2021届河南省三门峡市普通高中高三第一次大练习考试数学(理)试卷及答案
2021届河南省三门峡市高三上学期第一次大练习(数学(文)试题Word版含解析
2021届河南省三门峡市高三上学期第一次大练习（数学（文）试题一、单选题1．若集合{0,1,2}A =，2{|30}B x x x =-≤，则A B 为（ ） A ．{1,2} B ．{0,1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{|03}x x ≤≤【答案】B【解析】解不等式230x x -≤得到集合B ，再和A 求交集即可. 【详解】解不等式230x x -≤得03x ≤≤，即{|03}B x x =≤≤，因为{}0,1,2A =， 所以{}0,1,2A B ⋂=. 故选B 【点睛】本题主要考查集合的交集，熟记概念即可，属于基础题型. 2．已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】直接由复数的运算化简为a +bi （a ，b ∈R ）的形式，则答案可求． 【详解】=∴复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．故选：D ． 【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3．已知函数，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：或【考点】函数求值4．若1sin 63a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23a π⎛⎫+=⎪⎝⎭（） A ．79-B ．13-C ．13D ．79【答案】A【解析】根据诱导公式和余弦的倍角公式，化简得2cos(2)cos(2)cos[2()]336a a a πππ+=--=--2[12sin ()]6a π=---，即可求解． 【详解】 由题意，可得22cos(2)cos[(2)]cos(2)cos[2()]3336a a a a πππππ+=--+=--=-- 27[12sin ()]69a π=---=-，故选A ．【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中合理配凑，以及准确利用诱导公式和余弦的倍角公式化简、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 5．正项等比数列{}n a 中，153759216a a a a a a ++=，且5a 与9a 的等差中项为4，则{}n a 的公比是 ( ) A ．1 B ．2C ．22D 2【答案】D【解析】设等比数列的公比为q ，q 0>，运用等比数列的性质和通项公式，以及等差数列的中项性质，解方程可得公比q ． 【详解】由题意，正项等比数列{}n a 中，153759a a 2a a a a 16++=，可得222337737a 2a a a (a a )16++=+=，即37a a 4+=，5a 与9a 的等差中项为4，即59a a 8+=，设公比为q ，则()2237q a a 4q 8+==，则q =负的舍去)， 故选D ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的中项性质和等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列通项公式，合理利用等比数列的性质是解答的关键，着重考查了方程思想和运算能力，属于基础题．6．若非零向量,a b满足=a ，且()()32-⊥+ab a b ，则a 与b 的夹角为 A ．4π B ．2π C ．34πD ．π【答案】A【解析】利用()?(32)0a b a b -+=得到22320a b a b --⋅=，再利用223a b =得到a b ⋅与b 的关系，最后利用cos ,a ba b a b⋅=计算两向量的夹角. 【详解】∵()(32)a b a b -⊥+，所以()?(32)0a b a b -+=，即22320a b a b --⋅=，即2222323a b a b b ⋅=-=，∴22223cos ,222ba b a b a b b ⋅===，又[],0,a b π∈，故,4a b π=，故选A.【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用·a a a = ；（2）计算角，·cos ,a ba b a b=.特别地，两个非零向量,a b 垂直的充要条件是0a b =. 7．已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><，其图象相邻两条对称轴之间距离为2π，将函数()y f x =的向右平移6π个单位长度后，得到关于y 轴对称，则（ ）A ．()f x 的关于点(,0)6π对称 B ．()f x 的图象关于点(,0)6π-对称C ．()f x 在ππ(,)63-单调递增D ．()f x 在2(,)36ππ--单调递增 【答案】C【解析】由周期求出ω，利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换、图象的对称性求出ϕ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论． 【详解】∵函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><，其图象相邻两条对称轴之间距离为1222ππω⋅=，∴2ω=，()sin(2)f x x ϕ=+.将函数()y f x =的向右平移6π个单位长度后，可得sin(2)3y x πϕ=-+的图象，根据得到的图象关于y 轴对称，可得32k ππϕπ-+=+，k Z ∈，∴6πϕ=-，()sin(2)6f x x π=-. 当6x π=时，1()2f x =，故()f x 的图象不关于点(,0)6π对称，故A 错误；当6x π=-时，()1f x =-，故()f x 的图象关于直线6x π=-对称，不关于点(,0)6π对称，故B 错误；在ππ(,)63-上，2[,]622x πππ-∈-，()f x 单调递增，故C 正确；在2(,)36ππ--上，32[,]622x πππ-∈--，()f x 单调递减，故D 错误， 故选C ．【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换，由周期求出ω，由图象的对称性求出ϕ的值，正弦函数的图象和性质，属于常考题型．8．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥.如图，半球内有一内接正四棱锥S ABCD -，该四棱锥的体积为423，现在半球内任取一点，则该点在正四棱锥内的概率为（ ）A ．1πB 2C 3D ．2π【答案】A【解析】先根据四棱锥的体积求出球的半径，再根据几何概型概率公式求结果. 【详解】因为四棱锥的体积为423，设球半径为R ，则4211222332R R R R =⨯⨯⨯⨯∴=因此所求概率为34213142)23ππ=⨯，故选：A 【点睛】本题考查四棱锥体积、球体积以及几何概型概率公式，考查综合分析求解能力，属中档题. 9．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin 3cos 0b A a B =,且2b ac =，则a cb+的值为( ) A ．2 B 2C 2D ．4【答案】A【解析】由正弦定理，化简求得sin 3cos 0B B -=，解得3B π=，再由余弦定理，求得()224b a c =+，即可求解，得到答案．【详解】在ABC ∆中，因为sin 3cos 0b A a B -=,且2b ac =， 由正弦定理得sin sin 3sin cos 0B A A B -=， 因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以sin 3cos 0B B -=，即tan 3B =，解得3B π=，由余弦定理得222222222cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-， 即()224b a c =+，解得2a cb+=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.10．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．20B ．10C ．30D ．60【答案】B【解析】根据三视图还原几何体，根据棱锥体积公式可求得结果.由三视图可得几何体直观图如下图所示：可知三棱锥高：4h =；底面面积：1155322S =⨯⨯=∴三棱锥体积：1115410332V Sh ==⨯⨯=本题正确选项：B 【点睛】本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图还原几何体，从而准确求解出三棱锥的高和底面面积.11． (2017·兰州模拟)已知F 1，F 2为双曲线22221x y a b-=(a >0，b >0)的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P ，PF 1与双曲线相交于点Q ，且|PQ |＝2|QF 1|，则该双曲线的离心率为( ) A 5B ．2C 3D 5 【答案】A【解析】如图，连接22PF QF ，.由12|PQ QF ＝|，可设1QF m ＝， 则|1|23PQ m PF m ＝，＝；由122PF PF a －＝，得|21|232PF PF a m a ＝－＝－； 由212QF QF a －＝， 得2122.QF QF a m a ＝＋＝＋ 点P 在以12F F 为直径的圆上，22222212121222..PF PF PF PF F F PQ PF QF ∴⊥∴＋＝，＋＝由22222PQ PF QF ＋＝，得()2222(32)(2)m m a m a ＋－＝＋， 解得4m a 32221212121234322.2PF m a PF m a a PF PF F F F F c ∴＝＝，＝－＝＋＝，＝，()()()222422a a c ∴＋＝，化简得225c a ∴＝， 双曲线的离心率22e=5c a=12．已知函数()ln 2f x a x x =-，若不等式(1)2x f x ax e +>-在(0,)x ∈+∞上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）. A ．2a ≤ B ．2a ≥ C ．0a ≤ D ．02a ≤≤【答案】A【解析】将不等式进行恒等变形，则原问题转化为函数单调性的问题，据此求解a 的取值范围即可． 【详解】()2x x f e ax e =-，所以()12xf x ax e +>-在()0,+∞上恒成立， 等价于()()1xf x f e +>在()0,+∞上恒成立，因为()0,x ∈+∞时，11x x e <+<， 所以只需()f x 在()1,+∞上递减， 即1x >，()'0f x ≤恒成立， 即1x >时，2ax≤恒成立，2a x ≤， 所以2a ≤， 故选A ． 【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．二、填空题 13．已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是__________． 【答案】【解析】试题分析：当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即．【考点】函数的奇偶性与解析式，导数的几何意义． 【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为．14．设变量x ，y 满足约束条件250200x y x y x +-≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数231z x y =++的最大值为______.【答案】7【解析】先作可行域，再根据目标函数所表示的直线，结合图象确定最优解，即得结果. 【详解】先作可行域，则直线231z x y =++过点A(0,2)时z 取最大值，为7.故答案为：7 【点睛】本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.15．已知等比数列前n 项和为()21n n N *-∈，则数列{}2n a 前n 项和为 _________.【答案】413n -【解析】令21nn S =-，则11211a S ==-=，1n >时，112n n n n a S S --=-=，故12n na .因此2222n na -=，该数列的首项为1，公比为4，故其前n 项和为1441143n n--=-. 16．斜率为1的直线l 过抛物线()220y px p =>的焦点F ，若l 与圆()2258x y -+=相切，则p等于______. 【答案】2或18【解析】先求焦点坐标，再根据圆心到直线l 距离等于半径求p 的值. 【详解】抛物线()220y px p =>的焦点(,0)2p F ,所以直线:2p l y x因为l 与圆()2258x y -+=相切，|5|2222p p或18故答案为：2或18 【点睛】本题考查抛物线焦点以及直线与圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题17．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，315S =，1413,,a a a 成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)21n a n =+ (2)224n n T n +=+-【解析】(1)根据条件列关于首项与公差 的方程组，解得结果再代入等差数列通项公式； (2)先求n b ，再根据分组求和法求结果. 【详解】(1)依题意，()()12111323152312a d a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩. 解得132a d =⎧⎨=⎩.因此()()1132121n a a n d n n =+-=+-=+，即21n a n =+.(2)依题意，1222121n n n n b a +==⨯+=+.()()()2311221212n n n T b b b n +=++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅++ 231222n n +=++⋅⋅⋅++()41212n n -=+-224n n T n +=+-.【点睛】本题考查等差数列通项公式以及分组求和法，考查基本分析求解能力，属基础题.18．如图，已知四棱锥的底面是菱形，，，为边的中点，点在线段上.（1）证明：平面平面；（2）若，平面，求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由面面垂直的判定定理可知要证平面平面需证直线与平面垂直，经过观察可知要证平面，进而可转化为证明两条直线与；（2）四棱锥的体积分两部分：一是点到平面的距离：可转化成点到平面的距离，由已知条件可得平面，容易得出的大小；一是的面积：容易知道的面积为的，由此可得棱锥的体积.试题解析：（1）证明：连接，因为底面是菱形，，所以是正三角形，因为为边的中点，，所以，，，所以平面，因为平面，所以平面平面．（2）连接，交于点，连接，因为∥平面，所以∥，易知点为的重心，所以，故，因为，， 所以，，因为，所以，即，且，所以平面，由知，故点到平面的距离为，因为 ，所以四棱锥的体积为．【考点】面面垂直的判定定理、线面垂直的判定定理.19．某省在2017年启动了“3+3”高考模式.所谓“3+3”高考模式，就是语文、数学、外语（简称语、数、外）为高考必考科目，从物理、化学、生物、政治、历史、地理（简称理、化、生、政、史、地）六门学科中任选三门作为选考科目.该省某中学2017级高一新生共有990人，学籍号的末四位数从0001到0990.（1）现从高一学生中抽样调查110名学生的选考情况，问：采用什么样的抽样方法较为恰当?（只写出结论，不需要说明理由）（2）据某教育机构统计，学生所选三门学科在将来报考专业时受限制的百分比是不同的.该机构统计了受限百分比较小的十二种选择的百分比值()1,2,,12i x i =⋅⋅⋅，制作出如下条形图.设以上条形图中受限百分比的均值为x ，标准差为s .如果一个学生所选三门学科专业受限百分比在区间(),x s x s -+内，我们称该选择为“恰当选择”.该校李明同学选择了化学，然后从余下五门选考科目中任选两门.问李明的选择为“恰当选择"的概率是多少?（均值x ，标准差s 均精确到0.1）(参考公式和数据：()2221111n n i i i i x x x x n n ==-=-∑∑，12212644.83i i x ==∑)【答案】（1）系统抽样. （2） 2.5【解析】（1）根据选考情况应该选系统抽样；（2）先根据均值公式以及方差公式计算，再根据古典概型概率公式求结果. 【详解】 （1）系统抽样. （2）()13.3 3.6910.51212.3141417.718.919.526.313.412x =+++++++++++≈. 1222221112644.8313.4220.4025179.5640.841212i i s x x -=-≈⨯-=-≈∑.所以 6.4s ≈，所以()(),7.0,19.8x s x s -+=.从化学学科以外五门任选两门，共有10种基本情况,分别为化理生、化理政、化理史、化理地、化生政、化生史、化生地、化政史、化政地、化史地，而满足在(),x s x s -+内的有理化史、理化地、化地政、理化生，共四种情况. 所以，李明的选择成为“恰当选择”的概率为42105=. 【点睛】本题考查系统抽样、均值公式与方差公式以及古典概型概率公式，考查综合分析求解能力，属中档题.20．已知点M ⎝⎭在椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上，且点M 到C 的左、右焦点的距离之和为 （1）求C 的方程；（2）设O 为坐标原点，若C 的弦AB 的中点在线段OM （不含端点O ，M ）上，求OA OB ⋅的取值范围.【答案】（1）2212x y +=；（2）45,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】（1）根据椭圆的定义和椭圆上点的坐标，求得椭圆的标准方程.（2）设出,A B 的坐标，求得AB 中点的坐标，由OM 的斜率得到()12122x x y y +=+，利用点差法求得AB 的斜率，设出直线AB 的方程并代入椭圆方程，写出判别式以及韦达定理，利用平面向量的坐标运算，化简求得OA OB ⋅的取值范围. 【详解】（1）由条件知2241133a b+=，2a =，所以a =1b =， ∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设点A 、B 的坐标为()11,A x y ，()22,B x y ，则AB 中点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭在线段OM 上，且12OM k =， ∴()12122x x y y +=+，又221112x y +=，222212x y +=，两式相减得()()()()1212121202x x x x y y y y -++-+=，易知120x x -≠，120y y +≠，所以()1212121212y y x xx x y y -+=-=--+，即1AB k =-. 设AB 方程为y x m =-+，代入2212xy +=并整理得2234220x mx m -+-=.由()2830m ∆=->解得23m <，又由12223x x m +⎛=∈ ⎝，∴0m <<由韦达定理得1243m x x +=，()212213m x x -=，故()()12121212OA OB x x y y x x x m x m ⋅=+=+-+-+()()22221212414233m m x x m x x m m-=-++=-+243m =-.而0m <<OA OB ⋅的取值范围是45,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和标准方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查点差法，考查向量数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于中档题. 21．已知函数21()(1)ln 2f x x a x a x =-++. （1）当1a <时，讨论函数()f x 的单调性；（2）若不等式2()(1)12a x f x a x x e ++≥++-对于任意1,x e e -⎡⎤∈⎣⎦恒成立，求正实数a 的取值范围.【答案】(1) 当0a ≤时，函数()f x 在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减；当01a <<时，函数()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和()1,+∞上单调递增. (2) (]0,1 【解析】(1)对函数求导得到()()()1x a x f x x--'=，讨论a 和0和1的大小关系，从而得到单调区间；（2）原题等价于对任意1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有ln e 1a a x x -+≤-成立，设()ln ,0a g x a x x a =-+>，所以()max e 1g x ≤-，对g(x)求导研究单调性，从而得到最值，进而求得结果. 