正比例和反比例的比较
正比例与反比例的比较
《正比例与反比例的比较》一、教学目标：１、通过具体问题，认识正比例与反比例的量。
２、能找出正比例与反比例量的实例，并进行交流。
３、能根据给出的正比例与反比例关系的数据在有关坐标系的方格纸上画图，并根据其中一个量估计另一个量的值。
二、教学重难点：１、判断实例是否成比例，成正比例还是反比例。
２、生活中比例知识的具体应用。
三、教具：多媒体课件。
四、教学过程：（一）导入：师：前面我们学了正比例与反比例，通过学习你都了解了哪些知识呢？生自由发言。
师：那它们究竟有什么不同呢？今天我们来对正比例与反比例进行对比，师揭示课题：（正比例与反比例）（二）教学新知：１、出示课件：师：表中有哪两个量？它们是什么关系呢？生个别回答。
２、学生画图，比较正比例与反比例的图象。
师：如果用字母怎样表示这两个量的关系呢？生回答。
课件出示，这两种量成什么比例呢？抽生回答。
３、判断下列各题成什么比例？（课件出示）（１）长方形的面积一定，长与宽。
（２）长方形的周长一定，长与宽。
（３）圆的周长一定，半径与圆周率。
（４）圆锥体积一定，底面积与高。
（５）收入一定，支出与结余。
（６）路程一定，速度与时间。
个别学生回答，并说明理由。
４、思考三种量：速度、时间、路程分别是什么关系？抽学生回答，并说明理由。
师生小结：速度一定，路程与时间成正比。
时间一定，路程与速度成反比。
路程一定，速度与时间成反比。
练习：单价、数量、总价三个量之间的关系。
生个别发言。
５、学生比较正比例与反比例的相同点与不同点。
学生以小组为单位进行讨论。
汇报发言，师生共同小结。
并板书：课件出示表格６、讨论总结判断正比例与反比例的步骤：一列二找三判断。
三、作业设计：教材第６３页练习。
四、课堂小结：这节课你有什么收获？请说给同伴听听。
（学生自由发言）板书设计：正比例与反比例的比较正比例反比例关系式：Ｙ：Ｘ＝Ｋ（Ｋ一定）ＸＹ＝Ｋ（Ｋ一定）变化方向：变化规律相同变化规律不同图象：一条直线一条曲线1、已知挂钟和闹钟的时针长10厘米，4厘米，当他们的时针分别转一昼夜时，针尖所走的路程差是多少厘米2、一个挂钟的分针长15厘米，经过1小时，分针尖端走过的路程是多少厘米？经过30分呢？经过15分呢？3、一根铁丝长10米，做成3个同样的圆环后，还剩0、58米，每个圆环的直径是多少米？4、地面上平躺着一个底面半径为0、5米的圆柱形油桶，如果要将这个油桶滚到与它相距16、2米的墙边需要转动几周？5、阴影部分的面积是50平方厘米，则圆环的面积是多少平方厘米？6、自行车前轮直径是28厘米，后轮直径是35 厘米，前轮行走40圈，后轮要走几圈？7、两个连在一起的皮带轮，大轮直径是3分米，小轮直径是1分米2厘米，大轮转1周，小轮要转几周？8、拖拉机后轮半径是前轮半径的1、5倍，后轮转动9周，前轮转动几圈？9、从甲地到乙地A、B两条路走，这两条路的长度（）。
第九课时正比例和反比例的比较
课题正比例和反比例的比较﹙补充内容﹚课型新授第（9）课时教学目标1．进一步理解正比例和反比例的意义，弄清它们的联系和区别。
掌握它们的变化规律。
2．使学生能正确判断正、反比例。
3．发展学生分析、比较、抽象、概括能力，激发学生的学习兴趣。
重点正反比例的联系和区别。
难点能判断正、反比例。
板书设计正比例和反比例的比较相同点：1 . 都有两种相关联的量。
2.一种量随着另一种量变化。
不同点：正比例 1.变化方向相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小。
2.相对应的每两个数的比值（商）是一定的。
反比例 1.变化方向相反，一种量扩大（缩小），另一种呈反而缩小（扩大）。
2.相对应的每两个数积是一定的。
学习过程学习环节媒体运用学习活动修改意见一激趣导学回忆再现：谁能说一说你是怎样理解正比例和反比例意义的?1、小组之间可以互相说自己的理解方法。
二复习铺垫课件(一)课件出示判断：下面每组中的两个量成什么关系?1、单价一定，数量和总价。
2、路程一定，速度和时间。
3、正方形的边长和它的面积。
4、时间一定，工效和工作总量。
(二)教师评价，引出问题:我们在前两节课分别学习了成正比例的量和成反比例的量，初步学习判断两种量是不是成正比例或反比例的关系。
这节课我们要进一步学习成正、反比例的量的特点，并且通过比较弄清成正比例的量和成反比例的量有什么相同点和不同点。
(板书：正比例和反比例的比较)三讲析研讨课件(一)议问﹙学生讨论，自主学习﹚:1.课件出示表1路程（千米） 5 10 25 50 100时间（时） 1 2 5 10 20表2﹕2、指名学生回答，要学生注意正反比例的相同点与不同点。
速度（千米/时）100 50 20 10 5时间（时） 1 2 5 10 20让学生观察上面两个表格，然后根据两个表中所给的数量汇报观察的结果。
让学生找出表1和表2相关的两个量，并口述哪一个量随哪着一个量的变化而变化的。
(二)释问:（汇报交流）1.学生汇报观察结果生1: 在表1中：相关联的量是路程和时间，路程随着时间变化，速度是一定的。
正比例和反比例的比较数学教案
