二次函数的偏导数

二元函数的偏导数
基本概念（复习）
设 z f x, y 在 p0 x0, y0 的某个邻域内有定义，若
lim f x0 x, y0 f x0 , y0 存在，则该极
x0
x
限值就称为在处对变量的偏导数，
如何求函数 f x, y 在点 x0, y0 处的偏导数？
1、如果 f x, y0 或 f x0, y 在 x0 或 y0 的某个邻域
内是可导的一元初等函数，则按初等函数的求导法则对
一元函数 f x, y0 或f x0, y 求导，就得到相应的
x 偏导数；也可先将 y 看作常数，对函数 f 关于
求导，再将 x0, y0 代入，便得 fx x0, y0 ； 同理可 求出 fy x0, y0 ；
方法二(2)

f
x

x,
y


1


y
1


2
1

xy x2
fx x,1 1
2（2）由于（0,0）处于分段点，因此采用定义法
fx
0,0
lim
x0
f
0 x, 0
x
f
0, 0

00 lim x0 x
0
fy
0, 0

lim
y0
f
0,0 y
y
f
0, 0

lim
y0
y源自文库
sin
1 y
2
y
0
因此 fx 0,0 0 ， fy 0,0不存在
2、按偏导数的定义，通过计算极限
lim
x0
f
x0
x, y0
x
f
x0, y0

fx
x0, y0
lim
y0
f
x0,
y0
y
y
f
x0,
y0

fy
x0, y0
求偏导数 （此方法主要用于分段函数）
练习
1、设 f x, y x y 1arcsin
x y
，求
fx

x,1
f x, y 2、 求函数

y
sin

x2
1
y2
,
x2

y2

0,
0, x2 y2 0
（1）在点（1，1）的偏导数；
（2）在点（0，0）的偏导数；
1、解、方法一(1) f x,1 x 11 arcsin x
1
fx x,1 1