【详解】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0,+∞．()()()()()2111x a x a x a x a f x x a x x x-++-=='-=-++． ① 若01a <<，则当0x a <<或1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当1a x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减； ②若0a ≤，则当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减； 当01a <<时，函数()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和()1,+∞上单调递增．（Ⅱ）原题等价于对任意1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有ln e 1a a x x -+≤-成立，设()ln ,0ag x a x x a =-+>，所以()max e 1g x ≤-．()()11'a a a x a g x ax x x---=+=． 令()'0g x <，得01x <<；令()'0g x >，得1x >． ∴ 函数()g x 在1,1e⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,e 上单调递增，()max g x 为1e ea g a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与()e g = ()e e a f a =-+中的较大者． 设()h a = ()()1e e e 2e a ag a g g a -⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭()0a >，则()e e 220a a h a -=+->='，∴ ()h a 在()0,+∞上单调递增，故()()00h a h >=，所以()1e e g g ⎛⎫> ⎪⎝⎭，从而()maxg x ⎡⎤=⎣⎦ ()e e ag a =-+． ∴ e e 1a a -+≤-，即e e 10a a --+≤．设()=e e 1a a a ϕ--+ ()0a >，则()=e 10aa ϕ'->．所以()a ϕ在()0,+∞上单调递增． 又()10ϕ=，所以e e 10a a --+≤的解为1a ≤． ∵0a >，∴ a 的取值范围为(]0,1． 【点睛】本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题．对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，[)0,2θ∈π),曲线2C 的参数方程为12x a y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数). （1）求曲线1C ，2C 的普通方程;（2）若曲线1C 上一点P 到曲线2C的距离的最大值为a .【答案】（1） 221:19x C y +=,2:0x a C -= （2）a =a =-.【解析】（1）根据三角函数平方关系消元得1C 的普通方程，根据加减消元法得2C 的普通方程； （2）先根据点到直线距离公式得点P 到2C 的距离，再根据a 的正负讨论其最大值取法，最后根据最大值求结果. 【详解】（1）221:19x C y +=，2:0x a C -=（2）设点()3cos ,sin P θθ，点P 到2C的距离d ==，当0a ≥时，有sin 13πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，max d ==，∴a =当0a <时，有sin 13⎛⎫-=- ⎪⎝⎭πθ时，max 2ad ==a =-综上，a =a =-【点睛】本题考查参数方程化普通方程以及利用椭圆参数方程求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.23．已知函数()24f x x ax =++，()22g x x x =++-（1）当4a =-时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≤的解集包含[]2,4，求a 的取值范围. 【答案】（1）{03x x x ≤≥或（2） 3a ≤-【解析】（1）根据绝对值定义分类转化不等式，最后求并集得结果；（2）先化简不等式，再根据二次函数图象转化不等式恒成立问题，解对应不等式得结果. 【详解】（1）当4a =-时，()244f x x x =-+，()2,2224,222,2x x g x x x x x x -≤-⎧⎪=++-=-<<⎨⎪≥⎩，当2x -≤时，2442x x x -+≥-，解得2x -≤； 当22x -<<时，2444x x -+≥，解得20x -<≤ ； 当2x ≥时，2442x x x -+≥，解得3x ≥+综上，不等式的解集为{03x x x ≤≥+或.（2）()()f xg x ≤的解集包含[]2,4 等价于2422x ax x x ++≤++-在[]2,4上恒成立， 即()2240x a x +-+≤对于[]2,4x ∈上恒成立， 令()()224h x x a x =+-+ ，要使()0h x ≤在[]2,4恒成立，结合二次函数的图象可知，只要()()20340h a h ⎧≤⎪∴≤-⎨≤⎪⎩. 【点睛】本题考查根据绝对值定义解不等式以及根据不等式恒成立求参数，考查综合分析求解能力，属中档题.。
2021届河南省六市高三第一次联考数学(理)试题(解析版)
2021届河南省六市高三第一次联考数学（理）试题一、单选题1．集合2101x A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，集合B x y ⎧⎪==⎨⎪⎩，则集合A B 等于（ ） A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．()1,-+∞C ．()1,1-D ．[)1,-+∞【答案】C【分析】化简集合,A B ，根据集合的并集运算可得结果.【详解】2101x A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭1{|1}2x x =-<≤，由011x <-≤得01x ≤<，所以{|01}B x x =≤<， 所以 A B {|11}x x =-<<.故选：C2．已知i 是虚数单位，复数z 满足211i i z，则z 等于（ ）A B ．2C ．1D 【答案】A【分析】先化简计算求出z ，即可求出z .【详解】211i i z，()()()()()21212111111i i i iz i i i ii i i ----∴====--=--+++-，z ∴==.故选：A.3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1530S =，104a ，则9a 等于A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】B【分析】根据1530S =，可算出8a ，又104a ，根据等差中项的性质求解即可【详解】由158815302S a a ==⇒=，又104a ，98109263a a a a =+=⇒=答案选B【点睛】本题考查等差数列基本量的求法，常规思路为求解首项和公差，本通解题思路运用了()2121n n S n a -=-和等差中项的性质，简化了运算4．为了得到函数()sin 2g x x =的图象，需将函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移π6个单位长度 B ．向右平移π12个单位长度 C ．向左平移5π12个单位长度，D ．向右平移5π12个单位长度【答案】D【分析】根据诱导公式将函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭化为5()sin 2()12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据三角函数的图象变换规律可得答案. 【详解】因为函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭5sin 2sin(2)66x x πππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5sin 2()12x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以将5()sin 2()12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移512π可得函数()sin 2g x x =的图象. 故选：D 5．132，2log 6，33log 2的大小关系是（ ）A ．13232log 63log 2<<B ．133223log 2log 6<<C ．13323log 22log 6<< D ．13323log 2log 62<< 【答案】B【分析】根据对数函数和指数函数的单调性，判断这三个数所在的大致范围，即得大小关系. 【详解】11323222<<，33333log 2log 422=>，3333log 2log 8log 92=<=，22log 6log 42>=， 133223log 2log 6∴<<.故选：B .【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，属于基础题.6．41(1)2x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数是（ ） A ．10 B ．2C ．14-D ．34【答案】C【分析】将二项式变形为()()()84411112x x x x x x -+⎛⎫-++=⎪⎝⎭，利用二项式定理求得()()811x x -+的展开式中5x 的系数，进而可得解.【详解】由题意，()()()()4842411112121x x x x x x x x x x -+⎛⎫++⎛⎫-++=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此，只需求()()811x x -+的展开式中 5x 的系数. 又()81x +的展开式的通项公式为818rrr T C x-+=⋅，且()()()()8881111x x x x x -+=+-+，所以，()()811x x -+的展开式通项为11,188rrkk r k T C x C x+++=⋅-⋅，令515r k =⎧⎨+=⎩，得54r k =⎧⎨=⎩，因此，()4112x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数是548814C C -=-.故选：C.【点睛】本题考查利用二项式定理求指定项的系数，考查计算能力，属于中等题. 7．函数()21sin 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的部分图象大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【分析】判断函数的奇偶性，再根据指数函数的性质和正弦函数的性质，用特殊值法进行判断即可.【详解】()211sin sin 11x x xe f x x x e e -⎛⎫=-=⋅ ⎪++⎝⎭，显然定义域为全体实数集， 因为()()11sin()(sin )sin 1111x x xx x xe e ef x x x x f x e e e-----=⋅-=⋅-=⋅=+++-， 所以该函数是偶函数，图象关于纵轴对称，因此排除B 、D ，当0x >时，有1x e >，因此当(0,)x π∈时，sin 0x >，所以当(0,)x π∈时，()0f x <， 显然选项A 不符合，选项C 符合， 故选：C8．如图，在棱长为1正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱AB 的中点，动点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，总有1AP D M ⊥，则动点P 的轨迹的长度为（ ）A ．22B ．5 C ．π16D ．3 【答案】A【分析】分别取BC 、1BB 的中点E 、F ，连EF ，利用线面垂直的判定定理和性质可证动点P 的轨迹是线段EF ，求出EF 的长度即可得解.【详解】如图：分别取BC 、1BB 的中点E 、F ，连,,AE AF EF ，1,A M DM ，1A F ，因为M 为AB 的中点，E 为BC 的中点，ABCD 为正方形，所以DM AE ⊥， 又1D D ⊥平面ABCD ，所以1D D AE ⊥，而1DM D D D =，所以AE ⊥平面1D DM ，所以1D M AE ⊥，同理可得1D M AF ⊥，又AE AF A ⋂=，所以1D M ⊥平面AEF ， 因为AP ⊂平面AEF ，所以1AP D M ⊥，因为动点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，所以动点P 的轨迹是线段EF ，而22EF =，所以动点P 的轨迹的长度为22. 故选：A【点睛】关键点点睛：作出并证明动点P 的轨迹是本题解题关键，分别取BC 、1BB 的中点E 、F ，连EF ，则线段EF 即为动点P 的轨迹，利用线面垂直的判定定理和性质即可得证.9．已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，01,2M x ⎛⎫⎪⎝⎭为该抛物线上一点，若以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，过F 且与y 轴垂直的直线l 与C 交于G ，H 两点，0P 为C 的准线上的一点，则0GHP △的面积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．9【答案】D【分析】根据题意得0x p =，进而将问题转化为在Rt ABF 中，解三角形求得3p =，再根据通经得26GH p ==，进而根据等面积法求解即可. 【详解】解：如图，由抛物线的定义得：12pMA MF +==，//MA y 轴， 因为01,2M x ⎛⎫⎪⎝⎭为该抛物线上一点，所以0x p =，所以AB p =，因为120AMF ∠=︒，所以30,60MFA MAF MFB ∠=∠=∠=， 因为在Rt ABF 中，30AFB ∠=，BF p =， 所以由三角函数关系得：tan AB AFB BF∠=，即：tan 30p=，解得3p =， 此时26GH p ==，所以0GHP △的面积为1163922BGH S S GH BF ===⨯⨯=△. 故选：D.【点睛】本题考查抛物线与直线的位置关系，考查数形结合思想，运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据已知条件，将问题转化为直角三角形ABF 中，利用边角关系求解得3p =.10．二进制是计算机技术中广泛采用的一种数制．二进制数据是用0和1两个数码来表示的数．它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则“借一当二”．当前的计算机系统使用的基本上是二进制系统，计算机中的二进制则是一个非常微小的开关，用1来表示“开”，用0来表示“关”．如图所示，把十进制数()1010化为二进制数21010（）,十进制数()1099化为二进制数()21100011，把二进制数210110（）化为十进制数为304211202121202164222⨯⨯⨯⨯⨯++++=++=，随机取出1个不小于2100000（），且不超过()2111111的二进制数，其数码中恰有4个1的概率是A ．932B ．931C ．1031D ．516【答案】D【分析】利用古典概型的概率公式求解. 【详解】二进制的后五位的排列总数为52=32， 二进制的后五位恰好有三个“1”的个数为35=10C ， 由古典概型的概率公式得1053216P ==. 故选D【点睛】本题主要考查排列组合的应用，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.11．在三棱锥A BCD -中，4AB CD ==，3AC BD AD BC ====，则该三棱锥的内切球的表面积为（ ） A ．4π5B ．17πC ．3π2D ．3π4【答案】A【分析】将该三棱锥还原到长方体中，根据已知求出长宽高，求出三棱锥体积，再利用内切球的半径表示出体积，即可求出半径，得出表面积.【详解】由题可将该三棱锥还原到如图长方体中，设长方体的长宽高分别为,,a b a ，则22222234a b a a ⎧+=⎨+=⎩，解得22,1a b ==， 11822122422122323D ABC V -∴=⨯⨯⨯⨯⨯=，设内切球的半径为r ，则()1833D ABC ABC ABD BCD ACD V r S S S S-=+++=， 221432252ABCABDBCDACDSS SS====⨯-=，则1825433r ⨯⨯=，解得55r =， 则内切球的表面积为254455ππ⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查几何体的内切问题，解题的关键是将几何体还原到长方体中，立体等体积关系求出内切球半径. 12．若函数()()3ln 2ln 1x f x ax x a x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．22410,44e e e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭B ．22411,44e e e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭C ．()22410,11,44e e e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭ D ．()22410,144e e e ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭【答案】B【分析】令()0f x =，可得()22ln 210ln x x a a x x+--=，令2ln x t x =，可得()2210t at a +--=，令()()221h t t at a =+--，令()2ln xg x x=，其中0x >且1x ≠，作出函数()t g x =的图象，根据函数()y f x =有三个零点可得出()2210t at a +--=的两根的取值范围，利用二次函数的零点分布得出关于实数a 的不等式组，可求得实数a 的取值范围. 【详解】()()3ln 2ln 1x f x ax x a x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，则()11f a =-.令()0f x =，可得()22ln 210ln x x a a x x+--=，令2ln x t x =，则120a a t t-+-=，即()2210t at a +--=，设()()221h t t at a =+--， 构造函数()2ln xg x x =，其中0x >且1x ≠， 则()212ln xg x x-'=，令()0g x '=，得x e =， 列表如下：x()0,1()1,ee(),e +∞()g x ' ++-()g x单调递增单调递增极大值12e单调递减函数()t g x =（0x >且1x ≠）的图象如下图所示：由于函数()y f x =有三个不同的零点，而关于t 的二次方程()2210t at a +--=至多有两个根.当关于t 的二次方程()2210t at a +--=有两根时，设这两根分别为1t 、2t ，则10t <，2102t e<<，此时，()()()2010111210222h a h a a e e e ⎧=--<⎪⎨⎛⎫⎛⎫=+⋅-->⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得2241144e a e e +<<-； 若1a =，则()10f =，关于t 的二次方程为220t t +=，两根分别为10t =，22t =-，()0g x =在0x >且1x ≠时无实根，()2g x =-只有一个实根，此时，函数()y f x =只有两个零点，不合乎题意.综上所述，实数a 的取值范围是22411,44e e e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭.故选：B.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，将问题转化为复合函数的零点问题是解答的关键，考查数形结合思想的应用，属于难题.二、填空题13．已知向量(1,2)a =，(,1)b k =，且2a b +与向量a 的夹角为90°，则向量a 在向量b 方向上的投影为________.【分析】由题可知()20a b a +⋅=,依据数量积的坐标公式可求出k ,即求出向量b ,从而得到向量a 在向量b 方向上的投影为cos ,a b a a b b⋅⋅<>=.【详解】因为向量(1,2)a =,(,1)b k =, 则2(2,5)a b k +=+,又2a b +与向量a 的夹角为90°, 所以()20a b a +⋅=,即2100k ++=, 解得12k =-,即(12,1)b =-,因此向量a 在向量b方向上的投影为cos ,145a b aa b b⋅⋅<>===,故答案为. 【点睛】本题综合考查了数量积的坐标运算及投影的求法,难度不大.14．已知实数x ，y 满足220330240x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最小值为______．