正比例和反比例的比较数学教案第一章：正比例的概念和性质1.1 教学目标了解正比例的定义和特点能够识别生活中的正比例关系掌握正比例的计算方法1.2 教学内容正比例的定义和判定方法正比例的性质和特点正比例的计算公式：y = kx (k 为比例常数)1.3 教学活动通过实例引入正比例的概念，让学生观察和分析实例中的正比例关系引导学生通过数学表达式来表示正比例关系进行小组讨论，让学生探索正比例的性质和特点1.4 教学评估通过填空题、选择题和简答题等形式，评估学生对正比例概念和性质的理解让学生举例说明生活中的正比例关系，评估学生的应用能力第二章：反比例的概念和性质2.1 教学目标了解反比例的定义和特点能够识别生活中的反比例关系掌握反比例的计算方法2.2 教学内容反比例的定义和判定方法反比例的性质和特点反比例的计算公式：y = k/x (k 为比例常数)2.3 教学活动通过实例引入反比例的概念，让学生观察和分析实例中的反比例关系引导学生通过数学表达式来表示反比例关系进行小组讨论，让学生探索反比例的性质和特点2.4 教学评估通过填空题、选择题和简答题等形式，评估学生对反比例概念和性质的理解让学生举例说明生活中的反比例关系，评估学生的应用能力第三章：正比例和反比例的比较3.1 教学目标能够区分正比例和反比例的关系能够判断一个给定的关系是正比例还是反比例能够解决与正比例和反比例相关的问题3.2 教学内容正比例和反比例的异同点正比例和反比例的判断方法正比例和反比例问题的解决方法3.3 教学活动通过实例比较正比例和反比例的关系，让学生观察和分析实例中的正比例和反比例关系引导学生通过数学表达式来判断一个给定的关系是正比例还是反比例进行小组讨论，让学生探索正比例和反比例的异同点3.4 教学评估通过填空题、选择题和简答题等形式，评估学生对正比例和反比例比较的理解让学生解决与正比例和反比例相关的问题，评估学生的应用能力第四章：正比例和反比例在实际问题中的应用4.1 教学目标能够将正比例和反比例关系应用到实际问题中能够解决与正比例和反比例相关的实际问题能够解释正比例和反比例在生活中的意义4.2 教学内容正比例和反比例在实际问题中的应用方法正比例和反比例实际问题的解决步骤正比例和反比例在生活中的实例分析4.3 教学活动通过实例引入正比例和反比例在实际问题中的应用，让学生观察和分析实例中的正比例和反比例关系引导学生运用正比例和反比例的计算方法解决实际问题进行小组讨论，让学生探索正比例和反比例在实际问题中的应用4.4 教学评估通过填空题、选择题和简答题等形式，评估学生对正比例和反比例在实际问题中应用的理解让学生解决与正比例和反比例相关的实际问题，评估学生的应用能力第五章：正比例和反比例的综合练习5.1 教学目标巩固学生对正比例和反比例的理解提高学生解决正比例和反比例问题的能力培养学生的逻辑思维和综合应用能力5.2 教学内容正比例和反比例的综合练习题正比例和反比例问题的解决策略正比例和反比例的综合应用实例5.3 教学活动提供一系列正比例和反比例的综合练习题，让学生独立完成引导学生运用正比例和反比例的计算方法和判断方法解决综合练习题进行小组讨论，让学生分享解题思路和方法5.4 教学评估通过正比例和反比例的综合练习题，评估学生对正比例和反比例的理解和应用第六章：正比例和反比例的图形表示6.1 教学目标理解正比例和反比例关系在坐标系中的图形表示学会绘制正比例和反比例函数的图像能够通过图像分析正比例和反比例函数的性质6.2 教学内容正比例函数和反比例函数在坐标系中的图形表示绘制正比例函数和反比例函数图像的方法和步骤正比例函数和反比例函数图像的特点和分析方法6.3 教学活动通过示例演示正比例函数和反比例函数在坐标系中的图形表示学生分组练习绘制正比例函数和反比例函数的图像利用计算机软件或图形计算器进行图形展示和分析6.4 教学评估通过填空题、选择题和简答题等形式，评估学生对正比例和反比例图形表示的理解让学生绘制给定函数的正比例和反比例图像，评估学生的应用能力第七章：正比例和反比例的性质探究7.1 教学目标深入理解正比例和反比例的性质学会运用性质解决相关问题培养学生的探究能力和创新思维7.2 教学内容正比例和反比例的基本性质正比例和反比例的衍生性质正比例和反比例性质在问题解决中的应用7.3 教学活动学生分组探究正比例和反比例的衍生性质利用数学软件或实验工具验证正比例和反比例的性质7.4 教学评估通过填空题、选择题和简答题等形式，评估学生对正比例和反比例性质的理解让学生运用正比例和反比例的性质解决实际问题，评估学生的应用能力第八章：正比例和反比例在实际生活中的应用8.1 教学目标了解正比例和反比例在实际生活中的应用学会用正比例和反比例解决问题培养学生的实际问题解决能力和数学应用意识8.2 教学内容正比例和反比例在实际生活中的实例分析正比例和反比例问题解决的方法和步骤正比例和反比例在生活中的意义和价值8.3 教学活动通过实例分析正比例和反比例在实际生活中的应用学生分组讨论和练习解决实际生活中的正比例和反比例问题分享解决实际问题的经验和方法8.4 教学评估通过填空题、选择题和简答题等形式，评估学生对正比例和反比例在实际生活中应用的理解让学生解决给定的实际生活中的正比例和反比例问题，评估学生的应用能力第九章：正比例和反比例的扩展与应用9.1 教学目标掌握正比例和反比例的扩展知识学会解决复杂的正比例和反比例问题培养学生的综合应用能力和创新思维9.2 教学内容正比例和反比例的扩展知识复杂正比例和反比例问题的解决方法正比例和反比例在科学研究和工程技术中的应用9.3 教学活动引导学生学习正比例和反比例的扩展知识学生分组研究复杂正比例和反比例问题的解决方法利用案例分析和项目研究，探讨正比例和反比例在实际中的应用9.4 教学评估通过填空题、选择题和简答题等形式，评估学生对正比例和反比例扩展知识的理解让学生解决复杂的正比例和反比例问题，评估学生的应用能力10.1 教学目标巩固学生对正比例和反比例知识的理解提高学生解决正比例和反比例问题的能力10.2 教学内容正比例和反比例的主要概念、性质和应用复习正比例和反比例的知识点10.3 教学活动通过复习题和讨论，巩固学生对正比例和反比例知识的理解学生自主复习正比例和反比例的概念、性质和应用分享正比例和反比例的学习方法和经验10.4 教学评估通过复习题和讨论，评估学生对正比例和反比例知识的掌握程度重点和难点解析1. 正比例和反比例的概念理解：学生需要理解正比例和反比例的定义，以及它们在数学和现实世界中的应用。
正比例、反比例的比较
1、正比例的意义是：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
