谈电磁感应中的焦耳热

江苏 张洪伟

在电磁感应的综合题目中，运用能量守恒定律对电路的焦耳热进行计算的问题比较多，虽然物理情景不同，但求解思路基本相同，下面归类并举例说明。
一、水平导轨情景
这种情景下能量转化的情况是动能转化为电能，电能再转化为内能，电路上消耗的内能就是所说的焦耳热。
例1 如图1所示，一个导轨PMNQ水平固定在一个竖直向下的匀强磁场中，导轨上跨放一根质量为m的金属棒ab，导轨MN边和金属棒ab平行，它们的电阻分别是R和r，导轨的其余部分的电阻不计，若沿着MP方向作用在金属棒上一个水平力使ab在很短时间内由静止得到速度，设导轨足够长，求在金属棒ab中产生的热量。

图1
解析：金属棒ab在力的作用下获得速度相应获得动能，ab切割磁感线运动，产生感应电流受到磁场力F作用做减速运动，直到速度减为零停止下来，在这个过程中，ab棒的动能转化为电能，最终转化为导轨与ab棒产生的焦耳热和，且满足，因导轨电阻R和ab棒电阻r是串联关系，则有。
由以上各式可解得，金属棒上产生的热量

说明：此例是最简单的情景，在此基础上，可以添加条件，比如金属棒和导轨之间有摩擦，或者还有一个拉力作用在金属棒上的情景，求解的关键是要注意功能转换关系，并能灵活运用能量守恒。

二、线框竖直下落情景
这种情景下只有一个边在磁场中切割磁感线，机械能转化为电能，进而再转化为内能。
例2 一个质量、长，宽、电阻的矩形线圈，从离匀强磁场上边缘高处由静止自由下落，进入磁场后，由于受到磁场力的作用，线圈恰能做匀速运动（设整个运动过程中线框保持平动），取，求：
（1）匀强磁场的磁感应强度B；
（2）若磁场宽度，通过磁场过程中线框中产生的热量，并说明其转化过程。

图2
解析：线圈自由下落将进入磁场时的速度为
（1）线圈的下边进入磁场后切割磁感线产生感应电流，其方向从左到右，使线圈受到向上的磁场力，匀速运动时应满足条件
解得。
（2）因为仅当线圈的下边在磁场中或离开磁场时、线圈做切割磁感线运动，线圈内才有感应电流，此时线圈的动能不变，由线圈下落过程中重力势能的减少转化为电能，最后以焦耳热的形式释放出来，所以线圈中产生的热量。
说明：此例由于通过磁场时线圈匀速运动，由以及电路知识也可以求解，但要进行过程分析，比较麻烦，另外的情景是和情况下，求上下两个边都通过磁场产生的焦耳热是多少，这样的问题要求比较高，只能供学有余力的同学思考。

三、线框转动情景
转动过程中产生的

电动势、电流都是变化的，用能
量守恒才能求解。
例3 如图3所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向竖直向下，在磁场中有一个边长为L的正方形刚性金属框，ab边质量为m，其他三边的质量不计，金属框的总电阻为R，cd边上装有固定的水平轴，现在将金属框从水平位置由静止释放，不计一切摩擦，金属框经t时间恰好通过竖直位置a′b′cd，ab边通过最低位置时受到的安培力为F，求t时间内，金属框中产生的焦耳热。

图3
解析：由能量守恒，在t时间内ab边重力势能的减少最后转化为它的动能和框中产生的焦耳热，即，又，，解得。
总结：电磁感应现象的实质问题是能量转化与守恒问题，这是求解热量最基本的思路，但要注意过程中的功能关系：重力做功的过程是重力势能向动能和电能转化的过程；安培力做功的过程是机械能向电能转化的过程；合外力（重力和安培力）做功的过程是动能增加的过程；电流做功的过程是电能向内能转化的过程。