【答案】7-【分析】由约束条件得到可行域，将问题转化为133zy x =-在y 轴截距最大问题的求解，利用数形结合的方式可求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：将3z x y =-化为133z y x =-，则当z 取最小值时，133zy x =-在y 轴截距最大， 由图象可知：当133zy x =-过A 时，直线在y 轴截距最大，由330240x y x y --=⎧⎨-+=⎩得：23x y =⎧⎨=⎩，()2,3A ∴， min 297z ∴=-=-.故答案为：7-.【点睛】方法点睛：线性规划问题中几种常见形式有： ①截距型：z ax by =+，将问题转化为a z y b b=-+在y轴截距的问题； ②斜率型：y bz x a-=-，将问题转化为(),x y 与(),a b 连线斜率的问题； ③两点间距离型：()()22z x a y b =-+-，将问题转化为(),x y 与(),a b 两点间距离的平方的问题；④点到直线距离型：z Ax By C =++，将问题转化为(),x y 到直线0Ax By C ++=的22A B +倍的问题.15．设正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项之积为n T ，且21n n S T +=，则数列{}n a 的通项公式是______．【答案】()()21134241n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩【分析】由递推关系可得()1122n n S n S -=≥-，求出{}n S 前几项，可猜想出2121+n n S n -=，再加以验证，利用()()1112n nn S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩即可求出. 【详解】当1n =时，1121S T +=，即1121S S +=，则113S =， 当2n ≥时，21n n S T +=，1121n n S T --∴+=，则1112121n n n n n n n T T S S T T S ----===-，整理可得()1122nn S n S -=≥-， 则可得113S =，235S =，357S =，479S =， 则猜想2121+n n S n -=，代入112n n S S -=-检验得1112123221221+n n n S n S n n --===----，满足猜想，()21121+n n S n n -∴=≥， 1113a S ∴==，当2n ≥时，1221234212141+n n n n n a S S n n n ---=-=-=--，∴()()21134241n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩.故答案为：()()21134241n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩. 【点睛】关键点睛：本题考查利用递推关系求数列得通项公式，解题的关键是根据递推关系先得出()1122n n S n S -=≥-，利用猜想得出2121+n n S n -=.16．已知直线l：0x -=交双曲线Γ：()222210,0x y a b a b-=>>于A ，B 两点，过A 作直线l 的垂线AC 交双曲线Γ于点C ．若60ABC ∠=︒，则双曲线Γ的离心率为______．【分析】联立直线x =和双曲线方程可得A ，B 的坐标，以及||AB ，直角三角形的性质可得|||AC AB ，设出直线AC 的方程，联立双曲线方程，运用韦达定理可得C 的横坐标，由弦长公式，化简计算可得a b =，进而得到所求离心率．【详解】解：联立直线x =和双曲线方程可得2222233a b x b a =-，222223a b y b a =-，可设A ，可得||2||AB OA ==在直角三角形ABC 中，60ABC ∠=︒，可得|||AC AB =，设直线AC 的方程为y =+，代入双曲线方程可得42222222216(3)03a b b a x a b b a -+--=-，可得C x +=即有|||C A x x -==，可得2223(||23ab AC b a ==-，即为2222|3|a b b a +=-，可得a b =，c e a ===．【点睛】本题考查双曲线的方程和运用，考查直线和双曲线的位置关系，以及联立方程组，运用韦达定理，考查化简运算能力．三、解答题17．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin bC a-=tan cos A C -． （1）求角A 的大小；（2）若b =，2c =，点D 在边BC 上，且2CD DB =，求a 及AD ．【答案】（1）π4A =；（2）a =，AD =【分析】（1）由正弦定理化边为角，()sin sin sin tan cos C B A C A C -=-，再化简计算即可求出cos 2A =（2）由余弦定理求得a =，求得cos 10B =-，由题得出33a BD ==，再由余弦定理即可求出AD .【详解】解：（1）由正弦定理，()sin sin sin tan cos C B A C A C -=-，()()sin sin sin tan cos C A C A C A C -+=-，2sin sin cos cos sin sin sin cos cos AC A C A C C A C A --=-，∵sin 0C ≠，∴2sin cos cos AA A+=∴cos A =0πA <<，∴π4A =．（2）由余弦定理可得：2222cos 1841210a b c bc A =+-=+-=，∴a =，∵点D 在边BC 上，且2CD DB =，∴3a BD ==，又222cos 210a cb B ac +-==-，∴222582cos 9AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅=，∴3AD =． 【点睛】关键点睛：本题考查正余弦定理的应用，解题的关键是正确利用正弦定理化边为角处理条件，再结合三角恒等变换化简运算.18．如图，在四棱锥A BCFE -中，四边形EFCB 为梯形，//EF BC ，且2EF BC =，ABC 是边长为2的正三角形，顶点F 在AC 上的射影为点G ，且3FG =，212CF =，52BF =．（1）求证：平面FGB ⊥平面ABC ； （2）求二面角E AB F --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）1517． 【分析】（1）取AC 中点O ，连结OB ，利用勾股定理可求得BG 长，从而得到FG BG ⊥，由线面垂直的判定可证得FG ⊥平面ABC ，由面面垂直的判定定理可证得结论； （2）根据垂直关系，以O 为原点可建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得所求二面角的余弦值.【详解】（1）取AC 中点O ，连结OB ，顶点F 在AC 上投影为点G ，∴FG AC ．在Rt FGC △中，3FG =21CF =，32CG ∴=，12OG ∴=. ABC 为等边三角形，O 为AC 中点，BO AC ∴⊥在Rt GBO △中，3OB =12OG =，13BG ∴=． 222BG GF FB +=，FG BG ∴⊥．FG AC ⊥，AC BG G ⋂=，,AC BG ⊂平面ABC ，FG ∴⊥平面ABC ，又FG ⊂平面FGB ，∴平面FGB ⊥平面ABC .（2）由（1）知：OB FG ⊥，OB AC ⊥，又FG ⊥平面ABC ，则以O 为坐标原点，以OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，过点O 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则()0,1,0A -，)3,0,0B，10,32F ⎛- ⎝，33E -⎝， ()3,1,0BA =-∴-，33BE ⎛=-- ⎝，13,32BF ⎛=- ⎝， 设平面ABE 的法向量()111,,m x y z =，则11111303302m BA x y m BE x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令11x =，则13y =-112z =-，11,3,2m ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，设平面ABF 的法向量()222,,n x y z =，则222223013302n BA x y n BF x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令21x =，则23y =-212z =，11,3,2n ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，113154cos ,17171744m n m n m n+-⋅∴<>===⋅⨯，由图形可知：二面角E AB F--为锐二面角，∴二面角E AB F--的余弦值为15 17.【点睛】方法点睛：空间向量法求解二面角的基本步骤是：（1）建立空间直角坐标系，利用坐标表示出所需的点和向量；（2）分别求得二面角的两个半平面的法向量，根据向量夹角公式求得法向量的夹角；（3）根据图形或法向量的方向确定所求角为二面角的大小或二面角补角的大小. 19．某种机器需要同时装配两个部件S才能正常运行，且两个部件互不影响，部件S有两个等级：一等品售价5千元，使用寿命为5个月或6个月（概率均为0.5)；二等品售价2千元，使用寿命为2个月或3个月（概率均为0.5)（1）若从4件一等品和2件二等品共6件部件S中任取2件装入机器内，求机器可运行时间不少于3个月的概率．（2）现有两种购置部件S的方案，方案甲：购置2件一等品；方案乙：购置1件一等品和2件二等品，试从性价比（即机器正常运行时间与购置部件S的成本之比）角度考虑，选择哪一种方案更实惠．【答案】（1）4160；（2）方案乙更实惠．【分析】（1）由题意知机器运行时间不少于3个月，共有三种可能：第一，取到2个一等品，第二，取到1个一等品，1个二等品，且二等品的使用寿命为3个月，第三，取到2个二等品，且二者使用寿命均为3个月，由此利用互斥事件概率乘法公式能求出机器可运行时间不少于3个月的概率．（2）若采用甲方案，则机器正常运行的时间为X（单位：月），则X的可能取值为5，6，求出相应的概率，从而求出()E X，进而求出它与成本价之比；若采用方案乙，两个二等品的使用寿命之和Y（单位：月），Y的可能取值为4，5，6，分别求出相应的概率，记M为一等品的使用寿命（单位：月），此时机器的正常运用时间为Z，则Z的可能取值为4，5，6，分别求出相应的概率，从而求出Z的分布列()E Z，进而求出它与成本价之比．由此从性价比角度考虑，方案乙更实惠．【详解】解：（1）由题意知机器运行时间不少于3个月，共有三种可能：第一，取到2个一等品，对应概率为242625CC=，第二，取到1个一等品，1个二等品，且二等品的使用寿命为3个月，对应概率为11422614215 C CC⨯=，第三，取到2个二等品，且二者使用寿命均为3个月，对应概率为：22261112260C C ⨯⨯=， ∴机器可运行时间不少于3个月的概率241415156060P =++=． （2）若采用甲方案，则机器正常运行的时间为X （单位：月）， 则X 的可能取值为5，6，111(6)224P X ==⨯=，3(5)1(6)4P X P X ==-==， 则X 的分布列为：3121()56444E X ∴=⨯+⨯=，它与成本价之比为()215540E X =+， 若采用方案乙，两个二等品的使用寿命之和Y （单位：月），Y 的可能取值为4，5，6， 111(4)224P Y ==⨯=，111(5)2222P Y ==⨯⨯=，111(6)224P Y ==⨯=，则Y 的分布列为：记M 为一等品的使用寿命（单位：月），此时机器的正常运用时间为Z ， 则Z 的可能取值为4，5，6，1(4)(4)4P Z P Y ====， (5)(5P Z P M ===，5)(6Y P M >+=，131155)24228Y ==⨯+⨯=，111(6)(6)248P Z P M y =====⨯=，Z 的分布列为：15139()4564888E Z =⨯+⨯+⨯=，它与成本价之比为()1352224E Z =++，21134024<， ∴从性价比角度考虑，方案乙更实惠．【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．已知椭圆C ：()222210y x a b a b +=>>()0,2．（1）求椭圆C 的方程；（2）若矩形ABCD 的四条边均与椭圆相切，求该矩形面积的取值范围．【答案】（1）2214y x +=；（2）[]8,10． 【分析】（1）根据椭圆的几何性质求出,a b 可得椭圆C 的方程；（2）①当矩形ABCD 的四条边与椭圆相切于顶点时，易知428S =⨯=，②当矩形的各边均不与坐标轴平行时，由矩形及椭圆的对称性，设出矩形的四条边所在的直线方程，利用直线与椭圆相切求出直线方程中参数之间的关系，利用平行直线的距离公式求出矩形的边长，利用矩形的面积公式求出面积，利用基本不等式可求出取值范围.【详解】（1）c e a ==∴224a b =又椭圆C 过点()0,2，∴24a =，21b =∴椭圆C 的方程：2214y x +=．（2）①当矩形ABCD 的四条边与椭圆相切于顶点时，易知428S =⨯=，②当矩形的各边均不与坐标轴平行时，由矩形及椭圆的对称性，设其中一边所在的直线方程为：y kx m =+(0)k ≠，则其对边所在的直线方程为：y kx m =-(0)k ≠， 另外两边所在的直线方程分别为：1y x n k =-+，1y x n k=--， 联立2244y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，消去y 并整理可得：222(4)240k x kmx m +++-=， 由题意可得222244(4)(4)0k m k m ∆=-+-=， 整理可得224k m +=， 同理可得2214n k+=， 设两平行直线y kx m =+与y kx m =-之间的距离为1d，则1d ==== 设两平行直线1y x n k =-+与1y x n k=--之间的距离为2d，则2d =====， 依题意可知，12,d d 为矩形的两邻边的长度， 所以矩形的面积12S d d =⋅444===44== 因为20k >，所以2212k k+≥，当且仅当21k =时取等号，所以22990,142k k⎛⎤∈ ⎥⎝⎦++，52,2⎛⎤⎥⎝⎦，所以(]8,10S ∈．综上所述：该矩形面积的取值范围为[]8,10．【点睛】关键点点睛：利用直线与椭圆相切和平行直线间的距离公式求出矩形的面积是本题解题关键.21．已知函数1()2ln x f x e x x -=-+.（1）求()f x 的单调区间；（2）证明：3()(2)3(2)f x x x ---.【答案】（1）单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；（2）证明见解析【分析】（1）求导函数，利用(1)=0f '，解()0f x '<函数单调减区间. 解()0f x '>得单调递增区间.（2）先求出3()(2)3(2)g x x x =---在03x <≤的极大值为2，由min ()(1)2==f x f 得在03x <≤成立；再设13()()()e2ln (2)46(3)x h x f x g x x x x x -=-=---+->利用导数法研究函数()h x 在(3,+) 内单调性进行证明()0h x >.【详解】（1）解：()f x 的定义域为(0,)+∞，12()e 1x f x x-'=-+， 12()e 1x f x x -'=-+在(0,)+∞上单调递增，且()01f '=. 令()0f x '<，得01x <<，则()f x 的单调递减区间为(0,1)；令()0f x '>，得1x >，则()f x 的单调递增区间为(1,)+∞.（2）证明：设3()(2)3(2)(0),()3(1)(3)g x x x x g x x x '=--->=--.令()0g x '<，得13x <<；令()0g x '>，得01x <<或3x >.所以当1x =时，()g x 取得极大值，且极大值为2，由（1）知，min ()(1)2==f x f ，故当03x <≤时，3()(2)3(2)f x x x ---.设13()()()e 2ln (2)46(3)x h x f x g x x x x x -=-=---+->，122()e 3(2)4x h x x x -'=---+，设122()(),()e 6(2)x p x h x p x x x-''==+--， 设134()(),()e 6x q x p x q x x-''==--，易知()q x '在(3,)+∞上单调递增， 则24()(3)e 6027q x q ''>=-->，则()q x 在(3,)+∞上单调递增，从而22()(3)609p x p e ''>=+->，则()h x '在(3,)+∞上单调递增， 则21()(3)03h x h e ''>=+>，从而()h x 在(3,)+∞上单调递增， 所以2()(3)e 52ln 30h x h >=+->，故当3x >时，3()(2)3(2)f x x x ---，从而3()(2)3(2)f x x x ---得证.【点睛】本题考查求含参数函数的单调区间及利用导数证明不等式.导数法研究函数()f x 在(,)a b 内单调性的步骤：(1)求()'f x ；(2)确定()'f x 在(,)a b 内的符号；(3)作出结论：()0f x '>时为增函数；()0f x '<时为减函数．研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．利用导数证明不等式()()f x g x >的基本方法：(1)若()f x 与()g x )的最值易求出，可直接转化为证明()()min max f x g x >；(2)若()f x 与()g x 的最值不易求出，可构造函数()()()h x f x g x ＝ ，然后根据函数()h x 的单调性或最值，证明()0h x >22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，[0,)ϕπ∈），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos()3πρθ=-.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设()1,1P ，若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求||PA PB -的最大值.【答案】（1）2220x y x +--=；（2）4.【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的转化公式，求得圆C 的直角坐标方程；（2）将直线方程与圆联立，由直线参数方程中参数的几何意义及根与系数的关系，求得||PA PB -的最大值.【详解】（1）圆C 的极坐标方程为：4cos()3πρθ=-，则22cos sin ρρθθ=+由极坐标与直角坐标的转化公式得222x y x +=+，所以：2220x y x +--=.（2）将线l 的参数方程为：1cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），代入2220x y x +--=.所以21)sin 0t t ϕ-⋅-=设点A ，B 所对应的参数为1t 和2t ，则121)sin t t ϕ+=，12t t ⋅=-则12||||PA PB t t -=-==当sin 1ϕ=时，||PA PB -的最大值为4.【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的相互转化，直线参数方程的应用，属于中档题.23．已知,,a b c 为正数,且2a b c ++=,证明: (1)43ab bc ac ++≤； (2)2228a b c b c a---⋅⋅≥. 【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）将a +b +c ＝2平方，然后将基本不等式2222222,2,2a b ab b c bc a c ac +≥+≥+≥三式相加，进行证明；（2）由2a b c b b -+=≥22b a c c b a c c a a -+-+=≥=≥，三式相乘进行证明.【详解】(1)将a +b +c ＝2平方得:2222224a b c ab ab ac +++++=，由基本不等式知:2222222,2,2a b ab b c bc a c ac +≥+≥+≥，三式相加得:222a b c ab bc ac ++≥++，则2224222333a b c ab bc ac ab bc ac =+++++≥++ 所以43ab bc ac ++≤，当且仅当a ＝b ＝c ＝23时等号成立(2)由2a b c b b b -+=≥，同理22b a c c b a c c c a a a -+-+=≥=≥则2228a b c b c a ---⋅⋅≥=， 即2228a b c b c a ---⋅⋅≥当且仅当23a b c ===时等号成立 【点睛】本题考查利用基本不等式进行证明，属于中档题.。
22-23上期-23届高三一练-理数-答案和解析
3 n 1
3 n
由 Tn bn 得 4n ( ) ( n 4) ( ) 恒成立，
4
4
即 (n 4) 3n 0 恒成立，
n 4 时不等式恒成立；
n 4 时，
3n
12
3
，得 1 ；
n4
n4
n 4 时，
设 M 1, yM ， N 1, yN ，则 yM yN 1 .