2、用字母表示：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用关系式表示：x÷y=k （一定）还可表示为：x=ky以上各种商都是一定的，那么被除数和除数．所表示的两种相关联的量，成正比例关系．注意：在判断两种相关联的量是否成正比例时,应注意已知的两种量必须是两种相关联的量（也就是有关系的两种量），有些量，虽然也是一种量随着另一种的变化而变化，但它们相对应的两个数的比值不一定，它们就不能成正比例．例如：一个人的年龄和它的体重，就不能成正比关系，正方形的边长和它的面积也不成正比例关系．行驶的路程和时间是成比例的量。
“正反比例”归纳：相同点：①正比例和反比例都含有三个数量，在这三个数量中，均有一个定量、两个变量。
②在正、反比例的两个变量中，均是一个量变化，另一个量也随之变化。
正比例中相关联的两种量的变化方向是一致的，即：同时扩大或同时缩小，关键是：相对应的两个数的“比值一定，也就是商一定”；反比例中两种量的变化方向是相反的，即：一个量扩大，则另一个量缩小，一个缩小，另一个量则扩大，关键是：相对应的两个数的“积一定”。
不同点：正比例的定量（即不变的量）是两个变量中相对应的两个数的比值。
反比例的定量（即不变的量）是两个变量中相对应的两个数的积。
②正比例的图像时上升直线；反比例是曲线。
③公式不同：正比例是（x y=k（一定）），反比例是（xy=k（一定））。
④规律不同：正比例是一个数缩小，另一个数也缩小，一个数扩大，另一个数也扩大；反比例是一个数缩小，另一个数就扩大，一个数扩大另一个数就缩小。
门诊医院：举例：当路程一定时，已行路程与未行路程成比例吗?为什么？分析：虽然这里的已行路程和未行路程也是相关联的两个量，但是它们的变化规律是增加或减少的数，换句话说已行路程与未行路程不是一个量随另一个量的扩大而扩大或缩小而缩小，也就是它们之间不能相乘，也不能相除，得不到一个积或一个商，所以它们不成比例。
正反比例比较知识点总结
正反比例比较知识点总结正反比例是数学中常见的一种比例关系，表现为一种正向的变化和一种反向的变化之间的对应关系。
在现实生活中，正反比例关系也经常出现，比如物体的体积和压力、时间和速度、成本和产量等之间都存在着正反比例关系。
在数学中，我们通常用两个变量x和y表示正反比例关系，其中x表示自变量，y表示因变量。
在正比例关系中，当x增大时，y也随之增大；而在反比例关系中，当x增大时，y却相应地减小。
正反比例关系可以用等式y=kx表示，其中k称为比例常数。
当k>0时，表示正比例关系；当k<0时，表示反比例关系。
正反比例关系在数学中有着重要的应用，特别是在解决实际问题中，比如物理、经济、工程等领域。
在这些领域中，正反比例关系可以帮助我们更好地理解和分析问题，为实际应用提供便利。
下面我们将从数学、物理、经济和工程等方面来具体分析正反比例关系的应用。
一、在数学中的应用1.1 正反比例关系的解题方法在数学中，我们经常会遇到一些与正反比例关系有关的题目，如物体的价钱和重量成正比，时间和距离成反比等。
这些问题可以通过建立方程来求解。
例如，一个物体的重量和价格成正比，如果物体的重量是3kg，价格是45元，求每kg的价格是多少。
设每kg的价格为x元，则可以建立等式45=3x，解得x=15。
因此，每kg的价格是15元。
1.2 正反比例关系的图像和性质在数学中，我们可以利用图像来描述正反比例关系。
对于正比例关系来说，图像是一条通过原点的直线，斜率就是比例常数k；而对于反比例关系来说，图像是一条不通过原点的曲线。
正反比例关系还有一个重要的性质，就是两个变量的乘积是一个常数，即y=kx，所以称为正反比例关系。
1.3 正反比例的相关定理在数学中，还有一些与正反比例关系相关的定理，如等距离定理、平行定理等。
这些定理在解决用正反比例关系求解的问题是非常有用的。
二、在物理中的应用2.1 压力和体积的关系在物理中，压力和体积的关系是一个常见的正反比例关系。
正比例和反比例的比较
1、变化方向相同，一 种量增加（或减少），另
1、变化方向相反， 一种量增加（或减少）
一种量也增加（或减少）．另一种量反而减少
（或增加）．
2、相对应的两个数的 2、相对应的两个数的
比值（商）一定．
乘积一定．
判断下面各题中的两种量成不成比例，成 什么比例 1．工作效率一定，工作时间和工作总量 （成正）比例．
温故而知新
• 1、什么是正比例？用字母怎 样表示？也就是怎样才成正 比例？
2、什么是反比例，用字母怎 样表示？也就是怎样才成反 比例？
思考 路程、速度和时间这三个量中每两量之间
有什么样的比例关系？ 当路程一定时，速度和时间成反比例关系．
当速度一定时，路程和时间成正比例关系．
当时间一定时，路程和速度成正比例关系．
判断下面各题中两种量成不成比例，成 什么比例． 1．已知 A÷B＝C 当 A一定时，B和C（成反）比例； 当B一定时，A和C（成正）比例； 当C一定时，A和B（成正）比例．
2．工作总量一定，工作效率和工作时 间（成反 ）比例．
3．长方形的长一定，宽和面积（成正）比 例．
4．三角形的面积一定，它的底和高（成反） 比例．
2．长方形的周长一定，它的长和宽（不成） 比例．
3．平行四边形的面积一定，它的底和高 （成反）比例．
4．比的前项一定，比的后项和比值 （成反）比例．
5．路程一定，行走的速度和所需的 时间（成反）比例．
6．比的后项一定，比的前项和比 值（ 成正）比例．
7．圆的半径与面积（不成）比例．
8．用一批纸装订练习本，每本的页 数和装订的本数（成反 ）比例．
5．分母一定，分子和分数值（成正）比 例．
做一做 判断单价、数量和总价中一种量一定，另外
正反比例的比较
两种量成正比例关系或反比例关系还可以用图来 表示。
表一 路程（千米）
路程
30 60 90 120
时间
1 2 3 4
180 150 120 90 60 30 0 2 4 6
（千米） （时）
8 10 12 时间(时)
两种量成正比例关系或反比例关系还可以用图来 表示。
路程（千米）
A点表示2小时行60千米。 B点表示4小时行120千米。
