-=的解.
22．如图，已知线段AB=a ，点P 是线段AB 上的一个动点，且不与点A 、点B 重合，分别以AP 、BP 为直径在线段AB 的同侧作两个半圆。

1）设AP=x ，求两个半圆的面积之和S 1（用a 、x 的代数式表示）；
2）当点P 是AB 的中点时，求两个半圆的面积之和S 2（用a 或x 的代数式表示）； 3）比较上述2个问题中S 1和S 2的大小，并说明理由. A
P B
―――――――――――――――――密――――――――――
23．已知1x ，2x ，3x ，…，n x 中每一个数值只能取－2，0，1中的一个，且满足
1217n x x x ++⋅⋅⋅+=-，2221237n x x x ++⋅⋅⋅+=，求33312n x x x ++⋅⋅⋅+的值.
2013年“实中杯”七年级数学竞赛试卷（参考答案）
（完卷时间：90分钟 满分：100分）
19．已知a 、b 、c 为实数，且
111456ab bc ca a b b c c a ===+++，， 求
abc
ab bc ca
++的值. 解：由已知条件可知a ≠0，b ≠0，c ≠0，对已知三式取倒数得：
1111114 5 6a b b c c a
+=+=+=，， 三式相加除以2得：11115
2
a b c ++=
因为111152ab bc ca abc a b c ++=++=，所以2
15
abc ab bc ca =++
20．已知(2013)(2011)2012m m --=. 求2
2
(2013)(2011)m m -+-的值. 答案：4028
21．已知关于x 、y 的二元一次方程(3)(25)60a x a y a -+-+-=当a 每取一个值时就有一个方程，这些方程有一个公共解. （1）求出这个公共解；
（2）请说明，无论ａ取何值，这个公共解都是二元一次方程(3)(25)60a x a y a -+-+-=的解.
解：（1）这个解为7
3x y =⎧⎨=-⎩
（2） ∵把(3)(25)60a x a y a -+-+-=化为下面的形式；
0653)12(=+---+y x a y x
210
3560x y x y +-=⎧⎨
--+=⎩ 得 7
3
x y =⎧⎨
=-⎩ ∴无论ａ取何值，这个公共解都是二元一次方程(3)(25)60a x a y a -+-+-=的解
22．如图，已知线段AB=a ，点P 是线段AB 上的一个动点，且不与点A 、点B 重合，分别以AP 、BP 为直径在线段AB 的同侧作两个半圆。

1）设AP=x ，求两个半圆的面积之和S 1（用a 、x 的代数式表示）；
2）当点P 是AB 的中点时，求两个半圆的面积之和S 2（用a 或x 的代数式表示）； 3）比较上述2个问题中S 1和S 2的大小，并说明理由. 解：（1）2214
4
8
S x ax a π
π
π
=
-
+
（2）22
16
S a π
=
或
24
x π
（3）2121
()42
S S x a π
-=
- 当P 不是AB 中点时，即12x
a ≠
时,得21
()042
x a π->，此时12S S > 当P 是AB 中点时，,即12x a =
时,得21
()042
x a π-=，此时12S S = 23．已知1x ，2x ，3x ，…，n x 中每一个数值只能取－2，0，1中的一个，且满足
1217n x x x ++⋅⋅⋅+=-，2221237n x x x ++⋅⋅⋅+=，求33312n x x x ++⋅⋅⋅+的值.
解：设有p 个x 取1，q 个x 取－2，有217437p q p q -=-⎧⎨
+=⎩，解得1
9
p q =⎧⎨=⎩
所以原式＝3
3
119(2)71⨯+⨯-=-
A
P
B
不为1的有理数，我们把
a
-11
称为a 的差倒数．．．
．如：3的差倒数是311-=－21，－1的差倒数是
)1(11--=2
1
．已知a 1=4，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，
依此类推，则2012a = 13
-。