注意到 k AM
y
y y
yM
1
， k AN N ，则 k AM k AN M N .
3
3
9
9
又因为 k AM k AP ， k AN k AQ ，所以 k AP k AQ
4
4
4
4
4
4
2
3
4
n
1
3 3 3 3
3
3
两式相减得 Tn 3 (n 4)
4
4 4 4 4
4
4
n 1
9 3
1
2023 年 1 月 5 日
2022-2023 学年三门峡市高三第一次大练习
理科数学-参考答案
一、 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
C
D
A
B
C
B
D
河南省三门峡市2021届新高考第一次大联考数学试卷含解析
河南省三门峡市2021届新高考第一次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若AB 为过椭圆22116925x y +=中心的弦，1F 为椭圆的焦点，则△1F AB 面积的最大值为（ ）A ．20B ．30C ．50D ．60【答案】D 【解析】 【分析】先设A 点的坐标为(,)x y ，根据对称性可得(,)B x y --，在表示出1F AB ∆面积，由图象遏制，当点A 在椭圆的顶点时，此时1F AB ∆面积最大，再结合椭圆的标准方程，即可求解. 【详解】由题意，设A 点的坐标为(,)x y ，根据对称性可得(,)B x y --， 则1F AB ∆的面积为122S OF y c y =⨯⨯=， 当y 最大时，1F AB ∆的面积最大，由图象可知，当点A 在椭圆的上下顶点时，此时1F AB ∆的面积最大，又由22116925x y +=，可得椭圆的上下顶点坐标为(0,5),(0,5)-，所以1F AB ∆的面积的最大值为16925560S cb ==-⨯=. 故选：D.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及简单的几何性质，以及三角形面积公式的应用，着重考查了数形结合思想，以及化归与转化思想的应用.2．已知奇函数()f x 是R 上的减函数，若,m n 满足不等式组()(2)0(1)0()0f m f n f m n f m +-≥⎧⎪--≥⎨⎪≤⎩，则2m n -的最小值为（ ） A ．-4 B ．-2C ．0D ．4【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性得到可行域，画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【详解】奇函数()f x 是R 上的减函数，则()00f =，且2100m nm n m ≤-⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，画出可行域和目标函数，2z m n =-，即2n m z =-，z 表示直线与y 轴截距的相反数，根据平移得到：当直线过点()0,2，即0.2m n ==时，2z m n =-有最小值为2-. 故选：B.【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，线性规划问题，意在考查学生的综合应用能力，画出图像是解题的关键.3．某中学有高中生1500人，初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为n 的样本.若样本中高中生恰有30人，则n 的值为（ ） A ．20 B ．50C ．40D ．60【答案】B 【解析】 【分析】利用某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比计算即可. 【详解】由题意，30=150015001000n⨯+，解得50n =.故选：B. 【点睛】本题考查简单随机抽样中的分层抽样，某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比，本题是一道基础题.4．在5678(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-的展开式中，含3x 的项的系数是（ ） A ．74 B ．121 C ．74- D ．121-【答案】D 【解析】 【分析】根据5678(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-，利用通项公式得到含3x 的项为：()+++-333335678()C C C C x ，进而得到其系数，【详解】因为在5678(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-，所以含3x 的项为：()+++-333335678()C C C C x ，所以含3x 的项的系数是的系数是33335678()C C C C -+++，()10203556121=-+++=-，故选：D 【点睛】本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题，5．设全集U=R ，集合{}221|{|}xM x x x N x =≤=，＜，则U M N =I ð（ ） A ．[]0,1 B ．(]0,1 C ．[)0,1 D ．(],1-∞【答案】A 【解析】 【分析】求出集合M 和集合N,，利用集合交集补集的定义进行计算即可． 【详解】{}20121{|}|{|}{|}0x M x x x x x N x x x =≤=≤≤==，＜＜，{}|0U N x x =≥ð，则{}011|]0[U M N x x =≤≤=I ，ð， 故选：A ． 【点睛】本题考查集合的交集和补集的运算，考查指数不等式和二次不等式的解法，属于基础题．6．如图在直角坐标系xOy 中，过原点O 作曲线()210y x x =+≥的切线，切点为P ，过点P 分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，在矩形OAPB 中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（ ）A ．16B ．15C ．14D ．12【答案】A 【解析】 【分析】设所求切线的方程为y kx =，联立()201y kx k y x ⎧=>⎨=+⎩，消去y 得出关于x 的方程，可得出0∆=，求出k 的值，进而求得切点P 的坐标，利用定积分求出阴影部分区域的面积，然后利用几何概型概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】设所求切线的方程为y kx =，则0k >， 联立()201y kx k y x ⎧=>⎨=+⎩，消去y 得210x kx -+=①，由240k ∆=-=，解得2k =，方程①为2210x x -+=，解得1x =，则点()1,2P ， 所以，阴影部分区域的面积为()1232100111233S x x dx x x x ⎛⎫=+-=-+= ⎪⎝⎭⎰， 矩形OAPB 的面积为122S '=⨯=，因此，所求概率为16S P S =='. 故选：A. 【点睛】本题考查定积分的计算以及几何概型，同时也涉及了二次函数的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题.7．设函数1()ln1xf x x x+=-，则函数的图像可能为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据函数为偶函数排除,A C ，再计算11()22ln 30f =>排除D 得到答案. 【详解】1()ln1xf x x x +=-定义域为：(1,1)- 11()ln ln ()11x xf x x x f x x x-+-=-==+-，函数为偶函数，排除,A C11()22ln 30f => ，排除D 故选B 【点睛】本题考查了函数图像，通过函数的单调性，奇偶性，特殊值排除选项是常用的技巧.8．记()[]f x x x =-其中[]x 表示不大于x 的最大整数,0()1,0kx x g x x x≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若方程在()()f x g x =在[5,5]-有7个不同的实数根，则实数k 的取值范围( ) A ．11,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,65⎛⎤⎥⎝⎦C ．11,54⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】做出函数(),()f x g x 的图象，问题转化为函数(),()f x g x 的图象在[5,5]-有7个交点，而函数(),()f x g x 在[5,0]-上有3个交点，则在[0,5]上有4个不同的交点，数形结合即可求解. 【详解】作出函数(),f x ()g x 的图象如图所示，由图可知方程()()f x g x =在[5,0]-上有3个不同的实数根， 则在[0,5]上有4个不同的实数根， 当直线y kx =经过(4,1)时，14k =； 当直线y kx =经过(5,1)时，15k =， 可知当1154k ≤<时，直线y kx =与()f x 的图象在[0,5]上有4个交点， 即方程()()f x g x =，在[0,5]上有4个不同的实数根. 故选:D. 【点睛】本题考查方程根的个数求参数，利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解题的关键，运用数形结合是解决函数零点问题的基本思想，属于中档题.9．某程序框图如图所示，若输出的120S =，则判断框内为（ ）A ．7?k >B ．6?k >C ．5?k >D ．4?k >【答案】C 【解析】程序在运行过程中各变量值变化如下表： K S 是否继续循环 循环前 1 1 第一圈 2 4 是 第二圈 3 11 是 第三圈 4 26 是 第四圈 5 57 是 第五圈6120否故退出循环的条件应为k>5? 本题选择C 选项.点睛：使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数．尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别．10．已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（ ）A ．B ．8C ．D ．4【答案】C 【解析】 【分析】将直线方程1y x =-代入抛物线方程，根据根与系数的关系和抛物线的定义即可得出FA FB -的值． 【详解】F （1，0），故直线AB 的方程为y ＝x ﹣1，联立方程组241y xy x ⎧=⎨=-⎩，可得x 2﹣6x+1＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由根与系数的关系可知x 1+x 2＝6，x 1x 2＝1． 由抛物线的定义可知：|FA|＝x 1+1，|FB|＝x 2+1，∴||FA|﹣|FB||＝|x 1﹣x 2|＝==故选C ． 【点睛】本题考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．11．在ABC V 中，D 为BC 边上的中点，且||1,|2,120AB AC BAC ==∠=︒u u u r u u u r ，则||=uuu rAD （ ）A ．2B ．12C ．34D 【答案】A 【解析】 【分析】由D 为BC 边上的中点，表示出()12AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r，然后用向量模的计算公式求模. 【详解】解：D 为BC 边上的中点，()12AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，()()()()22222112412411221212043=AD AB AC AB ACAB AC AB ACCOS =+=+=++⋅=++⨯⨯⨯u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r 。
河南省三门峡市2021届高三数学第一次大练习考试试题理
某某省某某市2021届高三数学第一次大练习考试试题理注意事项：1.答题前，考生务必将自己的某某、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4.考试结束后，将答题卡交回。
第I卷(选择题)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}。
若A∩B＝{1}，则B＝A.{1，－3}B.{1，0}C.{1，3}D.{1，5}2.若复数z满足(3＋4i)z＝1－i(i是虚数单位)，则复数z的共轭复数z等于A.172525i-+ B.172525i-- C.1755i-+ D.1755i--3.勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形。
现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为4.如图所示的程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值，若x＝y，则这样的x的值有A.1个B.2个C.3个D.4个5.已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 2＋S 3＝4，a 3＋S 5＝12，则a 4＋S 7＝ A.20B.24C.28D.326.“log 2(2x －3)<1”是“4x >8”A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 7.已知点G 是△ABC 的重心，AG AB AC λμ=+(λ，µ∈R)，若∠A ＝120°，AB AC ⋅＝－2，则|AG |的最小值是 322 C.12D.238.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2ccosA ＝0，则当角B 取得最大值时，△ABC 的周长为 A.22 B.23C.3D.32 9.已知正实数a ，b ，c 满足：(12)a ＝log 2a ，(13)b ＝log 2b ，c ＝12log c ，则 A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b10.记无穷数列{a n }的前n 项a 1，a 2，…，a n 的最大项为A n ，第n 项之后的各项a n ＋1，a n ＋2，…的最小项为B n ，令b n ＝A n －B n ，若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 2－7n ＋6，则数列{b n }的前10项和为A.－169B.－134C.－103D.－7811.已知点F 1，F 2是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，椭圆上存在不同两点A ，B 使得12FA 2F B =，则椭圆的离心率的取值X 围是 A(0，13) B.(0，12) C.(13，1) D.(12，1) 12.若函数f(x)＝2x lnx与函数h(x)＝lnx －2ax 的图象有三个交点，则实数a 的取值X 围是A.(－∞，211e e -) B.(－∞，122e e -) C.(211e e -，0) D.(122ee -，0) 第II 卷(非选择题)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
三门峡市2021届高三第一次大练习考试 数学(理)试题(含答案)
一、选择题(60分)1-6:C A D C B B7-12:D B C A C B 二、填空题(20分)13.7；14.78；15.516.②④．三、解答题：共70分.17.（12分）【解析】（1）∵2222cos cos b c a ac C c A +-=+，∴22cos cos cos bc A ac C c A =+．∵0c >，∴2cos cos cos b A a C c A =+，由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+，即2sin cos sin()B A A C =+．∵sin()sin()sin A C B B π+=-=，∴2sin cos sin B A B =，即sin (2cos 1)0B A -=，∵0πB <<，∴sin 0B ≠，∴1cos 2A =，∵0πA <<，∴π3A =．（2）∵1sin 244ABC S bc A ===△，∴25bc =．∵22222251cos 22252b c a b c A bc +-+-===⨯，∴2250b c +=，∴2()50225100b c +=+⨯=，即10b c +=（或求出5b c ==），∴sin sin sin 2sin sin ()105A A ABC b c b c a a a +=⋅+⋅=+⋅=⨯=参考答案18.（12分）【解析】（1）21log a ，2，25log a 成等差数列，2125215log log log ()4a a a a +==，即215316a a a ==，又因为0n a >，∴34a =，又37S =，∴21211147a q a a q a q ⎧=⎨++=⎩，解得2q =或23q =-(舍)．（2）记11n n n nb b d a ++-=，当2n ≥时，223(1)3(1)122n n n n n d n +-+-=-=+，又∵12d =也符合上式，∴1n d n =+．而31322n n n a a --=⋅=，∴1(1)2n n n b b n +-=+⋅，∴21121321()()()122322n n n n b b b b b b b b n --=+-+-++-=+⋅+⋅++⋅ ，(2)n ≥，∴231222232(1)22n n n b n n -=+⋅+⋅++-⋅+⋅ 两式相减得2112222(1)21n n n n b n n --=++++-⋅=-⋅- ，∴(1)21n n b n =-⋅+，(2)n ≥．而11b =也符合上式，故(1)21nn b n =-⋅+．19.（12分）【解析】（1）列联表补充如下：患伤风感冒疾病不患伤风感冒疾病合计男202545女203555合计4060100（2）由（1）得222()100(20352025)0.673 2.706()()()()40604555n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯所以不能在犯错误的概率不超过0.1的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有关.（3）根据题意，X 的值可取0,1,2则212220C 153(0)C 190P X ===;115220C 18(1)C 95P X ===;22220C 1(2)C 190P X ===.故的分布列如下：X012P 15319018951190故X 的数学期望：1531811()012190951905E X =⨯+⨯+⨯=.20.（12分）【解析】（1） 离心率为12c e a ==，∴2a c =， 2ABF ∆的周长为8，∴48a =，得2a =，∴1c =，2223b a c =-=，因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）设2ABF ∆的内切圆半径为r ，∴2221(||||||)2ABF S AF AB BF r ∆=++⋅，又 22||||||8AF AB BF ++=，∴24ABF S r ∆=，要使2ABF ∆的内切圆面积最大，只需2ABF S ∆的值最大．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线:1l x my =-，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 得：22(34)690m y my +--=，易得0∆>，且122634m y y m +=+，122934y y m -⋅=+，所以212121||||2ABF S F F y y ∆=⋅-===，设1t =≥，则2212121313ABF t S t t t ∆==++，设13(1)y t t t =+≥，2130y t'=->，所以13y t t =+在[1,)+∞上单调递增，所以当1t =，即0m =时，2ABF S ∆的最大值为3，此时34r =，所以2ABF ∆的内切圆面积最大为916π．21.（12分）【解析】（1）()()()22e 112e e e e kx kxkx kx kx k x k kx k kx k f x k ⎛⎫-- ⎪---⎝⎭'=⋅==，①若0k >，当2,x k ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 在2,k ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增；当2,x k ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 在2,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．②若0k <，当2,x k ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 在2,k ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减；当2,x k ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 在2,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．∴当0k >时，()f x 在2,k ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；当0k <时，()f x 在2,k ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．（2）()1ln 1ex x x f x x k k -⎛⎫=≤≥ ⎪⎝⎭，当0k <时，上不等式成立，满足题设条件；当0k >时，1ln e x x x f x k k -⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，等价于1l 0e n x x k x --≤，设()()1ln 1e x x g x k x x -=-≥，则()222e e e x x xx k x x k g x x x ---'=-=，设()()22e 1x h x x x k x =--≥，则()()21e 0x h x x k '=--<，∴()h x 在[)1,+∞上单调递减，得()()11e h x h k ≤=-．①当1e 0k -≤，即1ek ≥时，得()0h x ≤，()0g x '≤，∴()g x 在[)1,+∞上单调递减，得()()10g x g ≤=，满足题设条件；②当1e 0k ->，即10ek <<时，()10h >，而()22e 0h k =-<，∴()01,2x ∃∈，()00h x =，又()h x 单调递减，∴当()01,x x ∈，()0h x >，得()'0g x >，∴()g x 在[)01,x 上单调递增，得()()10g x g ≥=，不满足题设条件；综上所述，0k <或1ek ≥．22.（10分）选修4－4：极坐标与参数方程【解析】(1)由2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩得椭圆C 的普通方程为x 24＋y 2＝1.因为A 的极坐标为π(2,)3，所以x ＝2cos π3＝1，y ＝2sin π3＝3，A 在直角坐标系下的坐标为(1，3).(2)＝12＋22t ，＝12－22t ，代入x 24＋y 2＝1，化简得10t 2－62t －11＝0，设此方程两根为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝325，t 1t 2＝－1110.所以|PQ |＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝825.因为直线l 的一般方程为x ＋y －1＝0，所以点A 到直线l 的距离d ＝32＝62.所以△APQ 的面积为：12×825×62＝435.23.（10分）选修4－5：不等式选讲【解析】(1)当0a =时，()1f x <化为|21|||1x x --<.当0x ≤时，不等式化为0x >，无解；当102x <≤时，不等式化为0x >，解得102x <≤；当12x >时，不等式化为2x <，解得122x <<；综上，()1f x <的解集为{}|02x x <<.(2)由题设可得1,,1()31,,211,.2x a x a f x x a a x x a x ⎧--+<⎪⎪⎪=-++≤≤⎨⎪⎪+->⎪⎩所以()f x 的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为1(,0)3a +，(1,0)a -，11(,)22a -，该三角形的面积为2(12)6a -.由题设2(12)362a ->，解得1a <-或2a >，又0a ≤，所以1a <-.所以a 的取值范围是(,1)-∞-.。