（2）三角形的底一定，面积和高。 正比例 三角形的面积 ÷ 高 = 底÷ 2 (一定)
二、判断题中两种量成什么比例？
（1）用方砖铺一间房，每块砖的面积和用砖的块数。
反比例
(一定)
每块砖的面积×砖的块数=一间房的面积
（2）用方砖铺一间房，砖的边长和用砖的块数。
不成比例
砖的边长2×砖的块数=一间房的面积 (一定)
因为正方形的面积与边长的比的比值不一定，积也 不一定。 所以正方形的面积与边长 不成比例
3、在工作总量、工作时间和工作效率这三种量中：
如果工作总量一定，工作效率和工作时 反 间成_____比例。
如果工作时间一定，工作总量和工作效 正 率成_____比例；
如果工作效率一定，工作总量和工作时 正 间成_____比例；
=
k (一定）
两种相关联的量，一种量变化， 另一种量也随着变化，如果这两 种量中相对应的两个数的积一定， 这两种量就叫做成反比例的量， 它们之间的关系叫做反比例关系。
如果用字母x和y分别表示两 种相关联的量，用k表示它们的 乘积，反比例关系就可以用下 面的式子表示：
x×y
=
k (一定）
例7、观察下面两个表，再回答问题。
一、下面题中的数量成什么关系？请列出等式。
正反比例的比较
正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系．正方形的周长与边长圆的周长与直径路程比时间等于速度(一定)反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量中相对应的两个数的积一定。
这两种量叫做成反比例的量。
它们的关系叫做反比例关系。
用x×y=k(一定）来表示。
1.百米赛跑，路程100米不变，速度和时间是反比例；2.排队做操，总人数不变，排队的行数和每行的人数是反比例；3.做纸盒子，总个数一定，每人做的个数和人数成反比例；4.买东西（实际就用文具用品），总钱数一定，它的单价和数量是反比例；5.长方形的面积一定，长和宽是反比例；6.长方体的体积一定，底面积和高是反比例。
7.等分一块蛋糕，每人分到的蛋糕与人数成反比例。
8.总价一定,单价与数量成反比例.9.长方体体积一定,底面积与高成反比例10.总纸盒一定,每人做的个数与人数成反比例反比例的意义形如y=k;x*y=k乘1/x（k不等于0）的函数叫做反比例函数，k叫做反比例系数。
y*x=k(一定)，这是求反比例的公式。
编辑本段反比例的实质两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量中相对应的两个数的积一定。
这两种量叫做成反比例的量。
它们的关系叫做反比例关系。
用xy=k(一定）k不等于0来表示。
简单点来说，就是如果一样事物增加了，另一样事物减少，它减少了，另一样事物增加，这两个事物的关系就叫做反比例关系。
编辑本段正比例和反比例之间的相互转化当正比例中的x值（自变量的值），转化为它的倒数时，由正比例转化为反比例；当反比例中的x值（自变量的值）也转化为它的倒数时，由反比例转化为正比例。
编辑本段生活中的反比例1.百米赛跑，路程100米不变，速度和时间成反比例（即路程一定，速度和时间成反比例）；2.排队做操，总人数不变，排队的行数和每行的人数成反比例；3.做纸盒子，总个数一定，每人做的个数和人数成反比例；4.买东西（实际就用文具用品），总价一定，它的单价和数量是反比例；5.长方形的面积一定，长和宽是反比例（提示：但是长方形的周长与长宽不成比例【既不成正比例也不成反比例】）；6.长方体的体积一定，底面积和高是反比例。
正比例关系和反比例关系的比较及判断
三、基本练习：1、速度一定，路程和时间成比例。
路程一定，速度和时间成比例。
时间一定，路程和速度成比例。
2、单价一定，数量和总价成比例。
总价一定，数量和单价成比例。
数量一定，总价和单价成比例。
3、每小时织布米数一定，织布总米数和时间。
（比例）4、幼儿园老师分给每个小朋友饼干的块数一定，小朋友的人数和所需的饼干数。
（比例）5、订阅《中国少年报》的份数和钱数。
（比例）6、小新跳高的高度和他的身高。
（比例）7、小麦每公顷产量一定，小麦的公顷数和总产量。
（比例）8、种子的总量一定，每公顷的播种量和播种的公顷数。
（比例）9、李叔叔从家到工厂，骑自行车的速度和所需的时间。
（比例）10、华容做12道数学题，做完的题和没有做的题。
（比例）11、生产电视机的总台数一定，每天生产的台数和所用的天数。
（比例）12、①长方形的面积一定，它的长和宽。
（比例）②长方形的周长一定，它的长和宽。
（比例）13、小林拿一些钱买练习本，单价和购买的数量。
（比例）14、每包书中册数相同，包数和总册数。
（比例）15、①全班的学生人数一定，每组的人数和组数。
（比例）②全班的学生人数一定，男生人数和女生人数。
（比例）16、每平方米种植玉米的棵数一定，土地的面积和种植玉米的总棵数。
（比例）17、工人的人数一定，每人生产的产品数和全体工人生产的产品总数。
（比例）18、和一定，加数和另一个加数。
（比例）19、把一堆粮食装入麻袋，麻袋的数量和每袋粮食的重量。
（比例）20、单位时间内写字的个数相同，写字的时间和写字的总数。
（比例）21、一条绳子的长度一定，剪去的部分和剩下的的部分。
（比例）22、一栋楼房的户数一定，全楼居民的人数和平均每户的人数。
（比例）23、同学们做操，每行人数和行数。
（比例）24、①圆的直径和它的周长。
（比例）②圆的半径和它的周长。
（比例）25、①圆的面积和它的半径。
（ 比例）②圆的面积和它的半径的平方。
（ 比例）26、一个因数一定，积和另一个因数。
正比例函数和反比例函数的区别
正比例函数和反比例函数的区别在初中数学的学习过程中，我们都已经知道了两种基本的函数类型——正比例函数和反比例函数。
由于教材中两种函数的分类明确，所以很多同学对这两种函数形式不太重视，对其内涵的理解也不到位。