河南省三门峡市2024届高三上学期第一次大练习数学试题含答案解析
★2024年1月24日2023-2024学年度上学期高三第一次大练习数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.考试结束后，将答题卡交回.第I 卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}2xA y y ==，(){}2log 32B x y x ==-，则()RB A ⋂=ð（）A.2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B.20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D.2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦2.若复数z 满足i (1)43i z ⋅+=+，则||z =（）A. B.4C.D.23.已知非零向量a ，b ，c 满足a b = ，13c a = ，若c 为b 在a 上的投影向量，则向量a ，b夹角的余弦值为（）A.12B.13C.14D.154.设集合A B ⊆，且()0.2P A =，()0.7P B =，则下列说法正确的是（）A.()27P B A =B.()23P A B =C.()58P B A =D.()710P AB =5.设{}n a 是公比不为1的无穷等比数列，则“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，1n a <”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.在平面直角坐标系xOy 中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头M （开始时与圆盘上点()1,0A 重合）系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为B ，细绳的粗细忽略不计，当2rad ϕ=时，点M 与点O 之间的距离为（）A.1cos1B.2sin1C.2D.7.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 、N 分别为11A B 、11B C 的中点，过M 、N 的平面所得截面为四边形，则该截面最大面积为（）A. B. C.3102D.928.在某次数学节上，甲､乙､丙､丁四位同学分别写下了一个命题：甲：ln3<；乙：lnπ<；丙：12<；丁：3eln2>）A.甲和乙B.甲和丙C.丙和丁D.甲和丁二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.数列{}n a 的前n 项和为S n ，()*111,2N n n a a S n +==∈，则有（）A.13n n S -= B.{}n S 为等比数列C.123n n a -=⋅ D.21,123,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩10.袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取5次，每次取一个球．记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差小于1，则（）A.可能取到数字4B.中位数可能是2C.极差可能是4D.众数可能是211.已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>满足：π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的图象关于直线7π6x =对称 B.函数π3f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数C.函数()f x 在π7π,66⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D.函数()f x 的值域为[2,2]-12.设双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的焦距为2c ，离心率为e ，且a ，c ，a c +成等比数列，A 是E的一个顶点，F 是与A 不在y 轴同侧的焦点，B 是E 的虚轴的一个端点，PQ 为E 的任意一条不过原点且斜率为()0k k ≠的弦，M 为PQ 中点，O 为坐标原点，则（）A.EB.AB BF⊥C.OM PQ k k e ⋅=（OM k ，PQ k 分别为直线OM ，PQ 的斜率）D.若OP OQ ⊥，则2211e OPOQ+=恒成立第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在一次知识竞赛的选做题部分，要求选手在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，在第3题的2个小题中选做1个小题，答题时选手的选法种数为______.14.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1θ℃，空气的温度是0θ℃，那么min t 后物体的温度θ（单位：℃）可由公式()010e ktθθθθ-=+-，求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.若现有62℃的物体，放在15℃的空气中冷却，1min 以后物体的温度是52℃，则k =______（参考值ln 47 3.85=，ln 37 3.61=）15.在四棱锥P −ABCD 中，已知底面ABCD 是边长为P 到底面ABCD 的距离为3，该四棱锥的外接球O 的半径为5，若球心O 在四棱锥P −ABCD 内，则顶点P 的轨迹长度为___________.16.已知函数()()ln ,f x x b a b R =+∈在3e,e ⎡⎤⎣⎦（e 为自然对数的底）内有零点，则22a b +的最小值为___________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，,,a b c 分别是ABC 的内角,,A B C 所对的边，且sin sin sin sin b a cA CB C-=+-.（1）求角A 的大小；（2）若1sin sin 4B C =，2bc =，求边a.18.已知数列{}n a 满足11a =，()()12121n n n a n a +-=+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若12n an b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设数列{}n n a b 的前n 项和n S ，证明：109n S <．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，PC ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，AB ∥DC ，22AB AD CD ==，点E 是PB 的中点.（1）证明:平面PAC ⊥平面PBC ；（2）若平面PAD 与平面ABCD 所成锐二面角的正切值为2，求直线PD 与平面ACE 所成角的正弦值.20.为深入学习党的二十大精神，某学校团委组织了“青春向党百年路，奋进学习二十大”知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如下.（1）用样本估计总体，求此次知识竞赛的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（2）可以认为这次竞赛成绩X 近似地服从正态分布()2,N μσ（用样本平均数x 和标准差s 分别作为μ，σ的近似值），已知样本标准差8.65s ≈，如有84%的学生的竞赛成绩高于学校期望的平均分，则学校期望的平均分约为多少（结果取整数）？（3）从[]80,100的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测()16i i ≤≤份试卷（抽测的份数是随机的），若已知抽测的i 份试卷都不低于90分，求抽测2份的概率.参考数据：若()2,X Nμσ ，则()0.6827,(22)0.9545,(33)0.9973P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<≤+≈-<≤+≈-<≤+≈.21.已知函数2()sin f x x x =+.（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程，（2）证明：5()16f x >-.22.设抛物线方程为22y x =，过点P 的直线,PA PB 分别与抛物线相切于,A B 两点，且点A 在x 轴下方，点B 在x 轴上方.（1）当点P 的坐标为()1,2--时，求AB ；（2）点C 在抛物线上，且在x 轴下方，直线BC 交x 轴于点N .直线AB 交x 轴于点M ，且43AM BM <.若ABC 的重心在x 轴上，求ABCBMNS S 的取值范围.★2024年1月24日2023-2024学年度上学期高三第一次大练习数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.考试结束后，将答题卡交回.第I 卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}2xA y y ==，(){}2log 32B x y x ==-，则()RB A ⋂=ð（）A.2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B.20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D.2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】求出集合A 、B ，利用补集和交集的定义可求得集合()B A R ð.【详解】因为{}{}20xA y y y y ===>，(){}{}22log 323203B x y x x x x x ⎧⎫==-=->=>⎨⎩⎭，则23B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭R ð，因此，()R 20,3B A ⎛⎤= ⎥⎝⎦ð.故选：C.2.若复数z 满足i (1)43i z ⋅+=+，则||z =（）A. B.4C.D.2【答案】A 【解析】【分析】由复数的四则运算，计算复数z ，再由复数模的公式计算z .【详解】复数z 满足i (1)43i z ⋅+=+，则43i124i iz +=-=-，所以z ==.故选：A.3.已知非零向量a ，b ，c 满足a b = ，13c a = ，若c 为b 在a 上的投影向量，则向量a ，b夹角的余弦值为（）A.12B.13C.14D.15【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由平面向量的数量积运算，向量的投影向量的计算公式，结合其夹角公式代入计算，即可得到结果.【详解】由13c a = ，c 为b 在a上的投影向量，1cos ,cos ,cos ,3b a c a b b a ba ab a a a⎛⎫ ⎪==⋅== ⎪⎝⎭所以1cos ,3a ab a =，故1cos ,3a b =故选：B4.设集合A B ⊆，且()0.2P A =，()0.7P B =，则下列说法正确的是（）A.()27P B A =B.()23P A B =C.()58P B A =D.()710P AB =【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由条件概率的计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】因为A B ⊆，所以()()0.2P AB P A ==，所以()()()1P AB P B A P A ==，()()()()2,0.70.20.57P AB P A B P AB P B ===-=．因为()()10.8P A P A =-=，所以()()()58P AB P BA P A ==∣.故选:C5.设{}n a 是公比不为1的无穷等比数列，则“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，1n a <”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：因为{}n a 是公比不为1的无穷等比数列，若{}n a 为递减数列，当11a >，则01q <<，所以11n n a a q -=，令111n n a a q -=<，则111n qa -<，所以1111log log qq n a a ->=-，所以11log q n a >-时1n a <，当101a <<，则01q <<，所以111n n a a q -=<恒成立，当11a =，则01q <<，所以11n n a a q -=，当2n ≥时1n a <，当10a <，则1q >，此时110n n a a q -=<恒成立，对任意N*n ∈均有1n a <，故充分性成立；若存在正整数0N ，当0n N >时，1n a <，当10a <且01q <<，则110n n a a q -=<恒成立，所以对任意N*n ∈均有1n a <，但是{}n a 为递增数列，故必要性不成立，故“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，1n a <”的充分不必要条件；故选：A6.在平面直角坐标系xOy 中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头M （开始时与圆盘上点()1,0A 重合）系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为B ，细绳的粗细忽略不计，当2rad ϕ=时，点M 与点O 之间的距离为（）A.1cos1B.2sin1C.2D.【答案】D 【解析】【分析】根据扇形的弧长公式，和展开过程中的长度关系即可.【详解】展开过程中：2,1BM AB R BO ϕ==⋅==,MO ==,故选：D.7.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 、N 分别为11A B 、11B C 的中点，过M 、N 的平面所得截面为四边形，则该截面最大面积为（）A. B. C.2D.92【答案】D 【解析】【分析】画出图形，可得最大面积的截面四边形为等腰梯形MNCA ，根据梯形的面积公式求解即可.【详解】如图所示，最大面积的截面四边形为等腰梯形MNCA ，其中MN AC AM CN ====2h ==，故面积为19222⨯⨯=.故选:D ．8.在某次数学节上，甲､乙､丙､丁四位同学分别写下了一个命题：甲：ln3<；乙：lnπ<；丙：12<；丁：3eln2>）A.甲和乙B.甲和丙C.丙和丁D.甲和丁【答案】B 【解析】【分析】构造函数()ln ,0xf x x x=>，则()f x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，由()2ff <可判断甲；由f f >可判断乙；由(4)f f <可判断丙；由()e ff <可判断丁．【详解】令()ln ,0x f x x x=>，则()21ln x f x x -'=，由()0f x ¢>得0e x <<，则()f x 在()0,e 上单调递增，由()0f x '<得e x >，则()f x 在()e,+∞上单调递减，()ln22e,2,2ff <<∴<∴ln2<，即ln3<，故甲正确；l e,n πf f <<∴>∴>，故乙错误；4e >>，(4)f f ∴<，即ln4412<，则ln2ln12,122<<∴<，故丙正确；e >，()e ff ∴<，lnee<，则eln83eln2<∴<∴<故丁错误，故选：B ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.数列{}n a 的前n 项和为S n ，()*111,2N n n a a S n +==∈，则有（）A.13n n S -= B.{}n S 为等比数列C.123n n a -=⋅ D.21,123,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩【答案】ABD 【解析】【分析】根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得n a ，进而求得n S 以及判断出{}n S 是等比数列.【详解】由题得1122(2)n nnn a S a S n +-=⎧⎨=≥⎩，两式相减得132)n n a a n +=≥（，即132)n na n a +=≥（，当1n =时，2212,23a a a =∴=≠，所以数列{}n a 从第2项起是等比数列，所以2=232)n n a n -⋅≥（，所以数列的通项为211232n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩，，.当2n ≥时，1132n n n a S -+==；当1n =时，111S a ==符合上式，所以13n n S -=，所以13n nS S +=，所以数列{}n S 是首项为1，公比为3的等比数列.所以ABD 选项正确，C 选项错误.故选：ABD10.袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取5次，每次取一个球．记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差小于1，则（）A.可能取到数字4B.中位数可能是2C.极差可能是4D.众数可能是2【答案】BD 【解析】【分析】对于AC ：根据题意结合平均数、方差和极差的定义分析判断；对于BD ：举例说明即可.【详解】设这5个数字为12345,,,,x x x x x ，对于A ：若取到数字4，不妨设为14x =，则2345425x x x x ++++=，可得23456x x x x +++=，可知这4个数中至少有2个1，不妨设为231x x ==，则这5个数字的方差()()()()()222222123451222225⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦s x x x x x ()()()22216421212155⎡⎤≥-+-+-=>⎣⎦，不合题意，故A 错误；对于C ：因为这5个数字的平均数为2，这5个数字至少有1个1，不妨设为11x =，若极差是4，这最大数为5，不妨设为25x =，则这5个数字的平均数()()123453451115255=++++=++++=x x x x x x x x x ，则3454++=x x x ，可知这3个数有2个1，1个2，此时这5个数字的方差()()()()()2222221121252121222155⎡⎤=-+-+-+-+-=>⎣⎦s ，不合题意，故C 错误；对于BD ：例如2，2，2，2，2，可知这5个数字的平均数为2，方差为0，符合题意，且中位数是2，众数是2，故BD 正确；故选：BD.11.已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>满足：π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的图象关于直线7π6x =对称 B.