在函数中有一种叫做正比例函数，它的图像是y=kx(k为常数)，即y=kx的图像上任意一点p(x)都满足x^2=k(x-k)(x^2-kx^2)|x|，而k(x-k)=kx^2的大小与x有关，与x无关。
正比例函数的图像就是这样一条直线，这是学生容易混淆的地方，它们之间虽然相差一个k字，但实质上存在着区别，需要注意：第一， k(x-k)=kx^2，而k(x-k)=kx，即如果是单项式，那么只有一个k；如果是多项式，则还有两个k，分别为第一个k和最后一个k，与x无关。
反比例函数与正比例函数相比较，两者的相似性更加明显，他们都具有“相反”的特点，而且二者的定义域和值域也相似，但反比例函数与正比例函数的区别在于反比例函数可能会经过一个点而使得它的图像不是一条直线，而正比例函数通常不会。
例如：反比例函数y=ax2+bx-c，当x=0时，它的图像与y轴交于两点(a,b)和(c,d)，这两点表示的意义是不相同的， a是原点，它表示的是直线y=x的图像， b表示的是实数，而c表示的是点p在反比例函数y=ax2+bx-c图像上的位置。
而正比例函数通常是在图像上取一个点(x=0)，代入反比例函数的表达式后，可以发现它们的比值是相等的。
总结：两种函数相似，但要细致辨析！首先，两种函数都属于“变量与其对应值成正比例”，两种函数也都有“最大值与最小值”，所以最大值、最小值可以认为是两种函数的共同点。
但他们却有本质的区别。
由于k值是否与x有关，也可将两种函数划分为一种与k无关的“直线型”正比例函数和一种与k有关的“点”型反比例函数，并且反比例函数图像在k=0时，与y轴交于一点(在该点处的左边或右边)，当k=0时，反比例函数图像与y轴不交。
正比例和反比例的比较教案
正比例和反比例的比较教案一、教学目标：1. 让学生理解正比例和反比例的概念，掌握它们的定义和特点。
2. 培养学生运用正比例和反比例解决问题的能力。
3. 帮助学生建立数学与实际生活的联系，提高学生的数学应用能力。
二、教学内容：1. 正比例的概念和特点2. 反比例的概念和特点3. 正比例和反比例的判断方法4. 正比例和反比例在实际生活中的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：正比例和反比例的概念、特点及应用。
2. 教学难点：正比例和反比例的判断方法。
四、教学方法：1. 采用情境教学法，让学生在实际情境中感受正比例和反比例。
2. 运用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
3. 采用问题驱动法，引导学生主动探究正比例和反比例的规律。
4. 利用多媒体辅助教学，提高学生的学习兴趣。
五、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例，引导学生发现正比例和反比例的现象。
2. 新课导入：介绍正比例和反比例的概念、特点。
3. 实例分析：分析正比例和反比例在实际生活中的应用。
4. 判断练习：让学生判断给出的实例是正比例还是反比例。
5. 总结提升：归纳正比例和反比例的判断方法，强调其在实际生活中的重要性。
6. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
7. 教学反思：总结课堂教学，针对学生的掌握情况，调整教学策略。
六、教学评价：1. 通过课堂问答、作业批改等方式，了解学生对正比例和反比例概念的理解程度。
2. 利用课后练习题，评估学生运用正比例和反比例解决问题的能力。
3. 观察学生在实际生活中的应用，检验学生对正比例和反比例知识的实际运用能力。
七、教学资源：1. 教材：正比例和反比例相关章节。
2. 多媒体课件：正比例和反比例的图片、实例等。
3. 练习题：正比例和反比例的相关题目。
4. 实际生活案例：正比例和反比例在生活中的应用实例。
八、教学进度安排：1. 第1-2课时：正比例的概念、特点及应用。
2. 第3-4课时：反比例的概念、特点及应用。
正比例和反比例的比较数学教案
正比例和反比例的比较数学教案第一章：正比例的概念和性质1.1 引入正比例的概念：介绍两个变量之间的关系，当一个变量的值增加或减少时，另一个变量的值也按照一定的比例增加或减少。
1.2 讲解正比例的表示方法：用比例式表示两个变量之间的关系，如y=kx（k 为比例常数）。
1.3 分析正比例的性质：当x增加m倍时，y也增加m倍；当x减少m倍时，y也减少m倍。
第二章：反比例的概念和性质2.1 引入反比例的概念：介绍两个变量之间的关系，当一个变量的值增加时，另一个变量的值减少，它们的乘积保持不变。
2.2 讲解反比例的表示方法：用反比例式表示两个变量之间的关系，如y=k/x （k为比例常数）。
2.3 分析反比例的性质：当x增加m倍时，y减少m倍；当x减少m倍时，y 增加m倍。
第三章：正比例和反比例的图像表示3.1 讲解正比例的图像表示：通过绘制y=kx的图像，展示正比例关系，图像为一条通过原点的直线。
3.2 讲解反比例的图像表示：通过绘制y=k/x的图像，展示反比例关系，图像为一条双曲线。
第四章：正比例和反比例的应用4.1 介绍正比例的应用：解决与比例有关的问题，如计算比例尺、利润率等。
4.2 介绍反比例的应用：解决与反比例有关的问题，如计算速度、电阻等。
第五章：正比例和反比例的鉴别5.1 介绍正比例和反比例的鉴别方法：通过观察两个变量的变化关系，判断它们是成正比例还是反比例。
5.2 提供一些实际问题，让学生练习鉴别正比例和反比例关系。
第六章：正比例和反比例的运算6.1 复习正比例的运算规则：介绍如何进行正比例的加、减、乘、除运算。
6.2 复习反比例的运算规则：介绍如何进行反比例的加、减、乘、除运算。
6.3 提供一些练习题，让学生练习正比例和反比例的运算。
第七章：正比例和反比例的解决实际问题7.1 介绍如何使用正比例解决实际问题：通过比例关系来计算成本、价格、距离等。
7.2 介绍如何使用反比例解决实际问题：通过反比例关系来计算速度、面积、浓度等。