函数π3f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数C.函数()f x 在π7π,66⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D.函数()f x 的值域为[2,2]-【答案】AD 【解析】【分析】化简()f x 后结合题意可得ω的取值集合，再结合正弦型函数的性质逐项判断即可得.【详解】π()sin 2sin 3f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由π26f ⎛⎫=⎪⎝⎭，故()11πππ2π632k k ω+=+∈Z ，即()11112k k ω=+∈Z ，由2π03f ⎛⎫=⎪⎝⎭，故()222πππ33k k ω+=∈Z ，即()221322k k ω=-+∈Z ，则有121311222k k +=-+，即2181k k -=，故1ω=、13、25、L ，当7π6x =时，()11π7ππ3π11214π3632x k k ω+=++=+，由函数sin y x =关于直线13π14π2x k =+对称，故()f x 的图象关于直线7π6x =对称，故A 正确；()()()111πππ2sin 1122sin 1214π2sin 121333f x x k k x k x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤-=-++=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由sin y x =为奇函数，故函数π3f x ⎛⎫-⎪⎝⎭为奇函数，故B 错误；当π7π,66x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，11ππ3π2π,14π322x k k ω⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，取11k =时，即ππ3π2π,14π322x ω⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，函数()f x 并不单调递减，故C 错误；由π()2sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故()[2,2]f x ∈-，故D 正确.故选：AD.12.设双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的焦距为2c ，离心率为e ，且a ，c ，a c +成等比数列，A 是E的一个顶点，F 是与A 不在y 轴同侧的焦点，B 是E 的虚轴的一个端点，PQ 为E 的任意一条不过原点且斜率为()0k k ≠的弦，M 为PQ 中点，O 为坐标原点，则（）A.EB.AB BF⊥C.OM PQ k k e ⋅=（OM k ，PQ k 分别为直线OM ，PQ 的斜率）D.若OP OQ ⊥，则2211e OPOQ+=恒成立【答案】ABC 【解析】【分析】由a ，c ，a c +成等比数列，得2b ac =且可求得离心率为e ，求渐近线的斜率验证选项A ；求AB 和BF 的斜率，验证选项B ；利用点差法求验证选项C ，通过联立方程组计算2OP 和2OQ 的值，验证选项D.【详解】因为a ，c ，a c +成等比数列，所以22c ac a =+，所以2b ac =且210e e --=，解得512e +=（负根舍），又cea==22b ac c ea a a⎛⎫===⎪⎝⎭，所以ba=E的一条渐近线的斜率为A正确；不妨设F为左焦点，B为虚轴的上端点，则A为右顶点，则BF的斜率BFbkc=，AB的斜率ABbka=-，所以21BF ABbk kac⋅=-=-，所以AB BF⊥，故B正确；设()11,P x y，()22,Q x y，()00,M x y，则22112222222211x ya bx ya b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，作差后整理得2212122121y y y y bx x x x a-+⋅=-+，即2212210yy y bx x x a-⋅=-，所以222222PQ OMb c a ac ck k ea a a a-⋅=====，故C正确；设直线:OP y kx=，则直线1:OQ y xk=-，将y kx=代入双曲线方程222222b x a y a b-=，得222222a bxb a k=-，则2222222a b kyb a k=-，()2222222221a b kOP x yb a k+∴=+=-，将k换成1k-得()22222221a b kOQb k a+=-，则()()()222222222222222111115121b a k b aa b a b ba b kOP OQ-+-+===-=+与b的值有关，故D错误．故选：ABC．第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在一次知识竞赛的选做题部分，要求选手在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，在第3题的2个小题中选做1个小题，答题时选手的选法种数为______.【答案】24【解析】【分析】由分步计数原理，分别计算每个小题的选法种数，然后相乘即可.【详解】由题意，第1题的选法有34C4=种，第2题的选法有23C3=种，第3题的选法有12C2=种，根据分步乘法原理，答题时选手的选法一共有43224⨯⨯=种.故答案为：2414.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1θ℃，空气的温度是0θ℃，那么min t 后物体的温度θ（单位：℃）可由公式()010e ktθθθθ-=+-，求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.若现有62℃的物体，放在15℃的空气中冷却，1min 以后物体的温度是52℃，则k =______（参考值ln 47 3.85=，ln 37 3.61=）【答案】0.24##625【解析】【分析】根据题意中的函数模型代入已知量，化简得e3747k-=，再化成对数式即得.【详解】依题意，1062,15,1mi 52n,t θθθ====，把数据代入公式()010ektθθθθ-=+-中，整理得：e 3747k -=，两边取自然对数，可得：ln 37ln 47 3.61 3.850.24k -=-=-=-，即得：0.24k =.故答案为：0.24.15.在四棱锥P −ABCD 中，已知底面ABCD 是边长为P 到底面ABCD 的距离为3，该四棱锥的外接球O 的半径为5，若球心O 在四棱锥P −ABCD 内，则顶点P 的轨迹长度为___________.【答案】【解析】【分析】先求出正方形外接圆半径1r =，再求出球心O 到底面ABCD 的距离，由题知P 的轨迹为圆，求出截面圆的半径进而得解.【详解】因为底面ABCD 是边长为1r =，所以球心O 到底面ABCD 的距离1d =，又顶点P 到底面ABCD 的距离为3，所以点P 在与底面ABCD 平行的截面圆的圆周上，由球心O 在四棱锥P ABCD -内，可得截面圆的半径2r =P 的轨迹长度为.故答案为：21π.16.已知函数()()1ln ,f x a x x b a b R =-+∈在3e,e ⎡⎤⎣⎦（e 为自然对数的底）内有零点，则22a b +的最小值为___________.【答案】1e【解析】【分析】由题意，根据零点的定义，整理函数为方程，将22a b +转化为原点O 到(),P a b 的距离，将方程看作直线方程，由点到直线的距离，可得答案.【详解】设函数()f x 在3e,e ⎡⎤⎣⎦上的零点为m ，则1ln 0m m b --+=，所以(),P a b 在直线1ln 0l m x y m -+-=，设O 为坐标原点，则222a b OP +=，其最小值就是O 到直线l 的距离的平方，22ln ma b OP m +==32,e,e m t t ⎛⎫⎤=∈ ⎪⎥ ⎪⎦⎝⎭，所以()2ln t g t t =，则()()221ln t g t t-'=，由13ln ,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，e e t <<时，()0g t '>；当32e e t <<时，()0g x '<，由12e e g-=，331122223e 3e e e e e g g---⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，则()1e eg t g≥=，故221e a b +≥，故答案为：1e.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，,,a b c 分别是ABC 的内角,,A B C 所对的边，且sin sin sin sin b a cA CB C-=+-.（1）求角A 的大小；（2）若1sin sin 4B C =，2bc =，求边a .【答案】（1）60 （2【解析】【分析】（1）由题设和正弦定理化角为边，利用余弦定理即可求得角A ；（2）由题设条件得到8sin sin bcB C=，利用正弦定理替换即可得到边a 长度.【小问1详解】由sin sin sin sin b a c A C B C -=+-和正弦定理可得：b a ca cb c-=+-，整理得：222b c a bc +-=，由余弦定理得：2221cos 22b c a A bc +-==，因0180A << ，故得：60A = .【小问2详解】由1sin sin 4B C =，2bc =可得：281sin sin 4bc B C ==，又由正弦定理：sin sin sin b c a B C A ==可得：2()8sin sin sin a bcA B C==，由（1）知60A =，代入解得：a =.18.已知数列{}n a 满足11a =，()()12121n n n a n a +-=+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若12n an b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设数列{}n n a b 的前n 项和n S ，证明：109n S <．【答案】（1）21n a n =-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由数列的递推公式，利用累乘法求数列通项；（2）利用错位相减法求数列{}n n a b 的前n 项和n S ，可得结论.【小问1详解】由()()12121n n n a n a +-=+及11a =，得0n a ≠，所以12121n n a n a n ++=-，当2n ≥时，有1342112321n n n n n a a a a aa a a a a a a ---=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 21237531212325531n n n n n --=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=--- ．当1n =时，11211a ==⨯-，符合上式，所以21n a n =-．【小问2详解】由（1）得21211122n n n b --⎛⎫==⎪⎝⎭，所以21212n n n n a b --=，所以3521135212222n n n S --=++++ ，所以23572111352122222n n n S +-=++++ ，两式相减，得32235212121221131222211212214222222212n n n n n n n S --++⎛⎫- ⎪--⎝⎭=++++-=+-- 212111655652332632n n n n ++++=+-=-⨯⨯，所以211065992n n n S -+=-⨯．因为2165032n n -+>⨯，所以109n S <。
河南省三门峡市2021届新高考第一次质量检测数学试题含解析
河南省三门峡市2021届新高考第一次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{|4},{|2,}A x N y x B x x n n Z =∈=-==∈,则A B =I （ ）A ．[0,4]B ．{0,2,4}C ．{2,4}D ．[2,4]【答案】B 【解析】 【分析】计算{}0,1,2,3,4A =，再计算交集得到答案 【详解】{}{|4}0,1,2,3,4A x N y x =∈=-=,{|2,}B x x n n Z ==∈表示偶数，故{0,2,4}A B =I . 故选：B . 【点睛】本题考查了集合的交集，意在考查学生的计算能力.2．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图，则它的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．642+D ．83π【答案】B 【解析】 【分析】由三视图判断出原图，将几何体补形为长方体，由此计算出几何体外接球的直径，进而求得球的表面积. 【详解】根据题意和三视图知几何体是一个底面为直角三角形的直三棱柱，底面直角三角形的斜边为2，侧棱长为2且与底面垂直，因为直三棱柱可以复原成一个长方体，该长方体外接球就是该三棱柱的外接球，长方体对角线就是外接球直径，则2222(2)4228R R ==+=，那么248S R ππ==外接球.故选：B 【点睛】本小题主要考查三视图还原原图，考查几何体外接球的有关计算，属于基础题. 3．已知m ，n 是两条不重合的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//m α，n ⊂α，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊥，则//n α D ．若m α⊥，//n α，则m n ⊥【答案】D 【解析】 【分析】利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断. 【详解】解：选项A 中直线m ，n 还可能相交或异面， 选项B 中m ，n 还可能异面， 选项C ，由条件可得//n α或n ⊂α． 故选：D. 【点睛】本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题.4．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI （居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨3.27个百分点．下图是2019年11月CPI 一篮子商品权重，根据该图，下列结论错误的是（ ）A ．CPI 一篮子商品中所占权重最大的是居住B ．CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%C ．猪肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.5%D ．猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为0.18% 【答案】D【解析】 【分析】A.从第一个图观察居住占23%，与其他比较即可.B. CPI 一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，再判断.C.食品占19.9%，再看第二个图，分清2.5%是在CPI 一篮子商品中，还是在食品中即可.D. 易知猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%. 【详解】A. CPI 一篮子商品中居住占23%，所占权重最大的，故正确.B. CPI 一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，权重超过50%，故正确.C.食品占中19.9%，分解后后可知猪肉是占在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.5%，故正确.D. 猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%，故错误. 故选：D 【点睛】本题主要考查统计图的识别与应用，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．24π+B ．24π-C ．242π-D ．243π-【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先确定几何体的空间结构特征，然后结合空间结构特征即可求得其表面积. 【详解】由三视图可知，该几何体为边长为2正方体ABCD A B C D ''''-挖去一个以B 为球心以2为半径球体的18，如图，故其表面积为2124342248πππ-+⨯⨯⨯=-， 故选：B.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．6．如图是2017年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是（ ）A ．2017年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省．B ．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP 总量实现了增长．C ．2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D ．去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元． 【答案】C 【解析】 【分析】利用图表中的数据进行分析即可求解. 【详解】对于A 选项：2017年第一季度5省的GDP 增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故A 正确；对于B 选项：与去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP 均有不同的增长，所以其总量也实现了增长，故B 正确；对于C 选项：2017年第一季度GDP 总量由高到低排位分别是：江苏、山东、浙江、河南、辽宁，2017年第一季度5省的GDP 增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，均居同一位的省有2个，故C 错误；对于D 选项：去年同期河南省的GDP 总量14067.43815.5740001 6.6%⨯≈<+，故D 正确.故选：C. 【点睛】本题考查了图表分析，学生的分析能力，推理能力，属于基础题.7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，若双曲线C 的一条渐近线的倾斜角为3π，且点FC 的实轴的长为 A ．1 B ．2C ．4D ．5【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】双曲线C 的渐近线方程为by x a =±，由题可知tan 3b a π==．设点(c,0)F ，则点F 到直线y =2c =，所以222222344c a b a a a =+=+==，解得1a =，所以双曲线C 的实轴的长为22a =，故选B ． 8．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆的面积S =.根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为（ ）AB ．CD ．【答案】A 【解析】 【分析】根据()cos 3cos 0a B b c A ++=，利用正弦定理边化为角得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=，整理为()sin 13cos 0C A +=，根据sin 0C ≠，得1cos 3A =-，再由余弦定理得3bc =，又2222a b c --=，代入公式=S 求解. 【详解】由()cos 3cos 0a B b c A ++=得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=， 即()sin 3sin cos 0A B C A ++=，即()sin 13cos 0C A +=， 因为sin 0C ≠，所以1cos 3A =-， 由余弦定理22222cos 23a b c bc A bc --=-==，所以3bc =， 由ABC ∆的面积公式得S ===故选：A 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 9．已知集合A={x|x<1}，B={x|31x <}，则 A ．{|0}A B x x =<I B ．A B R =U C ．{|1}A B x x =>U D ．A B =∅I【答案】A 【解析】∵集合{|31}x B x =< ∴{}|0B x x =< ∵集合{|1}A x x =<∴{}|0A B x x ⋂=<，{}|1A B x x ⋃=< 故选A10．若复数2(2)(32)m m m m i -+-+是纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．0或2 B ．2C ．0D ．1或2【答案】C 【解析】试题分析：因为复数2(2)(32)m m m m i -+-+是纯虚数，所以(2)0m m -=且2320m m -+≠，因此0.m =注意不要忽视虚部不为零这一隐含条件.考点：纯虚数11．已知0a b >>，椭圆1C 的方程22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 和2C 的离心率之2C 的渐近线方程为（ ）A ．0x ±=B ．0y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆与双曲线离心率的表示形式，结合1C 和2C 的离心率之积为2，即可得,a b 的关系，进而得双曲线的离心率方程. 【详解】椭圆1C 的方程22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，则椭圆离心率1e a=，双曲线的离心率2e a=，由1C 和2C即122e e a a ==，解得2b a =±，所以渐近线方程为2y x =±，化简可得0x ±=，故选：A. 【点睛】本题考查了椭圆与双曲线简单几何性质应用，椭圆与双曲线离心率表示形式，双曲线渐近线方程求法，属于基础题.12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中的最长棱长为（ ）A ．32B ．25C ．26D ．27【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图，可得该几何体是一个三棱锥S ABC -，并且平面SAC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，过S 作SD AC ⊥，连接BD ，2,2,2,2AD AC BC SD ====，再求得其它的棱长比较下结论.【详解】 如图所示：由三视图得：该几何体是一个三棱锥S ABC -，且平面SAC ⊥ 平面ABC ，AC BC ⊥， 过S 作SD AC ⊥，连接BD ，则2,2,2,2AD AC BC SD ==== ， 所以=+=2220BD DC BC ，226SB SD BD =+=，2222SA SD AD =+=2225SC SD AC =+=，该几何体中的最长棱长为26. 故选：C 【点睛】本题主要考查三视图还原几何体，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河南省三门峡市2021届新高考第一次适应性考试数学试题含解析