正比例和反比例的比较数学教案
正比例和反比例的比较数学教案一、教学目标：1. 让学生理解正比例和反比例的概念，能够识别生活中的正比例和反比例关系。
2. 培养学生运用正比例和反比例解决问题的能力。
3. 培养学生通过合作、交流、探究的方式，发现正比例和反比例的内在联系。
二、教学内容：1. 正比例的概念：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
2. 反比例的概念：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：正比例和反比例的概念及辨识。
2. 教学难点：正比例和反比例的应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生发现正比例和反比例的内在联系。
2. 采用合作交流法，让学生在小组合作中发现问题、解决问题。
3. 采用实例分析法，让学生通过生活中的实例，理解正比例和反比例的应用。
五、教学过程：1. 导入：引导学生回顾已学的比例知识，为新课的学习做好铺垫。
2. 新课讲解：讲解正比例和反比例的概念，通过实例让学生辨识生活中的正比例和反比例关系。
3. 课堂练习：设计一些练习题，让学生运用正比例和反比例解决问题，巩固所学知识。
4. 小组讨论：让学生在小组内合作交流，探讨正比例和反比例的内在联系。
6. 课后作业：布置一些有关正比例和反比例的练习题，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 通过课堂表现、练习题和小组讨论，评价学生对正比例和反比例概念的理解程度。
2. 关注学生在解决问题时是否能正确运用正比例和反比例关系，以及他们在合作交流中的表现。
3. 搜集学生课后作业，分析其对正比例和反比例知识的掌握情况。
七、教学拓展：1. 利用多媒体展示更多生活中的正比例和反比例实例，丰富学生的认识。
2. 引导学生思考：除了数学中的正比例和反比例，还有其他领域的例子吗？3. 鼓励学生课后探索：寻找更多正比例和反比例的实例，并与同学分享。
正比例和反比例的比较教案
正比例和反比例的比较教案第一章：正比例的概念和特点1.1 引入正比例的概念，通过实例让学生理解正比例的含义，即两个变量之间的比值保持不变。
1.2 讲解正比例的特点，包括在坐标系中的图像为直线，斜率为常数等。
1.3 进行正比例的运算练习，包括正比例函数的求值、图像的绘制等。
第二章：反比例的概念和特点2.1 引入反比例的概念，通过实例让学生理解反比例的含义，即两个变量之间的乘积保持不变。
2.2 讲解反比例的特点，包括在坐标系中的图像为双曲线，渐近线为坐标轴等。
2.3 进行反比例的运算练习，包括反比例函数的求值、图像的绘制等。
第三章：正比例和反比例的比较3.1 对比正比例和反比例的概念和特点，让学生理解两者之间的区别和联系。
3.2 通过实例让学生掌握正比例和反比例的应用，包括速度和时间的关系、销售和成本的关系等。
3.3 进行正比例和反比例的综合练习，包括实际问题的解决、函数图像的绘制等。
第四章：正比例和反比例的性质和图像4.1 讲解正比例和反比例的性质，包括单调性、奇偶性等。
4.2 通过图像让学生直观地理解正比例和反比例的特点，包括直线和双曲线的形状等。
4.3 进行正比例和反比例的图像绘制练习，包括给定函数图像的绘制、图像的变换等。
第五章：正比例和反比例的应用5.1 通过实例让学生掌握正比例和反比例在实际问题中的应用，包括物理学、经济学等领域。
5.2 讲解正比例和反比例的解决方法，包括代数法、图像法等。
5.3 进行正比例和反比例的应用练习，包括实际问题的解决、函数图像的绘制等。
第六章：正比例与反比例函数的交点6.1 引入正比例与反比例函数图像的交点概念，解释其在数学上的意义。
6.2 讲解如何找到正比例与反比例函数图像的交点，包括解析法和图形法。
6.3 进行寻找正比例与反比例函数交点的练习，包括解决实际问题中的应用。
第七章：正比例与反比例函数的极限7.1 引入极限的概念，解释在正比例与反比例函数中极限的含义。
正比例和反比例的比较数学教案
正比例和反比例的比较数学教案第一章：正比例和反比例的概念引入教学目标：1. 让学生理解正比例和反比例的定义。
2. 让学生能够识别生活中的正比例和反比例关系。
教学内容：1. 引入正比例和反比例的概念。
2. 举例说明生活中的正比例和反比例关系。
教学活动：1. 引导学生观察和分析生活中的正比例和反比例现象。
2. 让学生通过实际例子来理解正比例和反比例的定义。
作业：1. 让学生找出生活中的其他正比例和反比例现象，并加以解释。
第二章：正比例的性质和计算教学目标：1. 让学生掌握正比例的性质。
2. 让学生能够计算正比例关系中的未知量。
教学内容：1. 讲解正比例的性质。
2. 教授计算正比例关系中的未知量的方法。
教学活动：1. 通过实例让学生理解和掌握正比例的性质。
2. 进行数学练习，让学生运用计算正比例关系中的未知量的方法。
作业：1. 让学生完成相关的正比例计算练习题。
第三章：反比例的性质和计算教学目标：1. 让学生掌握反比例的性质。
2. 让学生能够计算反比例关系中的未知量。
教学内容：1. 讲解反比例的性质。
2. 教授计算反比例关系中的未知量的方法。
教学活动：1. 通过实例让学生理解和掌握反比例的性质。
2. 进行数学练习，让学生运用计算反比例关系中的未知量的方法。
作业：1. 让学生完成相关的反比例计算练习题。
第四章：正比例和反比例的图像表示教学目标：1. 让学生能够通过图像来理解和识别正比例和反比例关系。
2. 让学生掌握正比例和反比例图像的特点。
教学内容：1. 讲解正比例和反比例图像的表示方法。
2. 分析正比例和反比例图像的特点。
教学活动：1. 引导学生通过图像来理解和识别正比例和反比例关系。
2. 让学生分析正比例和反比例图像的特点。
作业：1. 让学生完成相关的正比例和反比例图像的识别和分析练习题。
第五章：正比例和反比例的应用教学目标：1. 让学生能够运用正比例和反比例的知识解决实际问题。
2. 让学生能够运用正比例和反比例的关系来进行计算和推理。
六年级数学下册25正比例和反比例的比较同步辅导与作业(苏教版)
【精品】2020~2021六年级下数学教辅（同步辅导及作业）苏教版25. 正比例和反比例的比较辅导模块一、正比例和反比例的比较正比例反比例相同点都有两种相关联的量，一种量随着另一种量变化。
不同点正比例是变化相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小。
相对应的每两个数的比值（商）一定反比例是变化相反，一种量扩大（或缩小），另一种量反而缩小（扩大）。
相对应的每两个量的积一定。
【例题1】判断：（1）速度一定，路程和时间成什么比例？ （2）路程一定，速度和时间成什么比例？ （3）时间一定，路程和速度成什么比例？ 解：（1）速度一定，路程和时间成正比例 （2）路程一定，速度和时间成反比例 （3）时间一定，路程和速度成正比例总结：路程、速度、时间三个量中每两个量之间的比例关系。
速度×时间=路程时间路程=速度 速度路程=时间 【例题2】（1）一个圆柱形的水箱，底面积是0.75平方米，高是1.2米，它能装水多少立方米？ （2）如果底面积增大3倍，它能装水多少立方米？（3）如果能装水0.9立方米，高是0.6米，它的底面积是多少？ 解：圆柱的体积、底面积和高之间的数量关系：体积=底面积×高底面积一定，体积和高成正比例； 高一定，体积和底面积成正比例。
体积一定，高和底面积成反比例。
（1）0.75×1.2=0.9立方米（2）体积和底面积成正比例，它能装水2.7立方米（3）体积一定，高和底面积成反比例，它的底面积是0.75×2=1.5平方米判断两种量成正比例还是成反比例的方法：关键是看这两个相关联的量中相对就的两个数的商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例。
【例题3】把相同体积的水倒入底面积不同的杯子，下面是杯子的底面积和水面高度的变化关系表．（1）高度会怎样变化？（2）把下表填写完整．水面高度/cm 30 20 15 10 5杯子底面积/cm2 10 15 20 30 60水的体积/cm3（3）上面表格中的数据可以用下面的图象表示，从图中你发现了什么？解：（1）底面积越大，水的高度越低；底面积越小，水的高度越高，而且高度和底面积的乘积（水的体积）一定。
比较正比例和反比例的异同
比较正比例和反比例的异同点
一、知识要点
相同：
都是两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化。
区别：
①、反比例是一个量扩大，另一个量缩小；一个量缩小，另一个量扩大；
②、正比例是一个量扩大，另一个量也扩大；一个量缩小，也一个量也缩小；
③、正比例是两者的比值（商）一定，反比例则是两者的乘积一定。
二、随堂检测
一、填空
1、在圆柱体积、底面积和高这三个量中，当圆柱体积一定是，底面积和高成（）比例；当（）一定时，（）和（）成（）比例。
2、全班的人数一定，每组的人数和组数成（）比例。
3、小麦每公顷产量一定，小麦的公顷数和总产量成（）比例。
4、圆柱的侧面积一定，底面周长和高成（）比例。
5、小星跳高的高度和它的身高（）比例。
6、步测一段距离，每部的平均长度和步数成（）比例。
二、判断
1、被减数一定，差和减数成反比例。
（）
2、加工时间一定，做一个零件所用的时间和零件总个数成正比例。
（）
3、如果a和b成正比例，b和c成正比例，那么a和c也成正比例。
（）
4、同时同地的竿长与影长成正比例。
（）
三、选择
1、（）式中的x与y成反比例。
2、下列说法中，正确的是（）。
A,图上距离和实际距离成正比例。
B.三角形的面积一定，底和高成正比例。
C.正方体的棱长和与棱长成正比例
附参考答案：
一、1、反底面积圆柱体积高正（或高圆柱体积底面积正） 2、反3、正4、反5、不成6、反
二、1、×2、×3、√4、√
三、1、A 2、C。
正比例和反比例的比较教案
正比例和反比例的比较教案一、教学目标：知识与技能：1. 学生能理解正比例和反比例的概念。
2. 学生能够识别生活中的正比例和反比例关系。
3. 学生能够运用正比例和反比例的知识解决实际问题。
过程与方法：1. 学生通过观察、分析、归纳正比例和反比例的性质。
2. 学生通过实例探究正比例和反比例的关系。
情感态度价值观：1. 学生培养对数学的兴趣，感受数学与生活的紧密联系。
2. 学生培养合作探究的精神，提高解决问题的能力。
二、教学重点与难点：重点：1. 学生掌握正比例和反比例的概念。
2. 学生能够识别生活中的正比例和反比例关系。
难点：1. 学生理解正比例和反比例的性质。
2. 学生运用正比例和反比例的知识解决实际问题。
三、教学准备：教师准备PPT，内容包括正比例和反比例的定义、性质和实例。
学生准备笔记本，用于记录学习内容。
四、教学过程：1. 导入：教师通过一个实例引出正比例和反比例的概念，激发学生的兴趣。
例如：小明每小时骑自行车的速度是15公里，他骑了3小时，总共骑了多远？2. 探究正比例：教师引导学生观察正比例的定义，让学生通过实例理解正比例的性质。
例如：正比例关系是指两个变量之间的比值保持不变。
如小明每小时骑自行车的速度是15公里，他骑了3小时，总共骑了45公里。
3. 探究反比例：教师引导学生观察反比例的定义，让学生通过实例理解反比例的性质。
例如：反比例关系是指两个变量之间的乘积保持不变。
如一本书的单价是10元，买了3本，总共花费了30元。
4. 总结正比例和反比例的性质：教师引导学生总结正比例和反比例的性质，加深学生对知识的理解。
正比例：两个变量之间的比值保持不变。
反比例：两个变量之间的乘积保持不变。
5. 应用练习：教师出示一些实际问题，让学生运用正比例和反比例的知识解决问题。