河南省三门峡市2021届新高考第一次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()()2g x f x =+ ） A ．[]0,1 B ．[]0,2 C ．[]1,2 D ．[]1,3【答案】A 【解析】试题分析：由题意，得022{820x x ≤≤-≥，解得01x ≤≤，故选A ．考点：函数的定义域．2．复数()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则z =( )A ．iB ．﹣2iC ．2iD ．﹣i【答案】B 【解析】 【分析】复数()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，求出a ，即得z .【详解】∵()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数，∴21010a a ⎧-=⎨-≠⎩，解得1a =-.2z i ∴=-. 故选：B . 【点睛】本题考查复数的分类，属于基础题. 3．已知i 为虚数单位，则()2312ii i +=-（ ）A ．7455i + B ．7455i - C ．4755i + D ．4755i - 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数乘除运算法则，即可求解. 【详解】()()()()()2322323741222255i i i i i i i i i i +-++===+-++-.故选：A. 【点睛】本题考查复数代数运算，属于基础题题.4．已知函数()ln(1)f x x ax =+-，若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =，则实数a 的取值为（ ） A ．-2 B ．-1C ．1D ．2【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用切线方程通过f′（0），求解即可； 【详解】f （x ）的定义域为（﹣1，+∞）， 因为f′（x ）11x =-+a ，曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝2x ， 可得1﹣a ＝2，解得a ＝﹣1， 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力． 5．函数22cos x xy x x--=-的图像大致为（ ）.A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】 本题采用排除法: 由5522f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭排除选项D ； 根据特殊值502f π⎛⎫> ⎪⎝⎭排除选项C; 由0x >,且x 无限接近于0时, ()0f x <排除选项B ； 【详解】对于选项D:由题意可得, 令函数()f x = 22cos x xy x x--=-,则5522522522f ππππ--⎛⎫-= ⎪⎝⎭,5522522522f ππππ--⎛⎫= ⎪⎝⎭;即5522f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选项D 排除; 对于选项C ：因为55225220522f ππππ--⎛⎫=> ⎪⎝⎭,故选项C 排除;对于选项B:当0x >,且x 无限接近于0时,cos x x -接近于10-<,220x x -->，此时()0f x <.故选项B 排除; 故选项:A 【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.6．三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ︒∠=∠=，则异面直线1AB 与1BC所成角的余弦值为（ ）A ．33B ．66C ．34D 3【答案】B 【解析】 【分析】设1AA c =u u u v v ，AB a =u u u v v ，AC b =u u u v v，根据向量线性运算法则可表示出1AB u u u v 和1BC u u u u v ；分别求解出11AB BC ⋅u u u v u u u u v 和1AB u u u v ，1BC u u u u v ，根据向量夹角的求解方法求得11cos ,AB BC <>u u u v u u u u v，即可得所求角的余弦值.【详解】设棱长为1，1AA c =u u u v v，AB a =u u u v v ，AC b =u u u v v由题意得：12a b ⋅=v v ，12b c ⋅=v v ，12a c ⋅=v v1AB a c =+u u u v v v Q ，11BC BC BB b a c =+=-+u u u u v u u u v u u u v v v v()()22111111122AB BC a c b a c a b a a c b c a c c ∴⋅=+⋅-+=⋅-+⋅+⋅-⋅+=-++=u u u v u u u u v v v v v v v v v v v v v v v v又()222123AB a c a a c c =+=+⋅+=u u u v v v v v v v()222212222BC b a cb ac a b b c a c =-+=++-⋅+⋅-⋅=u u u u vv v v v v v v v v v v v1111116cos ,66AB BC AB BC AB BC ⋅∴<>===⋅u u u v u u u u vu u u v u u u u v u u u v u u u u v即异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为：66本题正确选项：B 【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题.7．已知定义在R 上的函数()2xf x x =⋅，3(log 5)a f =，31(log )2b f =-，(ln 3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数在0x >时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到3(log 2)b f =，比较33log 5,log 2,ln3三个数的大小，然后根据函数在0x >时的单调性，比较出三个数,,a b c 的大小. 【详解】当0x >时，'()22()2ln 220xx x x f x x x f x x =⋅=⋅⇒=+⋅⋅>，函数()f x 在0x >时，是增函数.因为()22()xx f x x x f x --=-⋅=-⋅=-，所以函数()f x 是奇函数，所以有33311(log )(log )(log 2)22b f f f =-=-=，因为33log 5lo ln31g 20>>>>，函数()f x 在0x >时，是增函数，所以c a b >>，故本题选D. 【点睛】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键. 8．党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】根据四个列联表中的等高条形图可知，图中D 中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大， 它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选D ．9．已知集合M ＝{x|﹣1＜x ＜2}，N ＝{x|x （x+3）≤0}，则M∩N ＝（ ）A．[﹣3，2）B．（﹣3，2）C．（﹣1，0] D．（﹣1，0）【答案】C【解析】【分析】先化简N＝{x|x（x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，再根据M＝{x|﹣1＜x＜2}，求两集合的交集.【详解】因为N＝{x|x（x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，又因为M＝{x|﹣1＜x＜2}，所以M∩N＝{x|﹣1＜x≤0}.故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.x+”猜想：任给一个正整数x，如果x是偶数，就将它减半；如果x是奇数，10．20世纪产生了著名的“31x+”猜想的一个则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.如图是验证“31程序框图，若输入正整数m的值为40，则输出的n的值是（）A．8B．9C．10D．11【答案】C【解析】【分析】列出循环的每一步，可得出输出的n 的值. 【详解】1n =，输入40m =，112n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则40202m ==； 213n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则20102m ==； 314n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则1052m ==； 415n =+=，1m =不成立，m 是偶数不成立，则35116m =⨯+=；516n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则1682m ==； 617n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则842m ==；718=+=n ，1m =不成立，m 是偶数成立，则224m ==；819n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则212m ==；9110n =+=，1m =成立，跳出循环，输出n 的值为10.故选：C. 【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题. 11．给出以下四个命题：①依次首尾相接的四条线段必共面；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等； ④垂直于同一直线的两条直线必平行. 其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】用空间四边形对①进行判断；根据公理2对②进行判断；根据空间角的定义对③进行判断；根据空间直线位置关系对④进行判断. 【详解】①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误.②中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确. ③中，由空间角的定义知道，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么 这两个角相等或互补，故③错误.④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交，可平行，可异面，故④错误. 故选：B 【点睛】本小题考查空间点，线，面的位置关系及其相关公理，定理及其推论的理解和认识；考查空间想象能力，推理论证能力，考查数形结合思想，化归与转化思想.12．某公园新购进3盆锦紫苏、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，现将这6盆盆栽摆成一排，要求郁金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（ ）种 A ．96 B ．120 C ．48 D ．72【答案】B 【解析】 【分析】间接法求解，两盆锦紫苏不相邻，被另3盆隔开有3334A A ，扣除郁金香在两边有23232A A ，即可求出结论. 【详解】使用插空法，先排2盆虞美人、1盆郁金香有33A 种， 然后将3盆锦紫苏放入到4个位置中有34A 种， 根据分步乘法计数原理有3334A A ，扣除郁金香在两边， 排2盆虞美人、1盆郁金香有222A 种， 再将3盆锦紫苏放入到3个位置中有33A ， 根据分步计数原理有23232A A ，所以共有332334232120A A A A -=种.故选:B. 【点睛】本题考查排列应用问题、分步乘法计数原理，不相邻问题插空法是解题的关键，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年河南省三门峡市第二中学高三数学理联考试卷含解析
2021年河南省三门峡市第二中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点在双曲线上.则＝( )A. －12B. －2 C. 0 D. 4参考答案：C2. “”是“直线与直线相互垂直”的.充分必要条件.充分而不必要条件.必要而不充分条件.既不充分也不必要条件参考答案：B略3. 已知集合，，则集合不可能是（）A． B． C． D．参考答案：D∵集合A=={x|x≥1}，A∩B=?，∴B={x|x＜1},∴集合B不可能是{x|x≥﹣1}．故选：D．【考查方向】本题考查集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．【易错点】交集及其运算，注意集合代表元素的属性【解题思路】求出集合A={x|x≥1}，由A∩B=?，得B={x|x＜1}，由此能求出结果．4. 执行如图所示的程序框图，如果输出的S=，那么判断框内应填入的条件是（）A．i＜3 B．i＜4 C．i＜5 D．i＜6参考答案：C【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，模拟运行过程，根据程序输出的S值，即可得出判断框内应填入的条件．【解答】解：进行循环前i=2，S=1，计算S=，应满足循环条件，i=3；执行循环后S=，应满足循环条件，i=4；执行循环后S=，应满足循环条件，i=5；执行循环后S=，应不满足条件循环条件，输出S=；故判断框内应填入的条件是i＜5；故选：C．5. 四棱锥的底面是矩形，锥顶点在底面的射影是矩形对角线的交点，且四棱锥及其三视图如下(AB平行于主视图投影平面)则四棱锥的侧面积= ( )A ．．B ．20．C ．． D ．．参考答案： C 略6. 设函数，对任意给定的，都存在唯一的，满足，则正实数的最小值是（ ）A ．B ．C ．2D ．4参考答案：A试题分析：首选写出表达式，当时，；当时，；当时，，考虑到题目说的要求的唯一性，即当取某个值时，的值只能落在三段区间的一段，而不能落在其中的两段或者三段内，因此我们要先求出在每段区间的值域，当时，；当时，；当时，，从中可以发现，上面两段区间的值包含在最后一段区间内，换一句话就是说假如取在小于等于的范围内的任何一个值，则必有两个与之对应，因此，考虑到的唯一性，则只有使得，因此题目转化为当时，恒有，因此令，题目转化为时，恒有，又，为了要使其大于，则或，考虑到题目要求是正实数，则不考虑，因此，在大于的情况下恒成立，因此，所以正实数的最小值为，故选A ．考点：1、指数与对数的运算；2、不等式恒成立问题及函数的值域.【思路点睛】本题主要考查分段函数的解析式、指数与对数的运算、函数的值域、不等式恒成立问题以及数学的化归思想，属于难题. 这类问题综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱,更不能因贪快而审题不清，解答本题本题的关键是将问题转化为“时，恒有”，然后进行解答.7. 如图,在复平面内,复数,对应的向量分别是,,则复数对应的点位于（ ☆ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限参考答案：D 8. 函数在定义域内的零点的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3参考答案：C9. 函数的零点所在的区间是（ ）A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）参考答案：B 10. 若向量，，，则实数的值为 （ ）A ．B ．C ． 2D ．6参考答案：D 因为，所以，所以。
2021年河南省三门峡市卢氏县第一高级中学高三数学理测试题含解析
2021年河南省三门峡市卢氏县第一高级中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知向量=A．3 B．C．D．参考答案：D2. 已知函数当时，取得最小值，则在直角坐标系中函数的图像为（）参考答案：答案：B解析：因为x∈（0，4），∴x+1＞1，故当且仅当时取得等号，此时函数有最小值1，∴a=2，b=1，可知g(x)的解析式进而作图可知结论选B.3. 曲线在点处的切线的倾斜角为（）A．30° B．45° C．60°D．120°参考答案：B略4. 若展开式中含项的系数为-80，则等于（）A．5 B．6 C.7 D．8参考答案：A5. 设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（）（A）、（B）、（C）、（D）、参考答案：C.由，得：，即，令，则当时，，即在是减函数，，，，在是减函数，所以由得，，即，故选6. 设，则“” 是“且”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件参考答案：B7. 若函数f（x）=m+log2x（x≥1）存在零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．[0，+∞） C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）参考答案：A【考点】函数的零点．【分析】函数f（x）=m+log2x（x≥1）存在零点化为求m=﹣log2x的值域．【解答】解：∵函数f（x）=m+log2x（x≥1）存在零点，∴m+log2x=0在x≥1时有解；∴m=﹣log2x≤﹣log21=0，故选：A．8. 若在区间[0，e]内随机取一个数x，则代表数x的点到区间两端点距离均大于的概率为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】几何概型．【分析】根据几何概型计算公式，用区间[e，e]的长度除以区间[0，e]的长度，即可得到本题的概率．【解答】解：解：∵区间[0，e]的长度为e﹣0=e，x的点到区间两端点距离均大于，长度为，∴在区间[0，e]内随机取一个数x，则代表数x的点到区间两端点距离均大于的概率为P=故选：C9. 一个几何体的三视图如图所示，主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图为正方形，则该几何体的全面积为（）参考答案：C略10. 具有线性相关关系得变量x，y，满足一组数据如表所示，若y与x的回归直线方程为=3x﹣，则m的值（）x 0123A．4 B．C．5 D．6参考答案：A【考点】线性回归方程．【分析】根据表中所给的数据，做出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，根据由最小二乘法求得回归方程=3x﹣，代入样本中心点求出该数据的值．【解答】解：由表中数据得： =， =，由于由最小二乘法求得回归方程=3x﹣，将=， =代入回归直线方程，得m=4．故选：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分A、4B、8C、12D、4+411. 已知向量，，则的最大值为 ．参考答案：12.已知函数是定义在上的奇函数，当时，则不等式的解集是__________．参考答案：13. 设x ，y 满足约束条件，则的最大值为．参考答案：2 14. 不等式对于一切恒成立，则实数的取值范围是 。
河南省三门峡市第三高级中学2020-2021学年高三数学理测试题含解析
河南省三门峡市第三高级中学2020-2021学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 记函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x）如果函数y=f（x）的图象过点（0，1），那么﹣1A略2. 某几何体的三视图如右上图所示，则该几何体的体积是（）A． B． C．D．参考答案：【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2C由三视图知几何体为圆锥的，则V=Sh==【思路点拨】根据三视图得到为圆锥的，再根据体积公式求出体积。