例如：一辆汽车以60公里/小时的速度行驶，行驶了2小时，总共行驶了多远？五、教学反思：教师引导学生总结本节课的学习内容，反思自己对正比例和反比例的理解和运用。
正比例和反比例的比较
正比例和反比例的比较引言在数学中，存在着许多与数量之间的关系有关的问题。
其中，两种常见的关系是正比例和反比例。
正比例指的是两个变量之间的关系是直接相关的，而反比例则是指两个变量之间的关系是反相关的。
本文将对正比例和反比例进行比较，探讨它们的特点、应用和区别。
正比例正比例指的是两个变量之间的关系是直接相关的。
换句话说，当一个变量增加时，另一个变量也会相应地增加；同样地，当一个变量减少时，另一个变量也会相应地减少。
这种关系可以用以下公式表示：y = kx其中，y是表示第一个变量的值，x表示第二个变量的值，k是一个常数，表示两个变量之间的比例关系。
常数k被称为比例常数或者比例系数。
正比例的一个典型例子是速度和时间之间的关系。
当一个车辆以恒定的速度行驶时，所花费的时间和行驶的距离成正比。
如果我们令速度为v，时间为t，那么速度和时间的关系可以表示为v = kt。
这个公式表明，速度和时间之间的比例关系是正比例关系。
另一个常见的正比例例子是成本和数量之间的关系。
假设一个商品的成本与出售的数量成正比。
如果我们令成本为C，数量为N，那么成本和数量的关系可以表示为C = kN。
这个公式表明，成本和数量之间的比例关系是正比例关系。
反比例反比例指的是两个变量之间的关系是反相关的。
换句话说，当一个变量增加时，另一个变量相应地减少；同样地，当一个变量减少时，另一个变量相应地增加。
这种关系可以用以下公式表示：y = k / x其中，y是表示第一个变量的值，x表示第二个变量的值，k是一个常数。
与正比例不同，反比例中的常数k是两个变量之间的乘法逆元，通常表示为1/k。
反比例的一个典型例子是速度和时间之间的关系。
当一个车辆以恒定的速度行驶时，所花费的时间和行驶的距离成反比。
如果我们令速度为v，时间为t，那么速度和时间的关系可以表示为v = k/t。
这个公式表明，速度和时间之间的比例关系是反比例关系。
另一个常见的反比例例子是压力和体积之间的关系。
数学六年级下册-知识讲解 正比例和反比例的比较
正比例和反比例的比较
问题导入观察下面的两个表格，并填空，分别比较它们的异同。
(1)表 1
在表1中相关联的量是和，随着变化，是一定的。
因此，路程和时间成关系。
过程讲解
1．观察表格并填空
(1)在表1中相关联的量是路程和时间，路程随着时间变化，相对应的两个数的比值是一定的。
因此，路程和时间成正比例关系。
(2)在表2中相关联的量是速度和时间，速度随着时间变化，相对应的两个数的积是一定的。
因此，速度和时间成反比例关系。
2．比较正比例关系与反比例关系的异同
(1)相同点。
(2)不同点
归纳总结
正比例与反比例的异同点：。
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教学内容：第19~20页例7以及相应的“做一做”，练习四第1~2题
教学目标：
1、知识目标：进一步理解正比例的反比例的意义，弄清它们的联系和区别，掌握它们的变化规律。
2、能力目标：使学生能正确判断正、反比例。
3、创新目标：引导学生观察、思考、探究，判断正、反比例。
4、德育目标：发展学生分析、比较、抽象、概括能力，激发学生的学习兴趣。
1、单价一定，数量和总价。
2、路程一定，速度和时间。
3、正方形的边长和它的面积。
4、时间一定，工效和工作总量。
通过复习，为下面学习做铺垫孕伏
二、创设条件，自主参与
初步学习判断两种量是不是成正比例或反比例的关系。这节课通过比较弄清它们有什么相同点和不同点。
自己看书学习比例这部分知识。
Байду номын сангаас小组合作交流
三、组织研究，体验发现
教学重点：正、反比例的联系和区别。
教学难点：能正确判断正、反比例。
创新点：在例题教学中通过比较，弄清正、反比例的联系与区别。
德育点： 学生在分析、比较、抽象、的学习中培养学生的概括能力。
课前准备：多媒体课件
教学设计：
教学步骤
教师活动过程
学生活动过程
一、导引目标，激发兴趣
判断下面每题中两种量成正比例还是成反比例？
出示例7：完成下表，说出自己发现了什么？
速度×时间=路程 当路程一定时，速度和时间成反比例。
=速度 当速度一定时，路程和时间成正比例。
=时间 当时间一定时，路程和速度成正比例。
通过学生间的合作和交流共同完成学习的任务。
四、引导创新，应用实践
正、反比例的联系和区别
相同点：
不同点：
通过自学、讨论、总结规律。
五、反思小结，巩固提高
1、谈谈自己的收获。
2、同步练习册
1、在小结的过程中，不断地巩固。
2、自我鉴定
研究性作业
根据生活实际，说出成正、反比例的关系。
认识到数学与我们日常生活密切相关，认识到数学问题具有探索性、挑战性。感受数学思考的条理性。数学结论的确定性。
板书： 正比例和反比例的比较
相同点：1、都有两种相关联的量。2、一种量随着另一种量变化。
教学体会：从这节课的学习情况来看，我前面将正反比例一起置于学生眼前的做法是可取的，学生在大量的信息中充分感知了各自的特点抓住了它们的本质特征，使学生一开始就是在辨别中自己培养了辨别力。以前听说的学生单独学完正比例是清楚的，在学完反比例后就全糊涂、混淆了的情况在我班没有出现。在高兴之余，为我自己的一次创新而庆贺。是啊，学生创新更需教师创新！
不同点：正比例
1、变化方向相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小。
2、相对应的每两个数的比值（商）是一定的，
反比例
1、变化方向相反，一种量扩大（缩小），另一种呈反而缩小（扩大）。
2、相对应的每两个数积是一定的。
备注：在教学的过程中，五个环节有机融合，相互渗透。在研究中体验，在体验中创新，并不断地进行阶段性地小结，在师生的相互合作与交流的过程中实现教学目标。