3. 已知球的表面积为，球心在大小为的二面角的内部，且平面与球相切与点，平面截球所得的小圆的半径为，若点为圆上任意一点，记两点在该球面上的球面距离为，则（A）当取得最小值时，与所成角为（B）当取得最小值时，点到平面的距离为（C）的最大值为（D）的最大值为参考答案：C球半径,小圆的半径为，,,当取得最小值时 ,,与所成角为,故A错；点到平面的距离为2，故B错当取得最大值时,,的最大值为,故选C.4. 定义在R上的函数y=f（x）为减函数，且函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，若f（x2﹣2x）+f（2b﹣b2）≤0，且0≤x≤2，则x﹣b的取值范围是（）A．[﹣2，0] B．[﹣2，2] C．[0，2] D．[0，4]参考答案：B【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】设P（x，y）为函数y=f（x﹣1）的图象上的任意一点，关于（1，0）对称点为（2﹣x，﹣y），可得f（2﹣x﹣1）=﹣f（x﹣1），即f（1﹣x）=﹣f（x﹣1）．由于不等式f（x2﹣2x）+f（2b﹣b2）≤0化为f（x2﹣2x）≤﹣f（2b﹣b2）=f（1﹣1﹣2b+b2）=f （b2﹣2b），再利用函数y=f（x）为定义在R上的减函数，可得x2﹣2x≥b2﹣2b，可画出可行域，进而得出答案．【解答】解：设P（x，y）为函数y=f（x﹣1）的图象上的任意一点，关于（1，0）对称点为（2﹣x，﹣y），∴f（2﹣x﹣1）=﹣f（x﹣1），即f（1﹣x）=﹣f（x﹣1）．∴不等式f（x2﹣2x）+f（2b﹣b2）≤0化为f（x2﹣2x）≤﹣f（2b﹣b2）=f（1﹣1﹣2b+b2）=f（b2﹣2b），∵函数y=f（x）为定义在R上的减函数，∴x2﹣2x≥b2﹣2b，化为（x﹣1）2≥（b﹣1）2，∵0≤x≤2，∴或．画出可行域．设x﹣b=z，则b=x﹣z，由图可知：当直线b=x﹣z经过点（0，2）时，z取得最小值﹣2．当直线b=x﹣z经过点（2，0）时，z取得最大值2．综上可得：x﹣b的取值范围是[﹣2，2]．故选B．【点评】本题综合考查了函数的对称性、单调性、线性规划的可行域及其最值、直线的平移等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．5. 已知函数则方程f(x) ＝ax恰有两个不同的实根时，实数a的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：B略6. 已知i是虚数单位，则复数（）A. 1B. －1C. iD. －i参考答案：D【分析】利用复数的乘法和除法运算化简复数，由此得出正确选项.【详解】依题意，故选D.【点睛】本小题主要考查复数的乘法和除法运算，属于基础题.7. 某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”?“升级题型”?“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．已知某位参赛者答对每道题的概率均为，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】利用次独立重复试验中事件恰好发生次概率计算公式能求出该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率．【详解】解：某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”、“升级题型”、“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．某位参赛者答对每道题的概率均为，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率：．故选：A．【点睛】本题考查概率的求法，考查次独立重复试验中事件恰好发生次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．8. 在平面直角坐标系中，若不等式组所表示的平面区域内恰有两个点在圆(r>0)上，则A．＝0，＝ B．＝1，＝1C．＝－1，＝ D．＝－1，＝参考答案：D9. 设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)参考答案：D略10. 已知i是虚数单位，则复数在复平面上所对应的点的坐标为（）A.(0,1)B. (－1,0)C. (1,0)D.(0,－1)参考答案：A【分析】根据复数的除法运算得到化简结果，再由复数和实数点的对应得到结果.【详解】∵，∴该复数在复平面上对应的点的坐标为.故选A.【点睛】在复平面上，点和复数一一对应，所以复数可以用复平面上的点来表示，这就是复数的几何意义．复数几何化后就可以进一步把复数与向量沟通起来，从而使复数问题可通过画图来解决，即实现了数与形的转化．由此将抽象问题变成了直观的几何图形，更直接明了．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 点A是函数的图象与轴的一个交点（如图所示），若图中阴影部分的面积等于矩形OABC的面积，那么边AB的长等于__________.参考答案：略12. 设函数，若，，则= ．参考答案：13. 以椭圆的左焦点为圆心，长轴长为半径的圆的标准方程是_______。
2021-2022学年河南省三门峡市高三年级上册学期第一次大练习理科数学试题【含答案】
2021—2022学年度高三第一次大练习理科数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集，，，则{}0U x x =≥{}2M x x x =->{}2,0xN y y x ==≥（）()U M N =A. B.C.D.[)0,∞+()1,+∞[)0,1()0,12. 复数z 满足，则（）(2i)4z z +=-z =A. B. C. D. 3i+3i-+1i-+1i--3. 甲､乙两组数据的频率分布直方图如图所示，两组数据采用相同的分组方法，用和1x 分别表示甲､乙的平均数，，分别表示甲､乙的方差，则（）2x 21s 22sA. ，B. ，12x x =2212s s <12x x =2212s s >C. ，D. ，12x x <2212s s =12x x >2212s s =4. 已知双曲线的左､右焦点为，，过的直线交双曲线左支()222:1016x y C b b -=>1F 2F 1F 于点和，若，且的周长为，则的渐近线方程为（）A B 7AB =2ABF △10b C AB. 34y x =±y x=±C.D.y x =y x =5. 已知，，，，，，则（）a b ,()0c ∈+∞145log a a=+132b b +=44c c +=A. B. C. D.b a c<<a c b<<c<a<bc b a<<6. 已知函数是奇函数且其图象在点处的切线方程，设函数()f x ()()1,1f 21y x =-，则的图象在点处的切线方程为（）()()2g x f x x =-()g x ()()1,1g --A. B. 42y x =+46y x =--C. D. 0y ==2y -7. 已知命题“，”，命题“函数的定义:p x ∀∈R 2220x x a -+>:q 2lg 22a y x ax ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭域为”，若为真命题，则实数的取值范围是（）R p q ∧a A.B.C.D.()1,4()1,3()1,2()2,48. 设数列和的前项和分别为，，已知数列的等差数列，且{}n a {}n b n n S nT{}n b ，，，则（）2n n n a n b a +=33a =4511b b +=n n S T +=A. B. C. D.22n n-22n n-22n n+22n n+9. 已知函数（，）的最小正周期为，()()()sin cos f x a x x ωϕωϕ=+++0ω>2πϕ<π其最小值为，且满足，则（）2-()2f x f x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ϕ=A.B.C. 或D.或6π±3π±6π3π6π-3π-10. 已知，，则（）π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭2sin 21cos2αα+=1tan21tan2αα-=+A. B. C.D. 232+2+11. 已知，若当，则的最大值为（）(),0,a b m ∈a b ><m A. B. C. 1D. 21e 1ee12. 已知的内角，，满足，则在的外ABC A B C ()1sin cos 1sin 22A B C A-=-ABC 接圆内任取一点，该点取自内部的概率为（）ABC A. B. C. D. 12π1π32π2π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若向量，的夹角为，，，则________．a b 60︒2a = 6b = 2a b -= 14. 随着近年来中国经济､文化的快速发展，越来越多的国外友人对中国的自然和人文景观表现出强烈的兴趣.一外国家庭打算明年来中国旅行，他们计划在北京､上海､浙江､四川､贵州､云南6个地方选3个去旅行，其中北京和上海至少选一个，则不同的旅行方案种数为___________.(用数字作答)15. 已知椭圆的右焦点为，直线与交于，两点，()2222:10x y C a b a b +=>>F 2ax =C A B 若，则椭圆的离心率为_______.120AFB ∠=︒C 16. 已知函数的最小值为，函数的零点与极()21e x ax bxf x +-=–1()3231g x ax bx =++小值点相同，则___________.a b +=三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 在中，角的对边分别为，已知ABC ,,A B C ,,a b c 2sin 2B C A +=（1）求角;A （2）若，求的值.4,10c AB AC =⋅=sin B 18. 某职业培训学校现有六个专业，往年每年各专业的招生人数和就业率（直接就业的学生人数与招生人数的比值）统计如下表：专业机电维修艺术舞蹈汽车美容餐饮电脑技术美容美发招生人数100100300200800500就业率100%70%90%80%50%80%（Ⅰ）从该校往年的学生中随机抽取人，求该生是“餐饮”专业且直接就业的概率；1（Ⅱ）为适应人才市场的需求，该校决定明年将“电脑技术”专业的招生人数减少m，将“机电维修”专业的招生人数增加，假设“电脑技术”专业的直接就业()0400m <≤3m人数不变，“机电维修”专业的就业率不变，其他专业的招生人数和就业率都不变，要使招生人数调整后全校整体的就业率比往年提高个百分点，求的值．5m 19. 已知数列，满足，，.{}n a {}n b 1118a =11216n n n n a a a a ++-=116n n b a =-（1）证明为等比数列，并求的通项公式；{}n b {}n b （2）求.11223377a b a b a b a b ++++ 20. 已知抛物线，过点的直线与抛物线相交于，两()2:20C y px p =>()2,0G l C A B 点，为坐标原点，且.O 4OA OB ⋅=-（1）求抛物线的方程；C （2）若线段的中点为，的中垂线与的准线交于第二象限内的点，且AB M AB C N ，求直线与轴的交点坐标.78MN AB =MN x 21. 已知函数.()()ln 1,f x x m x m R=++∈（1）若，求函数的极值；1m =-()f x （2）若，证明：()()0()f p f q p q ==≠1pq >（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数且)，与xOy C 22232x t t y t t ⎧=+-⎨=+-⎩t 1t ≠C 坐标轴交于，两点.A B （1）求；AB（2）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求外接圆的极坐标方x OAB 程.[选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数.()124f x x x =-+-（1）求不等式的解集；()2f x ≤（2）设的最小值为，若，证明：()f x k ()20,0m k m n n +=>>≤2021—2022学年度高三第一次大练习理科数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集，，，则{}0U x x =≥{}2M x x x =->{}2,0xN y y x ==≥（）()U M N =A. B.C.D.[)0,∞+()1,+∞[)0,1()0,1【答案】D 【解析】【分析】解不等式确定集合，求指数函数的值域得集合，交补由集合的运算法则计M N 算．【详解】由已知，，{|01}M x x =<<(0,1)={|1}[1,)N y y =≥=+∞，所以．[0,1)U N = ()(0,1)U M N = 故选：D ．2. 复数z 满足，则（）(2i)4z z +=-z =A. B. C. D. 3i +3i -+1i -+1i--【答案】B 【解析】【分析】设则，然后代入原式得()i ,R z a b a b =+∈i z a b =-，然后根据复数相等列方程，解方程即可得到.()224a b b a a b -++=--i iz 【详解】设，则，()i ,R z a b a b =+∈i z a b =-因为，所以，即()2i 4z z +=-()()2i i i 4a b a b ++=--，()224a b b a a b -++=--i i所以，解得，则.242a b a b a b -=-⎧⎨+=-⎩31a b =-⎧⎨=⎩3i z =-+故选：B.3. 甲､乙两组数据的频率分布直方图如图所示，两组数据采用相同的分组方法，用和1x分别表示甲､乙的平均数，，分别表示甲､乙的方差，则（）2x 21s 22s A. ， B. ，12x x =2212s s <12x x =2212s s >C. ，D. ，12x x <2212s s =12x x >2212s s =【答案】B 【解析】【分析】由平均数和方差的定义和性质判断即可得出结果.【详解】平均数是每个矩形的底边中点的横坐标乘以本组频率（对应矩形面积）再相加，因为两组数据采取相同分组且面积相同，故，12x x =由图观察可知，甲的数据更分散，所以甲方差大，即，2212s s >故选：B.4. 已知双曲线的左､右焦点为，，过的直线交双曲线左支()222:1016x y C b b -=>1F 2F 1F 于点和，若，且的周长为，则的渐近线方程为（）A B 7AB =2ABF △10b C A.B. 34y x =±y x=±C.D.y x =y x =【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线的定义可求得的周长为2ABF △，计算即可求得，进而求得结果.22||||||477414=10AF BF AB a a b ++=++=+,a b 【详解】,21||||2AF AF a -=21||||2.BF BF a -=,即，∴2211||(||||)4AF BF AF BF a +-+=22||||||4AF BF AB a +-=的周长为：，∴2ABF △22||||||477414=10AF BF AB a a b ++=++=+由双曲线的方程为，可知，解得：，()2221016x y b b -=>4a =3b =的渐近线方程为：，∴C 34=±=±b y x x a 故选：A.5. 已知，，，，，，则（）a b ,()0c ∈+∞145log a a=+132b b +=44c c +=A. B. C. D.b a c<<a c b<<c<a<bc b a<<【答案】D 【解析】【分析】将问题转化为，，与的交点横坐标的大4log y x =122x y =+14x y =+5y x =-小问题，应用数形结合的方法判断，，的大小.a b c 【详解】依题意，，，1445log log 5a a a a=+⇒=-1132522b b b b +=⇒+=-，44145c c c c +=⇒+=-在同一坐标系中分别作出，，，的大致图象，如4log y x =122x y =+14xy =+5y x =-图所示，观察可知：.c b a <<故选：D 6. 已知函数是奇函数且其图象在点处的切线方程，设函数()f x ()()1,1f 21y x =-，则的图象在点处的切线方程为（）()()2g x f x x =-()g x ()()1,1g --A. B. 42y x =+46y x =--C. D. 0y ==2y -【答案】A 【解析】【分析】先求出，再求出切点的坐标，即得解.()14g '-=【详解】解：由已知得，，因为是奇函数，所以，()12f '=()11f =()f x ()12f '-=又因为，所以，()11f -=-()()2g x f x x''=-()()1124g f ''-=-+=，()()1112g f -=--=-所以的图象在点处的切线方程为.()g x ()()1,1g --()241,42y x y x +=+∴=+故选：A7. 已知命题“，”，命题“函数的定义:p x ∀∈R 2220x x a -+>:q 2lg 22a y x ax ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭域为”，若为真命题，则实数的取值范围是（）R p q ∧a A.B.C.D.()1,4()1,3()1,2()2,4【答案】A【解析】【分析】由真得求出的取值范围，由真得，p ()22min20x x a+>-a qx ∀∈R ，求出的取值范围，再取它们交集即可．2202a x ax +>-a 【详解】由，得，则，所x ∀∈R 2220x x a -+>()22min20xx a +>-221210a -⨯+>以或1a >1a <-由函数的定义域为，则，，2lg 22a y x ax ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭R x ∀∈R 2202a x ax +>-所以a =0或20044202a a a a >⎧⎪⇒≤<⎨∆=-⨯⨯<⎪⎩因为为真命题，所以均真，则p q ∧,p q 14a <<故选：A 8. 设数列和的前项和分别为，，已知数列的等差数列，且{}n a {}n b n n S nT{}n b ，，，则（）2n n n a n b a +=33a =4511b b +=n n S T +=A. B. C. D.22n n-22n n-22n n+22n n+【答案】D 【解析】【分析】设等差数列的公差为，进而根据等差数列的通项公式计算得，故{}n b d 121b d =⎧⎨=⎩，，再根据等差数列前项和公式求解即可。
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2021届河南省三门峡市普通高中高三第一次大练习考试
数学（理）试卷
★祝考试顺利★ (含答案)
第I 卷(选择题)
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A ＝{1，2，4}，B ＝{x|x 2－4x ＋m ＝0}。
若A ∩B ＝{1}，则B ＝ A.{1，－3} B.{1，0} C.{1，3} D.{1，5}
2.若复数z 满足(3＋4i)z ＝1－i(i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数z 等于 A.172525i -
+ B.172525i -- C.1755i -+ D.1755
i -- 3.勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形。
现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为 A.
()
23323
ππ-+ B.
()
323
π- C.
()
323
π+ D.
()
23323
ππ--
4.如图所示的程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值，若x ＝y ，则这样的x 的值有
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
5.已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 2＋S 3＝4，a 3＋S 5＝12，则a 4＋S 7＝
A.20
B.24
C.28
D.32 6.“log 2(2x －3)<1”是“4x >8”
A.充分必要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件 7.已知点G 是△ABC 的重心，AG AB AC λμ=+(λ，µ∈R)，若∠A ＝120°，AB AC ⋅＝－2，则|AG |的最小值是
C.12
D.23
8.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2ccosA ＝0，则当角B 取得最大值时，△ABC 的周长为
A.2
B.2
C.3
D.3
9.已知正实数a ，b ，c 满足：(
12)a ＝log 2a ，(1
3)b ＝log 2b ，c ＝12
log c ，则 A.a<b<c B.b<c<a C.c<b<a D.c<a<b
10.记无穷数列{a n }的前n 项a 1，a 2，…，a n 的最大项为A n ，第n 项之后的各项a n ＋1，a n ＋2，…的最小项为B n ，令b n ＝A n －B n ，若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 2－7n ＋6，则数列{b n }的前10项和为
A.－169
B.－134
C.－103
D.－78
11.已知点F 1，F 2是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点，椭圆上存在不同两点A ，B 使得
1
2FA 2F B =，则椭圆的离心率的取值范围是 A(0，13) B.(0，12) C.(13，1) D.(1
2
，1)
12.若函数f(x)＝2
x lnx
与函数h(x)＝lnx －2ax 的图象有三个交点，则实数a 的取值范围是
A.(－∞，
211e e -) B.(－∞，122e e -) C.(211e e -，0) D.(122
e e -，0) 第II 卷(非选择题)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.
在2
n
x ⎛ ⎝的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的常数项。